ch 31 - 140.130.15.232

CH 31

像與光學

儀器

1

歐亞書局第 31 章像與光學儀器

目錄

31.1 面鏡成像

32.2 透鏡成像

32.3 透鏡內部之折射：細節的部分

31.4 光學儀器

2

歐亞書局第 31 章像與光學儀器 P.

31.1 面鏡成像

顯微鏡、望遠鏡、照相機、隱形眼鏡、掃描器以

及你的眼睛，都是利用反射或折射來成像（image

）而提供現實世界的視覺呈現。

有些狀況中，光確實從像進入我們的眼睛，這樣

的像稱為實像（real image）；而其它的情形則是

，光看起來有如從像位置出來，則該像稱為虛像

（virtual image）。

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31.1 面鏡成像

平面鏡

圖 31.1a 顯示從箭頭尖

端離開的三道光線。

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549


31.1 面鏡成像

圖 31.1b 重複了成像定

位的過程，這次用的

是垂直反射的光線，

同樣的方法可以找到

箭號的底端，因此箭

頭與底端的連線即為

完整的箭號，成像結

果如圖 31.1b 所示。

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31.1 面鏡成像

在平面鏡中的像，保

有物體的高度以及垂

直向上的取向，但所

成的像與物體是相向

的。這個前後反向使

得右手的像看起來為

左手（圖 31.2）。

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550


31.1 面鏡成像

曲面鏡

最佳曲面鏡為拋物面，

是因所有平行拋物線軸

直線與拋物線之法線所

夾之角，與另一條連接

特定點之直線與法線所

夾的角相等，此特定點

稱焦點（focus 或 focal

point）（圖 31.3）。

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31.1 面鏡成像

由於球面的製作比較容易，所以事實上有很多聚

焦的鏡子為球面的形狀，由此而產生的輕微變形

，稱為球面像差（spherical aberration），著名的

例子為哈伯太空望遠鏡的面鏡，由於該面鏡磨成

不正確的曲面而造成了相當大的像差（圖 31.4）

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31.1 面鏡成像

正常來說，使面鏡成為整個球面中的一小部分可

以將球面像差減至最小，在此狀況下，焦距（

focal length）亦即鏡頂到焦點的距離會遠大於面

鏡的尺寸，因此大部分入射於面鏡的光線幾乎與

鏡軸平行，也只有這樣的近軸光線（paraxial ray

）才能使近似拋物面的球面具有精確的聚焦，但

為了清楚起見，所畫的面鏡圖通常會具有誇大的

曲率，因此並非所有光線都呈現近軸的情形。

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31.1 面鏡成像

在圖 31.6a 中我們看到

物體位於面鏡曲率中

心 C 的後方，形成倒

立縮小的像，光確實

從此像出來，因此為

實像。

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31.1 面鏡成像

如果從圖 31.6a 之面鏡

左方朝面鏡觀看，會

看到像顯現於鏡子前

方的空間（圖 31.7）

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31.1 面鏡成像

隨著物體往前移動比

較靠近面鏡時，實像

逐漸變大，當物體位

於曲率中心與焦點之

間時，像比物體大並

且更為遠離面鏡（圖

31.6b）。

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31.1 面鏡成像

當來自物體的光線比焦

點還靠近面鏡時，光線

在反射後發散開來，對

觀察者而言，這兩條光

線有如從鏡後的某個點

發出，因此為虛像，在

此情形為放大正立的像

（圖31.6c）。

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31.1 面鏡成像

凸面鏡

凸面鏡在球形曲面的

外側上反射光線，由

於造成光線發散因此

只形成虛像（圖 31.8

）。

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551


31.1 面鏡成像

在各種需要將廣大區

域的像收錄於小空間

的狀況下（圖 31.9）

，凸面鏡便會派上用

場。

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31.1 面鏡成像

面鏡方程式

描繪光線圖可以對成像獲得直覺上的感受，而更

為準確的成像位置與大小則可由面鏡方程式（

mirror equation）求得，這是我們接下來要推導的

。這次將利用列於解題技巧 31.1 的特別光線 (1)

