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Chapitre 15
Application des lois de Newton et Lois de Kepler
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1. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
1.1. Champ de pesanteur La pesanteur se faisant ressentir dans tout l’espace autour de la Terre, on dit qu’il existe un champ de pesanteur. Ce champ est vectoriel puisqu’en chaque point, il a une valeur, une direction et un sens. Définition : Au voisinage de la Terre, le vecteur champ de pesanteur en un point où se trouve une masse m (en kg)
est défini par :
avec le poids (en N) de la masse m
Caractéristiques de :
Direction : ……………………………………………………………….
Sens : ……………………………………………………………………….
Valeur ou intensité de la pesanteur : g = 9,8 N/kg à la surface de la Terre
Propriétés : Localement (si les dimensions n’excèdent pas quelques km), le champ de pesanteur est considéré comme ……………..
Le vecteur y a alors le ………………………….. en direction, sens et intensité en tout point.
1.2. Chute sans frottement : chute libre
1.2.1. Définition :
Définition : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
1.2.2. Analyse physique
Le système étudié est un objet de masse m et de centre d’inertie G.
Il est lancé au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale 0
v
.
Le référentiel d’étude est le ……………………………………………..
supposé galiléen.
Dans le domaine du lancer, le champ de pesanteur est
considéré comme ……………………………………
Forces extérieures appliquées au système : ……………………………
On néglige la force de frottement fluide et la poussée d’Archimède.
On se retrouve dans le cas ………………………………………………
D’après la deuxième loi de Newton :
Constante k
a t + b
a t2 + b t + c
sa dérivée donne :
une primitive donne :
i
k
O
z
x
0v
G0
x0
z0
j
S
portée
P
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1.2.3. Equation horaires du vecteur accélération :
Dans le repère d’espace orthonormé (O, k,j,i ), la projection de la relation vectorielle G
a = g donne :
)t(a
)t(a
)t(a
z
y
x
1.2.4. Conditions initiales
Dans le repère d’espace orthonormé (O, k,j,i )
Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t = 0, le point matériel G est lancé de G0 avec une vitesse initiale faisant un angle α avec l’axe Ox. x(0) =
Le vecteur position initiale s’écrit alors y(0) =
z(0) =
v0x =
Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v0y =
v0z =
1.2.5. Equations horaires du vecteur vitesse
)t(aG
= dt
)t(dvG donc
dt
)t(dv
dt
)t(dv
dt
)t(dv
z
y
x
et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient :
)t(v
)t(v
)t(v
z
y
x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur vitesse :
Lors d’une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les
coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie du solide sont :
)t(v
)t(v
)t(v
z
y
x
Le mouvement est ……………………………. selon l’axe Ox et ………………………………………………………………. selon l’axe Oz.
Fig 2 : Vecteur vitesse
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1.2.6. Equations horaires du vecteur position :
dt
)t(OGd)t(v
G donc
dt
)t(dz
dt
)t(dy
dt
)t(dx
et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient : x(t)=
y(t)=
z(t)=
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur position :
Lors d’une chute libre avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les
coordonnées du vecteur position du centre d’inertie du solide sont :
)t(z
)t(y
)t(x
Remarque : Comme y(t) = 0, le mouvement s’effectue dans le plan ……………………..
1.2.7. Equation de la trajectoire L’équation z = f(x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système. Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t).
(1) devient t = )cos(v
)t(x
0
, que l’on reporte dans l’expression de z(t). On
obtient ainsi l’équation de la trajectoire.
z(x) =
L’équation de la trajectoire z(x) =
est celle d’une parabole dont la concavité est tournée vers le bas.
Remarque : Déterminer la flèche c'est calculer l'altitude maximale atteinte
par le projectile.
Fig 3 : a) Influence de la vitesse b) Influence de l’angle
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2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
2.1. Champ électrostatique E et force électrique (Voir cours de 1ère S)
Un champ électrostatique s’obtient entre deux armatures métalliques planes P et N séparées d’une distance d, entre lesquelles une tension UPN est appliquée.
