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ZORKANI Mohammed Département d’Hydraulique
E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface
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Chapitre 1Equations des ondes en bidimensionnelle
Caractéristiques des Houles1) Introduction : Il existe dans la nature plusieurs types d’onde marine : les ondes duesau vent, ondes (vagues) engendrées par un navire, tsunamis [ondesengendrées par un tremblement de terre :secousse tellurique] et lamarée que le génie maritime doit connaître.
Non de l’onde Intervalle de période (sec)• Capillarité• Ultragravité♦ Gravité• Infragravité• Période longue• Transtidal
de 0 à 0,1de 0,1 à 1de 1 à 30de 30 à 300de 300 à 86400de 86400 à ∞
Le spectre des ondes dues au vent s’étendent jusqu’à 30s. Au – delà,les infra – vagues sont dues à des interactions non linéaires entrevagues de vent de périodes beaucoup plus courtes. Des seiches dues àdes variations de la pression atmosphérique qui provoquent desoscillations stationnaires libres de période allant de 30s à 5 mn [le lac deGenève a des seiche de 63mn (uninodale) et 36mn (binodale)&d’Amplitude ~50cm].Les ondes marines sont donc complexes car dans un train d’onde lespectre possède des composantes de différent déphasage dont lespériodes et les amplitudes obéissent á une loi de distribution aléatoire,on recourt pour dépasser cette difficulté aux approches statistiquesdepuis 1945. Dans ce chapitre on va développer une théoriemonochromatique : période constante et amplitude uniforme enprofondeur constante. On rencontre dans la littérature plusieurs
2S2Mre
vi
na
relativeénergie
1,0 1 10 210 310 410 510 secenT
soleiletlunemarée
s30 mn5 h12 h24
scapillaire
ondes
mn50
tsunamis
MunkselonondesdesénerétiqueSpéctre
e
l
u
o
h ngravitatioséismiqueactivité
beat
surf
seiches,ressac,surfacedebattement
vents
tempêtes
estranstidal
vagues
Vent
tempête
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théories, la plus simple et la plus utilisée est celle á faible amplitude[théorie linéaire des ondes] proposée par Airy en 1845 [Théorie d’Airy]. 2) Théorie linéaire des ondes : faible amplitude (infinitésimales)La théorie bidimensionnelle des ondes de gravité périodiques a faibleamplitude libre [pas en engendrement par le vent] est basé sur lalinéarisation des conditions limites á la surface libre et sur le fond ; onadmet que l’écoulement est irrotationnel : l’écoulement est donc ápotentielle de vitesse. Les hypothèses sont :
• Fluide homogène, incompressible• L’effet de la tension superficielle négligeable [longueur d’onde
grande devant 3cm].Coriolis négligeable: 1fT −⟨⟨ ( )tu
u2∂
∂⟨⟨∧Ω
rrv
• Ecoulement irrotationnel : pas de contraintes qui s’exercent surla surface libre (pas de vent ) : on dit onde libre et pas defrottement sur le fond (fluide parfait) : le fluide glisse librementsur le fond et toutes autres surfaces solides.
Il existe alors un potentiel de vitesse : ( )t,z,xgradv Φ=→r
selon l’équation
de continuité ( 0vdiv =r
) ce potentiel vérifie : 0zx 2
2
2
2=
∂Φ∂
+∂Φ∂ (1 – 1)
• Le fond est horizontal fixe(pas de transport de sédiment), imperméable.• La pression atmosphérique qui s’exerce sur la surface libre est
constante donc pas de vent : la surface se déforme librement.• L’amplitude de l’onde est petite vis á vis de la longueur d’onde
et de la profondeur d’eau. Puisque les vitesses des particulesfluides sont proportionnelles á l’amplitude alors que la célérité(vitesse de phase) de l’onde varie avec la profondeur ; cettecondition se traduit par les particules fluides ont une vitessefaible comparées á la célérité. Ce qui signifie que cette théorien’est applicable que dans les eaux suffisamment profondes oùon a cu ⟨⟨ car vers les eaux peu profondes on a c~u estl’onde déferle [breaking wave].
La position d’une particule fluide dans le plan du mouvement est repéréesur son orbite par :
zd)z(d +=−−
z
gr
xH
( )t,xη
h
hz −=
L
c
ξ
ε
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orbite'ldecentreauntrelativemeentverticalem:ementhorizontal:
⎩⎨⎧εξ
Par définition la célérité est de l’onde donnée par :
kTLc ω== (1 – 2) où
⎩⎨⎧
)m(onde'dlongueurla:L)s(périodela:T
Supposons que le profil en surface est donné par :
( ) ( )txkcos2H
Tt
Lx2cos
2Ht,x ω−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −π=η où
T2&
L2k π
=ωπ
= (1 – 3)
Au fond pas de vitesse normale [fond étant par hypothèse imperméable] :
0vzn
vhzhorizontalfondau
n ==∂Φ∂
=∂Φ∂
=−=
(1 – 4)
Le théorème de Bernoulli – Lagrange pour un écoulement non
permanent et irrotationnel est : ( ) 0t
pzgvu21 22 =
∂Φ∂
+ρ
+++ (1 – 5)
On linéarise cette condition dynamique á la surface libre η=z où on ate
a Cpp == et en négligeant les termes en vitesse car ils sont du secondordre [quadratiques] ; et comme la pression atmosphérique constante
est prise comme origine des pressions alors η=∂
Φ∂−=η
ztg1 (1 – 6)
cette équation est applicable á la surface libre et comme η est faible par
la procédure de linéarisation on peut écrire : 0ztg
1
=∂Φ∂
−=η (1 – 6/)
• si la pression en surface n’est pas constante on a( ) 0zpour0ett,y,xpg zt
at =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=Φ−ηρ
−=Φ+η
Voyons voir ce qui se passe si la pression atmosphérique varieharmoniquement dans le temps dans une eau à profondeur constante :oscillations forcées par l’atmosphère
On a à résoudre
( ) ( )( ) 0zent,y,xp
g1
tsinxpt,xp
LCavec0
zt
at
a
2 =
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
Φ=ηρ
−Φ−=η
ω=
⋅⋅=Φ∇
Cherchons des solutions de la forme: ( ) ( ) tsinz,xtcosz,x ωψ+ωϕ=Φ
Ainsi si ( ) ( ) xsinke
gpz,xx:xsinpxp
z0alors
0 ΛΛ−ρ
ω=ϕ⎯⎯ →⎯⟨+∞−∞⟨Λ=
Λ
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La solution générale est donc donnée par :
tsinkxsinkxcos
Aetcoskxsinkxcos
Aexsinke
gp kzkz
z0 ω
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+ω⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+ΛΛ−ρ
ω=Φ
Λ
On constate qu’il peut y avoir résonance (amplification).On signale que si on a pris pour la pression atmosphérique une ondeprogressive : ( ) ( )xtsinpt,xp 0a Λ−ω⋅= alors
( ) ( )xtcoske
gpt,z,x
z0 Λ−ω
Λ−ρω
=ΦΛ
à laquelle on peut ajouter n’importe quelle solution pour une pressionnulle en surface. On a résonance si Λ≈k c’est – à – dire s’il existe dansle spectre atmosphérique un mode proche ce celui propagatif dans l’eau.Data : Note sur la technique mathématique des perturbations Cette méthode est basée sur le développement en série de Taylorautour d’une position de référence 0η en plus de l’introduction d’unparamètre de petitesse disons ε ; pour cela on utilise :
( ) ( ) L+∂Φ∂
⋅η
+∂Φ∂
⋅η+Φ=ηΦ== 0z
2
22
0z z2zt,0y,x,t,y,x,
( )
( )
( ) LL
L
L
+∂∂Φ∂
+ηε+εη+
∂∂Φ∂
+ηε+εη+∂Φ∂
=
+∂∂Φ∂
η−η+∂Φ∂
=∂Φ∂
η=
η=η=
η=η=η=
0
00
00
z2
3
22
1
z
2
22
1z
z
2
0zz
zx21
zxx
zxxx
De même pour les dérivées en y, z, et t :( )
00 ztz22
1ztzt η=η=η= φ⋅+ηε+εη+φ=φ L
On pose :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+ε+ε+ε+=
+ε+ε+ε+=
+ηε+ηε+εη+η=η
+Φε+Φε+Φε=Φ
L
L
L
L
332210
332210
332210
33221
ppppp
ccccc D.L. en série
Prenons par exemple la condition (1 – 5) ( ) 0t
pzgvu21 22 =
∂Φ∂
+ρ
+++ à
la surface libre 0pp:z a ≡=η= on a Bernoulli :
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0xz2
1t
g2
z
2
zz=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
+ηη=η=η=
Ainsi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ⇒++Φε+Φε+ηε+εη++Φε+Φε+
+Φε+Φε+ηε+εη+
+Φε+Φε+ηε+εη+
+Φε+Φε++ηε+εη+η=
LLLL
LL
LL
LL
22xz
21xz
2212x
21x
2tzz
21tzz
2221
2tz
21tz
221
2t
21t
2210
2121
g0
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇒=ε+Φε+Φε+Φε+
Φηε+Φε+Φε++ηε+εη+η
0O21
21
21
g
321z
221y
221x
2
1tz
122t
21t
2210 L
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
rordredeuxiéme
deConditionordrepremier
zéroordre
021g
Poisson0t,0,xt,xg
0
211tz
12t
2
1t
1
0
↔=Φ∇+Φη+Φ+η
↔=Φ+η
↔=η
de même pour les autre expressions. On donnera plus bas les résultatsdes calculs au 2iémordre, 3iémordre …Cependant la fonction potentielle sera cyclique en fonction de la positionhorizontale x et du temps t et comme η est la dérivée temporelle dupotentiel alors la technique de séparation des variables impose que :
( ) ( )txksinzZ ω−⋅=Φ (1 – 7)
en la reportant dans (1 – 1) on obtient ⇒=− 0ZkzdZd 22
2
( ) zkzk BeAezZ −+= alors ( ) [ ] ( )txksinBeAet,z,x zkzk ω−+=Φ −
vérifie l’équation de Laplace. Pour déterminer les 2 constantesd’intégration A et B il faut satisfaire les conditions limites(1– 4) et (1– 6/) :
[ ] ( ) ⇒=ω−⋅−=∂Φ∂
= −
−=
0txksinBeAekz
v hkhk
hz
hk2BeA =
Alors ( ) ( ) ( ) ( )⇒ω−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=Φ +−
++ txksineeBet,z,x zhkzhkkh
( ) ( ) ( )txksinhzkchBe2t,z,x kh ω−+=Φ (1 – 8)
La condition (1 – 6/) implique que ( )⇒ω−≡∂Φ∂
−≈η=
txkcos2H
tg1
0z
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chkh2HgeB2 kh
ω= Finalement on obtient pour une onde progressive :
( ) ( ) ( )txksinkhch
hzkch2Hgt,z,x ω−⋅
+⋅
ω=Φ si ( )txkcos
2H
ω−≡η (1 – 9)
La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre
est donnée par x
uttD
Dv∂η∂
+∂η∂
=η
= qui en théorie linéaire s’écrit :
tv
∂η∂
= or 0ztg
1
=∂Φ∂
−=η alors0z
2
2
tg1v
=∂Φ∂
−= et comme z
v∂Φ∂
=
d’où 0zen0z
gt2
2==
∂Φ∂
+∂Φ∂ . En y reportant notre solution (1 – 9 )
on obtient la relation de dispersion : ( )khthkg2 ⋅=ω avec kT
Lc ω==
alors L
h2th2
Lgc π⋅
π= ou ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
⋅π
=L
h2th2
Tgc ou ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
⋅π
=L
h2th2TgL
2
Comme en général d’onde se propage des eaux profondes vers les eauxpeu profondes sa longueur d’onde et sa célérité diminuent. Son profilesurfacique change, le profil de pression sur une verticale et le champ devitesses changent également : Mais la période de l’onde reste constante.♦Classification des ondes de gravité en fonction de la profondeur relative :
♦ Si la profondeur relative est plus grande que 0,5 alors 1L
h2th ≅
π
ainsi : π
=π
=π
=2
TgLet
2Tg
2Lg
c2
00
0 , Les orbites des particules sont
circulaires dont le diamètre exponentiellement décroissant vers le
fond et sont proches de 0 pour 5,0Lz⟩−
1
5,0L/h
)L/h2(th π
15,005,0
shallow deepaltransition
n
L/h2π
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[si par exemple T = 10s et une amplitude de 2m alors c=15,6 m/s etL = 156 m et les particules en surface ont une vitesse
s/m63,0T/Hpériode/ntiellecirconféreorbite =π= : on a alors
%4LH
3LH
T/LT/H
cu
0
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
≈π
=π
= selon la théorie de Stokes on a une
limite %1471
LH max
0
≈=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ donc pas de déferlement ].
♦ Si la profondeur relative est inférieure á 0,05 alors L
h2L
h2th π≅
π
ainsi TghLet2
Tgghc ⋅=π
== c’est la condition eau peu
profonde [shallow water] (exemple l’onde de marée) se sont desondes de translation [c – á – d qui affectent uniformément la section: onde longue] et c’est également le cas de la houle proche de lacote [ pour T = 10s et H =2m on a L=44,3m et alors h/L<0,05 etvitesse ~ 4,4m/s ] mais dans cette limite la théorie linéaire cessed’être valable et il faut faire appel á une théorie plus exigeante surles hypothèses par exemple ne plus négliger l’accélération verticaleThéorie de Boussinesq ou de Serre.
