Persamaan yang harus dikuasai

Dasar persamaan yang harus dikuasai dalam aliran fluida dan perpindahan panas

dikembangkan berdasarkan tiga hukum konservasi fisika. Yaitu :

1. Hukum konservasi massa

2. Hukum konservasi momentum

3. Hukum konservasi energy

Ketiga hukum ini akan dibahas dalam koordinat kartesian.

1. Hukum konservasi massa

Anggaplah ada sebuah elemen kecil fluida dalam kasus 2 dimensi dengan δx dan δy

seperti yang terlihat pada gambar 1. Konsep utama di sini adalah bahwa laju

peningkatan massa dalam volume atur sama dengan aliran massa net yang melewati sisi

masuk dan sisi keluar.

∂M∂ t

=∑inm−∑

outm

Dimana M adalah massa yang secara spontan terjebak di dalam fluida dan m laju aliran

massa yang melewati muka/sisi dari elemen.

Gambar 1. Sebuah elemen fluida selama konservasi massa dalam kasus 2 dimensi

Dengan menmggunakan simbol-simbol pada gambar, persamaan dapat dijabarkan ke

∂∂ t

( ρδ xδy )=ρuδy+ρvδx−(ρu+∂ ρu∂ x

δx)δy−( ρv+ ∂ ρv∂ y

δy )δxUraikan persamaan ini dan bagi dengan δxδy menghasilkan,

∂ ρ∂ t

+∂ ( ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

=0

Untuk mengembangkan persmaan yang sama untuk kasus aliran 3 dimensi, elemen

fluida yang sama ditunjukkan pada gambar 2. Dalam gambar kecepatan dalam arah z

dinamakan w. dengan menggunakan konsep yang digambarkan dalam gambar,

persamaan 1 memberikan,

∂∂ t

(ρδ xδyδz )=ρuδyδz+ ρvδxδz+ρwδxδy−( ρu+∂ ρu∂ x

δx )δyδz−(ρv+∂ ρv

∂ yδy )δxδz−(ρw+∂ ρw

∂ zδz)δxδy

Uraikan persaam ini dan bagi dengan elemen δxδyδzmenghasilkan

∂ ρ∂ t

+∂ (ρu )∂ x

+∂ ( ρv )∂ y

+∂ ( ρw )∂ z

=0

Dengan menggunakan operator divergen, persamaan 5 dapat ditulis,

∂ ρ∂ t

+∇⋅( ρV )=0

Gambar 2. Sebuah elemen fluida selama konservasi massa dalam kasus 3 dimensi

Persamaan konservasi massa yang di persamaan 5 dapat ditulis,

∂ ρ∂ t

+u ∂ ρ∂ x

+v ∂ ρ∂ y

+w ∂ ρ∂ z

+ ρ(∂u∂ x+ ∂ v

∂ y+ ∂w

∂ z )=0

Dengan mengetahui material yang digunakan, persamaan ini dapat dirumuskan,

D()Dt

=∂()∂ t

+u ∂()∂ x

+v ∂()∂ y

+w ∂()∂ z

Dan operator divergen,

∇⋅v=∂u∂ x

+ ∂ v∂ y

+∂w∂ z

Persamaan 7 dapat ditulis secara sederhana menjadi,

DρDt

+ ρ∇⋅v=0

Persamaan di atas adalah bentuk umum dari hukum konservasi massa dan juga dikenal

dengan persamaan kontinuitas. Dalam kasus aliran inkompresibel, yang mana berarti

variasi-variasi waktu dan ruang yang memengaruhi massa jenis diabaikan, persamaan

bisa lebih disederhanakan dengan membuang Dρ /Dt dari persamaan. Dalam notasi

tensor, persamaan kontinuitas dapat ditulis sebagai berikut,

∂ ρ∂ t

+ ∂∂ xi

( ρui )=0

Dimana x i , i=1,2,3 yang berarti,

1 = sumbu x

2 = sumbu y

3 = sumbu z

2. Hukum konservasi momentum

Hukum ini juga dikenal sebagai hukum newton kedua tentang gerak. Hukum ini

menyatakan resultan gaya-gaya yang bekerja pada sebuah objek sebanding dengan

percepatan dikali dengan massa objek tersebut.sebuah masssa fluida kecil dalam kasus

