chapitre 31 lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

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Chapitre 3 1 Chapitre 3 Chapitre 3 L’application des formules d’équivalence à des transactions commerciales concrètes

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Page 1: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 1

Chapitre 3Chapitre 3

L’application des formules d’équivalence à des transactions

commerciales concrètes

Page 2: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 2

RéférencesRéférences

Chapitre 3Sections 3.1 à 3.5, 3.6.1 et 3.8

Complément de notes p. 152 à 198

Page 3: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 3

ContenuContenu

Notion de taux d’intérêt nominal et calcul des taux effectifs

Flux non-conventionnelsFlux en début de période et continu

Taux d’intérêt variable

Capital et intérêt

Obligations

Page 4: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 4

ObjectifsObjectifs

Calculer les taux effectifs à partir de taux nominaux

Connaître et transformer les éléments non conventionnels en flux conventionnel

Calculer des plans de remboursement de prêts amortis

Effectuer les calculs reliés aux obligations

objectifs

Page 5: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 5

Taux nominal et taux effectifTaux nominal et taux effectif

Taux nominal (affiché)Implicitement sur une année

Donne aucune indication sur le taux effectif si la période de composition n’est pas connue (période de calcul des intérêts)

Notation : r (ou i*)

Taux effectif (réels)Sur n’importe quelle période

Calcul d’intérêt une seule fois sur la période du taux

Notation : i

taux

C’est le taux du chapitre 2 et C’est le taux du chapitre 2 et c’est le taux nécessairec’est le taux nécessaire

dans les analyses de fluxdans les analyses de flux

Page 6: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 6

NotationNotation

MM = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé au cours d’une période annuelle

CC = Nombre de fois où l’intérêt est cumulé par période de versement (correspondant à la période du flux)

KK = Nombre de périodes de versement par année (i.e. # périodes du flux dans une année)

taux

Page 7: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 7

Exemple 3AExemple 3A

Résolution au tableau de l’exemple 3ARésolution au tableau de l’exemple 3ARésolutionRésolutionDonnéesDonnées

Un concessionnaire automobile annonce les conditions suivantes de prêt pour l’achat

d’une automobile Identifier les différentes variables

Montant du prêt : 18 000$Terme du prêt : 4 ansTaux nominal du prêt : 12% composé

quotidiennementPériode de remboursement : mensuelleType de prêt : amorti

taux

Page 8: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 8

Cinq situations de calcul de Cinq situations de calcul de ii effectif effectif

1. taux effectif sur la période de composition

2. taux effectif annuel

3a. taux effectif sur une période de flux quelconque

3b. taux effectif sur une période de flux quelconquePériode de composition plus longue que celle du flux

4. taux effectif : composition continue

taux

Calcul à partir d’un taux nominal

Page 9: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 9

Taux d’intérêtTaux d’intérêt1.1. taux effectif sur la période de compositiontaux effectif sur la période de composition

Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à la période de composition du taux nominal

M

ri ncompositio de période

fluxdu période

taux

Page 10: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 10

Taux d’intérêtTaux d’intérêt2.2. taux effectif annueltaux effectif annuel

Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à l’année

11a

M

M

ri

taux

Page 11: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 11

Taux d’intérêtTaux d’intérêt3a.3a. taux effectif sur une période de flux quelconquetaux effectif sur une période de flux quelconque

Lorsque la période du taux effectif nécessaire pour analyser le flux correspond à une période différente de celle de la composition et différente de l’année

11

C

M

ri

[ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux

C’est le C’est le MM et le et le CC qui déterminent la qui déterminent la période du période du ii calculé calculé

Page 12: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 12

Taux d’intérêtTaux d’intérêt3b.3b. taux effectif sur une période de flux quelconquetaux effectif sur une période de flux quelconque

Même situation que 3a mais la période de composition est plus longue que la période du flux

On choisit l’approche de l’ex. 3.9 qui ne permet pas de déplacement d’argent sur l’axe du temps sans modification de sa valeur; C devient ainsi une fraction

11

C

M

ri

[ ] peut prendre n’importe quelle valeur de période taux

…dans le cadre du cours, les situations 3a et 3b sont résolues de la même façon sans faire de distinction

Page 13: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 13

Taux d’intérêtTaux d’intérêt4.4. taux effectif : composition continuetaux effectif : composition continue

Lorsque la composition est continue, l’équation est évaluée par :