♦ Pour 05,0Lh
5,0 ⟩⟩ on a des conditions de transition : c et L
décroissent quand h diminue c’est – á – dire vers le rivage car :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
==L
h2th
LL
cc
00
Remarque : On peut écrire la relation de dispersion sous la forme
0Lh
Lh2th
Lh
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π qui facilite la résolution numérique pour : ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0Lhf
Lh
Méthode de résolution : c’est une méthode itérative
L2,1,0i
3LL2
L
Lh2
thLLitération
Lh2
thLLi21i2
2i2
i201i2
0 =↔+
=
π=
π=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎯⎯⎯⎯ →⎯⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
+
Voici une classification des ondes (Swell) en période :Désignation de l’onde Intervalle de période (sec)
CapillaritéUltragravité
GravitéInfragravité
Long périodeTranstidales
0 – 0,10,1 – 11 – 30
30 – 300 ~5mn300 – 8,64 104 ~24h
T > 8,,64 104
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Rappel : Développement limité de Taylor – Young
( ) ( ) ]( )
( )⎢⎣⎡ +⎥⎦
⎤+++++
++⎢⎣
⎡+++++=++
−−
−−
pppy
ppqyqpx
qpqp
py1px
1p1p
ppx
p
//yy
2//xy
//xx
2/y
/x
Rb,afk...fkhC...fkhCfh!p
1
...b,afkfkh2fh!2
1fkfh!1
1b,afkb,haf
où ( )
( )( ) 10aveckb,haf
yk
xh
!1p1R
1p
p ⟨θ⟨θ+θ+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+=
+
ainsi à l’ordre 3 on a :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 10aveckb,hafy
kx
h!3
1
b,afy
kx
h!2
1b,afy
kx
h!1
1b,afkb,haf
3
21
⟨θ⟨θ+θ+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+=++
Remarque : effet de la tension superficielle [ et les rides ]On a établit que dans tout le fluide en linéaire que :
0t
gzp=
∂Φ∂
++ρ
η∇σ≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+σ=∆=− 2
21extint R
1R1ppp Loi de Laplace
Or en η=z on a selon la loi de Laplace : 2
2
aa xp
Rpp
∂η∂
⋅σ−=σ
−= . Le
signe moins signifie que si 2
2
x∂η∂ est positif c’est – á – dire la surface libre
est á concavité vers le haut on a une réduction de pression.Alors si on prend : 0tetanconspa =≡ on peut écrire en théorie linéaire
⇒=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
+η+∂η∂
⋅ρσ
−ρ η=
0t
gx
p
z2
2a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂η∂
⋅ρσ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Φ∂
−=η=
2
2
0z xgtg1
La vitesse verticale des particules fluides appartenant á la surface libre
est donnée par x
uttD
Dv∂η∂
+∂η∂
=η
= qui en théorie linéaire s’écrit :
tv
∂η∂
= alors ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂η∂
⋅ρσ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂Φ∂
−== txgtg
1v 2
3
0z2
2 et comme
zv
∂Φ∂
=
2
2
x~
R1
∂
η∂
+−
+−
2
2
x∂
η∂
x
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alors 0zen0xzz
gt 2
3
2
2==
∂∂Φ∂
ρσ
−∂Φ∂
+∂Φ∂
reportons notre solution :
( ) ( ) ( )txksinkhch
hzkch2Hgt,z,x ω−⋅
+⋅
ω=Φ pour ( )txkcos
2H
ω−≡η
On obtient la relation de dispersion avec l’effet de la tension surfacique :
( )khthkkg3
2 ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ρ⋅σ
+⋅=ω la vitesse de phase est donnée parkT
Lc ω==
Cette relation de dispersion contient 2 termes, représentant les 2 sortesde force de rappel agissantes sur le déplacement η de la surface libre.Le premier dépend de g mais pas de σ qui représente la tendance del’eau en crête á revenir á l’équilibre sous l’effet de la pesanteur (repos) ;le deuxième terme représente l’effet de la tension qui tend á aplatir cettesurface et ainsi á réduire sa courbure. La tension surfacique ne prend del’importance et a un effet significatif que pour les courtes longueursd’onde nommées les rides. En effet les 2 termes sont du même ordre de
grandeur quand : ⇒ρ⋅σ
≈⋅3kkg ⇒
σ⋅ρ
≈gk2
g2L
ρσ
π≈
Cette valeur critique de la longueur d’onde est de 17mm pour l’eau á
200C [ ]33 m/Kg10,m/N073,0 =ρ=σ .On peut maintenant classer les ondes :• Les rides : les ondes plus courtes que la valeur critique rendent la
surface plus courbe et la tension superficielle est alors dominante :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=ρσ
∂ω∂
=
ρσπ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρ⋅σω
=⇒⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ρ⋅σ
ω
c23k
23
kc
L2k
kck
#
##
g
21
21
3
On constate que ccg ⟩ les rides (les très courtes longueurs d’onde)apparaissent se propager individuellement vers l’arrière relativementau paquet d’onde.
• Les ondes de gravité en eau profonde :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂ω∂
=
π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ω
=⇒ω
c21
kg
21
kc
2Lg
kg
kc
gk
##
##
g
21
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• Les ondes de gravité en eau peu profonde :
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ω⇒⟨⟨ 2222 kh
311khg1kh #
⎪⎩
⎪⎨
⎧
α≡β
≡αβ−α≈ω
23
h61
hg:kk
N.B. : les calculs précédents résultent du D. L. de la tangentehyperbolique selon le cas :
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−=⎯⎯ →⎯π
⟨
≈⎯⎯ →⎯⟩⟩
L53alors
alors
kh152kh
31khthkh
2khsi
1thkh1khsi
♣ Cinématique de l’onde et les pressions : sans tension superficielleOn établit que le potentiel de vitesse (en linéaire), pour une onde
progressive dont le profil de la surface libre est ( )txkcos2H
ω−≡η , est
donné par : ( ) ( ) ( )txksinkhch
hzkch2Hg
t,z,x ω−⋅+
⋅ω
=Φ on déduit alors le
champ de vitesse en théorie linéaire :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π=
∂Φ∂
=
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π=
∂Φ∂
=
txksinkhsh
hzkshTH
yt,z,xv
txkcoskhsh
hzkchTH
xt,z,xu
On observe que la vitesse résulte de 3 termes :
• Une vitesse surfacique des particules fluides THπ <<qui existe
en eau profonde>>. Proche du fond hz −= la vitesse maximaleen théorie linéaire hors de la couche limite est donnée par
khshTHu0 ⋅
π= alors que l’excursion maximale des particules
fluides proche du fond est donnée par khsh2
H2HA
⋅== δ
δ .
• Un terme hyperbolique définissant la décroissance de lavitesse en fonction de la profondeur relative.
• Un terme de phase en fonction de la position x et du temps t.Calculons maintenant les accélérations en théorie linéaire :
( ) ( )txksinkhsh
hzkchT
H2tu
yuv
xuu
tua 2
2
x ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π=
∂∂
≅∂∂
+∂∂
+∂∂
=
( ) ( )txkcoskhsh
hzkshT
H2tv
yvv
xvu
tva 2
2
y ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−=
∂∂
≅∂∂
+∂∂
+∂∂
=
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N. B. : On observe qu’entre l’accélération et la vitesse existe undéphasage : ( ) ( ) 0
yx 90v,u/a,a = . Le mouvement des particules fluidesautour de leur position au repos, c’est position moyenne, se calcule par :
( ) ( )
( ) ( )⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−=
∂ε∂
≅ε
=
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π=
∂ξ∂
≅ξ
=
txkcoskhsh
hzkshT
H2ttD
Dv
txksinkhsh
hzkchT
H2ttD
Du
2
2
2
2
( ) ( )
( ) ( )txkcoskhsh
hzksh2Hvdt
txksinkhsh
hzkch2Hudt
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=∫=ε
ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=∫=ξ
L’orbite des particules fluides est donnée par : 1ba 2
2
2
2=
ε+
ξ
où on a posé : ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
khshhzksh
2Hbet
khshhzkch
2Ha
Ce sont donc des ellipses. On constate que 2H est le rayon des orbites
des particules en surface en eau profonde. Quand l’onde des eauxprofondes vers les eaux peu profondes [en passant par les eauxintermédiaires] les orbites subissent les transformations suivantes :
Eau profonde : ( ) ( )↑↓≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +≅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ + zquandekhsh
hzkshkhsh
hzkch kz
Eau peu profonde : ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +≅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +hz1
khshhzkshet
kh1
khshhzkch
Calculons les vitesses en eau peu profonde :
( ) ( ) ( ) ( )txksinhz1
THt,z,xv&txkcos
hg
2Ht,z,xu ω−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π=ω−=
On peut également déterminer les déplacements comme avant.
profondeurfaibleeau
H5,0
M
•
• 2L
profondeeau
kze≅
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12
Reportons notre solution Φ dans le théorème de Bernoulli – Lagrangeon obtient alors le profil de pression :
( ) ( )tkxcoskhch
zhkch2gHgzp ω−
+ρ+ρ−=
pression statique pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)
Surpressions et sous – pressions sont donc
khch2gH
fondlesurpet2H
gsurfaceenp hz
2
Hz
ρ±==ρ±== −=
±=
4 ) Energie de l’onde et Puissance : L’énergie cinétique par unité de largueur et pour une longueur d’onde est
( )∫ ∫ ⇒+ρ= −L0
0h
22c vudxdz
21E
16LgHE
2
cρ
=
Si nous retranchons l’énergie potentielle d’une masse au repos del’énergie potentielle totale du volume ondulé (c – à – d avec surfacedéformée) voir figure on obtient l’énergie potentielle due seulement àl’onde en propagation ; ainsi l’énergie potentielle par unité de largueur et
pour une longueur d’onde est : ( ) ⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ρ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ η+
∫ η+ρ=2hgLdx
2hhgE L
0p
.L.W.S
gzρ−
( )chkh2
zhgHchk +ρ
dx
u
vdz
η
h
L
z x
16LgHE
2
pρ
=
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13
On constate équipartition d’énergie : c
2
p E16
LgHE =ρ
= . L’énergie totale
est donc : ( )eurarglde mètre/Jouleunité2
pc 8LHgEEE ⎯⎯ →←
ρ=+=
Prenons, par exemple, une onde qui se propage à travers d’unestructure poreuse et supposons que la profondeur est la même des 2cotés de l’ouvrage alors on aura la même longueur d’onde de chaque
coté car ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
π=
Lh2th
2gTL
2; par conséquent on aura une réduction en
amplitude car la structure induit la réflexion d’une partie de l’énergieincidente et une autre partie dissipée dans l’ouvrage poreux : d’après leprincipe de conservation d’énergie on a :
dissipée
2T
2R
2E
8LHg
8LHg
8LHgE +
ρ+
ρ=
ρ= Ι
8
LHg8
LHg8
LHgE2T
2R
2
dissipéeρ
−ρ
−ρ
= Ι
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
ρ=
ΙΙ
Ι2
2T
2
2R
2
dissipée HH
HH1
8LHgE
or par définition les coefficients de réflexion et de transmission (dont lecarré sont les facteurs associés) sont respectivement :
∗
ΙΙΙ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡
HH
HH
HHR RRR et
∗
ΙΙΙ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=≡
HH
HH
HHT TTT
alors [ ]22dissipée TR1EE −−= où
8LHgE
2Ιρ
=
On définit le coefficient d’absorption par : 22 TR1A −−= de sorte
que 2dissipée AEE = il en résulte l’égalité : 1ATR 222 =++
Une réduction de ~50% de l’énergie correspond á une réduction del’amplitude de ~71% car 2HE ∝ . On peut facilement atteindre le
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E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface
14
coefficient de réflexion R et de transmission T expérimentalement et onen déduit par conséquent le coefficient d’absorption A de l’ouvrage .L’énergie étant variable d’un point á un autre sur une longueur d’onde onparle alors de l’énergie moyenne par unité de surface :
( )ehorizontalsurface/Joule8Hg
LEE
LEE unité
2pc ⎯⎯⎯ →←
ρ=
+==
qui représente la densité d’énergie ou l’énergie spécifique.N.B. : réflexion d’onde par un absorbeur d’onde vertical
Par Madsen [J. WaterWays3(74) et Coastal Engineering7(83) ]
L’équation qui gouverne l’écoulement hors de la structure poreuse est :
0kgh
2xx
2
xx =ξ+ξ=ξω
+ξ et ( )hgigt,xU x ⋅ξ=ξ
ω= m
Les équations qui gouvernent l’écoulement dans l’absorbeur sont :
( ) mouvementdequantitéladeonconservati
masseladeonconservati
0UUgUn1
0hUn
xt
xt
↔=β+α+ξ+•
↔=+ξ•
où α et β tiennent compte respectivement de la perte par frottement enrégime laminaire et turbulent et n la porosité de la structure. On pose :
( ) Un
fUU ω⋅≈⋅β+α linéarisation du frottement (approximation)
On cherche des solutions périodiques de fréquence ω de la forme :
( )[ ]tiexRe ωη=ξ et ( )[ ]tiexvReU ω=
En les reportant dans les équations du mouvement et en éliminant U on
obtient : ( ) 0if1gh
2
xx =η−ω
+η et xif1gnv η+ω
−=
La solution générale, donnée par Madsen et White (1976) pour unécoulement dans une structure poreuse, est :
h
tara
x w
ia
gravats
demonticule
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15
( )
( ) wx0:ehgeaeaReU
wx0:eeaeaRe
tixixi
tixixi
21
21
≤≤⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅ε⋅−=
≤≤⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +=ξ
ωκκ−
ωκκ−
où
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−ω
=κ
−=ε
if1gh
if1n
A l’extérieur de la structure poreuse SWW équations donnent :( ) ( )
( ) ( ) 0x:eaeahgReU
0x:eaeaRe
kxtikxti
kxtikxti
ri
ri
≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=
≤⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=ξ
+ω−ω
+ω−ω
où gh
k ω=
ri a&a sont les amplitudes de l’onde incidente et l’onde réfléchie.Nos inconnues sont les amplitudes complexes r21 a&a,a . Elles peuventêtre déterminées par application des conditions aux limites : au niveaude la face frontale de l’absorbeur et sur le mur vertical en arrière.L’amplitude 2a peut être éliminée en utilisant le faite que la vitesse est
nulle au mur ( )wx = alors : xi2eaa 12κ−=
Les amplitudes r1 a&a sont déterminées en admettant la continuité de lapression (donc de l’élévation de la surface libre) et la continuité de lamasse ( donc de la vitesse) à la face frontale de l’absorbeur ( )0x = on
obtient ainsi : ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ikw2
ikw2
ikw2
ikw2
e11e11
aa
e1aaa
e1aaa
i
r
tri
rri−
−
−
−
ε++ε+
ε++ε−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−ε=−
+=+
Le coefficient de réflexion est donné par : ( )kw,n,fRaaR
i
r ==
Pour un absorbeur long on a : ε+ε−
=∞→ 1
1aaLimite
i
rkw
et pas d’oscillation de R.