2 dimensi dengan dimensi δx dan δy yang ditunjukkan pada gambar 3. Dalam kasus 2

dimensi, gaya-gaya yang bekerja hanya dalam arah x dan y. Dalam gambar hanya gaya

dalam arah x yang ditampilkan. Gaya-gaya yang bekerja pada elemen dapat dipisahkan

menjadi gaya pada permukaan dan gaya pada body. Gaya-gaya permukaan dihasilkan

oleh tekanan, distribusi tegangan normal dan tegangan geser. Gaya-gaya body

dinotasikan dengan f yang mendefenisikan sebagai gaya persatuan massa yang bekerja

pda pusat elemen. Pada perosalaan sehari-hari gaya-gaya body ini bisa berarti gaya

gravitasi, listrik dan magnet.

Gambar 3. Sebuah elemen fluida selama konservasi momentum dalam kasus 2 dimensi

Hukum newton kedua dalam arah x dapat ditulis,

∑ F x=ma x

Dimana :

Fx = resultan gaya

ax = percepatan

Dengan mesubtitusikan gaya-gaya yang digambarkan dan dengan menggunakan defenisi

dari percepatan ax=Du /Dt , persamaan 11 dapat dikembangkan menjadi,

[ p−( p+∂ p∂ x

δx)]δy+[σ x+∂ σ x

∂ xδx−σ x] δy+[ τ yx+∂τ yx

∂ yδy−τ yx ] + f x ρδ xδy=m Du

Dt

Uraikan persamaan ini dan subtitusikan massam=ρδ xδy menghasilkan,

−∂ p∂ x

δxδy+∂ σ x

∂ xδxδy+

∂ τ yx∂ y

δxδy+ f x ρδ xδy=ρδ xδy DuDt

Bagilah persamaan ini denganδxδy , kita mendapatakan persamaan lebih rapi sebagai

berikut,

ρ DuDt

=−∂ p∂ x

+∂σ x

∂ x+

∂τ yx

∂ y+ ρf x

Untuk memberikan persamaan momentum yang lebih lengkap, sebuah elemen fluida

pada kasus 3 dimensi ditunjukkan pada gambar 4. Dalam gambar hanya gaya pada arah

x yang ditunjukkan. Sebagai catatan, dalam kasus 3 dimensi, ada enam tegangan normal

dan tegangan geser yang bekerja pada permukaan. Gaya-gaya pada arah x ini adalah

dua gaya yang bersumber dari distribusi tekanan dan gaya-gaya yang berasal dari gaya

body ditunjukkan pada gambar.

Mensubtitusikan gaya-gaya ini pada defenisi hukum newton kedua di persamaan 11

menghasilkan,

[ p−( p+∂ p∂ x

δx )]δyδz+[σ xx+∂σ xx

∂ xδx ] δyδz+[τ yx+∂ τ yx

∂ yδy−τ yx ] δxδz+

[τ zx+∂ τ zx∂ z

δz−τ zx]δxδy+ f x ρδ xδyδz= ρδ xδyδz DuDt

Menguraikan persamaan ini dan dibagi, menghasilkan persamaan yang lebih tersusun

sebagai berikut,

xz

yx

z

yzyp zyx

xpp

zyxx zyxxxx

xx

zxyx

zxyyyx

yx

yxzx

yxzzzx

zx

xf

Gambar 4. Sebuah elemen fluida selama konservasi massa pada keadaan 3 dimensi

Dengan menggunakan cara yang sama, persamaan dalam arah y dan z adalah,

ρ DvDt

=−∂ p∂ y

+∂ τ xy∂ x

+∂ σ yy

∂ y+

∂τ zy∂ z

+ρf y

ρ DwDt

=−∂ p∂ y

+∂ τxz∂ x

+∂ τ yz∂ y

+∂σ zz

∂ z+ ρf z

Persamaan di atas dihasilkan oleh elemen fluida yang bergerak bersama aliran atau

dikenal sebagai bentuk non-konservasi. Oleh karena itu harus dikonversikan menjadi

bentuk konservasi. Misalnya, proses konversi dari Du /Dtditunjukkan sebagai berikut,

