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Chapitre 3: Elasticité et résistance des matériaux

But de ce chapitre: pouvoir comprendre et, dans certains cas, évaluer les conditions danslesquelles se produit une facture des os ou des dommages aux tissus.

3.1 Déformation des matériauxSelon l'importance des contraintes appliquées à un objet, les déformations qu'il subit sontélastiques, plastiques ou conduisent à la rupture. La relation entre contrainte et déformationest linéaire jusqu'au point A (ressort). Elle s'écrit:

Loi de Hooke:

€

F = k ⋅ Δloù

€

F est la force appliquée au ressort

€

Δl est son allongement du ressort,

€

k est la constante du ressort [N/m]

Vectoriellement, la loi s'écrit:

€

r F = −k ⋅ Δ

r l

Dans la figure ci-dessous, on remarque qu'entre A et B, la relation n'est plus linéaire, bienqu'élastique. Entre B et C on atteint le domaine plastique (déformation permanente, même siles contraintes disparaissent).

A

B C

D

Limite linéaire

Limite élastique Limite de résistance à la traction

Limite de rupture

Contrainte

Déformation (allongement)

On a des relations similaires pour un barreau soumis à une contrainte de tension. La constantedu "ressort" s'exprime dans ce cas en fonction des propriétés élastiques de la matière:

Contrainte:

€

σ =FA

où A est l'aire de la section droite.

La contrainte est liée à la déformation relative

€

ε =Δl

lpar

€

σ = E ⋅ ε .

On peut encore écrire cette relation sous la forme:

€

Δl

l=1E⋅FA

où E est le module d'élasticité

ou module de Young (Y), grandeur dépendant du matériau et que l'on trouve dans certainestables numériques. Voici quelques exemples:

Elasticité et résistance des matériaux

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Matériau Module de YoungE [N|m2]

Limite de résistance àla traction σmax [N|m2]

Limite de résistance àla compression σmax

[N|m2]Aluminium 7.1010 2.108

Acier 20.1010 5.108

Verre 7.1010 0,5.108 11.108

Os en traction 1,6.1010 1,2.108

Os en compression 0,9.1010 1,7.108

Os en torsion 0,28.108 (torsion)Bois dur 1010 108

Tendon 2.107 0,69. 108

Caoutchouc 106

Vaisseaux sanguins 0,2.106

Muscle 0,06. 108

Application: une corde de piano en acier de diamètre 1mm tendue avec une force de 600 N

subit une déformation relative de

€

Δl

l=1E⋅FA

=1

20 ⋅101060010−6

= 0,3% . Ceci correspond à une

allongement de 3 mm pour une corde longue de 1m.

3.2 ContraintesLes contraintes que subit un matériau ne sont pas seulement des tensions ou descompressions: un objet peut aussi être soumis à un cisaillement, une torsion ou à une flexion.Dans ces derniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations nedépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, maiségalement de sa forme géométrique.

Type dedéformation

Effort(Action externe)

Contrainte(Effet interne)

Déformation

TensionForce F appliquéesur un objet desection A

€

σ =FA

€

Δl =FA⋅

l

E

TorsionCouple T appliquésur un objet deforme donnée

€

θ ∝T ⋅ l

FlexionMoment de force

€

Mf appliqué surun objet de formedonnée

3.3 Hauteur et forme des arbresPour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creuse qu'une structurepleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations où l'aire des sectionsest la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, de diamètre intérieur 4 cm,présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. On peut alors montrer qu'un

Elasticité et résistance des matériaux

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tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masse et demême matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. On auraitalors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince est lagéométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite à nepas dépasser, sinon il se produit un flambage:

La nature a créé la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteurmaximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre pleinde rayon r, la hauteur limite est donnée par:

€

hlimite = c ⋅ r2 / 3. Ce résultat est aussi valable pourfixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante quidépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à lalimite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulementde la multiplier par 1,6).

3.4 Chocs et impulsionLors d'une collision, la force qui agit sur un objet ou sur un passager est d'autant plusimportante que la durée de collision est brève. Pour traiter plus particulièrement de ce sujet, ilimporte d'introduire les notions de quantité de mouvement et d'impulsion. Considérons toutd'abord une balle qui heurte un mur: elle arrive contre le mur avec une vitesse

€

r v 1 et rebondit

avec une vitesse

€

r v 2 . Au cours de la collision, la vitesse change de norme et de direction car le

mur exerce une force

€

r F sur la balle pendant le court instant

€

Δt .

La balle arrive

V1

La balle heurte le mur

F

La balle repart

V2

On définit: quantité de mouvement

€

r p = m ⋅

r v Impulsion:

€

r J 1,2 =

r F ⋅ Δt

La loi de la variation de la quantité de mouvement stipule que l'impulsion d'une forcerésultante s'exerçant sur un objet, est égale à la différence de la quantité de mouvement de cetobjet avant et après le choc:

€

r F ⋅ Δt = m ⋅

r v 2 −m ⋅

r v 1

pour le cas ci-dessus, cette loi s'écrit en norme comme:

€

F ⋅ Δt = m ⋅ v2 −m ⋅ v1. Dans le cas oùla force ne serait pas constante pendant la durée de l'impact, on travaille avec une valeur