及 (3) 來找到像，圖 31.10a 呈現這兩道光線，光

線 (1) 平行於鏡軸，而光線 (3) 入射鏡心。

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31.1 面鏡成像

由於入射於鏡心的光線以對稱於鏡軸的方式反射

，因此兩個陰影的三角形相似，定義放大率（

magnification）M 為像高 h' 與物高 h 的比值，因

此放大率與像距（像與面鏡的距離）對物距（物

體與面鏡的距離）比相同，將倒立像的高度定義

為負值，因此從圖 31.10a 有

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552


31.1 面鏡成像

在這裡物體和像皆位於面鏡前方，因此物距 s 和

像距 s‘ 為正值，而方程式 31.1 中的負號表示此時

的情形為倒立的像。另外，從圖 31.10a 中物體的

位置也可以知道 |M| ＜ 1，這表示像為縮小而非放

大。

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552


31.1 面鏡成像

圖 31.10b 只顯示光線反射後通過焦點，除此之外

其餘都與圖 31.10a 相同，圖中也標示了焦距 f，

另外將另一對相似三角形以陰影表示，從圖中可

以得到 –h'/h = (s' – f )/f，這裡也將 h' 加上負號，

因為我們已經定義倒立像之 h' 為負值，而在比較

相似三角形的邊長時要取正。

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31.1 面鏡成像

方程式 31.1 顯示比值 h'/h 為放大率 M = –s'/s，因

此有 s'/s = (s' – f )/f，或將方程式兩邊同除以 s' 並

重新整理可以得到

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552


31.1 面鏡成像

雖然藉由實像來推導此面鏡方程式，它也適用於

虛像的情形，但規則是像位於面鏡後方時像距 s'