R
kw1 2 3
5,0
1
6
5,0~n
95,0~n
10~f
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16
On note que l’absorbeur amortie fortement les ondes tel que kw estgrand c – à – d les courtes longueurs d’onde. Un absorbeur de forteperméabilité n amortie mieux les ondes : faible réflexion. Notons quepour un court absorbeur la réflexion est presque totale.La vitesse d’écoulement dans l’absorbeur est obtenue en déterminant tapar le système et en reportant dans la solution générale ; soit :
( )
( ) ( )wx0:e
e11
ee2Re
hgaU ti
xi2
w2xixi
i ≤≤
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ε−+ε+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅ε
⋅⋅= ωκ−
−κ−κ−
La détermination des coefficients de frottement peut se faire par les
formules empiriques d’Engelund : ( )22
3
0 dnn1 ν−
α=α & ( )dn
n130
ν−β=β
où d la taille des grains, ν la viscosité cinématique et 00 &βα sont desconstantes qui tiennent de la forme des particules 8,2~&1000~ 00 βαet qui augmentent avec l’irrégularité des particules :
plusou6,38,1~&plusou1500780~ 00 −β−α♦ La puissance de l’onde est l’énergie de l’onde par unité de temps sepropageant dans la direction de l’onde. Cette puissance peut s’écrirecomme le produit de la force agissante sur un plan vertical normal á ladirection de propagation par la vitesse des particules fluides traversant
ce plan. On a donc : ( ) udtdzgzpT1P T
0
0
h⋅∫ ∫ ρ+=
−selon Bernoulli–Lagrange
( ) ( )dxdydzpdxdydzgz21E
Dt
D
2z
2y
2x ∫∫∫ Φρ+−=∫∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +Φ+Φ+Φ≡
d’où on a le flux d’énergie c’est – à – dire la puissance or ‘’ Dbouge appliquons le théorème de transport de Reynolds ’’ :
( )( )
( )
( )( )
( ) ⇒∫∫ Φρ+−∫∫ ΦΦρ=
⋅∫∫ Φρ+−∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΦΦρ=
⋅∫∫ Φρ+−∫∫∫ ΦΦ+ΦΦ+ΦΦρ==
→•
→
dsvp
dsvpdxdydzgradgrad
dsvpdxdydzDtDEP
ntnt
nttD
t
nttD
ztzytyxtx
( )[ ]dspvvFDtDEP
Snnnt∫∫ −−ΦΦρ===
On signale qu’on a utilisé la formule de Green pour effectuer le calcul
( ) ( ) 0dsnd 2
t
nouspour
S
2 avec ≡Φ∇⎩⎨⎧
Φ⇒ΦΦ→Ψ
⎯⎯⎯⎯ →←∫ ∫ Ψ∇Φ=τΨ∇Φ∇+Ψ∇Φ ••rrrr
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17
Appliquons cela à notre cas: 0vn = (la surface géométrique S est fixe)
alors ( ) ( )⎩⎨⎧
==Φ
→∫∫ ρ+−=ΦρΦΦρ==dxdzdS
t,z,xugzp,dS
dtdEP n
tnt
Notons que la force mise en jeu est celle dynamique ]gzp[ ρ+ ; en
effectuant le calcul alors : ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ=
hk2shhk21
21
TE
hk2shhk21
T16LgHP
2
Posons : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
hk2shhk21
21n on a alors
TEnP =
avec ( )eurarglde mètre/Joule8
LHgEEE2
pcρ
=+=
Quand une onde se propage des eaux profondes [du large] vers leseaux peu profondes [la côte] : l’énergie par unité de temps (la puissance)en un point le long de son chemin de propagation doit être égale á celle
en un autre point plus loin augmentée de l’énergie réfléchie et de celledissipée par unité de temps entre ces 2 points. Si on néglige la réflexionet la dissipation on peut alors écrire : tetanConsP = ; donc quand l’ondese propage du large vers la cote son énergie E décroît inversementproportionnel á n car la période T reste constante.Maintenant construisons les orthogonales aux lignes de crête, lapuissance contenue entre 2 orthogonales consécutives doit êtreconstante si on néglige bien entendu la dissipation et la réflexion, ondésignera par B leur espacement : T (la période) est constanteOn définit ainsi les coefficients suivant :
breaking
B
plage
1
2
11
22
2
1
te
21
BB
LnLn
HH
: obtient on E reportant y en oùd'
CTEnB
TEnB
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1
2
earglLe
ecotte
21C
TEn
TEnP =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
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18
( )[ ]
1
2R
11
22S
BBK
LnLnK
refractiondetcoefficien
gonflementprofondeurShoalingdetcoefficien
==
==
: RS2
1 KKHH
⋅=
Si pas de réfraction alors 1KR = c’est le cas où les lignes de crêtes sontparallèles aux linges bathymetriques d’égale profondeur.Si on veut tenir compte des pertes par : infiltration, frottement oudéferlement il faut écrire : FRS
121 KKKHH ⋅⋅=⋅ − .
♦Vitesse de groupe :
Quand les ondes du train d’onde se propagent le long d’un canal á houleles ondes au devant du groupe diminuent en amplitude et de nouveauxondes apparaissent en arrière, de ce fait le nombre d’onde augmente. Ce qui signifie que le groupe se propage plus lentement que lescomposantes individuelles du paquet.L’explication de ce phénomène se trouve dans la façon dont une ondese propage et que seulement une fraction (n) de son énergie qui setransport avec. Chaque onde laisse de l’énergie derrière elle,relativement au groupe, une nouvelle onde apparaît chaque T secondeset gagne progressivement de l’énergie dans le temps. Comme l’énergiedans le groupe doit rester constante [en négligeant la réflexion et ladissipation] l’amplitude moyenne du groupe (enveloppe) doit continuer ádiminuer car le nombre d’onde augmente avec le temps.Une conséquence et une application pratique de la notion de vitesse degroupe [á moins qu’on ne s’intéresse á chaque onde caractérisée par sacélérité] est de prévoir le temps l’arrivé du paquet d’onde en un pointdonné en utilisant la vitesse du groupe. Pour déterminer la vitesse dugroupe prenons le cas de 2 ondes monochromatiques de période
différentes (voir figure) : pour parcourir dL , il faut dt avec dcdLdt = ,
pendant dt le train d’onde avance de dx :
ondes2des
additionSWL
( )L,c
groupeun:ondes'dtrain
gcdLL
dcc
+
+
)dLL,dcc( ++x
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19
( ) ( ) Lcdt2
LdLLdt2
cdccdx −≈++
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
= car 0g xtcx −⋅= alors
⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
−=−
==
dcdLdt
dtLc
dtLcdt
dtdxcg
dLdcLccg −=
On observe que c’est du fait que c est variable avec L que le paquetd’onde possède une célérité de groupe différente de la vitesse de phasede chacune des composantes.
On obtient alors cnhk2sh
hk212ccg ⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= avec ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
hk2shhk21
21n :
1n5,0 ≤≤ avec profondepeueauen1n
profondeeauen5,0n=•=•
Ainsi l’énergie du groupe se propage á vitesse du groupe.Autre méthode : notion de vitesse de groupe On peut comprendre plus clairement cette notion de vitesse de groupeen superposant deux ondes monochromatiques de même amplitudemais de fréquence très voisine ( )k,ω et ( )kk, δ+δω+ω :
[ ] ( ) ( )[ ]txkksinatkxsina δω+ω−δ++ω−=η
k4
k212
k2~
kk2:fixetá
t21xk
21cost
21xk
21ksina2
δπ
=δ
π⟨⟨
πδ+π
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅δω−⋅δ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ δω+ω−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ δ+=η
bb
Ainsi l’enveloppe [l’amplitude du groupe] se propage avec la célérité :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ω∂
=δωδ
→δ kkitelim
0k soit ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ω∂
≡k
cg
Soit LcLc
kL
Lckc
kckc
kkc
kcg ∂
∂−=
∂∂
∂∂
+=∂∂
+=∂∂
=∂ω∂
=
c’est ce résultat qu’on a établit précédemment.On peut retrouver ce résultat par une approche plus élégante encalculons le flux d’énergie F pendant un temps T qui traverse unesurface S fixe dans l’espace :
tdsdn
FTt
t S
nt∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫
∂Φ∂
Φρ=+
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20
En supposant que le mouvement est la superposition de 2 ondesharmoniques dans le temps, soit :
( ) ( ) ( ) tsinz,y,xtcosz,y,xt,z,y,x 21 ωϕ+ωϕ=Φintroduisons cette solution dans l’expression du flux d’énergie qui
traverse S avec T2π
=ω (T étant la période d’oscillation) on obtient :
sdnn
FS
21
12∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
ϕ−∂ϕ∂
ϕρπ=
ainsi le flux d’énergie est nul si le mouvement est stationnaire : ce quin’est pas surprenons car le transfert d’énergie n’aura lieu que si lemouvement est progressif.Maintenant si 21 et ϕϕ sont harmonique et si la surface S est fermée fixedans le fluide qui enveloppe un domaine D, la formule de Green nousdonne :
( )∫∫∫ ϕ∇ϕ−ϕ∇ϕ=∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
ϕ−∂ϕ∂
ϕρπ=D
12
212
2S
21
12 dxdydzsd
nnF
Si 21 et ϕϕ n’ont pas de singularités dans D (sources où puits) alors leflux d’énergie est nul car 21 et ϕϕ sont harmoniques. Calculons dans lecas d’une onde progressive la vitesse avec laquelle le plus d’énergie sepropage ; prenons alors ( ) ( )α+ω++=φ tkxcoshzAchk alors :
( )( ) ( )∫ ω+∫ +ρω=∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫
∂Φ∂
Φρ=ωπ
+η−
+2t
t
20~h
22Tt
t S
nt dttkxsindzhzkchkAtdsd
nF
ainsi le flux d’énergie moyen par unité de temps est :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρω==
hk2hk2sh1
4khA
TFF
2
.av
comme on a k
cetthkhgk2 ω=⋅=ω alors g
222
.av c.khchg2
ATFF ρω==
où gc a les dimensions d’une vitesse donnée par : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
hk2shhk21c
21cg
Calculons maintenant l’énergie moyenne stockée dans l’eau due aumouvement ondulatoire par rapport à la direction de propagation. Nousavons vu que l’énergie stockée dans D est donnée par :
( ) dxdydzgz21E
D
2z
2y
2x∫∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +Φ+Φ+Φ≡
Calculons cette énergie pour une largeur unité sur une longueur d’ondeà n’importe quel instant :
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21
( ) ( )
( ) ( )
∫ ∫ ⋅ρ+
⎥⎦⎤α+ω++
∫ ∫ ⎢⎣⎡ +α+ω++ω=−
η−
η−
hL0
222
hL0
22220
dxdzgz
dxdztxksinhzkchA21
txkcoshzkshA21kEE
où 0E est l’énergie potentielle de l’eau de profondeur h quand elle est aurepos. En négligeant les termes d’ordre élevé en amplitude, nousobtenons ainsi l’énergie due uniquement à la propagation d’ondeprogressive entre 2 plans distants d’une longueur d’onde L :
khLchg2
AEE 222
0 ⋅ρω
=−
ainsi l’énergie moyenne .avE dans le fluide par unité de longueur dans ladirection de propagation x qui résulte du mouvement ondulatoire de l’eau
est donnée par : khchg2
AE 222
av ⋅ρω
=
Nous constatons alors que :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎯⎯ →⎯⋅=
npropagatiodedirectionladanstempsdeunitéparmoyenneénergieE
verticalplanuntraversàtempsdeunitéparénergie'dfluxF
cEFav
av
avecgavav
Ainsi sous l’hypothèse que pas d’énergie crée ou détruite dans le fluide,celle – ci est transmise dans la direction de propagation de l’onde à lavitesse de groupe gc .• Relation de dispersion des ondes á l’interface de 2 couches d’un
fluide de masse volumique différente : ondes internes
On cherche des solutions pour les 2 couches de fluide sous la forme :( ) ( )txkcoshzchkA ω−+=Φ
( ) ( )txkcoshzchkB // ω−−=Φ
η // eth ρ
ρeth
x
airz
/ρ⟩ρ
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22
Au niveau de l’interface entre les 2 fluides la pression [dynamique] et lavitesse doivent être continues; il en résulte d’après la continuité de lapression que :
⇒∂Φ∂
ρ+ηρ=∂Φ∂
ρ+ηρt
gt
g/
//
( )⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂Φ∂
ρ−∂Φ∂
ρρ−ρ
=ηttg
1 //
/
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂Φ∂
ρ−∂Φ∂
ρρ−ρ
=∂η∂
2
2
2
/2/
/ ttg
1t
Alors que la continuité de la vitesse est :
zz
/
∂Φ∂
=∂Φ∂ mais comme par définition
ttDD
zv
∂η∂
≈η
=∂Φ∂
= on obtient :
( ) 2
2
2
/2//
ttzg
∂Φ∂
ρ−∂Φ∂
ρ=∂Φ∂
ρ−ρ
En y reportant nos 2 solutions on obtient un système en A et B, qui a unesolution non triviale quand son déterminant est nul alors on a :
( ) ( )//
/22
//
/2
khcothkhcothkg
kc
khcothkhcothkg
ρ+ρρ−ρ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω=⇔
ρ+ρρ−ρ
=ω
Note : si nous avons tenu compte de la capillarité σ pour les ondesinternes courtes on aura comme relation de dispersion :
( ) ( )//
/22
//
3/2
khcothkhcothkkg
kg
kc
khcothkhcothkgk
ρ+ρσ+ρ−ρ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω=⇔
ρ+ρσ+ρ−ρ
=ω
N.B. : • Si 1khet1kh / ⟩⟩⟩⟩ c’est – á – dire en eau profonde on a alors :
/
/2 kg
ρ+ρρ−ρ
=ω /
/2
kgc
ρ+ρρ−ρ
=
tout se passe comme si le fluide supérieur réduit g à /
// gg
ρ+ρρ−ρ
= car
pour un fluide homogène on a kgc2 = en eau profonde.
