175

Chap. 10 Diffraction

10.1 일반 개념

Aperture(slit) 내의 각 점은 들어온 파의 구형 2 차 파속

(spherical secondary wavelets)으로 작용한다. 이 본성 때문

에 진행하는 파는 작은 장애물을 만났을 때 그 뒤에 그림자를

만들지 않고 다시 새로운 파를 형성하는 것을 볼 수 있다. 회절

(diffraction)은 슬릿(slit)을 통과한 빛의 구형 2 차 파속의 간섭

현상이며 많은 소스(source) 파를 다루는 것이 간섭과 다르다.

[Each point on the aperture may be considered as a source of

secondary spherical wavelets. The field at any point is

calculated as the superposition of all the spherical wavelets.

Interference among the wavelets leads to the diffraction

pattern.]

10.1.1 Fraunhofer와 Fresnel 회절의 차이

Fraunhofer Diffraction(Far-field Diffraction)

Aperture(slit)와 광원(source) 그리고 관찰점 사이가 먼

(far-field) 회절이며, 회절무늬(pattern)는 크기만 바뀌고

형태는 변하지 않는다. 빛이 aperture를 통과 할 때 다음의

수학적 조건을 만족하면 원거리 회절은 근사적인 평면 파

로 취급하여 계산한다.

2 2 2( )r h r

2 2 1/ 2 2 1/ 2( ) [1 ( ) ]h

r r h r rr

221

[1 {1 ( ) }2 2

h hr

r r

Far-field란 의 조건을 말하는 것으로 파가 구면파가 아닌 평면파(plane wave)라는 뜻

이며 그 조건은 다음을 만족할 때이다.

2

2

hr

또는

Ar

( A : aperture area)

이 조건은 aperture-screen 거리에도 똑 같이 적용된다. 이때 aperture를 통과하는 파들은 평

면파로 근사(approximation)하고 관찰점에서 결과는 그곳에 도달한 파의 위상들에 의해 결정

된다. 이러한 조건에서 위상을 결정하는 광로 차는 선형성(linearity)을 갖기 때문에 하나의 선

형함수(linear function)로 기술하며, 이것은 Fraunhofer 회절을 계산하는 데 사용하는 결정적

인 수학적 도구이다.

176

Fresnel Diffraction (Near-field Diffraction): 관찰점과 aperture 사이가 가까운 회절로

aperture의 상이 관찰 스크린에 투영되며 스크린에 들어오는 파가 평면파가 아닌 구면파로 계

산된다. 일차 파속의 모든 점들은 구형 2 차 파속의 emitter들로 역할하며, 수학적으로는

Huygens-Fresnel Principle을 보다 더 구체화하여 분석한다. 여기서는 2 차 emission의 방향

성을 기술하는 경사도(obliquity or inclination factor)가 소개됨으로써 Fraunhofer 회절과 구

별된다.

10.1.2 유한 개의 결맞음(coherent) 진동자의 회절

슬릿 폭 b 인 창에 일정한 간격 d 로 N 개의 결맞음 진동자(coherent oscillators)가 있다고

하고, 입사파 ( )

o

i k r tE E e

에 그 진동자들이 반응하여 만든 2 차 파(2nd wavelets)가 경로

1 2, ,r r 를 거쳐 한 점 P 에 모인다고 가정하자.

한 점 P 에서 중첩은 다음과 같이 계산된다.

3 11 2 ) (( ) (( ) ( ) )[ ]o

N Nt i k ri k r t i k ri k r t i k r t tE E e e e e e

3 1 1 11 2 1 1( ) ( )( ) ( ) ( )[1 ]o

N Nik r r ik r ri k r t ik r r ik r rE e e e e e

(10.1)

인접한 두 파의 광로 차: 1 sinN Nr r d (10.2)

이웃한 두 파의 위상 차: sink kd (10.3)

2 1 sinr r d 2 1( ) ( sin )k r r k d

177

3 1 2 sinr r d 3 1( ) (2 sin ) 2k r r k d

1 ( 1) sinNr r N d 1( ) [( 1) sin ] ( 1)Nk r r k N d N

이들에 의해 (10.1)은 다음과 같이 정돈된다.

2 2 11( )[1 ( ) ( ) ( ) ( ) ]N N

o

i i i ii k r tE E e e e e e (10.4)

※ 초항, 공비, 항의 수가 각각 , ,a r n일 때 수렴 등비수열의 합: (1 )

1

na rS

r

1 1( ) 1 ( ) 1[ ] [ ]

1 1

N N

o o

i i

i i

i k r t ik ri te eE E e E e e

e e

(10.5)

※

/ 2 /2 /2( 1) /2

/2 /2 /2

1 ( ) sin( / 2)[ ][ ]

1 sin( / 2)( )

i N i N i N i Ni N

i i i i

e e e e Ne

e e e e

1[ ( 1) /2] sin( / 2)[ ]

sin( / 2)o

i k r Ni t NE E e e

(10.6)

중앙 진동자로부터 P 점까지의 거리를 R 이라 하고 (10.3)의 sin /d k 을 사용하면

1 1 1

1( 1) sin ( 1) ( 1) ( )

2 2 2R N d r N r N k R r

k

(10.7)

(10.7)을 (10.6)에 대입: ( ) sin( / 2)

[ ]sin( / 2)

o

i k R t NE E e

(10.8)

Irradiance (Flux-density or Intensity): *EE

2 2 2 2sin( / 2) sin( / 2)[ ] [ ]

sin( / 2) sin( / 2)o o

N NE E I I

(10.9)

결과 해석

(a) Principal maxima: 분모가 0 에 접근하면 그 조건을 만족하는 곳에서 회절의 irradiance가

강하게 나타난다. 분모가 0 에 접근하는 조건은 다음과 같다. 여기서 0, 1, 2,m .

sin 02

: 2

2m m

(10.10)

※ L'Hospital rule: 0

sin( )lim

sinx

NxN

x

(10.10)은 principal maxima가 있는 각의 위치이고 이때 principal maxima의 irradiance는

2

oI N I (10.11)

여기서 oI 는 진동자(oscillator) 하나의 irradiance이다.

(10.3)의 위상 차 sinkd : 2

sin 2 sind m d m

(10.12)

Zero-order principal maximum: 0m 일 때 가장 강한 회절 강도가 나타나며 그것은 회절의

중앙 축( 0 )이다. 만일 슬릿(slit)의 크기가 d 이면, (10.12)는 0m 로 zero-order

principal maximum만 존재한다. 왜냐하면 0m 의 경우 sin 1 이므로 모순이다. 예로서

결정의 원자구조를 조사하는 경우 전자 진동자(electron oscillator)들은 원자거리만큼 떨어져

178

있고, 여기에 입사하는 X -선의 파장( :1.5KCu

o

A )은 원자거리 정도이기 때문에 원자의 회절

peak들은 대부분 zero-order principal maximum이며, 이때 회절 강도는 (10.11)이다.

(b) Minima: (10.9)의 분자 부분만 0 되는 조건에 있을 때이다.

Minima condition은 sin 02

N :

1sin ( )

2

Nm d m

N

(10.13)

※ ( / )m N 이 다른 정수 'm , 즉 ( / ) 'm N m 이 된다면 이곳의 principal maxima는

irradiance가 0 가 된다.

진동자수, N 에 의한 irradiance(flux density) 분석

1:N oI I

2:N 2sin

[ ]sin( / 2)

oI I

(10.14)

※ 2 2 2 2 2sin [sin( )] [2sin cos ] 4sin cos

2 2 2 2 2 2

. 따라서 (10.14)는

24 cos

2oI I

(10.15)

2N 는 Young 의 간섭과 같다. 즉, Young 의 간섭은 진동자가 두 개인 회절의 특별한 경

우에 해당한다고 말할 수 있다. 진동자 수 N 이 늘어나면 회절 형태는 작은 보조 maxima에

의해 분리된 일련의 뚜렷한 principal peak들로 나타난다.

10.1.3 연속 진동자(Continues Oscillators)

수학기법 개발: x 축 방향으로는 단일 진동자들

(single oscillators)이 놓여 있는 폭으로 하고,

y 축은 길이 b 에 거의 무한한 N 개의 진동자

가 연속적으로 놓여 있다고 가정한다. 여기서

b 는 입사 파장의 수백 배 이내로 한정한다. 창

이 크면 회절현상은 미약하여 거의 관찰할 수

없다. 단위길이당 진동자 수(밀도)는 /N b 이다.

b 를 미소거리 dy 로 균일하게 분할(segment)

하였다고 생각하면 분할 길이 dy 내의 진동자

수는 ( / )N b dy 이다. 여기서 dy 는 대단히 작

기 때문에 그 속에 있는 진동자들은 모두 같은 위상을 갖는다고 가정한다. 이때 dy 내의 진동

자들에 의한 점 P 에서의 전기장은 다음 수식으로 주어진다.

( ) ( )o i t k r NdE e dy

r b

(10.16)

여기서 o 는 한 진동자의 진폭이다. 단위길이당 소스세기(source strength) 즉 진폭을 L 로

179

정의하고 (10.16)을 이것으로 다시 쓰면 전기장은 다음 수식으로 주어진다.

1lim( )L oN

Nb

(10.17)

1

( )( )

ML

j

j j

i t k r NE e y

r b

(10.18)

연속적인 선 소스(line source)에 대해 구간 M 일 때 jy 는 무한소 dy 로 정의되며

(10.18)은 다음으로 표현된다.

( )

L

i t k redE dy

r

(10.19)

창 b 의 전 구간에서 오는 파가 점 P 에 모이는 전기장은 구간의 적분형태를 갖는다.

/ 2

/ 2

( )b

Lb

i t k reE dy

r

(10.20)

여기서 ( )r r y 이다. (10.19)나 (10.20)은 앞으로 연속적 emitters(wave sources)에 대한 회

절을 계산하는 수학적 도구(mathematical tool)로 사용된다. R 은 슬릿의 중앙에서 점 P 까지

의 거리이고, 그 거리에 따라 Fraunhofer와 Fresnel 회절을 구분한다. Fraunhofer 회절은

b R이며 ( )r y 는 R 로부터 크게 벗어나지 않으므로, dy 내의 진동자에서 오는 파들은 모두

결맞음(coherent)한다고 가정한다. 점 P 에 도달하는 파의 진폭은 ( )r y 의 변화보다 위상 변화

에 훨씬 더 민감하므로 분모는 r R 의 근사 값을 적용하고, 지수의 kr 은 위상을 나타내기

때문에 r 을 변수로 그대로 사용한다. 이와 달리 Fresnel 회절은 b R 이 아니기 때문에 분

모는 r R의 근사값을 사용할 수 없으며 분모의 r 도 변수로 사용된다.

10.2 Fraunhofer Diffraction

10.2.1 단일슬릿(Single Slit)

폭이 dy 인 띠(strip)에 결맞음 선 진동자(coherent line source)들이 y 축으로 놓여 있고 슬릿

폭 b 는 수백 이내이다. Aperture의 x 축 길이 은 수 cm로 x 이기 때문에 x 방향

180

은 회절이 거의 없다. 그림에서 는 XY 평면 P 에서 aperture 중심으로 측정된 각이다.

거리와 각들을 좀더 구체적으로 보기 위하여 dy 띠는 단일 진동자들이 놓여 있는 경우로 생각

하자(아래 그림 참조). 여기서 b 는 수백 이내 일 때 b R 그리고 'r R 의 근사

(approximation)가 가능하다. 이러한 조건에서 y 축에 있는 dy 내의 진동자들로부터 P 점에

도달하는 거리 ( )r y 는 b 의 중앙( 0y )에서 오는 'r 과 거의 같다. 즉, 'r r R이다.

이러한 경우 (10.19)는 다음과 같이 변형시키는 것이 가능하다.

( )L i t k rdE e dy

R

(10.21)

회절은 위상(phase)에 민감하므로 지수의 r 은 R 로 바꾸지 않았다. Cosine rule을 적용하고,

'r R , y R이므로 급수로 전개하여 r 을 구하면

2 2 2 o2 cos(90 )r R y Ry 2 2

1/ 2

2 2

2 sin 1 2 sin[1 ( )] 1 ( )

2

r y y y y

R R R R R

sin1

r y

R R

sinr R y (10.22)

이를 (10.21)에 대입하여 적분하면

[ ( sin )]L i t k R ydE e dy

R

(10.23)

/ 2

/ 2

( ) ( sin )bL

b

i t kR i k yE e e dy

R

(10.24)

※ / 2

/ 2

( )( sin )

[ ]sin

L bb

i t kRi k ye

E eR i k

( )

( /2) sin ( /2) sin[ ]

sin

L

i t kRi kb i kbe

e eR i k

( )

[2 sin( sin )]sin 2

L

i t kRe kb

iR i k

( )sin[( / 2)sin ]

( / 2)sin

L i t kRb kbE e

R kb

(10.25)

( / 2)sinkb 를 로 놓고 다시 표현: sin2

kb (10.26)

181

( )sin( )L i t kRb

E eR

(10.27)

Irradiance (intensity): ( )I EE 2 21 sin

( ) ( ) ( )2

LbIR

(10.28)

※ (10.28)에 1/ 2 가 있는 이유: ( )

Im[ ] sin( )i t kR

e t kR

. EE를 하면

2sin ( )t kR 가

나타나고 이것의 평균은 2sin ( ) 1/ 2t kR 이다.

