chacin diseño y analisis de experimentos

CONTENIDO

CAPÍTULO 1

. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN 13De6n.iciones •.....••.•............................ 13

CAPITULO 2

PRINCIPIOS BASICOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL 21Alearorizaci6n 21Replicacion ..•....................................................................................... 22Control I..ocal...........•................................................................•......... 23Definiciones Básicas 23Trawniento 23UnidadExperimental ......•................................. :.L. 24Tamaño y Forma de la Unidad Experimental 25Arreglo y Número de Bloques ......•....................................................•. 27Efecto de Competencia y Bordura 28Clasificaci6n de lasObservaciones 29Ventajas y Desventajas de los ExperimentosDiseñados Estadisticamente 31

CAPITULO 3

ANÁLISIS DE VARIANZA 33Supuestos Básicosen el Análisisde Varianza ...............................•......... 33Supuesto de Normalidad .•....•...................•......................................... 35Prueba de Ji Cuadrado de Bondad de Ajuste 36Prueba de Wtlk y Shapiro ................................................................•.•. 37Supuesto de Aditividad .........................................................•...••........ 39Homogeneidad de Varianzas ......................................................•........ 41Pruebas Gráfica;·.deHomogeneidad de Varianzas ..................••........... 42Selección de una Transformaci6n Estabilizadora de Varianzas 45

Ejemplo del Uso de Transformaciones Estabilizadorasde la Varianz:a .••••...•..•..•.•..•...................................•.............................. 46Pruebas Analíticas de Homogeneidad de Varianzas 50Prueba de Barlett ..••....•.•..........................•...........•............................... 50Prueba de Cochran ~....•.......................................... 57Prueba de Pearson y Hanley ........................•....................................... 57

-CAPITULO 4

DISEÑO EXPERIMENTAL COMPLETAMENTEALEA TORIZADO 59

Ventajas del Diseño experimental Completamente Aleatorizado 59Desventajas del Diseño experimental Completamente Aleatorizado 60El modelo lineal aditivo 60Análisis de Varianza .•.•......•......•..............•..•......................................... 61Esperanza de los Cuadrados Medios : 68Formulación del Modelo Tipo 1(Efectos Fijos) 73Modelo Tipo II (Efectos Aleatorios) 74Ejemplo Ilustrativo .........•............................•.•..................................... 76Diseño Completamente Aleatorizado con subunidadesen las unidades experimentales .....•.............•.•....................................... 82Ejemplo Ilustrativo ..........•...........•.•..................................................... 84

CAPITULO S

DISEÑO EXPERIMENTAL EN BLOQUES ALEA TORIOS OBLOQUES AL AZ.AF.. 91

Introducción .•..................................................................................... 91D· . ., Experim tal 9~1SpOslcon en ..............•............... ....•......•....... LVentajas y desventajas del Diseño experimental en Bloques al azar 93Modelo Lineal en el Diseño en Bloques al Azar 93EfeCto del tratamiento y bloques fijos ......••..•......•....••.......................... 94Esperanza y Varianza de y 96Efecto del tratamiento y bloques aleatorios ••.....••.•.•..•.......................... 98Ejemplo Ilustrativo .........•.............. :•..•..........•...................................... 106~iseño en Bloq~es al azar c~n SubmuestreO 112Ejemplo Ilustrativo 115

CAPITULO 6

DISEÑO DE EXPERIMENfOS CUADRADO LATINO ••.•..••.••••••••••U1

In.tJOOlICCión .........................•......................•......•........... ~.............•..... 121Vencajas y desventajas del Diseño experimental Cuadrado Latino •••••••••121Modelo Lineal Aditivo •.....•..•...••••....••.••••..••..•......•.......•...........•.•..••••••122Supuestos e Hipótesis bajo efecto de Tratamiento Fijo •...................•••.. IDSupuestos e Hipótesis bajo efecto de Tratamiento Aleatorio •....•••.•••••...U4Ejemplo Ilustrativo ••.•...••...~....••••......•••••••..••.............................••••.•.•••. 126Diseño Cuadrado Latino con Submuestreo ••...•..........•.............••.•••••••. 132

CAPITULO 7

COMPARACIONES DE MEDIAS. PRUEBAS DE RANGOMULTIPLE. TEORIA~ICA y APllcACIONES 137

Introducción .........................•.....•....................................................•.. 137Supuestos y Condiciones para la aplicación de las Pruebasde Rango Múltiple .............•..•. :.••.••..................................................•.... 138Clasificación de las Pruebas de Rango Múltiple ............•...................•.•. 139De acuerdo a su naturaleza :..................................................•..• 139Prueba de efectos sugeridos por los datos .......................................•... 140De acuerdo a las comparaciones de interés 141Desarrollo de las Pruebas •.......•................. : 142Contraste 142Método de Scheffé para comparar todos los contrastes ..................•...• 145Prueba de las Mínimas Diferencias Significativas 146Prueba de Student - Newman - Keuls 149Prueba de Rangos Múltiples de Duncan ............................................•.. 150PruebadeTukey ....•..........................•...........................................•..•••. 151Prueba de Dunnett para la comparación de todas las mediascon un control ......•...................................................................•.........• 152Prueba de Gabriel .........................................................................•.•... 155Prueba t de Razón Bayesiana de Waller - Duncan .........................••..••.. 156Ejemplo Ilustrativo ...........••..........•........•.................................•.......•••. 157

CAPITULO S

EXPERTh1ENfC>S FACfORIALES ..........................•........................•.... 169

Introducci6n ........................................................•..•............................ 169Factores, Niveles, Clasificaci6n de los Factores 170Efectos Simples, Efectos Principales, Interacci6n 172

' ...Caso de tres Factores a dos-niveles .........•......................................••.... 177.:.' Caso General de varios Factores a dos niveles ...............................•..... 180."Ventajas de los Factoriales ..................................................................••. 182.Factores a tresruveles' 184Dos factores a tres niveles 186Experimentos Factoriales 21t ••••• _ •••••.•••••.••..•••••••••••••••••.••••••••••••••••.•• __ ••_ ••••.•••••••• __ ••• _ ••_ 197lt.xperimentos Factoriales 3k ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 210

CAPITULO 9

REGLAS PARA LA ESPERANZA DE LOS CUADRADOSMEDIOS 221

Regla 1 221Regla 2 ......................................................................•......................... 221Ejemplos ..................................................................•......................... 224

CAPITULO 10

EXPERIMENfOS FACTORIALES CONFUNDIDOS 227

Introducci6n 227Sistemas Confundidos 227Experimentos Factoriales 23 _ ••_ ...••...............•.. __ .._ _ .._ 229Composici6n de los Bloques bajo determinado esquemade confusión 230Teorema de Fisher ...............................................•.....•.....•................... 231Confusi6n Parcial 236Esquema de Confusi6n Parcial para un Factorial Z' 237'Ejemplo Ilustrativo de un Factorial con Confusi6n Parcial 239Ejemplo Ilustrativo de un Experimento Factorial Confundido 23_ ..•_._. 244Confusi6n para el Diseño Factorial P _ _ 251

Método dé Kempthome 253Pactorial Se.S« P''dondep es un número primo 264

CAPITULO 11

EXPERIMENTOS FACfORIALES CONEFECfOS PRINCIPALESCONFUNDIDOS PARCELAS DIVIDIDAS : 275

Introducción :...........................•....................... 275Ventajas del Diseño en Parcelas Divididas 276Desventajas del Diseño en Parcelas Divididas 276A l· ., del Al .., disefp icacion a eatonzacion en este no 276Análisis de Varianza , 277Modelo Matemático y Esperanzas de los Cuadrados Medios 282Ejemplo Ilustrativo 288Diseño en Franjas o Diseño en Bloques Divididos 293Modelo Matemático y Esperanza de los CuadradosMedios ...............• 295Ejemplo Ilustrativo ....•..................................•...... : : 299

CAPITULO 12

ANALISIS DE REGRESION 303

Definición de Regresión r-- ~.:l.; 303Modelo de Regresión Lineal Simple ......•.............................................. 303Distribución Probabilística de Yi 304Método de los Mínimos Cuadrados 304

Distribución Probabilística de ~I' ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••:.~••••••...•••.••308· -.

Distribución Probabilística de ~ o ..•••••••••••••••.•..•...••••••..•••..•......•••........ 309

DistribuciónProbabilísticade y 310Pruebas de Hipótesis 311Intérvalos de Confianza 313 ,Análisis de la Varianza 314 'EnformaMatricial : 315Bondad de Ajuste •............................................................................... 317Determinación del Modelo 318Modelo de Regresión Lineal Múltiple 321

· Descripci6n de.los Datos y del Modelo .....................•....•.................... 323Supuestos del Modelo Poblacional ................••.....••.............................. 325Método de los mínimos cuadrados 326Prueba de hip6tesis en el Modelo de Regresión 331Estimador de S2 . ._. __ .._ __.335UsoS de la Ecuaci6n de Regresi6n ..............•...............................•......... 337Criterios para seleccionar Ecuaciones de Regresión 338Ejemplo ilustrativo de RegreSi6n Múltiple 341Ejeniplo Ilustrativo de Regresi6n con MatriceS ...•........•..... : 348

CAPITULOt3

ANAI.lSISDE COY ARIANZA 359

IntrÓducci6n ....................•.....................•...•................................... :.... 359Mc;xJeloy Supuestos del Análisis .•..••...........•................•••...................... 360Ejemplo de Análisis de Covarianza en DiseñosCompletimente Aleatorizados ..•.......•.........................•........................ 361Ejemplo de Análisis de Covarianza en Diseñosen Bloques Aleatorios ....•.••••.....•...............•..............•.•.•....................... 367Ejemplo de Análisis de Covarianza en DiseñosCuadrados Latinos .•.........•.•.•.•.•••................•.....•......•..•................•.•...... 373Técnica para la Parcela Faltante 377Ejemplo Práctico sobre Técnicas para la Parcela Faltante •.................... 379Aplicación de la Covarianza en la estimaci6nde Datos Faltantes .......•...•.........•.................. ~.... ;.....•.••........................ 381

\

REFERENCIAs BffiUOGRAFICAS ~..•...•..................... 385

.ANEXOS ~ 389

ACERCA DEL AUTOR

El Doctor Franklin Chacín Lugo, graduado de Ingeniero Agrónomo, esun destacado investigador en el área de los Métodos Estadísticos aplicados a laAgronomía y en general a la Biología. Inició su preparación siendo estudianteuniversitario yen proceso de superación continua en esta disciplina. Ha transcurridosu vida profesional como Profesor de Postgrado de Estadística, CoordinadorGeneral de Investigación y Decano de la Facultad de Agronomía de la UniversidadCentral de Venezuela. Cuenta con numerosos Trabajos de Investigación comoautor y como coautor en la formación de alumnos de Pregrado y Postgrado.

En 1998 publica el texto Análisis de Regresión y Superficie de Respuesta,producto de su amplia experiencia como docente investigador y asesor; y basadoen su Trabajo de Ascenso a Profesor Titular, titulado" Análisis de Regresión ySuperficie de Respuesta".

Esta nueva obra "Diseño y Análisis de Experimentos" es un aporte quecontribuye a la mejor formación de nuestros docentes e investigadores, deestudiantes y de profesionales vinculados a la aplicación de los Estudios Estadísticos.

Margarita Coba

Capitulol

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

DEFINICIONES

-Ciencia: Es un creciente cuerpo de ideas organizadas en un sistema de

conocimientos caracterizadocomo racional, sistemático,exacto,verificable y falible.

Conocimiento Científico: Es un sistema de ideas establecido provi-sionaJ~

II;lvestigaci6n Científi~: Es la actividad que procura el conocimientoobjetivo (hechos) o de entes ideales (abstractos e 4tterpretados) que solo existenen la mente humana. Laciencia aplicada al mejoramiento de nuestro mundo na-.~ y artificial, a la ~versi6n de bienes materiales ~cu1turales se conviene entecnolog(a. La ciencia como creadora del mundo 4'e, la cultura es un sistema deideas establecidas provisionalmente (conocimiento científico) y como actividadesproductora de nuevos conocimientos (mvestigaci6n científica).

".

Ciencias Formales o Ideales: Es un conocimiento racional, sistemático yverificable, pero no esobjetivo, no dan informaci6n de la realidad. La,16gica, lamatemática, entre otras, establecen contacto con la realidad a través del lenguajeordinario y cientffico. .

Ciencias Deductivas: Las Ciencias Fácticas o materiales se ocupan de loshechos usando un conocimiento racional yobjetivo. Usan los procesos inductivoso deductivos. Entre ellas se encuentran las Ciencias de la Salud Yde la Sociedad.

Caracterfsticas de las Ciencias Fácticas: Secaracterizan por lo siguiente:

- El conocimiento científico es fáctico, esto es, está basado en hechos.-El conoé{miemo científico trasciende los hechos y crea nuevos hechos,-La ciencia es anaUtica, esto es, se descompone en elementos.

13

Dr. Franklin Chacin

- La investigaci6n científica es eSpecializada

- El conocimiento científico es sistemático.

- El conocimiento científico es general. .

- El conocimiento cieiltÍfico es legal.

- El conocimiento cienmico es predictivo.

- La ciencia es explicativa.

- La ciencia es abierta.

- La ciencia es útil.

La tecnología. no es solo una aplicaci6n del conocimiento' científico aproblemas prácticos, es el enfoque científico de los problemas prácticos. Todoavance tecnol6gico plantea problemas científicos.

Métodos de Ciencia: Son familia de-métodos, cada unódelos cualesdifiere de acuerdo a la materia invohicrada, a la medida; dei féii(>rrieno y laexperimentaci6n u observaciones repetidas. Entre los métodos de iá Ciencia seincluye el estudio de la hipótesis científica, la inducción, además deteórtas, leyes ymétodos de explicici6n.· , . , .

l'0.,

El Método Científico: Se aplica en, la Ciencia no experimental,observacional y teórica así como también en la Ciencia Experimental.

. T.

Métodos de Inv~igaci6n: I .

1.- Existen métodos l6gicos o generales aplicados a todos los campos de lainv.estigaci6n. Entre ellos se encuentran: 1 , ,

. a.-El Método CieiÍtífico Inductivo -Deductivo. En él se siguen lossiguientes•• • " . '0" •••••

pasos:

- Recolecci6n de los h~chos por observación o experimentaci~~. .

- ForÍnulaci6rl de lás hipótesis que expliquen los ~os e~'~términos de causas y efectos. . f;',

- Deducciones de la hipótesis,,l'

14

Di5effoy Análi5i5 de Experimento5 I

- Verificación de las deducciones por nuevas observaciones onuevos experimentos.

b.- El Método Empírico.

c.- El Método Experimental.

d.- El Estudio de Casos.

e.- El Método de Encuesta.

f.- El Método Estadístico.

g.- El Método Histórico.

h:- El Método Sintético.

2.- Métodos Especiales o técnicos.

Hipótesis: Es la explicación lógica o supuesto sobre algunos hechos queparten de las observaciones que son de nuestro interés. La hipótesis puede serestablecida como ecuación matemática y se denomina Modelo Matemático •.Cuando una hipótesis soporta un considerable número de pruebas que miden surespetabilidad es llamada-Teoría y cuando sobrevive.a un gran número deobservaciones se convierte en Ley,

, '

Predicción: es la conducción de un experimento en la imaginación; puedehacerse una predicción lógica de ciertas consecuencias de la hipótesis que bajocondiciones naturales específicas pueden ser observadas en caso de ser verdadera,pero no ha sido observada. (

El método científico aplicado a la comprobación de afirmacionesinformativas se reduce al método experimental. La experimentación involucra la~odificación deliberada de algunos factores, es decir, la sujeción del objeto deexperimentación a estímulos controlados. La astronomía no experimenta concuerpos celestes, pero es una ciencia empírica porque aplica el-métodoexperimental.

La esencia de Unexperimento 'eSque nos capacita para comparar los efectosde dos o más tratamientos sobre algunos atributos de plantas, animales u otromaterial experimental. '

15

Dr. Franklin Chacin

El Método Estadístico: Permite al investigador científico, planificar,analizar e interpretar los resultados de sus investigaciones, concluir y recomendar.

El método estadístico cuantifica las observaciones y sigue los siguientes pasos:

- Recolección y resumen de los datos.

- Diseño experimental ymuestreo.

- Medici6n de la magnitud de la variaci6nen datos experimentales.

- Estimación de los parámetros

- Prueba de hipótesis acerca de poblaciones.

- Relación de las variables.

La Estadistica es la ciencia que crea y desarrolla métodos para larecolección, organización, clasificación y análisis de datos a partir de muestrasevaluadas a la luz de la incertidumbre.

Métodos de la Ciencia No Experimental: El esquema para los procesosde la Ciencia no experimental (ej. astronomía, ecologia) es el siguiente:

METODO DE LA CIENCIA NO EXPERIMENTAL, (11Obl8fVacl6n bajO~ literaturacondiciona naturales (Ob•• 8 HipJ I---.- .... ---- .- .._---_ ...~.)

!~. (~.~(p6~~I~ .J (~=r

!_(31 P~~i6n J

II

•••~:~;.. (41 Obufyicl_ posterio •••.:~;~,.'bajo ·eoadlclontllltUraltl{,....;:: y compiracl6n con (1)_._. _. -_.._ .._.-._ .._ __ .. _ ..,.

16

Di!5eño y An41i!5i!5de Experimento!5 I

Métodos de la Ciencia Experimental El esquema para los procesos dela Ciencia experimental (ej.física, química) es el siguiente:

METODO DE LA CIENCIA EXPERIMENTAL(1) Observaci6n bajo ¡ Uteratura

condiciones naturales I (Obs. Hip.) •' •.._". --_.1' ..~ ._•...............__.¿

121HrL i ~Al:eptar I_______ 1 Rechazar I! __.._~_-J

.!

(3) Predicción J

!Disefto del experimento

(4) Observaciones experimentales i

·(ób.!B~~~~~~!9 cOnd{ci0I1t!~.c~~_~~~das) _;J;

Nuevos Problemas

Características de los métodos de la Ciencia: La matemática, la (astronomía y la física constituyeron en el pasado campos de útil solución deproblemas. En el resto de los diferentes campos se obtenían resultadosprovenientes de la experiencia y garantizados por su utilidad técnica.Posteriormente el método científico se aplicó y fue modificado en los campos dela química y de la biología y en la actualidad se aplica a los problemas de lasociedad o Ciencias de la Conducta Humana.

Existe la obligatoriedad en la preparación personal, para el pensamientocientÍfico,la necesidad de adquirir el conocimiento a través del dominio de loshechos. El dominio de los hechos no se adquiere simplemente escuchando lo

Dr. Franklín Chacin

que explica otra persona, sino que es la recompensa de los propios esfuerzos, seadquiere cuando a la investigación y a la experimentación se le ha dedicado muchotiempo, siguiendo un sistema ordenado y un buen método, especialmentecultivando el hábito de distinguir entre las cosas que tienen importancia y las queno la tienen. Se podría añadir la imaginación proyectada hacia la búsqueda decausas y efectos.

En síntesis, el método científico es el producto de una metodologíausada correctamente, una actitud crítica y un intenso trabajo que lleva de laincertidumbre a la probable certeza. El método científico es el procedimientoreflexivo, controlado y crítico que permite descubrir nuevos hechos o datos,relaciones o leyes, en cualquier campo del conocimiento humano. Comprende laformación y definición de problemas, la formulación de hipótesis, la recopilación,sistematización y elaboración de datos, la formulación de deducciones yproposiciones generales y por último, el análisisde lasconclusiones para determinarsi confirman las hipótesis formuladas y encajan dentro del marco teórico del que

• Ise parno.

La investigación dentro de las ciencias fácticas o empíricas, por suvinculación a una realidad concreta referida al mundo que nos rodea, debeobservar, describir, explicar, formular supuestos o predicciones sobre hechosespecíficos de ese mundo real y concreto, para tales supuestos la validez debe serverificada por la experiencia, lo cual corresponde a la aplicación correcta delmétodo científico. La investigación en el campo de la Agronomía correspondejustamente a estas ciencias bien sean naturales o sociales.

Persiguiendo la investigación fines concretos, su pro~eso requierefundamentalmente del equilibrio entre la metodología y las técnicas. En eseordende ideas, la metodología describe, analiza y valora críticamente los métodos de lainvestigación, por lo que el método o conjunto de ellos representa losprocedimientos o caminos a seguir, mientras que las técnicas son sus auxiliares omaneras de recorrer el camino, de allí que los métodos son generales y las técnicasparticulares.

18

Diseñoy Análisis de Experimentos. l

El método científico se caracteriza por ser fáctico, trasciende los hechos,verifica empíricamente, confronta la realidad, es autocorrectivo y progresivo,formula en forma general y su objetivo es alcanzar la verdad fáctica. El métodocientífico queda entonces enmarcado entre la realidad y la teoría, por lo que entodo trabajo de investigacióndebe manejarse los llamadoselementos básicos del métodocientífico: Sistema conceptual, hipótesis, definiciones, variables e indicadores.-

. El sistema conceptual está constituido por construcciones lógicas,producto del hombre, y permite la aprehensión de un hecho o fenómeno. Lahipótesis es el nexo entre la teoría y la realidad empírica, siendo el instrumentoque permite probar lasrelaciones entre hechos. La definición, fundamentalmentees en términos de operaciones efectivas de acuerdo con la ciencia moderna, lasvariables son características propias de los individuos y los indicadores surgen dela observación y son las dimensiones de las variables.

Planificación y etapas en un plan de investigación: La proyección deltrabajo de investigación responde a una estructura lógica de decisiones ya unaestrategia que garantice la obtención de respuestas adecuadas. La planificacióncorresponderá entonces a aspectos científicos y administrativos que debenresponder al qué y para qué de la investigación, al cuándo y dónde, el cómo y conqué sevá a investigar un aspecto de la realidad en el campo de las.ciencias naturales \o sociales. . . .

Con un conocimiento cabal de 10 anteriormente expuesto se bosquejaun esquema orientador de las etapas generales que debe cubrir un plan de• •• Iinvesngacioru

1.- Formulación del problema(s) y la(s) hipótesis.

2.- Elaboración del diseño de la investigación

3.- Delimitación del trabajo de investigación.

4.- Constitución del equipo de investigación.

5.- Selección de métodos y técnicas.19

Or. Franklln Chacln '(

6.- Organizaci6n del material de investigaci6n.

7.~Recopilaci6n de los datos ..'

8.- Elaboración de los datos.9.- Análisis e interpretaci6n de los datos.

10.- Redacci6n del inftrrme de investigaci6n.

En forma resumida, sepueden expresar las siguientes ideas a manera deconclusi6n: .

- La metodología de la investigaci6n exige el estudio de la 16gica y laTeoría del Conocimiento para su cabal entendimiento.

- El trabajo de investigaci6n es el resultado del equilibrio entre lametodología y lastécnicas de investigaci6n, lo cual garantiza unacorreaa ejecuci6ny respuestas adecuadas. ' '

-Debe diferenciar claramente entre metodología, métodos y técnicas deinvestigtlci6n.

-La planificaci6n responde a aspectos científicos y administrativos porlo que puede ser conformado dentro de un conjunto de etapas generales quedeben cumplirse con ciertas variantes de acuerdo a la índole del trabajo deinvestigaci6n. '

"

20

Capítulo 2

DISEÑO DE EXPERIMENTOSDEFINICION

, .

Diseñar un experimento es planificarlo de forma tal, que reúda lainformación que se requiere del problema planteado en la investigación. CoriSiste,por consiguiente, en una secuencia de pasos que garanticen que los dates qUe seobtienen hagan posible un análisis objetivo, el cual permitiría llegar a iÍltétpre-taciones, conclusiones y recomendaciones válidas en el estudió. Éstas tambiéndependen de la experiencia y criterio del investigador.

Es muy frecuente que se coleccionen datos que aporten poc '_'o nada a lasolución dé problemas planteados. Por lo tanto, es necesario planificar losexperimentos con antelación de manera que la información que se recolecté estéacorde con los objetivos, fines y alcances de la investigación y mediante lainformación que se genere se pueda llegar con precisión a definir la aceptación orechazo de la hipótesis de trabajo.

La planificación del experimento se hace fundamental, con elobjeto deproporcionar la mayor cantidad posible de información sobre el problemaestudiado.

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO EXPElUMENTAL

Los principios básicos del diseño experimental son: '

AleatorizaciónReplicaciónControl Local

Aleatorizaci6n: Uno de los supuestos del análisis de la Varianza hacereferencia a la independencia de los errores, ésto es, los errores de las observacionesdeben estar distribuidos independientemente. Surge la pregunta ¿Cómo corro-borar que esta suposición esverdadera? En cienaforma 110esposible, sin embargo,

21

Dr. Franklin Chacin

el hecho de hacer una asignación al azar de los tratamientos a las unidadesexperimentales hace que la suposición pueda considerarse válida. La aleatorizaciónhace válida la prueba resto la hace apropiada para analizar los datos como si laindependencia fuera un hecho. Esta referencia s~ hace ya que existen erroresasociados con unidades experimentales adyacentes en espacio o tiempo y estostenderán a correlacionarse y la aleato~ización sóio asegura que el efecto de laasociaciónsobré cualquier comp~ció~ entre los tratamientos sehaga tan pequeñacomo sea posible, sin embargo la correlación siempre existe y ésta, no puedeeliminarse totalmente.

En sfntesis, nunca existe ~a independencia ~ompleta y verdadera, pero debebuscarse dicha independencia y la mejor manera de buscarla es mediante laAleatorización. Sepuede expresar que la aleatorización esun principio importante,ya que esun instrumento para eliminar tendencias, sistematización y subjetividad .

." Replicacion: Se refiere a la repeticióadel experimento básico; por lo tanto,es la repetición de las diferentes unidades experimentales que conforman unexperimento. En muchos casos la repetición puede ser de todas las unidadesexperimentales, de parte de ellas o de una sola unidad experimental. Las razonesdel porqué las replicaciones son indispensables son las siguientes: -

(

- Mediante la replicación se puede obtener una estimación válida del errorexperimental yasu vez éste esnecesar{o ya que se utiliza en la estimación de losparámetros de la población y en las pruebas de hipótesis ..

- Bajo una serie de suposiciones el errorexperimental puede ser estimado sintener replicaciones,sinembargo lasreplicacionessonconvenientesya queproporcionan,la mayor parte de las veces, una estimación más aproximada del error.

- Se obtiene una estimación más precisa del efecto medio de cualquierfactor, ya que se conoce lo siguiente:

donde 0'2 = error experimentaln = número de replicaciones

22

Di5eñoy Análi5i5 de Experimento5 2

La varianza de la media es igual a la varianza por unidad entre el número dereplicaciones, en consequencia, a medida que las replicaciones aumenten disminuyeel efecto promedio del factor.

Control Local: Este principio se refiere a la cantidad de balances,bloqúeoy agrupamiento de las unidades experimentales que se utilizan en, un diseñoexperimental. Con la aplicación del control local se trata de disminuir el errorexperimental con el control de uno o varios factores de variabilidad que de nocontrolarse formarían parte del error experimental y por consiguiente abultaríandicho error. La función del control local es la de hacer el diseño experimentalmás eficiente; esto es, más sensible a las pruebas de significaci6n o hacer máspoderosos los procedimientos de prueba, debido a que se espera conseguir unadisminución en la magnitud del error experimental

DEFINICIONES BÁSICAS

Tratamiento: Hace referencia a un factor o a una combinación de factorescontrolables. Sedefine como tratamiento a un conjunto particular de condicionesexperimentales que deben imponerse sobre las unidades experimentales de unexperimento. El término entr6 en la literatura debido a su uso enexperimentaciónagrícola, pero actualmente ha perdido su connotación estrictamente agron6micay ha 'entrado a formar'parte del lenguaje de los estadísticos. Sedarán ilustracionesdel uso de esta terminelegía en algunos campos: ' /,\' )

En Física: Por ejemplo, en experimentos sobre bacterias los tratamientospueden ser varias combinaciones de la cantidad de electrolitos y la temperaturade activación de las bacterias. En otro tipo de ensayo, se podría incluir otrosfactores tales como el tipo de material de construcción,

EnQ¡ímic4.·En experimentos sobre rendimiento de cierto proceso químico, los

tratamientos pueden ser:Diferentes temperaturas en la cual se ejecuta el proceso.Cantidad de reactivo usado.Pureza de los reactivos usados.

23

Oro Franklin Chacln

.EnAgronomía:Cantidad de mezcla de determinado fertilizante.Cantidad de determinados nutrientes o combinaciones de cantidadesde nutrientes utilizados.Diferentes variedades o línea de cultivo.Distintas densidades ~iembra.Profundidad de siembra:

En Zoota:ma:Diferentes raciones alimenticias dadas al animal.Sexo y raza de los animales.Cantidad de leche o concentrado suministrado a becerros, novillos.

EnPsic%gfay Sociología:

Edad. .' ~Sexo.Altura de los individuos.Nivel educativo, entre o os.

. Unidad Experimental: Los resultados de un experimento están afectadosno solamente por el efecto del, tratamiento sino también por una serie devariaciones extrañas que tienden a encubrir los efectos de los tratamientos, llamadoerror experimental. Existen dos fuentes principales de error experimental: Lavariabilidad inherente al material experimental a la cual se aplican los tratamientos,y la falta de uniformidad en la conducci6n física deLexperimento; es decir, ladeficiencia en poder utilizar uniformente la técnica experimental. U no de losaspectos principales que se debe tomar en cuenta con respecto a este último, es laadecuada escogencia de la Unidad experimental.

Se define como Unidad experimental a la más pequeña unidad a la cual seaplica independientemente un tratamiento. La unidad experimental representa alconjunto de material experimental al cual se le aplica un tratamiento en un solobloque.

24

Diseñoy Análisis de Experlment0!3 2

La unidad puede ser una parcela sembrada de maíz, ajonjolí, tomate o ungrupo de cerdos, bovinos, ovinos o un lote de semillas. Es común que talesunidades experimentales produzcan diversos resultados aun cuando son sometidosal mismo tratamiento, estas diferencias contribuyen a formar los erroresexperimentales. '

Tamaño y forma de la Unidad Experimental: El tamaño yformade launidad experimental son importantes, tanto desde el punto de vista ~ variabilidadcomo económico. Se ha comprobado que la variabilidad tiene una relacióninversa con el tamaño de la unidad, a medida que el tamaño aumenta la variabilidaddisminuye. Una medida de esa variabilidad puede ser por ej'emplo el coeficientede variación, el cual se expresa a través de la siguiente expresión:

..( ,;., .

sC.V.= X

siendo S la desviación estándar de las observaciones y X la media dejasobservaciones, t, .

. ' \:

En el análisis de la varianza, la desviaci6n estándar es medida en base a laraiz cuadrada del cuadrado medio del error, lo cual seexpresa en la forma siguiente:

,~ j • t i:L t, ~ ,:11)'

'1

)Si se grafica el coeficiente de Variaci6n y el tamañode la,parcela se

obtendrá la curva mostrada en la Figura 2.1 Como puede observarse en: elgráfico existe una relación inversa entre el coeficiente de variaci6n y el tamaño dela parcela.

S2 =CMEE luego, S=.JCMEE

• (,Ó:

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):j:._-;~~l.l-Í:.JI·/· ;~·r;;t:···...:t/. i _ :.;~~i~~_·~·~'.~.

25

Oro Franklin Chacin

10

40

30C.V.

20

Tamallode la parcela (m~

Figura 2.1 Coeficient~ de Variación versus tamaño de la Parcela.

Otro aspecto importante que sedebe tomar en cuenta a la hora de planificarel experimento es lo referente a la escogencia de la forma que debe tener launidad experimental ya que de esta puede depender el aumento o disminuciónde la precisión en los resultados. En experimentos agrícolas vegetales se hacomprobado que las parcelas rectangulares son menos variables que las cuadradasde igual tamaño; sin embargo, se pueden planificar experimentos en los cualeslasbordurassearrimportantes. Por ejemplo,en experimentos con maquinaria agrícola,la razón primordial es que las parcelas cuadradas tienen menor perímetro paraigual área que las parcelas rectangulares, a esto se debe la escogencia de las parcelascuadradas en esta área.

.El aspecto económico también debe privar en la escogencia del tamaño dela parcela, muchos experimentos son llevados en áreas grandes injustificadas nosolamente desde el punto de vista de variabilidad, sino dé costos.

Existen una serie de métodos que nos permiten determinar tamaño y formade la parcela óptima, tomando en cuenta la heterogeneidad, costos y número derepeticiones. Estos métodos son:

- Método de Máxima Curvatura.-Método de Máxima Curvatura Modificado.-Método Fairfield Smith.

26

Di5eñoy Análi5i5 de Experimento5 2

- Método Koch y Rigney.- Método de las Regresiones Múltiples.- Método de Hatheway.- Otros métodos nuevos.

Arreglo y número de Bloques: El bloque es una de las formas deagrupamiento de las unidades experimentales. Seha demostrado en experimentosagrícolas que las parcelas cercanas tienden a ser más similares que las parcelasapartadas; esto se ha demostrado en los ensayos de uniformidad. Debido a estoes común en estos ensayos colocar parcelas vecinas en un solo grupo, tratando deponer las parcelas de tal manera que el grupo sea aproximadamente cuadrado,esto siempre y cuando seaposible. Con frecuencia las parcelas contiguas formanuna buena base para el agrupamiento, incluso en ensayos de umbráculo o aeinvernadero, donde en diferentes estratos o lugares pueden existir diferencias entemperatura, luz solar, corriente de aire o accesibilidad al riego. Por otro lado esimportante señalar que en muchos experimentos con plantas o, más particu-larmente, con animales, la localización física de las unidades experimentales através del experimento tiene poca importancia.

En el caso de experimentación con animales es posible que un animal pueda. constituir el bloque en aquellos casos en que los tratamientospuedan aplicarsesucesivamente al mismo animal, sin producir efectos residuales que oscurezcanlos resultados. U no de los agrupamientos de unidades experimentales más simplees el Diseño de Bloques al azar, ya que simultáneamente se pueden eliminarvariabilidades procedentes. de varias fuentes. Por ejemplo, supóngase que seplanifica un experiÍnento en maíz con tres híbridos diferentes: Arichuna; Obregón,FM6; siendo el FM6 el utilizado en la zona, esto es el considerado como testigo.

::>7

Dr. Franklín Chacín

Los tratamientos pueden ubicarse consecutivamente de la manera siguiente:

REP.IIFM6 OBREGON IARICHUNA I

REPllI ARICHUNA r FM6 OBREGON

REPIDIOBREGON FM6 I ARICHUNA

No siempre los tratamientos van colocados en los bloques consecutivamente,como muchos experimentadores tienden a creer. Cuando el número de trata-mientos es grande puede ser conveniente tratar de buscar, en lo posible, unaforma cuadrada como la siguiente: ¡ •

T3 1'8 TI T6T5 T4 T2 17

La escogencia del tamaño del bloque puede variar dependiendo del tipo deinvestigaci6n. El bloque en el campo puede ser colocado de manera tal que puedatener cualquier número de tratamientos, sin embargo debe tomarse en cuenta que elerror están.dar por parcela aumenta sucesivamente con el incremento en el tamañodel bloque. Algunos autores piensan que en el sentido práctico en experimentos decampo, el número de tratamientos por bloques debe estar éntre 2 y 20 máximo; lascifras mayores existen cuando hay gran uniformidad en el suelo.

Existen otros diseños como los diseños de Bloques Incompletos en los quela idea esencial es reducir el número de tratamientos por bloque de tal manera dellevarlos al tamaño adecuado.

Efecto de competencia y bordura: Cuando se planifican los experimentos,uno de los principios básicos que se toma en cuenta es el tratar de disminuir lavariabilidad proveniente de algunos factores que se pueden controlar y que de no

28

Dí5eño ,y Análí5i5 de Experímento5 2

hacerlo abultada el error experimental y esto podría provocar que los efectos delos tratamientos no puedan ser claramente medidos. Uno de estos efectos, quedebe ser tomado en cuenta, es el Efecto de Competencia y Bordura.

Se puede definir como Competencia, la interacci6n que se presenta por elcontacto directo de dos unidades experimentales vecinas que reciben tratamientosdiferentes, esta competencia puede ser por espacio, agua, luz, nutrientes, entreotros; esto surge por la vecindad entre las plantas. En el caso de animales lavecindad puede provocar diferencias de salud, temperamento, comportamiento,hábitos.'

Se define como Bordura, la diferencia en comportamiento de las plantasubicadas en los hilos externos del experimento de campo por estar en áreas nosembradas o cubiertas de malas hierbas o de otros cultivos. Para evitar estosefectos que provocan que el error experimental se abulte, generalmente se dejanhilos de Bordura. Estos hilos de bordura no se toman en cuenta en el ariálisis delos datos. Debido a eso se habla de parcela experimental la que incluye los hilosefectivos y los hilos de bordura y la parcela efectiva que incluye solamente loshilos efectivos.

La American Sodéty of Agronomy refiere lo siguiente, sobre los efectos decompetencia y BordUra:"En la mayoría de los experimentos de suelo: en pruebade variedades y ensayos de prácticas culturales, la producción dé las parcelaspuede ser modificad¡¡por lacontinuidad de otros tratamientos y cultivos o éspacios

(

no cultivados entre lasparcelas; la modificación consiste en el aumento de algunasproducciones y las bajas de otras. Se ha realizado algunos experimentos paraestudiar el efecto de la Competencia y la Bordura y gran parte de ellos llegan ala conclusión de tomar en consideraci6n estos aspectos a la hora de planificar losexperimentos" .

Clasificación de las observaciones

Se refiere como observaciones a las mediciones que se van a hacer en elexperimento, estas observaciones pueden ser:

29

Dr: Franklin Chactn

Observaciones Principales: Estas son las mediciones que van a servirpara evaluar los tratamientos de manera de analizar los resultados, discutidos,concluir y hacer las recomendaciones pertinentes. Todo esto con el fin de cumplirlos objetivos previstos en el ensayo.

En el caso de la Experimentación Agrícola Vegetal, la medida más comúnes el rendimiento; sin embargo, pueden tomarse otras mediciones principalescon el fin evaluar los tratamientos. Por ejemplo en ensayos de frijolpueden tomarse,además, observaciones sobre el número de vainas, longitud de lasvainas, númerode granos por vaina, peso de las vainas, peso de los granos, entre otros. Estasobservaciones son tomadas sobre la misma unidad experimental o sobre unamuestra de la unidad experimental.

Observaciones Auxiliares: Éstas se hacen principalmente con dosfinalidades:

•Disminuir el error experimental .•Encontrar una mejor interpretación de los resultados cuando lostratamientos son evaluados.

Las medidas adicionales hacen posible presuponer, por 10 menos hastacierto punto, el comportamiento de lasunidades experimentales. Por ejemplo, enun experimento para medir diferentes raciones alimenticias para animales, alcomienzo del experimento, los pesos iniciales serían una medida adicional muyimportante, ya que el incremento en peso de un animal durante el experimento,Puede estar asociada al peso inicial.

Mediante una técnica conocida con el nombre de Análisis de Covarianza, sepuede estimar el grado en que las observaciones fueron influenciadas porvariaciones de estas observaciones auxiliares. La respuesta promedio a cadatratamiento puede, por 10 tanto, ser ajustada-para disminuii el error experimentalocasionado por esa fuente de variación.

30

Oi!3t:ñoy Análi!3i!3 dt: Expt:rimt:nto§ 2

Ventajas y desventajas de los experimentos diseñados estadísticamente

Las ventajas de los experimentos diseñados estadísticamente son:

- - Cuando el experimento es planificado estadísticamente es necesariouna colaboraci6n estrecha entre los estadísticos y el investigador con lasconsiguientes ventajas en el análisis e interpretaci6n de resultados en lasdiferentes etapas.- Se hace énfasis en las distintas alternativas de planificaci6n y por supuestoesto permite la producci6n única de datos útiles para el análisis e interpretaci6nde resultados.- La atenci6n debe centrarse también en las interrelaciones y la estimaci6ny cuantificaci6n de las fuentes de variabilidad de los resultados.- El número de análisis y pruebas de significaci6n pueden determinarsecon certezay a menudo se pueden reducir.- La comparaci6n de los efectos es más precisa debido a la tabulaci6n yclasificaci6n adecuada de los resultados,- La exactitud de las conclusiones se conoce con una precisi6n probabilisti-camente definida.

Existen algunas desventajas al planificar los experimentos estadísticamente;sin embargo, son mucho menores. Ellas son: -'

- Los diseños de los experimentos y su posterior análisis generalmente vanacompañados,de cienos enunciados basados en el lenguaje estadístico, presentandopara muchos investigadores cierta dificultad, por eso es conveniente que el esta-dístico traduzca a un lenguaje mas sencillo tales enunciados de manera que seamás entendible para el investigador. El estadístico no debe subestimar la imponanciade la presentaci6n de los datos en forma gráfica, pero siempre acompañadoposteriormente por el procedimiento analítico.

", - Existen algunos diseños muy complicados y se han criticado no solamentepor lo costoso y porque requieren mucho tiempo; sin embargo, no hay queolvidar que los diSeiíos complejos son la respuesta a objetivos complejos; por

. consiguiente, es prudente recordar que el mejor diseño experimental a usarse enunasituaci6n particular es aquel que siendo el más sencillo permite alcanzar losobjetivos planteados.

31

Capftulo3

ANÁliSIS DE VARIANZA

El análisis de Varianza, inspirado Ydesarrollado por R.A. Fisher y sus alumnosen el año de 1921, es un método de Estadística Inductiva válido para efectuarpruebas de significación entre dos o más series simultáneamente.

Consiste en separar la variación total de un conjunto de observacionesmedidas por la suma de cuadrados de las desviaciones con respecto a la media,en componentes asociados a fuentes definidas de variación, utilizada como criteriode clasificación para las observaciones. Esto indica que en realidad, el análisis devarianza es un análisis de sumas de cuadrados.

El análisis de Varianza es usado para proveer soluciones a dos tipos deproblemas fundamentales distintos. Por un lado, puede ser usado para detectar laexistencia de relaciones. fijas entre medias de una población y para estimar losparámetros que definen tales relaciones; y por otro lado, puede ser usado paradetectar la existencia de componentes de variación yestimarlas.

SUPUESTOS BÁSICOS EN EL ANÁliSIS DE VÁRIANZA

Los supuestos básicos en el análisis de Varianza cuando se hacen pruebasde hipótesis son:

- Los tratamientos y los efectos ambientales son aditivos.- Los-errores experimentales son aleatorios y se distribuyen normal e

independientemente en tomo a una media cero y una varianza común.

El supuesto de normalidad no es necesario para estimar los componentesde la várianza. Cuando el supuesto no se hace,'es necesario que los errores noestén correlacionados en vez de ser independientd. En la práctica nunca estamos

. seguros de que todos los supuestos se cumplan, a menudo hay razón para creerque algunos son f~~l incumplimiento de uno o más supuestos puede afectar

33

Oro Franklin Chacin

tanto el nivel de significancia como el de sensibilidad de F o t a las discrepanciasreales respecto a la hipótesis nula/En el caso de no normalidad, el verdaderonivel de significancia es corriente, pero no siempre mayor que el nivel aparente.Esto lleva al descarte de la hipótesis nula cuando no es verdadera con mayorfrecuenciade lo que describe el nivel de probabilidad, en otras palabras, sepresentandemasiadas diferencias significantes que no existen. Los experimentadores puedenpensar que están usando el n1Velde significancia del 5% cuando en realidad elnivel puede ser de 7 u 8%. Se presenta pérdida de sensibilidad para las pruebasde significancia y la estimaci6n de efectos, ya que hubiera podido combinarse unaprueba más poderosa si se hubiese conocido el modelo matemático exacto. Esdecir, si se conociera la verdadera distribuci6n de los errores y la naturaleza d~Íosefectos, su aditividad o no aditividad, entonces podría construirse una pruebacapaz de detectar o estimar efectos reales. / ...

Para la mayoría de los datos biol6gicos, la experiencia indica que lasperturbaciones debidas a que los datos no cumplan los anteriores requisitos noson de importancia; sin embargo, hay casos excepcionales en que si lo son. Entodo caso, la mayoría de 16S datos no Cumplen exactamente con los requisitos delmodelo matemático y los procedimientos de pruebas de hipótesis y de estimaci6nde intervalos de confianza no deben considerarse exactos sino aproximados.

Se ha señalado, que los errores experimentales deben tener una varianzacomún; por ejemplo, en un diseño completamente aleatorizado, lascomponentesdel error proveniente de los diferentes tratamientos, deben ser todas lasestimacionesde una varianza de poblaci6n común. Aquí la heterogeneidad del error puede serresultado del comportamiento errático de la respuesta a ciertos tratamientos. Enexperimentos como los destinados a determinar la eficacia de diferentes insec-ticidas, fungicidas o herbicidas, puede incluirse un control no tratado para medirel nivel de infestaci6n y proporcionar una base para determinar la efectividad delos tratamientos. La variaci6n de las observaciones individuales en el control deprueba puede ser considerablemente mayor que en los tratamientos, ante todoporque el control puede tener una media más alta y así, una mayor base devariaci6n .:En estas situaciones, el término de error puede no ser homogéneo.Un remedio para esto puede ser repartir el término del error en componenteshomogéneos para probar comparaciones de tratamientos específicos: Algunasveces, si las medias de uno o dos tratamientos son mucho mayores que las otras

34

Oi!38ño y Análi!3i!3 de Experimento!3 3

y tienen una variación significativa mayor, entonces tales tratamientos se puedenexcluir del análisis.

El que no se cumplan algunos de los demás supuestos puede dar lugar aheterogeneidad en el error experimental. Algunas sugerencias para solventar estasituación dependen de lanaturaleza del no aunplimiento y pueden ser, por ejemplo,el uso de un tipo de transformación de los datos.

Es deseable probar la homogeneidad de varianza por la misma razón queseprueba homogeneidad de medias o para establecer si se cumple o no el supuestode homogeneidad requerido para el análisis válido de la varianza de los datos. Sise descarta la hipótesis de homogeneidad de la varianza, entonces es probableque se haga un análisis de varianza sobre datos transformados.

Si se supone heterogeneidad de varianzas a partir de una prueba aplicada, seasume que las muestras se extraen de diferentes poblaciones. No se debe decirPOBLACIÓN ya que, como las varianzas son desiguales, se evidencia que lasmuestras no provienen de una misma población muestral.

Supuesto de normalidad

La normalidad de los errores implica que el componente aleatorio de lostratamientos (error experimental} de un ensayo debe seguir una distribuciónsimétrica cuando la distribución es normal.A..as consecuencias de la no-normalidadde los errores no son demasiado graves. Únicamente una distribución muyasimétrica tendría ~ efecto marcado sobre el nivel de significación de la pruebaF o sobre la eficiencia del diseño, La mejor manera de corregir la falta denormalidad es realizar una transformación que hará que los datos se distribuyannormalme¡lte. Si una transformación simple no es suficiente habría que aplicarpruebas no paramétricas. I .

35

Oro Franklin Checln

Se puede probar la normalidad por:

* Prueba de Ji Cuadrado de Bondad de Ajuste:

ESta prueba consiste en calcular un Z!/CU/ado para luego compararlo con unr,abukulo a un nivel de significación prefijado con el fin de establecer si se rechazao no, la hipótesis nula. Las hiPótesis que se prueban para el caso de normalidad.son:

'2 Ho: &¡j ecooe está distribuido NID (0,0'2)~ Ha: &¡j si está distribuido NID (0,0'2)

El estadístico de prueba es:

2· É¡-E¡)2Zca/cu/aif E¡ (3.1)

donde 0. ""frecuencias observadasE¡ "" frecuencias esperadas

* Prueba de Wilk y Shapiro:

Las hipótesis continuan siendo:

Ha: No hay normalidadHa : Si hay normalidad

Para la verificación de la normalidad de la variable aleatoria especificada seseguiran los siguientes pasos:

1) Se ordenan en forma creciente los datos de la variable objeto de estudio.r. < v <... < v

I - 12 - - In

2) Se calcula la suma de cuadrados de las desviaciones de los datos de lavariable respecto a su media ~ 11

S2 = LO; -f?;=]

36

Oi~ño ,y Análi6i6 de Experlment06 8

3) Si n es part n - 2kJ calcule b con la siguiente ecuaci6n:k

b = ¿a"_I+I(Y,,_I+1 -~)i~1

4) Si n es impar.n - 2k + Lcalcule é conla siguiente ecuaciómb=a,,(y" -~)+·+ak+2(~+2 -~)

b2

5) Se calcula W = sr6) Seobtiene el W-tabulado ~ er Tabla A) t con un nivel de significación de

a (en la tabla se busca '1 - .a )

7) Siel W-calculado > W-tabulado; se rechaza la hipótesis nula en favor dela alternativa, con lo cual se estima que hay normalidad,

Ejemplo de aplicaci6n de la prueba de WUk y Shapiro

Seael siguiente conjunto de datos compuesto de doce observaciones, en loscualesse quiere establecer si provienen de una pob1aci6n distribuida normalmenteo no. Los datos se presentan en la Tabla 3.1.

37

Or. Frsndtn Chscln. (

Tabla 3.1. Tabla de Resultados para la Prueba de Wilk - Shapiro

1y. Y.

I I

original ordenados a""¡+1 y . (y. an-i+l(Yn.i+(Y)11-I+ I

•••1 11,2 11,2 0,5473 13,3 7,27912 14,5 13,2 0,3325 9,3 3,09233 17,2 14,5 0,2347 6,7 1,57254 17,8 14,8 0,1586 5,2 0,82485 19,3 16,9 0,0922 2,4 . 0,22136 24,5 17,2 0,0303 0,6 0,01827 .21,2 17,8 ° -0,6 °8 16,9 19,3 ° -2,4 °9 14,8 20,0 ° -5,2 °10 20,0 21,1 ° -6,7 °11 13,2 22,5 ° -9,3 °12 22,5 24,5 ° -13,3 °Total b - 13,0082

CALCULO S

V=(t Y;)/12=17,7583¡-1 ".

12 . 2S2 =¿ (y; - V) = 171,3885

¡-1

b2 (13,0082)2WCGIc =. S2 = 171 3885 = 0,9873,.

W,ab = 0,979 con n = 12 Y a= 0,05

38

Oi!5eñoy Anál/!5/!5de Experlment0!5 :5Conclusi6n: Como el W-calculado > W-tabulado, sedescarta Hoen favor

de Ha, por lo tanto se asume que existen evidencias suficientes para suponer la noviolación del supuesto de normalidad. '

Esta prueba puede ser llevada a cabo a través del uso de la computadora ylos paquetes estadísticos más comunmente usados, entre ellos el SAS o el Statistix.En estos casos además de obtener el valor del estadistico correspondiente se tie-ne la probabilidad de significancia que al compararla con el a seleccionado per-mitiráconc1uir si se rechaza o no lahipótesis nula. Usualmente también'se presentaun gráfico en el cual si se observa la presencia de una recta es indicativo de nor-malidad. Es de notar que usualmente un acercamiento a la normalidad es consi-derado suficiente para el cumplimiento del supuesto.

Supuesto de aditividadPrueba de Turkey

Mediante el cumplimiento de este supuesto cualquier valor único observadopuede descomponerse en componentes aditivas que representan los efectos detratamiento así como un término especial aleatorio. Una comprobación de estesupuesto requiere más de una simple observación por 'casilla, o bien el cálculoindependiente del cuadrado medio del error a partir de experimentos previosequiparables.

Si el efecto es multiplicativo en vez de aditivo se encontraría que la suma decuadrados de -inte~cción aumentaría debido a la no aditividad de los efectos detratamiento. En este caso transformando la variable se conseguirá restablecer laaditividad de los datos.

La no aditividad ocurre si los efectos principales están hechos por algúnproceso como multiplicación, también ocurre cuando alguna observación seentremete accidentalmente de una población diferente de las que se estáninvestigando, y también si la varianza heterogénea pide medias ponderadas y,finalmente si ~en.efectos (mteracciones) además de los efectos principales y elerror.

39I

Or. Frariklin Checin

El método de prueba para la hipótesis de aditividad queda explicado pormedio del siguiente ejercicio:

Los datos de la tabla 3.2 corresponden el las observaciones del efecto de 5dosis de fertilizantes sobre la altura de plantas de pimentón al momento detransplante; en un diseño en bloques al azar.-Tabla 3.2. Datos y resultados para el análisis del supuesto de aditividad

I

TRÁT/

BLOQ 1 2 3 4 5 ~J YJ - y. = di

1 16,80 14,20 9,60 15,2 16,4 14,44 -1,512 16,60 20,80 11,00 15,8 17,6 16,36 0,413 19,80 23,75 11,00 12,6 16,2 16,67 0,724 . 17,40 21,20 '12;25 13,2 17,6 16,33 0,38Y¡, 17,65 19,98 10,96 14,2 16,95 15,95Y,,-Y, = e, 1,7 4,0375 '-4,9875 -1,75 1,0P 2,306 12,242 -: 2,589 - 2,386 0,0804

1 ~). " o., I '"F'

;} . ;,

Los cálculos serían;' :.

P1 ••• 16,8x(-1,51) + 16,6x(0,41) + 19,8x(0,72) + 17,4x(0,38) = 2,306P20= 14,2x(-1,51) + 20,8x(0,41) + 23,7Sx(0,72) + 21,2x(0,38) 0= 12w242

. . '., _a': . ,

, ;

Ps - 16,4x(-1,51) + 17,6x(0,41) + 16,2x(0,72) + 17,6x(0,38) •.•0,0804. '

" d2 = 3 111L.J I , ," e~= 48129-1L.J I ,

P = ¿c¡F¡ •.•1,7X2,306 +'4,0375xH,242:~4;9875x2,S89+"1,7Sx2,386 + 1,OxO;0804 - 44;6905 ,'. .,,' -.1

40

p2 , ' 446905' , ,SCNoAditividad = (¿c~)(¿d~) = 3,11l~48,1291 = 13,775

Por 10tanto el ANA VAA sería de la manera presentada en la tabla 3.3.

Tabla 3.3. ANA VAR que il~la prueba de Tukey

F.deV. G.deL.,'4VS.C C.M. F P

" '~ ¡

rl. •

Trnt 4 192,516 48,129 10,52 ' 0,0003Error 15 68,639 4,576,Prueba de Tukey

¡

No Adit. 1 13,339 13,775 3,51 0,0818" , "Residuo 14 " r . ~~,,864 3,919

Total 19 ~.61;155 ..c.

El F calculado de la no-aditividad (3,51) es menor que el Fjabulado,a = 0,05 con 1 y 14 grados de libertad (4,6) lo que quiere decir, que no hayevidencias suficientes para ~~ la hipótesis nula, lo cual indica a~tivivid3.dde los.efectos. .

- .,Homogeneidad de varianzas

La igualdad de varianzas, como hemos visto, en un grupo de muestras esuna condición importante para varias pruebas estadísticas. Un sinónimo paraesta condición es la homogeneidad de varianzas u homocedasticidad. El términohomocedasticidad proviene del Griego y significa igualdad de dispersión, lacondición inversa (desigualdad de las varianzasde algunas medias muestrales) esllamada heterocedasticidad.

La homocedastieidad puede alcanzarse asignando aleatoriamente lostratamientos, pero esto solamente algunas veces no basta, ya que puede haber unarespuesta diferente de lasunidades experimentales con distintos tratamientos. Esta'

41

Or. Franklin Chacin

situación puede presentarse al evaluar el efecto de distintas dosis de fungicidas oherbicidas que además incluyen un control. Una posibilidad es separar lostratamientos que tienen varianzas semejantes y separarlos de los otros al hacer elanálisis.

Cuando los datos se alejan de cualquiera de estos supuestos, es posible, enalgunos casos, realizar un cambio de escala en la presentación de los resultados demanera de ajustarse a las condiciones impuestas para que el ANA VAR puedaaplicarse y el comportamiento de la variable estudiada se ajuste al modelo lineal.Para los tipos de desviaciones más comunes existen transformaciones.

Pruebas de Homogeneidad de Varianzas: De tiempo en tiempo noshemos preguntado si dos o más cuadrados medios difieren significativamente.Para dos cuadrados medios se obtiene una respuesta mediante el uso de la pruebade F de dos colas, que se estudia en Estadística General, pero para el caso de másde dos medias, hay varios procedimientos y pruebas que Se tratarán acontinuación.

Pruebas Gráficas:

Análisis de Gráficos de residuales: Si el modelo es correcto y si secomprueban los supuestos, los residuales no deben tener estructura; en particular, ellos no deben estar correlacionados con ninguna otra variable incluida la respuestay ij •Un simple chequeo es el gráfico de residuales contra valpres fijos se Y ij .

Este análisis puede no revelar ningún patrón aparente. La figura 3.1 es un gráficode residuales contra valores fijos para los datos de la Tabla 3.4.

Diseño .Y Análisis de Experimentos 3Tabla 3.4. Fuerza de tensión en varias fibras sintéticas Qb/in)

Observaciones%de algodón 1 2 3 4 S Y.

l.

15 7 7 15 11 9 4920 12 17 12 18 18 7725 14 18 18 19 19 8830 19 25 22 19 23 10835 7 10 11 15 11 54

376= Y..

