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第七章常微分方程

常微分方程(第四讲) 1

第四讲: 二阶常系数微分方程的解法


0=+¢+¢¢ qyypy

二阶常系数齐次线性方程的标准形式

（9）

齐次方程求解的代数方法---特征方程法

e ,rxy =设将其代入上方程, 得2( )e 0.rxr pr q+ + = e 0,rx ¹! 故有

02 =++ qprr特征方程（10）

1 二阶常系数齐次线性微分方程


( )21,2

1 4 .2

r p p q= - ± -特征根

定理 5 若特征方程(10)有

（a）两个不同的实根 1 2r r¹ ，则（9）式的通解为

（b）重根 1 2r r r= = ，则（9）式的通解为

（c）共轭复根 i (i= 1)a b± - ，则（9）的通解为

1 21 2e e ;r x r xy C C= +

1 2( )e ;r xy C C x= +

1 2( sin cos )e .xy C x C x ab b= +


➀ 有两个不相等的实根

,2

42

1

qppr -+-= ,

242

2

qppr ---=

11 e ,r xy = 2

2 e ,r xy =两个线性无关的特解

得齐次方程的通解为 1 21 2e e ;r x r xy C C= +

)0( >D

特征根：

证

➁ 有两个相等的实根 )0( =D

11 e ,r xy =,

221

prr -== 特解为

12 e ,r xy x=

特征根：

另一特解可由刘维尔公式得到：


齐次方程的通解为: 11 2( )e .r xy C C x= +

ie cos i sin ,x x x= +

补充：欧拉公式

i i1sin (e e ).2i

x xx -= -

πie 1 0.+ =ie cos i sin .x x x- = -

i i1cos (e e ),2

x xx -= +

1 i ,r a b= +

( i )1 e ,xy a b+= ( i )

2 e .xy a b-=

➂ 有一对共轭复根 )0( <D

特征根为 2 i ,r a b= -


重新组合

)(21

211 yyy += e cos ,x xa b=

2 1 21 ( )2i

y y y= - e sin ,x xa b=

得齐次方程的通解为

1 2( cos sin )e .xy C x C x ab b= +

由常系数齐次线性方程的特征根确定其通

解的方法称为特征方程法.


4 4 0 .y y y¢¢ ¢+ + =求微分方程的通解

解特征方程为 ,0442 =++ rr

解得 ,221 -== rr 故所求通解为：

21 2( )e .xy C C x -= +

例1

解特征方程为 ,0522 =++ rr

解得 1 2 1 2i,r = - ±，故所求通解为：

1 2e ( cos2 sin2 ).xy C x C x-= +

2 5 0 .y y y¢¢ ¢+ + =求微分方程的通解例11


)(xfqyypy =+¢+¢¢

二阶常系数非齐次线性方程的标准形式

（11）

非齐次线性方程通解结构： * .y Y y= +

对应齐次方程的通解 .0y py qy¢¢ ¢+ + = y Y=

问题：如何求特解？*y y=

2 二阶常系数非齐次线性微分方程


定理5¢ 若特征方程(10)有

（a¢）两个实根 1 2,r r ，则（11）式的特解为

（12）1 2 1 2( )* e e e ( )d d ;r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò

（b¢）共轭复根 i (i= 1)a b± - ，则（11）的特解为

*2

e ( )sin( )de sin( ) d .

sin ( )

xx

f x x xy x x

x

aa

bb

b

-

= òò （13）

( )21,2

1 4 .2

r p p q= - ± -特征方程（10）的根：


,2

42

1

qppr -+-= ,

242

2

qppr ---=

显然，

特征根：

1 2 ,r p r+ = -1 1 22 .r p r r+ = -

由定理4，（11）式的特解为

11 er xy = 2er x齐次方程（9）的特解：（或取），

1 1 1d d2* e e e e ( )e d dp x p xr x r x r xy f x x x--é ùò ò= ê úë ûò ò

1 1 1(2 ) ( )* e e e ( )d dr x r p x r p xy f x x x- + +é ù= ë ûò ò即

➀ 有两个实根 ( 0)D ³证


1 i ,r a b= +

➂ 有共轭复根 )0( <D特征根为 2 i ,r a b= -

此时，

1 e sinxy xa b=齐次方程（9）的特解： (或

2 0,pa + = .pa a+ = -

e cosx xa b取 )，由定理4,（11）式的特解为(2 )

* ( )2

ee sin( ) e ( )sin( )d dsin ( )

p xx p xy x f x x x x

x

aa ab b

b

- ++é ù

= ê úë ûò ò

1 2 1 2( )* e e e ( )d d .r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò即


