chap2 outil_mathematiques

Traitement du signal

SEER1-TS

Jamila BAKKOURY

Chap2 : outils mathématiques pour le TS

SEER1-TS 2

Plan

• Introduction• Séries de Fourier• Transformée de Fourier• Transformée de Laplace

3SEER1-TS

Séries de Fourier

SEER1-TS

Un signal périodique de période

peut être décomposé en une somme

d’ondes sinusoïdales dont les

fréquences sont multiples de

fréquence

Joseph Fourier (1768-1830)

Séries de Fourier

SEER1-TS

Soit xT(t) un signal périodique de période . Son développement en séries de Fourier est par définition:

Où:of0 est la fréquence fondamentale du signal.oa0 est la valeur moyenne ou composante continue du signal .oak et bk sont les coefficient de Fourier du développement en cosinus et sinus.

Calcul des coefficient de Fourier :

Remarque :

•xT(t) pair bn=0•xT(t) impair an=0

Séries de Fourier

le développement en série de Fourier peut s’écrire:

où

En considérant la relation trigonométrique suivante:

avec

Série de Fourier en cosinus

Séries de Fourier

- La représentation en cosinus est très importante car elle

correspond à la description des signaux en régime sinusoïdal

permanent où l’on représente un courant ou une tension par

son amplitude et sa phase.

- D’un point de vue pratique, cela revient à considérer que le

signal x(t) est créé de manière équivalente par une infinité de

générateur sinusoïdaux.

La représentation spectrale dans ce cas est unilatérale.

Remarques :

Séries de Fourier

Séries de Fourier

formules d’Euler :

Notation complexe :

la SF peut être transformée en SF complexe :

Relation entre les trois formes :

cos-sin cos complexe

0n 0a 00 aA 00 ac

0n nn b , a 22nnn baA

2

2nn

n

nnn

jbac

jbac

Séries de Fourier

La transformée de Fourier est une extension de la décomposition

en série de Fourier pour les signaux non périodiques.

En effet, la passage d’un signal périodique à un autre apériodique

peut se faire en considérant une période qui tend vers l’infini.

Transformée de Fourier

Transformée de Fourier :

Transformée de Fourier inverse :


Linéarité :Linéarité : fY.bfX.aty.btx.a F

Homothétie :Homothétie : R avec 1

aafX

aatx F

PropriétésPropriétés : :


Décalage en temps et en fréquence :Décalage en temps et en fréquence :

Dérivation :Dérivation : fXfj

dttxdfX.fj

dttdx nF

n

nF 2et 2

Propriétés :Propriétés :


Produit de convolution :Produit de convolution : dtyxtyxtytx

))(*()(*)(

fYtyfXtx FF et

fY*fXty.tx

fY.fXty*tx

F

F

et

PropriétésPropriétés :


Transformée de Fourier & Systèmes :

Un SLTI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)

La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) et inversement.

h(t)x(t) y(t)=x(t)*h(t)

H(f)X(f) Y(f)=X(f) . H(f)

TF TF TF


Théorème de Parseval :Théorème de Parseval :

Propriétés :Propriétés :


Densité Spectrale d ’Energie

)f(TF 1 ftjTF e)tt( 020

=

)ff(e TFtfj0

2 0

)ff()ff()tfcos( TF000 2

12

)ff()ff(j

)tfsin( TF000 2

12

Distribution de DiracDistribution de Dirac :


Signal s(t)Signal s(t) Spectre fréquentiel S(f)Spectre fréquentiel S(f)

Réel quelconque Complexe (partie réelle paire, partie imaginaire impaire)

Réel pair Réel pair

Réel impair Imaginaire impair

Imaginaire quelconque Complexe (partie réelle impaire, partie imaginaire paire)

Imaginaire pair Imaginaire pair

Imaginaire impair Réel impair

Complexe pair Complexe pair

Complexe impair Complexe impair

Propriétés :


• Échantillonnage idéal

• Transformée de Fourier

périodisation en fréquence

X fTX f f

TX f

kTe

T k( ) ( ) * ( ) ( )

1 11

Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence


Analyse spectrale

La transformée de Fourier est l’outil mathématique permettant d’obtenir une représentation fréquentielle des signaux déterministes.