Remarque : Un champ électrostatique uniforme a même valeur, même direction, même sens en tout point de l’espace
Une particule chargée de charge électrique q dans un champ électrostatique
subit une force telle que :
F en N ; E en V.m-1 et q en C (Coulomb)
2.2. Analyse physique
Une particule chargée de masse m et de charge électrique q pénètre avec une
vitesse initiale dans une région où règne dans un champ électrostatique uniforme .
Système étudié : ……………………………………………………………
Référentiel : …………………………………………………………………………………………………
Forces extérieures appliquées au système :
- ……………………………………………………………………….
- …………………………………………………………………………
Exercice : 20 p 176
D’après la deuxième loi de Newton :
Σ = m .
= m .
q = m . d’où =
2.3. Equations horaires du vecteur accélération
Dans le repère d’espace orthonormé (O, k,j,i ), la projection de la relation vectorielle
G
a =
donne :
ax(t) =
ay (t) =
az (t) =
Caractéristiques du champ électrique :
- Direction : ……………………………………………………………………………………………………
- Sens : ………………………………………………………………………………………………………
………………………………………
- Norme : E en V.m-1 ; UPN en V ; d en m
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2.4. Conditions initiales
Dans le repère d’espace orthonormé (O, k,j,i )
Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t = 0, la particule chargée est lancé de O avec une vitesse initiale faisant un angle α avec l’axe Ox. x(0) = 0
Le vecteur position initiale s’écrit alors y(0) = 0
z(0) = 0
v0x = v0 cos α
Le vecteur vitesse initiale a pour coordonnées : v0y = 0
v0z = v0 sin α
2.5. Equations horaires du vecteur vitesse
)t(aG
= dt
)t(dvG donc
dt
)t(dv
dt
)t(dv
dt
)t(dv
z
y
x
et par intégration des équations horaires du vecteur accélération, on obtient :
)t(v
)t(v
)t(v
z
y
x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur vitesse : avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur vitesse du centre d’inertie de la particule chargée placée dans un champ électrostatique sont :
)t(v
)t(v
)t(v
z
y
x
Le mouvement est uniforme selon l’axe Ox et uniformément varié selon l’axe Oz.
2.6. Equations horaires du mouvement
dt
)t(OGd)t(v
G donc
dt
)t(dz
dt
)t(dy
dt
)t(dx
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et par intégration des équations horaires du vecteur vitesse, on obtient :
)t(z
)t(y
)t(x
On détermine les constantes à l’aide des conditions initiales :
Equations horaires du vecteur position :
Avec une vitesse initiale située dans le plan (x0z) et formant un angle avec l’axe (Ox), les coordonnées du vecteur position du centre d’inertie de la particule chargée placée dans un champ de pesanteur sont :
)t(z
)t(y
)t(x
Remarque : Comme y(t) = 0, le mouvement s’effectue dans le plan ……………………..
2.7. Equation de la trajectoire L’équation z = f(x) est celle de la trajectoire du centre d’inertie G du système. Elle s’obtient en éliminant t entre x(t) et z(t).
(1) devient t = , que l’on reporte dans l’expression de z(t). On obtient ainsi l’équation de la trajectoire.
z(x) =
La trajectoire est parabolique :
- tournée dans le sens du champ si q > 0 (fig 5)
- tournée dans le sens opposé au champ si q < 0 (fig 6)
Exercices : 7 p 172 ; 17 p 174 ; 21 p 176 (corrigé) ; 23 p 177
3. Mouvements des planètes et des satellites
3.1. Loi de la gravitation universelle Deux objets ponctuel A et B, de masses respectives mA et mB, et dont les centres sont séparés d’une distance d, exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction gravitationnelle, de sens opposés, dirigés selon la droite (AB), de même intensité telle que :
= -
= G .
.
est un vecteur unitaire porté par la droite (AB), orienté de B vers A G est la constante de gravitation universelle : G = 6,67 x 10-11 m3.kg-1.s-2 FA/B et FB/A s’expriment en Newton (N), mA et mB en kilogramme (kg) et d en mètre (m)
3.2. Exemple d’un satellite terrestre en orbite circulaire On considère le mouvement circulaire d’un satellite S considéré comme ponctuel de masse m, en orbite autour de la Terre de centre O et de masse MT.