0 이면 (sin / ) 1 . 이 때 0( 0)I I .

0I 는 irradiance가 가장 큰 것으로 principal maximum이며 중앙( 0 )에 있다.

Principal maximum intensity: 2

0

1( )

2

LbIR

(10.29)

2 2

0 0

sin( ) ( ) sincI I I

(10.30)

( )I 는 y 축에 대해 대칭(symmetry)인 함수이다. 그리고 이 표현은 그 축을 포함하는 어떤

평면에서 측정된 에 대해서도 부합하며 결과는 위에 소개된 그림과 같이 나타난다.

(10.26)의 를 다시 쓰면

2sin sin sin

2 2

kb b b

(10.31)

b 이면 (10.30)은 가 0 을 조금만 벗어나도 irradiance는 급격히 감소한다. 이와 반대로

b 이면 는 작은 값이므로 sin , 따라서 0( )I I 로 원자의 회절에 귀결되며 결

정의 구조를 연구하는 X ray 회절은 바로 이 조건을 이용한다.

( )I 의 Extrema (minima or maxima): (10.30)의 ( )I 를 로 미분하여 0 인 곳이다.

0 3

2sin ( cos sin )0

dII

d

(10.32)

(a) Minima: Irradiance가 0 인 조건은 분자가 0 이어야 하므로

sin 0 ( 1, 2, )m m (10.33)

(b) Subsidiary maxima: (a)와 마찬가지로 (10.32)는 다음도 성립한다.

cos sin 0 tan (10.34)

182

(10.34)는 초월함수 방정식(transcendental equation)이며, 식을 만족하는 값은 1( ) tanf

와 2( )f 의 그래프가 교차되는 곳으로 subsidiary maxima에 해당한다.

이때 계산 값: 1.4303 , 2.4590 , 3.4707 ,

Subsidiary maxima는 대략 m 사이의 중앙, 즉 다음 값의 근처에 있다.

1.5 , 2.5 ,

Single slit의 종합

Electric field: ( )sin

( )L i t kRbE e

R

Irradiance: 2

0

sin( ) ( )I I

Minima: ( ) 0I when sin 0 m ( 1, 2,m ).

Principal maximum: sin

1

when 0 , then 0( )I I which is principal maximum.

Subsidiary maxima: 대충 minima 사이의 중앙에 있다.

아래 그림은 단일슬릿의 fringe patterns를 보여준다.

※ Cosine rule

2 2 2 2 cosa b c bc B

2 2 2 2 cosb c a ca B

2 2 2 2 cosc a b ab A

※ Sine rule

sin sin sin

a b c

A B C

183

10.2.2 다중슬릿(Multiple Slit)

x 축의 창 길이는 커서 x 축 회절은 없으며 y 축 방향의 슬릿 폭 b (수백 micron 이내)는 대

단히 작아 y 축으로만 회절이 있는 다중슬릿을 분석한다. 여기서 슬릿과 슬릿 사이의 간격은

a이며 a b 이다. 그림의 N 개의 슬릿 중 j 번째 슬릿에서 점 P 에 온 jE 는 적분구간을 제

외하고 (10.24)와 동일하다.

근사값 jR R 를 사용하여 계산하면

/ 2

/2

( ) ( sin )Lj

j a b

ja b

i t kR i k yE e e dy

R

(10.35)

/ 2/2

( )sin

[ ]sin

Lj

j a bja b

i t kRik ye

E eR ik

( )( /2)sin ( /2)sin

[ ]sin

L

i t kRik ja b ik ja be

e eR ik

( )( /2) sin ( /2) sin ( sin )

[ ]sin

L

i t kRi kb i kb i jk ae

e e eR ik

이것은 앞에서 single slit의 (10.24)~(10.27)과 같은 방법에 의해 다음과 같이 구해진다.

( ) sinsin( )L

j

i t kR jik abE e e

R

(10.36)

( / 2)sinka 를 라 놓고 모든 슬릿에서 점 P 에 모이는 전기장(electric field)을 계산하면

sin2

ka (10.37)

1 1

0 0

( ) 2sin[ ) ](

N NL

j

j j

i t kR jibE E e e

R

(10.38)

등비수열의 합: 1

2 3 1

0

2 2 2 2 2( ) [1 ( ) ( ) ( ) ( ) ]N

N

j

i j i i i ie e e e e

2( 1)

2

1 ( ) sin( )

1 ( ) sin

i N i N i N i Ni N

i i i i

e e e e Ne

e e e e

(10.39)

184

(10.39)를 (10.38)에 대입하면 E 와 irradiance는 다음과 같다.

Electric field: [ ( 1) ]sin sin

( )( )sin

L i t kR Nb NE e

R

(10.40)

Irradiance: 2 2

0

sin sin( ) ( ) ( )

sin

NI I

(10.41)

여기서 0I 는 (10.29)인 single slit의 0 에서 principal maximum irradiance이다.

2

0

1( )

2

LbIR

0 에서 irradiance는 점 P 에 도달하는 파가 모두 같은 위상(in-phase)의 보강간섭만 일어

나는 경우이다. 이때 (sin / ) 1 , (sin / sin )N N 이므로 (10.41)에서 N 개에 의한

total irradiance는

2

0( 0)I N I (10.42)

폭 0b 이면 (10.9)의 선형 진동자의 irradiance가 된다. 즉

2sin( ) ( )

sino

NI I

슬릿의 수에 따른 (10.41)의 irradiance 분석

(a) 1N (single slit)

위의 단일슬릿에서 계산한 것과 동일하다.

(b) 2N (double slit)

Irradiance: 2 2

0

sin( ) 4 ( ) cosI I

(10.43)

0 이면 0 , 0( 0) 4I I

Double slit의 전체적인 현상은 간섭항(interference term)인 2cos 가 회절항(diffraction

term)인 2(sin / ) 에 의해 조정(modulation)된 것으로 간주할 수 있다. b 가 아주 좁다면

로 인한 회절형태는 넓은 중심영역에 걸쳐 있고 Young의 fringe들이 그 속에 나타난다.

회절항 2(sin / ) 의 해석

(a) Irradiance가 0 인 위치(missing order 위치): sin / 0 , 즉 분자 sin 0 일 때

( ) 0I 이므로 회절로 인해 보강간섭이 사라지는 위치는 에 의해 다음과 같다.

sin2

kbm s i n

m

b

:

2 3sin , , ,

b b b

(10.44)

※ 0m 는 0 가 된다. 이때 sin / 1 이 되어 0m 는 irradiance가 가장 강한 중앙

위치에 해당하는 principal maximum이므로 irradiance가 0 인 missing order가 될 수 없다.

(b) Young의 간섭위치: (sin / ) 1 이면서 2cos 1 일 때 이므로 이에 의한 보강간섭

위치는 에 의해 다음과 같이 결정된다.

185

sin2

kam s i n

m

a

:

2 3sin , , ,

a a a

(10.45)

(예) 3a b 인 double slit의 irradiance(intensity) distribution 및 missing orders.

Double slit irradiance: 2 2

0

sin( ) 4 ( ) cosI I

(1)

sin2

ka and sin

2

kb (2)

3a b (3)

보강간섭 위치: 2cos 1 m , 즉

2sin sin

2 3

a m mm

a b

(4)

이 때의 값: 2

sin ( )( )( )2 2 3 3

kb b m m

b

(5)

Order m 에 따른 irradiance의 크기 계산

(a) 0m : (4)와 (5)에서 0 이므로 sin

1

, cos 1 , 따라서 (1)의 irradiance는

0( 0) 4 (0) / (0) 1I I I I I

(b) 1m : 3

,

2 2

1 2

sin( / 3) 27( ) (0)[ ] (1) (0) (0.6846) (0)

( / 3) 4I I I I

(c) 2m : 2

3

,

2 2

2 12

sin(2 / 3) 27 1( ) (0)[ ] (1) (0)

(2 / 3) 16 4I I I I

(d) 3m : , 2 2

3

sin( )( ) (0)[ ] (1) 0I I

186

※ 3a b 인 double slit에서는 3 '( ' 1, 2, )m m m 인 곳에서 missing order (irradiance

가 0 인 지점)가 된다. 즉 3m , 6 , 9, 이 missing orders이다.

위치에 따른 irradiance distribution은 위의 그림과 같다.

(c) 3N 다중슬릿

Multiple slit의 irradiance (10.41)식: 2 2

0

sin sin( ) ( ) ( )

sin

NI I

(a) Principal maxima: 0

sinlim

sin

NN

일 때, 즉 sin 0 일 때

sin2

kam

2

( )( sin ) sin2

m

am a m

(10.46)

(b) Minima(zero intensity): 2sin

( ) 0sin

N

일 때, 즉 sin 0N 일 때

N m : m

N

(단 0m ) (10.47)

이것은 간격의 principal maxima 사이에 1N 개의 minima가 존재하는 것을 의미한다. 물

론 minima들 사이에 보조(subsidiary) maxima들이 존재한다. Principal maxima 사이에는

1N zeros, 2N secondary(subsidiary) maxima가 있다.

미분으로 해석

2 2sin sin( ) (0)( ) ( )

sin

NI I

2sin( )

sin

NI K

(10.48)

여기서 2sin

(0)( )K I

, sin

2

ka

Absolute maximum: 2 2

0

sin( )lim[ ]

sinm

NI K KN

(10.49)

다음의 미분조건을 만족할 때 위의 수식은 extrema(maxima와 minima)를 갖는다.

187

2

sin( ) cos( )sin sin( )cos2 [ ] 0

sin sin

dI N N N NK

d

Minima 위치: sin( ) 0 ( 0)N N m m (10.50)

Maxima 위치: cos( )sin sin( )cos 0N N N

tan tan( )N N (10.51)

1( ) tanf N 와 2( ) tan( )f N 의 두 함수를 만족하는 곳이 maxima이다.

10.2.3 Rectangular Aperture

아래 그림은 z 축을 따라 진행하는 monochromatic plane wave가 aperture면 ab를 투과하여

점 P 에 회절무늬를 만드는 것을 보여주는 그림으로 점 P 가 있는 투영면은 aperture면과 평

행하다. 이때 aperture의 미소면적 ds dxdy 는 아주 작게 생각하면 ds 에서 나온 2 차 파들

은 coherent하고 초기 위상 차가 없다고 가정해도 무방하다.

A 를 단위면적당 소스진폭(amplitude)이라 하면

( )A i t k rdE e ds

r

(10.52)

연속 진동자(oscillators)에 대한 수학적 기법에서 논한 바와 같이 분모의 r 은 R 로 놓아도

amplitude에는 별 영향이 없다( orr dx dy ). 그러나 exponential에 있는 r 은 작은 변화에

서 조차 큰 위상의 변화를 가져와 점 P 의 irradiance에 영향을 준다. 따라서 이곳의 r 은 R

로 변경할 수 없으며, 이 r 을 ,x y 좌표로 바꾸어 점 P 에서의 전기장을 계산한다. Aperture

면과 P 가 있는 투영면은 평행하므로 미소면적 ds 부터 점 P 까지 거리는

2 2 2 1/ 2{( ) ( ) }r X x Y y Z 2 2 2 2 2 1/ 2[( ) 2( ) ( )]X Y Z xX yY x y

2 2 2 2R X Y Z 이므로

2 2 2 2 1/ 2[(1 2( ) / ( ) / ]r R xX yY R x y R

2[(1 ( ) / ] ( ) /R xX yY R R xX yY R

188

Aperture면 ab에 의한 점 P 에서의 전기장은

( )( )/A

A

i t k Rik x X yY Re

E e dsR

(10.53)

/ 2 / 2

/ 2 / 2

( )//a b

A

a b

i t k Ri k yY Rik x X Re

E e dx e dyR

(10.54)

(10.54)는 r 의 작은 변화에 대한 위상변화를 고려하는 수식이다.