要取負。另外只要將焦距取負，則方程式也可以

處理凸面鏡的情形。表 31.1 總結了面鏡成像和符

號規則。

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31.1 面鏡成像

藉由與圖 31.10 相似但描繪通過曲率中心之光線

圖，可以求得曲面鏡另一個有用的性質：焦距長

度的大小為半徑的一半：

應用題第 30 題要證明上面的結果。

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例題 31.1 凹面鏡：哈伯太空望遠鏡

在組裝哈伯望遠鏡時，一位技術人員站在望遠鏡

之凹面鏡前方 3.85 m 處（圖 31.11），已知望遠

鏡的焦距為 5.52 m，求該技術人員像的 (a) 位置，

和 (b) 放大率。

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例31.1.pdf


例題 31.2 凸面鏡：侏羅紀公園

在電影侏羅紀公園中，當暴龍追逐汽車時，車內

驚嚇的乘客看著側面之後照凸面鏡，面鏡上印有

警告文字「鏡中所見物體比實際遠」。如果面鏡

的曲率半徑為 12 m，且暴龍與面鏡的實際距離為

9.0 m，求恐龍看起來的大小縮小為原來的幾倍？

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554

例31.2.pdf


31.2 透鏡成像

透鏡（lens）是一個利用折射成像之透明材質。就

如面鏡一樣，透鏡分為凹透鏡和凸透鏡，但不同

的是，光會通過透鏡而只會在面鏡上反射，因此

兩者互為相反。

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554


31.2 透鏡成像

凸透鏡將平行光線會

聚於焦點（focal point

），因此為會聚透鏡

（converging lens）（

圖 31.14）

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554


31.2 透鏡成像

凹透鏡為發散透鏡（

diverging lens），它將

平行光線折射使得平

行光線看起來有如從

共同的焦點發散出來

。如同凸面鏡一樣，

凹透鏡只會形成虛像

（圖 31.15）。

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554


31.2 透鏡成像

首先來探討薄透鏡（thin lens），是指透鏡之厚度相

對於兩個表面的曲率半徑來說相當小。雖然光進入透

鏡時發生折射，出去時又再次折射，但在薄透鏡的近

似條件下，由於兩個表面相當接近，因此可以將光視

為在通過透鏡之中央平面時只經歷了一次折射。與面

鏡情況不同的是，光可以從透鏡的兩邊進入而通過，

這表示透鏡具有兩個焦點，各自位於透鏡的一邊；對

薄透鏡而言，兩邊的焦距相同，所以透鏡的取向為何

並不重要。

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31.2 透鏡成像

描繪薄透鏡的成像

圖 31.17 顯示物體相對於會聚透鏡之不同位置所描繪

的光線，在圖 31.17a 中看到物體位於兩倍焦距外時，

在透鏡另一邊產生縮小倒立實像，由於光線確實從該

像發出，因此不需要藉由透鏡就可以看見像。

當物體往透鏡移動時，像則會遠離透鏡且變大，在物

與透鏡的距離為一至兩倍焦距之間時，像移到 2f 之外

且為放大的像（圖 31.17b）。

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31.2 透鏡成像

當物體移至焦點之內時，會產生放大虛像，但觀察者

只能藉由透鏡才看得到（圖 31.17c）。

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31.2 透鏡成像

圖 31.18 顯示發散透鏡

的光線描繪。如同凸面

鏡一樣，這個透鏡只能

產生縮小的正立虛像，

它也只能藉由透鏡才能

看見，而即使物體移動

至焦距之內也不會改變

圖 31.18 的基本幾何原

理。

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31.2 透鏡成像

量化的處理：透鏡方程式

從圖 31.19 可知三角形 OAB 和 IDB 為相似三角形

，因此如同面鏡一樣，像的放大率為

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31.2 透鏡成像

這裡也是一樣，高度為負代表倒立的像。圖 31.19

中兩個陰影三角形也是相似，因此 –h'/(s' – f ) =

h/f，將方程式 31.4 代入並整理方程式可得

這個結果與面鏡方程式 31.2 相同。

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31.2 透鏡成像

圖 31.20 以曲線圖的方式描述物體在不同位置之

成像的大小與類別。

雖然以實像的情形來推導方程式 31.5，它也適用

於虛像的狀況，但需要把像距定義為負，此時像

與物位於透鏡的同一側。表 31.2 中總結透鏡成像

情形，包括相關的符號規則在內。

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例題 31.3 使用透鏡方程式：小字體

你使用焦距 21 cm 的放大鏡（會聚透鏡）在讀電

話簿（圖 31.21），則你應將透鏡放在距離頁面多

遠才會看見放大三倍的字體？

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例31.3.pdf



曲面折射

圖 31.22 顯示一個透明材質其折射率為 n2 且曲面的半

徑為 R，材質外部為折射率 n1 的介質。

接下來要證明圖 31.22a 中所顯示者：點物體 O 所發

射出的光線在折射後聚焦於同一個像點 I。我們的證

明只在近軸的近似條件下才成立，亦即所有的光線與

光軸之夾角為很小，而與面鏡相同的是，在我們的圖

中不一定會把這些角度畫得很小。

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圖 31.22b 顯示了單一光線的折射情形，由於所有標示

的角度皆很小，因此可以取近似值 sin x ≌ tan x ≌ x，

其中 x 為弧度。

現在司乃耳定律 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 變成 n1 θ1 = n2 θ2。

從三角形 BCI 和 OBC 有 θ2 = β – γ 以及 θ1 = α + β，所

以司乃耳定律成為 n1(α + β) = n2(β – γ)。

另外，在小角度的近似下，弧度 BA 很接近直線，因

此有 α ≌ tan α ≌ BA/s，其中 s = OA 為物體與折射面

的距離。同樣地，β ≌ BA/R 以及 γ ≌ BA/s'。

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現在可以將司乃耳定律表為

在消去 BA 並重新整理後得到

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上面並沒有出現 α，這表示此物距和像距關係式

對所有滿足小角度之近似條件的光線皆成立，換

句話說，圖 31.22a 為正確：所有這樣的光線皆會

聚於同一個焦點 I。

方程式 31.6 雖然是從實像的情形所推導而來，但

如同前面所說的只要將像距取負，它也可以適用

於虛像的情況。如果把 R 取負，它也適用於凹面

的情形。甚至也可以取 R = ∞ 而應用於平面。

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例題 31.4 曲面折射：圓柱水族箱

直徑為 70.0 cm 的圓柱形水槽由塑膠薄壁所做成

，如果水槽內的魚與水槽壁的距離為 15.0 cm，對

在外面直接注視該魚的貓而言，魚的距離看起來

多遠？

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例31.4.pdf



厚透鏡和薄透鏡

圖 31.24 為厚度 t 以及折射率 n 的透鏡，置於 n =

1 的空氣中。物體 O1位於距離透鏡左表面為 s1 處

，該表面的成像為 I1，此像對右表面而言如同一

個物體，因此又稱為 O2，它在右表面的折射形成

第二個像 I2，要連結初始像 O1 與最終像 I2 的關係

。

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在左表面，方程式 31.6 中的物理量變成

由於 O1 的位置很接近透鏡，因此 I1 為虛像，亦

即 s‘1 為負值。

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現在再將方程式 31.6 應用到右表面，此時 I1 為物

體，其物距 s2 為 t – s'1，因為 s'1 為負。另外，在

右表面有 s' = s'2，n1 = n 以及 R = R2，其中 R2 為

負，因為在此情形下，右表面凹向要成像的物體

（I1, O2），所以方程式 31.6 應用在右表面為

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接下來令透鏡為無限薄以至於 t → 0，然後再將兩

方程式相加，則居於中間成像的項 n/s'1 消去，只

剩下第一個物距以及最後的像距，將下標 1 和 2

去除而得到

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此方程式的左邊與方程式 31.5 的右邊相同，而方

程式 31.5 的右邊為 1/f，因此令兩方程式的右邊相

等而得到焦距，這就是造鏡者公式（lensmaker's

formula）：

這裡仍然與前面相同，亦即半徑可以為正或負。

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對圖 31.24 而言，R1 為正，因為左表面凸向物體，而

