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1 Chapitre 2 - Superposition d'ondes progressives I : interférences à deux sources 1 Généralité sur les ondes lumineuses les ondes lumineuses correspondent a des combinaisons d'ondes électromagnétiques sinusoïdales. On parlera d’ondes visibles lorsque leur longueur d'onde se situe dans le domaine [400 nm < < 800 nm] ou un peu au- delà (proche infrarouge et proche UV), ce qui permet de les « manipuler » avec des composants optiques. Dans le cadre de ce cours nous ne considérerons pas les conséquences de la nature vectorielle des ondes électromagnétiques (polarisation) donc nous pourrons réutiliser la plupart des résultats obtenus lors de l'étude des ondes mécaniques. Les calculs étant similaires, seuls les différences physiques entre les deux contextes seront mises en avant. Détection des ondes lumineuses. Sensibilité uniquement à l’énergie Pour les détecteurs usuels : oeil + photo + CCD L’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde. Pour des fréquences plus basses (micro-ondes, radio) on peut détecter directement l‘onde (amplitude ET phase, pas seulement l’amplitude).

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Chapitre2-Superpositiond'ondesprogressivesI:interférencesàdeuxsources

1 Généralité sur les ondes lumineuses les ondes lumineuses correspondent a des combinaisons d'ondes électromagnétiques sinusoïdales. On parlera d’ondes visibles lorsque leur longueur d'onde se situe dans le domaine [400 nm < � < 800 nm] ou un peu au-delà (proche infrarouge et proche UV), ce qui permet de les « manipuler » avec des composants optiques. Dans le cadre de ce cours nous ne considérerons pas les conséquences de la nature vectorielle des ondes électromagnétiques (polarisation) donc nous pourrons réutiliser la plupart des résultats obtenus lors de l'étude des ondes mécaniques. Les calculs étant similaires, seuls les différences physiques entre les deux contextes seront mises en avant. Détection des ondes lumineuses.

• Sensibilité uniquement à l’énergie • Pour les détecteurs usuels : œil + photo + CCD • L’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde. • Pour des fréquences plus basses (micro-ondes, radio) on peut détecter directement l‘onde (amplitude

ET phase, pas seulement l’amplitude).

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Spectre en fréquence des ondes électromagnétique (www.cpge-brizeux.fr/casiers/francoise/cours/optique/Optique1.pdf)

1.1 Description physique des ondes lumineuses

Le champ électromagnétique est décrit par deux grandeurs vectorielles, le champ électrique noté ������, � et le champ magnétique �����, �. Leur dynamique est donnée par les équations de Maxwell, qui sortent du

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programme de ce cours. On peut montrer que ces équations impliquent que les champs électriques et magnétiques dans le vide obéissent chacun à l'équation de d'Alembert à trois dimensions :

�� �

������,��� − ∆������, � = 0�� (2.1)

�� �

������,��� − ∆�����, � = 0�� (2.2)

Nous pouvons donc utiliser les techniques développées dans ce cours pour les étudier. La nature vectorielle des champs électriques et magnétiques rend leur étude délicate. On peut montrer à l'aide des équations de Maxwell dans le vide (div��� = 0 et div�� = 0) que ces ondes sont transverses, c.-à.-d. que les vecteurs ��� et �� sont orthogonaux à la direction de propagation, et orthogonaux entre eux. Particularités des ondes lumineuses :

• Ondes transverses • Pas besoin de milieu matériel pour se propager • Pas d’hypothèse de petites perturbation (dans le vide)

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[d’après Bonn, F., Rochon, G., Précis de télédétection. Volume 1 : Principes et méthodes. AUPELF-UREF, 1992. coll.

Presses Universitaires du Québec, Montréal]

1.2 Particularités des ondes électromagnétiques plusieurs différences fondamentales entre les ondes électromagnétiques et les ondes mécaniques :

� les ondes électromagnétiques n'ont pas besoin de support matériel, elles se propagent en particulier dans le vide ;

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� les équations d'onde dans le vide �� �

������,��� − ∆������, � = 0�� (2.1) pour le champ électromagnétique

sont exactes, contrairement aux ondes mécaniques pour lesquelles nous avions fait l'approximation de petites perturbations du milieu matériel1;

� alors que les ondes mécaniques correspondent à un comportement collectif, au niveau macroscopique, d'un système microscopique complexe (composé d'atomes, de molécules...) les ondes électromagnétiques correspondent à de véritables degrés de liberté « microscopiques » de la physique ;

� la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est la même dans tout référentiel d'inertie, en cohérence avec l'absence de référentiel privilégié lié à un milieu de propagation.