지수들을 다음과 같이 놓고 적분하면

'2

kaX

R :

2 'kxXx

R a

(10.55)

'2

kbY

R :

2 'kyYy

R b

(10.56)

/ 2 / 2

/ 2 / 2

/ 2/2

(2 '/ ) (2 '/ )/ [ ]2 '

a a

a a

aa

i a x i a xik x X R ae dx e dx e

i

' ' sin '( )

2 ' '

i ia ae e

i

/ 2 / 2/ 2

/ 2/ 2 / 2

/ (2 '/ ) (2 '/ )[ ]

2 '

b bb

bb b

ik yY R i b y i b ybe dy e dy e

i

' ' sin '( )

2 ' '

i ib be e

i

이들을 (10.54)에 대입:

( )sin ' sin '

( )( )' '

A

i t kRA e

ER

(10.57)

여기서 A ab 로 aperture 면적. 0, 0X Y , 즉 oP 에서의 irradiance를 (0)I 라 하면

21(0) ( )

2

AAI

R

(10.58)

2 2sin ' sin '( , ) (0)( ) ( )

' 'I X Y I

(10.59)

Minima의 위치

(a) X 축의 minima 조건: sin '

' 0 1'

이면서,

sin '0 '

'm

2

' 22

kaXm aX Rm

R

:

RX m

a

(10.60)

(b) Y 축의 minima 조건: sin '

' 0 1'

이면서,

sin '0 '

'm

2

' 22

kbYm bY Rm

R

:

RY m

b

(10.61)

여기서 1, 2, 3,m .

각 축의 subsidiary maxima는 이들 minima 사이에 존재한다.

이 조건들에서 ( , ) (0,0) (0)I X Y I I 는 maximum irradiance이다.

다음 그림은 10a b 인 정사각형(square) aperture와 10a , 5b (또는 역)인 직사각

형(rectangular) aperture의 nodal line grid 및 실제 image이다.

189

10.2.4 Circular Aperture

Circular aperture의 Fraunhofer 회절은 실질적인 광학장비의 연구에 대단히 중요하다. 이 분

야의 회절을 논하려면 수학적으로 Bessel function을 알아야 한다. 따라서 Bessel function을

먼저 공부한 후 circular aperture의 Fraunhofer 회절을 논하도록 하자. Bessel function에서

논하는 수식은 번호 앞에 B를 붙여 본문의 번호와 구분한다.

※ The Bessel Functions

Bessel function은 원통좌표(cylindrical coordinates)에서 Laplace equation의 해(solution)로

발견되기 때문에 cylindrical equation 또는 cylindrical harmonics로 알려져 있다.

Bessel’s differential equation:

22 2 2

2( ) 0

d y dyx x x n y

dxdx

여기서 n는 Bessel function의 order로 임의의 실수(arbitrary real number) 또는 복소수

(complex number)이다. 가장 일반적인 경우는 n 가 정수(integer)이거나 반정수(half integer)

로 나타난다.

Bessel functions of first kind: ( )nJ x

( )nJ x 는 n 가 음수가 아닌 정수(non-negative integer)에 대해 원점( 0x )에서 유한한

(finite) Bessel 미분방정식의 해(solution)이다. 그리고 음수인 비 정수(negative non-integer)

에 대해서는 x 가 0 에 접근할 때에 발산하는 것에 대한 해이다.

정수(integer)나 비 정수(non-integer) 해의 형태

2

0

( 1) 1( ) ( )

! ( 1) 2

mm n

n

m

J x xm m n

190

Bessel function의 graph는 1/ x 로 비례하여 decay하는 sine이나 cosine함수이다.

(A) Bessel’s Integrals: Bessel function은 다양한 형태의 integral로 표현될 수 있다.

0

1( ) cos( sin )nJ u u n d

(B.1)

2

0

cos( )( ) cos( )

2

n

n

iuiJ u n e d

(B.2)

2

0

cos( )( ) sin( ) 0

2

n

n

iuiJ u n e d

(B.3)

2

0

sin1( ) cos( ) for even

2n

iuJ u n e d n

(B.4)

( ) 0nJ u for oddn .

2

0

sin1( ) sin( ) for n odd

2n

iuJ u n e d

(B.5)

( ) 0nJ u for evenn .

2 2

0 0

( cos )cos( ) ( )( )

2 2

n n

n

i n uin iui iJ u e e d e d

(B.6)

2 2

0 0

( sin )sin( 1) ( 1)( )

2 2n

n ni n uin iu

J u e e d e d

(B.7)

(B.6)에 0n 와 1n 을 적용하면 ( )oJ u 와 1( )J u 를 얻을 수 있다.

0n : 2

0

cos1( )

2o

iuJ u e d

(B.8)

1n :

1

1

2

0

( cos )( )( )

2

i uiJ u e d

(B.9)

(B) Bessel’s Recurrence Relations

Bessel function은 다음의 관계를 가지며, 이것은 위의 integrals로 증명할 수 있다. 여기서 n

는 dummy index이기 때문에 임의의 정수 값을 넣어 수식을 만들 수 있다.

1[ ( )] ( )n n

n n

du J u u J u

du (B.10)

(B.10)을 미분하고 nu 으로 양변을 나누면 다양한 형태의 relations를 얻을 수 있다.

1

1

'( ) ( ) ( )n n n

n n nnu J u u J u u J u

(B.11)

1

' ( ) ( ) ( )n n n

nJ u J u J u

u (B.12)

1

' ( ) ( ) ( )n n n

nJ u J u J u

u (B.13)

1 1

' 1( ) [ ( ) ( )]

2n n nJ u J u J u (B.14)

1 1

2( ) ( ) ( )n n n

nJ u J u J u

u (B.15)

191

(C) Bessel function의 값

First kind Bessel function ( )nJ u 는 u 에 따라 다음의 그림과 같이 감소한다. u 에 대한

( )nJ u 의 값은 수표화 되어 있다.

The Diffraction of the Circular Aperture

평면에 반경이 a 인 aperture의 원점에서 거리 의 미소면적 ds 에 있는 source와 그로 인

한 r 떨어진 ' 평면의 원점에서 거리 q 인 점 P 에서의 회절을 생각하자.

Rectangular aperture 수식(10.53)을 다시 쓰면

( )( )/A

A

i t k Rik x X yY Re

E e dsR

[10.53]

이 수식에 나타난 직각좌표의 , , ,x X y Y 를 원좌표(circular coordinates)로 변환하자.

cosx , siny ds d d

cosX q , sinY q

(cos cos s in s in )xX yY q cos ( )q

192

에 대해서 회절은 independent(가 어느 각이든 회절의 크기는 일정)하기 때문에 0

로 놓으면 위의 식은 다음과 같다.

cosxX yY q (10.62)

(10.62)를 (10.53)에 대입하여 지수를 다음과 같이 놓고 간략히 표현한다.

kqu

R

or u c , (

kqc

R ) (10.63)

0 0

2( )

( / )cosAa

i t kRi k q Re

E d e dR

(10.64)

0 0

2( )

cosAa

i t kRiue

E d e dR

(10.65)

0n 인 (B.8)의 Bessel’s integral은

0

2

0

( cos )1( )

2

i uJ u de

[B.8]

이므로 (10.65)의 에 대한 적분은 Bessel function인 ( )oJ u 이다. 즉

0

2 cos2 ( )o

iue d J u

[B.8.1]

그 결과 (10.65)는 다음과 같이 적분으로 표시된다.

0( )

a

oE C J c d (10.66)

여기서

( )2 A

i t kR

CR

e

, kq

cR

(10.67)

(10.66)을 적분하기 위하여 Bessel relation (B.10)에 1n 을 적용하여 푼다.

1[ ( )] ( )n n

n n

du J u u J u

du [B.10]

1[ ( )] ( )od uJ u J u udu [B.10.1]

1

22

11

[ ( )] ( )o

uuu u

uJ u J u u du [B.10.2]

u c du cd [B.10.3]

적분구간은 1 0u , 2u a 그리고 [B.10.3]을 [B.10.2]에 대입하고 적분하면

1 0 1 00 0

1[ ( )]( )( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

a aa a

o oJ c c cd c J c J c d J cc

10

( ) ( )a

o

aJ c d J ca

c [B.10.4]

따라서 (10.66)의 적분 결과는 다음과 같다.

1( )a

E C J cac

(10.68)

(10.68)을 다음과 같이 변형하고 여기에 (10.67)에 있는 C 와 c의 본래 값을 대입하면

2 1( )J caE Ca

ca

193

2

1 1

( )( )(2 ) ( / ) 2 ( / )

[ ] ( )[ ]/ /

A A

i t kRi t kRa e J kaq R A J kaq R

E eR kaq R R kaq R

(10.69)

여기서 2A a .

다음과 같이 u 를 새롭게 정의하고 (10.69)를 이 u 로 다시 표기하자.

kaqu

R (10.70)

1 ( )2 ( )( )[ ]A i t kRA J u

E eR u

(10.71)

1( ) 1

2

J u

u at 0u , 이때 (10.69)의 대괄호 속은 1이다. 따라서 0q ( 0u )인 곳, 즉 점

oP 에서의 irradiance는

21(0) ( )

2

AAI

R

(10.72)

점 P 에서 Irradiance: 21( )

(0)[ ]2 u

I Iu

J (10.73)

(10.70)의 u 를 대입하면: 21( / )

(0)[ ]/

2 kaq RI I

kaq R

J (10.74)

그림에서 sin /q R 이므로: 21( sin )

(0)[ ]sin

2 kaI I

ka

J

(10.75)

※ The reason of 1( ) 1

2

J u

u at 0u

위의 Aperture의 ' 평면에서 0q 이면 [(10.70)에 의해 0u ] 회절 중심점 oP 의 위치가

된다. 따라서 oP 에서 irradiance를 구하려면 먼저 Bessel relation (B.12)에 1n 을 넣고

(0)oJ 와 ' (0)oJ 의 값을 구해야 한다.

1

' ( ) ( ) ( )n n n

nJ u J u J u

u [B.12]

11

'(0)(0) (0)

0o

JJ J [B.12.1]

1(0) / 0J 의 값을 구하려면 (0)oJ 와 '

1(0)J 의 값을 알아야 한다. 0n 인 Bessel integral의

(B.8)에, 0u 를 대입하고 적분하면

2

0

cos1( )

2o

iuJ u e d

[B.8]

2

0

1(0) 1

2oJ d

[B.8.2]

1n 인 Bessel integral의 (B.9)을 u 에 대해 미분하면

1

2

0

( cos )1( )

2

i uJ u e d

i

[B.9]

1

2

0

( cos )' 1( ) cos

2

i uJ u e d

[B.9.1]

0u 를 대입하고 적분하면

194

2 22

10 0

' 1 1(0) cos (cos sin cos )

2 2

iJ e d i d

22

0

1(cos sin cos )

2i d

2

0

1 1 1[(1 cos 2 ) sin 2 ]

2 2 2i d

1

' 1(0)

2J [B.9.2]

[B.12.1]을 다시 쓰면: 11

'(0)(0) (0)

0o

JJ J

(B.8.1)에서 (0) 1oJ 그리고 [B.9.2]에서 1

'(0) 1/ 2J 을 위의 식에 대입하면

1(0) 1

0 2

J [B.9.3]

이것의 물리적인 뜻은 u 가 0 에 접근할 때 1( ) /J u u 는 1/ 2 에 수렴함을 의미한다. 이것을 수

학적으로 다시 표현하면

1

0

( ) 1lim

2u

J u

u [B.9.4]

다음 그림은 circular aperture로부터 만들어진 회절의 모양을 보여준다.

Applications

(A) Airy Disk, Minima and Secondary Maxima

Irradiance: 21( )

(0)[ ]2 u

I Iu

J [10.73]

Airy disk: Towering central maximum.

Airy disk는 1( )J u 가 첫 번째로 0 가 되는 dark ring으로 둘러

쌓인 지역이다. 1( ) 0J u 가 되는 첫 번째 u 의 값은 3.83u 이

다. 이것은 위에서 보여 준 Bessel function의 graph에서 찾거나

table에서 구한다.

11 1

2 3.83( ) 3.83

2

kaq a Ru q q

R R a

(10.76)

195

Airy disk diameter: 1 1.22

2

Rq

a

(10.77)

1q 은 첫 번째 밝은 무늬(star)를 가리는 Airy disk의 크기이다. Aperture 직경(diameter)은

2D a , 렌즈가 스크린에 초점이 맞춰져 있다면 초점거리(focal length)는 f R .

1 1.22f

qD

(10.78)

그리고 Airy disk를 각으로 나타내면

1 sinq

f

1.22D

(10.79)

The higher order zeros occur at 7.02, 10.27,u

The secondary maxima are located where the condition of u is

12

( )[ ] 0 ( ) 0J ud

J udu u

(10.80)

이 2 차 peak들은 table에서 5.14, 8.52,u 들이다.

(B) Resolution of Imaging System

광범위한 물체(extended object)로부터 렌즈에 들어오는 빛은 incoherent할 뿐만 아니라 다른

부분에서 반사하여 phase가 변한 빛도 들어오기 때문에 일부의 회절무늬 (diffraction pattern)

는 겹쳐진다. Incoherent한 밝기가 같은 두 점원(point source)으로부터 광이 들어온다고 가정

했을 때, 겹쳐진 회절무늬를 구분할 수 있는 최소 거리와 각은 각각 (10.78)과 (10.79)에 의해

다음과 같이 정의된다.