6

5 •••X •

* .1• *

.2X * A3

1',' A X4l ...• *5

·5 *0. 15 20 25,\' 6

• •• * •

Figura 3.1. Gráfico de residuales contra valores fijos.

4

3

:~ 2••.,~1...~ °+-----I----~•..._--I--..:;.;::-....--+-==-----1

·1

·2

·3

43

Dr. Franklin Chacin

Algunas veces la varianza de las observaciones aumenta cuando crece lamagnitud de las observaciones. Este puede ser el caso si el error es un porcentajeconstante del tamaño de la observación (esto comúnmente sucede con muchasmedidas de instrumentos en que el error es un porcentaje de lectura). Si es este elcaso, los residuales mostrarían el corte transversal de un embudo. Las varianzasheterogéneas también se evidencian en casos en que los datos siguen unadistribución distinta a la normal y/o una distribución asimétrica, en distribucionesasimétricas la varianza tiende a ser función de la media. Respuestas incorrectas altratamiento también puede causar desigualdad en las varianzas.

Si el supuesto de homogeneidad es violado, la prueba de F se afecta sololigeramente en elmodelo balanceado de efectos fijos. Sin embargo, diseños malbalanceados o en casos en que una varianza es mucho mayor que las otras, elproblema es más serio. Para el modelo de efectos aleatorios, varianzas de erroresdiferentes pueden afectar significativamente las inferencias sobre los componentesde varianza, aun si se utilizan en diseños bien balanceados.

Una propuesta usual al tratar con varianzas no constantes es aplicar unatransformación estabilizadora de varianzas, luego se efectúa el análisisde lavarianzasobre los datos transformados, Se debe notar que las conclusiones de este análisisde varianza se aplican a las poblaciones transformadas.¡

Se ha investigado mucho acerca de la selección de una transformaciónapropiada. Si las observaciones de los experimentos de prueba siguen,distribuciones teóricas, se puede utilizar esta información para la selección de unatransformación. Por ejemplo si las observaciones siguen la distribución Poisson,una distribución de raíz cuadrada 1ij * = .jY; ó y ij = ~ 1+ 1ij pueden serusadas. Si los datos siguen una distribución logarítmica, entonces la transformación1ij * •..logY ij es apropiada. Para datos binomiales expresados como fraccionesla transformación 1ij * = arcsen Y ij es usada. Cuando la transformación no esclara, el experimentador usualmente busca en forma empírica una transformaciónque iguale las varianzas haciendo caso omiso del valor de las medias. Enexperimentos factoriales, otra salida es seleccionar una transformación queminimice la interacción de varianzas, resultando en un experimento que sea fácilde interpretar.

44

Diseño'y Análisis de Experimentos 3

Selección de una transformación estabilizadora de varianzas: Si losexperimentadores supieran las relaciones que hay entre las varianzas de lasobservaciones y las medias, podrían usar esta información para guiarse en laselección de una transformación. Ahora se trabajará sobre este punto y se probarácomo es posible estimar la forma de la transformación requerida por los datos.

Sea E(Y) - Jl la media de Y, y suponga que la desviación estándar de Y esproporcional a una potencia de la media de Y, tal que:

(3.2)

Sequiere encontrar una transformación para Y que haga la varianza constante,Suponga que la transformación es una potencia de los originales, esto es:

~=~ ~~

en la que puede ser probado que:

(3.4)

Claramente si hacemos A.=1-el entonces la varianza de los datostransformados Y" es constante.

Varias de las transformaciones más comunes están resumidas en la Tabla3.5. Note que A. - Oimplica la transformación logaritmica. Estas transformacionesestán ordenadas según su incremento de fuerza. Por la fuerza de la transformaciónqueremos significar la cantidad de curvatura que induce. Una transformaciónligera aplicada a unos datos que abarcan un rango estrecho tiene poco efecto enel análisis, de la misma forma que una transformación fuerte aplicada en datos derango amplio puede tener resultados dramáticos.

45

Or. Franklin Chacin

Tabla 3.5. Transformaciones estabilizado ras de varianzas.

Relaciones entreUy y J-l a A=l-a

O"y oc constante o 1 -ay oc J-l112 1/2 1/2

ay a: J-l o

a y oc J-l 312 3/2 ·1/2

ay oc J-l2 2 ·1

Transformación Notas

No hayRaíz cuadrada Datos de PoissonLogaritmo

Raíz cuadrada recíprocaRecíproco

Selección empírica de a:En muchas situaciones de diseño experimentalen los que hay réplicas se puede hacer una estimación empírica de a para losdatos. Ya que en la combinación del tratamiento i-ésimo

a aO"y¡ OC J-l¡ = a J-l¡ (3.5)

donde a esuna constante de proporcionalidad, tomando logaritmos obtenemos:

log ay¡ = loga + a logu, (3.6)

Por lo tanto un gráfico de logO'y¡contra logu, debería ser una recta con~endiente a. Como no se conoce ay¡ y J-l¡ se puede sustituir estimacionesrazonables de ellas y usar la pendiente de la línea ajustada como una estimación de<x.. Se puede usar la desviación estándar Si y el promedio Yi.del tratamiento,. ,=', .i-esrmo para estimar O"y¡y J-l¡.

Ejemplo del uso de transformaciones estabilizadoras de la varianza." ,.

Un ingeniero civil está interesado en determinar si cuatro métodos diferentespara determinar el fluido de barro producen estimaciones equivalentes de descargamáxima, cuando es aplicado a un mismo canal de descarga. Cada procedimientoes usado seis veces en el mismo canal de descarga y el resultado de los datos dedescarga (en pies cúbicos por segundo) aparecen en la tabla 3.6.

46

Diseño y Análisis de Experimentos 3

Tabla 3.6. Descargas máximas.

Métodos deestimación Observaciones y.

l.

- 1 0,34 0,12 1,23 0,70 1,75 0,12 0,71 0,66

2 0,91 2,94 2,14 2,36 2,86 4,55 2,63 1,09

3 6,31 8,37 9,75 6,09 9,82 7,24 7,93 1,66

4 17,15 11,82 10,95 17,20 14,35 16,8:! 14,72 2,77

El análisis de varianza de los datos, totalizado en la tabla 3.7 , implica quehay una diferencia entre las medias máximas de descarga dadas por los cuatroprocedimientos.

Tabla 3.7. Análisis de Varianza para los datos de descargas máximas.

Iuemede Gradosde Suma de OwlradosVariaaón libertad cuadrados medios Fc

Tratamiento 3 708,3471 236,1157 76.07Error 20 62,0811 3,1041Total 23 770,4282

El gráfico de residuales contra valores fijos que se muestra en la Figura 3.2es problemático, ya que la forma en embudo del corte transversal implica que elsupuesto de homogeneidad de varianzas no se cumple.

47

Dr. Frenkltn Chacin

3

2

:=- 1

J O• :;:.••...·1'i 0.71a:·2

·3

-4

+1.2.3)(4*5.~ 61

Figura 3.2. Gráfico de residuales contra valores fijos de Ypara los datos de descargas máximas.

Para estudiar la posibilidad de utilizar la transformación estabilizadora devarianza sobre estos datos, se graficó Ln S¡contra Ln Y¡ en la figura 3.3.

1.2

1 +0.8

rñ 0.8 ••• D.4...0.2 +

.0.6 .0.2 0.5 1.5 2 2.5 3

• .0.4.0.6

LniL

Figura 3.3. Gráfico de Ln Y¡contra Ln Si'

48

Diseño'y Análisis de Experimentoe 3

La pendiente de la línea recta que pasa por estos puntos se cona para ~ yde acuerdo con la tabla 3.5, esto implica que la transformación de raíz cuadradapuede ser apropiada. El análisis de la varianza para datos transformados Y" ••.JY es presentada en la tabla 3.8 y su gráfico de residuales en la figura 3.4.

Tabla 3.8. Análisis de la varianza para los datos de descarga máxima transformaday* ... .JY

Fuente de Suma de CuadradosVariación G. deL. Cuadrados medios Fe

Tratamiento 3 32,6842 10,8947 76,99Error 19 2,6884 0,1415Total 22 35,3726

0.6

0.4

0.2

OW •.0.2

~.0.4

.0.6 •.0.8

+ •

••

•x

v;

Figura 3.4 Gráfico de residual es para los datos y ij *

Estos residuales están mucho más dispersos que en la figura 3.2, por lo quese concluye que la transformaci6n de raíz cuadrada ha sido útil. Notar que en laT-abla 3.8 se han reducido los grados de libertad en uno para tomar en cuenta eluso de los datos para estimar el parámetro a de la transformaci6n.

49

Dr. Franklin Chacin

PRUEBAS ANALÍTICAS DE HOMOGENEIDADDE VARIANZAS

Además de los gráficos de residuales que se utilizan frecuentemente paradiagnosticar desigualdad de varianzas, sehan propuesto varias pruebas estadísticas.Estas pruebas pueden ser vistagcomo pruebas formales de la hipótesis:

Ha: al menos una de las 0;2 es distinta de las demás.I

Prueba de Barlett: Es un procedimiento de prueba aproximadoampliamente usado. El mismo es una modificación de la prueba de razón deverosimilitud de Newman-Person. Esta prueba permite detectar si se cumple elsupuesto de homogeneidad de varianza, y aunque tediosa por la cantidad decálculos involucrados, es relativamente sencillade aplicar y debe utilizarse siempreque se sospeche que el conjunto de datos a analizar puede estar violando estesupuesto.

Para aplicar laprueba deben calcularselasvarianzas dentro de cadatratamientoque no necesariamente debe ser igual. A partir de ellos se construye una tabla queayuda a ordenar los cálculos n~os para evaluar un valor de z; (Z2 calculado)que se compara con un valor tabulado. Si el valor calculado resulta menor que eltabulado para un nivel de significación predeterminado, la diferencia entre lasvarianzas es atribuida al azar y se declara no significativa; de lo contrario, si esmayor el Z; que el tabulado, la diferencia entre las varianzas de los distintostratamientos es significativa y debe realizarse una transformación en los datosoriginales antes de proceder alANA VAR.

El procedimiento comprende el cálculo de un estadístico cuya distribuciónmuestral se aproxima mucho a la distribución de Z2 , con a-l grados de libertad,donde a es el número de varianzas bajo estudio. Estas varianzas provienen demuestras independientes extraídas de una población normal, El estadístico deprueba es:z; = LnlO (q/c) = 2;3026 (q/c) (3.7)

50

Oieeñov Análisis de Experimentos 3

donde q y e se definen como:

q = (n - a) log S~ -1: (ni - 1) log Sj2 (3.8)

e = 1 + [1/3(a - 1)]{1: (ni - 1) -1 - (n - a )-I}

S~ •.• 1: (ni - 1) Sj2/ (n - a)

(3.9)

(3.10)

donde Sj2 es la varianza muestral de la i-ésima población.

La cantidad q es grande cuando las Sj2 difieren grandemente 7 es cerocuando todas ellas son iguales. Así, se puede rechazar Ho basándose en valoresmuy grandes de X; . En otras palabras, se rechaza Ho solamente cuando

2 2r; >Xa;a-I (3.11)

donde X;;a-I es el percentil superior de valor a de la distribución de 1'2 cona-I grados de libertad.

Varios estudios han indicado que la prueba de Barlett es muy sensible alsupuesto de IIOrmalidad y no debe ser aplicada cuando este supuesto está enduda, pues para usar apropiadamente esta prueba se supone que las distribucionesde base son normales. Cuando esto no ocurre, la prueba puede detectar la nonormalidad en vez .pe la heterogeneidad de varianzas. Esta prueba es más sensiblea la no normalidad que el uso de F en el análisis de varianza.

51

Dr. Franklin Chacin

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA PRUEBA DEHOMOGENEIDAD DE VARlANZAS DE BARLETI

Ejemplo 1

Dadas cinco varianzas: S12 = 11,2; S22 = 9,8; S32 = 4,3; S42 = 6,8 ;S 52 = 8,2 provenientes de muestras de tamaño 5 todas ellas, entonces:

Sp2 = [4(11,2) + 4(9,8) + 4(4,3) + 4( 6,8) + 4(8,2)] / 20 = 8,06q = 2010g8,06 - 4(1og11,2 + log9,8 + log4,3 + log6,9 + log8,2) = 0,45

e = 1+[1/ 3(4) ][5/4 - 1/ 20] = 1,10

Yel estadístico de prueba es:

Z2 = 2,3025(0,45/1,10) = 0,93

El valor tabulado corresponde a Z;ON = 9,49. Como .y2 es menor2 ' , A-c

que ZO,05;4 entonces no podemos rechazar Ho y concluimos que las varianzasson homogéneas. Esta es la misma conclusi6n a que se llega por el análisis delgráfico de residuales contra valores fijos.

Ejemplo 2•.

Sitenemos estimaciones SI2 cadauna con un número de grados de libertadf (igual número de observaciones fueron usadas para cada estimaci6n) el criteriode prueba es:

M = 2,3026 fea log82- ¿ 10gS~) donde 82 = ¿St /a

El factor 2,3026 esuna constante. Bajo la hip6tesis nula en que cada SI2es una estimaci6n del mismo (j2 la cantidad M / e se distribuye normalmentecon una Z2 con a- 1 grados de libertad donde:

e = 1+ (a - 1) / 3 af

5?


En estos casos e es siempre ligeramente mayor que 1,y es necesario usadaúnicamente si M está cerca de los valores críticos de 1'2 .

En la tabla 3.9 se aplica la prueba de varianza de gramos de factoresabsorbidos en los cuatro tipos de factores. Aquí a == 4 y f = 5. El valor de Mes 1,8810 cual claramente no es significativa con tres grados de libertad. Parailustrar este método 1'2 = MI e = 1,74 ha sido calculado.

Tabla 3.9. Cálculo de la Prueba de Barlett cuando todas las estimaciones tienencinco grados de libertad.

Factores S/ logS/

1 178 2,25042 60 1,77813 98 1,99124 68 1,8325

Total 404 7,8522

••82 = 100,9 log82 = 2,0038

M = 2,3026(5)[4(2,0038) -7,8522] = 1,88s

e = 1 + [(a+l) / 3 a f] = 1 + 5 /3 (4) 5 = 1,083

1'2 = 1,88/1,083 = 1,74

Seconcluye que no se rechaza Ha a un nivel de significancia de 0,05 y con 3grados de libertad.

Cuando los grados de libertad difieren, como con muestras de tamañosdiferentes, el cálculo de 1'2 es más largo y s~realiza de la siguiente manera:

53

Dr. Frsnklin Chacin

M = 2,3026 (L filogS2 - L ti.logSf) donde S2 = ¿ti.S~ / ¿ti

e = 1+ [1/ 3(a-l)][ L(1/fi)-( l/Lfi~

z; = MI e con a- 1 grados de libertad.-

(3.12)

(3.13)

(3.14)Ejemplo 3

En la tabla siguiente se aplica la prueba de varianzas a los pesos al nacer decinco camadas de cochinos. Como S2 es la varianza combinada (ponderadasegún los grados de libertad) necesitamos una columna para la suma de cuadrados.En el cálculo de e se usará también una columna con los recíprocos de los gradosde libertad (l/ti). Los cálculos dan valores a z; = 16,99 con 4 grados delibertad, probando que las varianzas difieren de camada a camada en estos datos.

Tabla 3.10. Cálculo de la Prueba de Barlett para homogeneidad de varianzas.Muestras de diferentes tamaños.

Camada SC g.del. CM(muestra) f. S.2 f. S.2 lag Si2 fi lag Si 2 1/f.

1 1 1 1 1

1 1,18 9 0,909 -0,0414 0,3726 0,1112 3,48 7 0,497 -0,3060 -2,1252 0,14293 0,68 9 0,076 -1,1192 -10:0728 0,11114 0,72 7 0,103 -0,9872 -6,9104 0,14295 0,73 5 0,146 -0,8357 -4,1785 0,2000sumatoria 13,79 37 -23,6595 0,7080

~=13,79/37( ti.logS2 )=37(-0,4286)=-15,8582M...2,3026(-15,8582-(-23,6595)] = 17,96e = 1+[1/3(4)10,7080-1/37]= 1,057z; = MI e ..•17,96/1,057 = 16,99

54


al comparar con el valor tabulado, con 4 grados de libertad, no es significativocon un nivel de significancia de 0,01; lo cual es indicativo de homogeneidad en lasvananzas.

Cuando alguno o todos los S¡ son menores que 1, como en el caso deestos datos, es de notar que no se altera si todos los S¡ y todos los "82 sonmultiplicados por un mismo número (digamos 10 ó 100); esto permite evitarlogaritmos negativos.

Ejemplo 4

La prueba de homogeneidad de varianzas de Barlett se efectúa en los datosde un estudio sobre la herencia del tamaño de la semilla de lino; en el cual elexperimentador (Myers) obtuvo la varianza de los pesos de grupos de SO semillasprovenientes de plantas individuales de padre y de la generación F1. Si se usanlogaritmos naturales (con base e), no se requiere el factor 2,3026; éste sólo seemplea cuando se usan logaritmos decimales. Los datos y el cálculo del estadísticode la prueba de Barlett aparecen a continuación en la tabla 3.11.

Tabla 3.11. Prueba de Homogeneidad de Varianzas.

Clase G .deL. ¿(y-y)2 S2 logS¡2 (n-1)logS~ 1/(n-1), 1

Redwing 81 4.744,217 58,57 1,76768 143,18208 0,01235.

Ottawa770B 44· 3.380,96 76,84 1,88559 82,96596 0,02273

F1 13 1.035,71 79,67 1,90129 24,71677 0,07692Totales 138 9.160,84 250,86481 0,11200

66,38 1,8204 251,44152

X; = 2,302{¿(ni -1) log52

- ¿(ni -l)lOgS~donde

52 = ¿(ni.-l)S~ / ¿(ni -1)

X2c= 2,3026(251,44152 - 250,86481) = 1,3279con dos grados de libertad

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Dr. Franklin Chacin

Factor de corrección = 1+ [1/ 3(k -1) ]{I[1/ (m -1)] -1 / I(ni -1)}

= 1+ [1/ 3(2) ]{0,1l200 -1/ 138} = 1,01746

X;Orregido = 1,3279/1,01746 = 1,305 No significante

El factor de corrección deberá mejorar la aproximación de X2 cuando lostamaños de la muestra son pequeños. Es siempre mayor que 1 y su uso disminuyeel valor bruto de X2 . Así generalmente calculamos el X;orregido sólo cuando elX2 bruto es significante pero está cercano al valor crítico.

El valor tabulado para X2 con dos grados de libertad (igual al número detratamientos menos uno) y con probabilidad de 95% es 5,99. Como el valorcalculado es 1,305 (menor que el valor tabulado) es posible atribuir al azar lasdiferencias entre las varianzas de los tratamientos y hacer un ANA VAR con losdatos originales.

Los valores independientes de X2 son aditivos, o sea que la distribución deuna suma semejante se distribuye como X2 con un número de grados de libertadigual a la suma de los grados de libertad de los sumandos. Esto es válido sólopara los X2 sin corregir, pero no para los corregidos. Así que si setuvieran varianzasde varios años, podría ser informativo hacer comparaciones entre y dentro deaños. También si sedispone de las varianzas de varias generaciones en segregación, .•.podemos hacer comparaciones entre padres y F1 (como en el ejemplo) entregeneraciones y segregación y entre los dos grupos. El X2 total puede usarse, almenos como comprobación aritmética.

Cabe señalar que esta prueba requiere que se cumpla el supuesto denormalidad, si esto no se cumpliera y se hubiera realizado un muestre o de unapoblación que no se distribuye normalmente, la prueba detecta esta falta denormalidad. El inconveniente reside en que la prueba de Barlett es más sensibleque la prueba F del ANA VAR para detectar la falta de ajuste a la normalidad.

56

Diseño .YAnálisis de ExperimentoE? 3

Prueba de Cochran: La prueba de Cochran ("The distribution of the largestof a set of estimated variances as a fraction of their total, Ann Eugen, 11:47-52(1941));consiste en calcular S~ax/¿S~. '. '.

. .

Sean S; para i= 1,2,...k; el conjunto de varianzas que son' estimadoresindependientes de 0"2 respectivamente, cada. una está basada en n variables

t. , .

aleatorias independientes normalmente distribuidas. Seak

g = max S2/ ¿S;

I i=1. (3.15),

el radio del mayor S2 en el conjunto total de varianzas muestrales. La hipótesisH 2 2 2 d .o: 0"1 = 0"2 =... = O"a es acepta a Sl

(3.16)

donde ga está dada en las tablas B y e .conun nivel de significancia a igual a0,05 ó 0,01. Las tablas tienen enteros con n, el número de observaciones porgrupo y k el número de varianzas que han sido consideradas.

Prueba de Pearson y Hartley. Pearson y Hartley (1954)proponen una pruebaen la que se calcula la razón S~ax/S~in"en la cual se consid~ra el cociente entrela mayor y la menor varianzadelas muestras. Los autores proporcionan unastablas especiales, Esta prueba aparece como una alternativa, puesto que laaproximación a la X2 es menos satisfactoria si la mayor parte de los grados delibertad (ni- 1) de cada muestra son menores que 5. Es una prueba rápida, unpoco menos simple que la prueba de Barlett. En Biometrika, Tables forStatisticians,Third edition, Cambridge, New York, 1966,aparecen tablas de valorescríticos para realizar la prueba.

La Fmax puede ser usada como una prueba corta de heterogeneidad devarianzas. Sean S; para i= 1,2,....k, el conjuntó de varianzas que son estimadoresindependientes de 0"; , cada una basada en v grados de libertad y ordenadas enforma ascendente de magnitud. Entonces:

(3.17)

57

Dr. Frsnklin Chacin

donde log, Si2 se aproxima a una distribución normal con media log, (j2 yvarianza 2/(v-1), puntos percentiles para S~S~n pueden ser calculadosaproximadamente para los puntos correspondientes a los percentiles de los rangosen pruebas normales. Las tablas D y E se calculan para puntos correspondientesa los extremos de los porcentaje¡ 5% y 1% superiores.

Una aplicación del Fmax propuesto por Pearson y Hartley para los datosde la tabla 3.9 será:

Fmax ••• (S2 '/ S2. ) - 178/60 - 2,97max mm(3.18)

Cada varianza muestral tiene cinco grados de libertad, basándose en esto, sebusca el valor tabulado para un nivel de significancia de 0,05 por ejemplo, yresulta ser 13,7; de donde se desprende que para este ejemplo las varianzas sonhomogéneas. En el caso en que el tamaño de las muestras sea diferente, se tomael menor de los grados de libertad de las varianzas empleadas en el cálculo deFmax.

Tanto la prueba de Barlett como la de Pearsony Hartley son sensibles a lano normalidad de los datos, particularmente a la kurtosis. Con distribucionesplaticurticas, la prueba da veredictos erróneos acerca de la heterogeneidad devananzas.

-, 58

Capítulo 4_ f

DISENO EXPERIMENTAL COMPLETAMENTEALEATORIZADO

Introducción

Es el diseño experimental más sencillo y se origina por la asignación aleatoriade los tratamientos a un conjunto de unidades experimentales previamenteestablecidas. En este diseño puede probarse cualquier número de tratamientosresultando deseable, aunque no esencial, asignar el mismo número de unidadesexperimentales a cada tratamiento.

Es un diseño de mucha utilidad en todos los campos de la ciencia, siemprey cuando se consiga homogeneidad del material experimental y del mismo sitiodonde se vaya a desarrollar el experimento. Se podrían enumerar una serie 'deventajas y desventajas del diseño.

Ventajas del Diseño Experimental Completamente Aleatorizado:

-Tanto la planificación como el análisis son los más simples si se"lescomparacon los otros diseños conocidos.

- Produce el máximo número de grados de libertad para el errorexperimental, lo que es muy útil en pequeños ensayos.

- Cuando existe un número desigual de replicaciones por tratamiento no escausa de complicaciones en el análisis estadístico.

- Es de fácil manejo en el campo y en el laboratorio.

59


Desventajas del Diseño Experimental Completamente Aleatorizadoi

- Sólo puede usarse con material experimental homogéneo.

- Su utilidad es muy restringida en los experimentos de campo, debido a laheterogeneidad del suelo, que se conoce puede ser muy grande y para evitar quela misma enmascare los resultados del experimento, debe recurrirse a diseñosmás eficientes.

- Presenta desventajas cuando el material es heterogéneo, ya que no se puedeaumentar mucho el tamaño del experimento, ya que esto motiva variaciones altasque enmascaran el efecto del experimento.

"-I

En cuanto al número de observaciones para cada tratamiento o factor sedetermina en base a los costos y a la potencia de la prueba.

El Modelo Lineal Aditivo

El modelo lineal aditivo para este diseño es:

(4.1)

para i-1, 2, ... t j -1, 2, ... r

Yij representa la j-ésima observación del i-ésimo tratamiento, porejemplo Y23 representa la tercera observación del tratamiento dos.p es el efecto común de todo el experimento, es decir la mediapoblacional.rl representa el i-ésimo tratamiento.&u denota el error aleatorio presente en la j-ésima réplica del i-ésimotratamiento.

Se considera que &ij se distribuye normal e independientemente (NID) conmedia cero y varianza eJ·· esta es una varianzá común para todos los tratamientos.

& ij ..., NID (O, (2) (4.2)

Diseño .Y Análisis de Experimentos 4

p es un parámetro fijo y Ti se consideran también parámetros fijos si lostratamientos son fijos, que en ese caso se hace el supuesto siguiente:

t

L Ti = O;=(

(4.3)-~

Si los "t" tratamientos son elegidos al azar, se asume que Ti se distribuyenormal e independientemente con media cero y varianza 021 •

(4.4)

El hecho de que los tratamientos sean fijos o aleatorios, depende de comoson elegidos en un experimento dado.

El análisis de un diseño completamente aleatorizado para un solo factorconsiste de un análisis de varianza con un criterio de clasificaci6n , probándose lahipótesis nula:

Ho: T. = O1

(4.5)

para toda i probada. Si la hipótesis nula es verdadera, no existe efecto detratamiento y cada observaci6n Yij proviene de una poblaci6n con media p yun efecto aleatorio e

1).

Análisis de Varianza

Para la revisi6n de la prueba F, se realiza en un análisis de varianza con unasola vía de clasificaci6n con t grupos o tratamientos. Considérese la siguiente tabla(Tabla 4.1) en la que se muestran las observaciones.

61

Dr. Franklin Chacin

Tabla 4.1. Ordenamiento de los datos con las medias de tratamiento para elAnálisis de Varianza.

Tratamiento Observaciones Medias1 2 j n

YII YI2 Ylj YID MI. ~1.Y21 Yn Y2j Y2n fi\ ~2.

YiI Yi2 Y. Y. M ~i.IJ •• L

Yu Yt2 Ylj y•• ~ ~L

Cada observación puede ser tomada de cada tratamiento, se nota que puedehaber un número infinito de datos tomados de cada tratamiento. La esperanzamatemática de cada tratamiento es:

E(Ylj) = ~I = ~ + 'tIE(Y2j) = ~2=~+'t2

(4.6)E(Y.) = ~, = ~ + 't,~

J.I representa el promedio para todos los tratamientos por consiguienteE(Y¡) = J.I

En el modelo, el efecto de tratamiento se puede indicar como (p i. - ~ ), deesta forma el modelo se puede escribir de la forma siguiente:

Yij= ~ + (~i. -~)+ (Yij- ~J

Yij - ~ = (~i. - ~ ) + (Yij - ~ J(4.7)

62

Diseño ,y Análisis de Experimentos 4

Si las medias son desconocidas, entonces se toman muestras aleatorias deobservaciones de los tratamientos y sepuede hacer una estimación de las mediasde los tratamientos y de la media poblacional. Si se toman ni observaciones delos tratamientos en los que el número de observaciones no es necesariamenteigual se podría representar de la manera siguiente; (Tabla 4.2).

Tabla 4.2. Muestra para el ANA VAR con un solo criterio de clasificación.

,¡

Tratamiento Observaciones1 2 ... n. Total Media n .

1 1

1 YII YI2 Y1nl LY1j ~I ni2 Y21 Yn Y2n2 LY2j fi\ n2.

Y¡I Yi2 Y. LY¡j ttl nin l

Yu Ya y•.• LYIj ~l n 1.

Aquí Y. representa el total de las observaciones tomadas del tratamiento1.

"i"Y ni representa el número de observaciones del mismo tratamiento y M¡. es lamedia del referido tratamiento. Y.. representa el total de todas las observaciones.

Y.(4.8)

I

n= ¿;=\ (4.9)

63

Dr. Franklin Chacin

Si Y.. es la media de las n observaciones, entonces:I

Y.. = L n. Y. / n1 1

i=l(4.10)

Si esos estadísticos muestrales sustituyen a los correspondientes parámetrospoblacionales, la ecuación que se generaría sería la siguiente:

Y. - Y.. = (Y. -Y.. ) +(Y. - Y.)1) ,. 1) r,

(4.11)

Esta ecuación se establece con base en las desviaciones de las observacionescon respecto a la media general y pueden dividirse estas desviaciones en dospartes, las desviaciones de la media de cada tratamiento con respecto a la mediageneral más las desviaciones de cada observación con respecto a la media decada tratamiento.

Si ambos lados de la ecuación anterior son elevados al cuadrado y sumadosen "i" y en "j", resulta:

I ni I ni I ni

L L (Y. -Y ..)2=L L (Y. -Y .. )2 +L L (Y..- y.)2i=l i=) 1) i=l j=l l. i=l j=l 1) l.

I ni

+ 2L L (Y. - Y.. ) (Y..- Y.)i=l j=l l. 1) l.

Examinando el último término del lado derecho de la ecuación.I ni I

L L (Y. - Y.. ) (Y..- Y. )- ¿ (Y L - Y.. )i=l I=) l. 1) L i=l

ni

[ L (Y.- Y.)]j=l ') l. (4.12)

la parte que se encuentra entre los corchetes es igual a cero ya que representa lasuma de todas las observaciones con respecto a la media dentro de cadatratamiento. Por consiguiente:

64

Oi5eño y Análi!3i!3 de Experimento!3 4

La ecuación anterior se puede referir como la ecuación fundamental en elanálisis de la varianza y expresa la idea de que la suma de cuadrados de todas lasdesviaciones de las observaciones con respecto a la media general es,igual a lasuma de cuadrados de las desviaciones de la media de tratamiento con respectoa la media general mas las desviaciones de cada observación con respecto a lamedia de cada tratamiento. La manera de obtener estimadores insesgadas de lavarianza poblacional sería la siguiente:

I tti

L L \'l..- y..)2 - se TOTAL dividido porlos grados de libenad (n - 1)(4.14)¡••I i=) • .

Si la hipótesis que se va aprobar en el análisis de varianza es verdadera,entonces t"¡ - O para toda i, es decir, no hay efecto de tratamiento, esto es;

111• -112.- 113. - ..• - IIL

por consiguiente el modelo estaría formado solo por la media poblacional másel efecto aleatorio.

luego uno sólo de los tres términos de la ecuación anterior puede usarse comoestimador insesgado de la varianza poblacional. Por ejemplo, si se divide el términodel lado izquierdo de la ecuación por los grados de libertad (n-1) se produciríaun estimador insesgado de la varianza poblacional.

(Yij - y i.)2 dividido por (Th¡ - 1)

Si las varianzas dentro de los t tratamientos son estadísticamente iguales,entonces se estimarán por agrupamiento:

65

, Di: Franklín Checln

(Y..- y.)21) _1.

:divididos por los grados de libertad respectivos, calculados de la siguiente manera:I

¿ (ni - 1) "" n - t;=1

y así se obtendría la estimación de la varianza poblacional. Así también puedenhacerse estimaciones de la varianza 0'2 y entre las medias formadas de lapoblación con d = n. 0'2 un estimador insesgado para 0'2 es dada por

I y I . Y¿ ni ~ i, - Y...:.) 2 /(t - 1) el cual se encuentra sumando el primer;=1

término de la parte derecha de la ecuación 4.13 sobre "j" y dividido por (t -1)grados de libertad. De esta forma existen tres estimadores insesgados de 0'2

cuando la hipótesis nula es verdadera. Los tres estimadores son independientes ylas sumas de cuadrados aditivas. Sin embargo sepuede mostrar que si cada términode la suma de cuadrados es dividida por los respectivos grados de libertad,entonces se producirían dos distribuciones independientes que son estimadoresinsesgados de 0'2 cuando Ha es verdadera. Si dos de tales estimadoresindependientes son comparados, la razón puede demostrarse que tiene unadistribución F con (r - 1) Y (n - r) grados de libertad dada por,:

t

¿ni (Y¡.- YJ2 /(t-l) CMTRATF(t- 1;n- t) = ...:...¡~...:...I-n-:-¡--.,....---- = CMEE

"" (Y - Y )2 / (n- t)L..J L..J 1) L

¡=I j=1

(4.15)

La región crítica se toma de la tabla en la que aparece la distribución de F,rechazando Ha si Feal ~ Ftab (1 - a)donde a es el área de F I-a. SiF es significativaindicaría que existen diferencias entre lasmedias de los tratamientos y por lo tantola hipótesis nula es rechazada. Estimadores insesgados de la varianza, es decir, lasuma de cuadrados entre los grados de libertad son también referidos comocuadrados medios, En la tabla 4.3 se dá el esquema de ANA VAR mostrando losgrados de libertady las sumas de cuadrados respectivos.

66

·.


Tabla 4.3. ANA VAR del Diseño Completamente aleatorizado.

Fuente de VariaciónF.deV.

Grados de libertadG. deL.

Suma de CuadradosS. de C.

Tratamiento t - 1

ErrorI

L (ni - 1)i=1

IL n.(Y-. _y .. )21 l.

I i=1

L Y.2/ni - Y..2/n1

i=1

ti:i=1 j=1

I ni I

= L L Y..2_Li=1 j=1 1) i=1

TütUI

L n. - 11

i=1

Y.2 / n.l. 1

ti:i=1 j=1

Y..2_ Y .. 2 / n1)

67

Or. Franklin Chacin

Esperanza de los Cuadrados Medios:

El Modelo Lineal Aditivo es:

(4.16)

La suma de cuadrados de tratamiento de acuerdo a la Tabla 4.3 es:t

SC1RAT = L ni (Yi. -Y.yi=l

del modelo (4.16)

Y.l.

n ni

=L Y../n=Lj=l 1) j=l

ni

Vi. =(n J.l In) + (n'ti In) + Lj=l

E .. In1)

ni

Mi. = J.l + 't i + L E ij I nj=l

(4.17)

También:t ni

Y.. =¿ Li=l j=l

Y. I nt=1)

tIi=l j=l

(J.l + r ¡+ E ij ) I nt

Y.. =(nt J.l Int)+ (nt 'ti I nt) + t Ii=l i=l j=l

t

Y .. = J.l + Li=l

ti:i=l j=l

(4.18)

68

Diseño.,yAnálisis de Experimentos ,4

restando de la ecuación 4.17la ecuación 4.18.

I ni

(Y¡. -Y .. )2 = ( ti - L ti /t )2 + I / n2( L;=1 j=1

I n{.

&ij -L L;=1 I=t

productos cruzados (4.19)

Suma de Cuadrados de tratamiento:I I I

se TRA T = L n (~. -ti!.) 2 = n L (1: i - L 1:i / t )2 +;=1 ;=1 ;=1

n;

(Lj=1

E ij / t )2 + n productos cruzados

(4.20)

El valor esperado será:

I

E(SC TRAT) = n E [ L;=1

I

(Ti - L;=1

I ni

ti / t )2] + I/n E[ L (L;=1 j=1

ti:;=1 j=1

(4.21)

ya que se puede demostrar que el valor esperado de los productos cruzados esigual a cero.

I I

L Ti = L (Jl i - Jl ) O;=1 ;=1

69

Or. Franklin Chacin

I

luego la E(SC TRA 1) = = n L 't ¡ 2 + (nt - n) / n a2•;=1

I

si los errores son aleatorio s y L 't i 2 es una constante, la E(CM TRA 1) =SC TRA T / (t-1) ;=1

,así;

I I

E(CMTRAT) = n L t/ /(t-1)+[n(t -l)/n (t-1) ]a2• =nL ,¡2 /(t-1)+ a2•

;=1 ;=1

Si los tratamientos son aleatorios y su varianza es el,

(4.22)

Cuadrado medio del Error.I n

SCERROR= L L (Y.-Y.)2;=1 i=v 1) l.

Sustrayendo las ecuaciones 4.16 y 4.17

y- ~.1) l.

E ..1)

n

L E../n1)

j=1

elevando al cuadrado y sumando

tI;=1 i=)

(Y¡j -

I n

~j=L L;=1 j=1

( E¡j -j=1

n

L E/n) 21)

70

Oieeño yAnáli5i5 de Experimento5 4

El valor esperado será:I n n

E(SCERROR) = E ¿ ¿ (E .. - ¿ E¡/n)2;=1 j=1 1) j=1

(n-l)cr 2= t (n-l)cr2. E (4.23)

;=1

E (CMEE) = E [ SCEE / t (n -1)] .., dE (4.24)

Complementando la tabla 4.3 del Análisis de Varianza, vease la siguienteTabla 4.4.

71

Trat I - 1

t

¿ n(V _Y .. )2o o.

í=1SCTRAT/t-1

t

n¿ t; 2 I ( 1-1) + 02,

í=1

n 02. + 02.

o\:):'l

:ll~::3.~

~9~('):l-

~

Tabla 4.4. ANAVAR aumentado con las esperanzas de los cuadrados medios para el dlseflo Completamente Aleatorlzado

F. de V G. de l. Suma de cuadrados Cuadrados Medios Modelo Fijo Modelo Aleatorio

t ni

Error t(n - 1) ¿ ¿(Yij - Y;. )2 SCEE I t(n - 1) 0\ 02•

í=1 j=1

t ni

Total nt - 1 ¿ ¿ (Y;j - '1.. )2;=1 j=1

..


Forniulación del Modelo Tipo 1 (Efectos Fijos)

El modelo puede ser establecido como sigue:

Y¡j= !l¡ + E¡jI

Y¡j= es el valor de la variable de respuesta en la j-ésima repetición del i-ésimotratamiento.!l¡= son parámetrosE¡json independientes N(q, a2

) i= 1, ... ,r j = 1, ... ni

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Aspectos importantes del modelo Tipo 1

Los valores observados de Y en la j-ésima repetición del tratamiento i-ésimo es la suma de dos componentes: ~l término constante!l¡ y eltérmino aleatorio del error E...

1)1.

Como E( E¡j)= 01' se tiene que E(Y¡j) = !l¡.. Por lo tanto todaslas observaciones para el i-ésimo tratamiento tienen la misma esperanza!l¡.Corno u, es una contante s~tiene que a2(y if)-= a2( E¡) = a2 por lotanto lasobservaciones tienen ~ misma varianza, para cualquiertratamiento.Como cada E está distribuido normalmente Y. tiene la mismau udistribución. Esto es debido a que Y. es una función lineal de E...u - . u·Los errores se asumen independientes; esto es, el término del error enuna salida no tiene efecto en el término 'de error de otro resultado, Si loserrores son independientes as; también son las observaciones Yjj.:.

En virtud de estos aspectos en el modelo planteado se puede establecerque: Y. están independientemente distribuidos N(J.l., 0-2)

1)" ..• d

Nota: El modelo de análisis de varianza es un modelo lineal porque puede serexpresado matricialmente en la forma: Y == X~ + E.

73

Oro Franklin Chacin

Por ejemplo en el caso de dos tratamientos con dos observaciones cada uno, Y,X, ~ Y E se definen como sigue:

Y¡I 1 O O &11Y¡2 1 O O p~[:l &121;\ O 1 O &2\

y=1;2

X=O 1 O

&=&22

1;\ O O 1 &3\1;2 O O 1 &32

Note la estructura simple de la matriz X y que el vector ~ consiste en unamatriz de medias.

Modelo Tipo 11 (Efectos a1eatorios)

El análisis de varianza para el modelo Iles de la forma:

Y..=II.+E ..IJ rl IJ

Y¡j = es el valor de la variable de respuesta en la j-ésima repetición del i-ésimotratamiento.Jl¡ = son independientes N ( Jl , al)Eij son independientes N(O, a2) i= 1, ... ,r j = 1, ... n¡Jl¡ y E¡json variables aleatorias independientes.

El modelo IIes similar en apariencia a los modelos de efectos fijos. Laprincipal distinción es que para el modelo 1el factor de medias Jl¡ es constante,pero son variables aleatorias para el modelo ll. Por lo tanto el modelo IIesllamado el modelo de los efectos aleatorios.

74

Oieeño y Anáttete de Experimentos 4

1)

2)

3)

Aspectos importantes del modelo Tipo 11.

El valor esperado de una observación Y¡j es E(Y¡) = Jl, esto se debea que E(Y.) = E(Jl') +E( E..) = Jl +O= u, Note que la esperanza toma, IJ I IJ

Promedios tanto para Il·como para E..I IJ.La varianza de Y es: (j2(y.)= (j2 + (j2 esto resulta porque modelo IIsupone que Jl¡ y E~son vari~b1esal~atorias independientes y (j2(Jl)= (j2u

y cr2(E¡j)=cr2. Debido a que la varianza de Y en este modelo es la sumade dos componentes (j2u y (j2, este modelo es algunas veces llamadomodelo de componentes de varianza.Finalmente, los Y¡j están normalmente distribuidos porque son unacombinación lineal de las variables Jl¡ y E¡jlos cuales son independientesy normales. Sin embargo, los Y¡j no son independientes debido a que unnúmero de diferentes Y. tienen el mismo componente ".IJ r r,

Comparación entre los modelos Tipo 1 y Tipo 11

En el modelo I, las conclusiones que se generan son pertinentes a soloaquellos tratamientos incluidos en el estudio. En el modelo TI, las conclusiones seextienden a la población de tratamientos de los cuales los tratamientos en el estudioson una muestra. La diferencia principal entre las dos situaciones es la siguiente:

El Modelo I, es relevante cuando los tratamientos son escogidos porqueexiste particular interés en ellos y no son considerados como una.muestra de unapoblación más grande. El Modelo TI, es apropiado cuando los tratamientosconstituyen una muestra de una pob1a~ión y el interés está en el 'estudio de lostratamientos.

,75

Or. Franklin Chacin

EJEMPLO ILUSTRATIVO

En la siguiente tabla (Tabla 4.5) se presentan los resultados (rendimientoen Kg/ parcela de 3 m2) de un ensayo con cuatro variedades de pepino.

Tabla 4.5 Datos en el ejemplo ilustrativo de un diseño completamente aleatorizado.

Observaciones VARIEDADES (k)(r) 1 2 3

1 4,87 2,30 6,802 4,60 2,25 5,703 1,33 5,85 4,624 5,58 6,16 3,805 5,88 8,35 2,756 2,81 5,93 4,937 4,10 1,50 4,938 5,63 5,85 3,80Total 34,80 38,19 37,33

4

1,283,885,003,251,564,254,465,5329,21

k •.•4 .••número de variedades.Ellas son: l.-Marketer; 2.-AsWey; 3.- Pixie; 4.- Poisettr •.•8 = número de observaciones por variedadn •••32 •••número total de observaciones.

1.Modelo Lineal Aditivo:

i~1,2, ... , t j = 1,2, ... ,r

Y. ••• observación J'-ésima del i-ésimo tratamiento.IJ

p •••media general.t: -= efecto del i-ésimo tratamiento.1

&¡j = error experimental de la j-ésima observación en el i-ésimo tratamiento.

76


2. Supuestos del Modelo:

Modelo 1/

Modelo II

I

L 't. = OI

;=\'t i ~ NID (O, 0'2 )

r

Eij ~ NID (O,0'2 )E

3. Hipótesis:

Modelo 1 Modelo TI

Ha: 't. = OI

Ho: 0'2 =0

,4. Esquema del Análisis de Varianza:

Ver Tabla 4.6

77

Pr. Fr~nklin Chacin

Tabla 4.6. Esquema del Análisis de Varianza para un diseño completamentealeatorizado

Esperanzas de los CuadradosMediosF. de V G. de L Suma de cuadrados Cuadrados Medios Modelo Fijo Modelo Aleatorio

M(I) M(II)

Trqt t - J

I

¿ y ;.2/r - F.C. se TRAT / t - I;=1

I

r¿ .;2/(t-I)+a2E;=1

Error t (r - 1) Diferencia SCEE/t(r-I)E

Total rt - 1 ti:;=1 I=t

v: -F.C.1)

I 11;

F.C.=¿ ¿ Y//rt=(M..)2/n;=1 l=)

5. Desarrollo del Ejemplo:

Suma de Cuadrados

SumadeO«uiradosde Tratamieruo:

34,802 ~ 38,192 +37,332 + 29,212 139,52

SCTRAT - = 6,139

8 32

Suma de Cuadrado: Total:

SCTOTAL = 4,872 + 4,602 + ... +4,462 + 5,532 - 139,52/32 = 92,569

Suma de CuadradosdelError Experimental:

SCEE = SCTOT AL - SCTRA T = 86,457

78

Diseño y Análisis de Exper(mentos 4·

Cuadrados Medios o Yarianzas

OiadradoMa:liodeTratamiento:

CMTRAT = SCTRAT /(t-1) = 2,0463

CuadradoMediodelErrorExperimental:

CMEE = SCEE / t (r - 1) = 3,0877

Análisis tle Varianza (ANA VAR)

Iuentede Gradosde Suma de 0w1r(f(;/a #,Variadón I.ikrtad 0Ittdmda mda Fe

Tratamiento 3 6,139 2,0463 0,662Error 28 86,457 3,0877Total 31 92,596

Prueba de Hipótesis

Fe = CMTRA T / CMEE = 0,662

I~>.;2/ (t-l) + 0-;Ft = .:.;;=:.:..1 __ -:-- __

0-2s

79

Dr.:Franklin ,Chacin

Para probar la hipótesis compare el F calculado (0,662) con el F tabulado,éste se encuentra en la tabla de F con los grados de libertad del numerador(tratamiento) y los grados de libertad del denominador (error experimental) ycon un nivel de significación y probabilidad de cometer el error tipo l.

Ftab (3,28,0,05) = 2.95 Ftab '(3 , 28 ,0,01) = 4,57

Fcal = 0,662 es menor que cualesquiera de los dos Ftab a los distintos niveles designificación considerados.

Interpretación:

De acuerdo a los resultados se puede establecer que F no es significativa,por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, Ho: T¡ = O. Esto se puedeinterpretar como que no hay diferencias entre los tratamientos (variedades)estudiadas; los rendimientos promedios correspondientes a las variedades depepino fueron estadísticamente iguales.

...

80

Diseño .YAnálisis de Experimentos 4

EJERCICIOS

Con un conjunto de datos afín a su investigación, responda las siguientespreguntas:

- Establezca el modelo lineal aditivo describiendo cada uno de lostérminos del modelo y los sub-índices presentes.

- Dé los supuestos del modelo.

-Establezca las hipótesis a probar.

- Escriba el cuadro de ANA VAR de acuerdo al modelo. Considerecuadrados medios esperados y los estadísticos de prueba.

-Realiceel ANA VAR.

-Pruebe las hipótesis.

-Interprete los resultados.

81

Dr. Franklin Chacin

DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADOCON SUBUNIDADES EN LAS UNIDADES EXPERIMENTALES

- SUBMUESTREO -

Muchas veces no basta con tomar un elemento por unidad experimentaldebido a que se incrementa grandemente el coeficiente de variación; por tanto,existen procedimientos en los que se determina el tamaño óptimo de la unidadexperimental. Se pueden variar las combinaciones de número de réplicas y eltamaño de la unidad experimental con el fm de disminuir lavariabilidad, expresadausualmente a través del coeficiente de variación.

Cuando se tienen las unidades experimentales compuestas de varioselementos, se pueden seguir tres procedimientos:

a.- Tomar un promediob.- TotalizarC.- Tomar información de cada elemento individual, con elprocedimiento que se describirá a continuación.

1.- Modelo Lineal aditivo

(4.25)

i = 1,2, ... , t j = 1,.2,... , r k = 1,2, ... , m

c ..= efecto del error experimental1)

0k = efecto del error de muestreo1)

82

Diseñoy Análisis de Experimentos 4

11.- SupuestosModelo 1 Modelo 11

I

L T. = OI

i=l

8.., ~ NID(0,a2)IJ.. E

111.- Hipótesis

Modelo 1 Modelo 11

Tratamiento:

Ha: 't. = OI

Ho: a2 =01

Ha: 't.:f. OI

Ha: a2 :f.O1

Error.

Ho: a2 =0E

Ho: a2 =0E

Ha: a2 * OE

Ha: a2 *0E

1V.- Prueba de F

Fe TRA T ¿ F;ab (a,t -1,t(r -1)) Se rechaza HaFeTRAT < F;ab (a,t -1,t(r -1)) No se rechaza Ha

FeEE ¿ F;ab (a,t(r -1),tr(m -1)) Se rechaza HaFeEE < F;ab (a,t(r -1),tr(m -1)) No se rechaza Ha

83

Dr. Franklin Chacin

Si la prueba de F para el Error Experimental es significativo, la prueba deF para tratamiento se divide entre el cuadrado medio del Error experimental;pero si no es significativo se debe hacer un pool de errores, adicionando lassumas de cuadrados y dividiendo entre las sumas de los grados de libertad de losdos errores y el FTRA T será CMTRA T / CMEE(conjunto).

Ejemplo Ilustrativo

Este ensayo fue realizado en los campos experimentales del CENIAP paraevaluar el efecto de la fertilización sobre la producción de follaje en el cultivo demaíz. El área fo1iar se midió en base al peso seco. El diseño experimental que seutilizó en el ensayo fue el de bloques al azar, tomando muestras de dos plantasdentro de cada unidad experimental, ya que la medición del área fo1iar por estemétodo es muy laboriosa para hacerlo en todas las plantas y se consideraba quedos plantas representarían una muestra apropiada de la población en cada unidadexperimental. Sin embargo, para fines de ejercicio, el ensayo será analizado comounDzSeñO CompletamenteAleatorizo4o con Submuestreo:

El modelo se considera fijo, ya que las dosis de fertilizantes utilizadas seconsideran como una población y los resultados obtenidos a partir de estas dosisno pueden ser extrapo1ados a otros tratamientos o dosis.


i=1,2, ... , t j = 1,2, ... , r k = 1,2 ... , m

s. = efecto del Error Experimental1)

O¡jk = efecto del error de muestre or = número de repeticiones por tratamientom = número de muestras por unidad experimental

84


II.- Supuestos

E .. ~ NID (O, (J2 )~ t

8'k ~NID(0,(J2)~ B

III.- Hipótesis

Ha: 'ti = O Ho: (J2 =0

IV.- Análisis de los Resultados.

Vease Tabla 4.7.

85

Dr. Franklin Chacin

Tabla 4.7 Datos en el ejemplo ilustrativo de un diseño completamente aleatorizadocon submuestreo

Tratamiento Observaciones Total

1 6240,70 5499,90 6355,44 5634,585746,64 6336,64 6822,10 7612,56 50248,56

2 8865,02 7437,97 8171,28 8677,6210263,24 9288,72 6093,54 7720,01 66517,40

3 7403,04 8537,94 7734,78 7734,787123,68 5993,94 6569,33 9236,34 60333,83

4 10458,54 9484,52 9515,70 8223,668960,72 7214,72 7577,64 7820,80 69256,30

5 8511,75 6809,40 6828,11 8511,758956,98 7865,87 8771,03 6477,66 62732,55

6 7811,90 9973,15 9248,34 9207,248503,02 5296,20 9847,44 6966,54 66853,83

7 6382,60 5825,82 9804,88 9256,1310056,96 8684,05 6468,26 8125,80 65494,96

8 8855,22 8338,90 6920,71 9166,509550,62 5971,32 9035,55 4923,72 62762,54

9 6728,82 9551,65 9288,71 9998,1710056,96 9166,50 7093,13 6420,00 68243,94

10 8503,02 7865,87 9026,82 7077,1210166,09 7422,25 7857,00 6440,56 64358,73

11 6479,25 7071,30 5584,51 8830,887384,42 7950,54 7106,72 7623,47 58031,09

TOTAL183899,65 167587,17 171661,02 171685,89 694833,73

86



F. de V G. de l. Suma de cuadrados Cuadrados Medios ECM FI r

Entre Ir- 1 L L Y.'/m- F.C.~Unidad

;=1 }=l

Experi- - 43 - 77608543

mental

t

Trata- I - 1 L y L'/ rm - F.C. SCTRAT/I-l dó +mcr'e+ CMTRAT/CMEE

miento;=1

I

- 10 - 37019293 - 3701929,30 mrL 1,' / (1-1) - 3,010;=1

Error I (r-l) SC(EUE) - Serrar SCEE/I(r-l) dó +mcr'g CMEE/CMEM

Experi-

mental - 33 - 40589250 - 1229977,27 - 0,592

Error de n - lr SCTotal- Serrar- SCEE SCEM / (n - Ir) d •Muestreo -44 - 91398328 - 2077234,73

TOlal n - 1-87 tÍt;=1 i=v k=l

Y;>' -F.C-169006871

Y••' / trm - (694833,73)' / 88 - 5486294457

Suma de Cuadrados entre Unidades Experimentales:I r

SC(EUE) = L L Y. 2/ m - F.C.;=1 i=) 'l,

SC(EUE) = [(6240,70 + 5746,64)2 + (5499,90 + 6336,64)2 + ... + (8830,88 +7623,47)2] / 2 - F.C.

SC(EUE) = 1,1127806xl01o / 2 - 5486294457 = 77608543

87


Suma de Cuadradosde Tratamiento:t

SCTRAT = ¿ y2/rm - F.Ci=l 1..

SCTRAT = (50248,56Y +(66517,40)2 +...+(58031,09)28 - 5486294457

SCTRA T = 5523313750 - 5486294457 = 37019293

Suma de Cuadrados del.Error Experimental:

SCEE = SC(EUE) - SCTRA T

SCEE = 77608543 - 37019293 = 40589250

Suma de Cuadrados del Total:t r m

SCTOTAL = ¿ ¿ ¿ Y.·k2 - F.C.

i=l j=l k=l q

SCTOTAL = 5655301328 - 5486294457 = 169006871

Suma de Cuadrados del Error de Muestreo:

SCEM = SCTOTAL - SCTRA T - SCEE

SCEM = 169006871- 37019293 - 40589250 = 91398328

88



Para Tratamiento:

Fcal = 3,010 Ftab = 2,12 (10 gl, 33 gl, 0,05)

Ftab = 2,49 (10 gl, 33 gl, 0,01)

Para el Error Experimental:

Fcal = 0,592 Ftab = 1,72 (33 gl, 44 gl, 0,05)

Ftab = 2,15 (33 gl, 44 gi, 0,01)

Coeficiente de Variación

~CMEM .J2077234,73CV(M)= _ xl00 = 789584 xlOO = 18%

Ygeneral ,

~CMEE .J1229977,27CV(EUE) = _ xlOO = 9 68 xl00 = 7%

YUE 157 1,

Interpretación de Resultados

La prueba de F para tratamiento muestra un valor altamente significativopor lo que se rechaza la hipótesis nula (Ho: r; = O) en favor de la hipótesis alterna(Ha: r; *- O) lo que indica que por lo menos un tratamiento tuvo efectos diferentesa los demás. En este sentido también sepuede observar que el c.v.entre unidadesexperimentales fue relativamente bajo, permitiendo confiabilidad en los resultadosobtenidos. Por ende, sepuede afirmar que al menos una de las dosis de fertilizantesutilizadas provocó una producción promedio de follaje en la planta de maízdiferente a las otras dosis.

89

Or. Franklin Chacin

Por otra parte la prueba de F para el error experimental arroja valores nosignificativos y menores que uno. Por lo tanto no serechaza la hipótesis nula (Ho:a2e = O) Yse concluye que la varianza del error de muestreo y la varianza del ErrorExperimental son estadísticamente igualesy están siendo estimadas por d 5' Estoindica poca heterogeneidad en el muestreo y complementado con el hecho deque el coeficiente de variación es relativamente bajo, afirma aun más la conclusiónde que el muestreo fue adecuado.

90

CapítuloS

DISEÑO EXPERIMENTAL EN BLOQUES ALEATORIOSO BLOQUES AL AZAR

Introducción

Los bloques al azar o bloques aleatorios constituyen el diseño de mayorimportancia en la planificación experimental estadística. La utilización de estediseño conduce a utilizar los tres principios fundamentales del diseño estadístico:a)Aleatorización, b) Replicaciones, c) Control Local.

La aleatorización se cumple al asignar los tratamientos a las unidadesexperimentales de cada bloque, de tal manera que todos los tratamientos esténrepresentados en cada uno de ellos; esto en sí constituye una restricción en laaleatorización en comparación con el diseño completamente aleatorizado.

Las replicaciones se cumplen ya que cada bloque representa una repetición'de cada tratamiento y el Control Local con el bloqueo o agrupamiento de lasunidades experimentales en los bloques de tal manera de extraer del errorexperimental la variabilidad de cualquier factor medida a través del bloqueo.

