Cetraro, ottobre 2012

Relatrice:Claudia Manotti

Il ministero

“In un certo ministero ci sono 6 uffici, numerati da 1 a 6, ai quali gli utenti si possono rivolgere per sbrigare un certo tipo di pratiche.

All’inizio di ogni settimana un Dirigente del Ministero incontra i responsabili dei 6 uffici per organizzare il lavoro. L’organizzazione avviene in questo modo: il Dirigente scrive i numeri da 1 a 6 su sei bigliettini e li distribuisce a caso ai sei responsabili.

Durante la settimana quando un utente si presenterà all’ufficio k, verrà da questo ufficio invitato a recarsi presso l’ufficio il cui numero che indicheremo con ak , è scritto sul foglietto (nel caso in cui dovesse essere ak = k , l’utente sarà invitato a ripassare più tardi, ad esempio perché il responsabile è fuori stanza). Naturalmente, quando l’utente si presenterà al nuovo ufficio la procedura si ripeterà identica fino a quando l’utente, sfinito, non se ne andrà”.

In quanti modi può essere avvenuta la distribuzione

dei biglietti?

Qual è la probabilità che un utente ripassi dal primo ufficio che ha visitato dopo 2 passaggi

(e non prima)?

Considerazioni preliminari

1)Ritroviamo il primo elemento?

2) Notazioni con cicli.

3) Probabilità un sesto.

Esercizio

Si riesce nelle scritture del tipo (*) a riordinare i cicli o gli elementi nei

cicli in modo tale che anche togliendo le parentesi si possa risalire in modo univoco alla

permutazione?

Deduciamo:

1) Qual è la probabilità che se l’utente X parte dall’ufficio x1 si trovi di nuovo x1 al quattordicesimo passaggio?

2) Qual è la probabilità che X visiti prima o poi tutti gli uffici?

Qual è la probabilità che X, partendo dall’ufficio 1, non passi mai dal 2?

Qual è la probabilità che permutando i numeri da 1 a 6 il numero 1 preceda il 2? Qual è la probabilità

che il 4 non venga a trovarsi prima dell’1, del

2 e del 3?

Il Ministero, per dimostrare la propria sensibilità alle esigenze dei cittadini, ha deciso che tutti gli uffici che un utente incontrerà sul suo percorso debbano essere contrassegnati con uno stesso colore. Naturalmente si farà in modo di usare il massimo

numero possibile di colori diversi. Qual è la probabilità che servano esattamente due colori? E che ne

servano p?

a)(1+1/2+…+1/5)/6

b)…

a. [1/1+1/2+…+1/(n-1)](n-1)!

b. Proprietà dei numeri di Stirling.

!,00

1,...;2,1,0

0;1

0

0

1

nk

nk

k

n

k

1,,1

11

1

kn

k

nn

k

n

k

n

Triangolo di Stirling

27412006

11035502405

001611604

00013203

00001102

00000101

00000010

6543210/ kn

n

k

kxk

nnxxxx

1

121

Verificare la seguente uguaglianza:

1,2

1

1

nn

k

nk

n

k

I colori che contrassegnano gli uffici del ministero vengono cambiati ogni settimana in

corrispondenza della distribuzione dei biglietti da

parte del Dirigente. Mediamente, quanti sono i

colori che servono? 1+1/2+…+1/n

In quanti modi può essere avvenuta la distribuzione dei

biglietti nei seguenti due casi?

1

11 )1(

nn

nnn

dnf

dnfd2n nnn fd 1

a. Ogni colore utilizzato è stato usato per contrassegnare almeno due uffici.b. C’è esattamente un ufficio che ha un colore che non è usato da nessun altro.

In quanti modi può essere avvenuta la distribuzione dei

bigliettini se si sa che qualunque sia l’ufficio visitato

per primo da un utente, questi, “rimbalzando” da un ufficio

all’altro visita sempre esattamente due uffici?

Questo problema, posto in un insieme di cardinalità 2n ha come risultato:

n

kn

kn

n

1

122!

)!2(

Sei utenti arrivano contemporaneamente ed

ognuno si rivolge ad un ufficio diverso. Qual è la probabilità

che dopo due passaggi ognuno si ritrovi nel primo ufficio che

ha visitato?

2

0 2!

!2

2

n

kkn k

k

k

nz

Per nominare i dirigenti delle varie sezioni del ministero si procede in questo modo: una

volta che un dirigente è stato assunto, egli ha la possibilità di far assumere in qualità di

dirigente altre due persone (al massimo), un uomo e una donna.

Ogni volta che un nuovo dirigente viene assunto, al ministero viene costituita una

nuova sezione che egli possa dirigere e queste sezioni sono numerate in modo progressivo. Il

dirigente della sezione numero 1 è stato nominato direttamente dal Ministro.

Sapendo che ogni dirigente obbedisce solo a colui che lo ha fatto assumere, quante diverse “relazioni di fedeltà” si possono realizzare nel

ministero?

Gli alberi binari crescenti aventi per nodi tutti gli

elementi dell’insieme

sono in corrispondenza biunivoca con le

permutazioni dell’insieme stesso.

n,...,2,1

In quanti modi può essere avvenuta la distribuzione dei biglietti in modo che

scegliendo tre elementi da sinistra a destra nella

sestupla

non si trovino mai nell’ordine “medio, maggiore, minore”?

654321 ,,,,, aaaaaa

Ringraziamenti

Carlo Benassi

Carla Tedeschi

Gabriele De Falco

Beatrice

Bibliografia

• G. Paolini LA MATEMATICA DELLE OLIMPIADI, LA SCUOLA (2012)

• S. Campigotto PROGETTO PHIQUADRO, MATHESIS

• A.T. Benjamin, J. Quinn PROOFS THAT REALLY COUNT, THE MATHEMATICAL

ASSOCIATION OF AMERICA (2003)

• A. Gardiner THE MATHEMATICAL OLYMPIAD HANDBOOK, OXFORD UNIVERSITY PRESS (1997)

• T. Andreescu , J. Feng A PATH TO COMBINATORICS FOR UNDERGRADUATE,SBIRKHAUSER (2003)

• Richard P. Stanley Enumerative Combinatorics vol 1. Cambridge Univ. Press (1997)