1.3 Célérité des ondes électromagnétiques

La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide, appelée communément vitesse de la lumière, est une constante fondamentale de la Nature. Elle est environ égale à

� = 2,99792458.108 . !"� >> �$%&'()é�+%,-.'( (2.3)

Nous observons que l'ordre de grandeur de cette célérité est bien supérieur à ceux correspondant aux ondes mécaniques comme les ondes sur les cordes vibrantes ou les ondes acoustiques.

1.4 Indice optique d'un milieu La propagation des ondes électromagnétique dans un milieu matériel est un sujet extrêmement riche et complexe. En effet les champs électriques et magnétiques de l'onde vont interagir avec les noyaux et électrons composant la matière. Pour simplifier les choses nous considérons seulement la propagation dans les milieux dits diélectriques (pour lesquels le déplacement macroscopique de charges électriques est

1 Par contre pour des ondes électromagnétiques dans un milieu matériel une telle approximation est nécessaire car des phénomènes non-linéaires peuvent apparaître pour des amplitudes élevées.

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impossible)2. Lorsque l'amplitude des ondes électromagnétiques n'est pas trop élevée, les équations d'ondes (Eq. 2.1) sont toujours satisfaites, mais avec une célérité différente. La célérité �̂ dans un milieu matériel est liée à la célérité dans le vide c par :

�̂ = �% (2.4)

La quantité n, qui est un nombre sans dimension, est l'indice du milieu considéré. La célérité dans le vide étant la plus grande possible, cette quantité est toujours supérieure à un3. Donnons quelques exemples (pour des longueurs d’onde dans le visible) :

� pour l'air dans les conditions normales de température et de pression, l'indice est n =1,0002926 � pour de l'eau, n = 1,3 � pour du verre ordinaire, n =1,5 � verres spéciaux au lanthane pour l'optique, n = 1,8

L'indice d'un milieu dépend en principe de la longueur d'onde λ de l'onde électromagnétique sinusoïdale qui le traverse. Ce phénomène, appelé dispersion, est plus ou moins prononcé selon les matériaux. Il sert à expliquer en particulier le mécanisme de séparation des couleurs par un prisme. Cet effet ne sera pas considéré dans ce cours. Un autre effet négligé est l'absorption des ondes lumineuses car le milieu n'est jamais parfaitement transparent. On négligera dispersion et absorption.

2 Nous supposons que ce milieu est isotrope, de telle sorte que la vitesse de propagation soit indépendante de la direction de propagation et de la polarisation de l'onde. 3 Les milieux « naturels » possèdent des indices bornés par l'indice du vide, qui est l'unité. Cependant les recherches en laboratoire, notamment sur les métamatériaux à indice de réfraction négatif (en) et les cristaux photoniques ont permis de générer des phénomènes électromagnétiques conféreant des indices inférieurs à 1. Les métamatériaux à indice de réfraction négatifs sont un certain type de métamatériaux dans lesquels la réfraction produit une onde réfractée du même côté de la normale que l'onde incidente, assimilant l'indice de réfraction du milieu à un indice négatif. Il existe aussi un autre phénomène impliquant ces métamatériaux, mais aussi les cristaux photoniques : l'ultraréfraction, où une onde se propageant dans le vide, incidente sur un milieu va être réfractée à un angle plus grand que l'angle d'incidence, assimilant l'indice de réfraction du milieu à un indice positif mais inférieur à 1 [Wikipedia.fr].

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1.5 Sources d'ondes lumineuses Il est à noter un aspect pratique très important des ondes lumineuses. Contrairement aux ondes acoustiques, il n'est pas possible d'émettre une onde électromagnétique sinusoïdale à la fréquence désirée en « commandant » une source avec un générateur électrique réglé sur cette fréquence. Ainsi une source lumineuse émet une radiation dont les propriétés sont liées à la nature physique du phénomène d'émission mais qui ne peuvent être imposées de l'extérieur par un signal électrique. Nous devons tenir compte de deux propriétés importantes des sources physiques de lumière, qui apparaissent même lorsqu'elles sont monochromatiques à une bonne approximation : 1. les sources n'émettent pas des ondes sinusoïdales de durée infinie, mais uniquement par <<bouffées >> (appelées paquets d'ondes) pendant des intervalles de temps finis. Chacun de ces paquets d'ondes possède une phase constante ϕ0 aléatoire, qui n'est pas corrélé à celui des autres paquets. Ainsi, si on note δt la durée caractéristique d'un paquets d'onde, la mesure (hypothétique) de la phase de l'onde en un point donné, aux instants t et t + δ�, donnera des résultats corrélés pour α ≪ δ� et décorrélés pour α ≫ δ�. On peut montrer (à l'aide d'une transformation de Fourier), qu'une onde sinusoïdale de fréquence υ, émise

pendant un intervalle de temps δ� est en fait composé de plusieurs fréquences dans un intervalle 3υ −δυ4 ,υ + δυ4 6 avec δυ ≅ �δ�. Ainsi le spectre d'une source monochromatique est en réalité composé d'un

ensemble de fréquences dans un intervalle donné.

