LFM – Mathématiques Lycée – Classe de 2nde

1

Ch 6 Géométrie analytique 1°/ Coordonnées de points du plan 2°/ Configuration du plan

1°/ Coordonnées de points du plan

1.1 Repère et coordonnées Les différents types de repère Un repère orthonormé (orthonormal) du plan est défini par 3 points O, I, J tels que OIJ est un triangle rectangle et isocèle en O. Il est noté (O,I,J) ou (𝑂; 𝚤; 𝚥) avec 𝚤 = 𝑂𝐼    𝑒𝑡    𝚥 = 𝑂𝐽 sont les vecteurs unitaires Si la maille est rectangle, on dira que le repère (O,I,J) est orthogonal. Si la maille est en losange, on dira que le repère est normé. Propriété : Dans un repère orthonormé, tout point M du plan est repéré par un unique couple ( xM ; yM ) de réels, appelé les coordonnées de M.

xM est l’abscisse de M, et yM est l’ordonnée de M.

1.2 Coordonnées du milieu d’un segment Propriété : Dans un repère orthonormé, A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) sont deux points. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ( xI ; yI ) avec : xI = ______________ et : yI = _____________ Démonstration :

LFM – Mathématiques Lycée – Classe de 2nde

2

1.3 Distance entre deux points dans un repère orthonormé Propriété : Dans un repère orthonormé, A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) sont deux points. La distance entre les points A et B est : AB =

€

−( )2

+ −( )2

Démonstratinon :

Application : utilisation des formules précédentes Soit les points A( - 2 ; - 3 ), B( 3 ; 7 ) et M, le milieu du segment [AB]. a) Calculer les coordonnées de M. b) Calculer AB.

2°/ Configuration du plan

2.1 Triangles  

isocèle rectangle équilatéral 2 côtés de même longueur 1 angle droit 3 côtés de même longueur et 3

angles à 60° Théorème de Pythagore, contraposée et réciproque

a. Le  triangle  ABC  est  rectangle  en  A,    donc, d’après le théorème de Pythagore, 𝐵𝐶! = 𝐴𝐵! + 𝐴𝐶! 𝐵𝐶! = 4! + 6! 𝐵𝐶! = 16+ 36 𝐵𝐶! = 52 BC est une longueur, donc BC>0, donc 𝐵𝐶 = 52 = 2 13 (valeur exacte)

LFM – Mathématiques Lycée – Classe de 2nde

3

b. Soient les points M, N et P tels que PN=5, MN=6 et PM=2 3. Le triangle MNP est-il rectangle ? Si le triangle est rectangle, il le sera en P (car MN est la plus grande longueur). 𝑃𝑁! = 25, 𝑀𝑁! = 36, 𝑃𝑀! = 12. 𝑃𝑁! + 𝑃𝑀! = 25+ 12 = 37 Or 37 ≠ 36 𝑀𝑁! ≠ 𝑃𝑁! + 𝑃𝑀! Donc, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle MNP n’est pas rectangle. Attention, quand l’égalité est vérifiée, on utilise la réciproque du théorème.  

  2.2 Cercle  et  triangle  rectangle   ABC est inscrit dans le cercle de diamètre 𝐵𝐶 , ou encore 𝒞 est le cercle circonscrit au triangle ABC. Propriété : Soit un triangle ABC et un cercle 𝒞 de diamètre 𝐵𝐶 . Si  𝐴 ∈ 𝒞, distinct de B et de C, alors le triangle ABC est rectangle en A. Réciproque : Si ABC est un triangle rectangle, alors 𝐴 ∈ 𝒞, où 𝒞 est le cercle de diamètre 𝐵𝐶 . 2.3 Droites  remarquables  (voir  page  249)   2.4 Théorème  de  Thalès,  contraposée  et  réciproque   Soient A, B et C trois points alignés et A, B’ et C’ trois autres points alignés dans le même ordre.

• Théorème  de  Thalès  (pour  calculer  une  longueur)   Si (BB’)//(CC’), alors !"

!"= !!!

!!!= !!!

!!!

• Contraposée  du  théorème  de  Thalès  (pour  démontrer  que  deux  droites  sont  sécantes)  

Si !"!"≠ !!!

!!! alors les droites (BB’) et (CC’) sont sécantes (ou ne sont pas parallèles).

• Réciproque  du  théorème  de  Thalès  (pour  démontrer  une  hypothèse  de  parallélisme)    

On calcule séparément !"!"

et !!!

!!!.

Si !"!"= !!!

!!! alors (BB’) et (CC’) sont parallèles.