Ch7 Two-way ANOVA

16111

771146

남

아침 점심

31164

저녁

• One-way ANOVA: 3개 이상의population의 평균을 비교하는 방법

03755

00050

02003

여• Two-way ANOVA: 둘 이상의independent variable일 경우

시간

성별

03755

00050

02003

• Two-way ANOVA: 둘 이상의independent variable일 경우

Factor: independent variable의 또다른 표현Level: 실험단위에 가해지는 특정 조건Cell: 한 factor의 level과 다른 factor의 level과의 조합Factorial design: 모든 요인의 모든 수준이 다른 모든 요인의 모든 수준과 쌍을 이루는 실험설계

용어 정리

Factorial design

장점

• 결과의 일반화 가능성을 제공

• Variable간의 interaction을 알 수 있음

• 경제성

* Factorial design은 수반되는 factor의 수에 의해서 이름이 붙는다.

ex) factor: 2 à two-way factorial designex) level: 2, 3à 2 X 3 factorial design

장점

• 결과의 일반화 가능성을 제공

• Variable간의 interaction을 알 수 있음

• 경제성

* Factorial design은 수반되는 factor의 수에 의해서 이름이 붙는다.

ex) factor: 2 à two-way factorial designex) level: 2, 3à 2 X 3 factorial design

Main effect

• Factor: 2가지(시간, 성별)

• 특정한 시간을 무시하고 남자와여자의 차이만을 본다면 성별의main effect를 다루는 것

• 성별을 무시하고 아침, 점심, 저녁의 차이만을 본다면 시간의main effect를 다루는 것

16111

771146

남

아침 점심

31164

저녁

03755

00050

02003

시간

성별

-2

0

2

4

6

8

10

Time

Men Women

• Factor: 2가지(시간, 성별)

• 특정한 시간을 무시하고 남자와여자의 차이만을 본다면 성별의main effect를 다루는 것

• 성별을 무시하고 아침, 점심, 저녁의 차이만을 본다면 시간의main effect를 다루는 것

Main effect: 다른 Factor의 모든 level에 걸쳐서 평균한 한 Factor의 효과

용어 정리

03755

00050

02003

여-2

0

2

4

6

8

10

Time

Men Women

One-way ANOVA

1H0 1 2 3:H m m m= =

: 적어도 한 그룹의 평균은 다르다.1611103755

77114600050

3116402003

저녁아침 점심

k=3

Between-group variability 그룹간 varianceWithin-group variability 우연에 의한 variance=f =

//

b b b

w w w

SS df MSSS df MS

= =

남

여10 1.178.52

= =

1611103755

77114600050

3116402003=20=2

=40=4

=30=31X 2X 3X1T 2T 3T

G=90N=30=3G

//

b b b

w w w

SS df MSSS df MS

= =

( )2 ( 1)

( )

k

k

n X G k

SS N k

- -=

-

å

åANOV A

variable

20.000 2 10.000 1.174 .324

230.000 27 8.519

250.000 29

Between Groups

Within Groups

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

여10 1.178.52

= =

Two-way ANOVA(main effect)

• 시간의 main effect16111

771146

남

아침 점심31164

저녁

03755

00050

02003

시간 B

성별 A

nA=15=60=41AA

=10=2=20XT

SS

=35=7=26XT

SS

=15=3=18XT

SS

1H0 1 2 3:H m m m= =

: 적어도 한 그룹의 평균은 다르다.

Between-group variability 그룹간 varianceWithin-group variability 우연에 의한 variance=f =

//

B B B

w w w

SS df MSSS df MS

= = 10 25

= =

• 시간의 main effect

nA=15=30=2

03755

00050

02003

여 2AA

B1B 2B 3BB B

nB=10=30=3

G=90N=30=3G

=5=1=8XT

SS

=5=1=20XT

SS

=20=4=28XT

SS

nB=10=40=4

nB=10=20=2

//

B B B

w w w

SS df MSSS df MS

= = 10 25

= =

2( ) ( 1)

( )