Système étudié : ……………………………………………………
Référentiel : ……………………………………………………………………
Fig 6 Fig 5
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Forces extérieures appliquées au système :
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
On considère le repère de Frenet (S, , )
D’après la deuxième loi de Newton :
Σ = m .
T S = m . d’où ……………………………………………………………………………. avec r = OS
Il vient donc :
Le vecteur accélération est ……………………………………………...
Comme vu dans le chapitre 13 : pour un mouvement circulaire dans le repère de Frenet : = d
dt ut
r un
avec an = accélération normale et an = v
r un et
avec at = accélération tangentielle et at = dv
dt ut
par identification, on en déduit que :
dv
dt (1)
v
r = (2)
L’égalité (1) implique que la valeur de la vitesse v est …………………………………..
Ce mouvement circulaire est donc ……………………………………...
L’égalité ( ) donne
La valeur de la vitesse v du satellite est indépendante de la masse du satellite, mais dépend du rayon r = RT + h de la
trajectoire.
Définition : La période de révolution T du satellite est la durée mise par le satellite pour effectuer un tour
complet sur son orbite.
T =
=
= 2
Conclusion : la période de révolution T d’un satellite sur une orbite circulaire autour d’un astre attracteur est :
T : période de révolution (s) ; r : rayon de l’orbite circulaire (m) ; MT : masse de l’astre attracteur (kg)
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Remarque : cette étude réalisée pour un satellite en orbite circulaire autour de la Terre peut être généralisée à tout satellite ou planète en orbite circulaire autour d’un astre de masse M. 4. Lois de Kepler
4.1. Première loi ou loi des orbites ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………….
Remarque : A l’exception de Mercure, les mouvements des planètes peuvent être considérés comme circulaires. Leurs trajectoires sont quasiment des cercles, c’est-à-dire des ellipses dont les foyers sont confondus.
4.2. Deuxième loi ou loi des aires
…………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………….
(Sur l’exemple : S1 =S2)
http://physique94.perso.sfr.fr/index_htm_files/C10_Kepler_3_lois.swf
4.3. Troisième loi ou loi des périodes Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube de la
demi-longueur du grand axe a de l’ellipse est le même.
Le coefficient k est caractéristique de l’astre autour duquel la (les) planète(s) tourne(nt). Cette loi est également
applicable aux satellites en rotation autour d’une planète. Pour un mouvement circulaire, on peut démontrer que k =
=
. On trouve alors que k ne dépend que de la masse de la planète autour de laquelle le satellite tourne. Ainsi
tous les satellites de la Terre ont le même k.
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Démonstration :
T = 2
on élève cette expression au carré, cela donne :
Activité :
De très patientes observations astronomiques furent effectuées par Tycho Brahé(1546 - 1601), pour l'essentiel entre 1576 et
1597 dans son observatoire à Uraniborg au Danemark. Johannes Kepler (1571 - 1630), qui fut le jeune assistant de Tyho Brahé
put ainsi disposer de toutes les archives accumulées sur le mouvement de la planète Mars, et énoncer au début du 17ème
siècle, entre 1609 et 1619, trois lois empiriques qui permettent de décrire les mouvements des planètes dans le ciel.
Voici un tableau que Kepler aurait pu faire pour consigner les résultats des observations de Tycho Brahé et de ses calculs.
Pour les planètes du système solaire :
planète
a
demi grand axe
en 103 km
ou 106 m
T
période de
révolution
en jour
T
période de
révolution
en 106 s
T2/a
3
en jour2.km
-3 T
2/a
3
en s2.m
-3
Mercure 57910 87,97 7,57984708 3,98482.10
-11 2,95842.10-19
Vénus 108200 224,7 19,3610508 3,98588.10
-11 2,95921.10-19
Terre 149600 365,26 31,47226264 3,98483.10
-11 2,95843.10-19
Mars 227940 686,98 59,19294472 3,98498.10
-11 2,95855.10-19
Jupiter 778330 4332,71 373,3236244 3,98133.10
-11 2,95583.10-19
Compléter la dernière colonne du tableau page suivante. Concluez.
Exercices : 18 p 175 (corrigé) ; 25 p 178 (corrigé) ; 2005 Centres étrangers Voyage autour de Saturne