On remarque que si ρ⟩ρ / c –à – d que le fluide supérieur a unedensité plus grande ω devient imaginaire : il y a donc instabilité.• Si 1khet1kh / ⟨⟨⟨⟨ c’est – á – dire en eau peu profonde on a alors :
( )hhhkgk //
//22
ρ+ρρ−ρ
=ω
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23
• Si 1khet1kh / ⟨⟨≈⟩ on a alors :
ρρ−ρ
=ω/
/22 hgk
Pour ce qui est de l’étude dynamique et cinématique des ondes internesvoir le chapitre sur l’océanographie physique.5) Transport de masse et projection d’eau sur le rivage (wave setup):La théorie de faible amplitude (linéaire) prévoit pour les particules fluidesdes trajectoires fermées, ainsi il en résulte qu’il n’y a pas de transport demasse. Cependant dans la réalité et surtout en eau peu profonde onobserve un transport de masse qui résulte du fait que les trajectoires desparticules fluides ne sont pas fermées donc les particules avancependant le parcourt de chaque orbite : la vitesse de transport augmentequand la profondeur relative diminue. La vitesse de transport massiqueest plus faible que la vitesse des particules mais significative pour induireune remontée d’eau le long du rivage et contribuer par conséquencelargement au transport des sédiments vers large proche du fond (par lecourant de retour) après leur mise en suspension par la turbulence car ledéferlement projette d’eau vers la côte dans une couche de surface et
comme on a conservation de la masse il en résulte un courant de retour.En se basant sur des études expérimentales en laboratoire Saville(1961) pour des ondes déferlantes sur une plage a établit une équationdonnant la remontée d’eau sur le plage (wave setup at the shore) wwSqui a été proposée ultérieurement (1973) par U. S. Army CoastalEngineering Research Center. Si bH est l’amplitude au déferlementdans la zone du ressac (c’est un retour violant des vagues)(surf zone) :
b2b
ww HgTH82,2119,0S ⋅
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅=
Pratiquement l’onde se projette en moyenne sur 15% de bH .On présentera une modélisation mathématique de ce genre de problèmepour déterminer la descente (wave setdown) et la remontée d’eau (wavesetup) sur un rivage et la courantologie (transport de masse induit par lahoule : circulation côtière à l’échelle de la houle), ce qui permettra unemeilleur représentation de la courantologie marine et une bonnemodélisation du transport de sédiments et une étude de la dynamique de
wwS
SWLbH
vertical
retourdecourant
( )zone Washlavagedezone
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24
la géomorphologie des cotes sableuses . A ce niveau on tient à signalerque les effets non linéaires sont responsables de l’excitationd’harmoniques (de faibles périodes) qui modulent le profil de la surfacelibre ainsi que le champ de vitesse qui en résulte auquel s’ajoute laréflexion induite au moins par la pente du fond : ce qui moduleglobalement la morphologie et installe une barre sous – marine quiconstitue une protection naturelle de la cote (il se peut qu’il s’exciteégalement des ondes de coin \\ adge waves // dont l’amplitude décroîtexponentiellement vers le large : ce qui modifie également lacourantologie du littoral.Des ondes d’incidence normale à la côte qui sont fortement réfléchiespar la ligne du rivage sont instables à la perturbation induite due auxondes de coin. Ces ondes de coin extraient leur énergie de l’ondeincidente ω par le billet d’interactions non – linéaires (Galvin 1965,Guzaet Inman 1975) le potentiel de vitesse de cette onde subharmonique est :
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
β=ω
ω=ω
θ+ω−ω
=Φtgkg
2:avectsinykcosxkeAg
e2e
eee
e
ee
Les valeurs successives d’uprushes donnent une valeur approximative
de l’amplitude : β⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
≈ tg2
RRA 12
où 21 RetR sont les intrusions (horizontales) successives et maximalesde l’onde incidente sur le rivage (voir complément vers la fin de ce chapitre).
6) Réflexion d’onde : ClapotisQuand une onde rencontre un changement dans les conditions limites(comme un changement de profondeur d’eau, une convergence ou unedivergence dans un canal à houle, un obstacle submergé ou flottant à lasurface libre, un mur verticale ou en talus …) il en résulte une réflexionpartielle ou totale de l’énergie incidente.On superpose 2 houles sinusoïdales progressives de mêmecaractéristiques mais qui se propagent en sens inverse, on obtient le‘’Clapotis’’ qui est une onde stationnaire. Prenons le cas obstaclevertical inélastique et lisse (pas de frottement) : l’onde incidente seraalors complètement réfléchie c’est – à – dire l’amplitude réfléchie estégale à celle incidente : la superposition de ces 2 ondes donne une ondepurement stationnaire avec bien entendu des nœuds parfaits et des
βx
y
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25
ventres maximaux. On démontre qu’aux nœuds l’enveloppe a ( ) Ι⋅− HR1
et aux ventres ( ) Ι⋅+ HR1 où ΙΙ
==HH
EER RR est le coefficient de réflexion.
Les orbites en réflexion totale sont aplaties avec un retour sur la mêmetrajectoire courbe. Les trajectoires sont verticales sous les ventres ethorizontales sous les nœuds. L’ondulation de la surface libre résulte dela superposition des 2 ondes incidente et réfléchie (on a le droit d’utiliserle théorème de superposition car on étudie les ondes linéaires) :
( ) ( ) ( ) tcosxkcosHtxkcos2Htxkcos
2Ht,x ω⋅=ω++ω−=η
L’amplitude de l’onde stationnaire est le double de celle incidente : H2 .On verra que ceci se traduit par une surpression sur l’ouvrage:
c’est pour cela qu’on construit plus des ouvrages qui ont un faiblecoefficient de réflexion (en talus) et qui dissipent mieux l’énergieincidente (poreux : utilisation des blocs pour revêtir la carapace avecdistribution appropriée à cet effet …).
( ) Ι+∝→ HR1Aventre ( ) Ι−∝→ HR1Anœud
1HH
Restationair entpartiellemonde R:surfaceladeEnveloppe ⟨=Ι
↔
1HHR:surfaceladeEnveloppe Rpureestationaironde ==↔
Ι
ventre nœud
x
z
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26
Remarque : Formule de Healy ‘’ technique expérimentale ’’La mesure par une sonde linéaire c’est – à – dire dont la réponse estproportionnelle à l’oscillation de la surface libre nous permet dedéterminer expérimentalement le coefficient de réflexion R car :
( )( ) ( )
TOS1TOS1
RR1R1
waveStationaryOfTaux.S.O.THR1A
HR1A
nœud
ventre
+
−=⇒
−
+=⇒
Ι−=Ι+=
⎭⎬⎫
La mesure de TOS (en déterminant l’enveloppe de l’onde) permet doncde déterminer le coefficient de réflexion de l’obstacle : Formule de HealyDe manière similaire on détermine le potentiel de vitesse de l’onderésultante par la superposition du potentiel incident et réfléchie :
( ) ( ) ( ) ( )tsinxkcoskhch
hzkchHgt,z,x ω⋅+
⋅ω
−=Φ si ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
ω−=η
=
Ι txkcos2H
t,x
1R
La fonction de courant est : ( ) ( ) ( ) ( )tsinxksinkhch
hzkshHgt,z,x ω⋅
+⋅
ω=Ψ
En déduit alors de l’équation linéarisée de pression que :( ) ( ) ( )tcosxkcoskhch
zhkhchgHgzp ω+
ρ+ρ−=
pression statique pression dynamique due à l’accélération verticale (régime non permanent)On peut ainsi déterminer le profil de pression au mur parfaitementréfléchissant 1R = (qui est un ventre en 0x = ). Dans la réaliser du faiteque le mur est rugueux on a une dissipation d’énergie (même faible) quidonne un coefficient de réflexion plus petit que 1 : l’amplitude de l’onderéfléchie est légèrement inférieure à celle incidente.Connaissant le potentiel de vitesse 2D on peut en déduire le champ des
vitesses par : kz
ix
gradvrrr
∂Φ∂
+∂Φ∂
=Φ=→
Clapotis gaufrée :Une houle se propageant dans une direction faisant un angle ( )α+πavec Ox sur un mur est : ( )[ ]α⋅+α⋅+ω=η sinycosxktcos
2H
1
une réflexion sur la paroi Oy provoque une houle se propageant dans la
direction α− , soit : ( )[ ]α⋅−α⋅−ω=η sinycosxktcos2H
2
x
y
α
α
incidente
réfléchie
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27
Leur somme est ( ) ( )αα+ω⋅=η+η=η cosxkcossinyktcosH21
Il y a donc des maxima et des annulations d’amplitude sur des parallèles
à Oy : π=α ncosxk et ( )2
1n2cosxk π+=α respectivement. Il y a une
ligne de nœuds et de ventres mais il n’y a pas simultanément unmaximum ou une annulation ; ceux – ci se propage parallèlement à Oy à
la célérité αsin
c (vers Oy négatif si α est positif).
Réflexion normale sur un talus :
Pour les houles de faible cambrure, il est constaté que la réflexion était à
peu prés totale pour 41
Lb⟨ . Quand la pente du talus devient plus faible, il
se produit un déferlement qui dissipe une part appréciable de l’énergieincidente et l’énergie réfléchie est proportionnelle au carré de l’amplitude
est voisin de 0,1 quand 21
Lb= alors que lorsque
43
Lb= l’énergie réfléchie
n’est que de 0,04 à 0,05 celle incidente.Pour les houles de cambrure plus grande, l’énergie de l’onde réfléchieest sensiblement plus faible que celle des houles de cambrure plus faiblecar les houles de forte cambrure déferle plus facilement.L’Ingénieur espagnol Iribarren propose une formule qui donne la penteminimale de l’obstacle β réfléchissant une houle de période T. Pour desvaleurs plus faibles la houle déferle :
g2H
T2
=β Iribarren
La cambrure limite que peut avoir la houle sans déferlée sur la pente est
πβ
πβ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 2
max
sin2LH M. Miche
ainsi plus une houle est longue plus elle se réfléchie facilement sur unepente donnée : En particulier l’onde de marrée se réfléchie sur tous lesrivages, même ceux à pente très douce. Ces résultats sont pour un fondlisse et monolithique :la réflexion change avec la rugosité et la porosité du fond et de la pente :
b
hβ
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⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
=
↔βπ
ββ⋅=⟨
artificieltenrochemen5,0K
remblai6,0K
rugueuxbéton9,0K
platbéton,asphalte1K
radiansenoùsin
HL2
KR:LH
LH
si2
2
b
b
b
b
7) Le déferlement des ondes :Nous avons vue que les particules fluides appartenants à la crête d’uneonde ont une vitesse plus faible que la célérité de l’onde.Comme en eau profonde la vitesse des particules en surface est
proportionnelle à l’amplitude de l’onde THu0
π≈ donc une augmentation
de l’amplitude correspond à l’augmentation de la vitesse de ces
particules qui tendent vers la célérité de l’onde π
=2
Tgc0 ainsi dans cette
limite d’onde ⇒π
=π
⇔≈π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ 0
2
2
2
2
0
L
2
gT~H1
gT
H2cu %8,31
1~
LH
0
=π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ devient
instable et déferle. Miche en 1944 avait déterminé les conditions audéferlement sur fond horizontal, il propose :
( ) 36,0Lh11,0:pour
Lh2th
71
LHitelimoucritiquecambrure
maxc ⟨⟨⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==γ
Soit pour 35,0hL066,0 10 ⟨⟨ − et si pas de réflexion ni dissipation d’énergie
de l’onde on a : b1
0 hkth=γγ− donc c’est les houles de cambrure faible quigonflent le plus avant de déferler.Ainsi cette formule admet les 2 limites :
9,0hH
Lh2
71
LH:profondepeueauEn
2gTL;%14
71
LH:profondeeauEn
maxmax
2
00
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇒
π=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛•
π=≈=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛•
Miche en 1951 proposait également pour la cambrure limite, en eauprofonde sur un fond en pente avec réflexion totale, l’expression :
fonddupenteoùsin2LH 25,0
critique=β
πβ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡πβ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Des ondes de types Stockes en mer très profonde : L
h2th318,0Lπ
=γ
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29
On classe le déferlement sur une plage en 3 catégories : • Déversant : apparition d’écume à mi – hauteur. La crête instable
s’écoule sur la face avant (le front de l’onde est mousseux).• Plongeant : formation de rouleaux. La crête se courbe et tombe ce
qui induit un emprisonnement d’air et un bruit sourd.• Gonflant : crête presque intacte mais pas sa base et le front avant.