k

k

n X G k

SS N pq

- -=

-

å

å

Result

1611103755

77114600050

3116402003

저녁아침 점심

• 시간의 main effect

à Factor B(Time)가 유의한 효과를 가지고 있지 않음

• 성별의 main effect

à 표본간 차이가 우연에 의한 것보다 유의하게 큼

à Factor A(Gender)가 유의한 효과를 가지고 있음

f 10 25

= =//

B B B

w w w

SS df MSSS df MS

= = 3.4<

1611103755

77114600050

3116402003

1 7 36 7 11 11 11 4 61 6 4

남

0 0 03 0 27 0 05 5 05 0 3

여

• 시간의 main effect

à Factor B(Time)가 유의한 효과를 가지고 있지 않음

• 성별의 main effect

à 표본간 차이가 우연에 의한 것보다 유의하게 큼

à Factor A(Gender)가 유의한 효과를 가지고 있음

/ 30 6/ 5

A A A

w w w

SS df MSfSS df MS

= = = = 4.26>

수표

Interaction• Variable간의 interaction을 알 수 있음

– A1에서 B1과 B2간의 차이(factor B의 효과)는 A2나 A3에서 동일함

– 선들이 평행하지 않을 때는 interaction이 있음

1 2 30

1

2

3

1 2 30

1

2

3

4

1 2 3-1

0

1

2

3

4

Interaction 없음

Cell 평균

A1 A2 A3

B1

B2

• Variable간의 interaction을 알 수 있음

– A1에서 B1과 B2간의 차이(factor B의 효과)는 A2나 A3에서 동일함

– 선들이 평행하지 않을 때는 interaction이 있음

1 2 3-1

0

1

2

3

4

1 2 3-1

0

1

2

3

4

1 2 3-1

0

1

2

3

4

Interaction 있음

Cell 평균

Interaction 없음A1 A2 A3

Interaction

-2

0

2

4

6

8

10

Time

Men Women

40 85

A B

w

MSfMS

´= = = 3.4>

interaction variabilityWithin-group variability

interaction에 의한 variance우연에 의한 variance=

f =

-2

0

2

4

6

8

10

Time

Men Women

아침 점심 저녁à시간과 성별에 대한 f 값이

Critical value보다 큼

à 시간과 성별간에 유의한interaction이 있음을 의미함

b A B A BSS SS SS SS ´= + +

Time(B)에 의한 차이

Gender(A)에 의한 차이 Gender와 Time의interaction에 의

한 차이

각 cell평균들의 차이

Simple effect

16111

771146

남

아침 점심

31164

저녁

03755

00050

02003

여

시간

성별

• Factor: 2가지(시간, 성별)

• 남자에게서 아침,점심,저녁에대한 차이를 봄

03755

00050

02003

여

Simple effect: 다른 Factor의 한 level에서 한 Factor의 효과

용어 정리

Result

16111

771146

남

아침 점심

31164

저녁

03755

00050

02003

여

시간 (B)

성별(A)

=4A

=2A

=2X =7X =3X

( )2jB MSS n X X= -å• 각 성별에서 시간조건

• 각 시간조건에서의 성별

2 2 25[(2 4) (7 4) (3 4) ] 70MSS = - + - + - =

30FSS =

10MSS =

03755

00050

02003

=3GB=2B=4B=3

=1X=1X=4X10MSS =90LSS =10ESS =

Variance df SS MS FTime남자,시간 2 70 35 3.5 여자,시간 2 30 15 1.5

Gender아침,성별 1 10 10 1점심,성별 1 90 90 9저녁,성별 1 10 10 1

오차 30 300 10

* >3.32<3.32

<4.17* >4.17

<4.17

Effect size

• Factorial design에서 factor들이 가지고 있는 효과의 강도를 추정하는 방법

• 하나의 Factor가 하나의 dependent variable과 어느 정도의 관계가 있느냐

2 30 0.12250

AA

t

SSSS

h = = = à성별에 의한 차이가 variance의 12%

à시간에 의한 차이가 variance의 8%

à성별과 시간의 interaction에 의한 차이가variance의 32%

à나머지 52%의 variance는 오차

2 20 0.08250Bh = =

2 80 0.32250A Bh ´ = =

2 30 0.12250

AA

t

SSSS

h = = = à성별에 의한 차이가 variance의 12%

à시간에 의한 차이가 variance의 8%

à성별과 시간의 interaction에 의한 차이가variance의 32%

à나머지 52%의 variance는 오차

Effect size

2 ( 1)( 1) 80 10 0.27255

A B wA B

t w

SS p q MSSS MS

w ´´

- - - -= = =

+

2 ( 1) 20 10 0.04255

B wB

t w

SS q MSSS MS

w - - -= = =

+

2 ( 1) 30 5 0.10250 5

A wA

t w

SS p MSSS MS

w - - -= = =

+ +

3 2 0.455

m eX Xds- -

= = =

4 2 0.895

m wX Xds- -

= = =

2 ( 1)( 1) 80 10 0.27255

A B wA B

t w

SS p q MSSS MS

w ´´

- - - -= = =

+

d=집단간의 차이

집단내의 표준편차

• 두 집단 또는 집단들의 부분집합의 비교를 위한 effect size

SPSS2

3

1

3

SPSS_ResultBetween-Subjects Factors

10

10

10

15

15

1.00

2.00

3.00

Time

1.00

2.00

Gender

N

Descriptive Sta tistics

Dependent Variable: message

2.0000 2.23607 5

4.0000 2.64575 5

3.0000 2.53859 10

7.0000 2.54951 5

Gender1.00

2.00

Total

1.00

Time1.00

2.00

Mean Std. Deviation N

Tes t s of Between-Subject s Ef fects

Dependent V ariable: message

130.000a 5 26.000 5.200 .002

270.000 1 270.000 54.000 .000

SourceCorrected Model

Intercept

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

• Time: 유의한 효과를 가지고 있지 않음• Gender: Sig. 0.022<0.05

유의한 효과를 가지고 있음• Time*Gender(interaction): 시간과 성별간에 유의한 interaction이 있음

7.0000 2.54951 5

1.0000 2.23607 5

4.0000 3.88730 10

3.0000 2.12132 5

1.0000 1.41421 5

2.0000 2.00000 10

4.0000 3.09377 15

2.0000 2.47848 15

3.0000 2.93610 30

1.00

2.00

Total

1.00

2.00

Total

1.00

2.00

Total

2.00

3.00

Total

270.000 1 270.000 54.000 .000

20.000 2 10.000 2.000 .157

30.000 1 30.000 6.000 .022

80.000 2 40.000 8.000 .002

120.000 24 5.000

520.000 30

250.000 29

Intercept

Time

Gender

Time * Gender

Error

Total

Corrected Total

R Squared = .520 (Adjusted R Squared = .420)a.