Para que el experimento sea eficiente, deberá cada bloqueo ser lo masuniforme, ya que el error se mide con base en la variabilidad aleatoria dentrodel bloque.

El diseño permite realizar un análisis de varianza para datos que pueden serclasificados bajo dos criterios. La disposición en bloques ~ azar es recomendableen la práctica, cuando sehacen comparaciones en lasque el número de tratamientosvan desde 4 hasta 24. Puede ser muy útil en ensayos de campo, umbráculos,

deri Igana ena, econOffila,entre otros.

Si se utiliza cuando el número de tratamientos es menor que 4, el número derepeticiones tendría que ser grande, generalmente mayor que 6, para poder tenersuficientes grados de libertad para el error y poder estimarlo eficient~mente. Esde recordar que en la práctica, es conveniente que los grados de libertad del

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pr. Franklin Chacin

error sean mayores de 10, aunque esto depende de la homogeneidad del materialI experimental.

Utilizar el diseño cuando hay más de 24 tratamientos es hasta cierto puntoineficiente y poco práctico, ya que puede existir heterogeneidad dentro de lasrepeticiones, es decir, entre las unidades experimentales, que hace aumentargrandemente el error.

Disposición Experimental

Es condición principal que todos los tratamientos formen bloques aleatorios;esto es, cada tratamiento debe estar representado una sola vez y aleatorizado encada bloque. En cuanto al número de repeticiones es conveniente que oscileentre 4 y 12 dependiendo de:

-La relación directa entre precisión y número de repeticiones: si senecesitamás precisión se aumenta el número de repeticiones.

- La heterogeneidad: entre mayor la heterogeneidad del materialexperimental mayor el número de repeticiones.

-Número de tratamientos: entre mayor el número de tratamientos menorpuede ser el número de bloques.

- Tamaño de la unidad experimental: entre mayor sea el tamaño de launidad experimental menor puede ser el número de repeticiones.

Por consiguiente es conveniente encontrar la mejor relación entre estosfactores.

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Ventajas y desventajas del diseño experimentalen bloques al azar

Es el diseño más utilizado en la investigación agrícola ya que permite controlarun factor de variabilidad, además de ser un diseño muy flexible desde el punto devista de su análisis así como cuando hay parcelas perdidas o covariables paraajustes en el análisis de varianza.

En cuanto a sus desventajas principales, se puede mencionar que cuando lascondiciones son homogéneas los grados de libertad para el error experimentalson menores que los del completamente aleatorizado y por consiguiente es menosprecisa la estimación del Error Experimental. Otra desventaja es que cuando seusa un gran número de tratamientos lasvariabilidades dentro del bloque sepuedenelevar de tal manera que el diseño se hace poco eficiente.

Modelo Lineal en el Diseño en Bloques al azar

El modelo de componentes de variación que describe la respuesta obtenidaa través de un diseño en Bloques al azar es:

r;j = !J. + 't i + Pj + E ij

para i= 1, 2, ... t j = 1, 2, ... r

(5.1)

Yij

representa la j-ésima observación del i-ésimo tratamiento.!J. es el efecto común de todo el experimento o media poblacional.'t. son los efectos ó desviaciones debidas al i-ésimo tratamiento.

I

P es el efecto o desviaciones debidas al j-ésimo bloque.J

E ij es el efecto del componente aleatorio en la j-ésima observación del. ,. .l-eSlIDO tratarruento.

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Dr. Franklin Chacin

Efecto del tratamiento y bloques fijos

Se considerará el bloque fijo como una medida para desarrollar la teoríaque sustenta el modelo matemático de componentes de variación, así mismopara el desarrollo posterior de los modelos mixtos y aleatorios, (Hernandez, A. yE. Soto, 1986).

En él caso del Modelo 1 la población de tratamientos se puede considerardividida en sub-poblaciones independientes y cada observación Yij,

correspondiente a cada sub-población es una muestra de tamaño uno condistribución normal con media ¡.t ij Y varianza cr2.

esto implica que las observaciones pertenecientes a la ij-ésima población tienenesperanza J.lij y varianza cr¡2 = cr2 en otras palabras existe homocedasticidad.

Prueba de hipótesis

La hipótesis de tratamiento sería:

Ho: J.ll. = J.l2 •

Ha: J.l i. =/:. J.l j.

... =J.l t. =J.li =/:. j

La media general se puede definir

J.l11 + J.l12 + ... + J.l tr

J.l = --------

tr

Vease en la tabla 5.1 las medias.poblacionales de los datos.

94


Tabla 5.1.. Medias Pob1acionales de los datos.

Br ~i.

'tI ~II ~12 ~Ir ~J.

't 2 ~ 21 ~ 22 .•• ~ 2r ~ 2.

~II ~t2

~.I ~.2

Se puede expresar que:

~J. +~2. + •.• +~1.

~ = ---------

t

~= L ~ i. It (5.2)i=l

o de la siguiente manera:

f-I.1+~.2+ ... +~'r

~=r

r

~= L ~ . Ir (5.3)j=l

.)

. ¡

95

Oro Franklín Chacin

Las desviaciones de ¡.t .t con respecto a la media general permite estimar losefectos de tratamiento adicionado con el efecto de bloque.

Las desviaciones deY¡jcon respecto a la media de su grupo permite obtenerlavariabilidad aleatoria.

En síntesis, si:

se puede llegar al componente de varianzas:

Yij= ¡.t + 1:i+ ~j + Sij

presentando dicho modelo dos restricciones:

i=l

r¿j=l

(5.4)I

L 1:. =0I

Esperanza y Varianza de Y

= 11 + E(1:.)+ E(A)+ E(S..)r I ""'J IJ

(5.5)


V(Y..) = V(II + 't. + A. + E ..)1) r 1 1-') 1)

V(Y..) = E(" + 't.+ A+E ..)2_ [E(" + 't.+ A.+E ..)]2IJ r ,""J IJ t'" I""J IJ

=E( E .. )21)

=0' 2

e(5.6)

Si se considera que los efectos de bloques y tratamientos son aditivos;

y calculando la sumatoria:

r r

L Jl. - r Jl = r r.+ L ~jj=1 ~ 1 j=1

se divide por r

r

L Jlij / r - Il = 't ij=1

Si 't i = O implica Il i. = Il

Esto conduce a la hipótesis nula y alternativa antes citada:

Ho: 't. = O vs.1

Ha: 't.:I; O1

El procedimiento es similar para el efecto del bloque.

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Or. Franklin Chacin

Efecto de Tratamiento y Bloques aleatorios

Cuando se tienen efecto de tratamiento y bloques aleatorios, la poblaci6nsería de tr subpoblaciones independientes de donde se van a extraer las muestras(Hernández A. y E. Soto, 1986).

La poblaci6n tendría "T" tratamientos y "R" bloques y se seleccionanaleatoriamente t y r medias de tratamientos y bloques con t < T Y r < R.

La sub-población se supone distribuida normal con media Il .. y varianza al. u. Cuando se seleccionan las muestras, se van a tener sub-poblaciones n muestralesdistribuidas normalmente.

Hipótesis Estadística:

La hipótesis de tratamiento sería:

Ho: ~ 1. = ~ 2. ••• = ~ 1. = ~H * i * J'a: ~i. ~j.

La media sería expresada como:

Il = tt;=1 j=1

Las desviaciones de Y. con respecto a la media poblacional general es un. 1)

efecto aditivo de tratamiento y bloque, por lo tanto darían los efectos aleatorios:

e ij = Yij - ~ ij

Yij = ~ ij + g ij

98


Por consiguiente:

Este último sería el modelo de componentes de varianza que es el mismoque se obtuvo cuando los efectos eran fijos, deferenciandose en la forma comofue muestreada la población.

Los supuestos que tendría el modelo serian:

t. ,..,NID (O. (12 )1 t

E.. ,..,NID (O, a2 )IJ E

Como se puede observar el efecto de t. tiene varianza a2 y A. tiene varianza a21 t I-'J ~

porlo tanto a\ representa la variación de Jl i. alrededor de Jl ya medida que sea a\.sea mayor se debe interpretar que las desviaciones de las medias de los grupos detratamiento son muy diferentes con respecto a la media general, por lo tanto;

Si a2 => Ot

Jli => Jl

y cuando a2 = O no hay variación entre las Jl i ' esto es, Jl i. = Jlt

Hipótesis Estadísticas:

Ho: a2t = O

Ha: a\ * O

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Dr. Franklin Chacin

Análisis de Varianza:

El análisis de varianza del bloque al azar está basado, por supuesto, en elmodelo lineal de acuerdo a la siguiente consideración:

- Los efectos de los tratamientos y de las repeticiones o bloques sonaditivos de acuerdo al modelo lineal establecido.

- Las subpoblaciones son normales.- Las subpoblaciones tienen la misma varianza, es decir, existe

homocedasticidad.- Las muestras son extraídas al azar.

Es conveniente resaltar que las consideraciones hechas son condicionesbajo las cuales la prueba de hipótesis es válida.

Si se indica por i (i = 1,2, ... , t) al tratamiento, por j G = 1,2, ..., r) larepetición, de manera que la unidad experimental en el tratamiento i y en larepetición j, puede ser identificada por ij. Habrá tr unidades experimentalesen total, cuyo modelo definido anteriormente es:

Notación:

Y.. =J

t¿i=l

y = total de la repetición j.IJ

fi1.. = Y.. / t = media de la repeticiónj.J J

Yl.

r¿j=l

y = total del tratamiento i.IJ

~ = Y / r = media del tratamiento i.

100


i= 1 i=2 i=3 i=4 Y. Y. y .-r .) .)

j=l Yl1 Y21 Y31 Y41 Y.I Y.1 y.•j=2 Yu Y22 Y32 Y42 Y2 Y.2 Y·2j=3 Y13 Yn Y33 Y43 YJ Y.3 y.)Y. YI. Y2. Y3. Y4.LY. YI. Y2 Y3. Y4.

L

't. 'tI. 't2. .'t3. 't 4.l.

El gran total y la media general son:I

Y.. = ¿;=1I

1.7 .. = ¿;=1

Y. =l.

r

= ¿ Y.j=1 .)

=t y./r=t tj=l -J i=l l=)

Y ../tr1)

Y./tl.

El efecto de las replicaciones y de los tratamientos es

y. = 5lJ. - ~ ...) .J

Con las restricciones:

I¿ t: = Ol.

r

¿ y. = O.Jl=)

(5.7);=1

101


De acuerdo a lo anterior Yij

puede ser expresado:

Y. = ~ .. + (~. - ~ ..) + cY . - ~ ..) + (Y. - ~•..- l'iI. + 1Sf..)1) l. .J IJ .J

Y. = ~.. + 't. + y. + E ..1) 1..J IJ

donde

E'.J. = Y - (IYI.. + 't. + y. )IJ l..)

Estimaciones por mínimos cuadrados

La suma de cuadrados a ser minimizados para lograr los valoresapropiados de Y, y, 'ti es:

Q = ¿~ (Y'.J. -IYI .. - 't. - y) 2• J t. .J

Q=~~ E .. 2• J ')

Derivando Q con respecto aY.. , 't. , y. e igualando a cero, se obtienen un1. .)

conjunto de ecuaciones que pueden ser resueltas, con las restricciones mencionadasen la ecuación 5.7 , quedando entonces, expresiones de la forma:

y u = IYI.. - 't. - YI Y.2 = IYI.. - 'tI - Y2 YI3 = IYI.. - 'tI - Y3Y21 = M .. - 't - Y1 Y22 -a. - 't - Y2 Y23 =I'iL - 't - Y32 2 2Y31 = M .. - 't - Y1 Y32 = IYI.. - 't3 - Y2 Y33 = IYI.. - 't3 - Y33

Y41 = IYI.. - 't4 - Y1 Y42 = IYI.. - 't4 - Y2 Y43 = IYI.. - 't - Y34

Para estimar ~ se hace la suma de las doce expresiones, nótese que alestimar el valor de ~ se desconoce la media general.

102


y ..=t t;=1 j=1

Y ../tr1)

Para estimar 1" se ignoran las expresiones que no tienen 1, y se hace lasuma de las expresiones que involucra a 1, y se iguala a cero.

I

¿ YiI - t ~ .. - ty , = O;=1

en forma semejante, al efecto 'tr

¿ Yr - r Y .. - r 't 1 = Oj=1 )

y así sucesivamente con el resto. En las estimaciones por mínimos cuadrado, el

valor 2 I •s , es un mirumo.1)

Componentes de la Suma de Cuadrados

La desviación total es la desviación de cada valor de la media general ypuede ser escrita de la siguiente manera:

Y. - Y.. = (Y. -y..) + (Y . - Y .. ) + (Y.. - y. -y + Y .. )1) l. -J 1) l. .

.)

si se eleva al cuadrado cada uno de los términos y se suman, se obtiene la identidadsiguiente:

103

Or. Franklin Chacin

¿ ¿ (f.. - fil. F= t t (fil - fiíJ.. f +r:t (M - ~ F +¿ ¿ (Y. - filo -i j IJ j=1 l. ;=I·J··; j IJ l.

r

=t ¿j=1

y.2 + rJ

I I r

¿ ~2+¿ ¿;=1 1 ;=1 j=1

(5.8)


El esquema de ANA VAR para este diseño aumentado con sus respectivasEsperanzas de los cuadrados medios sera mostrado en la tabla 5.2.

104


1. Modelo Lineal Aditivo:

i= 1,2, ... , t j = 1,2, ... ,r

~j observación del i-ésimo tratamiento en el j-ésirno bloque.~ media general.'t. efecto del i-ésirno tratamiento.

I

Pj efecto del j-ésimo bloque.E ij efecto aleatorio en el i-ésimo tratamiento y en el j-ésimo bloque que mideel error experimental.

2. Supuestos del Modelo:

Modelo 1 Modelo II

't i - NID (O, a2 )t

P - NID (O, a2)

J ~P - NID (O, a2 )

J ~

E ij NID (O, a2 )e

Eij - NID (O,a2)

e

107

Or. Franklín Chacin

3. Hipótesis:

Modelo 1 Modelo II

Pttra TratamientosHo: T. = O

IHo: 0-2 = O

Ha: 't.::f; OI

Ha: 0-2 ::f; O

ParaBloquesHo: d =0

Jl

Ha: 0-2 ::f; OJl

Ho: 0-2 = OJl

4. Esquema del Análisis de Varianza:

Ver Tabla 5.2.

5. Desarrollo del Ejemplo:

Suma de Cuadrados

Suma de Cuadradcsde Tratamiento:

246,632 + ... + 282,77SCTRAT =

4

Suma de CuadradosdeBloques:

336,352 + ... + 424,052

SCBLOQ = --------

108

1542,272

24

1542,272

24

643,03

1120,56

Tabla 5.2. ANAVAR aumentado con las Esperanzas de los Cuadrados Medios.

F. deV G. de 1. Suma de cuadrados

I

Trat t - I ¿ Y. 21 r - F.C.r.

;=1

r

Bloq r - I ¿ Y.2/t - F.C.j=1

.J

Error (t-I)(r-I) SCTOTAL -SCTRAT-SCBLOQ

Total

I¿ Y/ - F.C.r t - 1;=1

donde

I

F.C=(¿;=1

r¿j=1

Y;j )2/rt

Cuadrados Medios

SCTRAT I(t - 1)

SCBLOQ 1 (r - 1)

SCEE I( t - I)(r - 1)

Esperanzas de los Cuadrados MediosModelo Fijo Modelo Aleatorio

I

r"'" T2 l(t-I)+cr2L..J , e

;=1

t cr2J3 + a2e

r cr2T + cr2,

t cr2J3 + cr2,

\:J~.~!

:>~~,:::::\ti~'

~~~::I.

~

~(n~

cr2, cr2e

Or. Franklin Chacin

Esperanza de la Suma de Cuadrados:

Si se establece que no hay interacción entre replicaciones y tratamiento, Eij

es independiente y normalmente distribuido con media igual a cero y varianza<T. Se supone también que 'ti y Yj no están correlacionados, por consiguientese puede expresar:

E( Y ij 2) = E [ t¡...t + L r i + ry j + LE. j ] 2

E( Y /) = t¡...t 2 + e e 2+ t e 2+ t e 2 (5.9)II t E

donde crp 2 = E (y j 2) Y la esperanza de los términos producto es cero.

EJEMPLO ILUSTRATIVO

En la siguiente tabla se presentan los resultados (rendimiento en Kg/ parcelade 28 m") de un ensayo con seis poblaciones de tomate.

Tabla 5.3. Datos en el ejemplo ilustrativo para el diseño en bloques aleatorios.

Poblaciónplantas/ha Trat 1 II III IV Total Y

17857 1 49,51 35,27 75,20 86,65 246,63 61,6623928 2 38,46 55,00 53,51 70,35 217,32 54,3328571 3 45,05 65,47 87,27 64,96 262,75 65,6935714 4 47,62 66,11 75,64 74,18 263,55 65,8947851 5 80,74 62,06 53,79 72,66 269,25 67,3171428 6 74,97 69,86 82,69 55,25 282,77 70,69Total 336,35 353,77 428,10 424,05 1542,27

106


Suma de ÚIatIn:lthI Total:

SCTOTAL - 49,5t2 + 38,462+ ... + 72,662 + 55,252-1542,272/24 - 5015,20

Suma de Cuadmdosdel Error ~

SCEE = SCTOTAL-SCTRAT -SCBLOQ = 3251,61

Cuadrados Medios o Varianzas

Cuadmdo Medio de Tmtamiento:

CMTRA T = SCTRA T /(t -1) = 643,03/5 = 128,61

Gtadn:lLh Medio de Bbque:

CMBLOQ = SCBLOQ/(r-l) = 1120,56/3 = 373,52

CMEE = SCEE / (r - l)(r - 1) = 3251,61/15 216,17

Análisis de Varianza (ANA VAR)

Fuente de Grados de Suma de CuadradosVariación libertad Cuadrados medios Fe

Tratamiento 5 643,03 128,61 0,59Bloque 3 1120,56 373,52 1,73Error 15 3251,61 216,17Total 23 5015,20

109

Dr. Franklin Chacin


Para tratamiento:

Fc = CMTRA T / CMEE = 0,59N.s.

Ftab 5% = 2,90 Ftab 1% = 4,56

Para Bloque:

Fc = CMBLOQ / CMEE = 1,73N.s

Ftab 5% = 3,29 Ftab 1% = 5,42

Interpretación:

De acuerdo a los resultados se puede establecer que F no es significativa,por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula, es decir, Ha: t i = O. Esto se puedeinterpretar como que no hay diferencias entre los tratamientos (poblaciones deplantas estudiadas ), los rendimientos promedios correspondientes a laspoblacionesde plantas cosechadas fueron estadísticamente iguales.

Para bloques, no se rechaza la hipótesis nula Ha: a2 = 0, por consiguienteno hay diferencias entre los bloques, interpretándose tomo que existe ciertahomogeneidad entre los bloques.

110


EJERCICIOS

Con un conjunto de datos afín a su investigación, responda las siguientes preguntas:

- Establezca el modelo lineal aditivo describiendo cada uno de lostérminos del modelo y los subíndices presentes.


- Establezca las hipótesis a probar.

- Escriba el cuadro de AJ:\:A VAR de acuerdo ~1 "1lodelo. Considerecuadrados medios esperados y los estadísticos de prueba.

-RealiceelANA VAR.

- Pruebe las hipótesis.

- Interprete los resultados.

111

Dr. Frsnklln Chacin

DISEÑO EN BLOQUES AL AZAR CON SUBMUESTREO

1,- Modelo Lineal aditivo

(5.10)

i=1,2, ... , t j = 1,2, ... , r k = 1,2 ... , m

~j = efecto de bloqueE..= efecto del error experimental

1)

O"k= efecto del error de muestreoQ

Il» Supuestos

Modelo I Modelo 11

I¿ 7.=01

;=1

112

F. de V G. de l Suma de cuadrados Cuadrados Medios ECM F

~~Q¡

~¡

Tabla 5.4. Análisis de Varianza para un diseño en bloques al azar con submucstrco

~

_o·.

Trata- 1-1t y ;..'/ rm - F.e.

SCTRAT / (t - 1) ci6 + m ci, + CMTRAT/;_1

miento = 37019293,

CMEEmrLT,'/(t-l)= 10 = 3701929,30 ¡-I

= 3,28

L y J.'/tm - F.e. SCBLOQ/(r-1) ci6 + m ci, + CMBLOQ /Bloques r - 1 )-1 tmt 13¡' /(r-I) CMEE

)-1

= 3 =6800606 = 2266868,7-2,01

Error (t-I )(r - 1) tt y ;¡.'/ m -SCEE/(t-I)(r- 1) ci6 + m er, CMEE /í •• I )-,

Experi- F.C. - SCTRAT - CMEMmental = 30 SCBLOQ = 1126288,13

= 0.54

= 33788644n-(m-I)

Error de SCTotal - SCTRAT- SCEM /n (m - 1) er.Mucstreo =44 SCBLOQ- SCEE

= 2077234,73= 91398328

Total rtm - 1t t t Y,,.'¡-1 )-1 '-1

- F.C.= 87

= 169006871

>:::st\),:::-:~~.

~~~§,~~~(J¡

Dr. Franklin Chacin

llI.- Hipótesis:

Modelo 1 ModeloII

Tratamiento:

Ho: t. = OI

Ho: cr2 =0

Ha:t.:f:. OI

Bloque:

Ho: cr2 =0i3

Ho: cr2 =0i3

Ha: cr2 :f:. Oi3

Error:

Ho: cr2 =0s

Ho: cr2 =0&

Ha: cr2 :f:. Oe

Ha: cr2 :f:. OE

N.- Prueba de Hipótesis

FeTRAT~Ftab(a, t-l, (t-l)(r-l)) SerechazaHoFeTRAT < Ftab(a, t-l, (t-l)(r-l)) NoserechazaHo

FeBLOQ ~ Ftab(a, r-l, (t-l)(r-l)) SerechazaHo

114


FcBLOQ < Ftab(a, r-1, (t-1)(r-1)) No se rechaza Ho

FcEE ~ Ftab(a, (t-1)(r-1) ; tr(m-1)) Se rechaza HoFcEE < Ftab(a, (t-1)(r-1); tr(m-1)) No se rechaza Ho

Generalmente, se prueba primero el F del error, de manera de que si no haysignificación se usa un pool de errores; esto es:

SCEE+SCEMCMEE( conjunto) = (5 11)

(t-1)(r-l) + tr(m-1) .

Si el FEU da significativo es porque hay diferencia entre las unidadesexperimentales en el mismo tratamiento.

Ejemplo IlustrativoSe analizaron los mismos datos que se utilizaron en el ejercicio del Diseño

Completamente Aleatorizado con Submuestreo, (el cual solo se hizo con finesdidáctico s) , pero ahora es a través del Diseño en Bloques al Azar que fue eldiseño que realmente se usó en el montaje del experimento.

El modelo se considera fijo por las razones expuestas anteriormente.


i=1,2, ... , t j = 1,2, ... , r k = 1,2 ... , m

II.- Supuestos

I¿ T = O1

s.. - NID (O, a2 )IJ

o ijk - NID (O, a2 )ó

115

Dr. Frsnklin Chacin

ID.- Hipótesis

Ho: 't. = O, Ho:~. =0)

Ho: 0'2 =0&

Ha: 't.;f:. O, Ha: 0'2 ;f:. O&

IV.- Analisis de los ResultadosVer Tabla 5.4

Tabla 5.4. Análisis de Varianza para un diseño en bloques al azar con submucstreo

FdeV Gdel Suma de cuadrados Cuadrados Medios ECM r/

L y L'/rm - F.e.cr6 +mcr,+Trata- t - l ¡"I SCTRA TI (t - 1) CMTRATI

miento = 37019293 mrÍ 1:,'/(t-1) CMEE=10 = 3701929,30 ,~I

= 3,28

L y ¡.'/tm - Ee. SCIlLOQ 1 (r - 1) o'¡ + 1110', + CMIlLOQ 1Bloques r - 1 i=! tmÍ ~¡' I(r-I) CMEE

r-!= 3 =6800606 = 2266868,7

= 2,01

Error (t-I)(r-I) Í Í Y,;' 1 mSCEE/(t-I)(r- 1) cr\ + 111 cr{ CMEE 1¡al j-I

Experi- r.c, - SCTRAT CMEMmental = 30 SCRLOQ = 11262g8,13

= 0.54= 33788644

rt-(m-I)Error de SCTotal - SCTRAT- SCEM 1 rt (m - 1) crt;Muestrco =44 SCIlLOQ- SCEE

= 2077234.73= 913<)8328

Total 1Í Í t YI)l ~

rtm - ;-1 ¡-I ,-,- Ee.

= 87

= 169006871

116


Suma de Cuadrados

F. C. = t Í t Y¡jk 2/ trrn = (694833,73)2/ 88 = 5486294457;=1 j=1 k=1

Suma de Cuadrados de Tratamiento:I

SCTRAT = ¿ Y. 2/rro - F.CL.

;=1

SCfRAT (50248,56)2 + (66517,40y +...+(58031,09)2= 8 - 5486294457

SCTRAT = 5523313750-5486294457 = 37019293

Suma de Cuadrados de Bloque:

r

SCBLOQ = ¿ y .2ltro - F.Cj=1 .,.

SCBLOQ = 6800606

Suma de Cuadrados del Error Experimental:I r

SCEE = ¿ ¿ y ..2/ m - F.C-SCTRAT -SCBLOQj=1 j=1 i].

SCEE = 33788644

117

Df: Franklín Chacín

Suma de Cuadrados del Total:I r m

SCTOTAL = ¿ ¿ ¿ Y..k2 - F.C.

;=1 I=) k=1 1)

SCTOT AL = 5655301328 - 5486294457 = 169116871

Suma de Cuadrados del Error de Muestreo:

SCEM = SCTOT AL - SCTRA T - SCBLOQ - SCEE

SCEM = 91398328


Para Tratamiento:

FeaI = 3,28 Ftab = 2,18 (10 gl, 30 gl, 0,05)

Ftab = 2,98 (10gI, 30 gI, 0,01)

Para Bloque:

Fcal = 2,01 Ftab = 2,92 (3gI, 30gI, 0,05)

Ftab = 4,51 (3gI, 30gI, 0,01)

Para el Error Experimental:

Fcal = 0,54 Ftab = 1,72 (30gI, 44 gl, 0,05)

Ftab = 2,15 (30 gl, 44 gI, 0,01)

118

Dteeño v Análisis de Experimentos 6

Coeficiente de Variación

.JCMEM .J2077234,73CV(M)= xl00= 89 84 xl00= 18%

X general 7 5,

.JCMEE .J1126288,13CV(UE)= X

UEx100= 15791,68 xl00=7%

Interpretación de Resultados

En este caso los resultados fueron muy semejantes a los obtenidosanteriormente con el Diseño Completamente Aleatorizado con submuestreo,con la diferencia de que aquí se debe interpretar el efecto de bloques, el cual nofue significativo; por lo que se puede asumir que ~j = 0, o sea que no existió unefecto muy marcado de bloque. Es posible que no haya sido necesario bloquear,sino mas bien realizar el ensayo en forma de Diseño Completamente Aleatorizado,que es más sencillo de manejar y planificar en el campo.

119

Capítulo 7

COMPARACIONES DE MEDIAS.PRUEBAS DE RANGO MÚLTIPLE

TEORÍA BÁSICA Y APLICACIONES

Introducción

Cuando se realiza el análisis de varianza y se rechaza la hipótesis nula para undeterminado efecto fijo, se llega a la conclusión de que por lo menos una de lasmedias de los grupos involucrados en esa fuente de variación difiere del resto yno se puede especificar cual de ellas es la q\l': presenta la diferencia. Por ello es degran utilidad efectuar comparaciones adicionales entre las medias de los grupos otratamientos. Dichas comparaciones se realizan en términos de los totales detratamiento Y¡ó de los promedios de tratamiento ,( Los procedimientos paraefectuar las comparaciones se denominan métodos de comparación múltiple.

Estos métodos se ocupan de los procedimientos y tasas de error que no seestudian al aplicar la prueba de "t" y la prueba de "F". Con la primera, se cometeun error tipo 1al rechazar erróneamente una hipótesis con respecto a un soloparámetro o diferencia de dos parárnetros. En el caso de la prueba de "F", lahipótesis incluye muchos parárnetros dentro de un experimento; ello se puedeconsiderar como la prueba de hipótesis simultánea con respecto a muchasdiferencias, en las que el rechazo general depende de una ó mas diferencias noespecificadas.

De allí la necesidad y el origen de las pruebas de comparaciones múltiplesde medias. En este capÍtulo seestudiarán las siguientes pruebas de rango múltiple:

-Míni~a D.iferencia Significativa (mds)- Contrastes Ortogonales.- Prueba de Dunnett.- Prueba de Sheffé.

137

Dr. Franklin Chacin

- Prueba de Student, Newman y Keuls (S.N.K)-Procedimiento W de Tukey.-Prueba de Amplitudes Múltiples de Duncan.-Prueba t de razón k-bayesiana de Waller-Duncan.- Prueba de Bonferroni.

Inicialmente se mencionan algunos aspectos importantes en cuanto a lossupuestos requeridos para la aplicación de estas pruebas. Posteriormente seofrecenalgunas clasificaciones de las mismas, en base a criterios prácticos, como una guíapara su correcta aplicación a casos específicos.

Luego semencionan los antecedentes, la metodología aplicada en un ejemplo,para fmalmente ofrecer una revisión bibliográfica general que ilustre el desarrollode la investigación en este importante tema a través del tiempo.

Supuestos y Condiciones para la aplicación de lasPruebas de Rango Múltiple

WELCH, B. L. (1951) en su trabajo sobre "una aproximación comoalternativa en la comparación de varias medias", resume muy apropiadamente lassuposiciones básicas de las pruebas de rango múltiple, al discutir el trabajo de]AMES(1951), señalando:

"Sean Y t (t = 1,2, ..., k) estadísticos normales e independientes distribuidoscon media ¡.tI Y varianzas ni al

2respectivamente, donde las ni son constantesconocidas, siendo ¡.tI Y al

2desconocidas. Se supone que los datos permiten laestimación de a 2 a través de s 2, donde s 2 están distribuidas respectivamente

I I I

como X 2 a 2/ f siendo f los grados de libertad de X 2. Se supone además queI I I [ t

todas las Sl2 están independientemente distribuidas para cada uno de los Y¡".

El problema consiste luego en probar si los datos son consistentes conrespecto a la hipótesis de que todas las ¡.tI son iguales, es decir, ¡.tI=¡..t para(e = 1,2, ..., k)".

~., 138.'


Señala el autor que un caso particular de Y, pueden ser las medias x, de tmuestras de n observaciones de k diferentes poblaciones normales cuyas medias

t ,

Y varianzas son J.l, y cr,2,respectivamente.

Dado que V (x,) = cr,2/n" se tiene (de acuerdo a lo anterior) queW, = 11n,' Cada muestra proporciona estimaciones S,2de cr,2.La hipótesis bajoestudio es ablece si se puede considerar que las poblaciones muestreadas poseenla misma media, bajo la condición de que sus varianzas sean necesariamenteiguales.

La suposición de que los datos permiten la estimación de cr,2através de s/y la distribución de este estadístico, establece la necesidad de una escala de medidaen la variable bajo estudio; por otra parte se reíieja la importancia de probar lossupuestos con pruebas adecuadas. Tal es el caso de la prueba de Barlett paraverificar si todas las muestras estiman la misma varianza.

Se aprecia claramente que las pruebas de rango múltiple requieren delcumplimiento de una serie de supuestos de forma similar al análisis de varianza.

Clasificación de las Pruebas de Rango Múltiple

A continuación seofrecen dos clasificacionesde laspruebas de rango múltiplelascuales pueden constituir una orientación inicial desde el punto de vista práctico,para su aplicación. En este sentido sedescribe brevemente cadauna de las categoríasestablecidas.

De acuerdo a su naturaleza

Son aquellas cuya aplicación está "restringida" a las situaciones en las que lascomparaciones a realizar son planificadas previamente. En una comparaciónplaneada, se les da nombres a los tratamientos de antemano; no es necesarioesperar los resultados, por ejemplo para saber cual tratamiento está asociado conla mayor respuesta (Steel y Torrie, 1990).

139


Laspruebas predeterminadas pueden conducir a resultados sin validez cuandoson aplicadas en comparaciones sugeridas por los datos. Dentro de esta categoríase incluyen las siguientes pruebas:

Mínima Diferencia Significativa (m.d.s)Contrastes OrtogonalesPrueba de Dunnett

Pruebas de f!foctossugeridos por hs datos

Son aquellas pruebas que se aplican en situaciones en las que se conoce pococon respecto a la naturaleza de los tratamientos y se vacila en proponercomparaciones con sentido. Estas técnicas son muy utilizadas para comparartodos los posibles pares de medias.

Con respecto a este tipo de pruebas Steel y T orrie, 1990 exponen:

Cuando la hipótesis va a ser sugerida por los datos o se incluyen mascomparaciones que los grados de libertad para los tratamientos, entonces se debetener mucho cuidado en el procedimiento de prueba.

Se incluyen en este grupo las pruebas:

Prueba de SchefféPrueba de Student Newman y Keuls (S.N.K.)Procedimiento W de TukeyPrueba de Amplitudes Múltiples de DuncanPrueba t de razón bayesiana de Waller-DuncanPrueba de GabrielPrueba de Bonferroni

140


De acuerdo a las comparaciones de interés

Pruebas contra un testigo. Sedestacan en esta categoría aquellas pruebas cuyoobjetivo es comparar todas las medias de los tratamientos contra un testigopreestablecido. Esta consideración involucra obviamente la necesidad de unaplanificación previa predeterminada. Se incluye en el presente grupo la pruebade Dunnett.

Pruebas que involucran solo algunas comparaciones. Son aquellas pruebaspredeterminadas, con las cuales es posible efectuar solo algunas comparaciones,dentro de las que pueden incluirse o no, las comparaciones contra un testigo.Esta restricción depende de las características de cada prueba. Se incluyen aquí laspruebas:

Mínima diferencia significativa (m.d.s.)Contrastes Ortogonales

En la m.d.s. pueden efectuarse como máximo, un número de comparacionesigual a los grados de libertad de tratamiento. Con la prueba de los Contrastes, lalimitación está determinada por aquellos contrastes que resulten ortogonales.

Pruebas que involucran la comparación de todos losparesde medias. Tal como loexpresa la denominación con estas pruebas es posible comparar las medias detodos los grupos o tratamientos, bien sea que se trate de efectos sugeridos porlos datos o que se considere un conjunto planeado. Se estudian en este caso laspruebas: .

Prueba de SchefféPrueba de Student Newman y Keuls (S.N.K.)Procedimiento W de TukeyPrueba de Amplitudes Múltiples de DuncanPrueba t de razón k-bayesiana de Waller-DuncanPrueba de GabrielPrueba de Bonferroni

141

Dr. Franklin Chacin

Número de Repeticiones por Grupo (Tratamiento)

Un aspecto muy importante a considerar al aplicar cualquier tipo de pruebade rango múltiple, es si el número de repeticiones para los grupos o tratamientosa ser comparados, es o no el mismo. Se desarrollaran cada una de las pruebasmencionadas bajo la suposición de que todos los grupos tienen igual número derepeticiones, sin embargo, se ofrece en algunos casos los ajustes necesarios para elcaso de grupos con desigual número de repeticiones.

Desarrollo de las Pruebas

Contrastes

Sise usa alguna prueba de significación para detectar diferencias reales entretratamientos y se rechaza la hipótesis nula, sabemos que hay diferencias entre lasmedias pero no sabemos cuales son las medias o que combinación de ellas causanestas diferencias. Es por ello que en muchos métodos de comparación múltiplese utiliza la idea de un contraste. Esto conlleva a una combinación lineal de lostotales de tratamientos con el objeto de hacer comparaciones planeadas.

En la comparación de un experimento frecuentemente podemos prepararpruebas F para responder preguntas pertinentes. Esto involucra la partición delos grados de libertad y de la suma de cuadrados para los tratamientos encomponentes de comparación.

Estas comparaciones son independientes y por lo mismo ortogonales cuando:

-la suma de los coeficientes de la comparación es igual a cero.-la suma de los productos de los coeficientes correspondientes a doscomparaciones es igual a cero.

Las comparaciones o contraste son un conjunto de funciones lineales de laforma:

142


e = ¿c. yi con la restricción ¿e = oi i

(7.1)

donde y¡ pueden ser totales o medias de tratamientos. La suma de cuadrados deun contraste es igual:

(Le. Y.)'scc = 1" 2

nL.,¡C;(7.2)

;donde n es el número de observaciones por tratamiento. Cuando el número deobservaciones en cada tratamiento es diferente la comparación de las mediasreqwere que:

Q

¿niC = O;=1

(7.3)

se tiene que:

(7.4)

Tal como fue mencionado, los y¡ pueden ser totales ó medias de tratamientos,los primeros son mas convenientes para laspruebas, los últimos para la estimaciónde intervalos de confianza.

Una comparación tiene un grado de libertad asíque t es la prueba apropiada,pero puede usarse F también. Para probar la hipótesis nula de que no existediferencias entre los tratamientos generalmente es conveniente usar F y calcular elnumerador a partir de los totales de tratamiento y el denominador la suma decuadrados del error.

Para probar un contraste se debe comparar la suma de cuadrados delcontraste con el cuadrado medio del error. El estadístico que resulta tiene unadistribución Fcon 1y n-a grados de libertad.

143


Contrastes Ortogonales: Dos contrastes como los descritos anteriormente y concoeficientes C, y Di respectivamente, son ortogonales si:

a¿ c.D.=O1 1

j~1(7.5)

o en el caso de repeticiones desiguales:a

¿ n. C.D. = O1 1 1

j=1(7.6)

Si se tiene a tratamientos, el conjunto de a-l contrastes ortogonalesdescomponen la suma de cuadrados de tratamiento en a-l componentesindependientes de un solo grado de libertad, por lo que las pruebas realizadassobre los contrastes ortogonales son independientes.

Los coeficientes de los contrastes deben ser elegidos antes de realizar elexperimento y analizar los datos. Para elegir los coeficientes existen muchas maneras;las siguientes reglas son de utilidad en ese sentido:

1.- Si se van a comparar dos grupos de igual tamaño, simplemente asígnensecoeficientes + 1 a los miembros de un grupo y -1 a los integrantes del otro grupo.

2.- En la comparación de grupos que contienen distintos números detratamientos, asígnense al primer grupo tantos coeficientes como número detratamientos tenga el segundo grupo; y a este último tantos coeficientes del signoopuesto como número de tratamientos tenga el primer grupo. Entonces, si entre.cinco tratamientos se quiere comparar los dos primeros con los tres últimos loscoeficientes serían + 3,+ 3,-2,-2,-2.

3.- Redúzcanse los coeficientes a los enteros mas pequeños posibles. Porejemplo, en la comparación de un grupo de dos tratamientos con un grupo decuatro, en virtud de la regla 2, se tienen los siguientes coeficientes;+4,+4,-2,-2,-2,-2 pero estos pueden reducirse a +2,+2,-1,-1,-1,-1.

4.- Los coeficientes de interacción siempre pueden determinarse mediantela multiplicación de los coeficientes correspondientes a los efectos principales .. .

"::::,:". 144


Método de Scheffé para comparar todos los contrastes

En muchas situaciones no se sabe de antemano los contrastes que se deseancomparar, ó se desea realizar mas de a-I comparaciones. En muchos experimentosexploratorios, las comparaciones de interés son descubiertas solo hasta despuésde un examen preliminar de los datos.

El método de Scheffé (1959) es muy general en el sentido de que todas lasposibles comparaciones pueden probarse en cuanto a significancia o bien puedenconstruirse intervalos de confianza para las correspondientes funciones hnealesde parámetros. Esto quiere decir que son permisibles infinito número de pruebassimultáneas, aunque solo se lleveacabo un número finito, lo que da como resultadouna tasa de error no mayor que la planeada. En este sentido el error tipo 1escuando mucho igual a !len cualquiera de las posibles comparaciones.

Supongamos que se ha determinado un conjunto de m contrastes de lasmedias de tratamientos de interés que se designará

u= 1,2, ... , m (7.7)

al contraste correspondiente usando los promedios de tratamientos y, es:

Cu =CIU~ +C2u~ + ... +Cau~ u= 1,2, ... , m (7.8)

Necesariamente, laprueba debe tener un valor crítico alto para la comparación,por ende el poder es bajo. El valor crítico para una comparación de la forma

. a¿ C¡y¡ exige el cálculo de Cu , luego el error estándar de este contraste es:

Scu =

a

CMEE ¿(C¡//n¡)i=1

(7.9)i=1

en donde n. es el número de observaciones del i-ésimo tratamiento. El valor1

crítico con que Cu debe ser comparado es :

Sau = Seu .J(a -l)Fa,a - 1,11 - a (7.10)

145

Dr. Franklin Chacín

Para probar la hipótesis de que el contraste Tudifiere significativamenre decero, hay que comparar e,con el valor crítico Ie, I ~ Sau la hipótesis nula de queel contraste Tu es igual a cero debe ser rechazado.

También puede usarse el procedimiento de Scheffé con el fin de construirintervalos de confianza para todos los posibles contrastes de las medias detratamientos. Los intervalos de confianza construidos con este procedimiento,por ejemplo:

son intervalos de confianza simultáneamente verdaderos con un nivel de confianzade al menos t-o,

Prueba de las Mínimas Diferencias Significativas

Es un procedimiento usado para comparar un conjunto de medias y tambiénpara comparar cada una de las medias de un conjunto con un tratamiento control.Este procedimiento fue traído a discusión por Fisher.

El valor de rnds (el cual representa las mínimas diferencias significativas) esigual al producto de la desviación estándar de la media por .fi veces el valor det al nivel de significación uescogido y con f grados de libertad asociados con ladesviación estándar de la media.

El rnds es una forma de d Ja t y simbólicamente se podría establecer:-~d

d Sd'jt = - (7.12)

Sd

Sea la diferencia entre dos medias (X¡- x¡ '= d) el límite inferior de losvalores que cabría esperar en un 5% ó mas de las veces al obtener muestras dediferencia de medias, donde la media Ild es igual a cero. Se sustituye d por rndsy Ild por cero y la fórmula se transforma en:

t = rnds / Sdo"~

1~


resolviendo por rnds, se tiene:2 '2

2 Si Simds = t Sd; donde Sd = - + -, siendo Si 2 Y Si '2 las varianzas estimadas

n nde los experimentos que reciban los tratamientos i e i I respectivamente, r¡y r¡ I

son los números de unidades experimentales que reciben los tratamientos i e i I

respectivamente.

Todas las diferencias entre las medias son comparadas con el rnds calculado.Si la diferencia excede el mds, se dice que las medias provienen de poblacionescon medias distintas.

Una variación añadida a la prueba de t múltiple a un nivel ('< es el uso de Fó Z antes de realizar la comparación de medias, y si este muestra significación,entonces la prueba de t múltiple es realizada sobre las diferencias entre las medias;de lo contrario la prueba rnds no debe ser usada para hacer comparaciones entrelasmedias.

En conexión con estas pruebas de medias, Fisher estableció que los a-lgrados de libertad provenientes de los a. tratamientos pueden ser particionadosen a-l comparaciones ortogonales, cada una con un grado de libertad, y que esposible obtener una estimación de la varianza del error para cada comparacióncon un grado de libertad en un número de diseños de experimentos.

La dificultad aquí estriba en que las varianzas de los errores usualmente estáasociada con pocos grados de libertad; en consecuencia, la varianza combinada,con un mayor número de grados de libertad, es usada siempre que sea posible.También, mas de a-1 comparaciones ortogonales es usualmente lo deseado.

El caso más extremo en el uso de la prueba mds, es el que compara lamedia mayor con la menor en un conjunto de a tratamientos. En este casoPearson y Hartley (1966) mostraron que los errores tipo 1 para los a tratamientosno es del 5% para a mayor que dos sino mucho mayor.

El tamaño del error tipo 1es igual a [1 - f P n (Q)] donde f P n (Q) esobtenido a través de la siguiente expresión:

147

Dr. Franklin Chacin

(7.14)

donde Po' a o(Q), bJQ) se obtienen de la Tabla 1 del trabajo mencionadode Pearson y Hartley.

n = número de tratamientosf = grados de libertad asociados con el error experimental

Q = ..fi tU;f

t U;f = t de Student tabulado para un nivel de significación a y para losgrados de libertad asociados con el error experimental (Q

Cochran y Cox (1957)también indican que en la situación extrema en que elexperimentador solo compara la diferencia entre la mas alta y la mas baja de lasmedias de los tratamientos mediante la prueba t ó rnds, esta diferencia seráprobablemente considerable aún cuando no exista efecto.

Ellos aseveran que puede demostrarse que con tres tratamientos el valorobservado de t para la máxima diferencia será mayor que el valor tabulado alnivel del 5% en el 13% de las veces; con seis tratamientos la cifra es del40%j condiez tratamientos es del 60% y con veinte tratamientos 90%.

Así cuando los experimentadores piensan hacer una prueba t al 5%, enrealidad la están haciendo a un nivel del 13%para tres tratamientos; 40% para seistratamientos y así sucesivamente.

Por lo tanto, la prueba rnds para comparar las diferencias entre la mas alta yla mas baja de las medias, no puede ser usada para más de dos tratamientos en elexpenmento.

En un análisis de varianza se supone que si S¡2 estima la misma varianza queSi' 2y que r ¡es por regla general igual a r ¡' , por tanto:

(2s2mds = t V---;--r- (7.15)

ili8.'


donde S2 es el cuadrado medio del error, r es el número de repeticiones y t es elvalor tabular de t para los grados de libertad del error (Q.

Prueba de Student - Newman - Keuls

En 1927, Student sugirió el uso de rangos como procedimientos pararechazar muestras que difieran en una serie de análisis. Newman hizo uso de lasideas de Student para subdividir un grupo de medias de tratamientos ordenadosen subgrupos homogéneos y presentó tablas para ciertos valores de q donde:

q=Xmax- Xmin rango

(7.16)s¡¡ desviacion. estandar

dondeXmax = la más alta de las mediasXmin ~fmás baja de las mediassr = } Fr es un estimado independiente de la desviación estándar de

cada media si se tiene el mismo número de observaciones para los tratamientosy todas las desviaciones estándar son iguales.

Las tablas de Newman fueron calculadas basadas en la ley de probabilidadaproximada de ordenamiento estudentizado de Pearson. Más tarde Pearson yHartley realizaron una tabla similar a la obtenida por Newman. Las tablas fueroncalculadas por métodos aproximados. May (1952) recalculó estas tablas con elfin de obtener resultados correctos con más cifras significativas. Esta tabla esreproducida en la Tabla F.

Las últimas líneas (para infinitos grados de libertad) corresponden a losvalores calculados por Snedecor (1946)ya los valores usados por Student (1947).La primera columna (n=2) puede ser obtenida multiplicando los valores de ta.f

por J2 . La tabla puede ser extendida para otros valores de ay otros grados delibertad tal como lo explica May (1952) en su trabajo. Es deseable tener más dediez grados de libertad asociados con la estimación del error experimental. Por lotanto la parte de la tabla de May (1952) relacionada con menos de cinco gradosde libertad es omitida.

149

Dr. Franklin Chacin

Al aplicar la prueba de Student-Newman-Keuls (llamada así porque cadauno de ellos contribuyó a su creación) se deben seguir los siguientes pasos:

1.-Escoger un nivel de significación a, elcual usualmente será de un 5% ó 1%.2.- Calcular la desviación estándar del error Si y los valores:Wn=qu.n Si

Wn•1 = q U,n_1 Si

WJ = q U.J Si

W2=qU,2 Si = tU;f J2 Si =mds

3.- Ordenar las medias de los tratamientos desde la más alta a la más baja.Es decir: x, ' )(0-1 .... X2 .XI; donde Xo es la más alta y XI es la más baja.

4.-Comparar los rangos de los n tratamientos, (Xn- X) con los Wo calculados. Si Xn - XI es mayor que W n se subdivide las medias en dos grupos de n-1 mediascada uno y se comparan los rangos Xn - X2 y Xn_l -Xl con W¡ y así sucesivamente.

En forma más concisa el procedimiento se podría establecer corno: "ladiferencia entre cualquiera dos medias en un conjunto de n medias es significativo,si el rango de cada uno de los subconjuntos que contiene la media es significativo,de acuerdo a una prueba de rango escogida a un nivel a".

Prueba de Rangos Múltiples de Duncan

Duncan (1955) propuso una prueba de rangos múltiples que combinan lasimplicidad de la Prueba de Student-Newman-Keuls con las ventajas de potenciaque su estadístico proporciona. Es decir, la prueba se aparta del procedimientoS-N-K en el cual se emplea un nivel de significancia constante en todas las etapasde la prueba. Para Duncan este nivel de significancia es variable y depende delnúmero de medias que entren en la prueba. La idea es que a medida que elnúmero de medias que se prueban aumenta, menor es la probabilidad de que seasemejen.

15er.·


Si el rango es de dos medias se debe usar un a en general aceptable como0.05. Sin embargo, para tres medias 1-(1-0.)2 =0.0975 se sugiere usara = 0.05; para cuatro medias 1-(1-0. )3 = 0.14; para t medias úsese 1-(1-0: )1-1. Latabla G se construye de acuerdo con este planteamiento, a partir de la distribuciónde amplitud "estudentizada",

De acuerdo a Duncan esta prueba permite al experimentador cometermenor error tipo II pero mayor error tipo 1 que con la prueba S-N-K. Laprueba es esencialmente la misma que la S-N-K excepto que se utilizan tablasdistintas.

Prueba de Tukey

En 1953, Tukey propuso un procedimiento de comparación múltiple queestá basado en los intervalos. Este procedimiento hace uso de la amplitud"estudentizada" y es aplicable a pares de medias; necesita de un solo valor parajuzgar la significancia de todas las diferencias. Es fácil y rápido de comparar yaque sólo se hacen comparaciones por pares. Este procedimiento requiere del usode q a (a,~ el cual es el punto porcentual superior de tamaño a del intervalo"estudentizado" para grupos de medias de tamaño a y f grados de libertad delerror. Este valor de q sirve para determinar el valor crítico de todas lascomparaciones independientemente de cuantas medias estén en un grupo.

Ya que solo se hacen comparaciones por pares, el valor crítico es menor queel exigido por Scheffé. El procedimiento consiste en el cálculo de un valor críticomediante la ecuación:

T =q (a, f) Syiau

(7.17)

donde qa (a, ~ es el punto porcentual y se puede hallar en la tabla de puntosporcentuales superiores de la amplitud estudentizada. Tabla F, en la cual a es elnúmero de tratamientos y f corresponde a los grados de libertad del error.

Syi = f~E (7.18)

151

Dr. Franklin Chacin

Para que un par de medias se declare significativamente diferente

(7.19)

La prueba de Tukey tiene un nivel de error tipo 1 de a para todas lascomparaciones con base en cada experimento. En consecuencia la prueba deTukey tiene menos poder que el procedimiento de Duncan o de Student-Newman Keuls.

Esta prueba también puede usarse para cálculos de un conjunto de intervalosde confianza para las diferencias. La verdadera diferencia entre mediaspoblacionales estimados por yi y YJ se estima mediante:

(7.20)

Prueba de Dunnett para la comparación de todas las medias con un control

Probablemente uno de los casos más frecuentemente encontrados es lacomparación de un control con cada tratamiento. Por ejemplo, en medicinacomo también en las industrias se podría desear probar varias drogas nuevas ycompararlas con una droga estándar.

Suponga un conjunto de datos a los que se les ha realizado un análisis devarianza, la cual no es necesaria como parte del procedimiento de comparacionesmúltiples pero es una forma conveniente de obtener la varianza del error, la cuales requerida para los cómputos a realizarse.

Asuma que uno de los tratamientos es el control. El primer paso es calcularla diferencia de todas las demás medias con la media del tratamiento control.

Ya que la varianza de cada observación se supone /la varianza de la mediasin donde n es el nÚT70 de repeticiones. La varianza de la diferencia entredos tratamientos es 2s In y su desviación estándar es:

n so ~ [2~2r (7.21)

152


cuando hay solo dos medias a comparar se puede utilizar el estadístico "t" deStudent, donde:

(7.22)

yel intervalo de confianza sería d ± t. s«- Note que las comparaciones no seríanindependientes, a juzgar por el criterio de los contrastes ortogonales. Para obteneruna prueba de significación conjunta, Dunnett construyó tablas "t"correspondientes al número de tratamientos a ser comparados con el control(verTablasH).

Mientras mayor seael número de tratamientos mayor eselvalor t de Dunnett(dut). Obviamente cuando un solo tratamiento ha de ser comparado con elcontrol, el estadístico t de Dunnett es idéntico al estadístico tde Student.

Las conclusiones que se obtengan simultáneamente al aplicar esta pruebatendrán una probabilidad de ser correctas de 0.95. -

Como es costumbre, los intervalos de confianza también podrían serobtenidos para las diferencias de lasmedias con el control. Ellas son: d ± dut. s« .donde dut es el estadístico tabulado de Dunnett al nivel de confianza deseado.

Algunas veces el experimentador está solo interesado en saber si el tratamientoen cuestión es mayor que el control. Estas serían las llamadas pruebas de una colay los intervalos de confianza serían d - dut. Sd .Las tablas de los duts de Dunnettpara las comparaciones de una sola cola están dadas en la tabla I.

Si en el experimento hay alguna forma de bloqueo que pudiese serconsiderado aleatorio en lugar de efecto fijo; el modelo del análisis de varianzasería mixto- Esto hace apropiado para la varianza del error el cuadrado mediode la interacción, para las comparaciones de los tratamientos. La prueba decomparaciones múltiples sería:

XI-XO

t = [1 1] 1/2s-+-

ni no

(7.23)

153

Dr. Franklin Chacin

s = la raíz cuadrada dei cuadrado medio de la interacciónXI = media del tratamientoXo = media del controln, = número de repeticiones en el tratamientono = número de repeticiones en el control

Por supuesto para obtener el t de Dunnett (dut) se busca con los grados delibertad asociados a la interacción. Es de notar que se parte del supuesto de quelos grupos tienen la misma varianza. En algunos casos éste supuesto puede serbastante razonable; pero sin embargo la varianza del grupo control podría sersignificativamente mas pequeña que la de los tratamientos, en estas circunstanciaslas varianzas de los tratamientos y del control pueden ser calculados en formaseparada, en este caso el estadístico t apropiado sería:

XI-XO

t = [2 2 ]1/2SI So-+-tu no

(7.24)

donde:s/2 = varianza de los tratamientosSo 2 = varianza del control

El valor del estadístico t de Dunnett (dut) se busca con los grados de libertadponderados de las varianzas invo1ucradas. El valor dut que se encuentra tabuladose ajusta por la desigualdad de las varianzas a través de la fórmula: (Dunnett,1964)

2n.. So1---no.s/2

(7.25)

Construcción de las tablas de Dunnett

Los métodos para determinar los valores tabulados de t fueron los mismospara calcular los valores de dos colas ó de una sola cola. Todos los cálculosfueron hechos por computadora (los programas fueron hechos por Dunnett enuna LPG30 usando subrutinas para la distribución normal escritos por R.A.Lamn).

1f54;·


Los cálculos involucraban la evaluación numérica de una integral doble.Para cada valor de p mostrado en la tabla y para los grados de libertad 5, 10,20e infinito; esta integral doble fue evaluadanuméricamente para tres valores sucesivosde t difiriendo en 0.05 tal que el valor deseado de p fuese acotado. Entonces, elvalor de t fue determinado fijando una curva de 3 puntos y el resultado fuechequeado calculando directamente el valor de p. Para grados de libertadintermedios los valores tabulados fueron obtenidos por interpelación. Losresultados obtenidos fueron redondeados a dos cifras decimales tal como aparecenen las tablas.

Prueba de Gabriel

Esta prueba fue desarrollada en la Universidad hebrea en Jerusalén, Israelpor K.R. Gabriel. El procedimiento fue designado con las siglas STP querepresentan en inglés SIMULTANEOUS TEST PROCEDURE y que en españolsignifica PROCEDIMIENTO DE PRUEBAS SIMUL TANEAS. Elprocedimiento se propone probar la homogeneidad de todos los conjuntos demedias involucradas en el análisis de la varianza. Las decisiones de significaciónestán basadas en las sumas de cuadrados entre medias que están en un conjunto,se usa el mismo valor crítico como el usado para el test F.

Sedice que lasdecisiones son transitivas en el sentido de que cada subconjuntoque contenga otro subconjunto significativo es por sí mismo significativo. Sinembargo, lasdecisiones serían incompletas en el conjunto que pueda ser significativopero no contenga ningún subconjunto significativo, en este caso no se puedeinferir heterogeneidad en el conjunto con el grado de confianza especificado.

Un ejemplo de la utilidad de un STP es donde un conjunto de medias esjuzgada como significativamente diferentes, pero se sospecha falta dehomogeneidad en las varianzas del conjunto.