La zone du déferlement en eau peu profonde est caractérisée par unesaturation en énergie de la houle. Les mesures tant en laboratoire qu’ennature montre un contrôle de l’amplitude de la houle a par la profondeurlocale suivant une relation linéaire :
La constante γ, initialement introduite par Mac Cowan (1891– 94) dansl’étude théorique de l’onde solitaire ( )78,0=γ .En eau peu profonde ( )1kh ⟨⟨ Miche (1944) en supposant que l’onde deStokes (sinusoïdale) déferle sur un fond horizontal quand la vitesse de laparticule fluide en crête est égale à sa célérité, il trouva : ( )88,0=γ .Comme l’onde de Stokes est symétrique cette valeur représente ledéferlement Spilling.Ultérieurement beaucoup d’auteurs [Galvin et Eagleson (1965), Iverson(1962), Sverdrup et Munk (1946) …] proposent la même valeur de γ quiest observée en laboratoire (houle monochromatique).Mais dans l’approche statistique basée sur l’amplitude quadratiquemoyenne rmsA conduit á une valeur de γ sensiblement plus faible :
5,03,0 rms ⟨γ⟨ Nelson (1983).
( )Deversantou
spillingglissant ( )plungingplongeant( )
gonflantousurgingfrontal
SWL
3,35,0 0 ⟨ξ⟨3,30 ⟩ξ
2000
0gTH
tg21
LHtg β
π=
β=ξ
84,0~bγ
11,1~bγ 25,1~bγ
( )η+= hgc
5,00 ⟨ξ
h a−ha2Hminmax ⋅γ===η−η
a+
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30
Sur un fond de pente β on dispose du critère :
π=≤
β==ξ
2TgLoù3,2
LH
tg 2
0
0
Battjesdesimilaritédeparamétre
GalvinH
hhHe
20,0depentepour08,0
10,0à05,0depentepour04,0onsurélévati
b
sM
b
b
⎩⎨⎧
==−
==ζ
On va désigner par : b
b
b
MbMbMb H
hHhethh ==β=β=
Pour le déferlement sur une plage de pente m Weggel (1972) propose :
( ) ( )( )
( )mG
LH
HHmF
mG
LH
mFHH
31
0
b
31
/0
b
31
0
/0
/0
b +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= où
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]mGm1DmF
DDe185,0715,1Dm1DmG
1
21
21m28
−+=•−
−−+=•
−
où ( )
( )31
1
31
1
m28e01,001,0D
m5,001,0D
−−=
+=
qui est en accord avec les courbes d’Iversen (U. S. Army Coastal Eng.)L’amplitude maximale de la houle au déferlement :
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=⎯⎯→⎯−=
⋅−
⋅−
.dimsanse1
56,1mb
m/sene175,23ma
gTHmamb
hH
m5,19
m19 2
où2
b
b
b
bH be
Mh th
tamoyeneau'dniveau
reposaueau'dniveau
sh
sMb
M
t
t
hhe
reposaueau'dniveauducôtesh
moyenniveauducôteh
creuxleetmoyen
niveauleentrecetandisa
creuxducôteh
−=
=
=
=
=
fond
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31
Proposition :Pour comprendre la physique du déferlement il est intéressant de seréférer à la théorie de Boussineq pour le calcul de la célérité c’est – à-
dire à : ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂η∂
η+
η+⋅≈
∂η∂
η−
η−
= 2
22
2
222
x3h
h231gh
x3h
h231
ghc
qu’il faut comparer à la vitesse des particules fluides en crête de d’ondeen théorie non – linéaire (Stokes 2e ordre) : critère cinématique.Nous conseillons pour prévoir les meilleurs conditions de déferlementd’utiliser les figures (7 – 1 et 7 – 2 ) qui sont basées sur des résultatsexpérimentaux. Selon Kana (1979) on a :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=γ−=γ
−=γ
90,075,0:skerbreaPlunging75,065,0:skerbreaalTransition
65,055,0:skerbreaSpilling
En se basant sur des résultats expérimentaux de laboratoire Weggel
(1972) propose : ( )
( )0
bLHe1
28,43
e1
56,1 th19th5,19
β⋅−β⋅−
−π
−+
=γ
En se donnant la profondeur d’eau et la pente de la plage : l’amplitudede l’onde au déferlement bH se calcule par Fig(7 – 1) alors que laprofondeur au déferlement bb dh = par la Fig(7 – 2). On signale que sil’onde se réfracte sur la pente de la plage, l’amplitude d’une ondehypothétique non – réfractée est évaluée par : 0R
/0 HKH ⋅=
Munk a montré en 1949 que les conditions de déferlement sont liées à la
cambrure en eau profonde : 31
0
/0
/0
b
LH3,3
1HH
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= .
Quelle est la forme limite en surface de la houle irrotationnelle enprofondeur d’eau infinie ? : Stokes 1880
gr
θer
rer
θ
rv rvO
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32
A mesure que l’amplitude d’une vague croît, les crêtes deviennent deplus en plus aigues. Donnons à l’onde, une célérité c : l’onde progressiveest remplacée par un mouvement d’ensemble. Nous savons qu’une
particule de la surface libre ne la quitte pas car 0tDpD≡ . Elle se comporte
alors comme un mobile glissant sur un plan incliné. Au sommet de lavague en O, la vitesse est nulle. La vitesse rv de la particule superficielleest r# puisqu’il s’agit d’un glissement sans frottement sur un planincliné dans le champ de pesanteur : en effetselon la loi de Newton on a :
rttC21rtCvCcosg
tdvdm 2tete
rter ∝⇒⋅⋅=⇒⋅=⇒=θ=
Recherchons, au voisinage de la crête, un potentiel Φ donné par :
0zx 2
2
2
2=
∂Φ∂
+∂Φ∂
vérifiant les conditions de symétrie imposées par l’existence de cettecrête.L’équation de continuité permet l’introduction de la fonction de courantΨ telle que :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂Φ∂
=∂Ψ∂
−=
∂Φ∂
=∂Ψ∂
=
zxw
xzu
et la fonction de courantΨ vérifie 0zx 2
2
2
2=
∂Ψ∂
+∂Ψ∂
On peut montrer que 1Cte=Ψ et 2Cte=Φ sont orthogonaux.Cherchons un potentiel de vitesse complexe du type :
( ) ⇒θ=⋅=+=Φ+Ψ inerAzAzixAi nnn
⎪⎩
⎪⎨⎧
θ=Φ
θ=Ψ
nsinrA
ncosrAn
n
ce choix est justifié en raison des conditions de symétrie.La surface libre est ligne de courant dont Ψ y est constante. Comme elles’annule en 0r = ; il en résulte alors que : libresurfacelaà0=ΨAu voisinage de la crête la vitesse est donnée par :
( ) ll θ=∂Φ∂
=θ= − nsinnrr
cosgr2v 1n21
r
( 0pour0vr ⟩θ⟩ et 0pour0vr ⟨θ⟨ en raison du mouvement).
La valeur de l’exposant se déduit de l’égalité précédente : 23n = .
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33
Ainsi prés de la crête et à la surface : 023cosAr 2
3
=θ=Ψ l
On en déduit que 0603
±=π
±=θl
L’angle limite (point anguleux) de la crête de la vague de Stokes estdonc de 0120 alors que pour une onde solitaire 045±=θl soit 090 .La vitesse de la particule coïncidant avec la crête est nulle avec lasystème d’axes considéré. En eau profonde, la particule fluide coïncidantavec le point anguleux est animé d’une vitesse égale à la célérité del’onde. C’est le critère de déferlement.
La cambrure limite pour la houle de Stokes est %14LH
La2
== . La houle
progressive ne peut avoir une cambrure supérieure à 14%, au – delà, lalame déferle.• On va maintenant discuter l’effet d’un corps flottant sur la propagation
d’une houle en eau peu profonde. Seulement le cas 2D sera présenté(toutes les quantités hydrodynamiques sont indépendantes de lacoordonnée transversale y). On va présenter le cas d’une plaquemince dans une eau à profondeur constante. On a donc à résoudre :
Les conditions aux limites sont :axencontinuessont)pression(et)vitesse( tx m=↔Φ↔Φ
On s’intéresse à l’efficacité de la planche en surface comme brise lamedes ondes venant du coté droit ( )+∞=x . La solution générale de notreéquation différentielle a la forme: ( ) ( ) ( )ctxGctxFt,x ++−=Φ où ghc =Il est naturel de chercher des solutions harmoniques :
( ) ( ) ( ) ( ) axaexVt,xetaxext,x titi ⟨⟨−↔=η⟩↔ϕ=Φ ωω
Nos équations deviennent alors
ax0Vhi
dxdetax0
ghdxd
2
22
2
2⟨↔=
ω+
ϕ⟩↔=ϕ
ω+
ϕ
La première équation a pour solution ( ) ikxikx BeAex +=ϕ − avec gh
k ω=
ax −= ax =
xh
z
axh
axgh1
pourxxt
pourttxx
⟨⎯⎯ →←Φ−=η
⟩⎯⎯ →←Φ=Φ
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34
Ainsi on a : ( ) )tkx(i)tkx(i BeAet,x ω+ω−− +=Φ c’est la superposition de 2ondes une progressive se propageant vers la droite )tkx(iAe ω−− et l’autrevers la gauche )tkx(iBe ω+ . On rappelle que dans ce cas l’onde incidenteprovient de la droite, pour ( )xϕ on peut écrire ( ) ax:ikxikx ReBex ⟩− +=ϕoù B est l’amplitude de l’onde incidente et R de celle réfléchie : qu’il fautdéterminer. Sur la gauche on écrit : ( ) ikxTex =ϕ où T est l’amplitude del’onde transmise (à déterminée également). Si la planche est rédige etfixe on a alors ( ) 0t,x ≡η il en résulte alors que ( ) 0xV = donc sous laplanche on a : 0xx =ϕ ainsi ( )xϕ est une fonction linéaire en x :( ) δ+⋅γ=ϕ xx . Puisque ( )t,xxΦ est la vitesse horizontale de l’eau, il
résulte alors que sous la plaque on a un courant donné par : tie ω⋅γ
donc constant sous la plaque et sinusoïdal dans le temps.Ecrivons maintenant les conditions de raccordement des solutions aux
discontinuités ; il en résulte alors :
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
γ=
δ+γ−=
γ=−
δ+γ=+
−
−
−
−
ikTe
aTe
kiReBe
aReBe
ika
ika
ikaika
ikaika
On dispose donc de 4 équations pour 4 inconnues : R, T, γ et δ. Si ondésire calculer la pression sous la plaque il suffit d’appliquer Bernoulli –Lagrange : ( ) ( ) tiexit,xp t
ωωϕ−=Φρ−= . La solution de notre système est
donnée en fonction du paramètre adimentionnel k2Loù
La2 π
==θ par :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
πθ+===
πθ+
θπ===
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=δ
+θπθπ
=γ
+θπ=
+θπθπ
=
θπ
θπ
θπ
θπ
22T
22R
1
1BTC
1BRC
Be1i
ea
iB
1ieBT
1iieBR
ontransmissidetcoéfficien
réfléxiondetcoéfficien
i2
i2
i2
i2
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35
Notons qu’on a : 1CC 2T
2R =+ qui exprime la conservation d’énergie.