ρ DuDt

=ρ ∂u∂ t

+ρV⋅∇ u

Perluas turunan berikut dan ingat identitas vector untuk divergen dari hasil scalar dikali

vector memberikan,

∂ ( ρu )∂ t

=ρ ∂u∂ t

+u ∂ ρ∂ t

Dan

∇⋅( ρuV )=u∇⋅( ρV )+( ρV )⋅∇ u

Subtitusikan persamaan 19 dan 20 ke dalam persamaan 18 menghasilkan,

ρ DuDt

=∂ ( ρu )∂ t

−u ∂ ρ∂ t

+∇⋅( ρuV )−u∇⋅( ρV )

Yangmana bisa disusun menjadi,

ρ DuDt

=∂ ( ρu )∂ t

+∇⋅( ρuV )−u [∂ ρ∂ t

+∇⋅(ρV )]Keadaan akhir dari persamaan ini sama dengan nol seperti ditunjukkan di persamaan 6,

maka persamaan 22 dapat ditulis,

ρ DuDt

=∂ ( ρu )∂ t

+∇⋅( ρuV )

Subtitusikan persamaan 23 ke 17 menghasilkan persamaan momentum dalam arah x

dalam rumus konservasi.

∂ ( ρu )∂ t

+∇⋅(ρuV )=−∂ p∂ x

+∂ σxx

∂ x+

∂τ yx

∂ y+

∂ τ zx∂ z

+ ρf x

Dengan cara yang sama, persamaan dalam arah y dan z adalah,

∂ ( ρv )∂ t

+∇⋅( ρvV )=−∂ p∂ y

+∂τ xy∂ x

+∂ σ yy

∂ y+

∂ τ zy∂ z

+ ρf y

∂ ( ρw )∂ t

+∇⋅( ρwV )=−∂ p∂ z

+∂τ xz∂ x

+∂τ yz

∂ y+∂ σ zz

∂ z+ρf z

Persamaan 24 juga dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes.

Jika kurva laju tegangan vs regangan digambar, ada dua fenomena yang bisa diambil,

yaitu kurva fluida linier dan kurva fluida non-linier. Fluida dengan kurva lilnier dikenal

sebagai fluida Newton, contohnya adalah air. Fluida dengan kurva non-linier dikenal

dengan fluida non-Newton, contohnya adalah darah. Dalam disertasi ini kita hanya

menggunakan fluida Newton. Untuk fluida Newton, tegangan normal dapat dirumuskan

sebagai berikut,

σ xx=μ ' ( ∇⋅V )+2 μ ∂u∂ x

σ yy=μ ' ( ∇⋅V )+2 μ ∂ v∂ y

σ zz=μ' (∇⋅V )+2 μ ∂w∂ z

Dan tegangan geser,

τ xy=τ yx=μ[ ∂ v∂ x+ ∂u

∂ y ]τ xz=τ zx=μ [∂ u∂ z

+ ∂w∂ x ]

τ yz=τ zy=μ [∂w∂ y+ ∂v

∂ z ]

Dimanaμ adalah gradien dari kurva laju tegangan vs regangan atau dikenal sebagai

viskositas molecular (lebih popular dengan viskositas dinamik), danμ' adalah viskositas

kedua. Dua viskositas ini berhubungkan dengan viskositas bulk (κ ) oleh pernyataan,

κ= 23 μ+μ

'

Pada umumnya, viskositas bulk ini diabaikan kecuali pada pembelajaran struktur

gelombang kejut dan penyerapan serta pelemahan gelombang akustik. Dengan kata

lain, hampir untuk semua fluida, viskositas bulk sama dengan nol atau κ=0 , maka

viskositas kedua adalah,

μ'= 23 μ

Sebagai catatan hipotesis ini dikemukakan oleh Stokes pada tahun 1845. Walaupun

hipotesis ini masih belum disahkan dengan pasti, toh pun sering digunakan di kehidupan

sehari-hari.

Pensubtitusian persamaan hipotesis dan persamaan tegangan normal serta tegangan

geser ke persamaan 24, kita akan mendapatkan persamaan Navier-Stokes yang komplit,