推论若特征方程(10)有二重实根 r ,

（14）* e e ( )d d .rx rxy f x x x-é ù= ë ûò ò

*2

e ( )sin( )de sin( ) d .

sin ( )

xx

f x x xy x x

x

aa

bb

b

-

= òò

则（11）式的特解为:


3 2 e cosxy y y x-¢¢ ¢+ + =

解微分方程的特征方程为 2 3 2 0.r r+ + =

所以有根 1 1r = - 和 2 2r = - . 于是，齐次方程的通解为

21 2e e .x xY C C- -= +

取 1 e xy -= ，则由公式（12）可知，非齐次微分方

程的特解为

* e e e cos d d ,x x xy x x x- -é ù= ë ûò ò


* 1 1e [sin cos ]d (sin cos )e .2 2

x xy x x x x x- -= + = -ò

积分得

于是，方程的通解为

21 2

1 (sin cos )e e .2

x xy x x C C- -= - + +

取2

1 e xy -= ，则也可由公式（14）类似计算.

22 e lnaxy ay a y x-¢¢ ¢+ + =

解微分方程的特征方程为


2 2 22 ( ) 0.r ar a r a+ + = + =

所以，有二重根 .r a= - 于是，齐次方程的通解为

1 2( )e .axY C C x -= +

由公式（14）可知，非齐次微分方程的特解为

* e ln d d ,axy x x x- é ù= ë ûò ò2

* 2e [ ln ]d e (ln 3).4

ax axxy x x x x x- -= - = -ò积分，得

于是，方程的通解 2 2 2

1 21 3ln e .4 4

axy C C x x x x -æ ö= + + -ç ÷è ø


.

24 4 e sin 2cos2

x xy y y xæ ö¢¢ ¢- + = +ç ÷

è ø解特征方程：

2 24 4 ( 2) 0,r r r- + = - =

所以，有二重根 2.r =

由公式（14）可知，非齐次微分方程的特解为

* 2e sin 2cos d d ,2

x xy x x xé ùæ ö= +ç ÷ê úè øë ûò ò

2e 4sin cos d2

x x x xæ ö= -ç ÷è øò 2sin +8cos e .

2xxxæ ö= -ç ÷

è ø


.2cos 的通解求方程 xxyy =+¢¢例5

解特征方程：2 1 0,r + =

所以， 1 2i, i,r r= = -

即 0, 1a b= = ，则齐次方程的通解为

*2

cos 2 sin dsin d .

sinx x x x

y x xx

= òò

由公式（13）可知，非齐次方程的一个特解为

1 2sin + cos .Y C x C x=


2cos2 sin d (2cos 1)sin dx x x x x x x x= -ò ò!

3 32 2cos cos cos cos d3 3

x x x x x xæ ö æ ö= - - -ç ÷ ç ÷è ø è øò

3 22 1 2cos cos sin dsin3 3 3

x x x x xæ ö æ ö= - - +ç ÷ ç ÷è ø è øò

3 32 1 2cos cos sin sin3 3 9

x x x x xæ ö= - - -ç ÷è ø

22

cos sin 2 2cos sin sin3sin 3 9

x x x x x x xx

-æ ö= + -ç ÷è ø


2 8sin sin cos3sin 3 9xx x x xx

æ ö= - + +ç ÷è ø

4cos2 sin2 .3 9x x x= - +

1 24sin + cos cos 2 sin2 .

3 9xy C x C x x x= - +

于是，方程的通解为

*2

cos sin 2 2sin cos sin d3sin 3 9

x x xy x x x x xx

-æ ö\ = + -ç ÷è øò


二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:

（1）写出相应的特征方程;

（2）求出特征根;

（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)

3 小结与思考题


02 =++ qprr0=+¢+¢¢ qyypy

特征根的情况通解的表达式

实根 21 rr ¹

实根 21 rr =

复根 1,2 ir a b= ±

xrxr CCy 2121 ee +=

xrxCCy 2)( 21 e+= )sincos( 21 xCxCy x bba += e

齐次方程特征方程


* e e ( )d d .rx rxy f x x x-= ò ò

求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解:

（a’）两个实根 1 2,r r ，则非齐次方程的特解

（b’）共轭复根 i (i= 1)a b± - ，则非齐次方程的特解

*2

( )e sin( )de sin( ) d .

sin ( )

xx

f x x xy x x

x

aa

bb

b

-

= òò

1 2 1 2( )* e e e ( )d d ;r x r r x r xy f x x x- -é ù= ë ûò ò注：当时，1 2r r r= =


思考题

求微分方程 xxyyy 22 e8644 +=+¢-¢¢

的特解.