Notons que kaLa2
=π⋅
=πθ . Il est intéressant d’étudier comment varie la
pression sous la plaque : ( ) ( ) ( ) titi exiexit,xp tωω δ+γω−=ωϕ−=Φρ−=
donc la partie réelle, qu’il faut prendre, est donnée par : si B est réelle( ) ( ) ( ) tsinxptcosxpt,xp 21 ω−ω= avec
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
θπ+θπ
=
+θπ+
θπ=
⎩⎨⎧
πθ−πθ⋅ωρ=
πθ+πθ⋅ωρ=
ax
1xb
1ax
1xb
oùcosxbsinxbBxpcosxbsinxbBxp
22
22
2
22
22
1
122
211
8) Wave Run – Up : Ascension des LamesLe niveau auquel un ouvrage en mer (un mur, un revêtement en pierrecomme un talus d’une digue … ) doit être rasé (nivelé) est en fonctionprincipalement du run–up élévation.En laboratoire (1957) Saville propose la figure (8 – 1) pour déterminer lerun–up Ru (hauteur d’ascension mesurée verticalement des lames surune structure par rapport à SWL) en fonction de la période de l’onde, del’amplitude de l’onde non – réfractée et de la cotangente de la pente del’ouvrage avec comme paramètre 2/
0TH − .Ces courbes sont pour une paroi lisse et imperméable avec uneprofondeur d’eau de 1 à 3 fois /
0H . Ces courbes sont données parU.S.Army Coastal Enginnering Research Center (1973) la figure (8 – 1)résume cela. Le tableau (8 – 2) proposé par Battjes (1970) donne l’effetd’une paroi non lisse et perméable sur le run–up . Le facteur r est lerapport du run–up donné par la figure (8 – 1) à celui pour une paroiperméable et rugueuse.Saville (1957) propose une procédure à employer pour utiliser la figure(8 – 1) aux parois composées de plusieurs pentes : une pentehypothétique unique est construite à partir du point de déferlement aupoint d’ascension des lames sur l’ouvrage composé de plusieurspentes : ainsi on effectue le calcul comme si on a une paroi unique
bb dh = SWL
Ruuprun =−
uehypothétiqpentebb dh = SWL
Ruuprun =−
uehypothétiqpente
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36
dont on connaît la valeur avec laquelle on effectue les calculs commeavant; ce calcul se fait par essais et tâtonnements successifs garce à lafigure (8 – 1) et on compare avec la valeur estimée jusqu’à leur accord.Si non on recommence jusqu’à l’accord souhaité.Une formule empirique du run – up d’une onde déferlante sur un taluslisse est proposée par Hunt : [Proc. ASCE 85 WW3 Sept 1959 pp123-152]
3,21,0:pourLH
gtanH
Ru
0
⟨ξ⟨β
=ξ= & ( )ξ⋅−==−
−4,01
RuRd
upRunhauteurdownRunhauteur
On signale que si la hauteur de l’ouvrage n’est pas correctementdimensionnée il se produit un problème de franchissement de celui – ciqui engendre des inondations des quais et une agitation de l’autre coté àl’abri ( dans ce cas un système d’évacuation est à prévoir) : on traiteraultérieurement le problème de franchissement : qui présente unegrande importance pour le dimensionnement des ouvrages maritimes etpour calibrer le réseau d’assainissement portuaire (voir ch05).N.B. : En eau profonde Mitchell (1893) propose par le critère
cinématique : ( ) 267,0s/mTH
2gTLavec2,1
LL
142,0LH
22b
2
00
b,0
maxb,0
b
=⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
π==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
On peut calculer le coefficient de réflexion R(module du rapport del’amplitude réfléchie par celle incidente) d’un talus sur lequel l’ondedéferle par (selon Miche R=1 pour une onde non–déferlante sur le talus)
autrement1R1Rsi1,0R 2
=•⟨ξ⋅≈• où
H2gTtg
LHtg 2
0 π⋅β=
β=ξ
Rappel MathématiqueFormules de transformation de Gauss
& Les formules intégrales (ou les identités) de GreenSi ℜ est un opérateur linéaire on a l’égalité :
( ) ( )∫ℜ=∫ τ∇ℜΣ
dSndD
rr Théorème de Gauss
N.B. : on pose
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∑∂∂
=∇=∧∇
∑∂∂
=∇ϕ=ϕ∇⎯⎯⎯⎯ →⎯∑
∂∂
=∇
=
=
→
= 3
1i ii
i3
1i i
i
associeon3
1i ii
xrVrV;vrotv
exVV;grad
xe r
rrrrrr
rrrr
rr
ainsi
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37
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.EtcnnVrotVV
nVnVrVr
nngrad
nnVdivVV
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
rrrrrrrrr
rrrrrrrrrrr
rrrrrr
rrrrrrrrr
∗∗ ∧=ℜ⇒∧∇=∇ℜ⇒=∧∇=∇ℜ
=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒∇=∇ℜ
=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒ϕ=ϕ∇=ϕ∇ℜ
=ℜ⇒∇=∇ℜ⇒=∇=∇ℜ
••
→
••
On obtient alors les formules particulières du théorème de Gauss :
( )
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
↔∫ ∧=∫ τ
∫=∫ τ∇
↔∫ ϕ=∫ τϕ∇
↔∫=∫ τ∇
Σ
Σ••
Σ
Σ••
−
lrotationneduégraleintformule
gradientduégraleintformule
kiOstrogradsGauss
divergenceladeégraleintformule
dSVndVrot
dSrnVdrV
dSnd
dSVndV
D
D
D
D
rrr
rrrrrr
rr
rrrr
Si ( ) ( )( )
⇒⎩⎨⎧
∧=ℜ∇∧=∇ℜ
⇒ϕ∇ℜ=ϕ∇∧nrn
rr rrr
rrrrrr
∫ ∧ϕ=∫ τϕ∇∧Σ
dSnrdrD
rrrr
Applications : Les identités de GreenNous avons ( ) ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇=Ψ∇ϕ∇⇒Ψ∇ϕ ••
rrrrr alors d’après le
théorème de la divergence on a :
( ) ( ) ⇒∫∂Ψ∂
ϕ=∫ Ψ∇ϕ=τ∫ ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇=∫ τΨ∇ϕ∇ΣΣ
••• dSn
dSnddDD
rrrrr
( ) ∫∂Ψ∂
ϕ=τ∫ ∆Ψϕ+Ψ∇ϕ∇Σ
• dSn
dD
rr 1iére identité de Green
Si on change Ψ↔ϕ on obtient ( ) ∫∂ϕ∂
Ψ=τ∫ ϕ∆Ψ+ϕ∇Ψ∇Σ
• dSn
dD
rr et par
soustraction il en résulte :
( ) ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
Ψ−∂Ψ∂
ϕ=τ∫ ϕ∆Ψ−∆ΨϕΣ
dSnn
dD
2éme identité de Green
Il s’ensuit que pour un écoulement à potentiel de vitesse c’est – à – dire
que 0≡∆Ψ=ϕ∆ l’égalité : 0dSnn
=∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ϕ∂
Ψ−∂Ψ∂
ϕΣ
(1)
Si maintenant on prend Ψ≡ϕ alors ( )∫ τ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ϕ∆ϕ+ϕ∇=∫
∂ϕ∂
ϕΣ D
2 ddSn
r ; si
en plus ϕ est le potentiel de vitesse d’un champ d’écoulement :
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38
02 ≡ϕ∇≡ϕ∆ alors ( ) ∫∂ϕ∂
ϕ=∫ τϕ∇Σ
dSn
dD
2r
Comme ϕ∇≡rr
v : cette égalité met en évidence l’énergie cinétique .Les relations précédentes mettent en jeu 2 fonctions ϕ et ψ, d’où l’idéed’introduire un potentiel élémentaire pour que nos relations ne s’exprimeque par rapport à une seule fonction ?Par exemple on utilise les potentiels de vitesse singulier :
( ) ( )
( ) tePQ
21
2
ii
PQ2
PQPQ
3
PQ
Crdrd
nczxr
D2:dimensions22,1i
rlog2c:EDsi
r1log
D3:dimensions33,2,1i
r4c:EDsi
r1
pourcarfluxlequeremarquons =Φ
=∂Φ∂
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∑ −=
=
π=Φ⊂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Ψ
=
π−=Φ⊂=Ψ ••
où P et Q sont 2 points qui appartiennent au domaine fluide D ou à safrontière Σ ( )Σ∪= DD . Ainsi Ψ est une fonction définie pour QP ≠ maissingulière pour QP = et elle satisfait à l’équation différentielle de LaplaceDans ce cas la première formule de Green donne :
( ) ( ) ( ) QPQQ
QQD PQ
Q dSr1
nQdQ
r1PC ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ϕ−τϕ∇∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∇=ϕ⋅
Σ•rr
(2)
où ⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
Σ∈π∈π
=
DPsi0Psi2
DPsi4C
Si maintenant on change Ψ⎯⎯→⎯ϕ en alors la première identité de Greendonne également :
( ) ( ) ( )∫
∂ϕ∂
=∫ τ∇ϕ∇+∫ τϕ∆Σ
• QQPQD
QPQ
QQD
QPQ
dSnQ
r1d
r1QdQ
r1 rr
(3)
Si on introduit la relation (1) dans (2) on obtient une représentationintégrale du potentiel ϕ (tel que 0≡ϕ∆ ) n’utilisant bien entendu que desinformations concernant le comportement de ces fonctions sur la surface(enveloppe) du volume D liquide.
Q
Qnr ( )Σ
( )DP
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39
( ) ( ) ( )
bb
QPQQ
QQPQ
dSr1
nQdS
nQ
r1PC ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ϕ−∫∂ϕ∂
=ϕ⋅ΣΣ
simple couche double coucheCette formule trouve beaucoup d’applications dans la pratique…Souventdite la 3éme formule de Green.D’après la formule de Green (1), on pourrait introduire dansreprésentation (3) un potentiel ayant d’autres propriétés :
( ) ( ) extintPQ
DDdans0:quetelQr1Q,P ∪=∆ΦΦ+=χ
On obtient ainsi une nouvelle formule de représentation du potentiel :
dSQ,Pn
QdSn
QQ,PPC ∫ χ∂∂
ϕ−∫∂ϕ∂
χ=ϕ⋅ΣΣ
Les formules(1,2 et 3) contiennent 2 potentiels connus, on les utilisentsouvent en hydrodynamique navale :
• Le potentiel de simple couche : engendré par une distribution
de sources ( )Q1µ : ( )∫ µ=ΦΣ
QPQ
1 dSr1Q
• Le potentiel de double couche : engendré par une distribution
de dipôles ( )Q2µ : ( )∫∂∂
µ=ΦΣ
QPQQ
2 dSr1
nQ
♣ La houle de Stokes irrotationnelle du 2eordre :Pour les houles de grandes amplitude mais finie Stokes en 1880 poureffectuer ses calculs développe le potentiel de vitesse sous la forme :
( ) ( ) ( ) ( ) L+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ 4433221 HHHH
Le premier terme ( )1Hϕ correspond à la linéarisation présentéeprécédemment (Théorie d’Airy).
• Houle du 2e ordre : qui est valable pour 2gT01,0h ⋅≥Le potentiel de vitesse est donné par
( ) ( ) ( ) ( )tkx2sinkhsh
hzk2chTH
163tkxsin
khshhzkch
T2HL
4
2ω−
+π+ω−
+=ϕ
Le profil de la surface libre est donné par
intD extD
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40
( ) ( )tkx2coskhcothkhsh2
31L4Htkxcos
2H
2
2ω−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π+ω−=η
Le paramètre du développement est la cambrure 1LH −⋅ .On constate que la deuxième harmonique; excité par la non linéaritéest : de période ω↔ 2T5,0 et de longueur d’onde k2L5,0 ↔Les profils sont symétriques par rapport à des plans passants par lescrêtes et les creux . Les crêtes sont plus hautes et plus courbes alorsque les creux plus plats : ce résultat n’est pas mis en évidence par lathéorie linéaire (Airy).
La hauteur des crêtes est donnée par :
khcothkhsh2
31L4H
2H
2
2
max ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π+=η
Les creux sont au niveau : khcothkhsh2
31L4H
2H
2
2
min ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π+−=η
Ce qui montre que le terme introduit n’a d’importance que pour unehoule d’amplitude crête – creux H importante. La vitesse orbitale sont :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω−+ππ
+ω−+π
=∂ϕ∂
=
ω−+ππ
+ω−+π
=∂ϕ∂
=
tkx2sinkhsh
hzk2shLH
TH
43tkxsin
khshhzksh
TH
zw
tkx2coskhsh
hzk2chLH
TH
43tkxcos
khshhzkch
TH
xu
4
4
Les trajectoires des orbites sont obtenues par les intégrales :∫=ε∫=ξ dtwdtu
Il faut effectuer les calculs numériquement de proche en proche pour
obtenir les trajectoires en utilisant les relations :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂ε∂
+∂ε∂
+=ε
∂ξ∂
+∂ξ∂
+=ξ
zw
xuw
tDD
zw
xuu
tDD
Pour la houle de Stokes de 2eordre, posant ( )txk ω−=θ on obtient :
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41
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+π+
θ+π
+θ+
=ε
π+π+
θ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
π+θ
+=ξ
khshhzk2sh
L8H
2coskhsh
hzk2shL16
H3coskhsh
hzksh2H
Tt2
khshhzk2ch
L4H
2sinkhsh
hzk2ch231
khLsh8Hsin
khshhzkch
2H
2
2
4
2
2
2
22
2
Les orbites (trajectoires) des particules fluides ne sont plus fermées;ainsi le mouvement de l’onde progressive s’accompagne d’undéplacement de matière ( entraînement ) : c’est un transport de masse( un courant ) :
Dans le cas de la houle d’Airy, c’est–à–dire linéaire monochromatique,on n’a pas de transport de masse. La valeur de la vitesse de ce transportde matière dépend de la cambrure de la vague est donnée par
l’expression : ( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π=
kh2hk2shhzk2ch
khLTsh2HzU 2
22
m
Dont la valeur en eau peu profonde et au voisinage de la surface libre
est donnée par : ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π−ππ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π=
hL
41
Lh4coth
Lh2coth
TL
LH0U
22
m
Dans le cas d’une profondeur infinie, ce courant vaut : ( ) cLH0U
22
m ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π= ,
où c est la célérité de l’onde. Du fait de ce courant d’entraînement lestrajectoires de type elliptique ne sont plus fermées car elles se déplacentà la vitesse ( )zUm . A chaque période les orbites avancent de ( )TzUm :
Au fond le courant vaut : ( )
Lh2sh
Lh4
Lh4sh
hT8HhU
2
2
mπ
π−ππ−=−
( )T0Um ( )T0Um ( )T0Um
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42
Les trajectoires se réduisent à un simple mouvement de va – et – vient,dont la résultante est en sens inverse de la propagation de la houle :
D’après cette théorie de Stokes au 2e ordre les vitesses maximales sousla crête et le creux de l’onde sont respectivement données par :
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ω−
ω==
ω+
ω==
δδ
δδ
khsh16Hk3
khsh2Huu
khsh16Hk3
khsh2Huu
4
2Max
creux,creux ,
4
2Max
crête, crête,
Une comparaison des mesurées des vitesses maximales montre un bonaccord avec la valeur sous la crête, cependant sous le creux lesmesures montrent que la vitesse mesurée est plus petite que cellethéorique dans une eau de profondeur inférieur à 3m. En se basant surces mesures en eau peu profonde ( )2gT01,0h ⋅≤ Van Rijn propose :
( )linéairethéorielapardonnéeetoù
creux,~
crête,~
uhH3,01
u2u
uuδ
δδ
δδ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅α−=
⋅α=
Au 3ème ordre et plus la célérité de l’onde dépend de la cambrure :
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ππ+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+
π=
Lh2sh16Lh4ch414
LH1
Lh2th
cc
4
2
0
on constate qu’on a une dispersion en fréquence et en amplitude.