∂ (ρu )∂ t

+∂ (ρuu )∂ x

+∂ ( ρ uv )∂ y

+∂ ( ρuw )∂ y

=−∂ p∂ x

+∂∂ x [23 μ(2∂u

∂ x−∂ v

∂ y−∂w

∂ z )]+∂∂ y [μ(∂u∂ y

+∂ v∂ x )] +∂

∂ z [μ(∂w∂ x+∂u∂ z )]+ ρf x

∂ (ρv )∂ t

+∂ ( ρuv )∂ x

+∂ (ρ vv )∂ y

+∂ ( ρ vw )∂ y

=−∂ p∂ y

+∂∂ y [23 μ(2∂ v

∂ y−∂u

∂ x−∂w

∂ z )]+∂∂ x [μ(∂ v∂ x

+∂u∂ y )] +∂

∂ z [ μ(∂ v∂ z+∂w∂ y )]+ ρf y

∂ ( ρw )∂ t

+∂ ( ρuw )∂ x

+∂ ( ρ vw )∂ y

+∂ ( ρww )∂ y

=−∂ p∂ z

+∂∂ z [23 μ (2∂w

∂ z−∂ u

∂ x−∂ v

∂ y )]+∂∂ x [μ(∂w∂ x

+∂u∂ z )] +∂

∂ y [μ(∂v∂ z+∂w∂ y )]+ρf z

Persamaan-persamaan ini bisa ditulis lebih rapi dengan menggunakan persamaan tensor

adalah,

∂ ( ρui )∂ t

+∂ (ρuiu j )

∂ x j=− ∂ p

∂ x i+ ∂

∂ x j [ μ( ∂ ui∂ x j

+∂ u j

∂ x i )−23δij μ

∂uk

∂ xk ]+ρf iDimana i , j , k=1,2,3 yang mengarah pada sumbu x , y , z .

3. Hukum konservasi energi

Pada bagian ini, prinsip fisika ketiga yang seblumnya energy tidak diperhitungkan kini

diaplikasikan. Prinsip ini menyatakan laju perubahan energi dalam ( E ) sebuah elemen

sama dengan jumlah dari fluks panas (Q ) yang masuk ke elemen dan laju kerja W oleh

gaya-gaya body dan gaya-gaya permukaan. Hukum ini dapat ditulis seperti,

E=Q+W

Laju kerja pada elemen oleh gaya-gaya body dan gaya-gaya permukaan yang pertama

kali dievaluasi/dibahas. perhatikan sebuah elemen kecil fluida seperti yang ditunjukkan

gambar 5. Gaya-gaya di sini adalah gaya-gaya yang disebabkan tekanan lingkungan

sekitar, tegangan normal dan tegangan geser serta diakibatkan oleh gaya-gaya body.

Sebagai catatan defenisi dari laju kerja di sini adalah gaya dikali kecepatan. Maka semua

gaya-gaya harus diperhatikan. Meskipun demikian ini akan menjadi sangat kompleks jika

semua gaya-gaya digambarkan pada elemen yang sama. Supaya lebih sederhana, hanya

gaya-gaya dalam arah x yang ditunjukkan di gambar. Gaya-gaya ini yang akan pertama

kali dibahas dan dengan cara yang sama akan dilakukan untuk membahas kerja oleh

gaya-gaya dalam arah y dan z.

xz

yx

z

yzyup zyx

xupup

)(

zyu xx zyxx

uu xxxx

)(

zxu yx

zxyy

uu yx

yx

)(

yxu zx

yxzzuu zx

zx

)(

xuf

Gambar 5. Kerja pada elemen oleh gaya-gaya untuk arah x

Gunakanlah defenisi di atas, laju kerja oleh gaya-gaya dalam arah x dapat dihitung

dengan persamaan berikut,

W x=∑ uFx

Mensubtitusikan semua gaya-gaya yang ditunjukkan di atas memberikan

W x=[up−(up+∂(up )∂ x

δx)]δyδz+[uσ xx+∂(uσxx )∂ x

δx−uσ xx ]δyδz+[uτ yx+∂(uτ yx )

∂ yδy−uτ yx ]δxδz+[uτ zx+∂(uτzx )

∂ zδz−uτzx ]δxδy+uρf xδxδyδz

Memecahkan persamaan ini dan menguraikan vδV=δxδyδzmenghasilkan

W x=[−∂(up )∂ x

+∂(uσ xx)

∂ x+∂(uτ yx)

∂ y+

∂(uτ zx )∂ z

+uρf x] δVDengan cara yang sama, laju kerja dalam arah y dan z adalah,

W y=[−∂( vp )∂ y

+∂(vτ xy)

∂ x+∂( vσ yy )

∂ y+

∂(vτ zy )∂ z

+vρf y ]δV

W z=[−∂(wp )∂ z

+∂(wτ xz )

∂ x+

∂(wτ yz )∂ y

+∂(wσ zz )