155

Dr. Franklin Chacin

Descripcióndelaprueba S1P

Se asume que los siguientes datos están disponibles para k poblaciones: XI,XX' ... s, sozn edias no%:rales e independientemente distribuidas con varianzas(]" (]" O" . . d .das, , ... , .respecnvamente, SIen o nI, n2 , ... , nk conocl

ni 2 m id m. bié . do i d dipero a es desconoci o; se tiene tam ien S2 un estima o in epen lente einsesgado de (]"2 con no grados de libertad.

Cada conjunto p de todas o algunas de las k poblaciones se juzga como devarianzas significativamente diferentes, si y solo si:

2 2Sp > S k -1 Fatk - I;no)

(7.26)

donde F a(k - 1; 110) es el punto superior de a de la distribución F con k-I y no

grados de libertad y Sp 2 es la suma de cuadrados para la hipótesis de homogeneidadde las varianzas de las poblaciones en p. Entonces:

p

Sp 2 = ¿ni(Xi- Xp)2 (7.27)pi

xp = ¿ni.xi/np (7.28)~

n, = ¿ni (7.29)i

P

donde ¿ denota la sumatoria sobre todas las muestras de la población en p.

Prueba t de Razón Bayesiana de Waller-Duncan

En 1975, Duncan en su afán de perfeccionamiento de los procedimientospara realizar comparaciones múltiples de medias, con la colaboración de Wallerpropuso la siguiente prueba. Esta prueba se caracteriza porque no interviene unnivel de significancia, en lugar de esto se escoge una gravedad o peso del errortipo 1ó tipo ll. Se aconseja razones de 50:1, 100:1,500:1, en vez de a = 0,10;0,05 yO,Ol.

~:156

Oleoñoy Análisis de Experimentos 7

La tabla que se deduce para ser utilizada contienen valores t de riesgo mínimopara k= 100. Estos son los únicos valores presentados allí. La tabla se consultacon base en el valor para el contraste F de tratamiento por lo cual se calcula elvalor de b, de acuerdo a la expresión:

b=I~1F-l (7.30)

Luego se va con q = f 1 = grados de libertad de tratamiento y f = fe =grados de libertad del error. Este valor crítico el cual se presenta en tablas yluego se sustituye en la expresión.

rnds» t sd (7.31)

donde rnds es el valor con el cual van a ser comparadas todas las diferencias demedias.

Es conveniente hacer notar que la prueba F global que se usa como regla dedecisión para el análisis de la varianza cuando se analizan las k poblaciones. Laprobabilidad de que simultáneamente ningún conjunto de poblaciones essignificativamente no homogéneo es de al menos t-e. En otras palabras, laprobabilidad de que sea cometido error tipo 1es como máximo u.

Todos los cálculos realizados por Gabriel para la realización de esta pruebae incluso un ejemplo numérico es proporcionado en el artículo "T estinghomogeneity of all sets of means"de Gabriel, pero no serán incluidos en estetrabajo. Sin embargo, es importante notar que el autor sugiere en este artículo queel uso conjunto de la prueba de Scheffé y STP es deseable debido a la similaridadde los procedimientos utilizados en ambos.

Ejemplo Ilustrativo

Se presenta un ejemplo ilustrativo, al cual se le aplica todas las pruebas decomparaciones de medias consideradas en el presente capítulo.

,

En un experimento se estudió el efecto de diferentes concentraciones deAroclor 1254, (un bifenil polidorinado; BPC) sobre ratones enjaulados, a los

157


cuales se les administró el medicamento a través de los alimentos consumidos ad-libitum. El objetivo fue determinar la mejor dosis de sustancia, es decir aquellaque produzca la mayor actividad hepática (desdoblamiento en el hígado desustancias extrañas al organismo en el menor tiempo posible). Después de dossemanas de iniciado el experimento, los ratones fueron inyectados con Nembutal(anestésico) y se registró para los sobrevivientes, el tiempo que permanecierondormidos. El tiempo dormido es una medida de la actividad de la enzimamicrosorr.al hepática. Los resultados se muestran a continuación en la tabla 7.1.

Tabla 7.1. Datos en el ejemplo ilustrativo para comparaciones de medias

Dosis de BBC Tiempo Dormido(Tratamientos) (min)

1 0,0 55 47 46 532 62,5 47 51 40 443 500,0 49 44 46 514 1000,0 36 41 40 38

Contrastes Ortogonales

Como se tienen 4 tratamientos, se pueden efectuar 3 contrastes a saber:

Jl3 + 1-'4 = JlI + Jl2

Jl2 + Jl4 = JlI + Jl3

1-'1 + 1-'4 = 1-'2 + Jl3

Por lo tanto:

CI=-YI-Y2+Y3+Y4C2 = - y 1 + Y 2- Y 3+ Y 4C3=+YI-Y2-Y3+Y4

Los coeficientes (Ci) en estos casos son:-1 -1 +1 +1-1 +1 -1 + 1+1 -1 -1 + 1

~. 158


los cuales cumplen con las condiciones de que ¿C = O Yademás ¿CCj = Opara ii'j . Se conoce, partiendo de los datos de la tabla 7.1 que los totales detratamiento (dosis) son: y 1.= 201, Y 2.= 182, Y 3.= 190, Y 4.= 155, N = 16,a=4, N-a = 12.

Luego:

C, = (-1)(201) + (-1)(182) + (+ 1)(190) + (+ 1)(155) = -38C2 = (-1)(201)+(+1)(182) + (-1)(190) + (+1)(155) = -54C 3 = (+ 1)(201) + (-1)(182) + (-1)(190) + (+ 1)(155) = -16

Ahora, si n=4 (observacionesltrat) y(¿Cy¡f

SCC = " 2nL.JCpara el primer contraste resulta:

(-38)2SCC, = 16 = 90,25

para el segundo contraste:

SCC2 = (-54)2 = 182,2516

finalmente para el tercer contraste:

(-16)2SCC3= 16 =16~O

Se calcula a continuación el valor de F a partir de la siguiente expresión:

CFea' = -------'-/2

3

¿c/j='

(CMEE) 1/2 n,

159

Dr. Franklin Chacin

Se obtiene el siguiente análisis de la Varianza:

Fuente g de 1. SC

Tratamiento 3 288,5Error 12 167,5Total 15 456,0

F

6,89~·':·

Se compara el F tabulado (0,05;1, 12) = 4,75 con el Fcalculado. El

El CMEE = 13,9583 para todos los contrastes. Los valores de F calculadospara cada contraste respectivamente:

38F I = (13,~(13,9583) 10.17

16

56F2 = = 14,99

(3,736)

F 3 = (13,9583) = 4,28

Al comparar los F calculados con el F tabulado se obtiene:

6,46> 4,75 Se rechaza H o

13,056> 4,75 Se rechaza H, o

1,146 < 4,75 No se rechaza H o

por 10 que se puede concluir que:

fl3 + u« '* flI + fl2

fl2 + fl4 '* flI + fl3

flI + u« = fl2 + fl3

Ahora esnecesario observar si en lapráctica, existe la posibilidad de combinarla dosis de los tratamientos sin afectar la respuesta de los individuos.

~: 160


Prueba de Scheffé

Para efectuar la prueba de Scheffé es necesario plantear todos los contrastesposibles entre las medias o solo aquellos contrastes de interés para el investigador.En este caso todos los contrastes posibles son:

Ha:,LJ1 - ,LJ2 = OHa:,LJ2 - ,LJ4 = O

Ha:,LJ2 - ,LJ3 = OHa:,LJ1 - ,LJ4 = O

Ha:,LJ1 - ,LJ3 = OHa: ,LJ3 - ,LJ4 = O

Se analizará solo un caso: Ha:,LJ1 - ,LJ3 = O. En este caso el contraste Cu

viene dado por la expresión:

C, = (+l)YI + (O)Y2 + (-1)y3 + (O)y4 = 2.'/5luego se calcula:

a

s; CMEE ¿re,2/ ni)i=1

s'" ~ 13.9583[1' +0';1'+0'] ~ 2.64

finalmente se calcula:

Sau = Scu.J(a-l)Fa.a-,.N- a

S au = 2.64.J3(3,49) = 8.54

Como C, < Sall no se rechaza la hipótesis nula. Ello indica que lostratamientos 1 y 3 no son estadística mente diferentes. De igual forma puedenefectuarse las restantes comparaciones. Una vez obtenidos estos contrastes seconcluyó que no existe diferencia entre los tratamientos 1,2 Y3. Sin embargo ladosis de BPC= 1000 (tratamiento 4) si produce un efecto significativamentediferente del resto disminuyendo significativamente el tiempo de recuperación delos ratones.

161

Dr. Franklin Chacín

Prueba de la Mínima Diferencia Significativa (mds)

El valor crítico para la prueba viene dado por:

mds= ta/2.N-a.(Sd) = ta/2,N-a CMEE[~¡ +~Jrnds = tO.025.16- 4 13.9{ ~ + ~]

rnds = 2. 179.J6.975 = 5.75

Si ly¡.-Yj.1 > 5.75 se concluye que las medias de los tratamientosinvolucrados en la comparación (i,j)son estadisticamente diferentes. Si se realizala operación solamente para Hs: Jil - Ji3 = O, las medias de los tratamientos 1y3 respectivamente resultan estadísticamente iguales ya que:

IYI.-Y3.1 = 2.75 < 5.75

Este proceso se puede repetir para el resto de las comparaciones y así generarlos grupos de medias como se verá posteriormente.

Prueba de Student-Newman -Keuls (S.N.K.)

Esta prueba consiste en subdividir un grupo de medias de tratamientosordenados en subgrupos homogéneos. El procedimiento se basa en calcular unconjunto de valores críticos.

- Se escoge un nivel de significación a, en este caso 0,05- Se calcula el valor Sy

[CME]1I2 [13.9583]1/2

Sy = -- = = 1.868n 4

- Se busca en la tabla F correspondiente a los valores de q parau=0,05yn = 2,3,4.

162


q 0,05(2,12) = 3,08

q 0,05(3,12) = 3.77

q 0,05(4,12) = 4,20

- Luego se calcula Wj donde W = q a(p, t) Sy

W 2 = 3,08(1,868) = 5.75

W3 = 3,77(1,868) = 7,04

W 4 = 4,20(1,868) = 7,84

- Se ordenan las medias de los tratamientos en orden descendente y secomparan las diferencias de todas las combinaciones con su respectivo valor deW y se obtienen los grupos homogéneos.

)'1.50.25

y347.59

y2.45.50

)'4.38.75

AB

Por ejemplo, la diferencia entre las medias de los tratamientos 2 y 4 es mayorque el valor de W2; de allí que aparezcan en grupos diferentes. La diferenciaentre las medias de los tratamientos 1y 2 es menor que el valor de W3 por lotanto aparecen en un mismo grupo, y así sucesivamente.

Prueba de Duncan

Duncan propuso una prueba de rangos múltiples donde se debe calcular:

[CME]1I2 [13.9583]1/2

Sy = -n- = 4 = 1.868

y luego los valores de la tabla de r (Tabla G) correspondientes al número demedias involucradas en la comparación, obteniéndose:

163

Dr. Franklin Chacin

[0,05(2,12) = 3,08

[0,05(3,12) = 3,23[0,05(4,12) = 3,33

Luego se calcula V; donde V = [a(p,f) Sy;

V2 = 3,08(1,868) = 5.75

V3 = 3,23(1,868) = 6,04

V4 = 3,33(1,868) = 6,22

De forma similar al procedimiento descrito para la prueba anterior secomparan las diferencias entre las medias con su respectivo valor crítico 01) paraformar los grupos homogéneos.

yl.50.25

)'3.47.59

y2.45.50

)'4.38.75

AB

Prueba de Tukey

En la prueba de Tukey se necesita de un solo valor para juzgar la significaciónde todas las diferencias y las comparaciones se hacen por pares. Se requiere de :

q a(a,/): punto porcentuala: tamaño del grupo de mediasf: grados de libertad del error experimental

El procedimiento consiste en calcular:

T« = qa(a, f) Sy;

Si a = 4,f = N - a = 16 - 4 = 12,a = 0,05; q 0,05(4.12) = 4,20; este valorse busca en la tabla F. Sustituyendo:

Ts = 4.20(1.,868) = 7,8456

~:164

Oteeño v Análisis de Experimentos 7

Luego para declarar un par de medias significativamente diferentes debeocurrir que IY¡-Yil > t:

Comparación Diferencia(Pares) IY¡-Yil Ta

1 - 3 2,751 - 2 4,751-4 11,50 >7,8456*2-3 2,002-4 6,753-4 8,75 >7,8556':-

Luego se conduye que los pares de medias de los tratamientos (1 y 4) Ytambién (3y 4) tienen diferencias significativas.

Prueba de Dunnett

En esta prueba se comparan todas las medias con un control. En esteejemplo ilustrativo, se considera el tratamiento 1como el tratamiento control ylos otros tres tratamientos se comparan con el. El valor crítico a calcular es;

d[a,(a-I),fl~CMEE(Yn¡ + in)

Los valores de d pueden ser obtenidos de la tabla H. De allí se obtiene elvalor dO,05(4,12) = 2,88. En este ejemplo:

d )13,9583(114+114) =2,88J13,9583/2 =7,0850,05(4,12)

Es de notar que Iy 4 - Y 11 = 11,50es mayor que el valor crítico, por lo tantoj14 y j./I son estadísticamente diferentes. De igual manera, se analizan el resto delos pares de medias que se comparan con el controL

165

Dr. Franklin Chacin

Prueba de Waller-Duncan

El valor crítico en esta prueba se obtiene con los siguientes datos:

g.1. = grados de libertad de tratamiento = 3f = grados de libertad del error experimental = 12k = 100

Cuyo valor F será tomado para buscar los valores en la tabla titulada "Valoresde t de riesgo promedio mínimo Duncan-Waller".

q = 3 (g.Ltrat)f = 12 (g.1.error)

En la tabla se obtienen

F=6F = 6,89F = 10

t = 2,22t =?t = 2,125

Interpolando se obtienen tsignificativa para esta prueba es:

2,19875. Luego la mínima diferencia

m.d.s = t.sa = 2, 198.J13,95(1/ 4 + 1/ 4) = 5,8087

Al colocar lasmedias en orden descendente, sepuede notar que el tratamiento"4 difiere considerablemente del tratamiento 2 y por ende del resto de lostratamientos. En este caso al comparar tratamiento 4y tratamiento 2, la diferenciaentre las medias es 6,750, el cual es mayor que el valor crítico calculado 5,8087.

~~166


Tabla 7.2. Cuadro Comparativo de los Resultados de las Comparaciones demedias

Comparaciones Tukey Scheffé mds

1 - 21 - 31 - 42 - 32-43 - 4

Tabla 7.3. Cuadro Comparativo por grupos de tratamiento

Trat Sdxffé mds SNK Duncan Tukey Waller

1 A A A A A A3 A A A A A A2 BA A A A BA A4 B B B B B B

Sepuede concluir que invariablemente en todas las pruebas f.11 = f.12 = f.13 ;

e igualmente f.11 ::f:. f.14. us « f.14.

En las pruebas de Scheffé y Tukey, f.12 no es significativamente diferente def.14 , sin embargo m.d.s .., SNK, Duncan y Waller-Duncan si detectan diferenciasentre ellas.

Otra característica a destacar es que f.14 es significativamente diferente delas otras medias en la mayoría de las pruebas, pero es de considerar que la dosisasignada a este tratamiento esconsiderablemente superi?r a los otros tratamientos.

167

Capítulo 8

EXPERIMENTOS FACTORIALES

Introducción

En experimentación podemos hablar de dos procedimientos de uso común.U no que estudia el efecto determinado por diferentes cantidades de un simplefactor variable, estableciéndose un control a niveles constantes del resto de losfactores actuantes. Es 10 que comúnmente se conoce como experimentos defactor único. Por ejemplo, tenemos la comparación de variedades de un cultivo,o la determinación de la mejor distancia de un cultivo, entre otros. El otro tipode experimentación co. ~sponde a aquellos experimentos que investigansimultáneamente los efectos de diferentes factores, conocidos comoexperimentos factoriales.

Estos procedimientos han sido usados y seusan en las ciencias experimentalesdependiendo en general de los objetivos de la investigación. En la investigaciónde los fenómenos biológicos el uso de los experimentos factoriales es másgeneralizado que en los físicos por la misma esencia de dichos fenómenos; sucomplejidad en términos de relación efecto-causas actuantes. Así, por ejemplo, laproducción de un cultivo depende de una serie de factores tales como: fertilidaddel suelo, humedad del suelo, condiciones climáticas (temperatura, precipitación,humedad relativa, entre otros), densidad de siembra, métodos culturales, capacidadgenérica de la variedad, entre otros, que por 10 general interactuan.

Se puede estudiar el efecto de cada factor por separado cuando los otros semantienen a niveles constantes, pero este procedimiento de factor único no daríainformación sobre la dependencia del efecto del factor sobre los niveles de losotros factores; mediante el segundo procedimiento; es decir, los experimentosfactoriales, es posible conocer si cada factor ejerce un efecto independiente delresto de los factores variables o si su efecto está relacionado a los cambios deniveles de otros factores.

169

Dr. Franklin Chacin

El concepto de experimentos factoriales está en realidad restringido a untipo especial de diseño de tratamiento que implica todos los tratamientos posiblesresultantes de combinar cada uno de los niveles de los diferentes factores enestudio; es decir, que en el diseño de tratamiento conocido como factorial, cadauno de los posibles tratamientos es una combinación particular de un nivel decada uno de los factores en estudio. En este sentido cabe hacer diferenciacionescon otros diseños de tratamiento que aun cuando un tratamiento es unacombinación particular de un nivel de cada factor, no entran en el experimentotodas las combinaciones posibles.

La denominación de experimentos factoriales completos sería adecuadapara el caso en que el factorial se estudie en todas sus posibles combinaciones yexperimentos factoriales incompletos cuando algunas combinaciones de interésdel factorial serán seleccionadas para el experimento. Existen cienos diseños detratamientos que aun cuando se estudia más de un factor no entran en la definiciónde experimentos factoriales; es el caso, por ejemplo, de experimentos con variasdrogas, cada una a varios niveles, pero cada nivel de una droga es un tratamiento;es decir, los niveles de cada droga no se combinan para formar un experimentode tipo factorial. Estos experimentos pueden ser denominados seudofactoriales.

Factores, Niveles, Clasificación de los factores

Factores:Un factor en término estricto seríauna causa o variable independienteque puede variar avoluntad del experimentador. Sin embargo, es una connotaciónconvencional para designar una clase de tratamiento o cualquier proceso omanipulación que interviene en un tratamiento. En un factorial sería cada uno delos tratamientos básicos que intervienen en la formación de una combinación detratamientos. Una distinción que usualmente se hace entre factores es con base enla definición de tratamiento. En este sentido, si un tratamiento escualquier procesoo condición que es aplicado a una unidad experimental y además la aplicación delos tratamientos en las unidades está bajo el control del experimentador, entoncessedistinguen factores de tratamiento propiamente dichos como aquellos aplicadosdirectamente a la unidad experimental y factores de clasificación cuando lasunidades experimentales se clasifican en dos o más tipos de clases.

170


Niveles: El término niveles hace referencia a las diferentes clases, dosis ocantidades de un factor. Un nivel puede ser entonces una clase, estado o cantidadparticular de un factor. Por ejemplo, si sevan a comparar varias variedades de uncultivo, el factor es la variedad y las diferentes variedades son los niveles del factorvariedad. Si se estudia el efecto de nitrógeno sobre el rendimiento de un cultivo,el factor es el nitrógeno y las diferentes dosis o cantidades aplicadas del mismoson los niveles.

Gasificación de losfactores: Esconvenienteclasificarlosfactoresen lossiguientestipos:

Factores Cualitativos Específicos. Son aquellos en que los niveles no siguen unorden natural y cada nivel es de igual interés. Por ejemplo, diferentes variedadesde un cultivo en un ensayo de variedades, diferentes métodos de siembra, etc.

Factores Cuantitativos. Los diferentes niveles seexpresan en valores numéricosdefinidos que corresponden a determinadas cantidades de la variable bajo estudio.Por ejemplo, diferentes cantidades de nitrógeno en un ensayo de fertilizantes,diferentes densidades de siembra en un ensayo de población, etc.

Factores Cualitativos Ordenados. Los niveles del factor se arreglan en algúnorden pero no hay una variable cuantitativa natural que describa los niveles ofactores cuantitativos en los que los diferentes niveles no corresponden a valoresbien definidos sino mas bien a valores agrupados. Por ejemplo, muchos factoresde clasificación pertenecen a este grupo; los suelos de un área experimental puedenser clasificados en áridos, de fertilidad baja, de fertilidad media y muy fértiles. Sepuede clasificar un lote de novillos en flacos, medianamente flacos, gordos y muygordos, de acuerdo a algún agrupamiento previo de sus pesos.

Factores Cualitativos Muestrales. En algunos casoslos niveles cualitativos usadosno son de mucho interés en sí, sino como una muestra de una población deniveles. Por ejemplo, experimentos repetidos en varios lugares o en varios años,en los que se supone que los sitios escogidos serán una muestra de los lugaresdonde se harán las recomendaciones finales del experimento y los diferentes añosson una muestra de los diferentes años por venir.

171


Sepueden clasificar los facroriales de acuerdo al número defactores y al númerode niveles que intervienen de lasiguientemanera:

Grupos de p k, es decir, k factores todos al mismo número de niveles p (labase indica el número de niveles y el exponente el número de factores)

2k

3k

4k

entre otros ...

(22 ;23 ;24; .•• )

(32;33;34; ••• )

(42 '43 '44. ), , ,...

k factores a dos niveles: k = 2,3, .k factores a tres niveles: k = 2,3, .k factores a cuatro niveles: k = 2,3, ...

Grupos (p x q x s x .... ); es decir, distintos número de niveles. Para cadafactor 2 x 3 un factor está a dos niveles y el otro a tres. En el caso (3x 3 x 4) dosfactores están a tres niveles y el otro a cuatro y así sucesivamente.

En el caso de dos factores, digamos A y B cada uno a dos niveles;(a o ; a ¡); (b o ; b ¡) ;el factorial se indicaría como un 22 y constaría de cuatro (4)posibles combinaciones de tratamientos, representados como:

(aobo)(a.b,)(albo)(a.b.)

El análisis factorial implica un análisis de los efectos de los factores a fin deconstatar si el efecto de un factor es independiente del otro factor o por el contrarioexiste interacción.

Efectos Simples, Efectos Principales, Interacción

El incremento de A desde a a a vendrá dada por la diferenciao l'

(a I - ao

); así tenemos dos efectos de A para cada nivel de B.

(8.1)

(8.2)

172


Estos efectos de A a cada nivel de B se llaman efectos simples de A. Enforma alternativa:

Efecto de B al nivel ao = b.a, - b ,a, = B,

Efecto de al nivel al = b,a,- boa, = B2

(8.3)

(8.4)

Si los efectos simples de A a los niveles b o y b l son iguales decimos que elefecto de A es independiente de la acción de B. Esto es, Al = A2•

De manera que una estimación del efecto de A sería dada por el promediode los efectos simples; y se denomina efecto principal de A.

1A ="2(a,b,-aob,+a,bo-aobo) (8.5)

1A = "2(al- ao)(b, + bo)

De igual manera, el efecto principal de B vendrá dada por el promedio de susefectos simples.

1B = "2(a,b,- albo + aob,- aobo)

1B = "2(al + ao)(b,- bo)

Si los factores A y B se influyen mutuamente los efectos simples diferirán, esdecir Al :j:. A2 o B, :j:. B2 Yesta diferencia será una medida de la interacciónde los factores. Así definimos la interacción como:

(8.6)

AB=~{ (a,b,-aob,)-(a,bo-aobo)}

1A B = "2 (a l - a o )(b l - b o)

BA=±{ (a,b,-a,bo)-(aob,-aobo) }

1BA = 2"(al- ao)(b,- b ,')

(8.7)

(8.8)173

Dr. Franklin Chacin

Lo anterior indica que AB = BA, por lo tanto la relación es simétrica. Lainteracción es la misma tanto si la consideramos desde el punto de vista del factorA como del factor B.

Véase ahora numérica y gráficamente mediante observaciones ficticias, lapresencia o ausencia de interacción. Se asume la no existencia de variación nocontrolada.

No Interacción

Factor BNiveles b b¡ b - bo I o

Factor A a 30 32 2o

a¡ 36 38 2a - a 6 6¡ o

Factor BNiveles b b¡ b - bo ¡ o

Factor A a 10 12 2o

a¡ 13 lS 2a - a 3 3l o

Con Interacción

Factor BNiveles b b¡ b - bo I o

Factor A a 30 32 2o

a¡ 36 44 8a - a 6 12I o

174


Factor B

Factor ANiveles bo b,

30 3236 266 -6

b - b¡ o

210

45 16

40

35

30

45

40

35

30

14~~I

12/a,

10

b, b.¡No hay interacción

45

40 .:35

30b,

a, alHay interacción

(cambio de dirección)

ao

a¡a - a¡ o

Fig 8.1 Representación Gráfica de la presencia o ausencia de Interacción delos factores en un Experimento Factorial.

a, alNo hay interacción

En el análisis de los resultados de un factorial 22 tal como fue descritoanteriormente, es necesario estimar los efectos principales y la interacción AB. Sino se detecta interacción los efectos principales serían entonces las mejoresestimaciones de los efectos y sobre los cuales se basarían las interpretaciones de lainvestigación, en caso contrario es necesario examinar e interpretar la naturalezade la interacción.

a, él,¡

Hay interacción(cambio de magnitud)

175


Los efectos A, B YAB satisfacen las condiciones para un conjunto ortogonalde comparaciones. La siguiente matriz ortogonal puede servir para calcular losefectos medios y la suma de cuadrados asociada a cada efecto.

Tabla 8.1. Matriz Ortogonal.Efecto Divisor Divisor ContribuciónFactorial Totales deTratamiento para la para la de la S.e.de

media S.e. tratamiento

(1) a b ab 2k-l rIC2I

A ·1 1 -1 1 2.r 4.r [A] /4.rB -1 -1 1 1 2.r 4.r [B] /4.rAB 1 -1 -1 1 2.r 4.r [AB] /4.r

[ A] es el efecto factorial total de A y viene dado por la función:

[A] =¿T¡e ¡ = [- (1) + (a) - (b) + (ab) ] (8.9)

donde T¡ es el i-ésimo total de tratamientos representados en nuestro caso por(1), (a), (b), (ab). e son los coeficientes que permiten cumplir con el propósitode comparación y ortogonalidad. Así el efecto principal promedio A se estimacomo:

[A] / 2. r = [- (1) + (a) - (b) + (ab) ] / 2 r (8.10)

donde r es el número de repeticiones del experimento. En el Análisis de Varianza,la contribución del efecto Principal de A a la suma de Cuadrados de Tratamientoes [ A] /4.r. La prueba de hipótesis de los efectos se puede realizar por dosvías equivalentes en este caso: mds y F en el análisis de varianza. Si se utiliza mdsse debe conocer el error estándar de un efecto factorial.

Definición: Sea I,= C)X) + C2X2 +",+CkXk una comparación. El

error estándarde Les (a- / fn~¿ C; y el error estándar estimado será

(s/ .¡;;>J¿ C; donde n es el número de observaciones de cada media Xi'

176


Para el efecto principal promedio de A se tiene que:

[1 1 1- 1_]A = - (ab) + - (a) - - (b) - - ( 1)222 2 (8.11)

donde (ab), a, ..., son los promedios de rendimientos sobre r repeticiones. Elerror estándar estimado de A será:

1 1 1 1(si Fr ¡+ ¡+ 4"+ 4" ) = si Fr cuando n = r (8.12)

Una matriz generalortogonal, (incluyendo lamedia)puede serrepresentadacomo:

[JI] +1 +1 +1 +1 (l) l[A] -1 +1 -1 +1

(a) J=[B] -1 -1 +1 +1 (b)

[AB] +1 -1 -1 +] (ab)

donde [JI] es la media de tratamientos.Al = efecto factorial total de AB = efecto factorial total de BAB] = efecto factorial total de AB

Caso de tres factores a dos niveles.En el estudio de tres factores, digamos A, B Ye cada uno a dos niveles;

(a o; al); (b o; b¡ ) , (e o; c, ) respectivamente, el factorial sería un 23 y un total deocho combinaciones posibles de tratamientos. Las combinaciones resultantes sepueden denotar por las dos formas siguientes:

Tratamiento 1 II1 (aoboco) (1)2 (a, boco) a3 (aoboco) b4 (a, b.c ,') ab5 (aoboc,) e6 (a,boc,) ac7 (a.b.c.) bc8 (a, b.c.) abc

177

Dr. Franklin Chacin

Se utilizarán ambas notaciones de acuerdo a la conveniencia. Los efectossimples de A se determinan para cada una de las cuatro combinaciones de losotros factores.

Efecto simple de A a niveles b e fij os = (a, b e - a b e )00 00000

Efecto simple de A a niveles b.c, fijos = (a, b.c, - aob,co) (8.13)Efecto simple deA a niveles boc, fijos = (a,boc,-aoboc,)Efecto simple deA a niveles bici fijos = (a,b,c,-aob,c,)

El efecto principal de A será el promedio de estos 4 efectos simples:A = t;.í [(a,boco-aoboco) + (a,b,co-aob,co) + (a,boc,-aoboc,)

,.. (a,b,c,-aOb,c¡)] (8.14)

esto es, el efecto principal de A es el efecto de A promediado sobre los niveles delos otros factores. A se puede escribir también como:

(8.15)

La interacción AB se puede medir separadamente para cada nivel de e, así:

Interacción AB al nivel e,= }i[ (a, b,c,- a.b.c.) - (a, boc,- aoboc,)] (8.17)

El promedio de estos dos efectos se toma como una estimación de AB, así:

AB=l.4{[ (al b ICo- ao b.c ,') - (a Iboco - ao bocJ 1+[ (al b.c, - ao b.c,) - (a Iboco - aobocJ])(8.18)

o también;

(8.19)

178


Las dos interacciones pueden ser diferentes, lo que indicaría un cambiodebido a los niveles de C; ladiferencia entre estos dos efectos mediría la interacciónABC,así:

(8.20)o también:

(8.21)

Si se usa la notación TI,los efectos calculados se indican como sigue:

A = ±[ (al-I)(bl + I)(el + 1) ] = [Cabe) - (be) + (ab) - (b) + (ae) - (e) + (a) - (1

(8.22)

AB = ¡ [ (a 1 - 1)(b 1 - 1)(el + 1) ] = [(abe) - (be) + (ab) - (b) - (ae) + (e) - (a) + ( 1

(8.23)

ABC=¡[ (al-I)(b)-l)(c)-l) ]=[(abc)-(bc)-(ab)+(b)-(ac)+(c)+(a)-(l

(8.24)para los efectos que no aparecen en la explicación las expresiones serían:

B = ±[ (al + 1)(bl-1)(cl + 1) ]

C = ±[ (al + l)(bl + l)(cl- 1) ]

AC = ±[ (al-1)(bl + 1)(cl-1) ]

1BC=¡[ (al+l)(bl-I)(el-I)]

(8.25)

(8.26)

(8.27)

(8.28)

estos siete efectos son comparaciones mutuamente ortogonales. Una matriz detransformación ortogonal , incluyendo la media, sería:

179

Dr. Franklin Chacin

[p] +1 +1 +1 +1 +1 +1 + 1 + 1 (1)[A] -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 (a)[B] -1 -1 + 1 -1 +1 -1 +1 + 1 (b)

[e] -1 -1 -1 + 1 -1 + 1 + 1 + 1 (e)

[AB] +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 (ab)

[Ae] +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 + 1 (ae)

[Be] +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 + 1 (be)

[ABe] -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 (abe)

f,ul = indica el efecto de la media general.A = indica el efecto factorial total de A y así sucesivamente.

Siel experimento serepite!"veces,entonces eldivisorpara un efecto medio será:

2k-1 r = 4 r para k = 3 (8.29)

La contribución de cada efecto a la suma de cuadrados de tratamientovendrá dado por:

(8.30)

donde los Ti vienen dados por los símbolos (1), (a), (b), ...

Caso General de varios factores a dos niveles.

Con k factores, tales como A, B, C, D, E, ... los efectos principales se puedenrepresentar en forma general por

1X = 2k-1 (a± 1)(b± l)(c± 1)(d± 1)(e± 1)... (8.31)

donde X representa un efecto o interacción particular, el signo en cada paréntesisserá positivo si la letra no aparece en X y negativo si la letra aparece en X. Lanotación de la combinación de tratamientos será como la forma II vistaantenormente.

180


1A = 2k-1 (a-1)(b+ l)(c+ l)(d+ l)(e+ 1)...

1B = 2k-1 (a-1)(b-l)(c+ l)(d+ l)(e+ 1)...

1AB = 2 k-I (a-1)(b- l)(c+ l)(d+ 1)(e+ 1)...

1ABCD = 2k-1 (a-l)(b-l)(c-l)(d-l)(e+ 1)...

(8.32)

(8.33)

(8.34)

(8.35)

Para escribir usando todas las combinaciones posibles usando la forma denotación II se procede de la siguiente forma:

(1) d e dea ad ae adeb bd be bdeab abd abe abdee cd ce cdeac acd ace acdebc bcd bce bcdeabc abcd abce

fafbf

abcde

Para calcular el número de efectos principales e interacciones, se procede dela forma siguiente:

Número

Efectos Principales

Interacción de k factores

k

(~) = k(k; 1)

(~) = k(k-1;(k- 2)

(~) = k(k-l)(k~ 2)(k- 3) .

(~) = 1

Interacción de dos factores

Interacción de tres factores

Interacción de cuatro factores

Total

181

Dr. Franklin Chacin

La contribución de cualquier efecto a la suma de cuadrados de tratamientovendrá dado por:

[xf 12k-1 r (8.36)

donde [X f representa el efecto total. La varianza de cualquier efecto medioserá igual a:

(8.37)

donde X es el efecto medio.

Ventajas de los Factoriales

Las ventajas de la experimentación factoria1 dependerá de la finalidad delexperimento. Un propósito de investigación sería el determinar si cada factorejerce alguna acción sobre la variable respuesta; es decir, el objeto es tener uncuadro amplio de los efectos de los factores en lugar de determinar por ejemplola combinación de niveles de los factores que dan la respuesta máxima. Como sevio al comienzo, se podría emplear para este propósito el procedimiento defactor único o el procedimiento factorial.

Si se usa el procedimiento experimental del factoria1 se puede obtenerinformación del efecto de los factores. Si son independientes o existe interacciónentre ellos, cosa que no se obtendría mediante el procedimiento de factor único.Además si los factores son independientes en sus efectos, el procedimiento factorialsignificará un ahorro considerable de tiempo y material dedicado a losexperimentos. El ahorro se deriva de dos hechos:

-. cuando los factores son independientes todos los efectos simples de unfactor son iguales a su efecto principal de manera que los efectos principales sonlas únicas cantidades necesarias para interpretar completamente los efectos de losfactores.

-. en un experimento factorial, cada efecto principal se estima con la mismaprecisión como si todo el experimento se hubiese dedicado a ese solo factor; lavarianza de un efecto viene dada por:

·182


Por ejemplo, en un factorial 22 con dos repeticiones, la varianza para elefecto de A es igual a 0-2 /2 Y el número de unidades experimentales en elexperimento sería igual a 8. Si se fuese a medir el efecto de A en un experimentode factor único se hubiese necesitado de lasmismas 8 unidades experimentales enel experimento (4 repeticiones y 2 tratamientos), para alcanzar el mismo grado deprecisión de 0-2 / 2 ,mas aún, de acuerdo al número de factores que se investigue,los experimentos de factor único requerirán el doble, el triple, cuádruple, ... , kveces el material esperimental que requiere un experimento factorial para alcanzarla misma precisión.

Fisher resume las ventajas de los experimentos factoriales así: l)mayoreficiencia 2) mayor alcance en dos sentidos; 3) permite estimar por separado losefectos de cada factor y sus interacciones, 4) las conclusiones obtenidas de losexperimentos factoriales tienen una mayor base inductiva.

Existen también ciertas desventajas en el uso de los factoriales, ellas son:

El factorial se hace impráctico a medida que el número de factores o deniveles se incrementa debido a limitaciones de material experimental o de recursos.

Cuando aumenta el número de combinaciones de tratamiento la magnituddel error experimental también seincrementa, debiéndose recurrir adiseños menossimples para compensar en parte este aumento.

También un aumento en el número de factores introduce dificultades en lainterpretación de interacciones de alto orden.

Sinembargo, lautilidad delprocedimiento factoríal esde innegable importanciay puede ser aplicado a muy variadas situaciones. En general se pueden citar:

-. En trabajos de exploración, en los que el objeto es determinar rápidamentelos efectos de cada uno de cierto número de factores dentro de un intervaloespecífico.

-, En la comprobación de interacciones.-. Cuando se quiere encontrar la combinación de los niveles que maximiza

la respuesta o en la estimación de la superficie de respuesta general

183


-. En experimentos diseñados para poder llegar a recomendaciones quedeben aplicarse a una gran variedad decondiciones. En estos experimentosse introducen factores adicionales o auxiliares para examinar los factoresprincipales bajo una variedad de condiciones similares a las encontradasen la población a la cual se va a aplicar dichas recomendaciones.

Factores a tres niveles

En las nociones básicas en relación con factores con dos (2) niveles, se vioel análisisfactorial en términos de efectosprincipales e interacciones. La simplicidadde este análisis surge por el hecho mismo de que cada factor ocurre a dos (2)niveles, yel efecto de cualquiera de los factores no sería mas que la diferenciaentre el rendimiento promedio del factor a su más alto nivel y el rendimientopromedio del factor a su más bajo nivel. Cada factor a más de dos niveles dalugar a diferentes enfoques de análisisde acuerdo con el objetivo de la investigación.Sien un experimento factorial entran uno o más factores cuantitativos, un análisisinteresante y conveniente es el de estudiar la forma de la curva de respuesta; esdecir, si el factor representa cantidades crecientes X de alguna sustancia, es deinterés, por ejemplo, examinar si la respuesta Y a los crecientes niveles X delfactor, es de naturaleza lineal, cuadrática, etc.

Considere, a manera de ejemplo, un factor a tres (3)niveles. Sea A el factory los tres (3)niveles indicados mediante a o' al' a 2 con intervalos iguales; es decir,que a I va a tener una unidad adicional a la establecida para a o Y a 2 tendrá dosunidades adicionales a la establecida para ao• Para el uso del análisis que sigue esimportante que los niveles sean equiespaciados.

Llevemos sobre un gráfico los rendimientos observados, indicados pora o' a p a 2 contra los niveles del factor.

184


a.

012Niveles del factor

Figura 8.2. Rendimientos observados contra los niveles del factor

Seobserva de la figura que hay dos respuestasauna cantidad unitaria del factor:

Incremento de Oal = a,- ao

Incremento de 1 a 2 = a2 - a,Suma de Incrementos = (a2-a,) + (a,-ao) = a2-ao

Diferencia de incrementos = (a2-a,)-(a,-aJ = a2-2a,+ao

Si el incremento producido por la primera unidad fuese igual al incrementoproducido por la unidad adicional entonces la suma de los incrementos mide elefecto lineal del factor. Si el incremento producido por una unidad adicional delfactor esdiferente alproducido por la primera unidad del factor, entonces ladiferenciade incrementos a 2 - 2a, + a o mide ladesviaciónrespecto a la linealidad. De maneraque lasdos cantidades anteriores indican lascaracterísticas de la curva de respuesta.

Definiendo:-. Efecto Lineal del factor A:

Al = a -a2 o-. Efecto Cuadrático del factor A

N=a-2a+a2 , o

(8.38)

(8.39)

Como se ve, el efecto principal del factor A está asociado a dos grados delibertad, lo que indica que es posible realizar dos comparaciones mutuamente

185

Dr. Franklin Chacin

ortogonales; los dos componentes efecto lineal y efecto cuadrático sonprecisamente dos contrastes mutuamente ortogonales del efecto de A. Estosefectos que miden la forma de la curva de respuesta,' se conocen comocomparaciones ortogonales en regresi6n. Dependiendo del número de nivelesse puede examinar el efecto lineal, cuadrático, cúbico, cuartico de algún factor.Los coeficientes para una comparaci6n ortogonal se derivan del método depolinomios ortogonales.

Dos factores a tres niveles

Sean dos factores Ay B cada uno a tres niveles: (a, .a¡ a.) Y(bo' b¡ b2),respectivamente.

Habrá nueve combinaciones de tratamientos asociados a ocho (8) gradosde libertad en el análisis de varianza. Un primer esquema del análisis factorialestaría dado por los efectos principales y la interacci6n AB.

EFECTOABAB

G. DE L.224

Es decir, las diferencias entre los rendimientos de lasnueve (9)combinacionespueden ser expresadas en tres componentes principales de efectos independientes:

Efecto principal de A con dos (2) grados de libertadEfecto principal de B con dos (2) grados de libertadLa Interacci6n AB con cuatro (4) grados de libertad.

El efecto principal de A y el efecto principal de B comprenden cada unodos (2)comparaciones independientes y la interacción AB comprende cuatro (4)comparaciones independientes. Esas ocho comparaciones se pueden realizarcon bastante ventaja como comparaciones ortogonales de acuerdo al siguienteesquema:

186


Efecto linealEfecto cuadrático

EfectoANNBBlB2ABNBlNB2NBlNB2

Efecto linealEfecto cuadrático

Efecto linealxlinealEfecto linealxcuadráticoEfecto cuadráticoxlinealEfecto cuadráticoxcuadráticoTotal

G. de Libertad2

11

211

41111

8

Expresionessimbólicasparacadauna delascomparacionesortogonalesen regresión:

Al = (a2-aJ(bo+ bl+ b2)

A 2 = (a 2- 2 a 1 + a o)(b 0+ b l + b 2)

BI =(b2-bo)(ao+al+a2)

B2 = (b 2- 2 b 1+ b o)( a o+ al + a 2)

AIBI = (a2-ao)(b2- bo)

AIB2 = (a2 - ao)(b2 - 2al + ba)

A2BI = (a2-2al+aO)(b2- ba)

A2B2 = (a2-2al+aO)(b2-2al+ b ,)

Interpretación de los efectos e interacciones de dos factores a tres (3)niveles en función de la naturaleza de la curva de respuesta

Supongase una tabla 3x3 en la que aparece los nueve (9) totales derendimiento de las comb-inaciones de tratamientos de los factores A y B a tres (3)niveles cada uno.

187

Dr. Franklin Chacin

Factor Bba bJ b2 Total

a (ao b) (ao b¡) (ao b) [ao]o

Factor A a¡ (a¡ b) (a¡ b.) (a¡ b.) [al]a2 (a, b) (a, b.) (a, b.) [a2]

Total [b ] [b¡] [b2]o

cada símbolo (ao bJ, (ao b.), ... dentro de la tabla equivale al total de rendimientopara la combinación indicada por los subíndices. Los totales marginales para losniveles de A se indican como a o ,a I , a 2 ; e igualmente para los totales marginalesde B. El componente A ¡(efecto lineal de A) puede estimarse separadamente acada nivel de B. Cada uno de estos componentes los llamaremos efectos linealessimples de A; así:

N(O) = (a2-ao)bo efectolinealdeAalnivelodeB

N(l) = (a2-ao)b¡ efectolinealdeAalnivelldeB

N(2) = (a2 - aJb2 efecto lineal de A al nivel 2 de B

El efecto lineal total A ¡ es la suma de los lineales simples.

(8.40)

De la misma manera el componente Al (efecto cuadrático de A) puedeestimarse separadamente para cada nivel de B. Sepuede medir tres componentescuadráticos simples, a saber:


El efecto cuadrático total A 2 será la suma de los tres efectos simples:

Al = [( a2 - al)- (al - ao )](bo+ b, + b) = [aJ -[al] - ([a¡] - [aoD=[a2] -2[aJ + [ao](8.41)

Alternativamente para B sus efectos lineales simples serían:

Bl(O) = (b2- bo)ao

B'(I) = (b2- bO)a1

Bl(2) = (b2 - bJa2

Efecto lineal total

(8.42)

Los efectos cuadráticos de B serían:

El efecto cuadrático total:

B2 =[(b2- bl)- (bl- bJ](ao+ a¡+ a2) = ([b2]-[b¡]-([bJ-[boD =[b2]-2[bJ + [bo](8.43)

Como seve la interacción AB con 4 grados de libertad puede ser subdivididaen los siguientes componentes ortogonales:

A ¡B ¡ = (a 2 - a o)( b 2 - b o) = (a 2 - a o)b 2 - (a 2 - a o)b o = A ¡(2) - A ¡(O)

o también

A 'B' = (b2 - bO)(a2 - ao) = (b2 - bO)a2 - (b , - bo)ao = B' (2) - B' (O) (8.44)

189

Dr. Frank/in Chacin

en forma similar,

A'B2 =(a2 -aO)[(b2 -b,)-(b,-bo)]

A 'B2 = (a, - aO)b2 - 2(a2 - ao)b, + (a2 - ao)boA' B2 = A' (2) - 2A' (1) + A' (O)o también

A'B2 =[(b2 -b,)-(b,-bo)]a2 -[(b2 -b,)-(b,-bo)]aoA'B2 =B2(2)-B2(0)

de igual forma;

(8.45)

(8.46)

A2B' = [[(a2 -a,)-(a, -aO)]b2 -[(a2 -a,)-(al -ao)]bo]

=A2(2)-A2(0)o también

A2BI = (b , - bO)a2 - 2(b2 - bo)a, + (b2 - bo)ao= B' (2) - 2B' (1) + BI(O) (8.47)

A2B2 = [[(a2 - a¡)-(a¡-aO)]b2-[(a2-a¡)-(a¡-ao)]b¡]-[[ea2-a¡)-( a¡-ao)]b ¡-[ea2-a¡)-( a¡-ao)]bo]

(8.48)

= A2(2)-A2(1)_[A2(1)-A2(0)]= A2(2)-2A2(1)+A2(0)

Si se supone que la forma de la curva de A es lineal y si los niveles de B noafectan su pendiente, entonces los efectos lineales simples tendrán igual pendiente(ver Figura 8.3), bajo estas condiciones una recta de pendiente promedio sobrelos niveles de B sería de mejor estimación y se basaría en los totales marginalesexpresados en la ecuación (8.40).

Si se supone ahora que la forma de la curva de A sigue siendo lineal peroque la pendiente está afectada por los niveles de B, la medida de este efecto estarádada por dos componentes de interacción independientes: el componente Al B 1

yel componente Al B2(véase Figura 8.3.2.a y 8.3.2.b) En 8.3.2.a la interpretación

..'.190


es la misma de la interacción AB de un factorial Z'; es decir, se mide la diferenciadel efecto de A a los niveles b

oy b, de B. Note que de acuerdo a (8.44), sería una

comparación entre A ¡(2) versus A ¡ (O). Esto indica que es una comparación entrelas pendientes de las rectas de regresión de Y sobre A estimadas para los nivelesb o y b, de B. En 8.3.2.b interviene además la recta de regresión estimada al nivelb, de B. La comparación N B2 equivale a la ecuación (8.45), esto es,

N(2) - 2N(1) + N(O)

lo que indica que es la comparación del promedio de las pendientes de las rectasde regresión de A a los niveles 2 y O de B contra la pendiente de la recta de A alnivel b, de B.

Si la forma de la curva de A es cuadrática y si los niveles de B no afectan supendiente en ningún punto de su recorrido, entonces los efectos simples cuadráticosserían iguales y las curvas tendrían igual pendiente en cualquier punto de surecorrido (vea Figura 8.3.3), bajo estas condiciones el componente cuadráticopromedio sería el de mejor estimación y se basaría en los totales marginalesexpresados en la ecuación (8.41).

En el caso de que exista interacción con los niveles de B entonces existendos componentes independientes de la interacción A 2B: A 2BY A 2B2.01er Figuras8.3.4.a y 8.3.4.b) En Figura 8.3.4.a se observa que la forma cuadrática de la curvaestá afectada por los niveles de B. Este componente solo mide los cambios deforma de la curva a los niveles b, y b

ode B. Es de notar que la ecuación (8.47)

lo expresa como la comparación entre el componente cuadrático A2(2) al nivel b,de B con el componente cuadrático N(O) al nivel b

ode B. En la figura 8.3.4.b se

observa que en la comparación A2B2entra la curva determinada al nivel b, de B.

que indica la comparación entre el promedio de los componentes cuadráticos alos niveles 2 y Ode B contra el componente cuadrático N(l) determinado al nivel1de B.

191

Dr. Franklin Chacin

Figura 8.3.1Efecto lineal de Aa cada nivel de B

a. al "No hay interaccion

Figura 8.3.3Efectos cuadróticos

• cada nivel de B

a. a,

8.32a Componente Al a'

Figura 8.3 Gráficos de interacción

8.3.4a. Componente A' a'

Contribución a la Suma de Cuadrados

Figura 8.3.2

la interacción AIS

Figura 8.3.4la interacción A'8

b,

•• a,

8.32b Componente A' 8'

•• " a,

8.3.4bComponente A' a'

Cada uno de los componentes antes descritos son mutuamente ortogonalesasociados cada uno con un grado de libertad. Hay ocho componentes ortogonalesy cada uno contribuye independientemente a la suma de cuadrados de tratamiento.Por ejemplo, la contribución de X a la suma de cuadrados de tratamiento es:

SC(X) = [xfn¿Ct (8.49)

donde[X] = el efecto totaln = número de observaciones de los totales que entran en la comparación¿C¡ = suma de cuadrados de los coeficientes que entran en esa comparación.

Por ejemplo, los coeficientes para el efecto lineal y cuadrático de un factor atres (3) niveles son:192


NivelesO12

Coeficientes lineales-1O1

Coeficientes cuadráticos1-21

Considérense ahora algunos métodos para calcular [X] :

Método 1Se calcula directamente utilizando las expresiones algebraicas para los efectos, así:

Al = a2- ao

A2= a2-2a¡+aodonde ao' a ¡,a 2 son totales marginales en la tabla 3x3.

donde (a 2b 2)' (a , b o), ... , son totales de la combinación de tratamientos y queentran en el cuerpo de la tabla.

Método 2Se forma una tabla 3x3 con los totales de tratamientos en el cuerpo de la

tabla y los totales marginales de A y de B.Factor Bbo b, b, Total Lineal N Cuadrático N

a (aob) (aob) (aob.) [ao) -1 -[ao) 1 [ao)oFactor A al (al b) (al b.) (al b2) [al] O 0- -2 -2[a,]

a2 (a2 b) (a, b.) (a2 b.) [a2] 1 [a2] [a2]

Total [boJ b,] [b2]Lineal -1 O 1

B' -[b ] O [b2]oCuadrático 1 -2 1B2

[boJ -2[b,] [b2]

Los componentes lineal y cuadrático de los efectos principales A y B secalculan de los respectivos totales marginales. Para calcular los cuatro componentesde la interacción AB, se procede a formar las matrices 3x3 cuyos elementos son

193

Dr. Franklin Chacin

los coeficientes que multiplicaran a los totales de tratamientos que ocupan lamisma posición en la tabla 3x3. Para hallar las respectivas matrices se procedecomOSlgue:

Componente Producto de Matrices Matriz de Coeficientes

NBl [-~}[-I 1]= [ ~O

-~1O O- 1 O

[-~}[I-2 [-1 2

~1NB2 1] = ~ O-2

[-:+-1 [-1 O -11O 1]= 2 O -2NBl - 1 O 1

[-+1 1] = [1 -2

-~1NB2 -2 -2 4

1 -2Si se quiere calcular, por ejemplo, NBl; la matriz NBl dice que todos los

productos serán nulos menos los de los extremos, así:

que coincide con el obtenido anteriormente. Además:

[AIBl]2S C(A 1B 1) = -'-----''-

n¿C¡(8.50)

donde n = r ya que cada total es la suma de r repeticiones.

194


(8.51)

donde n = sxr ya que cada total [a j] es la suma de s niveles de B y de r repeticiones.

Método 3El otro método es formar una matriz completa, escribiendo en una columna

las combinaciones de tratamientos y luego en las columnas siguientes los coeficientesde las respectivas comparaciones.

Totalde Componentes en. ,

regreswnTratamientos Al Al Bl Bl AIBI AIBl A1Bl A1Bl

T = a.b, -1 1 -1 1 1 -1 -1 100

T = aob¡ -1 1 O -2 O 2 O -201

T = aob2 -1 1 1 1 -1 -1 1 102

T = albo O -2 -1 1 O O 2 -210

T =a¡b¡ O -2 O -2 O O O 411

T =a¡b2 O -2 1 1 O O -2 -212

T =a b 1 1 -1 1 -1 1 -1 120 2 o

T =a?b¡ 1 1 O -2 O -2 O -221 -

T = a.b, 1 1 1 1 1 1 1 122

195

Dr. Franklin Chacin

Otra forma de escribir la matriz es la siguiente:

[A 1]-1 - 1 - 1 O O O 1 1 1

aobo[A 2]

1 1 1 -2 -2 -2 1 1 1aobl

[BI] -1 O 1 -1 O 1 - 1 O 1aOb2

[B2] 1 -2 1 1 -2 1 1 -2 1 albo

[A1B1] 1 O - 1 O O O - 1 O 1albl

[A1B2]

- 1 2 - 1 O O O 1 -2 1a.b,a2bo

[A2B1] - 1 O 1 2 O -2 - 1 O 1

1 -2 1 -2 4 -2 1 -2 1a2bl

[A2B2] a2b2

Si los factores que intervienen en el factorial a tres o mas niveles soncuantitativos, el procedimiento descrito parece ser el que conduce a unainterpretación concreta del experimento. Si interviene por ejemplo, un factorcuantitativo (A) y un factor cualitativo (B),un esquema de análisis sería:

Efecto lineal de A: Al

Efecto cuadrático de A: A 2

Efecto total de B: BInteracción AB

G. de L.1124

Sihay interacción el esquema sería:

G. de L.Efecto total de B 2Efecto lineal de A a b de B 1o

Efecto lineal de A a b I de B 1Efecto lineal de A a b, de B 1Efecto cuadrático de A a b de B 1o

Efecto cuadrático de A a b I de B 1Efecto cuadrático de A a b, de B 1

196

Oieeño y Análisis de Experimentos 8

EXPERIMENTOS FACTORIALES 2k

En el siguiente cuadro se presentan los resultados de un ensayo realizado enFertilización N, P, K en maíz con un arreglo de tratamiento Iactorial Z' en undiseño de experimento completamente aleatorizado.

TRATAMIENTOS

(1) a b ab e ae be abe

10 16 27 23 16 16 25 28

18 19 17 18 25 16 23 24

8 16 16 28 22 19 30 20

36 51 60 69 63 51 78 72

197

Dr. Franklin Chacin

Modelo LinealAditiw

Y¡jkl= p+ a, + fl; + Yk + (ajJ)ij + (aY)ik + (jJy) jk + (ajJY)ijk + cijkl (8.43)

Yijkl = observación l-esima del i-ésimo nivel del factor A, j-ésimo niveldel factor B y k-ésimo nivel del factor C.

Jl = media generalai = efecto del i-ésimo nivel del factor A/J¡ = efecto del j-ésimo nivel del factor B(ajJ) ij = efecto de la interacción de primer orden del i-ésimo nivel delfactor A con el j-ésimo nivel del factor B(ar) ik = efecto de la interacción de primer orden del i-ésimo nivel delfactor A con el k-ésimo nivel del factor e(jJr) jk = efecto de la interacción de primer orden del j-ésimo nivel delfactor B con el k-ésimo nivel del factor e(aPr) ijk = efecto de la interacción de segundo orden del i-ésimo niveldel factor A j-ésimo nivel del factor B con el k-ésimo nivel del factor eC;jkl = error experimental

Supuestos delModelo:

Modelo 1 (fijo)

198


a b

II(ajl)ij = °;=1 j=1

a e

I I (ar)¡k =0;=1 k=I

b e

I I (flr) jk = °j=1 k=1

a b e

III (aflr)ijk = °;=1 j=1 k=1

C;jk- NID (O, CT;)

Modelo 11(Aleatorio)

a¡ - NID(O,CT~)

/l¡ - NID(O,CT~)

rk - NID(O, CT:)

(ajl)ij - NID(O,(J~fJ)

(ar)¡k - NID(O,(J~/)

(flr) jk - NID(O, CT~r)

(aflr) ijk - NID (O, CT~fJr)

199


Hipótesis:

Modelo 1

Ho: a = OI

Ha: ai-:f::-OHo: (afJ)ij= OHa: (afJ)ij-:f::- O

Ho: (ajJY)ijk = OHa: (ajJY)ijk -:f::-O

Ho:~ =0Ha:~ -:f::-O

Ho: (aY)ik = OHa: (aY)ik -:f::-O

Ho: Yk = OHa: r, -:f::- O

Ho: (jJy) jk = OHa: (jJy) jk -:f::-O

Modelo II

Ha: o-~ -:f::- O

Ho: O-~fJ= O

Ha: O-~fJ -:f::- O

Ho: O-~fJr = O

Ha: O-~fJr -:f::- O

Ho' 0-2 = O. a

Ho: o-~= O

Ha: o-~ -:f::- O

Ho: O-~r = O

Ha: O-~fJ -:f::- O

Ho: O-~r = O

Ha: O-~r -:f::- O

El esquema de Anavar está dado en la Tabla 8.2 dada a continuación:

,.'.200

Tabla

8.2.