The angular limit of resolution: min( ) 1.22D

(10.81)

The length limit of resolution: min( ) 1.22f

D

(10.82)

196

여기서 와 은 각각 images의 중심과 중심의 이격(separation) 각(angle)과 길이이다.

각의 분리가 (10.81) 이하로 내려가면 두 상은 구분하기가 어려워지고 종국에는 겹쳐지는

fringe가 될 것이다. 이와 달리 각 분리가 이면, 상(image)은 뚜렷이 구분된다.

분해능(Resolving power): The angular limit of resolution min( ) 또는 the length limit of

resolution min( ) 의 역수로서 정의된다.

197

min

1

( ) 1.22P

DR

(10.83)

min

1

( ) 1.22P

DR

f

(10.84)

분해능을 크게 하기 위하여 microscope는 visible보다 UV(ultraviolet)를 사용하고 electron

microscope는 빛의 파장의 4 510 ~10

인 파장에 해당하는 전자의 파장을 사용한다. 이와 달

리 telescope는 직경을 크게 하여 분해능을 증가시킨다.

(예) Airy Mount Palomar 200-in telescope는 5m-diameter의 mirror를 가지고 있고 550nm

에서 angular limit of resolution이 22.7 10 s of arc이며, 이와 반대로 Jodrell Bank radio

telescope는 250-ft diameter로 limit of resolution이 700s of arc 이다.

사람의 눈은 pupil diameter가 다양하게 변하지만 밝은 조건하에서 이것을 약 2mm 라 하고

파장이 550nm 에 대해 계산하면 min( ) 1min of arc 이며, 약 20mm의 초점거리를

가지고 망막 위에서 min( ) 6700nm 이다. 이것은 receptors 사이 spacing의 대충 2 배이

다. 그러므로 인간의 눈은 약 100 yard의 거리에서 1-inch 떨어진 두 점을 분해할 수(구분할

수) 있어야 한다.

10.2.5 The Diffraction Grating

Grating: 회절요소의 반복적인 좁은 array(apertures or obstacles)를 grating이라 한다. 일반

적으로 grating은 반사되거나 투과된 전자기파 에너지를 orders나 spectral orders라 부르는 순

서의 구분되는 방향으로 회절과 상호간 간섭효과를 가져오는 것을 말하며, 위상(phase)이나 진

폭(amplitude) 또는 둘 다 주기적인 반복을 나타나게 하는 데 효과적이다. 대표적인 grating은

투명한(transparent) 물질에 평행이며 간격이 일정한 파여진 선(grooves or rulings)의 배열

(array)을 만들거나 또는 a grid of fine wire 처럼 multiple-slit configuration을 갖도록 만든

것이다.

광원은 일반적으로 tungsten filament와 같은 대역이 넓은 연속적 spectrum을 사용한다. 유리

와 같은 투명한(transparent) 물질에 평행이며 간격이 일정한 파여진 선(grooves or rulings)의

배열(array)로 만든 grating은 투명하기 때문에 진폭(amplitude)의 변조(modulation)는 거의

없지만 optical thickness에서 차이가 있기 때문에 위상(phase)의 변조가 있다.

Grating은 다음과 같은 종류가 있다.

Transmission amplitude gratings: 다중슬릿(fine wire or thread)에 의한 방향성 회절 grating.

Transmission phase gratings: 광이 지나가는 물질의 두께(optical thickness)에 의한 위상변조

(phase modulation) grating.

다음 그림은 이러한 회절의 구조를 보여준다.

198

Reflection phase gratings: 유리에 알루미늄 박막을 입히고 그곳에 선이 규칙적으로 그어진

grating이다. 일정한 간격으로 V자 모양의 평행한 새김 눈 흠집(scratching parallel notches)

들은 산란되는 선형 소스(line source)로서 작용하여 방향성 반사 회절을 만든다. 편편한 유리

에 도포 시킨 알루미늄 박막(thin film)을 흠집(scratch)내서 만든 grating은 자외선

(ultraviolet) 영역에서 좋은 반사체(reflector) 역할을 한다.

아래 그림은 이러한 형태의 grating을 보여준다.

Normal incidence에 대한 grating 방정식: sin ma m (10.85)

1sin ( )m

m

a

(10.86)

m : 다양한 spectrum에 대한 principal maxima를 만족하는 order이며 정수 값.

: 입사광의 파장

a : 이웃 groove와의 간격

Grating 방정식은 파장에 의존하기 때문에 하나의 연속적인 spectrum(예: tungsten filament

199

에서 발산하는 넓은 영역대의 spectrum)은 조금씩 다른 파장에 의해 m 에 해당하는 여러 색

깔이 분산하여 나타난다. 이때 보조(subsidiary) maxima로 점령된 영역들은 어떤 빛이 결여된

어렴풋한 bands로 보인다.

이중 슬릿의 경우 도달한 두 빛은 irradiance maximum의 정확한 중심으로부터 어느 정도 벗

어났다고 하더라도 그 지점에서 다소간 같은 위상(in phase)이기 때문에 강도는 약간 줄어 들

지만 여전히 감지가 가능하다. 따라서 이중 슬릿은 밝은 영역이 상당히 broad하다. 이와 반대

로 다중 슬릿에서는 거의 maxima의 중심에서만 보강 간섭한다. 예를 들면 점 P에 들어오는

빛이 정확한 정수 값 sin 1.000ma 대신에 sin 1.010ma 로 m 으로부터 약간 벗어났

다고 가정하자. 이 경우 연속적인 슬릿으로부터 오는 파의 각각은 전 것에 비해 0.01 이동되

어 P점에 도달한다. 그 때 첫 번째로부터 50번째 슬릿에서 오는 파는 / 2 이동되어 있고 슬

릿 1번에서 오는 파와 50 번에서 오는 파는 소멸할 것이다. 이것은 2 번째와 52 , 3 번째와

53 번째 슬릿들에 대해서도 마찬가지이다. 그 결과 maxima의 중심을 벗어나면 irradiance는

급격히 떨어진다.

(10.85)에서 m 은 principal maxima를 만족하는 정수 값이며, 0m 는 0 로서 소스로부터

직접 들어온 백색광(zeroth order undeflected image)에 해당한다. Grating 방정식은 파장에

의존하기 때문에 하나의 0 를 제외한 영역에서는 연속적인 spectrum 속에 조금씩 다른 m 에

해당하는 여러 색깔이 퍼져있다. 보조 maxima에 의해 점령된 영역들은 보기에 어떤 빛이 결

여된 어렴풋한 bands로서 나타난다. 1m 의 first order spectrum은 o 의 양 편에 나타나

고 차례로 2, 3,m 이 전개되며, sin /ma m 이기 때문에 a 가 작으면 작을수록 볼

수 있는 order의 수는 더 작아 진다. 이것은 Young의 이중 슬릿과 같은 원리이다.

이들을 요약하면 다음과 같다.

Order m 에 의한 grating 방정식의 해석

(a) 0th order 0m : 0o 에 해당.

직접적인 투과나 정반사에 의해 벗어나지 않

고(undeflected) 여러 개의 파장이 겹쳐져

백색으로 나타나며 광원 자체의 빛깔을 반영

하므로 어떤 파장이 섞여 있는지 구분이 불

가능하다.

(b) 1st order 1m : 0o 의 양 편에 나

타난 회절로 섞여 들어 온 여러 파장이 분산

되어 나타난다. 우측 그림은 이것을 잘 보여준다.

(c) Higher orders | 1 |m : 분산되어 나타나는 것은 같으나 만일 한 파의 order m 이 다른

파의 order 'm 과 정수 배의 관계가 있다면 두 파는 그곳에서 겹쳐진다.

(d) sin /ma m 이기 때문에 a 가 작으면 작을수록 볼 수 있는 order의 수는 작아 진다.

200

General situation of oblique incidence

위의 transmission과 reflection grating 그림에서 grating 방정식은 다음으로 표시할 수 있다.

The grating equation: (sin sin )m ia m (10.87)

거울반사처럼 specular reflection은 m i 이면 zeroth order인 0m 에 해당한다.

대부분의 현대 gratings는 우측 그림과 같은 blazed variety로 되어 있다. 여기서 nonzero

orders의 angular position m 의 값은 a , , 그리고 중요한 입사각 i 에 의해 결정된다. 그

러나 i 와 m 은 다음의 그림처럼 개별적인 groove의 표면이 아닌 grating plane의 normal

line에서 측정된 값이다.

한편 single-facet diffraction pattern에서 peak의 위치(location)는 각 groove에 대한 면의 정

반사(specular reflection)를 벗어나 있다. 이것은 blaze angle 의 지배를 받고 독립적으로

m 에 의해 변할 수 있다.

입사파(incident wave)가 한 blazed reflection grating의 평면에 수직(normal)일 때(위의 우측

그림 참조)의 상황을 생각하자. 즉 0i , 그 결과 0m 에 대해 0 0 .

정반사조건 2i r (좌측 그림 참조)에 대해 대부분의 diffracted radiation은 2r 주

위에 집중된다. 여기서 입사와 반사광은 grating normal에 대해 같은 side에 있기 때문에 r

은 음수(negative)이다. 이것은 중심 image의 한 편(one side)에 있는 특별한 nonzero order

와 일치할 것이다. 달리 말하면 2m 일 때 필요한 와 m 에 대한 sin( 2 )a m 를

만족하는 상황이 된다.

Grating Spectroscopy

간격이 무한히 작은 incoherent source를 생각하자. 이것은 filament에서 발산하는 여러 파장

201

이 섞여 있는 빛이 다중 슬릿의 좁은 창에 들어오는 경우로 생각해도 무방하다. 이러한 경우

spectral line의 효과적인 폭은 principal maximum의 양쪽 zeros사이의 angular distance로

정의되는 다중 슬릿의 회절 수식인 (10.47)을 따르는 것으로 표기할 수 있다. 즉

2

N

(10.88)

N 는 incoherent source의 수(슬릿의 수로 생각해도 무방)이다. Oblique incidence에서 를

다음과 같이 재정의 하면

(sin sin )2

i

ka (10.89)

여기서 입사각 i 는 일정.

의 작은 변화는 (10.89)를 미분하는 것과 같으므로

2cos

2

ka

N

(10.90)

2 2 2( )( )cos

2 cos

a

N Na

Angular width of a line: 2

cos mNa

(10.91)

수식에서 는 grating 자체의 폭 Na 에 역 비례한다.

Grating spectroscopy에서 중요한 또 다른 양은 prism처럼 다음의 angular dispersion이다.

Angular dispersion: d

d

D (10.92)

(10.85)의 grating 방정식 sin ma m 을 미분하면

cos ma d md

cos m

d m

d a

D (10.93)

(10.93)의 의미는 order m 이 증가하면 두 개의 다른 frequency line들 사이의 angular

separation이 증가한다는 것을 뜻한다.

두 line 사이에 파장 차가 중첩될 정도로 아주 작으면 결과 peak들은 구분하기가 어려워 지며,

이것은 resolving power로 정의 된다.

The chromatic resolving power: min( )

R (10.94)

여기서 min( ) 은 최소 분해 가능한 파장 차 또는 limit resolution이고, 는 평균(mean) 파

장이다. 똑 같은 intensity를 갖는 두 fringe의 resolution에 대한 Rayleigh’s criterion은 하나

의 principal maximum이 다른 fringe의 첫 번째 minimum과 일치할 때이다.

Rayleigh: 두 fringes를 구분할 수 있는 최소 상태로 그림에서 보는 바와 같이 resolution의

limit에서 angular separation은 linewidth의 반이다. 이것을 식 (10.91)을 가지고 표현하면

2

cos mNa

[10.91]

202

min( )cos mNa

(10.95)

(10.93)의 dispersion을 변형하면

cos m

d m

d a

D [10.93]

min min( ) ( )cos m

m

a

(10.96)

(10.95) (10.96)의 결합으로부터 (10.94)의 resolving power R 을 얻을 수 있다. 즉

min

min

( )cos cos ( )m m

mmN

Na a

min( )mN

R (10.97)

또는 (10.87)의 grating equation에 의해

(sin sin )(sin sin ) m i

m i

aa m m

[10.87]

(sin sin )m iNa

R (10.98)

수식에서 보는 바와 같이 resolving power R 은 grating width Na , 입사각 i 그리고 파장

의 함수이다.

(예) Inch당 15,000 lines를 가진 6 inches 폭의 gratings는 49 10 linesN .

이것의 resolving power는 대략 51.8 10 R 정도이다.

이 grating이 540nm 근방에서 분해할 수 있는 min( ) 은 (10.94)에 의해

min 5

min

540nm( ) 0.003nm

( ) 1.8 10

R

R

가장 큰 R 은 (10.98)에서 o90i m 일 때( i 와 m 이 같은 side에 있을 때)이다. 이것

은 grating 장치가 autocollimation할 때 얻어 진다.

auto

2 sin iNa

R (10.99)

1m 인 600nm 의 한 선은 2m 인 300nm 또는 3m 인 200nm인 선과 겹쳐진다.