∂ z+wρf z]δV

Secara keseluruhan, laju kerja net pada fluida adalah jumlah dari persamaan-persamaan

ini. Maka laju kerja net adalah,

W=[−∇⋅( pV )+∂∂ x (uσ xx+vτxy+wτ xz )+∂

∂ y (uτ yx+vσ yy+wτ yz )]δV+[∂∂ z (uτ zx+vτ zy+wσ zz )+ρf⋅V ]δV

Hal selanjutnya adalah laju net dari fluks panas ke dalam elemen fluida. Ada dua

sumber dari fluks panas ini. Pertama diakibatkan penghasilan panas dari dalam elemen,

seperti panas adsorpsi, rekasi kimia ataupun radiasi. Yang kedua perpindahan panas dari

permukaan ke elemen akibat dari perbedaan suhu. Notasi kan volume dari panas yang

dihasilkan dari dalam elemen dengan q dan perpindahan panas dari permukaan dalam

arah x, y, dan z dengan qx , q y , dan qz . Semua sumber fluks panas ini ditunjukkan

gambar 6. Menggunakan semua sumber-sumber fluks panas yang ditunnjukan gambar,

maka laju net fluks panas ke dalam elemen dapat dihitung,

Q=[ qx−( qx+∂ qx

∂ xδx)]δyδz+[ q y−( q y+

∂ q y

∂ yδy)]δxδz

+[ qz−( qz+∂ qz

∂ zδz)]δxδy+ ρ q δxδyδz

Menguraikan persamaan ini menghasilkan,

Q=[ ρ q−(∂ qx

∂ x+

∂ q y

∂ y+

∂ qz

∂ z )]δxδyδz

xz

y xz

yzyq x zyx

xqq x

x

yx

q z

yxz

zq

q

z

z

zx

qy

z

xy

yqq

yy

zyxq

Gambar 6. Fluks panas melintasi permukaan elemen fluida

Fluks panas pada persamaan di atas dapat dihitung dengan hukum Fourier, yang

memepunyai perbandingan yang sama terhadap gradient temperature sekitar. Yaitu

qx=−k ∂T∂ x ,

q y=−k ∂T∂ y , dan

qz=−k ∂T∂ z yang merupakan fluks panas dalam arah

sumbu x, y, dan z. k disini adalah konduktivitas panas. Maka persamaan 37 dapat ditulis

sebagai berikut,

Q=[ ρ q+ ∂∂ x (k ∂T

∂ x )+ ∂∂ y (k ∂T

∂ y )+ ∂∂ z (k ∂T

∂ z )]δVTerakhir kita akan menghitung laju perubahan energy dalam elemen fluida pada

persamaan 31. Energy disini adalah total energy dalam elemen fluida. Energy total

tersebut adalah jumlah dari energi internal dan energi kinetik akibat dari kecepatan dari

elemen. Di satu sisi, perhatikanlah termodinamika klasik, energy internal berhubungan

dengan jumlah gerak translasi, gerak rotasi, dan elektronik dari molekulnya. Dalam

disertasi ini kita tidak akan menyelidiki sampai perhitungan energy molekul. Kita hanya

menjelaskan bahwa energy-energi tersebut dibatasi sebagai energy dalam per satuan

unit massa dari elemen fluida, yang dinotasikan dengan i . Di satu sisi yang lain, energi

kinetik dapat dihitung dengan memperhatikan semua komponen kecepatan. Energy

kinetic di sini adalah per satuan massa V2 /2 di mana V

2=u2+v2+w2. Menggunakan

penjelasan-penjelasan ini, laju perubahan energy dalam elemen fluida dapat dihitung

dengan persamaan berikut,

E=ρ DDt (i+V

2

2 )δxδyδzMensubtitusikan persamaan yang dijabarkan di atas ke persamaan 31 kita mendapatkan

bentuk umum persamaan energy,

ρ DDt (i+V

2

2 )=ρ q+∂∂ x (k ∂T

∂ x )+∂∂ y (k ∂T

∂ y )+∂∂ z (k ∂T

∂ z )−∇⋅( pV )+

∂∂ x (uσ xx+vτxy+wτ xz )+∂

∂ y (uτ yx+vσ yy+wτ yz )+∂∂ z (uτ zx+vτ zy+wσ zz )+ρf⋅V

Persamaan ini dikenal

4.