Elasticité et résistance des matériaux

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moyenne estimée. Exemple: on saute d'une hauteur h, jambes tendues et on se reçoit sur lestalons. Dans ce cas,

€

v2 = 0 et

€

v1 = 2gh . L'impulsion vaut donc

€

F ⋅ Δt = m ⋅ 2gh et laforce est égale à

€

F = m ⋅ 2gh /Δt . L'os de la jambe est soumis à une contrainte

(compression)

€

σ =FA

=m ⋅ 2ghA ⋅ Δt

. Supposons qu'une personne de 80 kg tombe d'une hauteur

de 1 m, et se reçoit, genoux bloqués, sur les talons (

€

A ≅ 2 cm2 ) de sorte que la durée du choc

soit de 10-2 s. On trouve

€

σ =1,8 ⋅108 Nm2 . D'après le tableau du premier paragraphe, l'os se

fracture. Pour diminuer la contrainte, il faut plier les genoux pour augmenter la durée du choc.En général, ce n'est pas par compression que les os se brisent, mais surtout par torsion ouflexion.

3.5 Airbag et autres exemples

• La fonction de l'airbag est de rallonger la durée de la collision ou, ce qui revient aumême, la distance de freinage. La force exercée sur le passager est donc plus faiblequ'en l'absence d'airbag. Si on admet que la contrainte maximale admissible pour ne

pas endommager les tissus est de

€

0,5 ⋅106 Nm2 , on trouve que 70 km/h est la vitesse

maximale possible pour un passager de 70 kg, retenu sur une surface de 1000 cm2 etfreinée sur 30 cm grâce à l'airbag.

• Coup du lapin: on peut estimer de la même manière la vitesse minimum quioccasionne des lésions lors d'une collision par l'arrière et sans l'usage d'un appuie-tête.

• Quant aux chutes depuis une hauteur importante, la personne peut s'en sortir indemnesi l'amortissement est tel que l'impact n'est pas trop bref ou que la distance de freinageest relativement grande.

Elasticité et résistance des matériaux

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Elasticité et résistance des matériaux

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3.2 ContraintesLes contraintes que subissent un matériau ne sont pas seulement des tensions ou descompressions: un objet peut aussi être soumis à une torsion ou à une flexion. Dans cesderniers cas la situation est plus complexe, car les contraintes et les déformations nedépendent plus seulement de la matière dont est faite l'objet et de sa dimension, maiségalement de sa forme géométrique.

Type dedéformation

Effort Contrainte Déformation

TensionForce F appliquéesur objet desection A

€

σ =FA

€

Δl =FA⋅

l

E

TorsionCouple T appliquésur un objet deforme donnée

€

τ ∝TD3 pour

cylindre plein

......... D

€

τ ∝T

(D4 − d4 )⋅D

pour cylindre creux

........ D

d

€

θ ∝T ⋅ l

Flexion Moment de force

€

Mf appliqué surobjet de formedonnée

€

σ =6Mf

b ⋅ h2 pour objet

de sectionrectangulaire

..... b

h

Ci-dessous on donne quelques exemples de moment de force appliquée à un os qui conduiraità une fracture:

Os Moment correspondantà la fracture [N.m]

Angle de torsionà la fracture [°]

Jambe Fémur Tibia Péroné

14010012

1,53,435,7

Bras Humérus Radius Cubitus

602020

5,915,415,2

Elasticité et résistance des matériaux

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Par exemple un skieur dont l'extrémité de la spatule (longue de 1 m) est retenue par une forcede 100 N, subira une force de 330 N au niveau de la pointe du pied (longueur 0,3 m). On règlela fixation du ski pour qu'elle s'ouvre à une valeur inférieure!

3.3 Hauteur et forme des arbres

On peut montrer que pour une masse donnée, il est plus favorable d'avoir une structure creusequ'une structure pleine (pour le montrer, il faut estimer les contraintes pour des situations oùl'aire des sections est la même). Exemple: un tube creux de diamètre extérieur 5 cm, dediamètre intérieur 4 cm, présente une même section qu'un tube plein de diamètre 3 cm. Si on

calcule le rapport des contraintes pour ces deux cas:

€

τ pleinτ creux

=T33⋅(54 − 44 )T ⋅ 5

= 2,7 ce qui signifie

qu'un tube creux est près de 3 fois plus résistant à la torsion qu'un tube plein de même masseet de même matière. Pour ce qui est de la flexion, on arrive à des conclusions similaires. Onaurait alors tendance à conclure qu'un tube de très gros diamètre avec une paroi très mince estla géométrie qui résiste le mieux à la torsion et à la flexion. Mais en réalité il y a une limite àne pas dépasser, sinon il se produit un flambage:

La nature a crée la structure cylindrique des arbres pour résister au flambage. La hauteurmaximum d'un arbre est ainsi liée à son diamètre. On peut montrer que, pour un cylindre pleinde rayon r, la hauteur limite est donnée par:

€

hlimite = c ⋅ r2 / 3. Ce résultat est aussi valable pourfixer les dimensions des structures cylindriques du corps humain. c est une constante quidépend de la masse volumique et du module d'élasticité de l'objet. Ainsi, pour un arbre à lalimite du flambage, doubler son rayon ne permet pas de doubler sa hauteur (mais seulementde la multiplier par 1,6).Fracture en spirale d'un tibia