思考题解答 0442 =+- rr! 221 == rr\* e e ( )d d .rx rxy f x x x-é ù= ë ûò ò由公式（14）：

* 2 2 2 2e e (6 8e )d dx x xy x x x-é ù= +ë ûò2 2 2e 6 e d 8 dx xx x x x-é ù= +ë ûò ò2 2 21e 8 3 + + e d

2x xx x x x-é ùæ ö= - ç ÷ê úè øë ûò2 2 2 2 2 2 2 34 e 3e e d 3e e d

4x x x x xx x x x x- -= - - +ò ò

2 2 23 93 4 e .2 4

xx x x= + + +


一、求下列微分方程的通解:

1． 02 =¢-¢¢ yy ； 2.4 12 9 0x x x¢¢ ¢- + = ；

3． 0116 =+¢+¢¢ yyy ； 4. 2 3 0y y y¢¢ ¢+ + = .

二、下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1. 0 0

14 4 0, 1,2x xy y y y y= =

¢¢ ¢ ¢+ + = = = ；

2. 0 04 13 0, 0, 3.x xy y y y y= =¢¢ ¢ ¢- + = = =

课堂练习题

三、求下列微分方程的通解:

1. xxyyy -=-¢-¢¢ e32 ；2. xxyy cos2 =+¢¢ .


四、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:

1.xxyyy e2 =+¢-¢¢ , 1,1 11 =¢= == xx yy ；

2. )2cos(214 xxyy +=+¢¢ , 0,0 00 =¢= == xx yy .

五、设 )(xj函数连续,且满足

òò -+=xx

ttxtttxx00

d)(d)(sin)( jjj ,

)(xj求 .


一、 1．xCCy 2

21 e+= ； 2. t

tCCx 23

21 )( e+= ；

3. )2sin2cos( 213 xCxCy x += -e ；

4. 1 2e ( cos 2 sin 2 )xy C x C x-= + .

二、1.12(1 )ex

y x-

= + ； 2.2e sin3xy x= .

课堂练习题答案

三、1．xxx xxCCy -- +-+= e)23(

223ee 22

21 ；

2． xxxxCxCy sin2cos2sin2cos 21 +++= .

四、1． xxy e)611( 3+= ；2． )2sin1(

812sin

161 xxxy ++-= .