R2 為負，因為右表面凹向物體，它也是中間像 I1。雖

然利用中間像為虛像的情形推導方程式 31.7，但對薄

透鏡焦距而言，造鏡者公式為一般性的結果。

透鏡具有各式各樣的形狀（圖 31.25），中間較厚者

為會聚透鏡，此時從方程式 31.7 可以得到正的焦距，

而中間較薄者為發散透鏡，則其焦距 f 為負。但如果

圍繞透鏡之介質的折射率大於透鏡，則這兩個結果會

反過來。

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例題 31.5 造鏡者公式：平凸透鏡

求圖 31.25 中平凸透鏡之焦距的關係式，已知其

折射率為 n，曲面的半徑為 R。

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例31.5.pdf



透鏡像差

透鏡展現了好幾個光

學缺陷。先前在面鏡

時已提過了球面像差

（spherical aberration

），這個相同的缺陷

在球面透鏡（圖

31.26a）也存在。

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560



如果只利用透鏡的中

央部分，則可以消除

具有較大角度的光線

（圖 31.26b），而得

到較清晰的聚焦。

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色像差（chromatic aberration）是因為折射率隨波

長而改變，導致不同顏色的光在不同點聚焦。高

品質的光學系統利用複合透鏡來將此效應降至最

小，此複合透鏡由具有不同折射率的材質所構成

。另外當透鏡在不同方向具有不同的曲率半徑時

，則形成像散（astigmatism），這是人眼常見的

缺陷（譯註：俗稱散光），可以用具有補償不對

稱曲度的眼鏡或隱形眼鏡進行矯正。

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560


31.4 光學儀器

眼睛

我們的眼睛為複雜的

光學系統，其中具好

幾個折射面以及用來

改變焦距與接收光量

的機制（圖 31.27）。

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560


31.4 光學儀器

近視的人其眼睛在視網

膜的前方成像，這使得

遠方的物體看起來模糊

（圖 31.28a），使用發

散的矯正透鏡可以產生

較近的中間像，因而使

近視眼睛可以聚焦（圖

31.28b）。

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560


31.4 光學儀器

對遠視的人而言，近物

在視網膜的後方成像，

會聚矯正透鏡可以改善

此狀況（圖 31.29）。即

使正常的眼睛，也無法

對於比所謂近點（near

point）還近許多之物體

聚焦，這個距離約 25

cm。

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560


31.4 光學儀器

處方上所開之矯正透鏡以折光度（diopter）指定

矯正率 P，折光度定義為焦距（以公尺為單位）

的倒數，因此折光度為 1 的透鏡其焦距為 f = 1 m

，而折光度為 2 則是 f = 0.5 m，後者使光線彎折

的程度較大因此矯正的效果也較大。就如同焦距 f

之正負號所代表的透鏡類別，矯正率為正或負的

透鏡分別代表會聚鏡片或發散鏡片（譯註：將折

光度乘以 100 即為我們所說的鏡片度數）。

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觀念題 31.1 弄亂的隱形眼鏡

你和你室友的拋棄式隱形眼鏡盒混在一起，其中

一盒標示「–1.75 折光度」，而另一盒為「+2.5

折光度」，你為遠視，你室友為近視，則哪一盒

隱形眼鏡是你的？

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562

觀31.1.pdf


例題 31.6 鏡片的矯正率：眼鏡遺失！

在渡假時你遺失了閱讀眼鏡，沒有它你的眼睛無

法對 70 cm 內的物體聚焦，還好你可以在藥房買

到非處方的眼鏡，所販賣的眼鏡度數以 0.25 折光

度的倍數增加，那你應該買什麼樣的眼鏡才能看

清楚標準為 25 cm 的近點？

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562

例31.6.pdf


31.4 光學儀器

照相機

相機與眼睛非常類似，差別只是電子偵測器或底片取

代了光感應視網膜。相對於眼睛改變水晶體的形狀以

因應不同的物距，相機則是移動其剛硬的透鏡來改變

像距。簡單的「傻瓜相機」利用紅外線光束來測定物

距，接著再自動調整鏡頭的位置以得到最佳的聚焦。

相機也依周遭的光照條件來調整透鏡的孔鏡與曝光時

間。放大鏡頭則利用可動元件來改變焦距，以得到廣

角以及遠距離的視野。

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562


31.4 光學儀器

放大鏡和顯微鏡

檢視非常小的物體時，需要將它們移到人眼無法聚焦

之 25 cm 近點以內的位置，然後再利用透鏡使它放大

而位於我們可以聚焦之較遠的距離。物體真實像的大