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Plus cet intervalle est petit, plus la source est monochromatique4. 2. les différents points de l'espace composant la source peuvent être considérés comme autant de générateurs d'ondes lumineuses indépendants, tels que le déphasage entre deux quelconques de ces points est aléatoire. Ainsi lorsque nous considérons l'onde lumineuse émise par une source physique, il faudra la modéliser comme un ensemble de sources. En chaque point � appartenant à la surface de la source, nous avons une source ponctuelle dont la phase constante Φ���(de l'onde qu'il émet est spécifique. Naturellement ces deux effets sont présents simultanément dans toute expérience. Ces propriétés sont déterminantes dans l'étude du phénomène d'interférences qui fait l'objet de ce chapitre. Notons qu'un laser est une source pour laquelle ces deux effets sont extrêmement limités, et qui est donc en bonne approximation une source d'ondes planes monochromatiques, cependant avec une extension spatiale limitée par la taille du faisceau.

Une autre propriété importante des ondes lumineuses est qu'il n'est pas possible de détecter directement la vibration lumineuse Ψ���, �, plus particulièrement sa phase, car les fréquences des ondes lumineuses (de l'ordre de 500 THz) sont trop élevées pour tout dispositif électronique. On peut donc seulement détecter l'intensité associée, proportionnel au carré de l’amplitude. Nous n'avons donc pas accès à la phase de l'onde mais, sous certaines conditions, nous pouvons mesurer la différence de phase, ou déphasage, entre deux ondes.

4 Pour une raie émise par une lampe spectrale, nous avons typiquement

δυ

υ

≅ 10"8 . Les sources les plus monochromatiques connues sont les lasers, pour lesquelles δυ

υ

≅10"�9dans le meilleur des cas.

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2 Interférences à deux sources monochromatiques Dans la suite de ce chapitre nous considérerons des ondes ayant la même pulsation et la même longueur d’onde.

2.1 Description qualitative Pour les ondes tridimensionnelles comme les ondes sonores, la superposition d'ondes produit des phénomènes très intéressants, car le déphasage dépend du point de l'espace où l'onde est observée. L’addition des deux ondes (principe de superposition) conduit à ce que l’amplitude varie entre les différents points de l'espace.

Ce phénomène, appelé génériquement interférences, se produit lorsque des ondes sinusoïdales de même pulsation se superposent, du moment que leur déphasage est constant au cours du temps. En acoustique on considèrera deux (ou plus) générateurs d'ondes sonores (haut-parleurs ou transducteurs) alimentés par un même générateur de courant alternatif, à une pulsation ω. cela garantit que la condition ci-dessus est satisfaite. Nous y reviendrons plus en détail dans le cadre des ondes lumineuses, car elle est beaucoup plus délicate à satisfaire.

� Expérience de cours avec deux fentes éclairées par un laser.

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2.2 Principe général 2.2.1 Composition de deux vibrations Pour bien identifier le phénomènes d'interférences, on considère l'expérience suivante. On place deux sources d'ondes lumineuses5 à une distance d l'une de l'autre. On fera l’hypothèse que ces deux sources sont identiques6 et ont la même pulsation ω. A l'intérieur de leur cône d'émission, ou pourra assimiler ces sources à des sources ponctuelles (situées respectivement aux point :� et :4), émettant des ondes sphériques sortantes sinusoïdales. On désigne par le vecteur ;����� = :�<��������� le vecteur liant la source numéro 1, située au point S1 de coordonnées �������, avec l'observateur, situé au point M de coordonnées ��. Il s'écrit naturellement :

;����� = �� −������� (2.5)

On a de la même manière :

;4���� = �� −�4����� (2.6)

Le vecteur d'onde correspondant à chacune de ces ondes est radial, dans les coordonnées sphériques ayant pour origine la source considérée. Il peut s'écrire

=������ = κ >?�����‖>?�����‖ et =4����� = κ > �����‖> �����‖ (2.7)

5 Mais il pourrait s’agir de deux sources d’ondes acoustiques (haut-parleurs ou transducteurs par exemple) alimentées par un même générateur sinusoïdal de pulsation ω. 6 On verra plus loin avec la notion de cohérence ce que cela signifie

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avec κ = ω�. Rappelons l'équation générale donnant la forme d'une onde sinusoïdale en coordonnées sphériques et en notation complexe :

AB���, � = �‖>�‖CB. D,EF.�"G��.>�H = �>CB. D,�F.�"κ.> (2.8)

On a posé que ; = ‖;�‖ La forme réelle de cette onde est donc :

A���, � = IDJAB���, �K = �> . C. �L!�M. � − κ. ; + ϕ (2.9)

Par la suite on adoptera les notations suivantes (ondes sphériques périodiques) :

NΨ��M, � = A����, � = �>? .C�. �L!EM. � − κ. ;� + ϕ�HΨ4�M, � = A���4, � = �> . C4. �L!EM. � − κ. ;4 + ϕ4H (2.10)

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Figure 1. Expérience d'interférences à deux ondes.