203

만일 연속적인 order인 ( 1)m 과 m 에서 와 ( ) 파장의 두 선이 겹친다면 이때

grating equation은 다음과 같다.

(sin sin ) ( 1) ( )m ia m m

정확한 파장 차는 Fabry-Perot interferometer에서 정의한 것처럼 free spectral range로 알려

져 있다.

Free spectral range: f s r( )

m

(10.100)

10.3 Fresnel Diffraction

Fraunhofer diffraction에서는 파를 평면파로 취급하고 변수인 거리 r 을 일정한 중심거리 R

로 근사(approximation)하였다. 이 장의 시작에서 언급한 바와 같이 Fresnel 회절은 aperture

와 광원(source) 및 스크린이 가까운 near-field diffraction이다. 이 회절 현상은 평면 파가 아

닌 구형 파를 생각함으로써 해석이 가능하기 때문에 (10.19)의 분모에 있는 거리 r 을 변수로

취급한다.

( )

L

i t k redE dy

r

[10.19]

10.3.1 구형 파의 진행(Propagation of a Spherical Wave)

2 차(secondary) emission 파의 지향성(directionality)을 나타내기 위하여 경사인자를 도입한

다. 경사인자는 파가 뒤로는 진행하지 않고 앞으로만 진행하는 것을 나타낸 수학적 표현이다.

경사인자(inclination or obliquity factor): 1

( ) (1 cos )2

K (10.101)

는 소스로부터 법선(normal)인 일차파면(wavefront) k 와 관측 점 P 가 만드는 각이다.

앞 방향(forward direction): (0) 1K , 뒤 방향(backward direction): ( ) 0K

204

점 광원(point source) S 로부터 방출되는 구형 단색광파(monochromatic wave)가 퍼져 나가

는 것을 시험하자. P 에 모이는 광을 분석하기 위하여 다음 그림을 참조하면 구형면(spherical

surface)은 0t 에서 S 로부터 방출된 후 어떤 임의의 시간 't 에서 일차(primary) wavefront

와 일치한다. 이때 퍼져나가는 전기장은 다음과 같이 표시된다.

( ' )o i t kE e

(10.102)

Fresnel zones(half-period zones): 점 P 를 원점으로 반경이 0.5or , or , 1.5or 처

럼 이웃과 반 파장 차를 경계로 갖는 영역. 임의의 한 zone 내에 있는 2 차 점 광원은 이웃

zone에 대해 P 로부터 / 2 만큼 더 멀거나 가까운 광원이다.

소스에서 퍼져 나오는 구형 파로부터 점 P 에 만드는 Fresnel 회절을 계산하도록 한다.

아래 그림에서 고리 모양의 띠 면적 dA내의 모든 점원(point source)은 결맞음(coherent) 하

다고(간섭성이 있다고) 하자. 따라서 dA 내의 각 점은 같은 위상(in phase)의 파를 만드는 2

차 소스들로 생각하며, 여기서 생긴 2 차 파(secondary wavelets)들은 시간 t 에 똑 같은 위상

(phase) 즉 ( )t k r 을 가지고 거리 r 에 있는 점 P 에 도달한다고 가정한다.

205

2 차 emitter들이 내는 단위면적당 소스(source) 강도인 amplitude를 A 라 하고

A 는 /o

에 비례한다고 생각하여 비례인자(factor) Q를 도입하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

oA Q

(10.103)

dS 에 있는 2 차 점원들이 emission하여 점 P 에 들어오는 전기장은

[ ( )]A i t k rK dAdE e

r

(10.104)

경사인자(obliquity factor) ( )K 는 천천히 변하는 양이어야만 하고 하나의 Fresnel zone에서

이 값은 거의 일정(constant)하다.

띠의 면적: [2 ( sin )]( ) 2 ( sin )dA d d (10.105)

여기서 sin 는 구의 중심선 'O O 에서 구 각 면적 da 띠의 내선에 내린 수선으로 dA 의

면적을 계산하는 데 사용할 수 있는 반경이다. PSZ 에 cosine rule을 적용하고 이것을 미분

하면

2 2 2( ) 2 ( )coso or r r

2 2 ( )sin sino

o

rr dr r d d dr

r

(10.106)

(10.106)을 (10.105)에 대입하면

2( )o

dA r drr

(10.107)

다시 (10.107)을 (10.104)에 대입하면

[ ( )]2

( )

A

o

i t k rdE K e dr

r

(10.108)

l 번째 zone으로부터 점 P 에 만드는(도달하는) lE 은

1

[ ( )]2

( )

A

l l

o

l

l

r i t k r

rE K e dr

r

1

[ ( )]2 1( )[ ]

( )

l A

l

o

l

l

ri t k rr

KE e

r ik

※ 1

1 1

[ ( )] ( ) ( ) 1[ ][ ( )]

l l l

ll l

r r ri t k r i t k i t kik r ik rrr r

e dr e e dr e eik

2 /k 를 대입하면

1

[ ( )][ ]

( )

l A

l

o

l

l

ri t k rr

KE e

i r

1( )( )

( )

l A

l

o

l li k r i k ri t kKE e e e

i r

(10.109)

만일 zone이 Fresnel zones의 하나라면, 즉 zone간의 파장 차가 / 2 라면

2l or r l

206

1 ( 1)2 2

l l or r r l

(10.109) 괄호 계산: 1[ ( / 2)] / 2( ) ( ) (1 )l l l l li k r i k r i k r i k r i k r i ke e e e e e

2l or r l

을 대입하면

1 / 2 / 2( ) (1 )l l oi k r i k r i k r i k l i ke e e e e

이것은 다음과 같이 계산된다.

2

2 2

kl ll

:

/ 2 1 when is oddcos( ) sin( )

1 when is even

i k l l le e l i l

l

2

2 2

k

:

/2(1 ) 1 (cos sin ) 2ike i

이러한 결과들을 (10.109)에 적용하면

1 [ ( )]2

( 1)( )

l l A

l

o

oi t k rKE e

i r

(10.110)

1 2( 1) [cos( ) sin( )]

( )

l Al o o

o

l KE t k kr i t k kr

i r

전개 값의 실수부분(real part)을 취하면, 즉 sine 부분만 취하면

1 2

( 1) sin[ ( )]( )

l l A

l o

o

KE t k r

r

(10.111)

(10.111)은 l 이 홀수 또는 짝수인가에 따라 lE 은 그 부호가 바뀐다. 그 이유는 전제 조건에서

보았듯이 zone간의 파장 차는 반 파장이었기 때문이며 이것은 이웃한 zone이 out of phase,

각으로는 radian 위상 차가 있는 것을 의미한다.

lE 에 의한 점 P 에서 E 의 해석

zone 1로부터 zone m 에 의한 점 P 에서 합쳐진 E 의 크기.

1 2 3 mE E E E E

1 2 3| | | | | | | |mE E E E E (10.112)

l 이 증가하면 는 증가하고 K 는 감소하며 따라서 연속적인 부분은 서로 상쇄되지 않는다.

(a) 만일 m 이 홀수이면 (10.112)는 다음의 두 가지 방법으로 재구성할 수 있다.

(1)

3 3 51 12 4

21

| | | | | || | | |( | | ) ( | | )

2 2 2 2 2

| | | | | |( | | )

2 2 2

m m mm

E E EE EE E E

E E EE

(10.113)

(2)

62 2 4 41 3 5

3 1 12

| || | | | | | | || | ( | | ) ( | | )

2 2 2 2 2

| | | | | |( | | ) | |

2 2 2

m m mm m

EE E E EE E E E

E E EE E

(10.114)

207

괄호 내의 중앙 값이 가장 가까운 이웃들의 평균 값보다 크다면, 즉 다음의 조건이면

1 1| | | || |

2

l l

l

E EE

(10.115)

괄호 속은 음수가 된다. 결과적으로 (10.113)과 (10.114)의 결과는 각각

(3) 1| || |

2 2

mEEE (10.116)

(4) 11

2| | | || | | |

2 2

mm

E EE E E (10.117)

이웃의 두 zone은 대략적으로 같으므로 1 2E E ,

1m mE E이다. 그러므로 (10.117)은

11 1

2 1| | | || | | || | | | | | | |

2 2 2 2

m mm m

E EE EE E E E E

1| || |

2 2

mEEE (10.118)

(10.116)과 (10.118)은 서로 배치 된다는 결과로부터

1| || |

2 2

mEEE (10.119)

(b) 만일 m 이 짝수이면 위와 같은 계산법에 의해 (10.112)는

1| || |

2 2

mEEE (10.120)

o90 에서 일어나는 마지막의 zone의 경사도(obliquity) K 값은

o( ) (90 ) 0K K for / 2 | |

이 경우에 (10.119)와 (10.120)은 다음과 같다.

1| |

2

EE (10.121)

따라서 완전히 방해 받지 않은 파면(unobstructed wavefront)에 의해 만들어진 E 는 첫 번째

zone으로부터 오는 것의 약 반과 같다.

만일 일차 파가 t 시간 후에 소스 S 로부터 점 P 에 진행하여 온다면

][ ( )cos[ ( )]

( ) ( )

o oo

o o

oi t k rE e E t k r

r r

(10.122)

그러나 2 차 파속으로부터 합성된 wavelets인 (10.111)과 (10.121)은

1 sin[( ( )]( )

A

o

o

KE t k kr

r

(10.123)

(10.111)과 (10.122)의 두 식은 같아야 한다. 이것을 위해 (10.123)을 해석하면 forward에 대

해 1 1K . 1/Q . 이러한 경우 A o

여기서 A 는 반경 인 일차 wavefront에 대한 단위면적당 2차 파(secondary wavelets)의

source strength이고 /o 는 그 일차 파인 ( )oE 의 amplitude이다. (10.122)와 (10.123)은

/ 2 phase difference가 있다. 이것은 2차 source가 primary wave에 대해 1/4 파장의 out

of phase를 방출한다고 생각하면 해결되는 문제이다.

208

10.3.2 The vibation Curve

원형으로 등방적(symmetry)인 회절문제를 그림방법으로 해석해 본다. 위에 소개된 그림에서

첫 번째 Fresnel zone이 N 개의 subzone으로 나뉜다고 생각하면 점 P 를 중심으로 한 반경

은 각각 다음과 같을 것이다.

2 3, , , ,

2 2 2 2o o o or r r r

N N N

각각의 subzone이 점 P 에 기여한 모든 값의 합은 결과적으로 물론 1E 이다. 중심 O 로부터

이 zone의 끝까지의 위상 차는 rad (파장으로 / 2 )이므로 각 subzone은 / N 의 위상이

동이 있다. 그 예로 아래 그림은 10N 일 때 subzone phasor의 벡터 합을 보여준다. 이 그

림에서 obliquity factor K 는 연속적으로 amplitude를 줄이기 때문에 phasor의 chain은 원으

로부터 약간씩 빗겨난다. 만일 N 이면 곡선은 smooth spiral이 되며, 연속적인 Fresnel

zone을 계속해서 적용하면 spiral은 안쪽으로 반 바퀴 돌면서 radian phase shift를 한다.

위의 우측 그림의 점 sO , 1sZ , 2sZ , 3sZ , , '

sO 은 각각 초기 그림에서 소개된 wavefront

위에 있는 점 O , 1Z , 2Z , 3Z , , 'O 에 해당한다. 각 zone의 반경은 order 수 m 에 비

례하는 것을 다음 절에서 보게 될 것이다. ( )K 는 단지 초기 몇 개의 zone에서 급격히 감소

하고 m 이 증가함에 ( )K 의 영향은 줄어들면서 spiral은 점점 더 밀집되며 각 회전에 대해

작은 양이 벗어난다.

아래 그림처럼 점 P 에 도달하는 wavefront 위 임의의 두 점 O 와 A 사이의 상대적인 위상

각은 phase 차(difference)인 이다. 만일 A 가 wavefront의 한 cap-shaped region의 경계

에 놓여 있다면 그 region의 전 영역으로부터 P 에 만드는 결과는 각 에서 s sO A 이다.

한 방해 받지 않은 파로부터 P 에 만드는 총 disturbance는 O 와 'O 사이에 있는 모든 zone

들이 공헌하는 것의 합으로 그것은 정확히 sO 에서 '

sO 으로 그어진 벡터의 길이이다. 이것은

첫 번째 zone 1s sO Z 이며 '

s sO O 는 O 로부터 P 에 도달하는 파에 대해 90o 위상 차가 있음을

209

알 수 있다. 일차 excitation을 가지고 in phase로 O에서 방출된 한 wavelet는 여전히 그 일

차파인 in phase로 점 P 에 도달한다. 이것은 '

s sO O 이 방해 받지 않은 그 일차 파에 대해

90o out of phase인 것을 의미한다. 우리가 보았던 것처럼 이것은 Fresnel formulation의 첩

경 중 하나이다.

