chapitre 2 - ecoulement surface libre

Bureau d'études du génie civil -Hydraulique fluviale

Ch 2 : Ecoulement à surface libre 1

Chapitre 2 : Écoulement permanent à surface libre



Plan

• Hypothèses et définitions• Écoulement uniforme• Écoulement graduellement varié• Écoulement brusquement varié



Plan




Hypothèses

• Écoulement permanentEn un point, les grandeurs caractéristiques de l’écoulement (hauteur d’eau vitesse, débit) restent identiques dans le temps.Ces grandeurs peuvent par contre varier d’un point à l’autre.

• Écoulement continuLe débit est le même partout dans le canal ou la rivière.

• Écoulement bidimensionnelOn tient compte de la largeur de la rivière, mais le niveau d’eau ne varie pas transversalement.



Différents types d’écoulements

• Écoulement uniforme

• Écoulement graduellement varié

• Écoulement brusquement varié



Systèmes d’axes

Deux systèmes d’axes de référence sont utilisés couramment

– Système classique : x y z– Système associé au fond de la rivière : s y h– Échelle distordue



Rappel Bernoulli – écoulement en conduite

Bernoulli

Charge

Cote piézométrique

21

222

2

211

1 22 −+++=++ Jg

vpz

g

vpz

γγ2121 −+= JHHHHHHHH

g

vpz

2

²++=γ

HHHHγp

zH +=



Comparaison écoulement en conduite/à surface libre

Perte de charge J

Charge H

Niveau de la surface libreCote Piézométrique H

Surface libreConduite

hzH +=

g

vpz

2

²++=γ

HHHHg

vhz

2

²++=HHHH

2121 HHHHHHHH −=−J

γp

zH +=



Définitions

Aire mouillée ASurface occupée par l’eau dans une section transversale de l’écoulement

Périmètre mouillé PLongueur opposant un frottement à l’écoulement dans une section transversale de l’écoulement



Définitions

Hauteur d’eau moyenne hm

L

Ahm =



Définitions

Rayon hydraulique Rh

Rapport entre l’aire mouillée et le périmètre mouillé

Plus Rh est grand, plus la section est « efficace »

Thalweg

Le thalweg est une ligne de fond définie par les points où le lit de la rivière est le plus profond dans chaque section transversale

P

ARh =



Différentes pentes

φsin0 =S



Plan




Écoulement uniforme

Dans un canal de pente constante et dont la section transversale ne varie pas (canal prismatique,…), l’écoulement est dit uniforme si :– La profondeur, la section mouillée et la vitesse moyenne restent

constantes en toute section du canal.– La ligne de charge, la surface libre et le fond du canal sont

parallèles.

En pratique :– Au sens strict rarement réalisé– Dans canal artificiel (section et pente constante), écoulement « à

peu près uniforme »– En rivière naturelle, certains résultats du mouvement uniforme

utilisables si lignes d’eau et de fond +/- parallèles



Écoulement uniforme

• Pente de fond

• Pente de la surface libre Sw

• Pente de charge Sf

fw SSS ==0

ϕsin12

120 =

−−=

ss

zzS



Écoulement uniforme - Chézy

• Force de frottement avec• Poids propre de l’eau – composante en s • Pression sur les parois latérales (1) (pas de composante en s)• Pression au fond et pression atmosphérique (2)(pas de composante en s)• Pression hydrostatique (3) (résultante nulle car mouvement uniforme)

dsPFR τ= ²Vk=τÉquilibre des forces selon s (volume de contrôle de longueur ds)

0, SdsAF sG γ=



Équilibre des forces selon s

Écoulement uniforme - Chézy

0SRCV h=

C = Cœfficient de Chézy

sGRs FFF ,0 =⇒=∑

0² SdsAdsPkV γ=

0SP

A

kV

γ=

0SdsAdsP γτ =



Écoulement uniforme - Manning

• Nombreux essais réalisés pour déterminer C en fonction du matériau du canal (20 à 80 m1/2/s)

• Problème : C dépend du matériau et du rayon hydraulique

• Manning propose une formule 6/11hR

nC =

0SRCV h= 03/21

SRn

V h=

• n = Coefficient de Manning (m/s1/3)� tableau suivant le matériau du canal




Parfait




Débit en fonction de la géométrie de la section et de la pente de fond

03/21

SRn

V h=

0

3/2

Sn

ARQ h=

AVQ =



Manning – section rectangulaire

hl

hl

P

ARh 2+

==hlA = hlP 2+=

( )( ) 03/2

3/5

0

3/2

0

3/2

2

2S

hln

hlS

nhl

hlhl

Sn

ARQ h

+=

+==

l est la largeur au plafond (fond du canal ou de la rivière)

h est la hauteur uniforme (hauteur d’eau en mouvement uniforme)

( )5/3

3/5

3/2

0

2

+=l

hl

S

nQh On trouve h par itération



Exemple – calcul hauteur uniforme

l =10 mQ = 25 m³/s n = 0.014 m/s1/3 (béton)S0 = 0.001

Quelle est la hauteur uniforme h ?