On observe l'onde résultante de la superposition des deux ondes émises par les sources dans un plan parallèle à l'axe liant les sources, à une grande distance D ≫ d (cf. fig. 1). Ce plan est choisi comme plan (y,z) dans les coordonnées cartésiennes. Un observateur au point M reçoit la somme des deux ondes, soit :

Ψ�M, � = Ψ��M, � +Ψ4�M, � (2.11)

Si on se réfère à l’expérience faite en cours, il existe des endroits où « l’intensité perçue » présente des maximums et d’autres où elle présente des minimum. Recherchons ces endroits.

y x

z

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2.2.1.1 Observation d’une onde.

Rappelons que ce que nous avons observé est proportionnel à la puissance moyenne (dans le temps). Commençons par regarder comment elle s’exprime pour une onde unique (sachant que la puissance est proportionnelle au carré l’onde :

P ∝ Ψ4 (2.12)

Et on détecte que la puissance moyenne, soit :

⟨P⟩ ∝ ⟨Ψ4⟩ (2.13)

On doit donc calculer la moyenne de Ψ4 sur le temps.

Ψ4�M, � = �> . C4 . �L!4�M. � − κ. r + ϕ (2.14)

D’où :

⟨Ψ4�M, �⟩ = �> . C4 . �U V �L!4�M. � − κ. r + ϕW��XYU�X (2.15)

Et comme κ. r + ϕ ne dépend pas du temps, le problème revient à déterminer la moyenne de la fonction cosinus au carré7 :

⟨�L!4⟩ = �4 (2.16)

D’où

7 Pour faire le calcul, utiliser la relation �1 + cos 2Φ/2 = �L!4Φ

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⟨Ψ4�M, �⟩ = C 4.> et donc ⟨P⟩ ∝ C > (2.17)

Si on refait le même raisonnement avec la fonction d’onde complexe, on a :

Ψ̂�M, � = �>CB. D,�F.�"κ.> ⇒ `Ψ̂`4 = Ψ̂. Ψ̂a = C > (2.18)

⇒ ⟨`Ψ̂`4⟩ = C > ⇒ ⟨Ψ4�M, �⟩ = `Ψ̂` 4 =C 4> (2.19)

2.2.1.2 Observation de deux ondes

Passons maintenant au cas de deux ondes. On doit calculer l’expression de : ⟨Ψ4⟩ = ⟨�Ψ� +Ψ44⟩ Il est plus facile de faire le calcul en notation complexe. Il suffira ensuite de prendre la partie réelle de Ψ̂ :

Ψ̂ = Ψ̂� +Ψ̂4 = C?>? . DbEF.�"κ.>?Yϕ?H +C > . DbEF.�"κ.> Yϕ H (2.20)

Soit :

Ψ̂ = Db�F.�. cC�;� . DbE"κ.>?Yϕ?H +C4;4 . DbE"κ.> Yϕ Hd On peut calculer explicitement chaque terme de manière à exprimer Ψ̂de la manière suivante :

Ψ̂ = e�;�, ;4. DbEF.�YΦ�>?,> H (2.21)

Et d’en déduire l’expression réelle de Ψ:

Ψ = e�;�, ;4. cosEM. � +Φ�;�, ;4H (2.22)

(même expression par rapport au temps que pour une onde unique).

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On peut maintenant calculer la moyenne en fonction du temps :

⟨Ψ4⟩ = ⟨e�;�, ;44. cos4EM. � + Φ�;�, ;4H⟩ = �4 e�;�, ;44 (2.23)

On peut conclure (comme pour une onde unique) que la moyenne sur le temps de la fonction d’onde s’obtient simplement par la calcul de :

e4 = Ψ̂. Ψ̂a = `Ψ̂`4 (2.24)

Ou encore, que la puissance reçue est proportionnel au carré de l’amplitude complexe :

⟨P⟩ ∝ ⟨Ψ4⟩ = f 4 = `Ψ̂` 4 (2.25)