10.3.3 Circular Aperture and Obstacles

(i) Spherical waves

Point source로부터 온 monochromatic spherical wave가 그림처럼 작은 hole을 가진 스크린

에 입사한다고 생각하자. 점 P 에서 aperture를 채운 zonem (가려진 aperture의 제일 끝

zone)을 바라 본다고 하고 이웃한 zone의 lE 은 거의 같다고 하면, 이때 0mK 이다.

(a) m 이 even(짝수)일 때

1 2 3 4 1(| | | |) (| | | |) (| | | |)m mE E E E E E E

0E (10.124)

(b) m 이 odd(홀수)일 때

1 2 3 4 5 1| | (| | | |) (| | | |) (| | | |)m mE E E E E E E E

210

1| |E E (10.125)

(10.125)는 놀랍게도 unobstructed wave (aperture가 없는 가려지지 않은 wave)일 때 얻어진

(10.121)의 2 배이다. 따라서 파의 길목에 screen을 넣어 대부분의 파면을 적절히 막으면 막지

않은 것의 4 배에 해당하는 irradiance(intensity)를 점 P 에서 얻을 수 있고, 점 P 에서 진폭

은 vibration curve로부터 시각적으로 결정될 수 있다. 주어진 aperture에서 zone의 수를 계산

하면 vibration curve의 수는 물론 P 에서의 pattern을 효과적으로 알 수 있다. 이러한 문제를

다루기 위하여 zone의 면적을 계산하면

zonel 까지의 면적: 2 2

02 sin 2 sinldA d A d

22 (1 cos )lA

여기서

2 2 2[ ( ) ]cos

2 ( )

o l

o

r r

r

,

2l o

lr r

2 2 22 [ ( ) ]

2 {1 }2 ( )

o ll

o

r rA

r

1l zone까지의 면적:

2 2 22 1

1

[ ( ) ]2 {1 }

2 ( )

o ll

o

r rA

r

한 zone의 면적:

2 2 2

1 1 11

2 ( ) ( )( )

2 ( ) ( )

l l l l l ll l

o o

r r r r r rA A A

r r

( / 2)(2 / 2) (2 1)[ ]

( ) ( ) 4

oo

o o

r l lA r

r r

(2 1)

4o

lr

이므로

o

o

A rr

(10.126)

만일 aperture의 반경이 R 이라면 이 aperture의 zone 수는

Number of zones: 22 ( )o

o

r RRN

A r

(10.127)

(예) Aperture가 point source로부터 1m 에 있고, 관찰 평면이 aperture로부터 다시 1m 에 있

211

으며 사용 파장이 500nm라면 1m , 1mor , 500nm 이다. Aperture의 반경이 각

각 1mmR 와 1cmR 일 때 zone의 수는 다음과 같다.

1mmR :

2 3 2

2 7

( ) (2m)(1 10 m)4

(1m )(5 10 m)

o

o

r RN

r

1cmR :

2 2

2 7

(2m)(1 10 m)400

(1m )(5 10 m)N

이들은 짝수 이므로 중앙( 0m )은 irradiance가

O 이고 다음 1m 은 밝은 무늬 등등으로 나타

난다. 우측 그림은 aperture의 크기에 따른 다양

한 diffraction pattern을 보여준다. 여기서 중앙

이 밝은 것은 aperture의 Fresnel zone의 수가

홀수일 때이고 검은 것은 짝수 일 때 만들어진

diffraction pattern이다.

(10.127)에서 aperture를 채우는 zone의 수는 P

로부터 O 까지의 거리 or 에 의존한다. 따라서 P 가 중심선을 따라 이동하면 zone의 수가 기

수(odd)와 짝수(even)사이를 oscillate하므로 연속해서 중심이 밝아졌다가 어둡게 변하는 것을

관찰할 수 있다. 이러한 현상은 Fraunhofer 구조에서는 일어날 수 없다. 왜냐하면 정의에 의

해 Fraunhofer는 한 zone만이 있기 때문이다.

(ii) Plane waves

만일 point source가 aperture로부터 멀리 있다면 즉 이면 들어오는 파는 평면 파로

취급할 수 있다. 이때 아래 그림에서 m zone의 반경 mR 을 유도하자.

Zone의 정으로부터 2

m o

mr r

2 2 2 2 2( )2

m m o o o

mR r r r r

2 2( )2

m o

mR mr

(10.128)

212

Order m 이 대단히 크지 않는 한 (10.128)의 두 번째 항은 첫 항에 비해 무시할 수 있을 정

도로 작으므로 다음과 같이 개략적인 수식을 쓸 수 있다.

2

m oR mr (10.129)

Order m 인 zone의 반경 mR 은 m 에 비례한다.

(예) He-Ne laser ( 632.8nmo )를 사용할 때 거리 1.58mor 에서 첫 zone의 반경은

7

1 (1)(1.58m)(6.33 10 m) 1mmR

따라서 m zone의 반경은 mmmR m 이다.

Circular Obstacles

(10.121)에서 본 바와 같이 unobstructed wave의 disturbance는 1| | / 2E E 이었다. 첫 번째

Fresnel zone만 남기고 다른 zone을 가렸을 때가 1| |E E 이므로 만일 첫 번째 Fresnel zone

을 완전히 가린다면

1 11

| | | || |

2 2

E EE E

그러므로 축 위의 어떤 점 P 에서 irradiance는 first zone부분을 가리는 방해물을 삽입한다

해도 변화가 없을 것이라는 추측이 가능하다. 이것을 Poisson’s spot이라 한다.

이것을 수식적으로 증명하기 위하여 opaque obstacle로 l -zone까지 가린다면 나머지 zone들

이 점 P 에 만드는 전기장의 disturbance는

1 2| | | | | |l l mE E E E

여기서 0mK 이기 때문에 0mE

이것의 위에서 unobstructed wave에서 한 방법과 동일하게 계산하면 결과는

1| |

2

lEE (10.130)

Circular obstacle의 바로 뒤를 제외하고 중심 축을 따라 어느 곳

에서나 (10.130)에 해당하는 밝은 점이 있다. 이것은 disk의

circumstance를 넘어 진행하는 wavelets는 중심 축에서 in

phase로 만나는 것을 의미한다. P 가 disk에 접근하면 가 증가

하고 1 0lK 이 되어 intensity는 점차로 감소한다. 만일 A 가

disk 끝 주위의 한 점이라면 sA 는 우측 그림에서 vibration

curve 위의 한 점에 해당한다. 고정 점 P 에 대해 disk가 커짐에

따라 '

sO 쪽으로 반 시계방향의 spirals와 amplitude '

s sA O 은 점

진적으로 감소한다. 또한 일정한 크기의 disk에 대해 P 가 disk 쪽으로 움직여 가도 똑 같은

현상이 벌어진다.

The Fresnel Zone Plate

앞 절에서 본 바와 같이 연속적인 zone은 서로를 없애는 경향이 있다. 만일 모든 even 또는

213

odd zone을 제거하면 에너지 보존법칙에 의해 점 P 에서 irradiance를 상당히 증가시킬 수 있

다는 것을 암시한다. 이 목적을 위해 even 또는 odd zone만 들어오게 만든 plate를 zone

plate라 한다. 점 P 에서 unobstructed wavefront에 대해서는 1 / 2E 이지만 even zone은 가

려지고 처음 20개 odd zone만 통과하도록 한 zone plate에서 disturbance는

1 3 5 39E E E E E

각각의 항은 대략 같으므로 120E E 이다. 이 경우 irradiance는 가려지지 않은 unobstructed

wave 에 비해 무려 1600배가 밝다. Even zone에 대해서도 똑 같은 결과를 얻을 수 있다. 아

래 그림의 좌측과 우측은 각각 even zone과 odd zone이 가려졌을 때 나타난 diffraction

pattern을 보여 준다.

아래 그림은 위의 diffraction pattern을 만드는 zone plate의 geometry를 보여 주며, 이로부

터 order m 에 해당하는 반경 mR 을 계산할 수 있다.

Zone plate는 구조적으로 o mR , o mr R 이다. 따라서 m 과 mr 은 다음과 같이 전개가

가능하다. 2

2 2 1/ 2 2 1/ 2( ) [1 ( ) ]2

m mm o m o o

o o

R RR

22 2 1/ 2 2 1/ 2( ) [1 ( ) ]

2

m mm o m o o

o o

R Rr r R r r

r r

이들 전개 값을 다음 수식에 대입하면

214

( ) ( )2

m m o o

mr r

(10.131)

2 2

[( ) ( )] ( )2 2 2

m mo o o o

o o

R R mr r

r

2 2

2

1 1

2 2 2

m m

o o o o m

R R m m

r r R

(10.132)

평면파인 경우 o . 이 경우 (10.132)는 이미 계산한 (10.129)로 환원된다.

2

m oR mr [10.129]

또한 (10.132)는 thin lens의 공식과 정확히 일치한다. 따라서 일차 초점거리(primary focal

length)는 다음과 같이 표시할 수 있다. 2

1mR

fm

(10.133)

여기서 점 S 와 P 는 conjugate foci이다. Collimated incident beam으로 만든 상의 거리OP

는 primary 또는 first-order focal length이고 이곳은 principal maximum과 일치한다. P 에

나타난 실제 image에 첨가하여 앞에 거리 1f 에 diverging light로 만들어진 virtual image

가 역시 있다. 로부터 1f 거리에서 plate위의 각 ring은 정확히 wavefront위에 있는 하나의

period-zone에 의해 채워진다. 만일 S P 가 쪽으로 움직이면 1 / 3f 에 도달할 때까지 대단

히 작은 maxima와 minima가 나타나면서 1 / 3f 에서 강한 irradiance peak가 다시 나타나고

이 점을 third-order focal point라 하며 1 / 5f , 1 / 7f 에서 연속적으로 peak들이 있다.

10.3.4 Fresnel Integrals and the Rectangular Aperture

Rectangular aperture의 2 차 소스들로부터 P 점에 기여하는 optical disturbance는 circular

aperture와 마찬가지로 (10.104)의 형태로 주어지지만 circular symmetry는 갖지 않는다.

[ ( ) ]AP

i k r tdE K e da

[10.104]

215

(10.122)와 (10.123)의 자유롭게 진행하는 파(freely propagating wave)에서 본 바와 같이

A o 이다. 이것에 의해 위의 식을 다시 쓰면

[ ( ) ]oP

i k r tKdE e da

r

(10.134)

o , or 에 비교하면 aperture의 크기는 대단히 작으므로 다음을 approximation하여 사용한다.

( ) 1K , 1 1

o or r (10.135)

길이에 대해 이항정리를 적용하여 전개하면 2 2

2 2 2 1/ 2 1/ 2

2( ) (1 )o o

o

y zy z

2 2

2

1[1 ( )]

2o

o

y z

2 22 2 2 1/ 2 1/ 2

2( ) (1 )o o

o

y zr r y z r

r

2 2

2

1[1 ( )]

2o

o

y zr

r

2 2( )2

o oo o

o o

rr r y z

r

(10.136)

미소면적 da dydz 이고 (10.135)와 (10.136)을 (10.134)에 대입하면

)

2 2

][ (

exp{ [( ) ]}2

o o oP

o o o o

o o ti k re r

dE ik y z dydzr r

(10.137)

이 수식을 단순화하기 위하여 다음의 단위가 없는 변수(dimensionless variables)들을 정의하

여 사용하자.

1/ 2 1/ 22( )[ ] [ ]

2( )

o o o o

o o o o

r ru y y u

r r

:

1/ 2[ ]2( )

o o

o o

rdy du

r

(10.138)

1/ 2 1/ 22( )[ ] [ ]

2( )

o o o o

o o o o

r rv z z v

r r

:

1/ 2[ ]2( )

o o

o o

rdz dv

r

(10.139)

(10.138)과 (10.139)를 (10.137)의 exponential 항과 dydz 에 대입하여 치환한다.

※ 2 2exp{ [( ) ]}

2

o o

o o

rik y z dydz

r

2 2 1/ 2 1/ 22exp{ [ ]( )]}{ [ ] }{ [ ] }

2( ) 2( ) 2 2( ) 2( )

o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o o

r r r r ri u v du dv

r r r r r

2 2

exp[ ( )] [ ]2 2 2( )

o o

o o

ru vi dudv

r

이것을 (10.137)에 대입하면

) 2 2][ (

exp[ ( )] [ ]2 2 2( )

o o oP

o o o o

o o ti k re ru v

dE i du dvr r

) 2 2][ (

exp[ ( )]2( ) 2 2

o

o o

o o ti k re u v

i dudvr

따라서 PE 는 다음과 같이 적분된다.