Esqu

ema

deA

nalis

isde

Var

ianz

aPa

rael

Expe

rimen

toFa

ctor

ial

23

LO,d~

V.G

.J~

L.Su

,"u

drC

uadr

ados

Espe

ranz

asd.:

10.t

Cua

drad

osM

,'Jim

Espe

ranz

asd,

.to

sC

uodr

udos

MC'

dlu.

J(M

odel

o1)

(M"d

d"11

)a

.1.2

2:!

A.·

1L(

ai/r

bc-F

.C.

a;+

bcrL

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(a-l)

ac+

rarr

Jly+

rcaa

¡¡,-1

,-1+

rba,

~+

rbc

a~h

h.,

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Ilb·

1L(

b/lra

c-F

.C.

a;+

acrL

{J]I(

b-l)

a;+

ra~

/lr+

rca~

(1j-I

j-I+

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+ra

ca~

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c.)l/

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F.C

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C-l)

a;+

ra,~

Iy+

rba!

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bl+

raa'

+ra

ha'

Prr

a~

ab

~:!

2\J

AB

(A·(

Xc·

l)LL

(a¡b

y/rc

-F.C

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CA

-SC

Ba;

+cr

LL(a

t3)¡

¡I(a

-I)(

b-l)

al+=

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cao/

J\Si.

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c·l)

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h)2/

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CA

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Ca;

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c-l)

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.,+rb

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¡-I

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be

be

22

¡-P

Be

(b·I

Xc·

l)LL

(b¡c

~)2I

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.C.-S

CB

-SC

Ca;

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F.C

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LL

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1'-1

¡_lj_

1'0

1(a

-l)(b

-I)(

c-I)

~

-SC

B-S

CC

-SC

AB

-SC

AC

-SC

BC

~a2

a'><

EE(a

he·I

X,·I

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fere

ncia

ee

C\)

ab

e~.

To"l

abcr

-!LL

LY

¡~kJ

-F.

C.

~¡-

Ije

¡~

.I.::::

s: ~

Dr. Franklin Chacin

DesarrollodelEjemplo

Sumas de Cuadrados

Sumade Cuadrados de Tratamientos:

362 +512+ ...+782 +722SCT~t=----------------

3

(480) 2

24

SCTrat = 10.032-9.600= 432

Suma de Cuadrados de losEfectos Principales. Cuadros de doble entrada

b bl Totalo

a 99 138 237o

al 102 141 243Total 201 279 480

e el Totalo

a 96 141 237o

al 120 123 243Total 216 264 480

e el Totalo

b 87 114 201o

bl 129 150 279Total 216 264 480

Suma de Cuadrados deA

2372 + 2432 4802SCA= - -- = 9601.5 - 9600 = 1.5

3x2x2 24

202


Suma de Cuadrados de B

2012 + 2792 4802

SCB = - -- = 9853.5 - 9600 = 253.53x2x2 24

Suma de Cuadrados de C

2162 + 264 2 4802

SCC = - -- = 9696 - 9600 = 963x2x2 24

Suma de Cuadrados de lasInteracciones

SumadeCuadradosAB

992 + 1382 + 1022 + 1232 4802SCAB = - -24 - 15 - 253.5 = 9855 - 9600 - 1.5- 253.5 = O

3x2

Suma de CuadradosA C

962 + 1412 + 1202 + 1232 4802

SCA C = 3x2 - 24- 1.5- 96 = 9771- 9600 - 15 - 96 = 73.5

Suma de CuadradosBC

872 + 1142 + 1292 + 1502 4802SCBC = 3x2 -24- 2535-96 = 9951- 9600-2535-96 = 15

Suma de CuadradosABC

362 +512+ ...+782 + 722 4802SCABC = 3 - 24 -1.5- 253.5 - 96 - 0-735-1.5 = 6.0

Suma de Cuadrados Total

SCTotal= 102 + 182 + 82 + ...+242 + 20LP.C=724.0

Suma de Cuadrados delError Experimental

SCEE = SCTotal· SCTrat = 724 - 432 = 292

203


Cuadrados Medios o Varianzas

Cuadrados Medios de Tratamiento

SCTrat 432CMTrat= = - = 61.71

t -1 7

Cuadrados Medios para EfectosPrincipales

Cuadrado Medio paraA

SCA 1.5CMA= -- = - = 1.5

a-1 1

Cuadrado Medio para B

SCB 253.5CMB= - = -- = 253.5

b -1 1

Cuadrado Medio para C

SCC 96.0CMC=-=-=96

e -1 1

CuadradosMediosparalnteracciorzes

Cuadrado Medio paraAB

SCABCMAB= =0

(a-1)(b- 1)

Cuadrado Medio paraA CSCAC 73.5

CMAC= =-=73.5(a- 1)(c- 1) 1

Cuadrado Medio para BCSCBe

CMBC= (b-l)(c- 1) :::::1.5

204


Cuadrado Medio paraABCSCABC

CMABC= = 6.0(a-1)(b-1)(c-1)

Cuadrado Medio para elError Experimental

SCEE 292CMEE = = - = 18.25

(abc-1)(r-1) 16


ANA VAR (MODElO FIJO)

F.de v. G.deL. SC CM F F(5%) F(1%)

Trat 7 432.0 61.71 3.38** 2.66 4.03A 1 1.5 1.5 0.08 N.S. 4.49 8.53B 1 253.5 253.5 13.89~·*

C 1 96.0 96.0 5.26*AB 1 0.0 0.0 O.ON.S.AC 1 73.5 73.5 4.02N.5.

BC 1 1.5 1.5 0.08N.S.ABC 1 6.0 6.0 0.33N.5.

EE 16 292.0 18.25Total 23 724.0

205

Dr. Frank/in Chacin

ANA VAR(MODELO ALEATORIO)

F.de V. G. de L. CM FTrar

AB

CABACBCABC

EETotal

71111111

1623

61.711.50

253.5096.000.0073.501.50

6.0018.25

0.0012.25':":'

0.250.32

Análisis de Varianza calculado a través de matrices ortogonales

Contrastesortogonalesytotalesdetratamiento

36 51 60 69 63 51 78 72

(1) a b e ab ac be abcJ1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1A - 1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 aB -1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 bC -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 e

AB +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 abAC +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 acBC +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 beA&:: -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 abc

Sumas de Cuadrados: La contribución de cada efecto a la suma de cuadradosde tratamiento viene dada por:

206


Suma de Cuadrados deefeaosprincipales

(-36 + 51- 60 - 69 + 63 + 51-78 + 72)2 62SCA = = - = 1.5

8x3 24

(-36-51+60-69+63-51+78+72)2 722SCB= =-=253.5

8x3 24

(-36-51- 60+ 69 - 63 + 51 + 78 + 72)2 482SCC = = - = 96.0

8x3 24Suma de Cuadrados delrueraaiones

(+36 - 51- 60 + 69 + 63 - 51-78 + 72)2SCAB = = 0.0

8x3

(+36-51 + 60- 69 - 63 + 51-78 + 72)2 422SCAC = = - = 73.5

8x3 24

(+36 + 51- 60 - 69 - 63 - 51 + 78 + 72)2 (_6)2SCBC= =--= 1.5

8x3 24

(-36 + 51 + 60 + 69 - 63 - 51-78 + 72)2 122SCABC= =-=6.0

8x3 24Suma de Cuadrados de Tratamiento

SCTrat = 1.5 + 253.5 + 96.0 + 0.0 + 73.5 + 1.5 + 6.0 = 432

El resto delprocedimiento es igualal que apareceen laspáginas anteriores,incluyendoelAnálisisdeVarianza.

207

Dr. Franklin Chacin

Interpretación

Modelo Fijo

Este es el modelo que se utiliza en la mayoría de los experimentos agrícolascuando no se está repitiendo el experimento ni en el tiempo ni en el espacio.

De acuerdo a los resultados del Análisis de Varianza en los que resultaronsignificativos los efectos de los factores By C; es decir, Fósforo y Potasio, sepuede concluir que el cultivo de maíz bajo estas condiciones de suelo y climaresponde positivamente a la fertilización con Fósforo y Potasio. Como se tratade la aplicación o no del nutriente (ensayo exploratorio) con sólo observar cualde las dos medias es mayor, es suficiente para determinar el mejor tratamiento.

Modelo Aleatorio

Al observar los cuadrados medios esperados se nota que no existendenominadores apropiados para la prueba de significación de F para los factoresindependientes (N, P, K) por consiguiente se tendrían que realizar pruebas de Faproximadas.

Para el caso de las interacciones de primer orden el denominador apropiadopara la prueba de F es la interacción de segundo orden ABC y para esta interacciónel denominador es el Error Experimental, al realizar las pruebas de F solamentela interacción AC es significativa; es decir, para este modelo existe significaciónpara el efecto interactuante de Nitrógeno y Potasio.

Puede apreciarse que la interpretación fue completamente diferente a la delModelo Fijo. Sin embargo es de notar que se utilizó el modelo aleatoriosolamente con fines didácticos, ya que para este tipo de experimentos notiene ninguna justificación considerar aleatorio s los factores bajo estudio.


EJERCICIOS

Con un conjunto de datos afín a su área de investigación, responda lassiguientes preguntas:

- Establezca el modelo lineal aditivo describiendo cada uno de lostérminos del modelo y los sub índices presentes.



-Escriba el cuadro de ANA VAR de acuerdo al modelo. Considerecuadrados medios esperados y los estadísticos de prueba.

-RealiceelANA VAR.

-Pruebe las hipótesis.


209

Dr. Frank/in Chacin

EXPERIMENTOS FACTORIALES 3K

En el siguiente cuadro se presentan los resultados de un ensayo realizado enFertilización N, P, K en maíz con un arreglo de tratamiento factorial J2 en undiseño experimental bloques al azar.

1M TAMlENTOS

a2 al ao

Bloques b, bl b b2 bl b b2 b¡ b Totalo o o

1 52 28 56 66 36 20 56 42 22 378II 48 44 48 54 24 38 34 16 36 342III 60 48 40 56 62 32 52 36 28 414IV 40 48 16 48 46 22 34 26 26 306Total 200 168 160 224 168 112 176 120 112 1440

Modelo LinealAditiw

Yijkl = j.1+ a¡ + ~ + ;(ajJ)ij + r, + cijkl (8.44)Zkl = observación k-esima del i-ésirno nivel del factor A y j-ésimo nivel del factor B

j.1 = media general

a¡ = efecto del i-ésirno nivel del factor A

~ = efecto del j-ésimo nivel del factor B

r k = efecto del k-ésimo bloque

Cijkl = error experimental

4-10

Supuestos deLModeLo:


ModeLo 1 (fijo)

a b

¿¿(a,8)ij = °i=1 i=1

2Y k - NlD(O, (J"r)

Cijk - NID(O, (J"~)

Modelo 11{Aleatorio)

a¡ - NID(O, (J"~)

fJ; - N1D(O, (J"~)

(a,8) ij - NID(O, (J"~p)

Yk - NID(O, (J":)

ck - NID(O (J"2)Ij , e

211

Dr. Franklin Chacin

Hipótesis:

Modelo!

Ha: a, = O1

Ha: (ajJ)ij= O

Ha: (ajJ) ij 7:- O

Ha:~ =0

Ha: ~ 7:- O

Ha: a-: = O

Ha: a-: 7:- O

ModeloIl

Ha: a-~ = O

Ha: a-~ 7:- O

Ha: a-~fl= O

Ha: a-~fl 7:- O

Ha: a-~ = O

Ha: a-~ 7:- O

Ha: a-: = O

Ha: a-: 7:- O

El esquema del Análisis de Varianza y las Esperanzas de los CuadradosMedios se muestran en las Tablas 8.3 y 8.4 respectivamente.

212


Tabla 8.3. Esquema de análisis de varianza para el Experimento Factorial P

F.deV. G. de L. Suma de Cuadrados CM

Bloquesr y2

r-l I °abook

- F.C.hl

SCBloq/(r-1)

Tratamientos t-Iy?_IJo -F.C.r SCTrat/(t-1)

A a-la y2I_ioo -F.C.

i=1 brSCAI(a-1)

B b-1

b y2I_oJ- -F.C.j=1 ar

SCB/(b-1)

a b y2AB (a-I) (b-1) ¿¿ _IJo-FoC.-SCA-SCB SCAB/(a-1)(b1)

;=1 je l r

EE (ab-I) (r-I) SCT otal-SCT rat-SCBloq SCEE/(ab-l)(r-1)

a b e

III Yi~k - FoC.Total abr-l i=1 je l k =I

F.C.= (GranTotal)2 / abr

213

f\) :¡::

Blo

que

CM

EE

CM

AB

\:J :> 11 ~ zs ~ ~. ~ \) ~.

Tabl

a8.

4.Es

pera

nzas

delo

sC

uadr

ados

Med

ios

para

elFa

etor

ial

32pa

rael

caso

delo

sM

odel

osTi

pol.

11.I

IIE(

CM

)M

odel

oI

Den

omi

E(C

M)

Mod

elo

11D

cnom

ina

dor

nado

r

A B AS Erro

r

2a E

+ab

o.' r

a2+

b~a2

er

L.J

-'-;:

1a-

l,

b{32

a;+r

aL-L

i=)

b-l

,•

ha;

+r¿¿

(a{3

)~;=

1j=

1(a

-1)

(b-1

)

a2 (

CM

EE

CM

EE

CM

EE

CM

EE

2'

a(+a

ba;

2,

,o;

+ra

;(J+r

ba;

22

2a(

+ra

afl

+ra

a fl

a,2

+ra

~fl

2a

E

CM

AI3

CM

EE

E(C

M)

Mod

elo

III

Den

orni

E(C

M)

Mod

elo

III

Afij

o13

alea

torio

nado

rA

alea

torio

Bfij

oD

enom

ina

dor

Blo

que

CM

EE

A Erro

r(a)

B AS Erro

rtb)

a2+

abo'

o:+

abo.

''r

CM

EE(r

a,

,~

a;+

ra~f

l+rb

L.J

1:;:1

a2

--'-

CM

AB

CM

EE

CM

EE

a;+

rba~ b

f3?a2

+ra~

+raL

(h~l

)t

i;;l

2'

a,+r

a';/l

a2 e

CM

EE

CM

AB

CM

EE

a-l

a;+

raa~

,,

a;+

ra~/

j

0'2 r


Desarrollo del Ejemplo

Suma de Cuadrados

Suma de Cuadrados de Tratamientos:

2002 +1682+ ... +1122 14402

SCTrat = 4 36242.688

SCTrat = - 57.600 = 30724

Suma de Cuadrados de IosEfectosPrincipaJes.Cuadrodedodeerurada

b2200224176600

b¡168168120456

b Totalo

160 528112 504112 408384 1440

Suma de Cuadrados deA

5282+5042+4082 14402 .SCA = --- = 672

4x3 36

Suma de Cuadrados de B

6002 +4562 + 3842 14402SCB = --- = 2016

4x3 36·

Suma de Cuadrados de la Interacción

Suma de Cuadrados deAxB

S2002 +1682+ ...+1202 +1122

CAB = 4 - F. C.-SCA - SCB = 384

215

Dr. Franklin Chacin

Suma de Cuadrados deBloque

3782 + 3422 + 4142 + 3062 14402

SCBloq = - -- = 7203x3 36


14402

SCTotal = 522 + 282+ ...+262- 36" = 6512

Suma de Cuadrados del Error Experimental

SCEE = SCTotal- Sctrat -SCBloq

SCEE = 6512 -3072 - 720 = 2720

Cálculo de las sumas de cuadrados a través de los coeficientesortogonales

b2 b¡ b B¡ B2o

a 1 O -1 1 -2 12a¡ 1 O -1 1 -2 1a 1 O -1 1 -2 1o

~ A¡B¡ A¡B21 1 1 1 O -1 1 -2 1O O O O O O O O O-1 -1 -1 -1 O 1 -1 2 -1

~ ~B¡ ~B21 1 1 1 O -1 1 -2 1

-2 -2 -2 -2 O 2 -2 4 -2 '~

1 1 1 1 O -1 1 -2 1

216


Suma-de Cuadrados deA lineal(528-408)2 1202

SCA = =-=600) [¡2+12+¡2+(-1)2+(_1)2+(_1)2]x4 6x4

Suma de Cuadrados deA cuadrático

(528 + 408 - 2x504)2 (936 - 1008)2SeA - = = 72

2 - [12 +12 +12 +12 +12 +12 +(_2)2 +(_2)2] x4 72

Suma de Cuadrados de B lineal(600- 384)2 2162

SCB -= -:--------'---- = -- = 1944) [12+ 12+ 12+ (-1) 2 + (-1) 2 + 12]x4 24 -

Suma de Cuadrados de B cuadrático

[600+384-2x456r (984-912)2SeB - - -72

2-[12+12+12+(_2)2+(_2)2+(_2)2+(_2)2+12+12]x4- 72 -

Suma de Cuadrados de la InteracciónA lineal x B lineal

[(200 + 112) - (176 + 160)r (-24)2SCA B = = = 36

)) [12+12+(-1)2+(-1)2]x4 16

Suma de Cuadrados de la InteracciónA linealx B cuadrático

[(200 + 160+ 240) - (176 + 112 + 336)f (600 - 624)2SCA B = = = 12

) 2 [12+12+(_1)2+(_1)2+22+(_2)2]x4 48

Suma de Cuadrados de la InteracciónA cuadrático x B lineal[(200 + 276 + 224) - (160 + 112 + 448) f

SCA2B) = = 300[12 +¡2 +(_1)2 +(_1)2 +22 +(_1)2] x4

217

Dr. Frank/ín Chacín

Suma de Cuadrados de la InteracciónA cuadrático xB cuadrático

SCA2B2 = [(200+ 176+ 160+ 112 + 672) - (448 + 336+ 224 + 240)f 5184[12 +12 +12 +(_2)2 +(_2)2 +(_2)2 +(_2)2 +42]x4

=--=36144

ANA VAR (Modelo Fijo)

F.de V. G. de L. se CM F Ftab(5%) Ftab(l%)

Trat 8 3072 384 3,388 2,36 3,36A 2 672 336 2,965 3,40 5,61

Al 1 600 600 5,29::-::- 4,26 7,82A2 1 72 72 0,635n.s.B 2 2016 1008 8,89::-::-

Bl 1 1944 1944 17,15::-::-

B2 1 72 72 0,635n.s.AB 4 384 96 0,847n.s.

AIBI 1 36 36 0,318n.s.

AlB2 1 12 12 0,106n.s.

A2Bl 1 300 300 2,649n.s.A2B2 1 36 36 0,318n.s.

Bloque 3 720 240 2,111 3,01 4,72

EE 24 2720 113,33Total 35 6512

Interpretación

De acuerdo a los resultados del Análisis de Varianza se puede interpretar losiguiente:

-. La significación de los tratamientos es indicativo de que existendiferencias estadisticamente significativas al nivel 0,01 entre las medias delos nueve tratamientos.

-;;. 218


-, Existen diferencias estadísticamente significativas al 10% entre losrendimientos obtenidos con las distintas dosis de Nitrógeno utilizados.

-, El efecto de dichas dosis es lineal; es decir, se incrementa linealmente conel aumento de los niveles de Nitrógeno.

-. Existen diferencias estadísticamente significativas al l% entre los nivelesde Fósforo utilizados en el experimento.

-. El efecto de los niveles de Fósforo es lineal, se aumentan linealmente losrendimientos con los sucesivos incrementos de los niveles de Fósforo.

-. No e.iiste interacción enr •.:-los dos factores, cada uno actua independien-temente del otro factor.

-.No existen diferencias estadísticamente significativas al 5% entre los rendi-mientos obtenidos en los bloques. Lo que indicaría que los rendimientosdel maíz obtenidos entre los mismos tratamientos en los distintos bloquesno fueron tan diferentes como para hacer claramente eficiente el controllocal. Sin embargo, el valor de F fue de 2,11 significativo al 12% lo queindicaría cierto control local con el bloqueo.

En conclusión; como la respuesta tanto del Nitrógeno como del Fósforo eslineal, los mejores rendimientos se obtienen con la máxima dosis utilizada de losdos factores objeto de estudio.

EJERCICIOS

Con un conjunto de datos afín a su área de investigación, responda lassiguientes preguntas:

- Establezca el modelo lineal aditivo describiendo cada uno de lostérminos del modelo y los subíndices presentes.


219



-Escriba el cuadro de ANA VAR de acuerdo al modelo. Considere cuadradosmedios esperados y los estadísticos de prueba.

-Realiceel ANA VAR.

- Pruebe las hipótesis.


220

Capítulo 9

REGLAS PARA LA ESPERANZA DE LOS CUADRADOS MEDIOS

Los Cuadrados Medios juegan un papel sumamente importante en el análisisde varianza para probar la hipótesis nula. El conocimiento de la esperanza de loscuadrados medios (E.C.M.) en el análisis de varianza es lo que conduce alinvestigador a realizar la prueba de la hipótesis nula con el estadístico apropiado.Las reglas para su realización se enumeraran a continuación:

Regla 1. Cada efecto tiene su componente de varianza (efecto aleatorio) oun factor fijo (efecto fijo) asociado a el. Si una interacción contiene por lo menosun efecto aleatorio, la interacción esdeclarada aleatoria,Un componente de varianzatiene letras griegas que identifican un efecto aleatorio particular. Por ejemplo, unmodelo mixto con factor A fijo y factor B aleatorio el componente de varianzapara B es (T/ y el componente de varianza para AB es af tP El efecto fijo serásiempre representado por la sumatoria (¿) de los componentes del modeloasociado con ese factor, dividido por sus grados de libertad. En el ejemplo, elefecto de A es

a '1" 2¿_"ii=1 a-l

Regla 2. Cuadrados medios esperados. Para obtener los resultados mediosesperados, preparar la siguiente tabla:

(9.1)

a) Una fila por cada componente del modelo (Cuadrado Medio) y unacolumna por cada subíndice, sobre cada subíndice escribir el número de nivelesdel factor asociado con el sub índice y si el factor es fijo escribir una F o si esaleatorio escribir una R. Las repeticiones o replicaciones son siempre consideradascomo aleatorias.

221

Dr. Frank/ín Chacín

b) En la última fila, ,escriba "1" si uno de los subíndices (muertos) en elcomponente de la fila corresponde al subíndice de la columna. Por ejemplo;

F F RFactor a b r

kt:

I

~j

("[~)ij

E ij (k) 1 1 1

e) En cada fila, si cualquiera de los sub índices en el componente de la filacorresponde al sub índice de la columna, se escribe cero en la columna si esencabezada por un factor fijo y 1 si la columna es encabezada por un factoraleatorio.

F F RFactor a b r

kT O

I

~j O("[~)ij O O

E ij(k) 1 1 1

d) En cada una de las posiciones vacías de la fila escriba el número deniveles indicados en el encabezamiento de la columna.


F F RFactor a b r

J k

'; O b r

~j a O r('tp) ;j O O r

E i j Ik} 1 1 1

e) Para obtener el cuadrado medio esperado (ECM) para cualquiercomponeme del modelo, primero cul.ra todas las columnas encabezadas porsub índices presentes (vivos) en ese componeme, en cada fila que contiene por 10menos el mismo sub índice como los del componente a ser considerado, tornar elproducto de los números visibles y multiplicar por el factor apropiado fijo oaleatorio (Regla 1). La suma de estas cantidades es la ECM del componeme delmodelo a ser considerado; a fin de encontrar, por ejemplo, la ECM(A) torne lacolumna i del cuadro.

El producto de losnúmeros visiblesen las filasque contienen el subíndice 1son:

br en la fila 1 Oen la fila 3 1 en la fila 4

Entonces la ECM(A) será

a

ECM(A) = d+br ¿ 't;2/(a-l)i=1

(9.2)

223

Dr. Franklin Chacin

EJEMPLOS

a) En el caso de dos factores en modelo fijo:

FFactor a

FbJ

rk

ECMR

erA) .1-' 'J o o

a

a' + br I 1:, '/ (a-I)i;1

b

a' + ar I p// (b-I)i='

a b

0-2+ r I I (T~)'J '1 (a-I) (b-I)i;1 j;1

o b

Pj a o

a'

b) En el caso de dos factores en modelo aleatorio:

R R RFactor a b r ECM

k

T; 1 b r (J' + r a' + br a'tP

Pj a 1 r a' + r a' + ar a'tP P

(1:p) ;j 1 1 r a' + r a'tP

,

Cij(k) 1 1 1 cr

224


c) En el caso de dos factores en modelo mixto:

F R RFactor a b r ECM

ka

T; O b r d + ro' + br ¿ 1;'/ (a-I),~ ;=1

13j a 1 r a' + ar 0"'~

(''C13) ;j O 1 r 0"' + r 0"'t~

E;j(k¡ 1 1 1 d

A manera de ejercicio, considere un experimento factorial de tres factorescon a niveles del factor A, b niveles del factor B y e niveles del factor C y rrepeticiones.

- asuma modelo fijo- asuma modelo aleatorio- asuma modelo mixto con Ay B -fijosy C aleatorio.

El modelo lineal es:

Observe que E;j" es la interacción de tratamientos simples (todas lascombinaciones posibles) por repeticiones. Utilice las reglas dadas para las ECMy discuta la prueba de la hipótesis nula.

225

Dr. Franklin Chacin

Note que en los modelos mixtos las interacciones que contienen factoresfijos y aleatorios tendrán además los coeficientes dados por las reglas estudiadaspara las varianzas, el coeficiente del factor fijo. Por ejemplo, en el caso planteado,la interacción AC, BC y ABC tendrán como ECM:

a2

ECM ~C) = 0-2 + br -- O"

a - 1(9.4)

en

2ECM(BC) = 0"2 + ar -- O"

b(9.5)

b -1

a b2

ECM(ABC) = 0"2 + r -- --- O"a - 1 b _ 1 a ~t

(9.6)

226

Capítulo 10

EXPERIMENTOS FACTORIALES CONFUNDIDOS

Introducción

El investigador agrícola puede estar interesado en estudiar varios factoressimultáneamente, esto se hace a través de los experimentos factoriales estudiadosen el capítulo anterior. Sin embargo a medida que se incrementa el número defactores y niveles de cada factor, aumenta simultáneamente el número decombinaciones de tratamiento; a experimentar. Ba;~esta situación el hecho decolocar los tratamientos en bloques completos al azar, puede disminuir la eficienciade las estimaciones, al tener en el experimento una mayor heterogeneidad en elmaterial experimental. Sepuede recurrir al uso de bloques incompletos, en otraspalabras, utilizar bloques que tengan solamente una parte del conjunto total detratarmentos.

Esta solución presenta dos consecuencias:

~-Los bloques incompletos controlan la heterogeneidad intrabloques.::-El uso de bloques incompletos trae consigo una confusión de efectos quese debe estudiar con detenimiento.

SISTEMAS CONFUNDIDOS

Para diseñar un experimento en el cual el número de tratamientos que va aser colocado en un bloque es menor que el número total de combinaciones detratamientos, el experimentador debe decidir primero cuales son los efectos queva a confundir. Si hay sólo una interacción en el experimento y decide confundiresta interacción con bloques, el problema es simplemente decidir cualescombinaciones de tratamientos ubicar en cada bloque. Una forma de hacer esto,en el2k

, es colocar en unbloque aquellas combinaciones de tratamientos con unsigno (+) en el efecto a ser confundido y aquellas con signo (-) en el otro bloque.Cuando el número de tratamientos y de bloques aumenta, es necesario aplicar un

227


método más general. Primero, se define un contraste de definición. Esta essimplemente una expresión que establece cuales efectos van a ser confundidoscon bloques.

Un ejemplo sencillo constituye el 22 para confundir AB, se escribe entoncesAB como el Contraste de Definición. Una vez definido el contraste, existenvarios métodos para determinar cuales combinaciones de tratamientos se ubicanen cada bloque. Un método consiste en ubicar en un bloque las combinacionesde tratamientos que tienen signo positivo en AB y en el otro aquellas que tienen. .signo negativo.

Otro método es considerar cada combinación de tratamientos. Aquellasque tienen un número par de letras en común con las letras del efecto en elcontraste de definición van en un bloque. Las que tienen un número impar deletras en común con el contraste de definición van en el otro bloque. Aquí (1)notiene ninguna letra en común con el contraste de definición; es decir tiene ceroletras en común, lo cual se considera como un número par; a tiene una letra encomún con AB, es decir un número impar; b también tiene una letra en comúncon AB y ab tiene dos letras en común con AB. Por lo tanto quedarían dosbloques, en uno se incluyen los tratamientos (1) y ab y en el otro bloque lostratamientos a y b.

Una desventaja de estos dos métodos es que ellos sólo sirven para factoriales2k. Un método más general se atribuye a Kemptorne y se explicará más adelanteen detalle.

228


EXPERIMENTOS FACTORIALES 23

Supongamos que se desean ensayar tres factores, digamos A, B y C, cadauno a dos niveles, y se aplica un factorial Z', confundido en r réplicas.

Réplica I Réplica rBloque 1 Bloque 2 Bloque 1 Bloque 2ac a (1) c(1) c ac bab abc be abcbc b ab a

ElAnavar correspondiente para un factorial completamenr- --Jnfundido 23 sena:

ANAVAR

G.deL.F.deV.

BloquesABABCACBCErrorTotal

2r-l1111116(r-l)8r-l

Con bloques de cuatro unidades experimentales, la varianza de estimaciónde los efectos factoriales estimables es:

cr2 /2 r (10.1)

229

Dr. Franklin Chacin

Si el experimento se hubiese realizado en bloques completos al azar, todoslos efectos factoriales habrían sido estimables y la varianza de estimación decualquiera de ellos habría sido:

(10.2)

Supuestamente (0"2) I > ()2 . Entonces la eficiencia relativa de estimaciónen bloques incompletos con respecto al diseño en bloques completos es:

COMPOSICION DE LOS BLOQUES BAJO DETERMINADOESQUEMA DE CONFUSION

Existen varias maneras de determinar la composición de los bloques 2k, sinembargo, el método general es el de Kempthorne explicado más adelante yejemplificado para factoriales 3k•

Esquemas típicos de confusión 2k

23en bloques de 4 unidades: cualquier efecto o interacciónen bloques de 2 unidades: i) A, B, AB

ii) A,B, ABCiii) AB,BC,AC

24 en bloques de 8 unidades: cualquier efecto o interacciónen bloques de 4 unidades: i) A, B, AB

ii) A, BC, ABCiii) A, BCD, ABCDiv) AB, BC, ACv) AB, CD, ABCDvi) ABC, ACD, AD

en bloques de 2 unidades: i) A, B, AB, C, AC, BC, ABCü) A, B, AB, C, ACD, BCD, ABCDiii)A, BC, ABC, BD, ABD, CD, ACDiv)AB, AC, BC, AD, BD, CD, ABCD

230


La elección del esquema de confusión dependerá de las necesidades uobjetivos del investigador. Sin embargo, puede verse que, por ejemplo, para undiseño 24 podría seleccionarse el esquema v) o el vi). Si se utilizaron el i), el ii) o eliii) se estarían confundiendo efectos principales; si, por otra parte, se eligiera el iv)se estarían confundiendo todas las interacciones de dos factores, mientras que enel v) y vi) sólo se confunden dos y una de ellas, respectivamente.

Fisher enunció un teorema que establece las características que debe llenarun experimento factorial de la familia 2k, para que ninguna de las interaccionesconfundidas comprenda menos de tres factores.

Teorema de Fisher

Seaun experimento factorial 2ken bloques de 2m unidades experimentales (k> m), si 2m > k, se pueden encontrar arreglos en los que ninguna interacciónconfundida con bloques contenga menos de tres factores.

Ejemplo:

En un factorial Z"en bloques de 23unidades experimentales, k = 7 Ym = 3, demanera que 2k = 23 = 8 > n = 7. De acuerdo con el teorema de Fisher es posibleconstruir un esquema de confusión tal que los efectos confundidos con bloquessean sólo interacciones de tres o más factores.

Los efectos o interacciones independientes que existen en un determinadoesquema de confusión son llamados comúnmente generadores. En unexperimento 2ken bloques de 2m unidades experimentales se tendrán 2k-m =2qbloques, requiriéndose q generadores para definir el esquema de confusión.

Suponiendo que secumple elteorema de Fisher, puede procederse como sigue:,:-Si se requiere q generadores, deben escribirse las primeras k-q letrasmayúsculas.':-Se construyen q interacciones cualesquiera con las letras anteriores.,» Con las q interacciones y los q efectos no considerados (las q letras noconsideradas) combinados en pares se obtiene un conjunto de q generadores.

231


Ejemplo:

Consideremos un factorial 27 en bloques de 23 unidades experimentales(cumple con el teorema de Fisher).

Pueden construirse 27-3 = 24 bloques; de acuerdo con la notación utilizada q= 4 Y k - q = 3, o sea que con A, B Y C se construyeron 4 interacciones AB, AC,BC Y ABC, y como han quedado sin considerar los factores D, E, F Y G, alcombinarlos en pares podemos obtener diversos conjuntos de generadores. Porejemplo: ABD, BCF y ABCG; o ABG, ACF, BCE y ABCD; o ABF, ACG, BCDy ABCE; o cualquier otra combinación.

Ejemplo:

Se ensayan las combinaciones de un factorial Z' , para estudiar el efecto deNitrógeno (n), Fósforo (P) y Potasio (k), sobre el rendimiento de un cultivo demaíz. La interacción NPK se ha confundido con bloques en las tres repeticiones.Se desea obtener el análisis de varianza del experimento, para el rendimiento delcultivo.

RepIBloque 1

pk (1)22,45 21,23np nk28,49 25,85 98.02

Bloque 2

n k28,12 20,64npk p22,14 20,05 90,95

232


RepIIBloque 3

n k27,12 25,17npk p26,54 25,40

Bloque 4

np nk23,59 22,59

f----

(1) pk23,36 22,14

RepIIIBloque 5

p n28,49 31,52npk k25,31 24,95

Bloque 6

nk pk25,95 24,13np (1)26,76 25,40

104,23

91,68

110,27

102,24

233

Dr. Franklin Chacin

El esquema de confusión usado es el anteriormente descrito:

Bloque A (1,4, 6) : (1) np nk pkBloque B (2,3, 5): n k p npk

Cálculo de los efectos totales

Totales de Tratamiento

(1) 69,99n 86,76p 73,94np 78,84k 70,76nk 74,39pk 68,72npk 73,99G 597,39

Cálculo del factor de corrección

G2 (597,39)2C = - = = 14.869 7838

23 r 24 '

Cálculo de la suma de cuadrados total

SCTotal = ¿y2_ C = (22,45)2+ ...+(25.40)2 -14.869,78 = 180,1867

Cálculo de la suma de cuadrados debido a bloques

SCB = LB~ _C = (98,02)2 +...+(102,24)2 -14.869,78 == 70,57344 4'


Esta suma de cuadrados debido a bloques puede dividirse en:

i) la suma de cuadrados debido a repeticiones

IR2 (188,97)2 +(195,91)2 +(212,51)2SCR = -8-- C = 8 -14.869,78 = 36,5773

ü) la suma de cuadrados debido a bloques dentro de repeticiones

¿B2¿R2

SC(BDR) = ---- = 33996148'

El cálculo de las sumas de cuadrados debido a los efectos facrr'":"lalesserealiza usando las ecuaciones 8.22a 8.28.

(3057)2SC(N) = ' = 38 93853x23 ,

(-641)2SC(P) = ' = 1 71203x23 ,

(-1023)2SC(NP) = ' = 4 36053x23 ,

(-2167)2SC(K) = ' = 1956623x23 ,

(-12 77)2SC(NK) = ' = 6 79473x23 ,

(1 53) 2SC(PK) = ' = 009753x23 ,

235

Dr. Franklin Chacin

ANAVAR

F.deV. G. deL. SC CM Fc

Bloques 5 70,5734Rep. 2 36,5773BDR 3 33,9385

N 1 38,9385 38,9385 12,25':-~-P 1 1,7120 1,7120 <1NP 1 4,3605 4,3605 1,37K 1 19,5662 19,5662 6,16~-NK 1 6,7949 6,7949 2,14PK 1 0,0975 0,0975 <1ErrorIntrabloque 12 38,1439 3,1787Total 23 180,1867

De acuerdo con este análisis,el efecto delNitrógeno es altamente significativoyel del Potasio significativo, sobre el rendimiento del maíz.

CONFUSION PARCIAL

Cuando se diseña un experimento factorial en bloques incompletos y seemplean dos o más repeticiones de los experimentos, no es necesario sacrificartotalmente la información de los efectos o interacciones que se confunden conbloques. Es posible que cada repetición se diseñe con un esquema diferente deconfusión, pudiéndose así obtener información parcial sobre algunos efectos ointeracciones de poco interés e información completa sobre el resto de los efectosfactoriales, en los cuales está interesado el investigador.

Para entenderlo mejor, se ilustrará la explicación con un ejemplo. Si seanalizael esquema de la figura siguiente, la cual corresponde a un experimento factorial23, en el cual se confunde AB en las repeticiones de tipo 1,AC en las repeticionesdel tipo II, BC en las repeticiones de tipo m, y ABC en las repeticiones de tipo

236' .•


IV. Aunque las repeticiones de tipo I no permiten estimar AB a partir decomparaciones dentro de bloques, las repeticiones TI,III YIV, si dan informaciónsobre esta interacción. Se dice entonces que se tiene 314 de información sobre AB,dado que de cuatro (4)unidades experimentales, tres (3)se utilizan para estimarAB. Lo mismo ocurre con las interacciones Ae, Be y ABe, sobre las cualestambién se obtiene las 314 partes de la información.

ESQUEMA DE CONFUSION PARCIAL PARA UN FACTORIAL 23

Refiérase al capitulo 8, en la matriz de transformación ortogonal y agrupelos tratamientos con signos coincidientes, en la interacción respectiva.

En cambio, sobre los efectos principales A, B Y e, se obtiene lainformación completa, ya que ninguno de ellos se confunde con bloques. Esteesquema es de confusión parcial y da lugar a la partición del ANA VAR,representado en la tabla siguiente, suponiendo que se hacen r réplicas del esquemabásico de la figura anterior:

r>.A.f3I -\-.

Bloque 1 (1) ab c abcBloque 2 a b ac bc

Repetición tipo 1AB confundida con bloques

Bloque 5 (1) a bc abcBloque 6 b ab c ac

Repetición tipo IDBe confundida con bloques

U)tib

q...t>

eClc..be.-~1o(,

AC1

Bloque 3 (1) b ac abcBloque 4 a ab c bc

Repetición tipo IrAe confundida con bloques

Bloque 7 (1) ab ac bcBloque 8 a b c abcRepetición tipo IV

ABe confundida con bloques

-++

237


G. de L.F.de V.

BloquesABCAB a partir de repeticiones Tipos n, III YIVAC a partir de repeticiones Tipos 1, III Y IVBC a partir de repeticiones Tipos 1, Il Y IVABC a partir de repeticiones Tipos 1, Il YIII

ErrorTotal --

8r - 1111rrrr

24r - 732r - 1

Si denotamos con los signos (cr2), y cr2, respectivamente, las varianzas

intrabloques de los esquemas de bloques completos y en bloques de cuatro (4)unidades experimentales, podemos calcular la eficiencia de estimación del diseñoen bloques incompletos, al diseño en bloques completos para los efectos principales,como (cr2

), / cr2, dado que en ambos diseños se obtiene información

completa. Como en general (cr2), / cr2 se tendrá mayor eficiencia de estimación

con el diseño de bloques incompletos. Para las interacciones AB, AC, BC y ABClas varianzas de estimación son (cr2), / 8r y cr2 / 6r para el diseño en bloquesincompletos y en bloques completos, respectivamente. Por consiguiente laeficienciade estimación del diseño en bloques incompletos, con respecto al diseño en bloquescompletos está dada por:

( cr2)' / 8r 3( cr2

) ,

cr2 /6r - 4cr2 (lOA)

Entonces, si cr2 ~ 3( cr2)' /4, el diseño en bloques incompletos será máseficiente para estimar las interacciones y substancialmente más eficiente para estimarlos efectos principales .

.238' ..


Ejemplo ilustrativo de un factorial con confusión parcial

Experimento simulado de dos factores A y B cada uno a dos niveles, queconsta de dos réplicas de tres re eticiones completas. El esquema de confusiónutilizado es el siguiente:

REPETICION 1Bloque 1 (1,7)

I Bloque II (2,8)

REPETICION II, Bloque 1 (3,10)

Bloque II (4,9)

c\REPETICION IIIBloque 1 (5,11)Bloque II (6,12)

A confundido

Bloque

b (1)1 50 58

2 ab a58 41

Repetició 1 R = 207

A confundido(1) bab a

B confundidoab b(1) a

AB confundido(1) aba b

B =992

239

Dr. Franklin Chacin

B confundido

Bloque

3 ab b82 76 B)= 158

4 (1) a60 8 B =684

Repetición II R = 226

AB confundido

Bloque

5 (1) ab31 7 B =38s

6 b a32 99 B6= 131

Repetición III R = 169

A confundido

Bloque

7 (1) b26 86 B7= 112

8 ab a55 38 B8=93

Repetición 1 R = 205

240


B confundido

Bloque

9 (1) a69 51 B9=120

10 b ab41 56 BlQ=97

Repetición II R = 217

AB confundido

Bloque

11 (1) ab83 37 B1\= 120

12 a b61 69 B12=130

Repetición III R = 250G = 1274

Cálculo del Factor de Corrección

G2 12742C = 22 x6 = 24 = 67628,17

Cálculo de la Suma de Cuadrados Total

241

'r: Frank/in Chacin

Cálculo de la Suma de Cuadrados debido a Bloques Incompletos

¿B¡2 1082+ ...+1302SCB = --- C= - C= 535183

22'

Esta suma de cuadrados puede dividirse en:

~R2 2 2~ 207 +...+2501.- SCRep = - C = - C = 896,834 4

¿B2 ¿R2

2.- SC(BDR) = __ i - -- = 72980 - 68525 = 44252 4

Cálculo de los totales de tratamientos sobre:

i.- Repeticiones II y IIIii.- Repeticiones I y IDiii.- Repeticiones I y TI

Para calcular los efectos medios y las contribuciones a las sumas de cuadrados.,ByAB

ratamientos Rep TIY III Rep I YIII Rep I Y II

(1)a

243219218182862

198239237157831

213138253251855

bal>

Suma


Cálculo de las sumas totales de tratamientos

REp3:i±nesTIy m

Al = suma de los totales de trat. ayab = 219+182 = 401Ao = suma de los totales de trat. (1)y b =243 + 218 =461Al + Ao = Total parcial sobre repeticiones II y III = 862

Repeticiones 1YIII

BI = suma de los totales de trat. b y ab = 237 + 157 = 394Bo = suma de los totales de trat. (1) ya = 198 + 239 = 437BI + Bo = Total parcial sobre repeticiones 1y III = 831

Repeticiones 1YII

AB¡ = sumadelostotalesdetrat.(1) yab =138 +253 = 391ABo = suma de los totales de trato a y b = 213 + 251 = 464AB¡ + ABo = Total parcial sobre repeticiones 1y II = 855

Por lo tanto;

( yA2+A2 A +ASC(A) = o I _ o ¡ = 2258 16

B2+B2 fB +B )2SC(B) = o ¡ _\ o I = 115 57

8 16 '

AB2+AB2 (AB +AB VS C(AB) = o I _ o 1)= 333 07

8 16 '

2'1-3

Dr. Franklin Chacin

ANALISIS DE LA VARIANZA (ANAVAR)

F.de V. G. de L. SC CM Fc

Rep. 5 896,83BDR 6 4455,00

A (2/3 1 225,00 225,00 <1B de 1 115,57 115,57 <1AB inf.) 1 333,07 333,07 <1ErrorIntrabloque 9 6714,36 746,07Total 23 12739,83

Ejemplo ilustrativo de un experimento factorial confundido 23

En el siguiente cuadro se presentan los resultados de un ensayo realizado enFertilización N.P.K. en maíz con un arreglo de tratamiento factorial Z' en undiseño experimental bloques al azar, con la interacción ABC completamenteconfundida.

Rep abc a b c Total Rep ab ac bc (1) TotalI 30 16 24 19 89 I 28 16 27 8 79II 23 16 28 16 83 II 18 25 16 10 69III 25 19 20 16 80 III 23 22 17 18 80TotalTrat. 78 51 72 51 252 69 63 60 36 228

Modelo Lineal Aditivo

Yyk/ = p+ a, + /3¡ + Yk + (ajJ)ij + (aY)ik + (jJy) jk + p/ + cijk/ (10.5)


Yykl = observación l-ésima del i-ésimo nivel del factor A, j-ésimo niveldel factor B y k-ésimo nivel del factor C.j.1 = media generala = efecto del i-ésirno nivel del factor A

I

/3¡ = efecto del j-ésimo nivel del factor B(ajJ) ij = efecto de la interacción de primer orden del i-ésimo nivel delfactor A con el j-ésimo nivel del factor B(ay) ik = efecto de la interacción de primer orden del i-ésimo nivel del

factor A con el k-ésirno nivel del factor e(jJy) jk = efecto de la interacción de primer orden del j-ésimo nivel delfactor B con el k-ésimo nivel del factor ePI = efecto de bloquesE:ijkl = error experimental

Supuestos del Modelo:

Modelo 1 (fijo)

i=1

b

¿/3¡=0j=1

k= l

a b

¿¿(ajJ)ij = Oi=1 i=!a e

¿ ¿ (aY)ik =0i=1 k=1

b e

¿ ¿ (jJY)jk = Oi=! k e I

PI - NID (O, o-~)E:··k - NID (O 0-

2)lJ , s

245

Dr. Franklin Chacin

Modelo II (Aleatorio)

Hipótesis:

Modelo 1

Ho: a¡ =0Ha: a¡ *0

Ho: /3¡ = OHa: /3¡ * O

Ho: r. = OHa: rk * O

Modelo II

Ho: (J"2 = Oa

Ha: (J"~* O

Ho: (J"1 = OHa: (J"fJ * O

Ho: (J"; = OHa: (J"r * O

Ho: (ajJ)ij= OHa: (ajJ)ij* O

Ho: (J"; = OHa: (J"p * O

Ho: (arL =0Ha: (ar)¡k * O

Ho: (jJr) jk = OHa: (jJr) jk * O

HO:(J"~f = OHa: (J"afJ * O

Ho: (J"; = OHa: (J"p * O

Ho: (J";r = OHa: (J";fJ * O


Esquema del Análisis de VarianzaANAVAR

SIN CONFUSIONF. de V G. de L. F. de V.

CONFUSION DE ABCG. de L. Componentes

Repeticiones r - 1 Bloques r - 1 = 52 repeticiones

1 interacción ABC2 EE de ABC

Tratamiento abc - 1 Tratamiento abc - 2 = 6 3 trat.bloque A3 trat. bloque B

Error (r - 1)(abc - 1) Error (abc - 2)(r - 1) = 12

Total rabc - 1 Total rabc - 1

Desarrollo del Modelo

A continuación se presentará, a manera de comparación, el Análisis deVarianza sin confusión y posteriormente sepresentará confundiendo la interacciónABC.

247

Dr. Franklin Chacin

ANA VARSIN CONFUSION

F.de V. G. de L. SC CM F F(5%) F(l%)

Repeticiones 2 16.0 8.0 0.41n.s. 6.51 3.74Trat 7 432.0 61.71 3.13~- 4.28 2.76

A 1 73.5 73.5B 1 253.5 253.5C 1 24.0 24.0AB 1 6.0 6.0AC 1 13.5 13.5BC 1 37.5 37.5ABC 1 24.0 24.0

EE 14 276.0 19.71Total 23 724.0

Los cálculos para la Suma de Cuadrados cuando se está confundiendo lainteracción ABC serían:

Suma de Cuadrados de tratamiento

SCT rat sin confusión - SC efecto confundido (ABC)SCTrat = 432-24.0SCTrat = 408

Suma de Cuadrados de Bloque

892 + 832 +...+692 + 802 4802

SCBloque = - -- = 534 24



Suma de Cuadrados del Error Experimental

SCEE = SCTotal- SCTrat- SCBloque = 724 - 408 - 53 = 263

Los cálculos para los efectos principales e interacciones se realizan igual quelos experimentos factoriales no confundidos. Los Cuadrados Medios o varianzastambién se calculan en su forma convencional.

ANAVARCONFUNDlliNDOABC

F.de V. G. de L. SC CM F F(5%) F(l%)

Bloques 5 53.0 10.6 0.48n.s. 2.11 5.06Trat 6 408.0 68.0 3.10* 3.00 4.82A 1 73.5 3.35n.s.B 1 253.5 253.5 11.57**C 1 24.0 24.0 1.09n.s.AB 1 6.0 6.0 0.27n.s.AC 1 13.5 13.5 0.61n.s.BC 1 37.5 37.5 1.71n.s.EE 12 263.0 21.9

Total 23 724.0

En este experimento se aceptan las hipótesis nulas: Ha: a¡ = O ,Ha: rk = O, Ha: (ajJ)ij= O .Ho: (ar)¡k = O yHo: (jJr) jk = O .por lo tantono existen diferencias significativas entre los efectos de N, K, NP, NK YPK.

Se rechaza la hipótesis nula Ha: /3¡ = O con una probabilidad del 1%, porlo tanto existe efecto independiente de P.

El efecto ABC se ha confundido porque en cada réplica el mismo contrasteABC se ha confundido con los bloques. La información sobre ABC se hasacrificado en beneficio de bloques más pequeños, con lo cual se logra mayorhomogeneidad y el Error Experimental será menor. En resumen, a expensas deABC se gana un Error Experimental menor de forma que las otras comparacionespueden hacerse en forma mas precisa.

249

Dr. Franklin Chacin

EJERCICIOS

Con un ejercicio que se apropie;

- confunda totalmente la interacción ABC- confunda en la repetición 1- ABC, en la repetición TI- BC y en larepetición III - AB

Responda las siguientes preguntas:- Establezca el modelo lineal aditivo, describiendo cada uno de lostérminos del modelo y los sub índices presentes.- Dé los supuestos del modelo.- Escriba las hipótesis a probar.- Describa el ANA VAR de acuerdo al modelo. Considere cuadradosmedios esperados y el estadístico de prueba.-Realice elANA VAR.- Pruebe las hipótesis.- Interprete los resultados.

250


CONFUSION PARA EL DISEÑO FACTORIAL 3k

Introducción

Aunque las razones básicas y los resultados de confundir factores a 3 nivelesson los mismos que los vistos para factores de dos niveles, la técnica involucradaes mucho mas sofisticada. El diseño 3k puede confundirse en 3p bloquesincompletos donde p < k, así estos diseños pueden confundirse en 3 bloques, 9bloques, etc.

El problema que ahora surge es el de la ubicación: ¿Cuáles tratamientos vana ir en el mismo bloque? La ubicación de los tratamientos en los bloques dependede cuales tratamientos van a ser sacrificados. Generalmente se desea conservarlos efectos principales (A, B Ye) en primer lugar y después las interacciones deprimer orden (AB, AC, Be) por lo tanto se confunde en general la interacciónABC.

Supongamos que se desea confundir el diseño 3ken 3 bloques incompletos.Estos bloques tienen dos grados de libertad y por lo tanto el número de gradosde libertad confundidos con los bloques deben ser dos. Es de recordar que en laserie factorial J" cada efecto principal tiene dos grados de libertad.

251

Dr. Franklin Chacin

ANAVAR

F.deV. G. de L.

A 211

211

B

ABALBLALBCA~LA~c

ABCALBLCLALBLCCALBcCLALBCCCA~LCLA~LCCA~CCLA~cCc

41111

811111111

En el caso particular de un factorial P se tiene:

252


ESTRUCTURA DEL ANA VAR FACTORIAL 33

F.de V. G. deL.

BloquesTratamientosABAB,AB2eAC --------ACBCBC2

ABC_ - -ABOAB20ErrorTotal

r - 133 - 1 2e:-

-22~2222222228(r - 1)[~ _33 r - 1

PROCEDIMIENTO GENERAL (Método de Kempthorne)

Construir el contraste de 'definición.

(10.6)

donde:a¡ = exponente del i-ésimo factor de una combinación de tratamientos que seráconfundida.X¡ = nivel i-ésimo en una combinación particular de tratamientos.

253

Dr. Franklin Chacin

Para la serie 3k:

a¡ = 0,1,2X¡ = 0,1,2

Las combinaciones de tratamientos del diseño 3k se asignan a los bloquescon base en el valor de L (mod 3). En esta forma, se pueden definir tres (3)bloques en forma única, porque L (mod 3) puede tomar los valores 0, 1Y2. Lascombinaciones de tratamientos que satisfacenL = °(mod 3)constituyen el bloqueprincipal. Ejemplo~a~e..que..se..desea construir un diseño factorial J2~n."tres bloques. Arbitrariamente, se~girá AB2para con~ir wn-blOftti

Contraste de definición

(0,0) : L = 1(0) + 2(0) = °mod 3(0,1) : L = 1(0) + 2(1) = 2 mod 3(0,2) : L = 1(0) + 2(2) = 1 mod 3(1,0) : L = 1(1) + 2(0) = 1 mod 3(1,1) : L = 1(1) + 2(1) = °mod 3(1,2) : L = 1(1) + 2(2) = 2 mod 3(2,0) : L = 1(2) + 2(0) = 2 mod 3(2,1) : L = 1(2) + 2(1) = 1 mod 3(2,2) : L = 1(2) + 2(2) = °mod 3

Bloque 1

° °1 12 2

"·254

Bloque 2

° 21 O2 1

(10.7)

Bloque 3

° 11 2

2 °


En algunos casos experimentales es necesario confundir el diseño 3k ennueve (9) bloques, por lo tanto se confundirán ocho (8) grados de libertad en losbloques. Para construir estos diseños, deben elegirse dos componentes deinteracción y como resultado, dos más serán automáticarnente confundidos,produciendo así los ocho (8) grados de libertad requeridos. Estos últimoscorresponden a las interacciones generalizadas de los dos efectos elegidosoriginalmente.

En el sistema 3k las interacciones generalizadas de dos efectos (por ejemploA y B, producen las interacciones generalizadas AB y AB2). Sus contrastes dedefinición son:

(10.8)

(10.9)

donde a¡ y A son los elementos de la primera y segunda interacción generalizadas.Las combinaciones de tratamientos que tienen el mismo par de valores (L) ,L2)

se asignan al mismo bloque. El bloque principal consta de las combinaciones detratamientos que satisfacen (L) = L2 = O) mod 3.

Ejemplo: Diseño factorial J4 confundido en 9 bloques con 9 ensayos cadauno. Se elige confundir ABC y AB2D2. Sus interacciones generalizadas son:

también están confundidas con los bloques.

255

Dr. Franklin Chacin

Contrastes de definición

LI = XI + X2 + X) donde XI ,X2 ,X) pueden tomar valores (O, 1, 2) (10.10)

L2 = XI +2X2 +2X4 donde XpX2,X4 pueden tomar valores (O, 1,2) (10.11)

Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 9

(L ,L )= (0,0) (0,1) (2,2) (0,2)1 2

0000 0002 2000 0001

0122 0120 2122 0121

0211 0212 2211 0210

1021 1022 0021 1020

1110 1111 0111 1112

1201 1200 0202 1201

2012 2010 1012 2011

2101 2012 1101 2100

2220 2221 1220 2222

Diseño factorial 3k confundido en 3P bloques

El diseño factorial Ppuede confundirse en 3P bloques con 3k-p observacionescada uno y p <k. El procedimiento consiste en seleccionar p efectos independientesque serán confundidos con los bloques. Como resultado, automáticamente seconfunden otros (3P- 2p - 1)/2 efectos. Estos corresponden a las interaccionesgeneralizadas de los efectos elegidos originalmente.

256


Ejemplo: Diseño Y confundido en 33 = 27 bloques. Como p = 3, debenseleccionarse 3 componentes de interacción independientes, y automáticamenteconfundir con otros [3

3- (2x3)-l]/2= 10 efectos. Supóngase que se eligen

ABODG, BCPPG y BDEFG. Usando estos efectos pueden construirsecontrastes de definición y generarse los 27 bloques usando los métodos antesdescritos. Los otros diéz (10) efectos que se confunden con bloques son:

(ABODG)(BCPPG) = AWODPPO = AB2DE

2F

2d(mod3)

(ABODG)(BCPPG)2 = AB3C4DE4PG3 = ACDEF (mod 3)

Ejemplo Ilustrativo: Factorial 32 con bloques de tres unidadesexperimentales y un esquema de confusión parcial. Se ensayan dos factores A yBcon dos réplicas de un esquema básico de dos (2) repeticiones completas.

Repetición 1: se construyeron los bloques confundiendo AB.Repetición TI: se confundió el componente AB2de la interacción.