Ex : valeur de départ h = 2 m

( )5/3

3/5

3/2

0

2

+=l

hl

S

nQhÉtape 2 : mh 159.1=

Étape 3 : h = 1.155 m Étape 4 : h = 1.155 m

( )5/3

3/5

3/2

0

2

+=l

hl

S

nQhÉtape 1 : mh 216.1=



hlP 2+=

Manning – section rectangulaire

hl

hl

P

ARh 2+

==hlA =

0

3/5

0

3/2

Sn

hlS

n

ARQ h ≈=

5/3

0

≈

Sl

nQh

lh <<

hRh ≈



Exercices

• 4 exercices • 18 QCM



Plan

• Hypothèses et définitions• Écoulement uniforme• Écoulement graduellement varié

– Introduction et hypothèses– Perte de charge– Propagation de l’information– Axes hydrauliques




Rappel – écoulement uniforme



Introduction



Introduction – différents types d’écoulements

• Écoulement uniforme

• Écoulement graduellement varié




Écoulement graduellement varié

En écoulement graduellement varié, la hauteur d’eau et la vitesse varient progressivement d’une section à l’autre.

• Comment caractériser ces écoulements?

• Comment la rivière gère-t-elle l’énergie à sa disposition?

• Comment savoir quelle forme va prendre la surface libre en fonction des conditions imposées?



Hypothèses

• Filets fluides quasiment parallèles – Pente de la ligne d’eau Sw pas trop éloignée de la pente de fond– Vitesses parallèles � pression hydrostatique

• Pente de fond limitée• Canal prismatique



Plan


– Introduction et hypothèses– Perte de charge– Propagation de l’information– Axes hydrauliques




Gestion de l’énergie - Perte de charge

En écoulement uniforme

énergie gagnée (S0)= énergie dépensée (Sf)en tout point

En écoulement graduellement varié

énergie gagnée (S0) ≠ énergie dépensée (Sf)en tout point

MAIS énergie gagnée (S0)= énergie dépensée (Sf)en moyenne

fw SSS ==0

fw SSS ≠≠0



Plan


– Introduction et hypothèses– Perte de charge – Propagation de l’information– Axes hydrauliques




Propagation d’une perturbation

Créons une perturbation à la surface d’un plan d’eau au repos (ex : cailloux jeté dans une marre)

La perturbation se déplace dans toutes les directions avec la même vitesse

ghc =




Créons à présent cette perturbation à la surface d’un cours d’eau où la vitesse de l’eau est V

Si V < c

Si V > c




• VidéoRem : Identique à la propagation du son et au mur du son




V < c




V = c




V > c




V < c

V = c

V > c

Régimesubcritique

Régimecritique

Régimesupercritique



Nombre de Froude = Rapport entre la vitesse de l’écoulement et la vitesse de propagation d’une perturbation à la surface de l’eau

Permet de classifier les écoulements

Nombre de Froude

gh

V

c

VFr ==



Régime critique

• Vitesse critique uc = vitesse de l’écoulement identique à la vitesse de propagation d’une perturbation de surface c

• Hauteur critique hc = pour un débit donné, hauteur d’eau correspondant à un écoulement dont la vitesse est égale à la vitesse critique

ghcVc ==

20

23

1 Sg

lQhc

−=

1==c

VFrcV =



Régime subcritique

• V < c : la vitesse moyenne de l’écoulement est inférieure à la vitesse de propagation d’une perturbation

• h > hc le tirant d’eau est plus grand que celui qui correspond au régime critique

• Le régime est dit subcritique (ou fluvial), une perturbation peut dés lors remonter de l’aval vers l’amont

1<=c

VFrcV <



Régime supercritique

• V > c : la vitesse moyenne de l’écoulement est supérieure à la vitesse de propagation d’une perturbation

• h < hc le tirant d’eau est plus petit que celui qui correspond au régime critique

• Le régime est dit supercritique (ou torrentiel), une perturbation ne peut pas se propager de l’aval vers l’amont

1>=c

VFrcV >



Exercices

• 13 QCM



Plan


– Introduction et hypothèses– Perte de charge – Énergie spécifique– Propagation de l’information– Axes hydrauliques




Faible pente – Forte pente de fond

• La forme des lignes d’eau va être différente suivant qu’on se trouve en forte pente de fond ou en faible pente de fond

• La distinction n’est pas purement géométrique, on détermine si le canal présente une faible ou une forte pente de fond en fonction du débit et de la comparaison entre hauteur uniforme et hauteur critique

• Pour un débit donné, il existe trois possibilités :

– hu > hc : le canal est en faible pente de fond (écoulement uniforme subcritique)