/ 2 / 22 22 2

1 1

[ ( ) ]

[ ][ ]2( )

oP

o o

o oi k r tu vi u i v

u v

eE e du e dv

r

(10.140)

216

Define Fresnel integral: 2

0

'( ) cos( ) '

2

w ww dw

,

2

0

'( ) sin( ) '

2

w ww dw

(10.141)

0

2' / 2 ' ( ) ( )w

i we dw w i w (10.142)

w는 (10.140)의 u 나 v를 대표한다. 따라서 (10.140)의 적분은

2 2

1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

2

uP

u vu vE u i u v i v

(10.143)

여기서 [ ( ) ]

( )

ou

o o

o oi k r te

r

로 unobstructed disturbance이다.

(10.143)의 1 1 2 2( ), ( ), ( ), ( )u v u v 는 수표나 Cornu spiral로부터 찾아지는 값이다. oE 가

aperture에 들어오는 plane wave의 amplitude라면 (10.134)는 다음과 같이 간략화 된다.

( )( ) o

P

i kr tK EdE e dydz

r

(10.144)

여기서 전처럼 /A oE 이다. (10.138)과 (10.139)의 분모와 분자를 o 로 나누고 o

(plane wave 조건)을 적용하면 이들 수식은 다음과 같이 정의된다.

1/ 2 1/ 2 1/ 22( ) 2(1 / ) 2[ ] [ ] ( )o o o o

o o o o

r ru y y u y

r r r

1/ 2 1/ 2 1/ 22( ) 2(1 / ) 2[ ] [ ] ( )o o o o

o o o o

r rv z z v z

r r r

이들 수식을 (10.144)에 적용하면 결과가 (10.142)와 같게 나타난다.

P 에서 irradiance는 *1

2P p PI E E

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] }{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] }4

oP

II u u u u v v v v (10.145)

oI 는 점 P 에서 unobstructed irradiance이다.

간단한 예로 500nm의 plane wave가 2mm의 square aperture에 입사하고 P 는 aperture의

중심 O로부터 4m 이면 2 1.0u , 1 1.0u , 2 1.0v , 1 1.0v 이다.

이때 Fresnel integrals는 양쪽 다 odd functions(기함수)들이다. 즉

( ) ( )w w , ( ) ( )w w (10.146)

※

2 2

0 0

( ') '( ) cos( ) ( ') cos( ) '

2 2

w ww ww d w dw

※

2 2

0 0

( ') '( ) sin( ) ( ') sin( ) '

2 2

w ww ww d w dw

이 예에서 (10.143)의 irradiance는 결과적으로

2 2 2{[2 (1)] {[2 (1)] }4

oP

II (10.147)

만일 OP line에 대해 aperture를 0.1mm 좌로 이동시킨다면 이때 2 1.1u , 1 0.9u ,

2 1.0v , 1 1.0v 이다. 이 경우 PI 는 중심의 오른쪽으로 0.1mm 에서 발견되는 것과 같을

것이다. 아래 그림은 square aperture size에 따른 Fresnel patterns를 보여준다.

217

만일 aperture의 크기가 무한히 커지면 ( ) ( ) 1/ 2 , 그리고 ( ) ( ) 1/ 2

이 경우 P 에서 irradiance는 P oI I 이다.

※ Aperture가 무한히 크면 광이 점 P 에 그대로 입사하는 것이므로 이때 irradiance는

P oI I 이다. 이 경우 (10.147)은 2 2 2( / 4){[2 ( )] {[2 ( )] }P o oI I I 이므로 이 조건을

만족하려면 ( ) ( ) 1/ 2 , 그리고 ( ) ( ) 1/ 2 가 되어야 한다.

10.3.5 Cornu spiral

Cornu spiral은 near field(Fresnel) diffraction의 Fresnel integrals를 기하학적으로 분석하기

위하여 w가 0 부터 일 때 복소수 평면 위에서 정의한 다음의 함수를 나타내는 curve이다.

( ) ( ) ( )B w w i w (10.148)

여기서 w는 위에서 사용한 u 나 v 를 대표하고 spiral의 원점으로부터 호(arc)의 길이를 나타

낸다. 아래 그림은 전형적인 Cornu spiral을 보여 준다.

218

만일 curve를 따라서 측정된 길이가 d 이라면

2 2 2d d d (10.149)

(10.141)의 Fresnel integrals로부터 2 2

2 2 2 2[cos ( ) sin ( )]2 2

w wd dw d dw

(10.150)

그러므로 w의 값은 원점 sO 로부터 호(arc)의 길이를 나타낸다. 위의 그림은 w 의 위치에 따

른 호의 길이를 보여준다.

w이면 1 1

2 2B i ,

1 1

2 2B i (10.151)

Spiral의 기울기:

2 2

2

sin / 2tan

cos / 2 2

d w w

d w

(10.152)

어떤 점에서 spiral의 접선과 축 사이의 각:

2

2

w (10.153)

Cornu spiral은 diffraction pattern의 양적인 크기를 결정하는 데 사용된다.

예를 들면 square-hole size가 2mm 인 곳에 평면파 500nm 가 입사하는 경우 4mor

에 있는 점 P 에서 irradiance를 찾는 다면 이때 1 1.0u , 2 1.0u 이다. 변수 u 는 호를 따

라 측정되는 값으로 w는 u 로 대치된다. 구하는 방법은 다음과 같다.

(a) sO 로부터 같은 거리에 1u 과 2u 를 표시한다. 이 예는 square aperture이고 P 가 4mor

인 sO 의 연장선 상에 있으므로 1u 과 2u 는 sO 에 대해 point symmetry이다.

(b) 그 두 점을 각각 1( )B u 와 2 ( )B u 로 명기한다.

(c) 1( )B u 로부터 2 ( )B u 로 그려진 phasor 12 ( )uB 는 complex number인 2 1( ) ( )B u B u 이다.

즉 1( )B u 에서 2 ( )B u 로 향하는 vector이다. 이것을 ( )u 와 ( )i u 의 좌표에서 표시하면

122

1( ) [ ( ) ( )]

uuu u i u B (10.154)

위의 식은 PE 에 대한 식 (10.143)의 첫 번째 항을 나타낸다.

2 2

1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

2

uP

u vu vE u i u v i v

[10.143]

219

(d) 유사하게 1 1.0v ,

2 1.0v 에 대해 2 1( ) ( )B v B v 는

122

1( ) [ ( ) ( )]

vvv v i v B (10.155)

(e) 이 두 complex number의 크기는 자로 잰 또는 좌표로 읽는 12 phasorB 의 길이다.

그때 irradiance는 단순히

2 2

12 12| ( ) | | ( ) |4

oP

II u v B B (10.156)

12 phasorB 의 길이를 측정하여 이 식에 대입하면 점 P 에서 irradiance를 구할 수 있다.

※ Spiral에서 arc 길이 2 1u u u , 2 1v v v 은 각각 y , z 방향의 전체적인 길이,

즉 aperture size에 비례한다. 그러므로 호의 길이 w ( u 또는 v )는 관찰 평면에 있는 점

P 에 관계없이 일정(constant)하다. 즉 w 는 aperture의 크기에 관계되는 값이기 때문에 관

찰 점 P 와 무관하다. Aperture size가 변하지 않는 한 w 는 항상 일정하고 단지 spiral위에

서 1w ( 1u 또는 1v )과 2w ( 2u 또는 2v )의 위치만 변할 뿐이다. 그러나 12( ) phasorw B 의 길

이는 1w 과 2w 의 위치에 따라 달라진다.

상황에 따른 spiral 해석: Aperture의 중심 O에 대해 P 가 고정이고 aperture square hole이

점진적으로 열릴 때(커질 때) u 와 v 는 그에 따라 커진다. 이때 1B 과 2B 는 각각 spiral의

arc를 따라 반 시계방향으로 한계 값 B와 B

로 이동하므로, phasor 12 ( )uB 와 12 ( )vB [이

예에서 이들은 symmetry하기 때문에 같다]는 일련의 극대(extrema)를 지나간다. 그러므로

pattern의 중심은 상대적으로 밝은 것에서 어두운 것으로 다시 밝은 것으로 순차적으로 변한다.

위에서 square aperture size에 따른 Fresnel diffraction patterns 사진이 이것을 잘 보여준다.

크기가 일정한 aperture에서 P 가 aperture의 좌측 변 가장자리(edge)의 연장선 상에 있으면

이때 1 1 0y u 이다. 만일 관찰 점이 aperture의 좌측 edge를 벗어나 geometric shadow 속

으로 움직이면 1u 은 양의 값으로 증가하고 u -string은 완전히 상층부 spiral 위에 있게 된

다. 1u 과 2u 가 계속해서 증가하면 그것의 string은 limitB 주위에서 좀더 촘촘하게 감겨

지고 그것의 끝인 1B 가 2B 는 서로 더 가깝게 접근하므로 12| ( ) |uB 가 작게 되며 그 결과 PI

는 감소한다. 이 경우에도 u 는 항상 일정하다. z 방향으로 scan할 때에도 똑 같은 과정이

적용되며 v 는 일정하고 12 ( )vB 는 변한다.

만일 aperture가 완전히 열려서 unobstructed wave가 입사하면, 1 1u v , 2 2u v

이다. 이것은 1 1( ) ( )B u B v B , 2 2( ) ( )B u B v B 를 의미한다. 이 경우 B B -line이

-축과 만드는 각은 45o, 길이는 2 이다. 결론적으로 phasor 12 ( )uB 와 12 ( )vB 각각은 크

기 2 와 phase / 4 를 가지므로 이들은 다음과 같이 표기할 수 있다

12

/ 4( ) 2 iu e B , 12

/ 4( ) 2 iv e B

방정식 (10.143)으로부터

2 2

1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

2

uP

u vu vE u i u v i v

[10.143]

220

/ 2P u

iE E e (10.157)

따라서 irradiance는 P oI I 이다.

Cylindrical wavefront zones에 대한 Cornu spiral

Coherent line source로부터 진행하는 cylindrical wavefront를 보여주는 아래 그림을 고려함

으로써 Cornu spiral이 나타내는 것을 좀더 구체화할 수 있다. 그 절차는 vibration curve를

유도하는 데 사용한 방법과 똑 같다.

Wavefront는 그림처럼 공통 축과 반경이 / 2or , or , 3 / 2,or 을 가진 cylinder들

과 교차에 의해 만들어진 half-period strip zones로 나누어 진다. 이들 strip zones로부터의 공

헌도는 이들의 면적에 비례하며 급격히 감소한다. 이것은 거의 면적이 일정하게 유지되면서 반

경이 증가하는 circular zone과 대비된다. 각 strip zone을 N 개의 subzone으로 분해하면 각

subzone의 상대적인 phase차는 / N 이며 N 가 무한대로 가면 smooth한 Cornu spiral이 된

다. 아래 그림은 spiral의 여러 점에서 접선 단위벡터들을 보여준다.

sO 에서의 벡터는 wavefront 위의 O를 통해 지나가는 중심축으로부터의 contribution과 일치

221

한다. 각 strip zone의 경계들과 관계 있는 점들은 spiral 상에 위치할 수 있다. 왜냐하면 그러

한 위치들에서 상대적인 phase 는 에 짝수나 홀수 곱이기 때문이다. 예를 들면 점 1sZ

(이것은 cylindrical wavefront zones 그림의 1z 과 관련 있는 점)은 정의에 의해 sO 에 대해

out of phase이다. 그러므로 1sZ 은 spiral의 top에 위치하고 여기서 2w 그리고

2 / 2w 이다.

10.3.6 Fresnel Diffraction by a Slit

z 축은 좁고 y 축으로 대단히 긴 rectangular-aperture인 경우 2u , 1u 이므로

12

/ 4( ) 2 iu e B

식 (10.156): 2 2

12 12| ( ) | | ( ) |4

oP

II u v B B

에 12

/ 4( ) 2 iu e B 을 대입하면 irradiance PI 는 다음과 같다.

2

12| ( ) |2

oP

II v B (10.158)

PI 는 y 에 independent하므로 단지 1z , 2z 에 의해 2 1v v v 을 결정하고 phasor 12 ( )vB

를 구한다. 이에 대한 예로 spiral에 놓여 있는 길이 v 의 한 string을 생각하자. 점 O 에 대

한 점 P 에서 aperture는 등방적(symmetrical)으로 그 string은 다음 그림의 sO 가 중심이다

[그림에서 1( 1.0)B 과 2 (1.0)B 이 이에 해당]. Square aperture에서 한 것과 마찬가지로 PI 를

구하려면 현(chord) 12| ( ) |vB 를 단지 자로 재어 이 값을 (10.159)에 대입하면 된다. 한편 관찰

점 1P 에서 1z 과 관계된 1v 은 보다 작은 negative numbers이고 이와 반대로 2z 와 관계된 2v

는 양으로 증가했다[그림에서 1( 0.5)B 와 2 (1.5)B 가 이에 해당]. 호의 길이(string) v 는 일

정하지만 이 경우 그 string은 spiral 위로 이동하며 그림에서 보는 바와 같이 12 ( )vB 의 현의

길이는 줄어 든다. 관찰 점이 1z 이 있는 아래 edge를 벗어나 geometric shadow 즉 2 2O P

또는 그 아래로 움직임에 따라 string은 B 주위로 감기고 현은 일련의 상대적인 extrema를

지나간다. 만일 v 가 대단히 작으면 string조각은 작고, 이때 현 12| ( ) |wB 는 spiral 자체의

222

곡률 반경이 작을 때에만 인지할 수 있을 정도로 감소한다. 이것은 B 또는 B

근방, 즉 멀

리 벗어난 geometric shadow인 곳에서 일어난다. 그러므로 aperture가 상대적으로 작으면

aperture의 edge를 넘어 선(beyond edge) 빛이 있을 것이다. 그때 v 가 작으면 폭 넓은 중

심의 maximum이 있을 것이라는 것을 주목하라. 사실, 만일 v 가 1보다 훨씬 작다면 or 는

aperture 폭보다 훨씬 크며 Frauhofer 조건이 지배적이다. w가 크면 Fresnel integral은 다음

과 같이 삼각함수의 asymptotic form(trigonometric representations)으로 나타낼 수 있다.