Bloque

1 (0,2) (2,0) (1,1)19 . 47 28

2 (1,0) (0,1) (2,2)84 3 35

323 82 8

Repetición la:AB confundido

Bloque

4 (2,2) (0,0) (1,1)34 72 41

5 (2,0) (0,1) (1,2)33 91 77

6 (2,1) (0,2) (1,0)46 13 19

Repetición TIa:AB2 confundido

257

Dr. Franklin Checin

Bloque

7 (1,1) (0,2) (2,1)65 99 20(2,2) (0,1) (1,0)30 72 4(0,0) (2,1) (1,2)17 3 62

8

9

Repetición lb:AB confundido

Bloque

10 (0,1) (2,0) (1,2)97 75 28(1,0) (2,1) (0,2)32 9 12(1,1) (0,0) (2,2)46 67 96

11

12

Repetición IIb:ABZconfundido

Puesto que AB está confundido con bloques en las repeticiones tipo I, suefecto se estimará a partir de las repeticiones tipo Il. Por el contrario, el efecto deAB2se estimará a partir de las repeticiones tipo 1.

258


TOTALES DE TRATAMIENTOS(FACTORIAL 32)

Repeticiones Totales

Tratamientos la IIa lb IIb Tij Tij(I) Tij(II)

(O,O)T(X) 8 72 17 67 164 25 139

(1,0) 84 59 4 32 179 88 91

(2,0) 47 33 20 75 175 67 108

(O,l)Tol 3 91 72 97 263 75 188

(1,1) 28 41 65 46 180 93 87

(2,1) 23 46 3 9 81 26 55

(0,2)T02 19 13 99 12 146 118 25

(1,2) 82 77 62 28 249 144 105

(2,2) 35 34 30 96 195 65 130

Suma 329 466 372 462 1629 701 928

Tij = Totales de trato sobre todas las repeticionesTij(I) = Totales de trato sobre repeticiones de tipo ITij(II) = Totales de trat. sobre repeticiones de tipo II

259

,-

Dr. Franklin Chacin

TOTALES DE BLOQUES. FACTORIAL y .

Bloque Bk Bloque Bk Bloque Bk Bloque Bk

1 94 4 147 7 184 10 2002 122 5 ·201 8 106 11 533 113 6 . 118 9 82 12 209

PASOS PARA REALIZAR EL ANALISIS ESTADISTICO

1.- Cálculo del factor de corrección

G2 16922

C=-= =7371232 r 9 x4

2.- Cálculo de la Suma de Cuadrados Total

3.- Cálculo de la Suma de Cuadrados debido a bloques

¿ B~ 942+ ...+2092

SCB10ques = - C = - C = 98643 3

4.- Cálculo de la SC(A)

Esta suma requiere de la obtención de los totales (A)o' (A) l' (A)2

(A)o = To, = Toa + TOI + T02 = 164 + 263 + 143 = 570(A\ = TI. = TIO + TII + TI2 =179 + 180 + 249 = 608(A)2 = T2, = T20 + T21 + T22 = 175 + 81 + 195 = 451

260


(A)~ +(A)~ +(A)~ 5702 +6082 +4512SC(A) = - C = - C = 1118

3r 3x4

5.- Cálculo de la SC(B)

Esta suma requiere de la obtención de los totales (B)o' (B)¡, (B)2

(B)O= T.o = Too + TIO+ T20 =164 + 179 + 175 = 518(B)¡ = T.I = TOI+ TII ;- T21 =263 + 180 + 81 = 608(B)2= T'2 = T02 + TI2 + T22 = 143 + 249 + 195 = 587

(B)~ + (B)~ + (B)~ 518' + 5242 + 5872SC(B) = - C = - C = 244

3r 3x4

6.- Cálculo de la SC(AB)

Esta suma requiere de la obtención de los totales (AB)o' (AB)¡, (AB)2

(AB)O= Too(IJ)+ Tl2(IJ) + T21(IJ)= 139 + 105 + 55 = 299(AB)I = TOI(ll)+ T¡o(I[)+ T22(I[( = 188 + 91 + 130 = 409(AB)2 = T02(I!)+ T20(I!)+ TII(I!)=25 + 108 + 87 = 220

(AB)~ + (AB)~ + (AB)~ [(AB)o + (AB) [ + (AB)2 rSC(AB) = 3x 2 - -"-------'--9-x-2'----~c-

2992 + 4092 + 2202 (299 + 409 + 220)2SC(AB) = 6 - 18 = 3003

261

Dr. Franklin Chacin

7.- Cálculo de la SC(AB2)

Esta suma requiere de la obtención de los totales (AB2)O' (AB2)¡, (AB2)2

(AB2)O= Too(I)+ Tl1(I)+ T22(I)= 25 + 93 + 65 = 183(AB2)¡ = T02(I)+ T¡o(I)+ T2¡(I)= 118 + 88 + 26 = 232(AB2)2= TO¡(II+ T¡2(I)+ T20(I)= 75 + 144 + 6 = 286

(AB2fo +(AB2f +(AB2)22 [(AB2)O +(AB2)¡ +(AB2)2]2SC(AB 2) = ¡ _ ""-------'---------''-

3x2 9x22 1832 +2322 +2862 (183+232+286)2

SC(AB ) = 6 - 18 = 885

8.-Construcción del ANA VAR

ANAVAR DE UN FACTOR 32CON CONFUSION PARCIAL

F.de V. G. de L. se CM Fc

Bloques 11 9864 897 <1A 2 1118 559 <1B 2 244 122 <1AB (Rep.II) 2 3003 1502 1,43AB2(Rep.~ 2 885 442 <1Error 16 16777 1049Total 35 31891

Si no se presentan efectos confundidos sería más conveniente condensar losresultados en la forma siguiente:

262


INTERACCIÓN DE AxB IGNORANDO CONFUSION

aO 1 2 SUMA

O 164 179 175 518b 1 263 180 81 524

2 143 249 195 587SUMA 570 608 451 1629

SC(A) se obtiene a partir de los totales por columnas.SC(B)se obtiene a partir de los totales por filas.

¿T2

S C(AxB) = __ 'J - SC(A) - SC(B) - Cr

1642 +...+ 1952

SC(AxB)= 4 -1118-224-73712=446812

La suma de cuadrados atribuible a bloques, se refiere a repeticiones completasy no a bloques incompletos, produciendo:

3292 +4662 +3722 +4622

SCBloques = 9 - C = 1535

ANA VAR DE UN FACTOR Y EN BLOQUES COMPLETOS

F.deV. G. de L. se CM Fc

Bloques 3 1535 512 <1A 2 1118 559 <1B 2 244 122 <1AxB 4 4468 1177 1,09Error 24 24526 1022Total 35 31891

263

Dr. Franklin Chacin

FACTORIAL so, s-r-, DONDE P ES UN NUMERO PRIMO

Sean Xl' X2, ••• Xn las combinaciones de tratamientos, en las que cada Xitan aunvabro.Lz, ...s-:L)Y /-lo' /-11' f-i2, ... , /-1(5-1) son las marcas del campode Galois, el efecto principal del primer factor resulta al comparar las s mediasde efectos de tratamientos, para las cuales, las relaciones:

Xl = 0, 1,2, ..., (s-I]/-Ix 1 = /-lo' /-11, f-i2 ' .,. , /-1(5-1)

se satisfacen satisfactoriamente.

El efecto principal del segundo factor, es el resultado de comparar las mediasde los efectos de tratamientos que satisfacen:

X2 = 0, 1,2, ... , (s-I)/-1X2 = /-lo' /-11' f-i2 ' ... , /-I(s-I)

Y así sucesivamente.

La interacción de los primeros dos (2) factores tiene (s - 1)2 grados delibertad, que se pueden dividir en componentes ortogonales de (s -1) grados delibertad definidos por:

/-Ix 1 + /-1X2 = /-lo' /-11' f-i2 ' ... , /-1(.>-1) (10.12)

donde la suma toma algunos de los valores /-lo' /-11' f-i2 ' ... , /-1(5-1) .

La interacción entre los tres (3) primeros factores tiene (s - 1)3 grados delibertad, que se pueden dividir en (s _1)2componentes ortogonales dados por:

/-Ix 1 + /-1X2 + /-1X3 = /-lo' /-11' f-i2 ' ... , /-1(5-1) (10.13)

Si (Xl' X2) son las combinaciones de tratamientos para el facrorial f', se tiene:

:;.264


JLXI = JLo, JLI' f12 ' JiJ efecto principal de AJLX2 = JLo, JLI' f12 ' JiJ efecto principal de BJLXI + JLI JLX2 = JLo' JLI' f12, componente de la interacción ABJLXI + f12 JLX2 = JLo' JLI' f12 ' JiJ componente de la interacción AB2JLXI + JiJ JLX2 = JLo, JLI' f12, f-IJ componente de la interacción ABJ

Para un experimento factorial 42 se tiene la siguiente combinación detratarruentos:

(0,0) (0,1) (0,2) (0,3)(1,0) (1,1) (1,2) (1,3)(2,0) (2,1) (2,2) (2,3)(3,0) (3,1) (3,2) (3,3)

Pero si se considera que bloques de dieciseis (16) unidades experimentalesson demasiado grandes para controlar la heterogeneidad, un esquema de tamaño4 que da información completa sobre los efectos principales y 2/3 de informaciónsobre la interacción.

Se tiene entonces:

Bloq Repetición 1 Bloq Repetición Ir Bloq Repetición III1 (, )( ) )( ) )( ) ) 5 ( ) )( »)( ) )( ) ) 9 ( ) )( ) )( ,)( , )2 (, )(, )( , )( , ) 6 ( ,)( ,)( , )( , ) 10 ( ,)( ,)( ,)( , )3 (,)(,)(,)(,) 7 ( ,)(, )( ,)(, ) 11 ( , )(, )( ,)(, )

4 (, )(, )( ,)(, ) 8 (, )( , )( , )(, ) 12 (, )( , )( ,)(, )

AB confundido AB2 confundido ABJ confundido

Para la asignación de los tratamientos se utiliza el Campo de Galois.Sean las operaciones F = (F: #,~-)que cumplen las siguientes propiedades:

265

Dr. Franklin Chacin

1.- (a#b)#c = a#(b#c) Propiedad asociativa2.- (a~·by·c= a':·(b':·c) Propiedad asociativa3.- Existe 1tal que 1#a = a#I = a, 1 E F4.-Existe1talquel*a=a*I=a,I E F5.- Existe a'#a = a#a' = 16.- Existe a'*a = a*a' = 17.- a#(b*c) = a#b * a#c Propiedad distributiva

Entonces se dice que estas operaciones constituyen un Campo de Galois.Para la aplicacion de los tratamientos, se definen las siguientes operaciones dentrode un Campo de Galois:

+ ,Lio /-L, /-L2 113 /-Lo /-L, /-L2 /-L3

/-Lo /-Lo /-L, /-L2 /-L3 /-Lo /-Lo /-Lo /-Lo /-Lo

/-L, /-Lo /-L3 /-L2 /-L, /-L, /-L2 /-L3

/-L2 /-Lo /-L, /-L2 /-L3 /-L,

/-L3 /-Lo /-L) /-L2

En la repetición 1se tendrá AB confundido. Para AB confundido, se tiene¡'¡'x, + /-L, /-LX2 = /-Lo ,/-L, ' /-L2, /-L) Setiene para los tratamientos, utilizando las operaciones+ y. definidas anteriormente:

(0,0) = /-Lo + /-L, /-Lo = /-Lo + /-Lo= /-Lo(O,1) = /-Lo + /-L, /-L,= /-Lo+ /-L, = /-L,(0,2) = /-Lo + /-L,/-L2= /-Lo +/-L2 = /-L2

(0,3) = /-Lo + ~l,/-L3 = /-Lo + /-L) = /-L3

( 1,O) = /-L, + /-L, /-Lo = /-L, + /-Lo= /-L,(I, 1) = /-L, + /-L, /-L, = /-L, + /-L, = /-Lo(1,2) = /-L, + /-L, /-L2 = /-L, + /-L2 = /-L3(1,3)= /-L, + /-L,/-L3 = ¡l, +/-L3= 1-12

266


(2,0) = 112 + Il, Ilo = 112+ Ilo= 112

(2,1) = 112 + Il, Il, = 112+ Il, = Il)(2,2) = 112 + 1l11l2 = Ilz + 112= Ilo

(2,3)= Ilz + Il,ll) = Ilz +Il)= Il,(3,0) = Il) + Il,llo = Il) + Ilo= Il)(3,1)= Il) + Il,ll, = Il) +Il,= Ilz(3,2)=1l) + Il,llz= 1l)+llz=ll,(3,3)=1l) + Il,ll) = 1l)+Il)=llo

De manera que queda:

Bloque Repeticion 1

1 (0,0) (1,1) (2,2) (3,3)

2 (0,1) (1,0) (2,3) (3,2)

3 (0,2) (1,3) (2,0) (3,1)

4 (0,3) (1,2) (2,1) (3,0)

De manera similar se procede con AB2 confundido, con el contrasteJlXI + 1l21l~= Ilo ,Il, ' 1l2, Il).

Bloque Repeticion TI

1 (0,0) (1,3) (2,1) (3,2)

2 (0,3) (1,0) (2,2) (3,1)

3 (0,1) (1,2) (2,0) (3,3)

4 , (0,2) (1,1) (2,3) (3,0)

267

Dr. Franklin Chacin

De manera similar se procede con AB3confundido, con el contraste

Jlxl + ~J~X2 = ~o '~I ' ~2. ~J

Bloque

1

2

3

4

Repeticion ID

(0,0) (1,2) (2,3) (3,1)

(0,2) (1,0) (2,1) (3,3)

(0,3) (1,1) (2,0) (3,2)

(0,1) (1,3) (2,2) (3,0)

ANAVARG. deL.F.de V.

RepeticionesBloques dentrode repeticionesA Información CompletaB Información CompletaAB 2/3 de informaciónAB2 2/3 de informaciónAB3 2/3 de informaciónErrorTotal

3r -1

9r3333336r - 1548r - 1

Una vez ubicados los tratamientos dentro de los bloques, es necesarioproducir una aleatorización entre bloques de una repetición y entre tratamientosde un mismo bloque.

268


Considérese el siguiente ejemplo una vez realizada la aleatorización:

Bloque Repetición 1

AB confundido R¡ = 656

1 (3,2) (1,0) (0,1) (2,3)

16 29 8 60 B¡ = 113

2 (0,3) (3,0) (1,2) (2,1)

19 24 64 37 B2 = 154

3 (1,1) (0,0) (2,2) (3,3)

82 30 16 69 BJ = 197

4 (2,0) (3,1) (1,3) (0,2)

27 51 45 61 B4 = 184

Bloque Repetición II

AB2 confundido ~= 1014

5 (1,2) (2,0) (0,1) (3,3)

70 98 6 76 Bs= 250

6 (2,2) (0,3) (3,1) (1,0)

52 75 40 84 B6=251

7 (3,2) (1,3) (2,1) (0,0)

14 60 9 98 B7= 181

269

Dr. Franklin Chacin

8 (0,2) (1,1) (3,0) (2,3)

74 76 82 100 B8= 332

Bloque Repetición III

ABJ confundido ~= 807

9 (2,2) (0,1) (1,3) (3,0)

51 82 15 86 B9= 234

10 (0,3) (2,0) (3,2) (1,1)

52 75 40 84 B¡O= 153

11 (3,3) (0,2) (2,1) (1,0)

47 61 44 6 Bu = 15

12 (1,2) (2,3) (3,1) (0,0)

100 22 80 60 B¡2 = 262

G = R¡ + R2 + RJ = 2477

24772Fe = 2 = 127823,52

4 .3

SCTotal = 162 + 292 +...+602- Fe

6562 + 10142 + 8072

SCRep = - Fe = 4037,7916 ¿B2 ¿R2

SC(B1oques dentro repeticiones) = -4-1

- -16- = 6122,94

270


Con estos resultados, se elabora la tabla siguiente para la estimación de losefoctos factoriales.

~I A B (AB)¡ (AB2)¡ (AB3)¡, ,

Todas las repeticiones Rep II, III Rep 1, III Rep 1, II

~o Ao Bo (AB)o (AB2)0 (AB))o

~I Al BI (AB)I (AB2)1 (AB)) 1

~2 A2 B2 (AB)2 (AB2)2 (AB))~

~t) A) B) (AB)) ( AB2)) (AB)))

Ao = suma sobre todas las repeticiones para las cuales ~XI = ~o; es decir para lostratamientos (0,0), (O,l ),(0,2) Y(0,3) que son: 8 + 29 + 30 + ...+ 61 + 60 = 636BI = suma sobre todas las repeticiones para las cuales ~X2 = ~l; es decir para lostratamientos: (0,1), (1,1), (2,1), Y(3,1) que son: 8 + 37 + 82 + 51 +..+ 80 = 524(AB)= suma sobre las repeticiones II y III para las cuales ~XI + ~1~X2 = ~;es decir, lostratamientos: (0,2), (1,3), (2,0) Y(3, 1) en la repetición II y 1II,que son: 74 + 61 + 60 + ...+80=430

Así se llega a:

ESTIMACION DE EFECTOS FACTORIALES

~I A B. (AB)¡ (AB2)¡ (AB3)¡, ,

Todas las rep. Rep TI, III Rep 1, III Rep 1, II~o 636 644 469 327 513~l 640 524 394 314 439~2 518 659 430 399 407~3 683 650 528 423 311

G 2477 2477 R2 + RJ = 1821 R, + RJ = 1463 R, + R2 = 1670

271

Dr. Franklin Chacin

" A 2 6362 + 6402 + 5182 + 4832

SCA= L.,¡ i - F = - F = 1252,2312 e 12 e

6

¿B~ 6442+5242+6892+6502

SCB=---F = -F = 10175612 e 12 e'

65

4692 +3942 +4302 +5282 18212

----------- = 1233848 32'

3272 +3142 +3992 +4232 14632

-----8---- - -3-2- = 1070,35

5132 +4392 +4072 +3112

816702

--=26293732 '


Tabla 10.1. ANA VAR de un experimento Factorial-f con confusión Parcial

F.de V. G. de L. se CM F e

Repeticiones 2 4037,79 2018,90 1,82

BDR 9 6122,94

A 3 1252,23 417,41 <1

B 3 1017,56 339,19 <1

AB 3 1233,84 . 411,28 <1

AB2 3 1070,35 356,78 <1

AB3 3 2629,37 876,46 <1

Error 21 23299,40 1109,50

Total 47 40663,18

273

Capítulo 11

EXPERIMENTOS FACTORIALES CONEFECTOS PRINCIPALES CONFUNDIDOS

PARCELAS DIVIDIDAS

Introducción

Una vez estudiados los experimentos factoriales y el principio del confundido,se quiere presentar un diseño experimental muy utilizado tanto en el campo comoen el laboratorio donde se unen las aplicaciones de experimentos factoriales y elprincipio de confundido.

Si la naturaleza de los niveles de un factor a: (ao' al' ... , ap-I) excluyen lautilización de unidades experimentales pequeñas o bien es conocido por elexperimentador que dichos niveles difieren en rendimiento, los niveles de a puedenser asignados a unidades relativamente grandes denominadas parcelas principalesen un diseño de bloques aleatorios, cuadrado latino o cualquier otro diseño. Siendotales parcelas grandes por la necesidad o por el diseño, a la vez es deseable compararniveles de otro factor b: (b, b., ... , bq.,), que son ubicados aleatoriamente enparcelas divididas dentro de cada parcela principal y que se denominan sub-parcelas. Lo explicado corresponde a un arreglo factorial de los factores a y bcuyos niveles son p y q respectivamente, donde el efecto principal A tendrá p-lgrados de libertad, confundido completamente con bloques incompletos o parcelasprincipales. En tal forma el diseño en parcelas divididas es un diseño de bloquesincompletos.

Los tratamientos de la parcela principal pueden ellas mismas representar unarreglo factorial k n x s'", los tratamientos de la subparcela pueden tambiénrepresentar un arreglo factorial. La terminología tratamiento principal o secundariono necesariamente hace referencia a los niveles de un solo factor. Enexperimentación agrícola, la utilización de este diseño es amplia, en estudios sobreriego, fertilización, poblaciones, entre otros.

275

Dr. Franklin Chacin

Ventajas del diseño en parcelas divididas

1.-Facilita la utilización de unidades experimentales grandes por necesidado por diseño para comparar tratamientos secundarios.

2.- Incrementa la precisión sobre los bloques aleatorios, de los pqtratamientos contenidos en las sub-parcelas.

3.- La precisión puede ser incrementada utilizando un diseño cuadradolatino o cuadrado latino incompleto.

Desventajas del diseño en parcelas divididas

1.-Los tratamientos de las parcelas principales son medidos con menorprecisión que si ellos estuviesen en un diseño de bloques aleatorios de pqtratamientos.

2.- La ocurrencia de datos perdidos conduce a una mayor complejidaddel análisis.

Aplicación de la aleatorización en este diseño

1.-Depende del diseño utilizado: bloques aleatorios, cuadrado latino,entre otros.

2.- Los tratamientos asignados a las parcelas también dependerán deldiseño particularmente asignado.

276


Análisis

Parcelas divididas en bloques aleatorios

Niveles del factor para el efecto A: ae, al ' a2 ' a) p=4Niveles del factor para el efecto B: be ' b, ' b, q=3

Tratamientos: p xq = 4x 3 = 12Repetición: r = 3

Rep'r Rep II Rep IIIa) al ~ ae di ae a2 a) al ~ ~ a2

b2 b2 bl bl bl be be bl b2 b2 be bl

be be b2 b2 b2 b2 bl b bl be b2 be2

bl bl be be be bl b2 be be bl b, b2


F.deV G. de L.RepeticionesAError (a)Total Unidad PrincipalBAxBError (b)Total Subunidades

r - 1 = 2P - 1 = 3(r - 1)(P - 1) = 6pr - 1 = 11q -1 = 2(p - 1)(q - 1) = 6p(r - 1)(q - 1) = 16pr(q - 1) = 24

Total pqr - 1 = 35

277


Debido a que los niveles del factor a son comparados en tres replicacionesde un bloque aleatorio, el cuadrado medio de la interacción de la repetición porel efecto A, es el error apropiado para comparar el efecto A y se denota error (a).En igual forma, el error (b) se compone de las siguientes interacciones: (RxB) y(RxAxB), la primera es la interacción de primer orden de la repetición por elefecto B y la segunda es la interacción de segundo orden de la repetición por elefecto A y por el efecto B, este es el error apropiado para comparar la interacciónde primer orden de los efectos (AxB) y en algunas instancias para comparar elefecto B.

Los efectos de las interacciones RxB y RxAxB están confundidos y no sonseparables. Sin embargo, aritrnéticamente es posible separadas, pero ambasinteracciones son estimaciones de la misma cantidad, por lo que figuran juntas enla suma de cuadrados del error (b). Esta cantidad debe ser llamada Suma decuadrados de RxB dentro de las parcelas principales.

No tomando en cuenta la diferencia en grados de libertad, la eficiencia de laparcela dividida en relación al bloque aleatorio tomando en cuenta B y AxB es:

[(P-I)+(p-I)(r-I)]Ea+[(p-l )(q-I)+p(r-I)(q-I)]Eb (p-I) Ea+p(q-I)Eb E'e(pqr-r) (pq-I)Eb E'b

(11.1)

donde:p = número de tratamientos de parcelas principalesq = número de tratamientos de parcelas secundariasr = número de repeticionesE(a) = cuadrado medio del error de (a)E(b) = cuadrado medio del error de (b)

La eficiencia en los efectos A o las comparaciones de parcelas principalespuede.ser obtenida mediante la fórmula:

E'eEa

(11.2)

278


Partición de los Grados de Libertad para el Diseño

Parcelas Divididas con diferentes arreglos de unidades experimentales

En las Tablas 11.1, 11.2,Y11.3semuestran los esquemas de ANA VAR paradiferentes arreglos de unidades experimentales.

Tabla 11.1. Esquema de ANAVAR para un Diseño en Parcelas divididas en undiseño completamente aleatorizado con r repeticiones.

F.deV G. de L.AError (a)Total Unidad PrincipalBABError (b)Total SubunidadesTotal

p - 1p(r - 1)pr - 1q - 1(p - l)(q - 1)p(r - l)(q - 1)pr(q - 1)pqr - 1

Tabla 11.2. Esquema de ANA VAR para un Diseño en Parcelas divididas en undiseño en bloques aleatorios con r bloques completos.

F.deV G. de L.RepeticionesAError (a)Total Unidad PrincipalBAxBError (b)Total SubunidadesTotal

r - 1P - 1(r - 1)(P - 1)pr - 1q - 1(p - l)(q - 1)p(r - l)(q - 1)pr(q - 1)pqr - 1

279

Dr. Frank/in Chacin

Tabla 11.3. Esquema de ANA VAR para un Diseño en Parcelas divididas en un diseñocuadrado latino con p == lado del cuadrado

F.deV G. de L.

HilerasColumnasAError (a)Total Unidad PrincipalBABError (b)Total SubunidadesTotal

p - 1P - 1P - 1(P-1) (P-2)p2 _ 1

q - 1(p - l)(q - 1)p(p - l)(q - 1)p2(q _ 1)p2q _ 1

E(a) es generalmente mayor que E(b); esto es debido a que las observacionesen sub unidades de la misma unidad principal tienden a ser positivamentecorrelacionadas y en esta forma reaccionan en forma más parecida que lassub unidades principales diferentes. En caso de ocurrir que E(a) sea menor queE(b) lo propio es considerar aE(a) y E(b) como estimaciones de la misma varianzad y consecuentemente las sumas de cuadrados deben sumarse y dividirse por losgrados de libertad a fin de obtener una estimación de d .En caso de que E(a) seasignificativamente mayor que E(b) debería ser considerado seriamente la difícilposibilidad de una correlación intraclase negativa.

280


Las desviaciones estándar o errores estándar apropiados para lascomparaciones entre diferentes medias son:

Dos medias de B b. -b., ,

pEca)rq

PE(b)rp

Dos medias de A a. -a., ,

Dos medias de B al

mismo nivel de A

Dos medias de A

al mismo nivel de B a.bt-a b, 1 t

2(~-I)E(b) + E(a)rq

Dos medias de A

a diferentes niveles de B

(medias de dos tratamientos)

2(q-l) E(b)+ E(a)rq

Las comparaciones de dos medias de A al mismo o diferentes niveles de B,involucra tanto el efecto principal de A como la interacción AB, lo cual significaque ambas son comparaciones de subunidades, por lo que es apropiado usar elpromedio ponderado de E(a) y E(b) como se observa en el cuadro anterior.Para tales comparaciones, la razón de la diferencia entre dos tratamientos a suerror estándar no sigue la distribución de "t", una aproximación sería:

(q - 1) E(b) t(b) + E( a) t( a)t' = ---"----------(q-l) E(b) + E(a)

11.3)

t(a) y t(b) son valores tabulados de t, seleccionados a los niveles de significacióncorrespondientes a los grados de libertad de E(a) y E(b). t ' corresponderá a unt tabulado y caerá entre t(a) y t(b).

Existen muchas variantes del diseño parcelas divididas, estas variantescomprenden por ejemplo, divisiones de las subunidades debido a la inclusión de

281

Dr. Franklin Chacin

un tercer factor C a u niveles, lo cual conduce a la partición de los grados delibertad de acuerdo a las subunidades o unidades terciarias; el esquema del añadidoal análisis de la varianza para dicho factor sería:

F.deV G. de L.CACBCABCError (c)Unidades TerciariasTotal

u - 1(p - l)(u - 1)(q - l)(u - 1)(p - l)(q - l)(u - 1)pq(u - l)(r - 1)pqr(u - 1)pqru - 1

Modelo Matemático y Esperanza de los Cuadrados Medios

Moddo Lineal.Aduiui

(11.4)

donde:

)1 = efecto de la media general.jJ¡ = efecto de la repetición i-ésima.aj = efecto del j-ésimo nivel del factor Ac5y = componente aleatorio del error asociado con el j-ésimo tratamientode la parcela principal en la repetición i-ésima.4 = efecto del k-ésirno nivel del factor B.(afJ) jk = efecto de la interacción del nivel i-ésimo del factor A con elnivel k-ésirno del factor B.Eijk = componente aleatorio del error asociado con el tratamiento k-ésimo en la repetición i-ésima en la ubicación j-ésima.

282


El modelo puede ser de efectos fijos, aleatorios o mixtos de acuerdo con lovisto en la unidad sobre análisis de la varianza y visto en diseños anteriores.

A continuación (Tabla 11.4) se dan las esperanzas matemáticas de loscuadrados medios para parcelas divididas en bloques aleatorios, esto es básicopara entender cual es el error apropiado para realizar validamente la prueba F. Eigualmente lasTablas 11.5 y 11.6 muestran losesquemasde ANA VAR para parcelasdivididas en bloques aleatorios y en cuadrado latino respectivamente.

283

~ {..\J :> ~ s.s :.;

¡ ~ 9 ~ \') ~.

Tabl

a11

.4V

alor

espr

omed

ios

delo

sCua

dros

Med

ios

para

unm

odel

ode

parc

elas

divi

diod

asen

undi

seño

enbl

oque

sal

eato

rios

E(CM

)M

odel

ol

Rcp

licac

ionc

s

J,

1

o;

+qo;

+pq

aí~

.A.

r

,,

'"'e;

+q

(),~

+rq

Lp

-l

(XC I

1,·1

1:rro

r:a)

,,

a;+

q0,

i

1\a,2

+rpt

fJJ~,~

Iq

-1

"'111

I(

(T,~

+rI

I__

(rx!3)

~k,-1

<,1

<p

-l)(

q-l)

:\11

Err

ortb

)al

:

Dcn

omi

nado

r

C\1

E(:1

)

C\1

E(:1

)

Cvl

E(b

)

CM

Ub)

[(Ovl

)M

odel

o11

1"'!

'"'1

o;+

q0,

i+

pqa,

~

.,..•

.,....•

o;+

qa,

;+

ra,~

:1+

rqa,

;

,,

o;+

q(),

~

,,

,a,

~+r(

J(~(

¡+rp

(J¡j

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"+

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~/!

,a

" 1"

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nado

r

C\I

E{:

I)

C\I

[(;I

)

("1\

11:([

1)

Civ

lF(h

)

Con

t.Ta

hla

11.4

Dcn

omi

nada

r

~ \SI \\) ~I \:)

E(CM

)M

odel

o11

1D

cnom

iE(

CM

)M

odel

o11

1A

fijo

l3al

eato

riona

dor

Aal

eato

rioBfij

o

Blo

que

CM

EE

A Erro

rta)

13 ¡\B

Erro

r(b)

a;+

qa;+

pqa~

r'

2'p?

LCC

a+

qa:

+r-

-a-

+rp

_l-

et>

_I

n{1

_1

P;-

1P

a2+

qo:

f~

a;+rpa

J

,p

,a;

+r-

-a;¡

¡p

-I ,a;

CM

E(a)

CM

AB

CM

EE

CM

EE

()t~

+q

a]+

pqa,

;

,,

,o;

+q

ai+

rq(J

~

(J,'+

q()l

~If

(J"

+r-

q-a

~+

rn"

.i:s.:

f1

il[J

t'¿

Iq

-k=

1q

-

,q

,a-+

r--

a-

Iq_

1u[

J

,o;

CM

EE

CM

AB

CM

EE

~ ~ ~, :::::-:

\SI \Si' ~ Q1 3, ~ ~ <:i \SI~ \Jl

-... -...

Dr. Franklin Chacin

Tabla 11.5. Esquema de análisis de varianza de parcelas divididas en bloques alcatorios

F. de V. G. de L. Suma de Cuadrados CMr y2

Repeticiones r-I L _ ...-F.e. SCHloq/(r-l)

;=1 pqr q y2

A 1'-1 LL _-_J. -F.e. SCN(p-l)

j e t k"1 rqLy2

IJ.

Error(a) (r-I)(Jl- 1) _ij __ F.C. - SC(R)- SCCA) SCE(a)/(r -1)(1' - 1)

q

UnidadesLy2

IJ.

Principales pr - 1 _iJ_· --F.C.q

q y2B 4-1 L-·_·· - F.C.

.=1 rp SCU/(q-I)

r q y~.AA (p-I)(q-I) LL _.- - F.C. - SCA- SCB SCAB/(Jl-I)(q -1)

j=1 k e l r

Error(b) p(r - I)(q - 1) SCTotal -SCUnidadcs Principales - SCU - SCE(b)/p(r -I)(q - 1)SCAS

r p q

Tolal JXjr - 1 LLL Yi~k - F.C.i=1 j=1 .=1

F.e. = (GranTotal)2 /pqr

286


Tabla 11.6. Esquema de análisis de varianza de parcelas divididas en cuadrado latinoParcelas Principales en Cuadrado latino

r. de V. G. de l.. Suma de Cuadrados CMr y2

A P - t L _r.. -F.C. SCA /(p - 1)

;=1 Pr y2

Columnasf C) p - 1 L _.J. -F.C. SC(C) l(p - 1)

;=1 Pr y2

Hilcms(H) p - 1 L --...d - F.C. SC(H) I(p - 1)

;=1 P

Error(a) (p - 1)(p - 2)L Y,j~- F.C. - SC(A)- SC(C)- SC(H)

SCE(a)/(r -1Xp - 1)'j.'

ParcelasLY,j: - F.C.

Principales p'- 1 íj.k:

B q-I LY~m SCIl/(q-l)

_m-2--F.C.p

All (r-IXq-l) LX~.m SCAI3/(P -IXq -1)Lm - F.C. - SCA- SCB

p

Error(b) p(q- IXp - 1) SCfotal -SCParcclas Principales - SCB - SCAI3 SCE(b)/P(q -I)(p - 1)

Total p'q - lLY,j~ - F.C.¡.j.k

287

Dr. Frank/in Chacin

Ejemplo Ilustrativo

El siguiente ejemplo está basado en las pruebas de germinación, en los quea semillas de ocho variedades les fueron aplicadas los siguientes cuatro tratamientos:

Semilla

bo trillada y no tratada con lupodorito de sodiob, no trillada y no tratada con lupodorito de sodiob, no trillada y tratada con lupodorito de sodiob, trillada y tratada con lupodorito de sodio

Se utilizaron tres repeticiones. Los resultados obtenidos por repeticiones ycombinación fueron los dados en la Tabla 11.8.

Tabla 11.8.Datos en el ejemplo ilustrativo en parcelas divididas en un diseño enbloques aleatorios.

REPETICION 1

aOb¡ a2b3 a)bO aSb2 a4b2 a.b. a.b, a6b¡12 10 52 28 9 26 9 12aOb2 a2bo a3b3 a.b, a4b) a¡b2 a.b. a6b¡13 51 13 14 12 27 14 26aobo a.b, a3b2 aSb¡ a4bo albo ~b2 a6b3

66 8 19 8 45 77 30 15aOb3 a2b2 a.b. asbo a4b¡ a.b, a7bo a6bo6 20 4 59 20 15 49 56

Total 97 89 88 109 86 145 102 109 825

288


REPETICION Il

aJb2 a6bo a.b, a4b¡ aObJ a.b, aSb¡ a2b¡16 38 15 13 12 5 8 16a.b. a6bl a7bJ a4bJ aobo albo aSb2 a.b,15 16 41 12 63 47 32 30a.b, a6b¡ a7b2 a4bo aOb2 a.b. aSbJ a2bo9 16 28 51 13 11 21 81aJbO a6bJ a.b, a4bl aOb¡ a.b, asbo albJ40 8 20 10 10 4 66 14

Total 80 78 104 86 98 67 127 141 781

REPETICION III

a6bJ a.b, asbo a4bl a.b, a.b, aOb¡ a.b.7 36 49 12 7 29 13 18a6b2 a.b, aSb2 a4bo aJbO a.b, aObJ albo24 25 29 52 59 14 7 66a6b¡ ~bo aSbJ a4b¡ a.b, a.b, aobo a.b,16 54 16 16 11 10 70 11a6bo a.b, a.b. a4bJ a.b, albo albo a.b,45 12 8 11 7 63 11 15

Total 92 127 102 91 84 116 101 110 823

289

Dr. Franklin Chacin

TOTALES PARA VARIEDADES Y TRATAMIENTOS

Trata-rruentos VARIEDADES Total

ao a¡ a2 a) a4 as a6 ~

bo 199 190 195 151 148 174 139 144 1340

b¡ 35 55 38 30 49 24 44 59 334

b2 37 43 79 42 31 89 66 94 481

b) 25 34 34 29 35 51 30 36 274

Total 296 322 346 252 263 338 279 333 2429

Factor de Corrección: ¿Y 24292.

F.C.= ---¡;q;- = (8)(3)(4) = 61458,76 (un grado de libertad)

Suma de Cuadrados

Suma de Cuadrados Totales

SCT = 122 + 102+ ....+152 - F.C.= 36736,24 (95 grados de libertad)

Suma de Cuadrados de Repeticiones

8252 +7812 +8232SCR = F.C.= 38,58 (2 grados de libertad)

8x4

Suma de Cuadrados de Variedades

2962+3222+ ...+3332 . d)SCA = - F.C.= 763,16 (7 grados de liberta

4x3

290


Suma de Cuadrados de E(a)

972 + 892+ .. .+1012 + 1102

4 - F.C.-38,58 -763,16 = 1377,25 (14 grados de libertad)

Suma de cuadrados tratamientos de semillas

13402 + 3342 + 4812 + 2742

SCB = - F.C = 30774,28 (3 grados de libertad)3x8

Suma de Cuadrados A x B

1992 + 1902+ ...+302 +362

SCAB = 3 - F.C.-763, 16 - 30774,28 = 2620,13 (21 g. de l.)

Suma de Cuadrados de Error(b)

SCE(b) = 36736,24 - 38,58 - 763, 16 - 1377,25 - 30774,28 - 2620 = 1162,84

Análisis de VarianzaVease Tabla 11.9a continuación.

Tabla 11.9. Esquema de analisis de varianza de parcelas divididas en bloquesaleatorios

F.de V. G. de L. Suma de Cuadrados CMRepeticiones r-1=2 38,58 19,29A p-1=7 763,16 109,02Error(a) (r - 1)(P - 1)= 14 1377,25 98,38UnidadesPrincipales 23B q-1=3 30774,28 10258,09AB (P-1)(q-l) =21 2620,13 124,77Error(b) p(r - l)(q - 1)=48 1377,25 24,33Parcelassecundarias 72 36736,24Total pqr-1=95 36736,24

291

Dr. Franklin Chacin

DISCUSION

Si se asume que el efecto variedad es un efecto fijo, porque son las únicasvariedades de interés al investigador (modelo 1)el error(a) es el término correctopara hacer la comparación.

F = 109,02 = 111 (98,33 ' n.s.)98,38

F(7,14,0.05) = 3,39

F(7,14,0.01) = 4,78

La selección de la varianza del Error Experimental para comparar la varianzaentre las medias de la germinación para los cuatro tratamientos de las semillasdepende de la hipótesis planteada. Si las ocho variedades constituyen una muestraaleatoria de una población de variedades y si un tratamiento de semilla va a serrecomendado para todas las variedades, el cuadrado medio de la interacciónAxB es el error apropiado (modelo 11)

10258,09F = = 82 2 **124,77 '

F(3,21,0.01) = 4,87

Si las ocho variedades representan solamente las variedades de interés y si eltratamiento de semilla recomendado es para las ocho variedades, entonces elCME(b) es el error adecuado para comparar dichas medias (modelo I).

Una terrera situación puede presentarse si se asume que las ocho variedadesconstituyen una muestra aleatoria de variedades, pero los diferentes tratamientosde semilla seran recomendados por variedad, ya que se plantea la interacciónvariedad por semilla. En este caso el CME(b) es el correcto denominador parala prueba de F.

Casos más complejos de parcelas divididas son utilizados por laexperimentación agrícola, como son las parcelas divididas en el tiempo o en elespaclO.

292


Existe además como caso de experimentos factoriales con efectos principalesconfundidos, el diseño de bloques divididos, subdivididos, otras subdivisiones yvariaciones para lo cual se recomienda consultar las referencias.

DISEÑO EN FRANJAS O DISEÑO EN BLOQUES DIVIDIDOS

Introducción

Es una variante del diseño parcelas divididas, por cuanto la repetición delbloque completo, es dividido en forma reticular en parcelas o franjas en sentidovertical y horizontal, cuya ubicación en un eje de coordenadas semejarían dosbloques al azur superpuestos y en la intersección de ambas franjas quedan lasubunidad con el tratamiento respectivo.

Combinación de los niveles de los factores

Ejemplo:

B

Tratamientos:

aOb¡a¡b¡al b,a) b,

aObl. a¡ b,

al b,a) b,

293

Dr. Franklin Chacin

Aleatorización:

En cada repetición o bloque completo, se aleatoriza cada nivel de A enfranjas o parcelas en el sentido del eje de las Y. Cada nivel de B es aleatorizado enfranjas o parcelas en el sentido del eje de las X. En un diseño en franja con tresrepeticiones se tendría por ejemplo el siguiente esquema.

REPETICION 1

al ao al a2blbo aobob2

REPETICION II

a2 al al aob2blbo aobo

'REPETICION III

al aJ ao a2bo aobob2bl

294


Modelo Matemático y Esperanzas de los Cuadrados Medios

Modelo Lineal Aditivo

(11.7)

donde:i= 1, ... , aj = 1, oo., bk= I,oo.,r

Vea la íabla 11.1Opara establecer las Experanzas de los Cuadrados mediosy la Tabla 11.11 para el ANA VAR correspondiente a este diseño.

295

~ <3l

Tahl

a1l

.ID

Valo

res

prom

edio

sde

los

Cua

drad

osM

edio

spa

raU

IIm

odel

ode

parc

elas

enfr

anja

.

E(CM

)M

odel

o1

[(CM

)M

odel

o"

Rcpl

icac

ione

sa"

+ba

~+

abo

'[

¡)(>

aa

la:

+ba

~+

rbL

_i

i=1

a=I

a2

+b

a2

+ab

o'

eó

p

A..,

.,1

')a;

+b

ai+

raa/

i+

rba,

;

Erro

r(a)

a;+b

o-;

a[2

+ba

,~

13h

a~+

raI j=

1

{r_

J b-}

.,..,

..,

1

a;+

ra,;{

j+a

a;+

ara

(3

./

Err

or(b

)o?

+ao.

' r1

"cr

+aO

"-r

AB"h

(af3

)~a;

+rLL

(a-l)(

b-

1)

i~I

]=1

2a

l:

,a- l:

""

a;+

ra~/

¡

Err

or(c

)

I;::J

:> ~ ~ :::; ~ ~. 9 ~ \) ~.

Cont

inua

ción

dela

Tabl

a11

.10

E(C

M)

Mod

elo

111

Atij

o13

alea

torio

E(C

M)

Mod

elo

111

Aal

eato

rioB

fijo

Bloq

ue02

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aba;

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¡a:

+ba

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abo

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(j"

.,'

,,

a,~

n-a

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ba,i

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-a~

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,_1a-

l02

,+

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+rb

a~A Er

rorra

)o;

+ba

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+bo:

r.\

n02

+a

o:+

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~,

(

hl.

n'2:

:2.

If'¡

a.+

aa.

+r-

-ati

+la

--,

rb

-1

"r

1b

-I

Lrro

rtb)

a}+

aa:

,,

a;+

aa;

AB1

a1

a;+

r--a

;{3

a-I

1b

,o;

+rb

-Ia

,;/3

Err

ene)

, a;, o;

~ '-l

29. ~ ~I el > ~ <;x¡, ~ (5\

'

~ Q1 ~ ~. ::l ~ ~ ~ -... -...

Dr. Franklin Chacin

Tublu 11.11.- ES{!UI:·.I/A DE A.\'.·;I.ISIS 1Jt: VARIA.VL·¡ DI,'/'ARCFUS /JII'/VIIJAS EN 8LOQUFS AILA lORIUS

r. de V. G.do 1.. Sumado Cuadrados CMr

y2k _ F.C.Repeticiones r-I¿

SCOloq;(r-l)

k=1 aba y2

A a-I ¿_i .. -F.C. SCN(a-l)

;:1 rb¿Yi\

Errorta) (a - I )(r - 1) _..k_'__ F. C. - SC(R) - SC(A Serla);(a-I}(r - 1)

b

Unidades ¿Y;\

Principatc, ra- I _,.k_·__ F.C. SCE(,,~'(a-l}(r- 1)

bh y!

U b-I ¿~-F.C.j_1 ra SCIl;(h-l)

Errortb) (r-IXb-l) ¿ Y!k SCE(b¡'(h-l}(r - 1)~ - F.C. - SC(R) - SCBj.k a <,

a b y2AU (a-I }(b-I) ¿¿ -') -F.C.-SCA-SCf Se"lIl(a-1 )(b-I)

i=l j=1 r

(r -1)(a-I )(b-I) Por diferencia scr(c¡'(r -1 }(a-I )(b-I)

1'01.1 rab- 1

F.C. = (GranTotal)2 /pqr

298


Ejemplo Ilustrativo

Probándose el efecto de cuatro variedades de soya (A) y tres épocas desiembra (B) y utilizándose como plan experimental parcelas en franjas losrendimientos en Kilogramos por parcela fueron los siguientes:

al a2 al a4 y}: al a2 al a4 YI<bl 2.4 2.1 2.2 2.0 8.7 2.0 1.9 2.2 2.1 8.2

B b, 2.7 2.6 2.7 2.8 10.8 2.6 2.5 2.5 2.4 10.0bl 1.6 1.5 lA 1.7 6.2 1.2 13 1.2 1.1 4.8

Y¡.k 6.7 6.2 6.3 6.5 25.7 5.8 5.7 5.9 5.6 23.0Repetición 1 Repetición II

al a2 al a4y

~404 4.0 404 4.1 16.9 bl5.3 5.1 5.2 5.2 20.8 b2 B2.8 2.8 2.6 2.8 11.0 b312.5 11.9 12.2 12.1 Y ,..

Ambas Repeticiones Y ..=48.7

Cálculos

" I Y.2 48,72

Factor de Corrección: F.C.= ~ = (2)(4)(3) = 98,82

Suma de Cuadrados

Suma de Cuadrados Totales

SCT = 2,42 + 2,12+ ....+1,12- F.C.= 105,51- 98,82 = 6,69

Suma de Cuadrados de Repeticiones

2572 +2302

SCR =' , - F.C.= 99,12 - 98,82 = 0,304x3

299

Dr. Franklin Chacin

Suma de Cuadrados de Variedades

12,52 + 11,92 + 12,22 + 12,12SCA = 2 - F.C.= 98,85 - 98,82 = 0,03

x3

Suma de Cuadrados de E(a)

6,72 + 6,22+ ...+5,92 + 5,62

3 - 98,82 - 0,03 - 0,30 = 99,19 - 98,82 - 0,03 - 0,30 = 0,04

Suma de cuadrados de épocas de siembra

169,2 +2082 +1102SCB=' , , -F.C=104,91-98,82=6,09

2x4

Suma de Cuadrados de Error (b)

8,72 + ...+4,82

SCE(b) = 4 - F. C.- SCR - SCB = 105,26 - 98,82 - 0,30 - 6,09 = 0,35

Suma de Cuadrados A x B

4,42 +...+2,82

SCAB = - F C -SCA - SCB = 105 00 - 98 82 - O03 - 6 09 = O062 . . "'"

Suma de Cuadrados de Error( c)

SCE( e) = 6,69 - (99,19 - 98,82) - (105,26 - 98,82 - 0,30) - 0,06 = 6,69 - 0,37 - 6,14 - 0,06 = 0,12

Análisis de Yarianza

Vease tabla 11.12 a continuación.

300


Tabla 11.12. Esquema de analisis de varianza de parcelas en franjas condos repeticiones

FuentedeV. G.deL. se CM F

Variedades (A) 3 0,03 0,01 1 nsRepeticiones (R) 1 0,30 0,30E(a) 3 0,04 0,01Epoca(B) 2 6,(j) 3,045 17,4**E(b) 2 0,35 0,175AxB 6 0,06 0,01 <1 nsE(c) 6 0,12 0,02Total 23 6,69

Se concluye que no se detectaron diferencia significativa en el términocorrespondiente a la Interacción Variedad -Epoca. Luego se verifica que tampocoexiste efécto de variedad, pero si existen diferencias altamente significativas entreépocas.

301

Capítulo 12

ANÁLISIS DE REGRESIÓN

DEFINICION DE REGRESIÓN

Es la relación funcional entre una variable dependiente y una o más variables

regresaras. Puede ser lineal o no lineal e igualmente se puede categorizar enRegresión Simple, Regresión Parcial y Regresión Múltiple. Si existe una sola variableregresara la regresión es Simple, por el contrario si son varias variables regresaras,la regresión es Múltiple.

La Regresión Lineal Parcial es la relación funcional entre una variabledependiente y una o más variables regresaras, manteniendo fija una o más variables.

En otros casos existe Regresión Multivariada, la cual ocurre cuando hayvarias variables dependientes (varios Y).

MOÚELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Sea (YI, XI )'(Y2 'X2 ),(Y), Xl)'''' ,(Yn' X n) una muestra aleatoria bivariada de tamaño n

Se plantea describir la relación fundamental entre X y Y a través del modelopoblacional:

(12.1)

donde Y denota la variable dependiente, X denota la variable independiente.

Y¡ y c¡ son variables aleatorias

~o y ~l son parametros del modelo~o representa el intercepto~ 1 representa la pendiente de la recta ,X¡ es fija o constantey8¡ - N(O,cr2

)

303


DISTRIBUCIÓN PROBABILISTICA DE y.1

Una vez seleccionada la expresión (12.1) como modelo poblacional elproblema que se plantea es de estimación de los parámetros de ese modelo. Bajoel supuesto de normalidad de los errores descrito anteriormente resulta de granimportancia paríl tales fines determinar la distribución probabilística de Y~o,y~,. 1,

Esperanza Matemática de Y¡

E(Y¡) = E(~o + ~,X¡ + E¡)= E(~o) + E(~,X¡) + E(E¡)

= ~o +~,X¡ +0

= ~o +~,Xi

como ~o Y p.x, son constantes

Varianza de Y.1

V(Y¡) = VWo + ~,Xi + E¡)

= V(~o) + VW,X¡) + V(E¡)

= 0+0+cr2

como ~o Y ~,X¡ son constantes

En resumen:E¡ _ (0,cr2

)

Y¡ - (~o + ~,Xi ,cr2)

(12.2)

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

El método de los mínimos cuadrados es usado para obtener estimadoresde ~ o Y ~, a partir de los datos. El método consiste en seleccionar valores de~o y B, tal que la suma de cuadrados de las desviaciones de las observacionesde la línea de regresión ,esto es, la función de regresión sea mínima.

304

Diseño y Análisis de Experimentos 12A A

Entonces se escogen ~o Y ~l para minimizar:n n

I E¡= I (Yi - ~ o - ~ 1X ¡) 2

i=l i=l

Esta expresión se puede minimizar por varios métodos, uno de los cualesconsiste en diferenciar con respecto a ~ o Y ~ 1 ' igualar a cero y resolver por~ o Y ~ 1 • Se genera entonces el siguiente sistema de ecuaciones, las cuales sonllamadas ECU ACIONES NORMALES.

n n

I Yi = n~o+~II x,i=l i=l

(12.3)n n n

I X¡Yi = ~oI x, +~II X~i=l i=l i=l

cuya solución es:

, ¿(Xi - X)(Y¡- y)p¡ = ¿(Xi - X)2

o en forma equivalente

b _' _ n¿X¡Y¡ - ¿X¡¿Y¡¡ - p¡ - n¿X~ - (¿X¡)2

(12.4)

=SPXYSCX

E inclusive, por métodos matriciales se podría realizar de la siguiente manera:

305


YI = ~o + ~IXI + El

Y2 = ~O + ~IX2 + E2

y en forma general

y = X~+~

esto es

YI XIY2 X2

(::) +=

Yn XndondeE = y -X~

E'E = (Y -X~)'(Y -X~) = Y'Y -2WX'Y +WX'X~aE'E- = -2X' Y + 2X' X~ = Oa~luego

A

X'X~ = X'Y

P = (X' X) -1 (X' Y) (12.5)

306


n¿ X;i~1

n

n¿ X;i~li~l

i~1

('TI X)-l = __ i-_-l -rr-r _/\. n :¡;

n I X; -( I XJ2

(X' Y) = (~, X,

n n n¿ X; -¿Xi ¿Yii~1 i~1 i=1

n n

-¿Xi n ¿XYI I

i=l" r~o = boJ~ = " = ----n-----n-----

~I = b, n ¿ X; -( ¿ XJ2i=t i=l (12.6)

Resolviendo la operación planteada en forma matricial se obtendrá las mismasestimaciones de.b; y b, anteriores.

307

Dr. Franklin Chacin

DISTRIBUCIÓN PROBABILISTICA DE ~,Esperanza de (~,); b,

b = ¿(X¡ - X)('i¡ - Y), ¿(Xi - X)2

E b = E{¿(X¡ - X)(Y¡ - y)} = E{¿(X¡ - X)Y¡}( ,) ¿(Xi - X)2 ¿(Xi - X)2

(X¡ - X)Supongamos e¡ = '" 2

¿(Xi - X)

E(b,) = E(¿e¡Y¡) = E(e,Y, +e2y2+··+enYJ

Etb.) = E( e,Y, +e2y2+·+enyn)

Erb,) = e,E(Y,) + e2E(Y2)+·+enE(Yn)

E(b,) = e, (~o + ~,X,) + e2(~o + ~,X2)+' +en (~o + ~,Xn)

~ ~ "'e. = ¿(X; -X)2 = oE(b,) = ~O¿ei +~,¿eix¡ e:i;' ;;, I ¿(Xi - X)n

E(b,) = ~,¿eiXi;;,

E(b,) =~, => ~,ES UN ESTIMADOR INSESGADO

308


Varianza de P l

n

V(b,) = V(¿cy¡)i=!

V(b,) = V( C1Y1+C2Y2+··+CnYn)

V(b,) = C~V(YI)+C~V(Y2)+,+C~V(Yn)

V(b ) = C2cr2 + C2cr2 +: ··+C2cr2l l 2 n

n

V(b,) = ¿C~(J2¡;I

o 2 e 2 Varianza J..: las YV(b ) = =- = I

l ¿(Xi _ X)2 cr~ Varianza de las X

DISTRIBUCIÓN PROBABIL!STICA DE Po (b)Esperanza de Po

bo=Y-b,X

E(bo) = E(Y - b.X) = E(Y) - E(b,X)

¿yE(bo) = E (--' ) - XE(b 1)

ny +Y +·+Y) -

E(bo) = E(' 2 n -X~,n

E(Y,)+E(Y2)+··+E(Yn) -E(bo) = - X~,

n(~o + ~,X,) + (~o + ~,X2)+"+(~0 + ~,Xn> -

E(bo) = - X~,n

nf +A "XE(bo) = 1-'0 1-',L.. i , X~,

n

E(bo) = ~o + X~, - X~,

=> ~o ES UN ESTIMADOR INSESGADO

309

Dr. Franklin Chacin

Varianza de ~ o

V(bo) = V(Y - b.X) = V(Y) + X2V(b,)

V(Y,)+ V(Y2)+···V(Yn) -2 (J2V(bO)= 2 +X -2

n (J x2 2

V(b )=n(J +X2~022

n (Jx

1 5(2V(bO) = (J2(_+ ~ - 2)

n ¿(Xi -X)

DISTRIBUCIÓN PROBABILISTICA DE y

Esperanza de y

Y=bo+b,X¡

E(Y) = E(bo) + X¡E(b,)

E(Y) = ~o + ~,X¡

Ec\') = E(Y¡)

Varianza de yA 2

V(Y) = V(bo) + X¡ V(b,)-2 2

A 21 X 2(JV(y)=(J (-+-2 )+X¡-2

n (Jx (Jx

A 1 X2 + X2V (Y) = (J 2 ( - + 2 ')

n (Jx

A 1 (X - X)2V (Y) = (J 2 ( _ + 1 )

n ¿(Xi - X)2

310


En resumen:

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Las estimaciones anteriormente realizadas permiten obtener a partir delos datos, un modelo de estimación de la forma:

Y=bo+b,X¡

conviene indagar sobre lo adecuado de ese modelo estimado para describir larelación entre Y y X. Además, conocida la distribución probalistica de los errores,~ o Y ~, es posible plantear Pruebas de Hipótesis para verificar la adecuación delmodelo.

Pruebas de Hipótesis para ~,

En este caso se plantean las siguientes hipótesis nula y alternativa,respectivamente;

\

Ho:~, = O -Ha.B, =F O

311

Dr. Franklin Chacin

El estadístico de prueba correspondiente es el siguiente:

Si te > t tab (el, n - 2) Se rechaza Ho.

En este caso el rechazo de la hipótesis nula indicaría la existencia de unarelación lineal entre las variables.

Pruebas de Hipótesis para ~o

Las hipótesis planteadas serían:

Ho.B¿ = OHa.B, :f:. O

el estadístico de prueba:

Si te > ttab (a, n - 2) Se rechaza Ho.

el rechazo de la hipótesis nula indicaría que el intercepto tiene un valor diferenteacero.