五、1( ) (sin cos ).2

x x x xj = +


.tan 的通解求方程 xyy =+¢¢

解对应齐次方程通解 ,sincos 21 xCxCY +=

常数变易法 ,sin)(cos)( 21 xxcxxcy +=设

,1)( =xw ,cos)(

tanseclnsin)(

22

11

îíì

+-=

++-=

CxxcCxxxxc

原方程通解为：

.tanseclncossincos 21 xxxxCxCy +×-+=

例6


思考题

求微分方程的通解.yyyyy ln22 =¢-¢¢

思考题解答

,0¹y! ,ln2

2

yyyyy

=¢-¢¢

\

,ln yyy

=¢÷øö

çèæ ¢ ( ) ,ln

yyy x

¢=¢! ( ) ,lnln yy =²\

令 yz ln= 则 ,0=-¢¢ zz 特征根 1±=l通解

xx CCz -+= ee 21 ,ln 21xx CCy -+=\ ee

-1 2 1 2e + e e ee (e ) (e ) .x x x xC C C Cy

-

= =或


设非齐方程特解为 * ( )e ,xy Q x l=

代入方程得：

)()()()()2()( 2

xPxQqpxQpxQ

m=+++¢++¢¢ lll

补充：几类特殊类型的求解法

1、型( ) e ( )xmf x P xl=


(1) l若不是特征方程的根，即 ,02 ¹++ qpll

),()( xQxQ m=可设

（2）若是特征方程的单根，即l

* ( )e ;xmy Q x l=

,02 =++ qpll ,02 ¹+ pl

),()( xxQxQ m=可设* ( )e ;xmy xQ x l=

是特征方程的重根，若l)3(,02 =++ qpll ,02 =+ pl),()( 2 xQxxQ m=可设 * 2 ( )e .xmy x Q x l=


综上讨论：

* e ( ) ,k xmy x Q xl=

ïî

ïí

ì=

.,2,,1

,0

是特征重根

是特征单根

不是特征根，

lll

k其中


23 2 e .xy y y x¢¢ ¢- + =求方程的通解

解

对应齐次方程通解

特征方程 ,0232 =+- rr

特征根，， 21 21 == rr2

1 2e e ,x xY C C= +

是单根，2=l! * 2( )e ,xy x Ax B= +

代入方程, 得 xABAx =++ 22 ,121

ïî

ïíì

-=

=\B

A

* 21( 1)e2

xy x x= -于是

原方程通解为2 2

1 21e e ( 2)e .2

x x xy C C x x= + + -

例7


( ) e [ cos sin ]xl nf x P x P xl w w= +

i i i ie e e ee [ ]2 2i

x x x xx

l nP Pw w w w

l- -+ -

= +

( i ) ( i )( )e ( )e2 2i 2 2i

x xl n l nP P P Pl w l w+ -= + + -

( i ) ( i )( )e ( )e .x xP x P xl w l w+ -= +

( ) e [ ( )cos ( )sin ]xl nf x P x x P x xl w w= +2、型


( i )( )e ,xy py qy P x l w-¢¢ ¢+ + = * ( i )2 e .k x

my x Q l w-=

* * * i i1 2+ e [ e e ]k x x x

m my y y x Q Ql w w-\ = = +

* (1) (2)e [ ( )cos ( )sin ],k xm my x R x x R x xl w w= +

{ }nlm ,max= .10

îíì

±±

=是单根

不是根

wlwlii

k

( i )( )e ,xy py qy P x l w+¢¢ ¢+ + = * ( i )1 e ,k x

my x Q l w+=

(1) (2)( ), ( )m mR x R x 为一般m次多项式.

其中：


.sin4 的通解求方程 xyy =+¢¢

解对应齐次方程通解 ,sincos 21 xCxCY +=

作辅助方程 i4e ,xy y¢¢+ =ie ,xy Ax\ =

代入上式： 2 i 4,A = 2i,A\ = -i2i e 2 sin (2 cos )i,xy x x x x x\ = - = -

所求非齐方程特解为 ,cos2* xxy -=

原方程通解为 .cos2sincos 21 xxxCxCy -+=

（取虚部）

例8

il =! 为单根


.2cos 的通解求方程 xxyy =+¢¢

解对应齐方通解 ,sincos 21 xCxCY +=

作辅助方程 2ie ,xy y x¢¢+ =

2i ,l =! 不是特征方程的根

2i( )e ,xy Ax B= + 代入辅助方程

4 i 3 03 1A BA- =ì

í- =î

1 4 i,3 9

A B\ = - = -，

2i1 4( i)e ,3 9

xy x\ = - -

例9


1 4( i)(cos 2 i sin 2 )3 9

y x x x= - - +

所求非齐方程特解为：

,2sin942cos

31* xxxy +-=

原方程通解为：

.2sin942cos

31sincos 21 xxxxCxCy +-+=

1 4 4 1cos2 sin 2 ( cos 2 sin 2 )i,3 9 9 3x x x x x x= - + - +

（取实部）


(1) ( ) e ( ),xmf x P xl= * e ( );k x

my x Q xl=

(2) ( ) e [ ( )cos ( )sin ],xl nf x P x x P x xl w w= +

* (1) (2)e [ ( )cos ( )sin ].k xm my x R x x R x xl w w= +

注意：作辅助方程, 将（2）型转化为（1）型求

特解, 再取特解的实部或虚部, 可得原方程特解.

求解二阶常系数线性非齐次微分方程特解：

4 小结与思考题


思考题

求微分方程 xxyyy 22 e8644 +=+¢-¢¢

的特解.


思考题解答

设的特解为2644 xyyy =+¢-¢¢*1y

xyyy 2e844 =+¢-¢¢设的特解为*2y

*2y+

*1

* yy =则所求特解为

0442 =+- rr! 特征根 221 == rr\* 21 ,y Ax Bx C\ = + +

xDxy 22*2 e= （重根）

*2y+

*1

* yy = CBxAx ++= 2 2 2e xDx+* 2 2 23 93 4 e .2 4

xy x x x= + + +


一、求下列微分方程的通解:

1．xxyyy -=-¢-¢¢ e32 ；2. xxyy cos2 =+¢¢ ；

二、求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:

1．xxyyy e2 =+¢-¢¢ , (0) 1, (0) 1y y¢= = ；

2． )2cos(214 xxyy +=+¢¢ , 0,0 00 =¢= == xx yy .

三、设 )(xj函数连续,且满足

òò -+=xx

ttxtttxx00

d)(d)(sin)( jjj , )(xj求 .

课堂练习题


一、1．xxx xxCCy -- +-+= e)23(

223ee 22

21 ；

2． xxxxCxCy sin2cos2sin2cos 21 +++= .

二、1． xxy e)611( 3+= ；

2． )2sin1(812sin

161 xxxy ++-= .

三、隐含 ( )xj 二阶可导，且 (0) 0, (0) 1.j j¢= = 1( ) (sin cos ).

2x x x xj = +

课堂练习题答案

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