Fresnel integrals의 asymptotic form 21 1

( ) ( )sin( )2 2

wu

w

(10.159)

21 1( ) ( )cos( )

2 2

ww

w

(10.160)

이 경우 (10.159)의 Fresnel diffraction은 원거리 diffraction인 (10.30)의 형태로 전환이 더

바람직하다.

2 2

0 0

sin( ) ( ) sincI I I

[10.30]

or 는 고정이면서 슬릿이 넓어지면 v 는 점점 더 커지며 이때 슬릿의 중심을 잇는 or 상에 놓

인 점 P 는 spiral string이 아래 그림과 같은 구성을 가질 때가 있다. 만일 관찰 점이 수직으

로 위 또는 아래로 움직이면 v 는 spiral 아래 또는 위로 slide한다. 양 경우에 현은 증가하

지만 중심의 diffraction pattern은 상대적인 minimum이어야만 한다. Fringes는 Fraunhofer

pattern과 달리 슬릿의 기하학적 image내에서 나타난다.

다음 그림은 1 2( ) / 2w w 에 대해 그려진 두 개의 2

12| ( ) |wB curve를 보여 준다. 여기서

1 2( ) / 2w w 는 호의 길이(string의 길이)인 w 의 중심을 나타내며 w는 u 또는 v 를 대표한

다. 관심이 되는 w 의 영역은 주로 1에서 10까지 걸친 영역이며 먼저 특별한 w 를 선택하

223

고 그때 w 가 Cornu spiral을 따라 slide할 때에 Cornu spiral을 벗어나는 적합한 12| ( ) |wB

값을 읽음으로써 curve들이 계산된다. y 가 긴 슬릿에 대해서는

2

12| ( ) |2

oP

II v B [10.159]

이므로 z 은 v 와 일치하는 슬릿의 폭이기 때문에 그림에서 각 curve는 한 주어진 슬릿에

대한 비례하는 irradiance distribution을 나타낸다. 예를 들면 2.5v 인 좌측 그림에서

1 2( ) / 2v v 대 2

12| ( ) |vB 를 읽을 수 있다. 가로좌표 1 2( ) / 2v v 는 즉 슬릿의 중심으로부터 관

찰점의 displacement인 1 2( ) / 2z z 와 관계가 있다. 그림 (b)에서 3.5w 는 3.5v 를 갖

는 슬릿이 기하학적 image내에 나타나는 fringes를 갖는 것을 의미한다. 그 curve들은 물론

o , or , 그리고 의 한 set에 그들을 항상 국한할 필요가 없을 z 또는 y 의 값에 의해

그려질 수 있다.

슬릿이 훨씬 더 넓어지면 v 는 10 에 접근하고 종국에는 10 을 넘어선다. 이때 기하학적

image 내에 나타나는 fringe 수는 증가하고 그 image를 넘어서는 pattern은 더 이상 인지하기

가 어렵다.

10.3.7 The Semi-infinite Opaque Screen

위의 rectangular aperture에서 의 상층부 반( 0z 인 부분)을 제거하면 semi-infinite

planar opaque screen이며, 수식적으로는 단순히 2 1 2z y y 로 놓으면 된다. 관찰 점은

스크린의 edge에 근접하도록 geometry를 제한한다.

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] }{[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] }4

oP

II u u u u v v v v [10.145]

2

12| ( ) |2

oP

II v B [10.159]

이때 2 2v u 이기 때문에 위의 (10.145)나 (10.159)는 다음으로 쓰여질 수 있다.

224

2 2

1 1

1 1{[ ( )] [ ( )] }

2 2 2

oP

II v v (10.161)

점 P 가 edge의 직각 연장선 상에 있을 때, 1 0v , (0) (0) 0 , 그리고 / 4P oI I . 왜

냐하면 wavefront의 반이 obstruct되었기 때문에 disturbance의 amplitude는 반이므로

irradiance는 / 4oI 가 된다. 이것은 아래 그림들의 점 (3)에서 일어나는 현상이다.

관찰 점이 기하학적 그림자 영역인 점 (2) 또는 더 아래 점 (1)등등으로 이동하면 그에 따라

chords가 일률적으로 감소한다. 그 영역 내에서는 irradiance의 oscillation은 존재하지 않고

단순히 급격히 떨어진다. 스크린의 모서리는 점 (3) 이상의 점에서 아래에 있다. 달리 말하면

점 (4)와 (5)에 대해서 1 0v ( 1 0z )이다. 약 1 1.2v 에서 현(chord)은 maximum에 도달

하여 irradiance가 maximum이다. 그러므로 PI 는 점차적으로 크기가 줄어들면서 oI 주위에서

225

oscillate한다.

Diffraction pattern은 limiting case로서 넓은 slit( 10v )의 모서리(edge) 근방에서 나타날 것

이다. 기하광학에 의해 제안된 irradiance distribution은 가 0 으로 갈 때만 얻어진다. 사실

가 감소함에 따라 그 fringes는 edge에 좀더 가깝게 움직이고 어느 정도 선이 분명해 지게

된다.

위의 pattern을 보려면 면도날을 세우고 눈을 가까이 대면 일련의 fringe가 나타나는 것을 관

찰할 수 있다.

10.3.8 Diffraction by a Narrow Obstacle

Single slit의 구조를 반대로 한 것으로 opaque wire를 생각할 수 있다. 이 경우 wire의 중심

에서 그어진 선에 놓인 한 점 P 에 공헌하는 부분은 두 분리된 영역, 즉 1y 부터 와 2y 부

터 인 영역이 있을 것이다. Cornu spiral위에서 이들은 1u 부터 B까지와 2u 부터 B

까지

의 호의 길이와 일치한다. 관찰 평면 위의 점 P 에서 disturbance의 amplitude는 아래 그림에

나타낸 것처럼 두 개의 phasors 1B u 과 2B u 의 합 vector의 크기이다. Opaque disk를 가진

것처럼 이것은 illumination이 중심축을 따라서 symmetry이다. P 가 중심축 위에 있을 때에

1 2B u B u 이며 그들의 합은 결코 0 일 수 없다는 것을 spiral로부터 볼 수 있다.

226

Arc 길이 u 는 spiral의 obscured region을 표현하고 이것은 wire의 직경이 증가하면 같이

증가한다. 두꺼운 wire에서 1u 과 2u 는 각각 B 와 B

에 접근하여 phasor의 길이는 감소하

고 그 shadow’s axis위의 irradiance는 급격히 떨어진다.

Babinet’s Principle

한 투명(transparent)한 영역 위에 다른 불투명(opaque)한 영역이 완전히 일치할 때 두 개의

회절 스크린은 상보관계(complementary)에 있다고 말한다. 그러한 스크린이 겹쳐지면 당연히

그 영역은 완전히 불투명하다. 그 겹쳐진 상보 스크린을 1 , 2 라 할 때, 두 aperture로부터

점 P 에 도달하는 전기장을 각각 1E , 2E 라 하면 그 점에 각 aperture로부터 기여하는 총 합

은 각 aperture의 둘려 쳐진 면적에 대한 적분에 의해 결정된다. 일단 양쪽 aperture가 존재하

면 전혀 opaque 영역이 없다. 즉 적분의 구간이 무한대로 가면 우리는 다음 식의 교란되지 않

은(unobstructed disturbance) oE 를 갖는다.

1 2oE E E (10.162)

이것이 Babinet’s principle이다.

위의 Cornu spiral 그림은 하나의 투명한 슬릿과 하나의 좁은 불투명한 장애물에 대한 구성이

다. 만일 두 배열이 상보로 이루어져 있다면 아래 그림은 분명히 Babinet’s principle를 보여줄

것이다. 한 슬릿 1 2B B 로부터의 phasor에 더해진 좁은 obstacle로부터 야기된 phasor는

unobstructed phase B B 를 지배한다.

이 원리는 0oE 일 때 1 2E E 라는 것을 암시한다. 달리 말하면 이러한 disturbance는 정

확히 크기가 같고 o180 out of phase이다. 따라서 1 과 2 양쪽은 같은 장소에 크기가 정확

227

히 똑 같은 irradiance 분포가 관찰될 것이다. 점 광원으로부터 온 하나의 unobstructed wave

에 대해서는 zero-amplitude 점들, 즉 어디서나 0oE 이기 때문에 그것은 진실일 수 없다는

것이 분명하다. 그러나 만일 그 광원이 완벽한 lens들에 의해 oP 에서 imaged된다면 필수적으

로 oP 근처를 빗겨난(Airy disk를 벗어난) 큰 zero-amplitude region( 0oE )이 있을 것이다.

그러므로 complementary screens는 oP 를 제외하고 동등한 irradiance 분포(distribution) 즉

1 2E E 를 만들며 이것은 Fraunhofer 회절의 경우에만 부합한다. 비록 그 irradiance들은

단순한 관계를 따르지 않지만 그럼에도 불구하고 식 (10.110)은 Fresnel 회절에서 합당하다.

식 (10.162)는 회절 patterns가 정확히 같지 않아도 적용할 수 있는 수식이다.

10.4 Kirchhoff’s Scalar Diffraction Theory

Potential theory에 근간을 두고 diffraction을 개발한다.

Differential wave equation:

22

2 2

1 EE

c t

파의 공간성분을 규정하지 않는다면 이 방정식의 해는

ikctE e (10.163)

※ 2

( )( ) (2 )kct f t f t t

(10.163)을 파동방정식에 대입하면

2 2( ) ikctE e

( ) ikctEikc e

t

,

22

2( ) ikctEkc e

t

2 2 0k (10.164)

(10.164)는 Helmholtz equation으로 알려져 있고 이것은 Green’s theorem에 의해 풀린다.

Green’s theorem: 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( )V A

U U U U dV U U U U da (10.165)

만일 1U 과 2U 가 Helmholtz equation 즉

2 2

1 1 0U k U

2 2

2 2 0U k U

의 해라면

1 2 2 1( ) 0A

U U U U da (10.166)

1U , 2

ikreU

r 라 놓으면 이들은 Helmholtz equation을 만족한다.

여기서 r 은 점 P 에서 측정된 거리이고 0r 인 곳에서 점 P 는 singularity이므로 면 A 로

둘러쳐진 영역에서 P 를 제외시키기(exclude)하기 위하여 작은 sphere에 의해 그것을 둘러친

다. 따라서 (10.166)은

1 2 2 1( )A

U U U U da

228

'[ ( ) ) [ ( ) ) ' 0

A A

ikr ikr ikr ikre e e eda da

r r r r (10.167)

'A 에 해당하는 적분부분을 expand하자. 작은 sphere위에서 단위 벡터 n 은 P 의 원점으로

향한다. 그리고

2

1( ) ( )

ikrikre ik

e nr r r

(10.168)

Gradient는 항상 radially outward로 향한다. P 에서 측정된 solid angle 2da r d 에 의해

2

2' '

1[ ( ) ) ' [ ( ) ) ( )

A A

ikr ikr ikrikre e ik e

da e n n r d nr r r r r r

'( )

A

ikrik r r e dr

(10.169)

여기서 2( / )da r r d

P 를 둘러친 sphere가 줄어 듦에 따라 'A 위의 0r 이고

1ikre . 는 연속(continuity)이기 때문에 'A 위의 어떤 점

에서 그것의 값은 P 에서의 값에 접근한다. 즉 P 가 된다. 따

라서 (10.166)의 마지막 두 항은 0 로 가고 적분의 결과는

4 P 가 된다. 그 결과 (10.164)는

'[ ( ) ) [ ( ) ) ' 0

A A

ikr ikr ikr ikre e e eda da

r r r r

[ ( ) ) 4 0PA

ikr ikre eda

r r

1[ ) ( )

4P

A

ikr ikre eda da

r r

(10.170)

(10.170)은 Kirchhoff integral theorem으로 알려져 있다.

연습문제

229