312


Intervalos de Confianza

Otra forma equivalente para establecer inferencias estadísticas para el modelolineal simple es a través de intérvalos de confianza. Se construye un intervalo deconfianza del 1OO( 1-0.)% para ~I" Sieste intervalo no incluye el valor cero, entonceses razonable concluir que ~,es diferente de cero, y que Y y X están en algun gradorelacionados en forma lineal. Similarmente se concluye con respecto a ~o' enrelación a que si el intérvalo de confianza incluye el cero es indicativo de que elintercepto es el origen de coordenadas y esta conclusión se sostiene con 1OO( 1-0.)%de confianza.

Intervalo de Confianza para ~ ¡

P[b¡-t~n_2Sbl :S~¡ s b¡ +t~n_2Sbl]=I-a2' 2'

Intervalo de Confianza para ~ o

P[bo-t~n_2Sbo :S~o :Sbo+t~n_2Sbol=1-a2' 2'

Intervalo de Confianza para y

313

Dr. Franklin Chacin

ANÁLISIS DE LA VARlANZA

Otra forma de probar hipótesis con referencia a ~I es el Análisis de la Varianza,comunmente identificado por las siglas ANA VAR, el cual parte de la división delas sumas de cuadrados de la manera que se explicará a continuación.

División de la Varianza

(Y¡- Y) = (Y¡- YJ + (Y¡- Y)

~)Y¡ - y)2 = I(Y¡ - YJ2 + IcY¡ _ y)2

SCTOTAL = SCRESIDUAL + SCREGRESION

ANAVAR

F.deV. G.deL. S.e. C.M. F

Regresión I(Y¡ - y)2 SCREG/l Fc=CMREG/CMRES

Residual n-2 Scr-SCREG SCRES/(n-2)

Total n-I I(Y¡ - y)2

Las hipótesis aquí planteadas son:

Ho: p, = OHa: p, *- O

Si Fe > Ft (1, n-2, a) se rechaza Ha. Esta es la misma hipótesis que se probóanteriormente usando el estadístico t de Student.

314


EN FORMA MATRICIAL

Y=X~+~A A

Y=X~

~=(X'Xrl(X'Y) donde Y_(X~,cr2I) E_(O,cr2!)

E(~) = E[ (X' X)-I (X' Y) ] = (X' xr:X' E(Y)

E(~) = (X' Xr1 X' (X~)

E(~) = (X' xr:' (X' X)~ = l~

E(~) = I~

Se usa un procedimiento similar para el caso de la varianza,

V(~) = v[x: xi' (X' Y)1 = (X' xi' x' V(Y)

V(~) = (X' xr' x- cr2r donde (X' xr 'X' es una forma cuadratica

V(~) = cr2[COO Co,] donde [CCoo Cco,] es la Matriz Varianza - CovarianzaCIO C" 'O"

donde COOcr2= V(bo)

C"cr2 = V(b,)CIO= COI= O para que b, y bo sean independientes

Se conoce que:

[~. X~ -ntXi]-¿ X¡

(X' X)-' = ¡~n' n

n ¿ X~ -( ¿ xyi=! i=1

Ortogonalizando, se obtiene una matriz de la forrna:

375

Dr. Franklin Chacin

o

o

Obteniendose de esta forma las mismas estimaciones de V(bJ y V(b1)

antenores.

En resumen:~

E(~)=~

V@) = (X' X) -1el~ ~

E(Y¡) = E(Xf3) = Xf3

V(\) = V(x¡3) = X* V@) = X' (X'X) -1xel X* es una forrm cuadratica de XPor erde,

VcYJ = X' u (X/X) -1X, el esto es, en cada u fila hay una estirracion

En forma similar se puede construir una tabla que resuma el Análisis de laVarianza en una Regresión Lineal Simple, en forma matricial.

F.deV G. de L. S.e.RegresiónResidualTotal

1n-2n - 1

px/Y ~ny2y/y -~X/yY/Y_ny2

CMREG PX/ Y - ny2Donde Fe = = -'------;:---

CMRES y/ Y - ~X/ Y

Si Fe > Ftab( 1,n - 2) Se rechaza Ha ~ Si Hay Regresion Lineal Simple.

316


BONDAD DE AJUSTE

Se puede calcular por varios estadísticos:

1.- Coeficiente de Correlación

2.- Coeficiente de determinación

R2 = SCREG = ~X/y - ny2SCTOTAL y/y - ny2

Ademas

R2 = SCTOTAL-SCE = 1- SCESCTOTAL SCTOTAL

Los valores que toma están siempre en un intervalo ; Rl:; 1 ya que Os-SCEs-SCTotal.Demaneraidealsedeseatenerun R2 = 1, en cuyo caso SCE = Oy todala variación presente en las observaciones puede explicarse por la presencia linealde X en la ecuación de regresión. De manera que, entre más cercano se encuentreR2 a uno, mayor es el grado de asociación lineal que existe entre X e Y.

Si se designa la suma de Productos cruzados como SPxv Ylas varianzasde X e Y respectivamente como S2x y.S2y entonces se tiene:

2 SPXy2 b,SPxy SCREGR = s\ S2y = S2y = SCTOTAL x100

R2 mide el porcentaje de variabilidad total de Y que es explicada por laregresión.

317

Dr. Franklin Chacin

DETERMINACION DEL MODELO

El modelo: Yi = ~o + ~IX, + E i' cuando hay repeticiones en cadapunto, puede escribirse de la siguiente manera:

Yi = ~o + ~IXi + Ei + Falta de Ajuste

Haciendo una división de los errores, se obtiene:

(Yij - Y ..) = (Yij - Yi.) + (Yi.- Y..)n r n r n r

"'''' - 2 "'''' - 2 "'''' - - 2L,¡ L,¡ (Yij - Y .. ) = L,¡ L,¡ (Y, - Y, .) + L,¡ L,¡ (Y, .- Y .. )i=1 H i=1 j=1 i=1 i=!

ERRORTOTAL=ERROR +EXPERIMENTAL

ERROR

DEL TRATAMIENTO

Pero si se está interesado en (Yij - Yi) se puede realizar la siguientesubdivisión:

n r n r n r

"'''' ~ 2 "'''' - 2 "'''' - ~ 2L,¡ L,¡ (Yij - Yi·) = L,¡ L,¡ (Yij - Yi·) + L,¡ L,¡ (Yi·- Y;)i=1 i=! i=1 je l i=1 j=1

RESIDUAL = FALTA DE AJUSTE + ERROR PURO

O ERROR

EXPERIME TALr

como I constante = r. constantej=1

318


Si existe diferente número de repeticiones en cada punto se tiene PARACADA PUNTO:

~~ A 2 ~~ - 2 ~~ - A 2L,¡ L,¡ (Yij - Y, .) = L,¡ L,¡ (Yij - Y.) + L,¡ L,¡ (Y .- Y;)i=i je l ;=1 i=! i=1 j=1

Por ejemplo; sean los siguientes puntos:

Y .. X1) 1

Yu J\Y12 J\Y\3 J\Y21 x,Y22 x,Y2J x,

~ - 2SCEP, = L,¡ (Yij - Y1 .)

j=1

con ri - 1 grados de libertad

con r2 - 1 grados de libertad

con rj - 1 grados de libertad

319

Dr. Frank/in Chacin

Se genera entonces el siguiente análisis de la varianza:

ANAVAR

F.de V. G. de L. S.c. C.M. F

Regresión 1 ¿¿ ~ - 2 CMREG(Y¡.-Y..) F¡=CMREG/CMEP

Residual:Falta de Ajuste Diferencia ¿¿ - ~2 CM:FA F¡=CMFAlCMEP(Y¡.-Y¡)

ErrorPuro I(r(l) ¿¿(Y¡j - y¡.)2 CMEP

Total n-I ¿ ~ 2(Y¡j- Y¡.)

SiF 1 essignificativo, indica que existe Falta de Ajuste o Sesgo;lo cual conducea afiemar que el modelo es INCORRECTO.

Si Fino es significativo, se realiza un POOL de los errores, y ese sería eldenominador apropiado para realizar la prueba de hipótesis para Regresión, encuyo caso F2 = CMREG/CMRES.

320


EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE

En los trabajos de investigación es necesario emplear técnicas estadísticasque permitan interpretar los resultados y de esta forma poder llegar a conclusionesvalederas que permitan al investigador aceptar o rechazar las hipótesis planteadasinicialmente e inclusive formular nuevas hipótesis, una de esastécnicas estadísticasde gran utilidad enlos investigadores es el análisis de regresión, el cual es necesariocuando se quiere encontrar relaciones entre las variables o establecer ecuacionesde predicción.

Mallows (1973), menciona los siguientes usos de la ecuación de regresión:

a.- Descripciónb.- Predicción y estimaciónc.- Extrapolaciónd.- Estimación de parámetrose.- Controlf.- Construcción del modelo.

El Análisis de Regresión requiere el cumplimiento de una serie de supuestosnecesarios para su aplicación siendo estos de gran importancia para evitarconclusiones erradas. Dichos supuestos han sido ampliamente discutidos pormuchos autores (Linares y Chacín, 1986).

Estos supuestos serían resumidamente:

a.- Homogeneidad de la varianza de erroresb.- Normalidad de los erroresc.- Independenciad.- Aditividad de los efectos.

Para el estudio del cumplimiento de los supuestos y alternativas de solucionesse tendrá que realizar algunos análisis como serían:

321

Dr. Franklin Chacin

a.- Examen de residualesb.- Estudios y análisis de autocorrelaciónc.- Estudio y análisis de la multicolinealidad.

Estos procedimientos han sido ampliamente discutidos por muchos autores,entre ellos Linares y Chacín (1986),Chacín y Meneses (1984),y Chacin (1998).

En la investigación agrícola cuando el investigador mide el efecto que puedaproducir determinado tratamiento sobre algunas características particulares queson de su interés (rendimiento, número de frutos, grosor del tallo, diámetros de lacopa, etc.), no descarta la posibilidad de que pueda existir alguna relación oasociación entre una variable dependiente y algunas variables independientes oregresoras que en algunos casos son controladas y en otras aleatorias o amboscasos.

Por ejemplo, en un ensayo con cítricas en el que se evalúa la dosificación deNitrógeno (N), Fósforo(P) y Potasio (K), se podría establecer un modelo querelacione al rendimiento con las variables regresoras (N, P, K), en este caso, estasvariables regreso ras son controladas pero también se podría establecer relacionesentre el rendimiento con número de frutos, grosor del tallo y diámetro de lacopa, que son variables aleatorias e inclusive establecer la relación del rendimientocon ambos tipos de variables. El análisis de regresión permitirá estudiar esasrelaciones con el fin de llegar a conclusiones de interés para los-investigadores.

Graybill (1961), expresa que uno de los propósitos de la ciencia es describiry predecir los eventos en el mundo en que vivimos y una forma es mediantemodelos que relacionen cualidades del mundo real. Chacín y Meneses (1984) yCobo (1976), señalan algunas ideas expresadas por Bunge, Kempthorne, Federer,Gill, Fisher, Neter y Graybill. Una relación funcional entre grupos de eventos enel mundo real es un modelo y aunque la relación no sea exacta sino aproximadaes invalorable la predicción, por consiguiente cuando se dice que una relaciónfuncional existe entre un grupo de variables es en forma muy aproximada.

La función del modelo es simular el comportamiento de un sistema bajociertas condiciones. La simulación puede encontrarse mediante un modelomatemático que puede ser una ecuación o un sistema de ecuaciones que representan

322


cuantitativamente la hipótesis formulada en relación al sistema bajo consideracióny que envuelve variables aleatorias y parámetros. Si la ecuación es lineal en losparámetros el modelo se convierte en un modelo lineal, dentro de estos modelos,el modelo de regresión lineal es uno de los mas importantes.

DESCRIPCION DE LOS DATOS Y DEL MODELO

Los datos consisten de n observaciones sobre una variable dependiente Y yde p variables independientes Xl' X2, ••• , X

p' Las observaciones son usualmente

presentadas de la siguiente manera:

Observaciones Y x, x, x, ..., Xp

1 Y¡ XlI ~¡ x,'.') Xpl

2 Y2 Xu x,~2 ..., Xp1

3 Y3 X13 ~ ~3 ..., Xp3

n yn ~n

..., X pn

Las relaciones entre la variable Y con las variables XI' X2, X3, ••• , Xp

seformula por el modelo lineal general de regresión de la siguiente forma:

y = X~ + E (12.7)y = vector (nx1) de respuesta.X = matriz (nxp) de variables independientes~ = vector (px1) de constantes desconocidasE = vector (nxl) aleatorio de errores supuestos.

donde: E(E) = O Y

Expandiendo la expresión matricial del modelo se tiene:

(12.8)

323

Dr. Franklin Chacin

Los valores de Xi son fijos para i = 1,2,3, ... , n

Las constantes ~ o , ~ I , ... '~p son los coeficientes de regresión, los cualesen su expresión clásica son interpretados como el incremento en la variable Y quese corresponde a una unidad de incremento en X. cuando las otras variables semantienen constantes.

Los coeficientes ~ i son estimados haciendo mínimo la suma de cuadradosde residuales, lo cual es conocido como el método de los mínimos cuadrados.Formalmente, el método consiste en minimizar la expresión:

n n

¿¡:;¡ = ¿(Yi -~o -~IXli -~2X2i-···-~pXpJ2i=1 i=1

(12.9)

donde las ecuaciones normales para los estimadores mínimos cuadrados serían:

(X'X)~ = X'Y (12.10)

Este sistema tiene solución única si y solo si la matriz X 'X tiene inversa.

rxxr '(X'X)~ = rx'xi'x'v

con lo cual se tiene:

~ = (xx):' x-vA

~o XII X21 Xpl YIA

~I XI2 X22 Xp2 Y2A A

~= ~2 X= XI3 X23 Xp3 Y= Y2

A

Xpn Yn~p

x., X2n

(12.11)

(12.12)

324


Si se obtiene la matriz (X I X)0l , y la llamamos e, entonces se puede denotaral elemento e. donde j = 1,2, 000 , p, en la suma de productos y cuadrados

JJcorregidos.

CII Cl2

C21 C22(X' xr' = C= i, j = 1, 2, ... , P

eIJ

la varianza del estimador mínimo cuadrado será:

(12.13)

Supuestos del Modelo Poblacional

Sea el modelo lineal general;

a.- Homogeneidad de varianza de errores:

E ¡-N (O, cr2 1) , con E(E¡} = O

b.- Independencia de errores:

c.- Homogeneidad de Varianza de las observaciones:

debido a que E( e.) = O

- 325

Dr. Franklin Chacin

c.2.- V(Y¡} = V(E;) = a2 debido a que:

d.- Independencia de los Y¡ :

Los supuestos de Y¡ son consecuencia de los supuestos de [; i ' ya que estetérmino es el que transforma a Y¡ en la variable aleatoria y toda función devariable aleatoria es también aleatoria.

e.- Aditividad de los efectos:

Esta aditividad de los efectos aparece intrínseca en la expresión del modelo

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Este procedimiento es básico para el desarrollo de los estimadores delModelo de Regresión y por supuesto para la Metodología de la Superficie deRespuesta (MSR), ya que a través de la MSR se generan modelos de regresión.Fundamentalmente en la MSR se está interesado en obtener una respuesta 11 ,lacual es una función de k variables independientes que sería de la forma siguiente:

(12.14)

La forma 11 es usualmente desconocida o muy compleja; es necesarioaproximarla mediante un polinomio de bajo orden. Por ejemplo si se tiene tresvariables (Xl' X2, X3) el modelo resumido sería:

222Y=[3 +[3 X +[3 X +[3 X +[3 X +[3 X +[3 X +[3 X X +[3 X X +[3 X X +Eo 1 1 2 2 3 3 11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3

(12.15)

326


donde ~ o ,~ I , ••• ~ 23 ' son coeficientes de regresión, Y es ia variable respuesta yE es el error experimental. Las variables XI' X2, ••• , X, son cuantitativas ymedidas en escala continua.

Suponiendo que la función f en la ecuación (12.14) es aproximadamenteun modelo lineal en los X. Se asume que esta aproximación es adecuada, aunquela discusión general siguiente, puede ser alterada fácilmente para ser consistentecon una aproximación de alto orden. Suponiendo que varios tratamientos sonconsiderados como varias combinaciones de los X, los datos son escritos en laforma siguiente:

donde n > k. La combinación actual de niveles experimentales en los X esllamado el diseño experimental. El modelo que fue asumido por elexperimentador puede ser escrito como:

i= 1,2,3, ... ,n

donde Ei es una variable aleatoria. Se asume que el Ei es independiente, conmedia cero y varianza O' 2 , esto es en términos del siguiente vector de errores:

El

E2E=

Ep

donde: E(E) = O Y E(E E') = 0-2In V(E) = 0'2 . El modelo dela ecuación (12.15) puede ser escrito muy convenientemente en la forma:

y = X~ + E (12.16)

327


donde:

Y, Po 1 XII X2, ... Xk,

Y2 p, 1 X'2 X22 ... Xk2Y= P= X=

./

Yn Pk x; X··· x.,2n

El modelo de la ecuación (12.16) se refiere al modelo lineal general. Ellector puede realmente observar que el modelo lineal general es fácilmente aplicablea modelos polinorniales, mayores a los de primer orden. Por ejemplo, supóngaseque el modelo asumido es un modelo cuadrático en dos variables, esto es, larespuesta en el i-ésimo tratamiento envuelve los niveles (X'i , X2i) es dada porla siguiente expresión:

(12.17)

donde i = 1,2, ... , n > 6. La matriz X y el vector P pueden ser escritos así:

Pop,P2

P=PIIP22

P'2(X'n .X2n)

X=

1

1

XII X2, X~, X;, (XII" X2,)

X'2 X22 X~2 X;2 (X'2 .X22)

La atención se centra en la estimación de los parámetros del vector p. Elmétodo de los mínimos cuadrados es un procedimiento de estimación útilparticularmente para modelos de la forma de la ecuación (12.16).

328


Dada la matriz X, una función de los niveles preseleccionados, y el vector Yde respuesta; el método de los mínimos cuadrados utiliza como estimador de 0al vector que resulta en un valor mínimo de L, calculado de la siguiente manera:

n

L"\'2,= ~ Ei = E Ei=!

La suma de los cuadrados de los errores o desviaciones a partir de la respuestaobservada para el valor estimado L puede ser escrito así:

L = (Y - XP)'(Y - XP) (12.18)

entonces:

L = Y'Y - (XP)'Y - Y' X~ + (X]i)' Xp

= Y' Y - pt X' Y - Y' Xp + pt X' Xp

=Y'Y -2ptX'Y +ptX'Xp(12.19)

A

Para encontrar p :aL- = -2X' Y + 2(X' X)Pap

igualando a cero:

A

(X' X)P = X'Y (12.20)

Asumiendo que X IX es una matriz no singular, se tendrá que:

(12.21)

Las ecuaciones dadas por (12.20) son llamadas ecuaciones normales parala estimación de 0. Para el modelo de regresión de primer orden de la ecuación(12.16) estas ecuaciones son:

329

Dr. Franklin Chacin

¿Xli ¿X2i ¿Xki~O ¿Yi

(12022)n A

¿XliYi¿X~i ¿XliX2iOOO¿XliXki

~IA

¿X2Yi~2 =¿X;i ¿X2iXki 'i-

¿X~i A

¿XkiYi~k

Sesgo y Varianza de los Estimadores Mínimos Cuadrados

Considerando el modelo de regresión Y = X ~ + E , el estimador de~ será:

~ = (X'Xrl X'YE(~) =A Et (X' X)- [ X' (X~ + E) }]

E(~)= ~ + E[ (X' Xr1 X' E ]

Si la E( E ¡) = O para i = 1, 2, 000, n

E[ (X' xr 'X' E ] = O

EW) = ~

Esto implica que cada uno de los elementos de ~ son estimadores insesgadosde ~o

En el desarrollo del Diseño de Experimentos aplicado a la Metodología deSuperficie de Respuesta es conveniente investigar las características de la matrizvarianza-covarianza de ~ , estas serían:

A A A

Cov(~) = E(~ - ~)W - ~)'= Cov[ (X'X)"IX'Y ]

330


Si se considera que (xx):' X' contiene solo valores fijos yCovY = ()2J ,se obtiene:

n

I

Cov(~)=[(XIXrIX'] ()2In [ (XIX)X-I]

realizando la simplificación correspondiente

(12.23)

Esta ecuación (12.23) es muy importante, ya que implica que la varianza delos estimadores en ~ está dada por los elementos de la diagonal de la matriz(X'X) -1 multiplicando cada término por (J2 y los elementos que se encuentranfuera de la diagonal principal multiplicados por o2 son las covarianzas.

A

Po¿Xli ¿X2i ¿Xki

-1A nPI

¿X~i ¿XliX2i· .. ¿XliXkiA

a2COY P2¿X;i ¿X2iXki

A ¿X~iPk

PRUEBA DE HIPÓTESISEN EL MODELO DE REGRESIÓN

Para la realización de las pruebas de hipótesis es necesario establecer lossiguientes supuestos:

b.- Los Yi son funciones lineales de los E.' de modo que también se distribuyennormalmente. I

331

Dr. Franklin Chacin

h

c.-f3 - N(~,(J2(X/X)-I)

Para este caso, la matriz X tiene rango p, donde p = k + 1Yk es el númerode variables independientes del modelo, el esquema de análisis de la varianza estádado en la Tabla 12.1.

Tabla 12.1 Análisis de la varianza para el modelo de regresión

F.deV. G. deL. S. deC. CJv1.

Regresión p ~'X'y ~ 'X'y Ip

Residual n-p y'y-~X'y (Y/Y - ~X'Y) I (n-p)

Total n y'y

En el caso de un modelo de regresión polinomial, el investigador estaríamás interesado en realizar una partición adicional del modelo de regresión.Suponga por ejemplo, un modelo de una función de regresión polinomialcuadrática, en este caso es necesario dividir la suma de cuadrados de la regresiónen los efectos lineales, cuadráticos e interacciones de primer orden de losestimadores de los parárnetros, con el objeto de explorar la significación de cadauno de los efectos.

Para ilustrar los cálculos necesarios en la construcción de la Tabla 12.1considere el siguiente modelo:

y la siguiente transformación:

332


donde los X j son los valores promedios de los X j en la muestra, dondej = 1,2, ... , k.

Si se realiza la estimación;

Po O O O- 1 I Y¡n

PI Sil S 12 S Ik SIY(12.24)

COy P 2 Sn Sn

P k S kk S kY

donde Sil es la suma de cuadrados corregidos de la columna de los XI;

La suma de productos entre x,y Xj , por ejemplo serían para XI y X2

n

S¡2 = ¿ (X'i - X¡)(X2i - X2)i='

Los términos serían SiYserían productos entre los X, y los Y, por ejemplo;paraX¡yY

n

S,y = ¿ (X; - X¡)(Yi - Y)i='

yel estimador ~ o sería: n¿ Yi

~ = ....:..i=....:.'__ = yo n

~ ~,P2' ... , P~para los estimadores ~ ¡

S¡k -1 S¡y

S2YS2k

SkkSkY

333

Dr. Franklin Chacin

El análisis de la Varianza con la partición de los grados de libertad para laregresión sería la siguiente:

Tabla 12.2. Análisis de Varianza del Modelo de Regresión de primer orden

Fuentes de Variación G. de L. S.deC

Regresión debido a ~o 1 -2nY

Regresión de Xl, X2 ' •• , Xnk ~lSlY +~2S2Y+"'+~kSkY

Residual n-k-l diferencian

Total n I y2I

i=1

Un cuadro similar puede construirse para el caso de la regresión cuadrática.

••

334


ESTIMADOR DE cr2

Inherente al problema de regresión, es importante encontrar el estimadorde la varianza del error o residual. Se describirá este estimador en base al modelolineal general ya descrito y de la siguiente manera;

~SC Re sidual = y' Y - W X' y

,=Y'Y-[(X'X)-'X'Y] X'Y

= Y'Y - Y'X(X'Xr'X'Y

=Y'[In -X(X'Xr'X']Y

Senota que SCResidual esuna forma cuadrática de losY I S cuya matriz sería:

Si se considera el valor esperado de la SCResidual y se sustituye;

Y=X~+eE(Y' PY) = E(e' Pe)

E(e' PE) = cr2Traza P

la traza de Ip es p, por lo tanto;

TrX (X' X) -i X' = Tr X' X(X' X)-'= Tr Ip = P

335

Dr. Franklin Chacin

y resulta

Traza P = Traza (In - X(X' X) -1X')

Traza P = n- p

E(SCResidual) = a2(n- p)

Si se calcula el cuadrado medio del Residual

SCResidualCMRes = -----

n-p

este es un estimador insesgado de a2 •

El valor del estadístico F para la prueba de hipótesis sería entonces:

CM Re esionFealc = .

CM Residual

p = k + 1k = N° de Variables Independientes

Ftab = Fk,n_p

336


USOS DE LAECUACIÓN DE REGRESIÓN

Una ecuación de regresión puede tener muchos usos, los cuales se podríanresumir en los siguientes:

Descripción y construcción de modelos

Una ecuación de regresión puede ser usada para describir procesos queforman parte de un sistema complejo e interactuante. El propósito de la ecuaciónpuede ser puramente descriptivo, a objeto de explicar la naturaleza de estainteracción compleja. En este sentido se presentan dos necesidades antagónicas asaber: una es explicar la mayor cantidad de variación como sea posible, estosugiere la inclusión de un número elevado de variables en el modelo, la otraposición es adherirse al principio del menor número de variables, el cual sugiereque se deben tratar de entender en forma fácil la descripción de los procesos contan pocas variables como sea posible.

En situaciones en los que la descripción es el principal objetivo, se debetratar de seleccionar lamenor cantidad de variables independientes que expliquenla mayor cantidad de variación de la variable dependiente.

Estimación y predicción

Las ecuaciones de regresión pueden ser usadas para predicción, por ejemplo,sepodría estar interesado en predecir el valor de una futura observación o estimarla respuesta media que se corresponde con una determinada observación.

Tanto la predicción como la estimación se hacen dentro del rango o rangosde las variables independientes presentes en el modelo. Cuando una ecuación deregresión es usada con estos fines, las variables se seleccionan bajo el criterio deminimizar el cuadrado medio del error de la predicción.

Control

El propósito de construir la ecuación de regresión podría ser determinar lamagnitud a la cual las variables independientes se debe alterar, para obtener unvalor específico de la variable respuesta. En este punto la ecuación de regresiónes vista como una función de respuesta. Para propósito de control, es deseable

337

Dr. Franklin Chacin

que los coeficientes de regreslOn de las variables sean medidas enforma bastante precisa, esto es, que los errores estándar de loscoeficientes sean pequeños.

Es de hacer notar que el propósito para el cual el modelo de regresión fueconstruido determina el criterio que debe ser optimizado en su formulación; estosupone que un subconjunto de variables puede ser el mejor para un propósito,pero no necesariamente será el mejor para otro. El concepto del mejor sub-conjunto de variables a ser incluidos en una ecuación de regresión siempre requierede un análisis adicional.

CRITERIOS PARA SELECCIONAR ECUACIO ESDE REGRESIÓN

Existen dos posiciones por parte de los investigadores en relación al conjuntode variables independientes que eben formar parte de la ecuación de regresión,estas son:

"e Incluir el mayor número posible de lasvariables predictoras, que contienenla mayor información sobre las variables que puedan influenciar la respuesta, aobjeto de que los valores ajustados sean los más confiables y seguros con fines depredicción.

,~ Incluir en el modelo solamente las variables de mayor relevancia en elfenómeno bajo estudio, ya que en la mayoría de los casos es irnpráctico u onerosorecabar información no necesaria y procesarla y además porque la varianza delas predicciones aumenta al aumentar el número de variables regreso ras.

La posición conciliadora entre las dos, parece ser la que ha dado mejoresresultados y es la que muchos autores han llamado "lamejor ecuación de regresión"o "la ecuación mas adecuada". A este respecto Hocking (1976),señala que cuandose trata de determinar la ecuación más apropiada, basada en un subconjunto devariables, se deben tener en cuenta tres aspectos:

a.- El criterio utilizado para analizar y seleccionar el subconjunto.b.- La estimación de los coeficientes de la ecuación final.


c.- La técnica computacional usada en el análisis de los datos.

En la literatura se han propuesto varios criterios para seleccionarla mejor ecuación de regresión. Hocking (1976), señala una listabastante extensa de criterios a saber:

1.- El cuadrado del coeficiente de correlación múltiple o coeficiente dedeterminación.

'- SCRpR2=--p SCT

SCR = Suma de Cuadrados debida a regresiónSCT = Suma de Cuadrados Total.

2.- El coeficiente de determinación ajustado.

2 _ [(n-1)(1-R~)lRd -l-

a ~ n _ p

3.- El cuadrado medio de residuales.

SCEpCME =--p n- p

4.- El cuadrado del error total o estadístico e de Mallows.p

SCEpC =--+(2p-n)

p cr2

5.- Promedio de la varianza de predicción.

J =(n+p)CMEp n p

339

Dr. Franklin Chacin

6.- Promedio del cuadrado medio del error de predicción.

CMEpS =---'--p (n-p-l)

7.- Suma de cuadrados de residuales estandarizada.

8.- Suma de cuadrados de predicción.

P , D-2r essp = G p p Gp

9.-Correlaciones parciales.

10.-Estadísticos de=r: y Pregiben.

11.- Suma de mínimos ¿rores absolutos-ponderados.

12.-Criterios de F parcial y F secuencial.

13.-Uso de parámetros infinitos.

14.-Suma de mínimos errores absolutos.

15.-Suma de mínimos errores relativos.

340


EJEMPLO ILUSTRATIVO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

En el siguiente cuadro se presentan los datos correspondientes a capacidadde intercambio catiónico (Y), % de carbono orgánico (X) y % de arcilla (X) en20 muestras de suelo.

Muestra Y XI X,1 21,80 2,69 24,002 26,07 2,03 35,803 19,77 2,72 20,834 28,09 2,80 31,005 38,84 3,73 29,006 29,60 2,99 57,(fJ7 32,42 0,66 8,738 31,01 0,98 13,689 24,64 i,42 29,3010 28,45 3,62 29,43Jl 29,03 3,29 40,2012 24,29 2,36 35,8013 8,13 1,26 i7,OO14 i2,1 i 1,55 15,2015 16,96 2,55 20,4016 18,20 2,11 27,4017 11,30 1,20 15,0318 17,32 1,97 27,7019 33,88 2,14 52,8020 33,50 2,05 35,10

Totales 485,41 44,13 566,20

Promedios 24,2705 2,2065 28,3100

Suma de Cuadrados corregidasy XI X,1329,709 14,1063 2957,058Suma de productosvx, vx, XIX,48,7158 _ 924,262 109,5244

341

Dr. Franklin Chacin

1.- Modelo Poblacional planteado.

2.- Supuestos del modelo

Los Xi son fijos.

3.- Hipótesis

3.1 Anavar

Ho: ~J

Ha: ~i

~ 2 = O _

*- O

3.2 Pruebas de t

Ho: ~J =0

Ha: ~J *-0

b. -~¡t ¡ = --'---'--'-Sb,

342

Ho: ~2 =0

Ha: ~2 *-0

Ho: ~o =0

Ha: ~o *-0


3.3 Matriz Varianza-Covarianza del modelo de estimación

Covfb ,, bl)

V(bl)

Covtb., b2)

4.- Pruebas de significación

4.1 Análisis de Varianza

F.deV. G. de L. S. deC.

Regresión k Lb¡SPyx ,

Residual n-k - I Diferencia

Total n - 1 L(Y - y)2

C.M.

SCReglk

SCResidual/( n-k - 1)

4.2 Cálculo de los coeficientes de regresión

4.2.1 Método aritmético simple

4.2.1.a Cálculo de los coeficientes de correlación simple

SPYX[ _ -,====1 ==Y.I - 'se se-v y XI

SPYX[= 1

Y.2 ~se sey x,

SPxxI' = 1 1

1.2 ~se seXI x,

4.2.1.b Cálculo de los coeficientes de regresión parcial

fY.1 - fY.2 [1.2

1- [122

343

Dr. Franklin Chacin

4.2.1.c Establecimiento del modelo

4.2.2 Métodos de los determinantes con las ecuaciones normales

4.2.2.a Ecuaciones normales

SPyx=SCx ~I+SPXX ~2I I I 2

SPyx = SPx X ~I + SCx ~22 I 2 2

4.2.2.b Determinantes

SP~

SP~

B'b '=-

1 A'C'

b '=-2 A'

4.2.2.c Establecimiento del modelo de estimación

344


5.- Desarrollo del ejemplo

5.1 Cálculo de los coeficientes de regresión

5.1.1 Método aritmético simple

5.1.1.a Cálculo de los coeficientes de correlación simple

rYI = 1329,709 X 14,1063 = 0,355748,7158

r - 924,262 = 04661Y.2 - 1329,709 X 2957,058 '

r1.2 = 14,1063 X 2957,058 = 0,5363109,5244

5.5.1.b Cálculo de los coeficientes de regresión parcial

0,3557 - 0,4661 X 0,5363b = = O1489

Yu 1-053632 ,,

0,4661- 0,3557 X 0,5363b = = O3885

Y21 1-053632 ,,

5.5.1.cEstablecimiento del modelo

A .J1329,7095 .J1329,7095y = 24,2705 + 0,15 1063 (X, - 2,21) + 0,39 J (X2 - 28,31)

. 14, ,,2957,058

Y = 13,6535 + 1,4545X¡ + 0,2615X2

345


5.1.2 Método de los mínimos cuadrados

B' (48,7158 X 2957,058) - (924,262 X 109,5244)b = - = = 14545¡ A' (14,1063 X 2957,058) - (109,5244)2 '

-------C' (14,1063 X 924,262) -(109,5244 X 48,7158)

b =-= =026152 A' (14,1063 X 2957,058) - (109,5244)2 ,

y = 24,2705 + 1,4545(X¡ - 2,2065) + 0,2615(X2 - 28,31)

y = 13,6535 + 1,4545X¡ + 0,2615X2

5.2 Pruebas de significación para el modelo

5.2.1 Suma de cuadrados total = SCT

SCT = ¿y2 _ (¿yf = 1329,709n

5.2.2 Suma de cuadrados de regresión = SCREG

SCREG= 1,4545x48,7158 +0,2615 x 924,262=309,6892

5.2.3 Suma de cuadrados de residual = SCRES

SCRES=SCT -SCREG = 1329,709-309,689= 1020,020

346


5.2.4 AVARF.deV. G. deL. S.c.

Regresión 2 309,689

Residual 17 1020,020

Total 19 1329,709

C.M. F

154,845 2,58 n.s.

60,00

2 309,689R = = O2328

1329,709 '

5.3 Prueba de significación para los coeficientes de regresión

1:>1t =-I sb,

sb I = .J'"C-M-RE-S-x-C-IISceX2) SceX2)

CII = = 2D SceXI).SceX2)-(SPXIX2)

2957,058CII = 14,1063 X 2957,058-109,52442 = 0,0995

sb, = .J60,00 x 0,0995 = 2,4433

1,4545ti = 24433 = 0,59 n.s.,

347

Dr. Franklin Chacin

5.3.2 Para b,

b2t =-

2 sb2

sb, = ~CMRES X C22

SC(X,) 14,1063C22 = D 29717553 = 0,0005,sb, = ~60,00 X 0,0005 = 0,1687

0,2615t2 = 0,1687 = 1,54 n.s.

6. Interpretación

De acuerdo a los resultados del ejemplo, no existe una relación lineal múltipleentre la capacidad de intercambio catiónico y lasvariables independientes contenidode carbón y % de arcilla. Los especialistas en suelo indican que estas variablesestán asociadas, sin embargo, en este ejemplo, no se evidenció esa asociacióndebido quizás a los siguientes motivos: 1) el tamaño de la muestra es bajo n =20,2) La relación funcional no es lineal sino de cualquier otro tipo, polinomial,cuadrático, exponencial, logarítmico, entre otros. 3) No se tomaron en cuentaotras variables independientes que pueden influir para aumentar la determinacióndel modelo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO DE REGRESION CON MATRICES

Los datos que se presentan a continuación son correspondientes a unexperimento realizado con el cultivo de maíz donde XI (Distancia entre hileras),X

2(Número de mazorcas por rn/), X) (Número de granos por mazorca) y Y

(Rendimiento granos en Ton/ha.).

348


XI Y x, x,

Distanciamiento Rendimiento Número de Número GranosGranos(Tonlha) Mazorcas/m

2(cm) por mazorca

20 11,56 20,3 206

20 12,00 21,0 215

20 10,40 19,0 180

25 10,66 13,4 361

25 9,80 12,8 354

25 11,50 13,6 371

30 9,82 11,0 394

30 9,60 10,8 380

30 9,50 10,0 350

40 9,28 6,3 605

40 9,00 6,0 600

40 6,30 5,9 580

50 7,55 4,0 671

50 7,00 3,5 642

60 6,00 3,0 670

60 6,20 3,2 680

60 5,80 2,8 643

100 2,29 1,2 621

100 2,50 1,3 650

100 3,00 1,8 670

349

Dr. Franklin Chacin

1.-Modelo poblacional planteado

Y, = variable dependiente

Xli ,X2i ,X3i = variables independientes

~o = int ercepto~ I , ~ 2 , ~ 3 = coeficientes de regresion de las respectivas

variables independientes

E i = efecto aleatorio.

2.- Supuestos del modelo

X ji son fijos

E(Ei) = OV(Ei) = 0'2

Y esta distribuido (~o + ~IXli + ~2X2i + ~3X3i ,0'2)

E i esta distribuido ( O , 0'2)

3.- Hipótesis a probar

3.1ANAVAR

Ha: ~I = ~2 = ~3 = OHa: ~i ;r O

350


3.2 Pruebas de t

Ho.B¿ =Obot =-o Sbo

Ha:po "* O

HO:PI =Oblt =-I Sb,

Ha:PI "* O

HO:P2 =Ob2t2 =-Sb2

Ha:P2 "* O

HO:P3 =Ob3t =-3 Sb)

Ha:P3 "* O

3.3 Matriz Varíanza-Covarianza

[

S2bo

S= (X' Xrl&2 =

l4.- Modelo de estimación

4.1.- La estimación de los coeficientes de regresión del modelo se hace através del método de los mínimos cuadrados utilizando el enfoque matricial. Separte del modelo (simplificado matricialmente)

351

Dr. Franklin Chacin~

y = X~+E

YI 1 XII X21 X31

Y2 1 XI2 X22 X32

Y= Y3 X= 1 XI3 X23 X33

v, 1 x, X2n X3n

~O El l~=

~I

~2 J~2E=

~3 En

4.2 Determinación de las ecuaciones normales

y= X~+E

E = Y -X~E' E = (Y - X~)' (Y - X~)

E' E = Y' Y - Y' X~ - (X~)' y - (X~)' (X~)

E' E = Y' Y - 2W X' y + W X' ~GE' E A

-= -2X'Y +2X'X~ =OG~

X' X~ = X' Y Ecuacioncs Normales


4.3 Si se cumple que la matriz X 'X es no singular se realiza lapremultiplicación de ambos términos de la ecuación por (X I X).¡ obteniéndose;

(X' X)-IX' X~= (X' X)-I xv

~ = (X'X)-IX'y(12.25)

siendo la ecuación (12.25) la que permitirá estimar los coeficientes del modelo.

5.- Pruebas de significación

5.1 Análisis de Varianza (ANA VAR)

F.deV. G. deL. S.e. e.M. F

Regresión k B'X'Y -n Y2 SCRegresiónlk CMRegresiónlCMResidual

Residual n-k-l Y'Y-BXY SCResiduaVn-k -1

Total n - l Y'Y -n 1'"

353

Dr. Franklin Chacin

5.2.- Pruebas de t.

bo b, b2to =- t, =- t2 =-

sbo sb, sb2S2 = (X' Xr' 6-2 = (X'xi' CM Residual

Si ti ~ tt-I,n-k-I Se rechaza Ho

b3t =-. 3 bs 3

Si ti < tt-l,n-k-' N o se rechaza Ho

6.- Prueba de Bondad de Ajuste del Modelo

6.1.- Coeficiente de Correlación Múltiple

SC Re gresionR=---=---

SCTotal

Este coeficiente indicaría el grado de asociación que existe entre la variabledependiente (Y)y la función de regresión de lasvariables independientes (Xl' X2>

X).

6.2.- Coeficiente de determinación

2 SC Re gresionR = xlOO

SCTotal

Este coeficiente permite conocer cuanto de la variabilidad total es posibleexplicar con el modelo de regresión obtenido.

354

Diseño'y Análisis de Experimentos 12------------------------7.-Desarrollo del ejemplo:

7 l.- E a::inaciSn de bs c:oefi::::i::ntes de n:grEEÓn

~= (X' xr 'X'Y

r1,56 xJ

20 20,3 206

12,00 20 21,0 215

Y ~ lIO,4O 20 19,0 180

2,~0 l: 100 1,3 650

3,00 100 1,8 670

7,173

A - 0,088~= 0,253

0,006

7.2.- Pruebas de significación.

7.2.a.- Análisis de varianza

F.de v. G. deL. se CM F

Regresión 3 165,2875 55,095 277,81

Residual 17 3,371474 0,198322

Total 20

355

Dr. Franklin Chacin

7.2.b.- Pruebas de t.

7,173t - - 3 68 *

o - 1,9497 - ,

- 0,08774ti = 0,00673 = -13,04 * *

0,2526t - -335*

2 - 007546 - ,,0,00568

t - - 2 34 *3 - 000242 - ,,

7.3.- Bondad de ajuste del modelo.

2 SC Re gresionR = xIOO=98%

SCTotal

8.- Matriz de Correlación.

Dist (XI) Rend.(Y)Dist (XI) 00סס,1

Rend. (Y) -0,9802 00סס,1

Mazorcas (X2) -0,8094 0,8597

Granos (X) 0,7490 -0,7856

Mazorcas (X) Granos (X))

00סס,1

-0,9705 00סס,1

Según los datos anteriores la variable independiente que está mayormentecorrelacionada con Y es el distanciamiento (X), con un coeficiente de correlaciónmuy alto -0,9802. El signo negativo señala que las tendencias entre las variablesson opuestas; es decir, al aumentar la separación o distancia entre las plantasdisminuye el rendimiento. Lo mismo ocurre con la relación entre la Distancia(Xl)"¡ el número de mazorcas por metro cuadrado (X2); sin embargo el hecho deque la correlación entre Distancia (Xl) y el número de granos por mazorca (X~sea de signo positivo sugiere que si bien cuando se aumenta la distancia entre las

356


plantas disminuye el número de mazorca por metro cuadrado (X2)' el tamaño opeso de mazorcas obtenidas a baja densidad de siembra (distancia de separacióngrande) debe ser mayor, ya que el número de granos por mazorca aumentacuando la separación entre las plantas es mayor.

9.-Con un ejercicio asignado por su profesor realice lassiguientes actividades .

.-Hacer un diagrama de esparcimiento sobre una gráfica

.-Calcular la ecuación de regresión por el método de los mínimos cuadradosutilizado de matrices y vectores .

.- Establecer hipótesis y supuesto~·respectivos

.-Esquema de Anavar.

.-Prueba de hipótesis .

.- Bondad de Ajuste delmodelo.

.- Interpretación.

357

Capítulo 13

ANÁLISIS DE COV ARIANZA

Introducción

Así como el análisis de la varianza se presentó como una metodología otécnica sencilla que se utiliza para obtener información, en este tema se tratará dedescribir de manera sencilla otro tipo de análisis que es de gran utilidad en lainvestigación agrícola, el cual se refiere como Análisis de Covarianza y representaotra de las técnicas que puede ser utilizada con el objeto de reducir la varianzaexperimental.

En la respuesta de un ser vivo (planta o animal) sometido en un ensayo a laaplicación de unos tratamientos, influyen una serie de factores que pueden sermedidos o cuantificados por el investigador; muchos de estos factores pueden asu vez ser controlados por el Diseño Experimental que se esté usando, otras encambio a pesar de que pueden ser observadas y medidas no son, sin embargo,controlables como fuentes de variación del diseño, a este tipo de factores se lesdenomina covariables o variables concomitantes.

Si se denomina Y a la respuesta que el sujeto de investigación (animal oplanta) da a la aplicación de un tratamiento cualquiera, se puede denominar comoX el efecto de otro factor que pueda estar actuando. Véase el siguiente par deejemplos:

':-Si se aplican dosis diferenciales de fertilizantes a un cultivo; el rendimiento(Y) que produzca el cultivo como respuesta, pudiese estar influenciado por laacción real del fertilizante en sí como también por el número de plantas presentesen la unidad experimental o parcela.

,~Si se desea medir el efecto de varias raciones alimenticias (con distintosvalores de proteína por ejemplo), se escogen un grupo de animales, se pesan alinicio del ensayo y posteriormente al concluir el período experimental, la diferencia

359

Dr. Frank/in Chacin

entre estas dos pesadas sería la respuesta de los animales a la aplicación de lasdistintas raciones puede deberse a un efecto real de los tratamientos (Y) osencillamente el peso final podía estar afectado por el peso inicial (X).

En ambas situaciones al investigador lo que le interesa escomparar la bondadde los tratamientos, respuesta de plantas o animales a la aplicación de lostratamientos (variable Y) libre del efecto de la covariable X (número de plantas ypeso inicial, en los ejemplos). Para ello tiene que recurrir al Análisis de Covarianza,la cual es una metodología sencilla que hace uso de conceptos conocidos talescomo Análisis de Varianza y Análisis de Regresión, permitiendo comparacionesde los tratamientos libres del efecto de la covariable.

La covarianza tiene otra aplicación importante en Investigación Agrícolacuando se usa como método para la obtención (estimación) de datos faltantes enun expenmento.

Modelo y Supuestos básicos del Análisis de Covarianza

El modelo lineal aditivo para cualquier diseño es el mismo que correspondeal análisisde Varianza, pero lleva un término adicional correspondiente a lavariableconcomitante. A continuación se presentan los modelos correspondientes a lostres diseños clásicos:

* Completamente aleatorizado.

* Bloques al azar

':. Cuadrado latino

360


Desarrollo del Análisis de Covarianza

La metodología en términos generales consiste en los siguientes pasos:

,:.Hacer análisis conjunto de Varianza y Covarianza.~.Con los datos correspondientes al error experimental (EE), realizaruna prueba de significación para la regresión que indique si hay o noefecto de la covariable.':.Realizar una prueba de significación de tratamientos corregidos.*Ajustar los rendimientos, usando la ecuación de regresión transformada.,¡. Hacer comparaciones de medias ajustadas.

Con el uso de algunos ejemplos numéricos se ciemostrará el uso J..:. éstametodología.

Ejemplo de Análisis de Covarianza en Diseños CompletamenteAleatorizados.

Suponga que se realiza un ensayo comparativo de selecciones de algodón yse obtiene información sobre rendimiento (Y)y porcentaje de infestación (X) deuna enfermedad causada por un hongo. (Tabla 13.1). Las diferencias entre lostratamientos pudieran deberse a efectos genéticos reales de producción entre lasselecciones o sencillamente a que algunas son más atacadas que otras en el hongo.Para establecer si este último ocurre, se procede de la siguiente manera:

361

Dr. Franklin Chacin

Tabla 13.1 Datos de un diseño completamente aleatorizado en presencia de unacovariable.

SELECCIONES DE ALGODÓNParcela A B C D E

X Y X Y X Y X Y X Y

1 30 80 42 77 30 80 38 90 38 872 64 73 56 74 32 66 26 76 16 753 54 70 60 75 28 79 34 87 36 724 48 79 46 86 32 90 12 96 16 915 gg 71 64 77 56 72 32 89 2H 906 40 74 32 73 28 76 42 80 32 73

Totales 324 447 300 462 206 463 184 618 166 488

~>=IIOO X =39,30 ¿Y =2378 Y = 79,27

362


Aplicación del Procedimiento:

Primer Paso:

Se determinan las sumas de cuadrados para ambas variables X e Y por lavía usual y las sumas de productos de la siguiente manera:

,~Suma de Productos para el total:

(1180x2378)SPTotal=[(30x80)+(64x73)+ ...+(32x73)]- 30 =-1679

,(Suma de Productos para selecciones de algodón (tratamientos)

SPTrat = ~[(324x447)+ ...+(166x488)] - F.C.= -1014

* Suma de productos para el error

SPEE = SPTotal- SPTrat = -1679 - (-1014) = -683

Con estos datos se construye la tabla siguiente:

F.de V. G. de L. SCX SPXY SCY

Selecciones (T) 4 3391 -1014 519Error (E) 25 4412 -683 1183Total 29 7803 -1697 1702

Ahora se puede probar la hipótesis (Ho) para las medias de rendimiento(Y)y porcentaje de infestación (X).

363


519/4 129,75Fy = 1183/25 = 4732 = 2,74(n.s.),

3391/4 847,75F = = = 4 80*

x 4412/25 176,49 '

El análisis sin ajuste por covariable indica que no hay diferencias entre lasmedias de rendimientos de las selecciones (no serechaza Ho), pero si hay diferenciasentre las medias correspondientes a los porcentajes de infestación; es decir, elcomportamiento de las selecciones con relación al ataque del hongo es diferente(se rechaza Ho).

Segundo paso:

Para poder establecer si el efecto del porcentaje diferencial de ataque dehongos afecta la producción se debe hacer una prueba de significación pararegresión:

F.deV. G. de L. S. deC. C.M. F Fe

Regresión 1 105,73 105,73 2,36 2,49Desv. de Reg. 24 1077,27 44,83Residual 25 1183

Se utilizan los datos del Error Experimental del cuadro anterior.

-. Suma de Cuadrados para efecto de regresión

(SPXYEt (-683)2SCReg = = = 105 73

SCXE 4412 '

364


-. Suma de cuadrados para desviaciones desde la regresión

SCD = SCYE - SCR = 1183 -105,73 = 1077,27

Este análisis revela que a pesar de que el comportamiento de las seleccionesfrente al ataque del hongo es diferente, este hecho no afecta mayormente laproducción (2,36 < 2,49); es decir, se puede hacer las comparaciones de mediascon los datos originales sin ajustes por covarianza. No obstante para seguirdemostrando el método se supone que si hubo significación para la regresión dey sobre X; es decir efecto del porcentaje de infestación sobre el rendimiento.

Tercer Paso:

El siguiente paso consiste en hacer una prueba de significación paratratamientos ajustados.

F.de V. G. de L. S. de C. C.M. F

Tratamientos(T ') 4 255,73 64 1,43(n.s.)Error(E ') 24 1077,27 44,9(T + E)' 28 1333,00

En este análisis sepierde un grado de libertad, el que se usó para la regresión.

-. Suma de Cuadrados de (T + E) corregido.

(SPXYtotal)2 (-1697)2SC(T + E)' = SCYtotal- SCXtotál = 1702 - 7803 = 1333

-. Suma de Cuadrados del Error Corregido2(SPXYres) (-683)

SCE'=SCYres- =1183- =1077,27SCXres 4412

365

Dr. Frank/in Chacin

-. Suma de Cuadrados de tratamiento Corregido

SCT' = SC(T + E)'-SCE' = 1033,00 -1077,27 = 255,73

En este caso no hay diferencias válidas entre tratamientos, igual que cuandose hizo el análisis sin ajuste por covarianza; suponiendo que si hubo diferencias; senecesita hacer los correspondientes ajustes de medias de tratamientos.

Cuarto paso. Ajuste de medias:

Partiendo del modelo:

Y¡- j3 (X¡- X .. ) = jl+ r¡ + c¡

tomando el lado izquierdo de la igualdad como rendimiento libre del efecto deX y generalizando, entonces,

...••. - --Y¡ = Y¡- b(X¡- X .. )

que dará el rendimiento ajustado Y¡ de un tratamiento cualquiera, en función desu promedio original Y¡; b es el coeficiente de regresión y X es el promedio deporcentaje de infestación de dicho tratamiento y X .. es la media general de losporcentajes de infestación.

Ajustes de medias

SeleccionesABeDE

ti74,577,077;286,381,3

b(~-N:.)-0,1548(54,0 -39,3)-0,1548(50.0 -39,3)-0,1548(34,3 -39,3)-0,1548(30,7 - 39,3)-0,1548(27,7 -39,3)

SPXYE -'683b = SCX = 4412 = -0,1548

E

366

Yi - b(KiI -N ..)76,078,776,485,079,5


Q,tinto ¡xw:

Comparación de medias para la aplicación de la prueba de medias mds, eneste caso se usa como una expresión del error típico de la diferencia de dosmedias la siguiente ex resión:.-~~~--------------~I[ 1 1 (XI-X2)2]Sd = CME -+ -+-'------"--

ni n2 SCXE

Donde CME I = varianza del Error Experimental en la prueba de significaciónpara tratamientos corregidos.XI = promedio de % de infestación de una selección (tratamiento)X2 = promedio de % de infestación de la otra selección (tratamiento)ni y n

2= número de observaciones para los tratamientos respeccivos,

SCXE = Suma de Cuadrados para X del primer análisis.

En este caso como no hay diferencias significativas entre tratamientos(selecciones) no es necesario hacer comparaciones de medias.

Ejemplo de Análisis de Covarianza en Diseños en Bloques Aleatorios

Sea un ensayo comparativo de seis variedades de papas del cual se obtienerendimientos (Y)y número de plantas por parcela (X).

\

367

Dr. Frank/in Chacin

Tabla 13.2 Datos de un diseño en bloques aleatorizados en presencia de una covariable.

VariedadesII III IV Totales

X y X Y X Y X Y X Y

A n 202 22 165 27 191 19 134 % 692

B 23 145 26 201 28 203 24 180 101 729

e 27 186 24 185 l7 185 28 220 106 778

D 24 201 28 231 30 238 30 261 112 93!

E 30 202 26 178 26 198 29 226 111 904

F 30 228 25 221 l7 207 24 204 106 860

Totales 162 1166 151 1181 165 1222 154 1225 632 4794

X: .. = 632/ 24 = 26,33

Primer Paso:

Se obtienen las sumas de productos y Sumas de Cuadrados de rutina.

':-Suma de Productos para el total:

(632x4794)SPTotal = [(28x202)+ ...+(24x204)]- 24 = 1405

* Suma de Productos para repeticiones

1SPRep = -[(162x 1166)+ ...+(154 x 1225)] - F.C.= 8,50

6

368


~-Suma de Productos para tratamientos

SPTrat = ~[(96x692)+ ...+(106x860)]- F.C.= 559,25

::-Suma de productos para el error

SPEE = SPTota!-SPRep-SPTrat = 1485-8,50-559,25 = 917,25


F.de V. G. de L. SCYSCX SPXY

TotalRepeticionesSelecciones (T)Error (E)T+E

23351520

181,3321,6745,83113,83159,66

14858,50

559,25917,25

1476,50

18678,50436,179440,008752,3318242,33

Ahora se puede probar la hipótesis (Ho) para rendimiento (Y) y númerode plantas (X).

9440/5 1888F = = = 324*

y 8752,33/15 583,49 '45,83/5 9,17

F = = -- = l.20n.s.x 113,83/15 7,59

El análisis sin ajuste por covariable indica que hay diferencias entre las mediasde rendimientos de las selecciones (serechaza Ho), pero no hay diferencias entrelas medias correspondientes a número de plantas (no se rechaza Ho).

369

Dr. Franklin Chacin

Segundo paso:

Prueba de significación para regresión:

F.deV. G. de L. S. de C. C.M. F

Regresión 1 7391,26 7391,26 77,57Desv. de Reg. 14 1334,07 95,29Residual 15 8725,33

Se utilizan los datos del Error Experimental del cuadro anterior.


(SPXyEr (917,252)

SCReg = = = 739125SCXE 113,83 '


En este caso si hay influencia notable del número de plantas (X) sobre elrendimiento (Y), es decir hay regresión de Y sobre X, por lo tanto se requiere. .ajustar tratarruentos.

Tercerl'aso:

Prueba de significación para tratamientos ajustados.

F.deV. G. de L. S. de C. C.M. F

Tratamientos,

5 3253,92 650,70 5,83':·':·

Error,

14 1334,07 95,29

(T + E)' 19 4587,99

370


-. Suma de Cuadrados de (f + E) corregido.

(SPXY )2 (147650)2SC(T E)' = SCY - T+E = 1824233 - ' = 4587 99+ T+E SCX ' 15966 '

~E '

-. Suma de Cuadrados del Error Corregido

(SPXY E .) (917 25)2SCE'=SCYre- =875233-' =133407

S SCX E ' 113,83 '

-. Suma de Cuadrados de tratamiento Corregido

SCT' = SC(T + E) - SCE' = 4587,99 -1334,07 = 3253,92

El ajuste hecho a los tratamientos aumenta la significación entre los mismos.