小並不重要，重要的是物體看起來有多大，而這取決

於它佔據了我們多少視野。角放大率（angular

magnification）m，為透過透鏡觀看物體之對角與肉眼

觀看位於 25 cm 近點之對角的比值。

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562


31.4 光學儀器

圖 31.30a 顯示後者之

對角（單位為弧度）

的近似值為 α = h/25

cm，其中 h 是物體高

度。

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562


31.4 光學儀器

當眼睛接近透鏡且物

體恰好位於焦距內時

我們看起來最舒適，

此時會在遠處形成一

個放大的虛像，圖

31.30b 顯示出此像角

非常接近 h/f 。

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562


31.4 光學儀器 72

因此角放大率為

563


31.4 光學儀器

單一透鏡在像差不影響成像品質前，可以產生大

約四倍的角放大率，要獲得更大的放大率需要利

用一個以上的透鏡。在複顯微鏡（compound

microscope）中，具有較短焦距的物鏡（objective

lens）先形成放大的實像，此像再透過第二個透鏡

也就是目鏡（eyepiece）來觀看，目鏡的功能即為

簡單的放大鏡（圖 31.31）

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563


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563


31.4 光學儀器

此顯微鏡的安排為所要觀看之物體恰好位於物鏡

的焦點外，而且其所形成的像恰好落在目鏡的焦

距內，如果兩個透鏡的焦距相較於透鏡間的距離

為很小，則物鏡的物距大約為物鏡的焦距 f0，且

最後的像距大約為兩透鏡的間隔 L。

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563


31.4 光學儀器

物鏡所成之實像比物體大，其放大倍率為像距和

物距的比值即 M0 = –L/f0，目鏡會使實像看起來更

大，放大率則是角放大率 m = 25 cm/fe，因此顯微

鏡的總放大率為

符號規則與前面相同，負號表示倒立的像。

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563


31.4 光學儀器

望遠鏡

望遠鏡收集遠方物體的光線，它可能用來成像或

將光傳送到儀器做分析。現代的天文儀器為不可

調整的反射望遠鏡（reflector），它利用面鏡作為

收集光的主要元件。小型手持的望遠鏡、雙筒望

遠鏡、攝遠鏡頭都是折射望遠鏡（refractor），它

們是利用透鏡來收集光線。

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31.4 光學儀器

簡單的折射望遠鏡由物鏡和目鏡所組成，物鏡將

遠物成像於焦點上，再以目鏡觀看該像（圖 31.32

）。由於物鏡與目鏡的焦點幾乎重合，因此在物

鏡焦點上的實像再透過目鏡來觀察時會形成放大

很多的虛像。角放大率為最後成像的對角 β 與實

際物體的對角 α 的比值，圖 31.32 顯示的比值為

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31.4 光學儀器

由於實像為倒立而虛像為正立，因此雙透鏡折射

望遠鏡會得到倒立的像，這對天文工作而言並沒

問題，但在地球上使用的望遠鏡會設計一個額外

的透鏡，它可以為發散目鏡或一組反射稜鏡，以

產生正立的像。

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564

564


31.4 光學儀器

反射望遠鏡比折射望遠鏡具更多的優點。由於面

鏡前表面具有反射鍍膜，因此光不會通過玻璃因

而消除了色像差，另外就是面鏡的整個背表面被

支撐起來，不像透鏡只能由邊緣固定，因此反射

望遠鏡可以相當大。最大的折射望遠鏡具有直徑

1 m 的透鏡，而大型反射望遠鏡可以達到 10m。

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564


31.4 光學儀器

更大的望遠鏡在進行中

，包括將建在智利的 24

m 巨型麥哲倫望遠鏡（

Giant Magellan Telescope

），計劃興建在夏威夷

毛納基山頂的 30 m 望遠

鏡（Thirty Meter

Telescope，圖 31.33）。

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564


31.4 光學儀器

望遠鏡更常被用來作為「光桶」，也就是用來收

集遙遠光源，但由於太過於微弱，即使今日的大

型光學望遠鏡也難以成像。因此要使用副鏡將光

線傳送至某焦點，以便讓固定在望遠鏡之儀器方

便做分析。另外還有用光纖來將主鏡所收集到的

光線傳送至固定的儀器。圖 31.34 顯示反射望遠

鏡常見的三種設計。

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