On montre aussi aisément que ce résultat est valable quelque-soit le nombre d’onde que l’on somme8. Il faut maintenant calculer A qui varie en fonction du point M considéré. Soit :

gh� = κ. ;� − ϕ�h4 = κ. ;4 − ϕ4 (2.26)

On écrit alors e4 (carré de l’amplitude de la partie spatiale de l’onde résultante en M) :

8 On utilisera ce résultat dans le chapitre 5 lorsque nous aborderons la diffraction.

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e4 = iC?>? . D"bEκ.>?"ϕ?H +C > . D"bEκ.> "ϕ Hi4e4 =jC?>? . D"bEκ.>?"ϕ?H +C > . D"bEκ.> "ϕ Hk jC?>? . DYbEκ.>?"ϕ?H +C > . DYbEκ.> "ϕ Hke4 =C? l? +C l + 2.C? .C?>?.> . cos�h4 −h�mnnnnnnonnnnnnp�D; DW′rs�D;Aé;Ds�D (2.27)

Soit pour la puissance reçue (ou encore l’intensité :

t = ⟨P⟩ = u. f 4 (2.28)

t = t� + t4 + 2.vt�. t4. cos�h4 −h� (2.29)

Avec nos notations, �� est la position du point d'observation.

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Figure 2a. Franges d'interférences pour deux ondes sphériques.

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Figure 2b. Franges d'interférences crées par deux ondes sphériques S1 et S2 et observées dans un plan parallèle à S1S2.

On remarque que l’intensité totale n’est pas la somme des intensités : il y a modulation en fonction de la position du point M d’observation.

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La distribution de l’intensité projetée dans un plan de l’espace est appelée figure d’interférence. Considérons le cas où les deux ondes sont de même intensités : dans ce cas t� = t4 = t0 et :

t = 2. t0. E1 + cos�h4 −h�H (2.30)

Ou encore :

t = 4. t0. cos4 jw "w?4 k = 4. t0. cos4 jκ.�> ">?"Eϕ "ϕ?H4 k (2.31)

2.2.2 Franges brillantes, franges sombres - différence de marche

2.2.2.1 Minima et maxima d'amplitude

Traçons l’intensité I obtenue en (Eq. 31) :

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Figure 3 : Intensité résultante de la somme de deux ondes cohérentes d’intensité égale.

Franges brillantes

Franges sombres

4.I0

Inte

nsité

(U

.a.)

(r2-r

1) (u.a.)

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On observe une succession périodique de maximum et de minimum de l’intensité. On a un maximum d’intensité lorsque :

κ.�> ">?"Eϕ "ϕ?H4 = . πxyD� ∈ ℕ (2.32)

On appellera franges brillantes ces maximum d’intensités. Elles sont ici indexées par m. On définit également la différence de marche δ comme étant la différence de distance parcourue entre le point M et chacune des deux sources :

δ = ;4 − ;� = 4.).πG +ϕ "ϕ?G (2.33)

Or, 4.πG = λ, d’où :

δ = . λ +ϕ "ϕ?G (2.34)

Ainsi pour une frange brillante d’indice m1 :

δ� = �.λ +ϕ "ϕ?G (2.35)

Et pour la frange suivante d’indice 4 =m4 + 1 :

δ4 = 4.λ+ϕ "ϕ?G = � � + 1.λ +ϕ "ϕ?G =δ� + λ (2.36)

Interfrange :

∆δ = δ}Y� −δ} = λ (2.37)

Chaque maximum d’intensité est donc séparé du suivant par une différente de marche égale à λ.

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Pour les franges sombres, il s’agit des cas où :

κ.�> ">?"Eϕ "ϕ?H4 = 2. j + �4k . πxyD� ∈ ℕ (2.38)

δ = j + �4k .λ +ϕ "ϕ?G (2.39)

∆δ = δ}Y� −δ} = λ (2.40)

Même interfrange pour les franges brillantes et les franges sombres.

Les franges sombres sont intercalées entres les franges brillantes.

2.2.2.2 Contraste

Les franges sont d'autant mieux contrastées que la différence d'amplitude entre les franges brillantes et les franges sombres est grande. Il est plus naturel de raisonner avec les contrastes d'intensité qu'avec les contrastes d'amplitude, spécialement dans le contexte des ondes lumineuses. De manière générale l'intensité d'une onde sinusoïdale est proportionnelle au Carré de son amplitude. On définit alors le contraste des frange comme le rapport

~ = ����"��������Y���� (2.41)

qui est un nombre sans dimension entre zéro et un.

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Regardons deux cas particuliers. Lorsque les amplitudes sont égales, on trouve c = 1. Le contraste est alors maximal (comme l'amplitude des franges sombre est nulle). Si l'amplitude d'une des deux ondes tend vers

zéro, on obtient � → 0. Dans cette limite il n'y a en effet plus de phénomène d'interférences puisqu'il ne reste qu'une onde.