Elle a pour but de représenter, l’amplitude, la phase, l’énergie ou la puissance d’un signal en fonction de sa fréquence notée f et permet ainsi son analyse spectrale ou harmonique.

Remarque : la transformée de Fourier permet d’analyse un signal sous forme d’une infinité de composantes sinusoïdales.

• Forme exponentielle du développement en série de Fourier d’un signal périodique xT(t) de période T :

o cn.exp(jnωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t)o l’harmonique d’ordre1 est appelé le fondamentalo l’harmonique d’ordre 0 correspond à la valeur moyenne du signal xT(t).

22

Analyse spectraleSignaux périodiques

• Transformée de Fourier XT(f) d’un signal périodique xT(t) de période T :

• Le spectre d’un signal périodique est donc un spectre de raies puisque c’est lasomme d’impulsions de Dirac décalées de 1/T de poids pondérés par les coefficients

cn appelés composantes du spectre.

Si X(f) est la transformée de Fourier du motif x(t) de xT(t), alors :

• X(f) est appelée l’enveloppe complexe de XT(f)

23


• Forme réelle du développement en série de Fourier d’un signal périodique xT(t) de période T :

Les coefficients an et bn sont les coefficients réels de la série de Fourier ou coefficients de Fourier trigonométriques.

- ancos(nωt)+bnsin(nωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t).- l’harmonique d’ordre 1 correspond au fondamental- l’harmonique d’ordre 0, a0 est la composante continue qui correspond à la

valeur moyenne du signal xT(t).

24


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

temps (sec)

ampl

itude

Représentation en temps

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fréquence (Hz)

ampl

itude

Représentation en fréquence

Représentation des signauxExemples

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fréquence (Hz)

ampl

itude

Représentation en fréquence0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

temps (sec)

ampl

itude



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

temps (sec)

ampl

itude


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

fréquence (Hz)

ampl

itude


0 5 10 15 20 25 30


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

temps (sec)

ampl

itude


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.20.4

0.6

0.8

1

fréquence (MHz)

ampl

itude



On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t),

l’opération * (notée également ) définie par :

Produit de convolution

Propriétés :

• Le produit de convolution est :

o commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)

o distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t)+x(t)*g(t)

o associatif: x(t)*[h(t)*g(t)]=[x(t)*h(t)]*g

• Élément neutre : x(t)*(t) = x(t)


Expression simplifiée :

Si x(t) et h(t) sont causaux,

Alors : t

dthxthx0

)()(*


La convolution est une opération fondamentale de traitement du

signal.

Elle indique que la réponse d'un SL à l’instant t est la somme

(intégrale) pondérée des valeurs antérieures de l'excitation x(t).

La fonction de pondération est la réponse impulsionnelle h(t) du SL.


Réponse d’un système linéaire :

Considérons l’exemple de x(t) et h(t) ci-dessous :

x(t)

t

h(t)

t


Interprétation graphique

h()

h(-)

h(t-)

t

Remarque : le signal h(t-) est tout simplement le signal initial h(), retourné dans le temps pour obtenir h(-) puis translaté de t .




x().h(t-)

t

h(t-)

La surface hachurée représente :

dthxthx ).().())(*(

Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t), ∝ ∝convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.


x()

Domaine temporel

Domaine fréquentiel

Variable : t Variable : f

Convolution Produite(t) → s(t) = ? E(f) → S(f) = ?

T. de Fourier

11

Calc

uler

: S(

f) =

?

22

TF inverse33

Le calcul du produit de convolution se fait en 3 étapes



x().h(t-)

t

h(t-)

La surface hachurée représente :

dthxthx ).().())(*(

Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t), ∝ ∝convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.


x()

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