x
h npropagatiodesens
z
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43
Couche limite de la houleLa couche limite d’onde est une couche mince formant la transition entrele fond à la couche supérieur où l’écoulement fluide est irrotationnel &oscillatoire :
♣ Pour écoulement laminaire on a :
• Jonsson 1980 propose : βπ
=δ=δ2
wave
• Manohar 1955 propose : β
=δ6,4
Où
( )
( )
( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=ν
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛νπ
==β
snoscillatio'dpériodeT
s/mecinématiquitécosvis
mT
Stokesdelongueur
2
21
♣ Dans le cas d’un écoulement turbulent Jonsson et Carlson (1976)proposent :
500K2
H10pourK2
H2,1K30log
K30
ssss≤≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ δ δδ (a)
Cette équation peut également être représentée par :
41
sKH5,0072,0
H5,0
−δ
δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
⋅δ
L’équation (a) est basée sur des résultats expérimentaux.Les résultats théoriques de Fredsœ (1984) avec une erreur de ±20%sont approximativement donnés par :
δ
δ~u
turbulent
écoulement
δuu
δz
1
neirrotationécoulement'l
demaleimaxvitesse
aireminla
écoulement
onde'ditelimcouche
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44
41
sKH5,015,0
H5,0
−δ
δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
⋅δ
La transition à un écoulement oscillatoire pleinement turbulent sur unfond plat peut être estimer par la formule :
( ) 41
50
2critique,
d2H5770
u⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ν⋅ωδδ
où 50d est le diamètre moyen des particules solides du fond.Transport de masse par
des ondes non déferlantesEcoulement oscillatoire d’un fluide parfait :Stokes (en 1847) est le premier à mettre en évidence que les particulesne décrivent pas exactement des orbites fermées dans une onde defaible amplitude se propageant dans un fluide parfait (irrotationnel) enécoulement oscillatoire. Les particules fluides possèdent une vitesseLagrangienne moyenne au seconde ordre (nommée : ‘’Stokes’’ drift)dans la direction de propagation de l’onde.La vitesse orbitale horizontale augmente avec z au – dessus du fond.Par conséquence, une particule au sommet d’une orbite sous une crêteva plus vite dans la direction de propagation que si elle est sous uncreux d’onde. Par définition ‘’the Lagrangien Stokes drift’’ ne peut pasêtre détecter par des mesures en un point fixe.La valeur instantanée du <Lagrangien Stokes drift> horizontal sU d’uneparticule d’eau qui a une position moyenne ( )11 z,x est ( )ε+ξ+ 11s z,xUoù ( )εξ, sont les coordonnées de la particule sur sa trajectoire. Uneapproximation de sU est donnée par :
( ) ( )zU
xUz,xUz,xU 11s11s ∂
∂ε+
∂∂
ξ+=ε+ξ+
En utilisant la théorie linéaire et en prenant en suite la moyenne sur unepériode , on obtient ainsi la vitesse en moyenne temporelle (notée ici par
une barre au – dessus) : ( ) ( )( )khsh
hzk2chHk81zU 2
2s
−ω= (équ. a2)
où on a pris l’origine des z à la surface libre du haut vers le bas :
z0z =
hz =
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45
Au fond ( )hz = : ( )khsh8HkU 2
2s
ω=
A la surface ( )0z = : ( )khsh8
kh2chHkU 2
2s
ω=
Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainenon limité le débit volumique ( )s/m2 sur la profondeur d’eau h est :
( ) ( )( )
( )c8Hgkhth
8H
khsh16kh2shHdzzUM
22
2
20h ss =
ω=
ω=∫=
où ( ) ( )khthgkhth2
Tgonde'ldecéléritéc ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ω
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π
==
Cette équation en eau profonde ( ) 1kh ⟩⟩ se réduit à : 8HM
2
sω
=
Pour des ondes se propageant sur un fond horizontal dans un domainelimité Il est logique d’imposé un débit volumique nul en chaque positionx, ce qui conduit à :
( )( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
ω=
hk2hk2shhzk2ch
khsh8HkzU 2
2s (équ. a1)
Cette équation montre que le courant résultant est la somme d’un<Lagrangien Stokes drift> dans le sens de propagation de l’onde et d’uncourant de retour uniforme dans le sens opposé. Ainsi on a un débit versdans le sens de propagation de l’onde proche de la surface (vers la cote)et un débit négative proche du fond ( vers le large : dans le sens opposéà la propagation de l’onde) : ce mécanisme de transport de massenécessite la présence d’un gradient de pression horizontal (cisaillementest absent car le fluide est parfait par hypothèse) qui ne peut être causéque par une élévation de la surface libre vers la cote (wave set – up).Le débit volumique ( )s/m2 en une position fixe (x) dans un fluide illimitépeut être également déterminer par une approche Eulérienne par :
( )( )
∫ ∫≡η
T0
t
he dtdzt,zU
T1M
où U est la vitesse horizontale instantanée au niveau z, et η est ledéplacement de la surface libre par rapport au niveau moyen d’eau MWL
La théorie linéaire donne : c8HgM
2
e = . La méthode Lagrangienne et
Eulérienne conduisent au même résultat de débit volumique. Mais ladistribution verticale de la vitesse de transport massique moyenne estdifférente pour les 2 approches.
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46
Effet de la viscosité dans un écoulement oscillatoire turbulent :Longuet – Higgens (1953) a monté qu’il existe, pour un fluide réelvisqueux ν, un transfert ‘’en moyenne temporelle’’ de la quantité demouvement dans la direction de propagation dans la couche limite par la
diffusion visqueuse ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅ν
zU induisant un courant Eulerien moyen eU en
plus <Stokes drift> sU .La vitesse de transport totale moyenne mU est définie par :
∫∂∂
+∫∂∂
+=+= dtVzUdtU
xUUUUU ssem
Pour écoulement dans une couche limite laminaire Longuet – Higgens aobtenue :
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛δ
−ω
= δ−
δ− z2z
e3ezcos85hksh16
HkU 2
2m
où ων
==δ2aireminlaitelimcoucheladeépaisseur .
L’équation de mU posséde une valeur maximale donnée par :
( ) cu376,1
hksh4Hk376,1U
2
2
2m
δ⋅=ω
= où
⎪⎩
⎪⎨⎧
ω==
=δ
kc
u
onde'ldecélérité
.L.Chorsvitesseladeimalemaxvaleur
En admettant un débit nul sur toute la profondeur d’eau Longuet –Higgens a obtenu :
( ) ( ) ( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ω
=+=hzF
hksh8HkzUzUzU 2
2esm (équ. a3)) où
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
1hz
23
hk2hk2sh
23
1hz4
hz3hk2sh
2kh
23hzk2ch
hzF
2
2
2
2
Pour un écoulement oscillatoire dans un fluide illimité la vitesse detransport Eulérienne en moyenne temporelle (induite par les effets deviscosité) peut être décrite par :
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47
( )( )
( ) ( )hkcothzhHk21
hkshHk
163zU 22
2
2e −ω+
ω= (équ. a4))
Le débit moyen sur la profondeur d’eau est :
( )( )
( ) ( )hkcothzhHhk41
hkshHhk
163
c8HgdzUUM 222
2
220
hee −ω+
ω+=∫ +=
Transport de massepar
des ondes déferlantes
Quand une onde déferle elle génère un courant parallèle à la ligne decote (longshore current) et un autre vers le large (undertow). Onprésentera par ailleurs le modèle mathématique de Longuet – Higgenspour déterminer la circulation marine à l’échelle de la houle (parl’introduction du tenseur de radiation).Au – dessus du niveau du creux d’onde déferlante existe un débit vers lacote. En première approximation, ce débit peut être estimer par :
c8HgM
2=
En utilisant hgc = en eau peu profonde, il en résulte que :
8,0− 0 8,0 6,1 4,2
0
4,0
8,0
2
m
Hk
U4
ω
h
z
( )( )
( )( )a4)(équitélimilfluideCraikdemassedetransport
a3)(équitélimilfluideHiggens-Longuetmassedetransport
a2)(équillimitéfluidedans drift Stokes
a1)(équ limitéfluidedans drift Stokes
><
><
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E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface
48
2Hhg
81M ⋅=
En admettant qu’il y a pas un transport total net d’eau sur la profondeurd’eau, la valeur moyenne du courant de retour sous le creux, est donnépar :
21toff,m Hh
hg
81U ⋅= −
En prenant h8,0ht ⋅= il résulte donc : 223
off,m Hhg15,0U ⋅⋅=−
ComplémentC1- Variation théorique de l’amplitude et de la cambrure des vagues par fond décroissant en absence de la réfraction : On a vu que l’énergie transmise (flux d’énergie = puissance) par unité detemps et de longueur à travers un plan vertical fixe par mètre linéaire decrête est :
g
22c
8gH
TEn
hk2shhk21
21
TE
hk2shhk21
T16LgHP ρ
=⋅
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ=
où gc est la vitesse de groupe locale : cnhk2sh
hk212ccg ⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Au large, c’est – à – dire en eau profonde 1kh ⟩⟩ , on a :
0g
200
20
0 c8
gHT16LgHP ρ
=ρ
= car profondepeueauen
profondeeauen
1n5,0n
=•=•
Si le fond a une pente faible et qu’une énergie appréciable n’est réfléchienon plus dissipée alors on aura conservation de l’énergie transmise.Si les lignes de niveau sont parallèles aux lignes de crête (pas deréfraction) une énergie qui franchie un mètre de crête au large est lamême que celle qui franchie un mètre de crête près de la côte :Calcul de la variation de l’amplitude : ⇒= PP0
bH75,0
bH25,0
off,mU
on,mU
thh
SWL
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49
g
0
g
g2
0 cc
cc
hk2shhk21hkth
1HH 0 ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Posant hkx = alors
xchxxth
1
x2shx21xth
1HH
2
2
0 +=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ dont la dérivée est :
2
22
xchxxthxch
x2thx12
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
−− s’annule pour : 198,1x
x1xth =⇒= alors
9129,0HH
imummin0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ; 158,0
198,1191,0
Lhet191,0
Lh
0===
Cependant 1HH
0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ quand ⇒+=⇒=+ − x2e1x21
xchxxth 2
⇒π===Lh2hk639,0x 057,0
198,1191,0
Lhet1016,0
Lh
0===
c’est le point isométrique .C2- Variation de la cambrure :Les cambrures au large et en situation quelconque sont respectivement
LHet
LH
0
00 =γ=γ alors ⇒
γγ
=⋅γγ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛hkth
LL
HL
LH
HH 2
20
2
20
2
20
22
0
22
0
hkth1
HH
hk2shhk21hkth
103
2
0=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γγ
La dérivée n’annule au environ de 17,2hk ≈ soit 34,0LH≈ et 33,0
LH
0≈
d’où un minimum a peine marqué : 985,097,00
2
0≈
γγ
⇒≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γγ . On
remarque que ce sont les houles les moins cambrées au large quis’approchent de la terre et subissent le plus forte augmentation de lacambrure.
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E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface
50
C3 - Augmentation de la vitesse horizontale : en théorie linéaire
On a établit en eau peu profonde : ( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π=
ω−=
txksinhz1
THt,z,xv
txkcoshg
2Ht,z,xu
Ainsi l’amplitude de la vitesse horizontale est c2Hg
hg
2H~u = et celle
verticale est ( )hzkc2Hg
hz1
TH~v +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π car hgc = .
La composante horizontale maximale de la vitesse en eau profonde et
en surface est donnée par : 0
00 c2
Hgu = .
Ainsi le rapport est : 0
0
0
0
00
0
0 LL
HH
cc
HH
gHc2
c2gH
uu
γγ
==== car te
CT = .
Le rapport des vitesses maximales est égale au rapport des cambrures.Au déferlement, où γ atteint la valeur limite, on obtient alors la limite du
rapport des vitesses 0u
u .
On peut aussi exprimer u en fonction de hetL,H 00 . Pour kh assez on a
hk21~
HH
20
2 et 2
3202
3
2
222 TH
16H
gc4
Hgu−
π== avec
gL2T 02 π= d’où
( )43
41
0021
41 hLH
2g
22
1~u−
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
πCette vitesse tend vers l’infini si la profondeur d’eau tend vers zéro
0h → . Mais en réalité sa valeur est limité par le déferlement.
Au large (eau profonde) on a : 21
000
00 LHg2
Lg2
2Hu
−π=
π= donc :
( ) ( )
43
0
43
021
21
41
0 Lh18,0
Lh
g2
12g
2
1uu
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
π⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
π=
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51
Superposition des mouvements HarmoniquesLa superposition d’ondes de même périodes est :
( ) ( )( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
∑ ε÷∑ ε=θ∑ ε+∑ ε=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−
π=
∑ επ
∑ +επ
=∑ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π=η
sinacosatgsinacosaroù
Tt2cosr
sinaT
t2sincosaT
t2cosT
t2cosa
22
Par exemple prenons 2 composantes :
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
ε+εε+ε
=θ
ε−ε++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−
π=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π=η
//
//
//2/2
//
cosacosasinasinatg
cosaa2aaroù
Tt2cosr
Tt2cosa
Tt2cosa
Ainsi si les 2 composantes sont en phase /ε=ε alors :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π+=η
Tt2cosaa / proche des ventres
Mais si la différence de phase diffère d’une demi – période alors :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π−=η
Tt2cosaa / proche des nœuds
si en plus 0aa / =η⇒= oscillation nulle aux nœuds (onde harmoniquestationnaire pur).Si maintenant on superpose 2 ondes harmoniques de périodesdifférentes mais voisines (battement) :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ε−
π=η /
//
Tt2cosa
Tt2cosa
la résultante ne peut pas être représentée par une onde harmonique.Analytiquement si :
( ) ( )// tn2cosatm2cosa ε−π+ε−π=η avec ( )nm − est petit alors
( )θ−π=η tm2cosr où
( ) ( ) ( ) ⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ε+−π+ε
ε+−π+ε=θ
ε−ε+−π++=
//
//
//2/22
tnm2cosacosa
tnm2sinasinatg
tnm2cosaa2aar
On peut donc considérer la superposition de ces 2 ondes comme uneharmonique dont les éléments sont r & θ, qui ne sont pas constants maisvariables lentement dans le temps ayant la fréquence ( )nm − :
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52
• L’amplitude est maximale quand : ( ) 1tnm2cos / +=ε−ε+−π etminimale quand ( ) 1tnm2cos / −=ε−ε+−π dont les valeurscorrespondantes sont respectivement /aa + et /aa − .