2.3 Trous de Young en lumière monochromatique 2.3.1 Réalisation pratique de deux sources en phase Le phénomène d'interférences à deux ondes, étudié pour les ondes lumineuses dans la partie précédente, s'observe aussi pour les ondes acoustiques. Les calculs étant les mêmes que pour les ondes lumineuses, nous soulignerons essentiellement les différences liées à la réalisation de l'expérience. Reprenons le cas des ondes lumineuses. Historiquement, l’expérience considérée ici, réalisée par Thomas Young en 1801, est une des premières preuves irréfutables de la nature ondulatoire de la lumière. En raison de l'impossibilité d'obtenir deux sources d'ondes sinusoïdales avec un déphasage constant dans le temps, il est nécessaire d'obtenir les deux sources requises pour l'expérience d'interférences à deux ondes comme deux sources secondaires provenant de la même source primaire, en tirant parti du principe de Huygens-Fresnel. On considère alors une source primaire d'ondes sphériques sinusoïdales au point O, éclairant un écran situé à une distance D, voir figure 4. Un écran est percé de trous très petits, alignés selon l'axe Oz, situés à une distance d l'un de l'autre, aux points S1 et S2. En première approximation, les trous sont de diamètre infiniment petit ; les sources secondaires au niveau de ces deux ouvertures peuvent alors être considérées comme deux sources d'ondes sphériques sinusoïdales de

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même fréquence, dont le déphasage de l'une par rapport à l'autre est constant dans le temps. Si la source est placée à égale distance des deux trous, comme sur la figure, les deux sources secondaires sont en phase.

Figure 4. Expérience des trous de Young.9

2.3.2 Nature de la figure d'interférences Cf. expérience et figure 5.

9 Si OS1= OS2, les deux sources en phase Différence de marche au point M : � = ;� − ;4 = +��

z

x

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2.3.3 Calcul général On supposera ici que D >> d et que D >> x, y (position du point M sur l’écran). Cela revient à considérer que les distances verticales sont plus petites devant les distances horizontales. Les coordonnées de M dans notre problème sont alors <��, �, �. D’où :

;� = :�< = �j� − +4k4 + �4 + �4;4 = :4< = �j� + +4k4 + �4 + �4

(2.42)

En mettant D en facteur :

;� = D� �� j� − +4k4 + � � + 1;4 = D� �� j� + +4k4 + � � + 1

(2.43)

On fait un développement limité en x/D et y/D à l’ordre 2 :

;� = D. j1 + �4� ��4 − x. � + x4 + �4 + ⋯k;4 = D. j1 + �4� ��4 + x. � + x4 + �4 + ⋯k (2.44)

D’où la différence de marche :

;4 −;� ≃ �4� �x. � + x. � � = ;4 − ;� ≃ +.�� (2.45)

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On remarque qu’il n’y a pas de terme en y. Les franges sont rectilignes10. On peut maintenant calculer l’intensité :

t = t� + t4 + 2vt�. t4. �L! j4.π.δλ k (2.46)

t = t� + t4 + 2vt�. t4. �L! j4.π.+.�λ.� k (2.47)

Considérons le cas où les sources ont la même intensité : t� = t4 = t0 t = 2. t0 �1 + �L! j4.π.+.�λ.� k� (2.48)

t = 4. t0. �L!4 jπ.+.�λ.� k (2.49)

Chaque fois que la différence de marche δ augmente d’une longueur d’onde λ, on passe d’une frange brillante à une autre frange brillante.

La période de la figure d’interférence est appelée interfrange i. elle est telle que :

�L!4 jπ.+.�λ.� k = 1

π.+.�λ.� = . π

4.π.+.,λ.� = 2.π (2.50)

r = λ.�+ (2.51)

Représentons la figure d’interférence dans le cas où : λ = 600 nm, a = 1 mm, D = 1m. 10 C’est de là que vient le nom de frange.

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Le calcul donne : i = 0.6 mm

Figure 5. Figure d’interférence produite par l’expérience des trous d’Young.

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Remarque 1 : on s'aperçoit que plus les sources sont proches l'une de l'autre, plus l'interfrange est grand. Alternativement, à une distance D donnée, plus la longueur d'onde est grande plus les franges sont écartées les unes des autres.

Remarque 2 : noter que si on connait D et a, la mesure de l’interfrange i permet de mesurer λ.

Ou encore, si on connait λ et D, en mesurant l’interfrange, on peut mesurer a.