– hu = hc : le canal a une pente critique (écoulement uniforme critique)

– hu < hc : le canal est en forte pente de fond(écoulement uniforme supercritique)



Faible pente – Forte pente de fond

Pour un débit donné, la hauteur uniforme et la hauteur critique varient en fonction de la pente :

Pour les valeurs courantes de pente (0<S0<5%), hc varie très peu avec la penteLa pente critique S0,c varie quand le débit change



Axes hydraulique – Faible pente de fond



Axes hydraulique – Forte pente de fond



Axe d’amont – Axe d’aval

Si à un endroit de la ligne d’eau, h > hc, cela signifie que l’aval peut influencer l’amont (écoulement subcritique)

� la ligne d’eau est un axe d’aval

Si à un endroit de la ligne d’eau, h < hc, cela signifie que l’aval ne peut pas influencer l’amont (écoulement supercritique)

� la ligne d’eau est un axe d’amont



Méthode choix axe hydraulique• Calcul de la hauteur uniforme• Calcul de la hauteur critique• Comparaison des deux hauteurs calculées

– hu > hc : le canal est en faible pente de fond � choisir parmi les axes M (mild slope)

– hu < hc : le canal est en forte pente de fond � choisir parmi les axes S (steep slope)

• Choisir l’axe en fonction des indications données sur l’amont ou l’aval du problème

• Quand on n’a pas d’information sur l’amont ou l’aval on suppose que l’axe tend vers la hauteur uniforme

• Particularités quand on traverse la hauteur critique



Exemple1

Calcul de la hauteur uniforme hu



Exemple1

Calcul de la hauteur critique hc

� Faible pente de fond – axes de type M



Exemple1

• Aucune perturbation à l’amont• Lac à l’aval



Exemple1




Exemple2

Calcul de la hauteur uniforme hu



Exemple2

Calcul de la hauteur uniforme hc

� Forte pente de fond – axes de type S



Exemple2




Exemple2


?



Exemple2




Plan




Introduction

Un écoulement brusquement varié se caractérise par :

• Une variation rapide de la hauteur d’eau et de la vitesse moyenne � Les filets fluides ne peuvent plus être considérés comme parallèles

• Une perte de charge brutale au niveau de la discontinuité (àrapprocher des pertes de charge locales en conduite)

• En écoulement permanent : ressaut stationnaire



Ressaut stationnaire

Ressaut hydraulique stationnaire : brusque surélévation de la surface libre d’un écoulement permanent. Passage d’une hauteur h1 < hc

(supercritique) à une hauteur h2 > hc (subcritique)




• Profondeurs conjuguées : h1 et h2

• Hauteur du ressaut : h2 - h1

• Longueur du ressaut : λ• Perte de charge : J




La longueur du ressaut peut être estimée à l’aide de formules empiriques, dont les plus usuelles :

ou

Dans un canal de section rectangulaire, on peut calculer : – La hauteur conjuguée

– La perte de charge au droit du ressaut

( )126 hh −=λ 26 h=λ

−

−+= 1

1²

²81

2 20

31

12

ShgL

Qhh

( )21

312

4 hh

hhJ

−=



Ressaut stationnaire – classification

On peut classifier les ressauts hydrauliques en fonction du nombre de Froude dans la section amont

Fr1>1 car écoulement supercritique

1

11

gh

VFr =




1 < Fr1 < 1.7 � Ressaut ondulé

La surface de l’eau présente des ondulations, proche du régime critique qui est instable




1.7 < Fr1 < 2.5 � Ressaut faible

De petits rouleaux apparaissent, la surface de l’eau reste lisse à l’aval




2.5 < Fr1 < 4.5 � Ressaut oscillant

Jet oscillant tantôt vers le fond du canal, tantôt vers la surface. A chaque oscillation une onde irrégulière se propage vers l’aval (à éviter)




4.5 < Fr1 < 9 � Ressaut stable

Extrémité des rouleaux et endroit où le jet rapide quitte le fond sont sur la même verticale (dissipation de 45% à70% d’énergie)




Fr1 > 9 � Ressaut raide

Jet rapide perturbé par la retombée des rouleaux, ondes importantes vers l’aval (dissipation de plus ou moins 85% d’énergie)



Ressaut



Mascaret

• Ressaut du à la brusque montée du niveau aval d’un fleuve à cause des marées



Ressaut circulaire



Utilisation du ressaut

• Dissipateur d’énergie– A l’aval d’ouvrages générant des écoulements rapides

(supercritique)– On essaie de créer un ressaut stable– Pour forcer la position du ressaut, on crée des bassins de

dissipation



Ressaut noyé

• Parfois, le ressaut est refoulé contre l’ouvrage hydraulique (ex : vanne de fond)– Un matelas d’eau apparaît (zone de remous)– La loi de débit de l’ouvrage hydraulique est modifiée

chapitre 2 - ecoulement surface libre

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