Edge waves on a sloping beachby F. URSELL 1952 Proc. Roy. Soc. A214 pp79 – 97
On considéré des ondes de gravité dans un canal à houle dont :(ii) la longueur est finie et de profondeur constante(ii) la longueur est infinie et de profondeur constante
Désignons par Ox l’axe le long du canal et par Oy l’axe vertical vers lehaut et Oz l’axe transversal. On supposera avec Ursell que le canal aune profondeur infinie (Cette hypothèse ne changent pas le caractère duspectre).
(ii) Dans un canal de profondeur infinie limité verticalement par lesplans ( ax,0x == ; bz,0z == ) les potentiels de vitesse desmodes normaux (naturels) sont donnés par :
( ) titi mnmn ebn
amyexp
bzncos
axmcosCez,y,x 2
2
2
2
mnmnωω ⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=Φ
où n et m sont 2 entiers et mnC est une constante complexe. On a :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+π=ω 2
2
2
22mn b
namg (1)
Le spectre de fréquences données par (1) est discret et infini. On peutfacilement vérifier que : ( ) ag0 2
n,m2
n,1m π≤ω−ω⟨ + (2).On prendra la partie réelle de la solution. La solution du mouvement libreest donnée par : ( ) ( )∑∑Φ=Φ ω
m nmn
ti mnez,y,xt,z,y,x (3)
(ii) Supposons que la longueur du canal tend vers l’infini ∞→a l’équation(2) nous suggère que le spectre devient continu. Les modes normauxsont :
y z
O x
a
b
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53
( ) ( ) ( ) ( )tkitki nn eb
nkyexpb
zncoskxcosCek;z,y,x 2
222
nnωω ⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=Φ
où ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+=ω 2
2222
n bnkgk
et k est un nombre positif. Pour le mode bidimensionnel ( )0n = toutes lesvaleurs réelles de σ sont valeurs propres, pour les modes 3Dimensions( )0n⟩ tout les réels σ sont bgnπ⟩σ . Quand n est donné il existe unelimite inférieure (fréquence de coupure) au – dessous de laquellen’existe pas de modes normaux.Le mouvement libre est maintenant de la forme :
( ) ( ) ( ) dkeb
nkyexpkxcoskCb
zncost,z,y,x ti n0 2
222
nn
ω∫
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+−∑
π=Φ ∞ (4)
• Ondes de coin non – visqueuses : Inviscid edge wavesOn va maintenant étudier le cas d’un spectre mixte. On considère le casde modes normaux excités par une plage de pente α à l’extrémité d’uncanal à houle semi – infini. Le potentiel de vitesse est défini dans larégion bz0&tgxy0 ≤≤α≤≤ où est satisfaite :
02 =Φ∇ avec les conditions aux limites
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===∂Φ∂
α=α∂Φ∂
=∂Φ∂
==∂Φ∂
+Φω
bzet0zen0z
tgxyentgxy
0yen0y
g2
La dernière condition limite montre que le potentiel est de la forme :
( )y,xfb
zmcose mm
ti ⋅∑π
=Φ ω
Si Φ est antisymétrique par rapport à b21z = ce que nous admettrons
alors la série se réduit à : ( ) ( )y,xfbz1r2cose 1r2
r
ti−⋅∑
π−=Φ ω
où 1r2f − vérifie l’équation :
( ) ( ) 0y,xfb
1r2yx 1r22
22
2
2
2
2=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−−
∂∂
+∂∂
−
et les 2 premières conditions aux limites.Il est à remarquer que le cas 1r = est particulier :
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54
( ) ( ) ( )[ ]y1r2,x1r2fy,xf 11r2 −−=−
auquel il faut porter une intention particulière.Maintenant considérons une solution de la forme :
( ) tiey,xFkzcos ω⋅=Φ b
koù π=
Une solution est : ( )[ ] tiesinycosxkexpkzcos ωα+α−⋅=Φ (5) etd’après la première condition limite on a : α⋅=ω singk2
Le mode (5) est dû à Stokes (1846) il sera désigné par Stokes edgewave.
Puisque dxdydzgrad∫∫∫ Φ→
est fini, la fréquence b4
sing4singk
2 2 πα
=π
α=
πω
est une fréquence discrète du spectre.Pour une pente du fond α faible the Stokes adge wave n’est pas le seulmode discret mais le premier d’une suite. En considérant le potentiel :
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) tiekzcos1m2siny1m2cosxkeA
1m2siny1m2cosxkeAsinycosxke
n
1mmn
n
1mmn
ω∑
α++α+−+
∑α−−α−−
+α+α−
⎭⎬⎫⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=Φ
=
=
qui vérifie la 2ème et la 3ème conditions. La première condition estsatisfaite si :
( ) ( )( )∏
α+α+−
−==
m
1r
mmn rntg
1rntg1A & ( )α+⋅=ω 1n2singk2
La vitesse est finie dans le secteur quand ∞→x si ( ) 21n2 π≤α+ ; lemode de Stockes correspond à 0n = . Ceci a été expérimentalementvérifié par F. Ursell au laboratoire.
• Voir également J. Fluid Mech (1995) vol301 par P. Blondeaux &G. Vittori :
The nonlinear excitation of synchronous edge waves bymonochromatic wave normally approaching a plane beach.
Théorie d’onde cnoïdaleQuand la profondeur d’eau relative décroît vers à peu près 1,0Lh = , lathéorie de Stokes cesse d’être valable. Une autre approche théorique estnecessaire : c’est la théorie cnoïdale, qui était initialement développéepar Korteweg et De Vries en 1895 (Phil. Mag. 5 Ser. 39).La célérité de l’onde cnoïdale est donnée par :
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛κΚκΕ
−κ
+=211
hH1ghc 2 où 3
22
hLH
=κ
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55
où κ est un paramètre elliptique ou module. ( )κΚ est l’intégrale elliptiquecomplète de κ de première espèce, ( )κΕ est l’intégrale elliptiquecomplète de κ de seconde espèce. Dont on rappelle les définitions :On continuera à présenter les résultats de cette théorie après le rappel
Rappel mathématique : Les intégrales & fonction elliptiquesEn physique mathématique appliquée apparaissent en non – linéairesdes solutions qui font appel aux fonctions et intégrales elliptiques quisont la généralisation des fonctions sinusoïdales prisent sur le cercletrigonométrique alors que les premiers sur une ellipse. On va lesrésumer dans ce qui suit :♦ Les formes de Legendre : La représentation de Legendre de ces intégrales elliptiques de premièreet deuxième espèce est :
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
π≤θ≤θ=κ
≤κ≤↔
∫ φφκ−=φκΕ
∫φκ−
φ=φκΚ
φ
φ
20,sinou
10
dsin1,
sin1
d,
0
22
0 22
où κ et φ sont désignés respectivement par le module et l’amplitude del’intégrale elliptique en question. La quantité 2/ 1 κ−=κ est désignéepar le module complémentaire.Ces intégrales sont tabulées pour les valeurs de κ=θ arcsin et φ entre0 et 2π ; en se donnant le valeur de 2κ dans une intégrale qu’on veutévaluer, on doit d’abord prendre la racine carrée pour avoir κ, puis oncherche κ=θ arcsin par la fonctions trigonométrique naturelle sinus ,ensuite trouvait ( )φκΚ , ou ( )φκΕ , par les tables des intégrales elliptiques.Les intégrales elliptiques complètes : Les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espècesont les valeurs de ( )φκΚ , ou ( )φκΕ , pour 2π=φ , on trouve :
( )
( ) ∫ φφκ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πκΕ=κΕΕ
∫φκ−
φ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ πκΚ=κΚΚ
π
π
2
0
22
2
0 22
dsin12
,ou
sin1
d2
,ou
Il existe des tables à part pour ces intégrales elliptiques complètes.N.B. : on peut évaluer par une méthode numérique ces intégrales.On a par définition des fonctions intégrales elliptiques complètes :
( ) ( )( ) ( )φκΕ±Ε=φ±πκΕ
φκΚ±Κ=φ±πκΚ,n2n,,n2n,
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56
ceci résulte des propriétés de la fonction périodique sinus.Si la borne inférieure d’intégration n’est pas zéro, on peut écrire :
( ) ( )122
1
1
0 22
2
0 2222,,
sin1
d
sin1
d
sin1
dφκΚ−φκΚ=∫ ∫
φκ−
φ−∫
φκ−
φ=
φκ−
φφ
φ
φφ
on a une formule similaire pour ( )φκΕ , . Si l’une des bornes d’intégrationest négative on peut utiliser le faite que ( )φκΕ , est impaire en φ :
( ) ( )φκΚ−=∫φκ−
φ−=∫
φκ−
φ=φ−κΚ
φφ−,
sin1
d
sin1
d,0 220 22
et ( ) ( )φκΕ−=φ−κΕ ,, .N. B. : pour des valeurs petites de κ on évaluer avec une approximationbonne évaluer les intégrales par un développement en série.♦ Les formes de Jacobi :Si nous posons xsin =φ dans les formes de Legendre on obtient alorsles formes intégrale de Jacobi :
1x2x1
dxcos
dxddcosdxsinx
àcorrespond
2
=⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯π=φ
−=
φ=φ⇒φφ=⇒φ=
alors
( )( )( )
( ) ∫ ∫−κ−
=φφκ−=φκΕ
∫ ∫κ−−
=φκ−
φ=φκΚ
φ
φ
0
x
02
2222
0
x
0 22222
dxx1
x1dsin1,
x1x1
dx
sin1
d,
( )( )( )
( ) ∫−κ−
=∫ φφκ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πκΕ=κΕ=Ε
∫ ∫κ−−
=φκ−
φ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ πκΚ=κΚ=Κ
π
π
1
02
222
0
22
2
0
1
0 22222
dxx1
x1dsin12
,
x1x1
dx
sin1
d2
,
Pourquoi désigne – t – on ces intégrales par elliptique ? tout simplementelles sont liées au calcul de la longueur d’un arc le long d’une ellipse,analogue au calcul trigonométrique sur un cercle, en effet :
L’équation d’une ellipse sous forme paramétrique est : ⎩⎨⎧
φ=φ=
cosbysinax
on
prendra ba ⟩ (dans le cas où ba ⟨ utilise: φ=φ= cosby,cosax ), on a :( ) 22222222 dsinbcosadydxds φφ+φ=+=
puisque 0ba 22 ⟩− on peut écrire :
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57
( ) φ∫ φ−
−=φ∫ φ−−=∫ dsina
ba1adsinbaads 22
222222
c’est une intégrale elliptique de second espèce où 22222 eaba =−=κ(e est l’excentricité de l’ellipse). Si on veut le périmètre de l’ellipse φ doitvarier de 0 à π2 , le résultat est : ( )2,a4 πκΕ . Pour un petit arc on peutintroduire ses bornes dans l’intégrale est obtenir ainsi ( ) ( )12 ,, φκΕ−φκΕ .Rappelons nous que :
xsindxx1
dxu 1x
0 2−=∫
−=
qui définit u en fonction de x , ou l’inverse ; ainsi usinx = . D’une
manière similaire : ( )( )( )
∫κ−−
=φκΚx
0 222 x1x1
dx, définit u en fonction de φ
(ou bien fonction de φ= sinx ) [on admet que κ est constante]. On écrit :
( )( )( )∫ −=↔=
κ−−= −
x
0
1
222udeenesslireusnxxsn
x1x1
dxu
Comme uamp=φ est l’amplitude de l’intégrale elliptique ( )φκΚ= ,u etφ= sinx , on a :
( )uampsinsinusn =φ=
usn est une fonction elliptique. Il existe d’autres fonctions elliptiques quiont une ressemblance avec les fonctions trigonométriques. On définit :
( ) ( )22
2
x1usn1
uampsin1uampcoscosucn
−=−=
−==φ=
222222 x1usn1sin1
ddu1
dududn κ−=κ−=φκ−=
φ
=φ
≡
la valeur de φddu se calcule à partir des expressions donnant ( )φκΚ= ,u .Il existe des formules, comme en trigonométrie, qui relient ces fonctions :comme les formules d’addition, d’intégrales, de dérivées, …Etc.Exemple :
( ) ( ) udnucndudcossin
dudusn
dud
⋅=φ
φ=φ=
Pour plus de détail consulter l’ouvrage :D’Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun :
[ Handbook of Mathematical Functions with Formulas,Graphs, and Mathematical tables ]
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E.H.T.P.Equations des ondes en bidimensionnelle et caractéristiques des houles :ondes de surface
58
National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 55U. S. Government Printing Office, Washington, D. C. 1964
La célérité ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛κΚκΕ
−κ
+=211
hH1ghc 2 se situe entre 2 limites :
Celle des ondes sinusoïdales de cambrure hH faible et celle des ondessolitaires pour une grande cambrure hH c’est – à – dire :
• Pour les premiers (ondes sinusoïdales) :
0hLH verstend3
22 ⎯⎯⎯⎯ →⎯=κ & 1
hH⟨⟨ soit : ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−= 2
2
L3h21ghc
qui s’approche de la célérité donnée en théorie linéaire :
21
2
221
L3h21gh
Lh2th
2gLc
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
π=
• Pour les deuxièmes quand l’onde tend vers l’onde solitaire :
1hLH verstend3
22 ⎯⎯⎯⎯ →⎯=κ & 73,0
hH≤ soit : ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
h2H1ghc
qui s’approche à 2% de la célérité de l’onde solitaire
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=
hH1ghHhgc
on démontre que dans ce cas ∞=T .
Le paramètre 3
22
hLH
=κ (dit paramètre d’Ursell dont on a parlé en page
52 : propagation ondes sur une plage) caractérise le passage des houlesde type Stokes à celles de type cnoïdale.La longueur d’onde L est donnée par :
( )κΚκ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
21
3
H3h16L
L’élévation de la crête au – dessus du SWL est donnée par
( ) ( ) ( )[ ] κΕ−κΚκΚ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
HL
Hh
316
Ha 3
c
Le déferlement selon cette théorie se produit pour : 73,0hH=
Ces résultats sont au second ordre d’approximation.