2.3.4 Calcul à l'infini Ce cas est très important !

On se place dans la situation ou D tends vers l’infini : �→ ∞ Sur la figure ci-dessous on peut alors considérer que les angles θ1 et θ2 sont égaux. On appelle alors θ cet angle. Cela revient à dire que l’on peut assimiler les ondes issues de S1 et S2 à des ondes planes.

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Figure 6a. Expérience des fentes de Young avec D très grand.

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c Figure 6b. Expérience des fentes de Young avec D infini.

On peut écrire que la différence de marche δ :

δ = x. sin θ (2.52)

Avec, en supposant que x<<D et donc que θ est petit :

� = �. tan θ � �. sin θ (2.53)

D’où

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δ = +.�� (2.54)

L’interfrange correspond à deux valeurs de x successives où l’intensité est maximum ( frange brillante) .

Cela se produit pour δ = .λD�δ = � + 1. λ

On en déduit donc l’interfrange :

r = λ.�+ (2.55)

On retrouve bien le résultat précédent (cas où D>>a, § 2.3.3). 2.3.5 Source primaire décentrée Lorsque S (source primaire) est à égale distance de S1, et S2, il n’y a pas de différence de marche entre S et S1 et S et S2. On n’a donc pas implicitement considéré dans les calculs différents le trajet depuis S, mais directement de S1 et S2.

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Figure 7.

On considère maintenant la situation où la source S primaire est décentrée par rapport à l’axe Oz. Il faut alors tenir compte de la différence de marche entre S et S1 et S et S2. Dit autrement, il faut calculer la différence de marche totale en S et M :

δ = ::4< − ::�< (2.56)

Et donc :

δ =−x. sin θ� + x. sin θ (2.57)

Dans la figure 7, θ > 0 et θ’ <0

Position m = 0

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La frange m=0 correspond à la situation où θ = θ’ , et où δ = 0.

2.4 Changement de milieu - notion de chemin optique Nous avons considéré implicitement dans ce chapitre une onde (ou des ondes) se propageant avec une célérité c. Or la célérité d’une onde dépend du milieu dans lequel elle se propage et peut donc varier si il y a changement de milieu le long de son trajet. Pour la lumière, ces variations de célérités dépendent de la nature du milieu via l’indice n qui est déterminé comme étant le rapport de la célérité de l’onde lumineuse dans le milieu d’indice n sur la célérité de l’onde lumineuse dans le vide :

s = �0/� (2.58)

Considérons une onde plane sinusoïdale se propageant suivant x :

Ψ = e. cos�ω� − =. � + ϕ (2.59)

Avec = = 4.π� est donc maintenant une fonction de x si l’indice n du milieu varie avec x :

=�� = 4.π�X s�� = =0. s�� (2.60)

Mais la pulsation ω reste la même quelque-soit le milieu traversé. Ce sont donc les propriétés spatiales qui changent, pas les propriétés temporelles. Reprenons le cas de l’onde plane sinusoïdale, la phase de l’onde s’écrit :

Φ��, � = ω� − =. � + ϕ = ω� − =0. n��. � + ϕSi on remplace la distance parcourue par cette même distance mais pondérée par l’indice n du milieu, n��. �, on définit le chemin optique (chemin qui serait parcourue si l’onde se propageait dans le vide).

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Applications aux interférences : on introduite entre S2 et M une lame d’épaisseur e et d’indice n (cf. figure 8). Où se déplace la frange centrale ?

Figure8. Lame d’épaisseur e et d’indice n placé sur le trajet S2M (nombre d’onde k’=k.n dans la lame).

Dans le cas général (cf. § 2.2) on a vu que :

t = t� + t4 + 2.vt�. t4. cos�h4 −h� (2.61)

Sans la lame, on a :

h4 −h� = =. �;4 −;� = 4.πλ . �;4 −;� = 4.πλ . δ (2.62)

Et avec la lame :

h4 −h� = =. E�;4 − D + n. e−;�H = 4.πλ . �;4 −;� = 4.πλ . δ (2.63)

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Et en introduisant le chemin optique :

;4� = �;4 − D + n. e;�� = ;� (2.64)

On a alors la formule générale :

δ = ;4� −;�� = ;4 −;� + �s − 1. e (2.65)

qui est valable quelque-soit le changement d’indice le long du trajet optique. Sans la lame on avait la relation ;4 −;� = x. sin θ. Avec la lame, on a :

;4 −;� = x. sin θ + �s − 1. D (2.66)

A l’ordre zéro (i.e. m=0),

0 = x. sin θ+ �s − 1. D (2.67)

D’où :

sin θ = ��"�.'+ < 0 (2.68)

Les franges se déplacent donc vers le bas.