Cuarto paso. Ajuste de medias:

Partiendo del modelo:


~ - -Y¡ = Y¡- b(X¡ - X .. )

VariedadesABCDEF

Yi173,00182,25194,50232,75201,10215,00

Ajustes de medias

b(Xi - X ..)8,05 (24,00 - 26,33)8,05 (25,25 - 26,33)8,05 (26,50 -26,33)8,05 (28,00 - 26,33)8,05 (27,75 -26,33)8,05 (26,50 - 26,33)

Yi - b(Xi - X ..)191,80191,00193,10219,30189,60213,60

371

Dr. Frank/in Chacin

x = 26,33

b = _S_PX_Y",-ESCXE

917,25113,83 = 8,05

Quintopaso:

Comparación de medias para la aplicación de la prueba de medias mds, eneste caso se usa como una expresión del error tÍpico de la diferencia de dosmedias la siguiente ex resión:r-~~~---------------=

Sd = CME/[_1 +_1 + (XI-X2)2]ni n2 SCXE

Donde CME' = varianza del error experimental en la prueba de significaciónpara tratamientos corregidos.XI = promedio de plantas de una variedad (tratamiento)X2 = promedio de plantas de la otra variedad (tratamiento)nI y n2 = número de observaciones para los tratamientos respectivos.SCXE = Suma de Cuadrados para la covariable.

En el ejemplo, si se compara la media de D con la de E:

[1 1 (28,00-27,75)2]

Sd = 9529 - + - + = 5 64, 6 6 11383 ',

219,30-189,601:c= = 5 27 * *

5,64 'I,ab = 2,62 Y 2,98

Para niveles de significación de 0,05 y 0,01 respectivamente.

Existen diferencias, altamente significativas entre D y E los cuales son losrendimientos extremos. Se procede de igual forma para las otras comparacionesposibles.

372


Ejemplo de Análisis de Covarianza en Diseños Cuadrados Latinos

Resultados en lb-parcela (Y) y número de plantas en un ensayo de seis líneasde maíz (datos tornadas de Federer).

Tabla 13.3.Datos de un diseño en cuadrados latinos en presencia de una covariable.

Línea A B e D E F Total

X 15 16 18 14 15 17 96Y 8,6 7,5 6,7 6,5 8,2 4,7 42,2

Línea B e o E F AX 16 15 16 19 21 14 101Y 7,6 8,2 8,3 4,6 5,2 6,5 40,4

Linea e D E F A BX 15 16 16 19 15 17 98Y 5,7 9,6 7,1 4,8 7,5 7,5 42,2

Línea D E F A B ex 18 18 20 18 22 17 113Y 8,3 5,3 10,0 6,8 7,8 6,6 44,8

Linea E F A B e Dx 15 18 19 16 16 15 99Y 8,3 7,9 5,4 9,3 4,8 8,0 43,7

Línea F A B e o EX 18 20 19 17 17 15 106Y 5,7 8,7 8,1 6,1 7,2 7,4 43,2

X 100 103 108 h03 106 95 615Y 44,2 47,2 45,6 38,1 40,7 40,7 256,5

TOTALESDETRATAMIENTOS

Linea A B e D E FX 102 98 102 100 !O! 112Y 42,5 49,3 42,5 45,7 45,4 31,1

373

Dr. Franklin Chacin

PrimerPaso:

Sumas de productos y Sumas de Cuadrados

-. Suma de Productos para el total:

[( ) ( ](615x256,5)

SPTotal= 18x8,6+ ...+15x7,4) - 36 =-10175

-. Suma de Productos para Filas:

1SPFilas = 6[(98x42,2)+ ...+(106x43,2)] - F.C.= 4708

-. Suma de Productos de Columnas:

1SPCol = 6[(100x44,2)+ ...+(95x40,7)] - F.C = 3358

-. Suma de Productos para tratamientos

SPTrat = ~[(102x42,5)+ ...+(112 x31,l)] - F.C.= -25208

-. Suma de productos para el error

SPEE = SPTotal- SPRep- SPTrat = -10 175 - 4708 - 3358 - (-25208) = 6967


F.de V. G. de L. SCX SPXY SCY

Total 35 134750 -10175 73260Filas 5 29503 4708 1906Columnas 5 17583 3358 10010Tratamientos (T) 5 19917 -25208 32413Error (E) 20 67677 6967 28939T+E 25 87594 -18241 61352

374


32413/5 6482,60F - - - 4 48**

y - 28939/20 - 1446,95 - ,

19917/5 3983,40F, = 67677/20 = 338385 = 1,18(n.s.),F;ab = 2,71 Y 4,10.

El análisis sin ajuste por covariable indica que hay diferencias entre las mediasde los tratamientos (se rechaza Ho), pero no hay diferencias entre las mediascorrespondientes a número de plantas (no se rechaza Ho).

Segundo paso:

Prueba de significación para regresión:

F.dev. G. de L. s. deC. C.M. F

Regresión 1Desv. de Reg. 19Residual 20

717;2228221,78

717;221185,36

<1


(SPXYE r (69672)

SCReg = = = 717 22SCXE 67677 '


SCD = SCYE - SCR = 28939,00 -717,22 = 28221,78

En este caso no hay influencia notable del número de plantas (X) sobre elrendimiento (Y); es decir, no hay regresión de Y sobre X, por lo tanto no serequiere ajustar tratamientos. En consecuencia el resto del análisis se hace con losrendimientos iniciales (sin ajustar).

375

Dr. Franklin Chacin

Tercer Paso:

Prueba de significación para tratamientos ajustados.

Se procede de la misma manera que en los casos anteriores, esto se haría siel análisis anterior lo hubiese indicado necesario.

Cuartopaso. Ajuste de medias:

Se procede igual que en los casos anteriores usando el modelo:


" - --Y¡ = Y¡- b(X¡- X..)

Comparación de medias ajustadas.

Se procede igual que en los casos anteriores, usando la expresión:

Sd = [2 (X X)2 ]CME' -+ 1- 2r SCXE

/

376


TÉCNICA PARA LA PARCELA FALTANTE

En muchos experimentos debido a situaciones inesperadas pueden perderseuna o varias unidades experimentales. Tales perturbaciones pueden ocurrir debidoa muchas razones tales como, aguachinamiento de la parcela, enfermedades, plagas,muerte de los animales que constituyen la unidad experimental, etc.

Existen métodos desarrollados para analizar datos bajo estas situacionespero generalmente estos métodos son complicados. Existe otra serie de métodosmás sencillos que permiten estimar el valor de la parcela perdida y realizar losanalisis sin que se pierda el grado de balanceo o simetría de los procedimientosanalíticos.

La situación que ocurre másjreaentemenieesaqudla en laquefalta unaobsertaaón:

En este caso se debe emplear un método que permita estimar un valor quereemplace a la observación faltante y después proceder con el análisis usual. Elprocedimiento de estimación de la observación faltante, comúnmente usado porlos estadísticos consiste en asignar aquel valor de la observación faltante que reduzcala suma de cuadrados del error experimental cuando se efectúa el análisis devarianza. Desde el punto de vista matemático este resulta ser un problema que seresuelve mediante el cálculo diferencial representando como OFa la observaciónfaltante, calculando la expresión algebraica de la suma de cuadrados del errorexperimental, derivando esta ecuación con respecto a OFe igualando a ceropara obtener una solución.

El procedimiento puede resumirse a la siguiente fórmula, la cual proporcionauna estimación de la observación faltante de acuerdo con el principio anterior.

rr- bB-SOF=----

(t-l)(b-l)(13.1)

377

Dr. Franklin Chacin

t = número de tratamientos.b = número de bloques.T = suma de observaciones con el mismo tratamiento como laobservación faltante.B = suma de observaciones con el mismo bloque como la observaciónfaltante.S = suma de todas las observaciones reales.

Este valor de OF se anota posteriormente en el sitio adecuado en la tabla dedatos y los datos se analizan en la forma acostumbrada, tomando en cuenta queel error experimental pierde un grado de libertad debido a la estimación de laobservación perdida, por consiguiente los grados de libertad para el errorexperimental en un diseño en bloques al azar serán (t -1)(b -1) - 1Ylos grados delibertad para el total son (bt - 2).

El segundo cambio es un poco más complicado de aplicar. Antes de detallareste cambio es necesario que se discuta que es y porque es necesario. Puededemostrarse que bajo la hipótesis nula, el valor esperado de SCTrat/(t-1); esdecir, el cuadrado medio de tratamiento, calculado a partir de los datosaumentados es mayor que S2 , el cuadrado medio del Error Experimental. Si estoes así, cualquier prueba de hipótesis que sea correcta pero que sea hecha de estaforma, será una prueba sesgada ya lo sumo puede ser considerada aproximada.La corrección de estos sesgos, el segundo cambio mencionado anteriormente,consiste en disminuir la suma de cuadrados de tratamiento en la cantidad:

[B - (t -l)OFrCorreccion por sesgo = Se = ( )

t t - 1(13.2)

Por lo tanto la nueva suma de cuadrados de tratamientos será/

SCTrat' = SCTrat-Se

y finalmente se obtiene el Análisis de Varianza siguiente:

378

Diseño .YAnálisis MExperimentos 13

re.-F.de V. G. d~-'L. SC i)lCM

g2:'F

Trar t - 1 SCTrar,

CMtrat,

;>:ltCMTtrat' /CMEEBloque b - 1 SCBloq CMBloqEE (t-I) (bf'l)-l SCEE :51 CMEE f~Total bn- 2 SCTotal ;1 . ) .

- .<

)h n'l'sI j 5D

Ejemplo práctico sobre-técnicas para parcelas faltantes;2 n;

Tabla ~3A.Datos sobre u&1 experimento realizado con seis variedades deSoya con cuatro repeticiones en un Diseño Experimental en Bloques. Los datosestán dados en Kg-parcela. ¡Jfj eb:

TO_ Tl2:;,

·OIL )¿(..

TRA TAMIENfOS J51

REP 1 2 jfi.3 4 );5 6 Totales1 24 23 '1"1'3 28 d:¡30 41 146II 18 17 ;~T 17 19 Ji)J;19 18 108II 41 41 [25149 39 l5c19 18 207IV 46 69 ~ .074 58 ~qI~54 59 360Totales 129 150 tuo168 1163uj 122 136 821

''10,Estimación de la parcela fultcrnte

tT+bB-S 6(116)+4(146)-821OF = =. = 30 6

(t-l)(b-l) 5x3 '

,1-=-1

La corrección por sesgos en la suma de cuadrados de tratamiento seríaentonces:

379

( . . ]2' [' r ~2B - tB--lt)OF 146-:-5x~O,6 .Correccion.pce sesgo=a S, =) . ='~ = 1,63:

t(t-il) 6x5t,x,

Puede.seguirse elsnismo pnocedimiento.generai, usando eltcálculo paraobteabrestrmaoicneso Sepúeden calcular: también las estimaciones a través dernétodós iterativos,.quep-rappocionen resultados equivalentes. Supongase que faltandos valores; para!llllO de ellos.se sustituye.la media de todas las observacionesregistradasyauego~tima,d:segundo:v..alorfaltaÍlte usando la ecuación (13.1).Coloque esaestimaciónemsulugar adecuado.de la tabla, lleve.lamedia general desu posiciórial lugar 4elapri~enmbservación faltanre y después.estime un valorde laprsmeraoobsercación.fáltante usando de nuevo laecuación :(13.1).Aproximadamente después ;deoosciclos seencomrará.muy poc~,o ningún cambio ..entre dosestimacionessucesivasdel mismo valor fultante. Al Ilegar aeste punto::se tienen losvalores' estimados definitivos, Este procedimiento puede generalizarseIácilmenraacasos erolos que f:Pteh tres o más observaciones. '.-

Sin émbargo hay otros cambios que son necesarios, ante todo se debenreducir los grados de .libertad asociados con el error experimental como con eltotal, en elnúmero de observaciones estimadas. También debe reducirse la Sumade CUadrados de Tratamiento en una cantidad especificada a fin de corregir porlos sesgos incorporados por el procedimiento. Si se tienen dos observacionesfaltantes (no eneLmismo bloque) la corrección necesaria para-los sesgos vienedada por:

. . [B' -(t-l)OF,r+IBL'-(t-ljOF'lj2Corréocion por sesgo.st.S, =, _ . J

t(t -1-) .

380'· ,


donde

OF' = Primera observación faltante.OF' , = Segunda observación faltante.B' = total de las observaciones en el mismo bloque en que sepresenta la primeraobservación faltante.B" = total de las observaciones en el mismo bloque en que sepresenta la segundaobservación faltante.

Aplicación de la Covarianza en la estimación de datos faltantes

Para usar el análisis de covarianza para estimar datos faltantes se supone unavariable X relacionada con otra Y, los valores de X son ceros para todos losvalores presentes y -1 para el faltan te, para la variable Y se coloca O en. el par dedatos faltante y se colocan los valores reales en los demás casos. Las sumas deproductos y las sumas de cuadrados se calculan de la forma convencional yfinalmente trabajando con los datos del Error Experimental secalcula el coeficienteb, ignorando el signo de la suma de productos; este valor representa el valorestimado del dato faltante.

Suponga un diseño en bloques al azar con un valor perdido: parcela deltratamiento A en la repetición ID. Tabla 13.5.

381

Dr. Franklin Chacin

Tabla 13.5. Datas de ejercicio de aplicación de covarianza para la estimación dedatas faltantes

REPETICIONESTrata- 1 II III IV Vrruentos X Y X Y X Y X Y Totales

A O 6 O 7 -1 O O 9 -1 22B O 2 O 5 O 4 O 5 O 12C O 8 O 7 O 9 O 6 O 30D O 3 O 7 O 5 O 5 O 20

O 19 O 26 -1 18 O 25 -1 84

ANA VAR Y ANCOVA

F.deV. SCYG. de L. SCX SPXY

TotalRep.Trat.

ErrorT+E

1533912

1-(1/16)= 15/16(1/4)-(1/16) = 3/16(1/4)-(1116) = 3/169/16

5,370,87-0,124,514,39

27,759,2518,7559,7579,50

El dato faltante es obtenido;

SPXYE 4,51b = SCX

E= 9/16 = 8,1

Este sería el valor estimado de Y correspondiente a la parcela del tratamientoA en la repetición III.

A continuación se mostrará otro ejemplo correspondiente a los datas decontenido de ácido ascórbico en mili gramos por 100 grs. de peso seco en tresvariedades de vainita.

382


-Tabla 13.6. Datos de otro ejercicio de aplicación de covarianza para la estimaciónde datos faltantes.

REPETICIONESTrata- 1 II III IV Vmientos X Y X Y X Y X Y X Y

A -1 O O 887 O 897 O 850 O 975B O 857 O 1189 O 918 O 968 O 909C O 917 O 1072 O 975 O 930 O 954

-1 1774 O 3148 O 2790 O 2748 O 2838

ANA VAR YANCOVA

F.deV. G. de L. SCX SPXY SCY

Total 14 1-(1115)= 14/15 -886,53 945,296Rep. 4 (113)-(1115) = 4/15 -295,20 359,823Trat. 2 (1/5)-(1115) =2/15 -164,73 206,533Error 8 8/15 -426,60 381,940T+E 10 -591,33 1893,592

La estimación del dato faltante esobtenido y su valor secalcula de la siguientemanera:

SPXY E 426,60b = SCX = 8/15 = 800

E

383

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387

Anexos

Tabla A: Valores del estadístico de Wilk y shapiro

n 0.01 0.02 0.05 0.10 0.50 0.90 0.95 0.98 0.993 0.753 0.756 0.767 0.789 0.959 0.998 0.999 I.OO()" 1.0004 .687 .707 .748 .792 .935 .987 .992 .996 .9975 .686 .715 .762 .806 .927 .979 .986 .991 .9936 .713 0.743 0.788 0.826 0.927 0.974 0.981 0.986 0.9897 .730 .76;) .803 .838 .928 .972 .979 .985 .9888 .749 .778 .818 .851 .932 .972 .978 .984 .9879 .764 .791 .829 .859 .935 .972 .978 .984 .98610 .781 .806 .842 .869 .938 .972 .978 .983 .98611 0.792 0.817 0.850 0.876 0.940 0.973 0.979 0.984 0.98612 .805 .828 .859 .833 .943 .973 .979 .984 .98613 .814 .937 .866 .889 .945 .974 .979 .984 .98614 .825 .846 .874 .895 .947 .975 .980 .984 .98615 .835 .855 .881 .901 .950 .975 .980 .984 .98716 0.844 0.863 0.887 0.906 0.952 0.976 0.981 0.985 0.98717 .851 .869 .892 .910 .954 ."J77 .981 .985 .98718 .858 .874 .897 .914 .956 .978 .982 .986 .98819 .863 .879 .901 .917 .957 .978 .982 .986 .98820 .868 .884 .905 .920 .959 .979 .983 .986 .98821 0.873 0.888 0.908 0.923 .960 0.980 0.983 0.987 0.98922 .878 .892 .911 .926 .961 .980 .984 .987 .98923 .881 .895 .914 .928 .962 .981 .984 .987 .98924 .884 .898 .916 .930 .963 .981 .984 .987 .98925 .888 901 .918 .931 .964 .981 .985 .988 .98926 0.891 0.904 0.920 0.933 0.965 0.982 0.985 0.988 0.98927 .894 .906 .923 .935 .965 .982 .985 .988 .99028 .896 .908 .924 .936 .966 .982 .985 .988 .99029 .898 .910 .926 .937 .966 .982 .985 .988 .99030 .')00 .912 .927 .939 .967 .983 .985 .988 .90031 0.902 0.914 0.929 0.940 0.967 0.983 0.986 0.988 0.99032 .904 .915 .930 .941 .968 .983 .986 .988 .99033 .906 .917 .931 .942 .968 .983 .986 .989 .99034 .908 .919 .933 .943 .969 .983 .986 .989 .99035 .910 .920 .934 .944 .969 .984 .986 .989 .99036 0.912 0.922 0.935 0.945 0.970 0.984 0.986 0.989 0.99037 .914 .924 .936 .946 .970 .984 .987 .989 .99038 .916 .925 .938 .947 .971 .984 .987 .989 .99039 .917 .927 .939 .948 .971 .984 .987 .989 .99140 .919 .928 .940 .949 .972 .985 .987 .989 .99141 0.920 0.929 0941 0.950 9.972 0.985 0.987 0.989 0.99142 .922 .930 .942 .951 .972 .985 .987 .989 .99143 .923 .932 .943 .951 .973 .985 .987 .990 .99144 .924 .933 .944 .952 .973 .985 .987 .990 .99145 .926 .934 .945 .953 .973 .985 .988 .990 .99146 0.927 0.935 0.945 0.953 0.974 0.985 0.988 0.990 0.99147 .928 .936 .946 .954 .974 .985 .988 .990 .99148 .929 .937 .947 .954 .974 .985 .988 .990 .99149 .929 .937 .947 .955 .974 .985 .988 .990 .99150 .930 .938 .947 .955 .974 .985 .988 .990 .991

Tabla 8: Valores del estadístico para la Prueba de Cochran a un nivel de significación del 5%

k\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 37 145 X

2 O.99KI 0.9710 0.9392 0.9057 0.8772 085H 0.8332 0.811Y 0.8010 0.7880 0.7341 0.6602 O.IKI3 O.lOOQ3 O.966Y 0.87OY 0.7977 O.74S7 0.7071 0.6771 0.6130 0.6])3 0.6167 0.6021 0.5466 0.4748 0.4031 O.33D• 0.9065 0.7679 0.6841 0.6287 0.1891 05598 0.5365 05175 0.1017 0.4884 0.4366 0.3720 0.3OY3 0.2\00

I 0.8412 0.6838 0.5981 0.54'1 0.1065 0.'783 0.'56< 0.4387 0.4241 0.4118 0.3641 0.3066 0.2113 0.20'J()6 0.7808 0.6161 O.l32 1 0.'803 0.4447 0.4184 0.3980 0.3817 0.3682 0.3l68 0.313l 0.2612 0.2119 0.16677 0.7271 0.5612 0.4800 0.4307 0.3974 0..3726 0.3l3l 0.338. 0.32l9 0.31l4 0.27l6 0.2278 0.18]) 0.1429

8 0.6798 0.lll7 0.4377 0.3910 0.3l9l 0..3362 0.318l 0.3043 0.2926 0.2829 0.2462 0.2022 0.1616 0.12509 0.638l 0.477l 0.4027 0.358' 0.3286 0.3067 0.2901 0.2768 0.26l9 0.2l68 0.2226 0.1820 0.0446 0.111110 0.6020 0.44l0 0.37)3 0.])11 0.302Y 0.2823 0.2666 0.2l41 0.2439 0.23l3 0.2032 0.165l 0.1308 0.1000

12 0.l410 0.3924 0.3264 0.2880 0.2624 0.243Y 0.2299 0.2187 0.2098 0.2020 0.1737 0.1403 0.1100 0.083315 0.4709 0.3346 0.2758 0.2419 0.2195 0.2034 0.1911 0.181l 0.1736 0.1671 0.1429 0.1144 0.0889 0.066720 0.38Y4 0.270l 0.220l O.IYlI 0.1735 0.1602 0.1501 0.1422 0.1Jl7 0.1303 0.1108 0.0879 0.067l O.O\o(¡

24 0.3434 0.23l' 0.1907 0.1656 0.1493 0.1374 0.1286 0.1216 0.1160 0.1113 0.09'2 0.0743 0.Ol67 0.041730 0.2929 0.1980 0.ll93 0.1l77 0.12)7 0.1137 0.1061 0.1002 0.O9l8 0.0921 0.0771 0.0604 0.O4l7 0.03D40 0.2370 0.ll76 0.12l9 0.1082 0.QY68 0.0887 0.0827 0.780 O.O74l 0.0713 0.Ol9l 0.0462 0.0347 002S0

60 0.1737 0.1131 0.089l 0.0765 0.0682 0.0623 0.0583 0.0552 0.Ol20 0.0497 0.041 I 0.0316 0.023. O.Ulb7120· 0.0998 0.0632 0.0495 0.0419 0.0371 0.0337 0.OJ12 0.0292 0.0279 0.0266 0.0218 0.016l 0.0120 0.0083.. O O O O O O O O O O O O O

Tabla C: Valores del estadístico para la Prueba de Cochran a un nivel de significación ¡JcI 1%

k\n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 37 145 xl

2 0.999 0.9950 0.979' 0.9586 0.9)73 O.YI72 0.8988 0.8823 0.8674 0.8l39 0.7949 0.7067 0.6062 o.scoo3 0.9933 0.9'23 0.8831 0.833l 0.79)) 0.7606 0.7)3l 0.7117 0.6912 0.67'3 0.6Ol9 0.lll3 0.4230 0.33334 0.9676 0.8643 0.781' 0.7212 0.6761 0.6410 0.6129 0.l897 0.l702 0.ll36 0.488' 0.40l7 O.32ll o.zsoo

5 0.9279 0.788l 0.6957 0.6329' 0.1875 0.1531 0.1259 O.lO)7 0.'85' 0.4697 0.4OY4 o.nn 0.2644 0.2M6 0.8828 0.7218 0.6258 0.5635 O.ll9l 0.4866 0.4608 0.4401 0.'229 0.408' 0.3529 0.28l8 0.2229 0.16677 0.8376 0.664' 0.568l O.lO80 0.46l9 0.4347 0.4105 0.3YII 0.3751 0.3616 0.3105 0.2.94 0.1929 0.1429

8 0.7945 0.6142 0.5209 0.,627 0.4226 0 ..3932 0.3704 0.3l22 0.337) 0.32'8 0.2779 0.2214 0.1700 0.12l09 0.7544 0.5727 0.4810 0.4251 0.3870 0.3592 0.3378 0.3207 0.3067 0.29l0 0.251' 0.1992 0.1521 0111110 0.7175 0.5358 0.4469 0.393' 0.3872 0.3308 0.3106 0.2Y45 0.2813 0.2704 0.2297 0.1811 0.1376 0.1000

12 0.6528 0.4751 0.3919 0.3428 0.J09Y 0.2861 0.2680 0.2l25 0.2'19 0.2320 0.IY61 0.153l 0.lIl7 0.08])Il 0.1747 0.4069 0.3317 0.2882 0.2593 0.2386 0.2228 0.2104 0.2002 0.1918 0.1612 0.1251 0.0934 0.066720 0.4799 0.3297 0.2654 0.2288 0.2048 0.1877 0.1748 0.16<6 0.1567 o.iso: 0.12'8 O.OY60 0.0709 0.0100

24 0.4247 0.2871 0.2295 0.1970 0.17l9 0.1608 0.149l 0.1406 0.1))8 0.1283 0.1060 0.0810 0.Ol95 0.041730 0.3632 0.2412 0.1913 0.1635 0.l4l4 0.1327 0.JlJ2 0.1117 0.1100 0.IOl4 0.0867 0.O6l8 0.0480 0.0)))40 0.2940 0.1915 0.1508 0.1281 o.uss 0.1033 0.O9l7 0.0898 O.08lJ 0.0816 0.0868 0.OlO3 0.0363 0.0250

60 0.2151 0.1371 0.1069 0.0902 0.0796 0.0722 0.0668 0.0625 O.Ol94 0.0567 0.0461 0.0344 0.0245 0.0167120 0.1225 0.0759 0.0585 0.048Y 0.0429 0.0387 0.0357 0.0334 0.0316 0.0302 0.0242 0.0178 0.0125 O.ooID.. O O O O O O O O O O O O O

Tabla D: Valores del estadístico de Pearson y Hanley a un nivel de significación del 5%

~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12

2 39.0 87.5 142 202 266 333 403 475 550 626 7043 15.4 27.8 39.2 50.7 62.0 72.9 83.5 93.9 104 114 1244 9.60 15.5 20.6 25.2 29.5 33.6 37.5 41.1 44.6 14.0 51.45 7.15 10.8 13.7 16.3 18.5 20.8 22.9 24.7 26.5 28.2 29.9

6 5.82 8.38 10.4 12.1 13.7 15.0 16.3 17.5 18.6 19.7 20.77 4.99 6.94 8.44 9.17 10.8 11.8 12.7 13.5 14.3 15.1 15.88 4.43 6.00 7.18 8.12 9.03 9.78 10.5 11.1 11.7 12.2 12.79 4.03 5.34 6.31 7.11 7.80 8.41 8.95 9.45 9.91 10.3 10.710 3.72 4.85 5.67 6.34 6.92 7.42 7.87 8.28 8.66 9.01 9.34

12 3.28 4.16 4.79 5.30 5.72 6.09 6.42 S.72 7.00 7.25 7.4815 2.86 3.54 4.01 4.37 4.68 4.95 5.19 5.40 5.59 5.77 5.9320 2.46 2.95 3.29 3.54 3.76 3.94 4.10 4.24 4.37 4.49 4.5930 2.07 2.40 2.61 2.78 2.91 3.02 3.12 3.21 3.29 3.36 3.3960 1.67 1.85 1.96 2.04 2.11 2.17 2.22 2.26 2.30 2.33 2.36

00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Tabla E: Valores del estadístico de Pearson y HartIey a un nivel de significación del 1%

~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 199 448 729 1036 1362 1705 2063 2432 2813 3204 36053 47.5 85 120 151 184 21(6) 24(9) 28(1) 31(0) 33(7) 36(1)4 23.2 37 49 59 69 79 89 97 106 113 1205 14.9 23 28 33 38 42 46 50 54 57 60

6 11.4 15.5 19.1 22 25 27 30 32 34 36 377 8.89 12.1 . 14.5 16.5 18.4 20 22 23 24 26 278 7.50 9.9 11.7 13.2 14.5 15.8 16.9 17.9 18.9 19.8 219 6.54 8.5 9.9 11.1 12.1 13.1 13.9 14.7 15.3 16.0 16.6tO 5.85 7.4 8.6 9.6 10.4 It.t 11.8 12.4 12.9 13.4 t3.9

12 4.91 6.1 6.9 7.6 8.2 8.7 9.1 9.5 9.9 10.2 10.615 4.07 4.9 5.5 6.0 6.4 6.7 7.1 7.3 7.5 7.8 8.020 3.32 3.8 4.3 4.6 4.9 5.1 5.3 5.5 5.6 5.8 5.930 2.63 3.0 3.3 3.4 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.260 1.96 2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.5 2.6 2.6 2.7 2.7

00 1.00 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

Tabla F: Puntos porcentuales superiores de la amplitud studenuzada qa = (Y_ - f••..)/S¡ )p ; número de medias de tratamiento

s/del error ,O ".OS 3.64 4.60 5.22 S.61 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 7.17.01 S.70 6.91 1.80 8.42 8.91 9.32 9.61 9.91 10.24 10.48

.05 ).46 4.34 4.90 5.3' 5.63 5.89 6.'2 6.32 6.49 6.65

.0' 5.24 6.33 7.03 1.56 1.91 8.32 8.6' 8.81 9.10 9.30

.05 ).34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.6' 5.82 6.00 6.16 6.30

.01 4.95 S.92 6.54 1.0' 1.)7 1.68 7.94 8.17 8.31 8.55

.05 3.26 4.04 4.53 4.89 5.11 5.40 5.60 5.11 5.92 6.05

.01 4.74 5.63 6.20 6.63 6.96 7.24 7.47 1.68 1.81 g.03

.05 3.20 3.95 4.442 4.76 5.02 5.24 S.43 5.60 5.74 8.87

.0' 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.9' 7.13 1.32 7.49 7.65

10 .05 3.'5 3.88 4.33 4.6!i 4.91 5.'2 5.30 5.46 5.60 5.12.01 4.48 S.21 5.77 6.14 6.43 6.61 6.81 7.05 7.21 7.36

" .05 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 5.61.01 4.39 S." 5.62 5.91 6.25 6.48 6.67 6 .•.• 6.99 7.13

12 .05 3.08 ),77 4.20 4.51 4.n 4.95 5.12 5.21 S.4O S.SI.01 4.32 5.04 S.50 5.84 6.10 6.32 6.5' 6.67 6.8' 6.94

u .05 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.8K 5.05 5.19 S.32 5.43.0' 4.26 4.96 5.40 1.13 5.98 6.'9 6.31 6.53 6.61 6.19

'4 .05 3.03 ).10 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 S.1l 5.25 5.36

.0' 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66

15 .05 3.01 ).67 4.08 .c.31 4.60 4.78 4.94 5.08 5.20 5.31

.0' 4.17 4.83 S.25 S.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 6.55

'6 .05 3.00 ].65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 s.is 5.26.Q¡ 4.13 4.78 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 6.46

11 .05 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.71 4.86 4.99 5.11 5.21.01 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.0' 6.15 6.21 6.38

18 .05 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 l.01 .5.17

.0' 4.01 4.10 5.09 5.38 5.60 .5.19 .5.94 6.08 6.20 6.3'

19 .05 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.19 4.92 5.04 S.14

.01 4.0S 4.67 5.05 5.33 5.55 5.13 5.89 6.02 6.14 6.25

20 .05 2.95 3.58 3.96 4.23 4.4S 4.62 4.77 4.90 5.0' 5.1'.0' 4.02 4.64 5.02 S.29 5.5' 5.69 l.84 5.Y1 6.09 6.'9

24 .05 2.92 3.53 3.90 4.11 4.31 4.S4 4.68 4.81 4.92 .5.01

.0' 3.96 4.54 4.91 S.11 5.37 5.54 5.69 S.81 5.92 6.02

30 .05 2.89 3.49 3.84 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.83 4.92

.0' 3.89 4.4S 4.80 5.05 S.24 5.40 5.54 5.65 5.16 S.8S

40 .05 2.86 3.44 3.19 4.04 4.23 4.39 4.54 4.63 4.74 'U2.0' 3.82 4.37 4.70 4.93 S.Jl S.21 5.39 5.50 5.60 5.69

60 .05 2.83 3.40 3.14 3.98 4.16 4.31 4.44 4.SS 4.6S 4.13.01 3.16 4.28 4.60 4.82 4.99 5.'3 5.25 5.36 5.45 5.53

'20 .os 2.80 3.l6 3.69 3.92 4.10 4.24 4.36 4.48 4.56 4.64.01 3.10 4.20 4.50 4.71 4.81 5.01 5.12 5.21 5.30 5.38

.05 2.11 3.31 3.63 3.86 4.U3 4.11 4.29 4.39 4.41 4.S5

.0' 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 5.23

Tabla H: Tabla de t para comparaciones de dos colas entre p tratamientos y un controlpara un coeficiente de confianza conjunto de p = 0.95 YP = 0.01

P = número de medias de tratamiento, sin incluir el controlgldel p 2 3 4 5 6 7 8 9error

5 .95 2.57 3.03 3.39 3.66 3.88 4.06 4.22 4.36 4.49.99 4.03 4.63 5.09 5.44 5.73 5.97 6.18 6.36 6.53

6 .95 2.45 2.86 3.18 3.41 3.60 3.75 3.88 4.00 4.11.99 3.71 4.22 4.60 4.88 5.11 5.30 5.47 5.61 5.74

7 .95 2.36 2.75 3.04 3.24 3.41 3.54 3.66 3.76 3.86.99 3.50 3.95 4.28 4.52 4.71 4.87 5.01 5.13 5.24

8 .95 2.31 2.67 2.94 3.13 3.28 3.40 3.51 3.60 3.68.99 3.36 3.77 4.06 4.27 4.44 4.58 4.70 4.81 4.90

9 .95 2.26 2.61 ~.86 3.04 3.18 3.29 3.39 3.48 3.55.99 3.25 3.63 3.90 4.09 4.24 '1.37 4.48 4.57 4.65

10 .95 2.23 2.57 2.81 2.97 3.11 3.21 3.31 3.39 3.46.99 3.17 3.53 3.78 3.95 4.10 4.21 4.31 4.40 4.47

ti .95 2.20 2.53 2.76 2.92 3.05 3.15 3.24 3.31 3.38.99 3.11 3.45 3.68 3.85 3.98 4.09 4.18 4.26 4.33

12 .95 2.18 2.50 2.72 2.88 3.00 3.10 3.18 3.25 3.32.99 3.05 3.39 3.61 3.76 3.89 3.99 4.08 4.15 4.22

13 .95 2.16 2.48 2.69 2.84 2.96 3.06 3.14 3.21 3.27.99 3.01 3.33 3.54 3.69 3.81 3.91 3.99 4.06 4.13

14 .95 2.14 2.46 2.67 2.81 2.93 3.02 3.10 3.17 3.23.99 2.98 3.29 3.49 3.64 3.75 3.84 3.92 3.99 4.05

15 .95 2.13 2.44 2.64 2.79 2.90 2.99 3.07 3.13 3.19.99 2.95 3.25 3.45 3.59 3.70 3.79 3.86 3.93 3.99

16 .95 2.12 2.42 2.63 2.77 2.88 2.96 3.04 3.10 3.16.99 2.92 3.22 3.41 3.55 3.65 3.74 3.82 3.88 3.93

17 .95 2.11 2.41 2.61 2.75 2.85 2.94 3.01 3.08 3.13.99 2.90 3.19 3.38 3.51 3.62 3.70 3.77 3.83 3.89

18 .95 2.10 2.40 2.59 2.73 2.84 2.92 2.99 3.05 3.11.99 2.88 3.17 3.35 3.48 3.58 3.67 3.74 3.80 3.85

19 .95 2.09 2.39 2.58 2.72 2.82 2.90 2.97 3.04 3.09.99 2.86 3.15 3.33 3.46 3.55 3.64 3.70 3.76 3.81

20 .95 2.09 2.38 2.57 2.70 2.81 2.89 2.96 3.02 3.07.99 2.85 3.13 3.31 3.43 3.53 3.61 3.67 3.73 3.78

24 .95 2.06 2.35 2.53 2.66 2.76 2.84 2.91 2.96 3.01.99 2.80 3.07 3.24 3.36 3.45 3.52 3.58 3.64 3.69

30 .95 2.04 2.32 2.50 2.62 2.72 2.79 2.86 2.91 2.96.99 2.75 3.01 3.17 3.28 3.37 3.44 3.50 3.55 3.59

40 .95 2.02 2.29 2.47 2.58 2.67 2.75 2.81 2.86 2.90.99 2.70 2.95 3.10 3.21 3.29 3.36 3.41 3.46 3.50

60 .95 2.00 2.27 2.43 2.55 2.63 2.70 2.76 2.81 2.85.99 2.66 2.90 3.04 3.14 3.22 3.28 3.33 3.38 3.42

120 .95 1.98 2.24 2.40 2.51 2.59 2.66 2.71 2.76 2.80.99 2.62 2.84 2.98 3.08 3.15 3.21 3.25 3.30 3.33.95 1.96 2.21 2.37 2.47 2.55 2.62 2.67 2.71 2.75.99 2.58 2.79 2.92 3.01 3.08 3.14 3.18 3.22 3.25

Tabla F: Puntos porcentuales superiores de la amplitud studentizada q. = (Y _ - y•••)/ S ¡ )

p = número de medias de tratamiento

sldd error 10 ]]

.0' 3.64 '.60 5.22 5.67 6.03 6.)) 6.511 6.80 6.99 7.17

.01 S.70 6.97 7.80 8.42 8.9' 9.32 9.67 9.97 10.24 10.48

.0' ).'6 -4.34 '.90 5.31 '.63 '.89 6.'2 6.)2 6.49 6.6'

.0' 5.24 6.)) 7.03 1.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 9.)0

.0' 3.34 4.16 4.68 '.06 '.36 '.6' ,.82 6.00 6.16 6.30

.01 4.9,5 '.92 6.54 7.01 7.37 7.68 1.94 8.17 8.37 8.SS

.0' ).26 '.04 4.53 4.89 '.17 '.40 '.60 5.77 '.92 6.0'

.01 4.74 '.6) 6.20 6.63 6.96 7.'4 1.47 7.68 7.87 11.03

.0' 3,20 ).9' 4.442 4.76 '.02 5.24 5.43 '.60 5.74 8.87

.01 4.60 ,.4) '.96 6.35 6.66 6.9' 7.13 7.32 7.49 7.65

10 .0' ::uS ).88 4.33 4.65 4.91 '.12 '.30 5.46 '.60 s.n.01 4.48 '.27 s:n 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 7.36

]] .0' 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 '.03 '.20 '.35 5.49 5.61.01 4,39 5.14 '.62 '.97 6.2' 6.48 6.67 6.1S4 6.99 7.13

12 .0' 3.08 3,17 4.20 4.51 4.75 4.95 '.12 5.27 '.40 5.51.0' 4.32 '.04 '.'0 '.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 6.94

Il .0' 3.06 3,73 4.15 4.45 4.69 4.!lIS '.0' '.19 '.32 5.4)

.01 4.26 4.96 '.40 7.73 '.98 6.19 6.37 6.53 6.67 6.79

14 .0' 3.03 3.70 4.11 4.41 '.64 4.83 '.99 5.13 '.2' '.36.01 4.21 4.89 '.32 '.63 '.88 6.08 6.26 6.41 6.54 6.66

" .0' 3.01 3.67 4.08 4,)7 4.60 4.18 4.94 '.08 '.20 '.31.01 4.17 4.83 5.2' '.56 '.80 '.99 6.16 6.)1 6.44 6.SS

'6 .0' ).00 3.6' 4.05 4,33 4.56 4.14 4.90 '.03 5.15 '.26.0' 4.13 4.n 5.19 5.49 5.72 '.92 6.08 6.22 6,35 6.46

17 .0' 2.98 3.63 4.02 4.30 ".S2 4.71 4.86 4.99 5.11 5.21.0' 4.10 4.1<1 5.14 5.4] '.66 '.8' 6.01 6.15 6.27 6.38

'S .0' 2.97 ].61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 '.07 j.l7

.01 4.07 4.70 '.09 5.38 '.60 S.79 S.94 6.08 6.20 6.31

'9 .0' 2.96 3.59 ).98 '.25 4.47 '.6' •. 79 4.92 '.04 S.14

.0' 4.0' 4.61 '.0' '.)3 '.SS '.73 '.89 6.02 6.14 6.25

20 .0' 2.9' 3.58 l.96 4.23 4.4,5 4.62 4.11 4.90 S.OI ,5.11

.01 4.02 4.64 '.02 '.29 S.SI '.69 '.84 5.Y7 6.09 6.19

24 .0' 2.92 3.'3 3.'10 4.17 4.37 4.,54 '.68 4.81 4.92 S.OI.01 ).96 4.54 4.91 '.17 '.)7 '.54 '.69 S.81 '.92 6.02

30 .0' 2.89 3.49 3.84 4.10 '.30 4.46 4.60 4.72 4.83 4.92

.0' 3.89 4.4,5 4.80 ,:O, S.24 S.40 '.54 '.6' '.76 5.85

40 .0' 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.54 4.63 4.74 4.ij2.01 3.82 4.37 4.70 4.93 s.u 5.27 5.39 '.'0 5.60 S.69

60 .0' 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.S5 4.65 4.73.01 3.76 4.28 4.60 4.82 '.99 '.13 '.25 '.36 5.45 '.53

120 .0' 2.80 3.J6 3.69 3.92 4.10 4.24 4.36 4,48 4.56 '.64.01 3.70 '.20 4.SO 4.71 4.87 '.01 5.12 5.21 '.30 '.3S

.0' 2.77 l.3' 3.63 3.86 4.U3 4.17 4.29 4.39 4.47 4.55

.01 3.64 4.12 '.40 4.60 4.76 4.8ij 4.99 '.OS '.16 5.23

Tabla H: Tabla de t para comparaciones de dos colas entre p tratamientos y un controlpara un coeficiente de confianza conjunto de p = 0.95 YP = 0.01

P = número de medias de tratamiento, sin incluir el controlgldel p 2 3 4 5 6 7 8 9error

5 .95 2.57 3.03 3.39 3.66 3.88 4.06 4.22 4.36 4.49.99 4.03 4.63 5.09 5.44 5.73 5.97 6.18 6.36 6.53

6 .95 2.45 2.86 3.18 3.41 3.60 3.75 3.88 4.00 4.11.99 3.71 4.22 4.60 4.88 5.11 5.30 5.47 5.61 5.74

7 .95 2.36 2.75 3.04 3.24 3.41 3.54 3.66 3.76 3.86.99 3.50 3.95 4.28 4.52 4.71 4.87 5.01 5.13 5.24

8 .95 2.31 2.67 2.94 3.13 3.28 3.40 3.51 3.60 3.68.99 3.36 3.77 4.06 4.27 4.44 4.58 4.70 4.81 4.90

9 .95 2.26 2.61 ~.86 3.04 3.18 3.29 3.39 3.48 3.55.99 3.25 3.63 3.90 4.09 4.24 '1.37 4.48 4.57 4.65

10 .95 2.23 2.57 2.81 2.97 3.11 3.21 3.31 3.39 3.46.99 3.17 3.53 3.78 3.95 4.10 4.21 4.31 4.40 4.47

I1 .95 2.20 2.53 2.76 2.92 3.05 3.15 3.24 3.31 3.38.99 3.11 3.45 3.68 3.85 3.98 4.09 4.18 4.26 4.33

12 .95 2.18 2.50 2.72 2.88 3.00 3.10 3.18 3.25 3.32.99 3.05 3.39 3.61 3.76 3.89 3.99 4.08 4.15 4.22

13 .95 2.16 2.48 2.69 2.84 2.96 3.06 3.14 3.21 3.27.99 3.01 3.33 3.54 3.69 3.81 3.91 3.99 4.06 4.13

14 .95 2.14 2.46 2.67 2.81 2.93 3.02 3.10 3.17 3.23.99 2.98 3.29 3.49 3.64 3.75 3.84 3.92 3.99 4.05

15 .95 2.13 2.44 2.64 2.79 2.90 2.99 3.07 3.13 3.19.99 2.95 3.25 3.45 3.59 3.70 3.79 3.86 3.93 3.99

16 .95 2.12 2.42 2.63 2.77 2.88 2.96 3.04 3.10 3.16.99 2.92 3.22 3.41 3.55 3.65 3.74 3.82 3.88 3.93

17 .95 2.11 2.41 2.61 2.75 2.85 2.94 3.01 3.08 3.13.99 2.90 3.19 3.38 3.51 3.62 3.70 3.77 3.83 3.89

18 .95 2.10 2.40 2.59 2.73 2.84 2.92 2.99 3.05 3.11.99 2.88 3.17 3.35 3.48 3.58 3.67 3.74 3.80 3.85

19 .95 2.09 2.39 2.58 2.72 2.82 2.90 2.97 3.04 3.09.99 2.86 3.15 3.33 3.46 3.55 3.64 3.70 3.76 3.81

20 .95 2.09 2.38 2.57 2.70 2.81 2.89 2.96 3.02 3.07.99 2.85 3.13 3.31 3.43 3.53 3.61 3.67 3.73 3.78

24 .95 2.06 2.35 2.53 2.66 2.76 2.84 2.91 2.96 3.01.99 2.80 3.07 3.24 3.36 3.45 3.52 3.58 3.64 3.69

30 .95 2.04 2.32 2.50 2.62 2.72 2.79 2.86 2.91 2.96.99 2.75 3.01 3.17 3.28 3.37 3.44 3.50 3.55 3.59

40 .95 2.02 2.29 2.47 2.58 2.67 2.75 2.81 2.86 2.90.99 2.70 2.95 3.10 3.21 3.29 3.36 3.41 3.46 3.50

60 .95 2.00 2.27 2.43 2.55 2.63 2.70 2.76 2.81 2.85.99 2.66 2.90 3.04 3.14 3.22 3.28 3.33 3.38 3.42

120 .95 1.98 2.24 2.40 2.51 2.59 2.66 2.71 2.76 2.80.99 2.62 2.84 2.98 3.08 3.15 3.21 3.25 3.30 3.33.95 1.96 2.21 2.37 2.47 2.55 2.62 2.67 2.71 2.75.99 2.58 2.79 2.92 3.01 3.08 3.14 3.18 3.22 3.25

Tabla 1: Tabla de t para comparaciones de una cola entre p medias de lral<lmiento y un control para uncoeficiente de confi= de p = 0.95, p = 0.99

,/ del error p

.YS 1.02 1.44 2.68 2.8S 2.98 3.!le 3.16 3.lA 3.30

.99 3.17 3.90 4.2t 4.0 4.60 4.7l 4.lS 7.94 5.03

.9S 1.94 1.34 2.56 1.71 2.83 2.92 3.00 3.07 3.12

.99 3.14 l.61 l.88 4.07 4.21 433 4.43 4..11 4..l9

.9S 1.89 1.27 2.48 1.62 2.73 2.81 2.89 1.9S 3.01

.99 3.00 3.41 3.66 3.83 3.96 4.07 4.1S 423 4.30

.9S 1.16 1.22 2.41 1.S5 2.66 2.74 2.81 U7 2.92

.99 1.90 3.29 l..ll 3.67 l.79 3.18 3.96 4.ol 4.09

.95 1.13 1.18 2.37 l..lO 1.60 1.68 2.75 2.8t 2.16

.99 1.82 3.19 3.40 3..1S 3.66 3.7S 3.81 3.89 3.94

10 .9S 1.81 2.IS 2.34 2.47 2..l6 2.64 2.70 2.76 2.81.99 2.76 l.1I 3.31 lAS 3..l6 3.64 ].71 l.78 3.8l

11 .9S 1.80 2.13 2.31 1.44 2..1l 1.60 2.67 2.72 2.TI.99 2.12 l.06 3.15 3.38 l.48 3..l6 3.63 3.69 3."

11 .9S 1.78 2.11 2.29 1.41 2.50 1..18 1.64 1.69 2.74.99 1.68 l.OI 3.19 3.32 l.41 3..lO 3..l6 3.61 3.67

13 .9S I.TI 2.09 2.27 2.39 2.48 2.5S 2.61 1.66 2.71.99 2.6S 2.97 3.tS 3.17 3.37 3.44 3..11 l..l6 3.61

l' .9S 1.76 2.08 2.1S 2.l7 2.46 2..13 2.59 1.64 1.69.99 1.61 1.98 3.11 3.23 l.31 3.40 3.46 l..ll 3.56

IS .9S 1.7S 2.07 2.24 2.36 1.44 2..11 2.S7 1.62 1.67.9'1 1.60 1.91 l.08 3.20 l.29 l36 3.41 l.47 3.S2

16 .9S 1.7S 2.06 2.1l 2.34 1.43 2.50 1..l6 1.61 1.6S.99 1.S8 2.88 3.0S 3.17 l.26 333 3.39 3.44 3.4K

17 .9S 1.7. 2.0S 2.22 2.33 1.42 2.49 2.54 2.59 2.64.99 2.H 1.36 l.O3 3.1. 3.23 3.lO ].36 3.4t 3.'S

18 .9S 1.73 2.04 2.21 2.32 2.'1 2.48 2.53 2.58 1.62.99 1.SS 2.84 ).01 3.12 3.11 3,27 3.3l 3.38 3.42

19 .95 1.13 2.0) 2.20 2.ll 2.40 1..7 2.S2 2..17 1.61.99 2.S4 2.8) 2.99 3.10 ).lX 32S 331 336 3.40

20 .95 1.72 1.0) 2.19 2.30 239 2.46 2.51 2..l6 1.60.99 1.S) 2.81 1.97 ).08 3.17 3.2) 3.19 3.l4 3.38

14 .9S 1.71 1.01 2.t7 2.18 1.36 l.') 2.48 1.S3 1.57.99 2.49 1.TI 1.91 3.03 3.11 3.17 3.22 ).27 3.31

30 .9S 1.20 1.99 2.15 2.1S 2.33 2.40 2.45 1.50 1.54.99 2.46 2.12 1.87 2.97 3.05 3.11 3.t6 3.11 3.2'

40 .95 1.68 1.97 2.13 2.23 1.31 1.37 2.41 1.47 2..11.99 2.42 1.68 l.1Il 2.92 2.99 3.OS 3.10 3.14 3.18

60 .9S 1.67 1.95 2.10 2.11 1.18 1.lS 2.39 2.44 1.48.9'1 139 1.64 2.78 1.87 1.94 3.00 ).04 3.08 3.11

120 .9S 1.66 1.93 2.08 1.18 1.16 231 2.37 1.41 2.4S.99 2.36 1.60 1.13 2.81 1.89 2.94 1.99 3.03 3.06

.9S 1.64 1.92 1.06 1.16 2.23 1.29 1.34 238 1.41

.99 2.)) 2.S6 2.68 1.77 1.84 2.89 1.9) 2.97 ).00

Tabla F: Puntos porcentuales superiores de 1, amplitud studentizada q. = (Y_ - Y••••)/ S,) (continuaci6n)

IS 19 20a ,/ del <m><12 13 14 Il 16 11

1.32 7.47 1.60 1.TI 1.83 1.93 8.03 8.12 S.ll .Ol10.10 10.89 11.08 11.24 11.'0 Il..ll 11.68 11.81 11.93 .01

6.19 6.91 1.03 7.14 1.2' 1.3-4 1.• 3 1.ll 1.l9 .Ol9.• 9 9.61 9.SI 9.9l 10.08 10.21 10.32 10.'3 10.\4 .01

6.43 6..ll 6.66 6.16 6.8l 6.94 1.02 1.(11 1.11 .05S.11 U6 9.00 9.11 9.1' 9.Jl 9.46 s.ss 9.6\ .016.18 6.29 6.39 6.43 6.l1 6.6l 6.13 6.80 6.81 .Ol8.18 8.31 8.44 l.l5 8.66 1.16 1.85 8.94 9.03 .01

l.98 6.09 6.19 6.13 6.36 6.44 6.l1 6.l8 6.64 .051.18 1.91 1.03 S.l3 8.23 S.J2 a.·u 8.49 8..11 .01

l.83 l.93 6.03 6.11 6.10 6.21 6.34 6.40 6." .05 101.'8 1.60 1.11 1.SI 1.91 1.99 8.01 8.15 8.22 01

l.11 5.81 l.9O l.99 006 6.1. 6.20 6.33 .Ol 111.15 1.36 4.46 7.56 1.6l 1.7) 1.81 1.88 1.9l .01

5.62 l.11 l.80 l.88 l.95 6.03 6.09 6.ll 6.11 .Ol 121.06 1.11 1.26 1.36 1.44 1..12 1.l9 1.66 1.13 .01

l.)3 l.63 5.11 5.19 5.86 l.93 6.00 6.0l 6.11 .Ol 136.90 1.01 1.10 1.19 1.21 1.3-4 1.41 1.48 1.ll .01

l.46 l.ll l.64 l.11 l.19 s.ss 5.91 l.91 6.03 .05 l.6.11 6.81 6.96 7.0l 1.17 1.20 1.21 1.)) 1.39 .01l.40 l.'9 l..l8 s.ss l.11 5.19 5.85 l.90 5.96 .05 156.66 6.16 6.84 6.93 1.00 7.07 7.14 1.20 1.26 .01

5.35 5.44 l.ll 5.l9 5.66 l.11 l.79 l.8. 5.90 .05 165.56 6.66 6.14 6.82 6.90 6.91 7.03 7.09 1.ll .QI

l.31 5.J9 H1 l.l5 5.61 l.68 5.74 5.19 l.1I4 .os 176.48 6..11 6.66 6.73 MO 6.11 6.94 1.00 1.0l .01

l.21 l.J5 l.4J l.lO l.l1 l.63 l.69 l.14 l.79 .05 186.'1 6.50 6.l8 6.6l 6.12 6.19 6.8l 6.91 6.96 .QI

l.13 l.32 l.39 l .•6 l.l3 l.l9 l.65 l.10 l.1l .Ol 196.3' 6.43 6.ll 6.l8 6.6l 6.11 6.18 6.8' 6.89 .01

l.20 l.28 l.36 s.o l.49 l.ll l.61 l.66 l.11 .os 206.29 6.31 6.'5 6.l2 6.l9 6.6l 6.71 6.76 6.82 .01

5.10 l.18 l.25 l.32 l.33 5.44 l.50 5.54 5.59 .os 2'6.11 6.19 6.26 6.)3 6.39 6.'l 6.l1 6.l6 6.61 .01

l.OO l.08 s.rs l.21 l.27 s.n l.38 5.43 l.48 .os JOl.93 6.01 6.08 6.1-4 6.20 6.26 6.31 6.36 6.41 .01

4.91 4.911 5.0l l.1I l.16 l.l2 l.27 l.31 l.36 .05 '0l.77 l.84 5.90 5.96 6.02 6.07 6.12 6.17 6.21 .01

4.81 4.88 4.94 5.00 l.O6 l.11 l.16 l.20 l.24 .Ol 60l.60 l.67 l.13 l.79 l.8. l.89 5.93 l.98 6.02 .01

4.72 4.78 4.84 '.90 4.95 l.OO S.O~ lW 5.13 .05 1205.44 l.ll l..l6 5.61 l.66 5.11 l.7l l.19 l.83 .01

Tabla G Amplitudes studentizadas significativas para 5 y l por ciento de la nueva prueba deamplitud múltiple

g/del Nivet p = numero de medias para la amplitud a probarseerror significativo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 t2 14 16 18 20.05 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0.01 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 '90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0

2 .05 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09.01 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0

.05 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50

.01 8.26 8.3 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9 9.0 9.0 9.0 9.1 9.2 9.3 9.3

4 .05 3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02.01 6.51 6.8 6.9 7.0 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3 7.4 7.4 7.5 7.5

5 .05 3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83.01 5.70 5.96 6.11 6.18 6.26 6.33 6.40 6.44 6.5 6.6 6.6 6.7 6.7 6.8

6 .05 3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68.01 5.24 5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95 -6.00 6.0 6.1 6.2 6.2 6.3 6.3

7 .05 3.35 3.47 3.54 3.58 3.60 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61.01 4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69 5.73 5.8 5.8 5.9 5.9 6.0 6.0

.05 3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56

.01 4.74 5.00 5.14 5.23 5.32 3.40 5.47 5.51 5.5 5.6 5.7 5.7 5.8 5.8

.05 3.20 3.34 3.41 3.47 3.50 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52

.01 4.60 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32 5.36 5.4 5.5 5.5 5.6 5.7 5.7

10 .05 3.15 3.30 337 3.43 3.46 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.47 3.48.01 4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.19 5.20 5.24 5.28 5.36 5.42 5.48 5.54 5.55

11 .05 3.11 3.27 3.35 3.39 3.43 3.44 3.45 3.46 4.46 3.46 3.46 3.46 3.47 3.48.01 4.39 4.63 «n 4.86 4.94 5.01 5.06 5.12 5.15 5.24 5.28 5.34 5.38 5.39

12 .05 3.08 3.23 3.33 3.36 3.40 3.42 3.44 3.44 3.46 3.46 3.46 3.46 3.47 3.48.01 4.32 4.55 4.68 4.76 4.81 4.92 4.96 5.02 5.07 5.13 5.17 5.22 5.24 5.26

13 .05 3.06 2.21 3.30 3.35 3.38 3.41 3.42 3.44 3.45 3.45 3.46 3.46 3.47 3.47.01 4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88 4.94 4.98 5.04 5.08 5.13 5.14 5.15

14 .05 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.41 3.42 3.44 3.45 3.46 3.46 3.47 3.47.01 4.21 4.42 455 4.63 4.70 4.78 4.83 4.87 4.91 4.96 5.00 5.04 5.06 5.07

15 .05 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.38 3.40 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.47.01 4.17 4.37 4.50 4.58 4.64 4.72 4.77 4.81 4.84 4.90 4.94 4.97 4.99 5.00

chacin diseño y analisis de experimentos

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