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3 Réalisation pratique - limitations de la figure d'interférences

3.1 Étendue de faisceau Dans le cas des ondes sonores, les sources n'émettent en général pas dans toutes les directions. Si nous supposons que chaque source émet dans un cône de demi-angle au sommet α, dont l'axe est confondu avec Oz cette expression est valable lorsque le point M reçoit une onde de chacune des sources, soit pour :

� ∈ 6&4 − �. tanα ; − &4 + �. tanα3 (2.69)

Figure 6. Cas où l’émission des deux sources est limitée angulairement. Il n’y aura des interférences que dans la zone grisée.

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En pratique, comme d ≪ D, il suffit de se placer dans la zone |�| < �. tanα

3.2 Polychromatisme

La frange centrale est la seule à rester blanche (superposition des franges de toutes les couleurs). Les zones blanches qui apparaissent ensuite sont un mélange de plusieurs couleurs, mais pas de la totalité : on parle de blanc d’ordre supérieur.

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Figure 8 : expérience des fentes d’Young en lumière blanche (référence : Archive Ouverte de la Société Française

d'Optique)

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Figure 8b.

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3.3 Diffraction La diffraction sera abordée plus tard dans ce cours (chapitre 5). Elle permet d’expliquer que l’intensité des franges diminue lorsque l’on s’éloigne du centre de la figure d’interférence (comme on le voit sur la figure 8 par exemple).

3.4 Cohérence 3.4.1 Origine Pour que le phénomène d'interférences se produise, il faut idéalement une source d'ondes parfaitement sinusoïdales, pour laquelle les contributions des différents points de la source soient en phase. ces conditions sont simples à satisfaire pour les ondes acoustiques mais le sont beaucoup moins pour des ondes lumineuses. Il faut distinguer deux notions de cohérence, correspondant à deux obstructions possibles au phénomène d'interférences. Prenons l’exemple de la lumière : un atome ou une molécule n’émet jamais de manière continue. L’émission d’une source lumineuse est constituée d’une succession de trains d’onde qui ont une durée et une longueur finie. 3.4.2 Cohérence temporelle pour les trous de Young Il est impossible de créer une source d'ondes lumineuses parfaitement sinusoïdale, c’est à dire parfaitement monochromatique. Les sources physiques émettent toutes les fréquences contenues dans un intervalle :

cυ −  υ2 , υ+  υ2 d

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Pour une source non monochromatique, chaque fréquence dans cet intervalle va produire son propre système d'interférences, car des fréquences différentes n'interfèrent pas entre elles. Pour une différence de chemins optiques ∆C donnée, le déphasage entre les ondes ayant suivi les chemins optiques passant par S1 et par S2 va donc varier entre :

∆Φυ"�υ4 =

2¢ jυ −  υ2 k� ∆~D�∆Φυ"�υ4 =

2¢ jυ −  υ2 k� ∆~

Lorsque la variation de déphasage entre ces deux valeurs extrêmes devient de l'ordre de 2π, les franges d'interférences se brouillent car il va y avoir une superposition de plusieurs systèmes de franges d'interfrange très différents. cela survient pour :  υ� ∆~~1 Pour une source de largeur spectrale  υ donnée, cela fixe une limite supérieure sur la différence de marche possible entre deux rayons pour obtenir le phénomène d'interférences. cette borne supérieure pour la différence de marche est appelée longueur de cohérence lc :

¤� =  υ�

Une lampe spectrale a une longueur de cohérence lc≃3mm et un laser standard lc≃30 cm. Des lasers spécialisés peuvent avoir des longueurs de cohérence de plusieurs mètres. 3.4.3 Cohérence spatiale pour les trous de Young

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La notion de cohérence spatiale est plus simple à comprendre. Une source physique d'ondes lumineuses n'est pas réellement ponctuelle. Il faut alors considérer chaque point de la source comme une source à part entière. Pour une source classique, ces différents points ne sont pas en phase les uns par rapport aux autres. Si les rayons lumineux passant par S1 et S2, dans l'expérience des trous d'Young, ne sont pas issus du même point de la source, il ne pourront donc pas interférer entre eux. ainsi chacun de ces points donnera un système de franges indépendant. Nous disons alors que la source n'a pas de cohérence spatiale11. Nous obtenons ainsi une superposition de franges d'interférences crées par toutes ces sources, qui seront a priori décalées entre elles. Lorsque la source physique d'ondes lumineuses a une dimension trop grande, les franges sont alors brouillées. c'est pour cela qu'il est utile de placer un diaphragme en aval de la source primaire, pour que celle-ci soit le plus proche possible d'une source ponctuelle.

11 Le cas du laser est différent, puisque à l'intérieur du faisceau tous les points sont en relation de phase les uns avec les autres, donc il s'agit d'une source cohérente spatialement.