11lim] [

C

CK CK

ri

11

] [ KreiDonc,

taux

Page 14: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 14

Influence de la période de compositionInfluence de la période de composition

11,9%

12,0%

12,1%

12,2%

12,3%

12,4%

12,5%

12,6%

12,7%

12,8%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

nombre de compositions

taux

eff

ecti

f

Taux nominal : 12%

Composition continue

taux

Page 15: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 15

Taux d’intérêt : Taux d’intérêt : choix de formulechoix de formule

Figure. 3.12, p.152 [Soucy, Yargeau] taux

1

2, 3a

3b

4

Les situations 2, 3a et 3b Les situations 2, 3a et 3b mènent donc toutes à la mènent donc toutes à la

même équationmême équation

Page 16: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 16

Exemple 3.5 : Exemple 3.5 : situation 1situation 1

taux

Ex. 3.5, p.141 [Soucy, Yargeau]

M

ri ncompositio de période

fluxdu période

Info implicite : Info implicite : composition mensuellecomposition mensuelle

Page 17: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 17

Exemple 3.5 : Exemple 3.5 : suitesuite

taux

M = CK

selon le chapitre 2selon le chapitre 2

Page 18: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 18

Exemple 3B: Exemple 3B: situation 2situation 2

taux

Résolution au tableau de l’exemple 3BRésolution au tableau de l’exemple 3B

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du dépôt : 1 000$ annuellementNombre de dépôts : 5 en fin de périodeTaux d’intérêt : 9 % composé

mensuellementTerme du dépôt : 5 ans

Calculer le montant disponible après 5 ans

11a

M

M

ri

Page 19: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 19

Exemple 3.7: Exemple 3.7: situation 3asituation 3a

taux

1’0’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’

3 mois

11

C

M

ri

Page 20: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 20

Exemple 3.7: Exemple 3.7: suitesuite

tauxselon le chapitre 2selon le chapitre 2

Page 21: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 21

Exemple 3.9: Exemple 3.9: situation 3bsituation 3b

taux

11

C

M

ri

Page 22: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 22

Exemple 3.9: Exemple 3.9: suitesuite

taux

selon le chapitre 2selon le chapitre 2

Page 23: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 23

Exemple 3.8 : Exemple 3.8 : situation 4situation 4

taux

11

] [ Krei

Page 24: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 24

Exemple 3.8 : Exemple 3.8 : suitesuite

taux

Page 25: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Résumé des calculs de tauxRésumé des calculs de taux

nominalnominal effectif annueleffectif annuel

nominalnominal effectif quelconqueeffectif quelconque

nominalnominal effectif quelconqueeffectif quelconque(composition continue)(composition continue)

nominalnominal effectif sur la période de composition effectif sur la période de composition

M

ri ncompositio de période

fluxdu période

11a

M

M

ri

11

C

M

ri

11

] [ Krei

Ajout au livreeffectif sur une autre périodeeffectif sur une autre période

11 Nbpériodecourtepériodelongue ii

Nb :

Nombre de courtes périodes dans la plus longue

effectif sur une périodeeffectif sur une période

taux176

1

2

3a, 3b

4

Page 26: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 26

Exemple 3C : prêt étudiantExemple 3C : prêt étudiant

Résolution au tableau de l’exemple 3CRésolution au tableau de l’exemple 3C

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du prêt : 12 000$Taux d’intérêt : 9,5% composé

quotidiennementTerme du prêt : 9 ansVersement : mensuel

Calculer le versement pour effectuer le

remboursement du prêt

taux

Page 27: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 27

Flux non conventionnelsFlux non conventionnels

Flux en début de période et continu :Il faut transformer le flux pour le ramener en flux de fin de période

Flux avec taux d’intérêt variable :Il faut procéder de façon séparée sur chacune des périodes à taux constant

flux non conventionnels

Page 28: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 28

Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : flux enflux en début de périodedébut de période

Le flux en début de période est transformé en flux de fin de période en lui appliquant un facteur de capitalisation d’une période

A$B$

C$

0 1 2 3

début de période

A(1+i)$B(1+i)$

C(1+i)$

0 1 2 3

fin de période

flux non conventionnels

(1+i)

Page 29: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 29

Exemple 3D :Exemple 3D : flux enflux en début de périodedébut de période

flux non conventionnels

Résolution au tableau de l’exemple 3DRésolution au tableau de l’exemple 3D

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesPaiement de loyer d’une compagnie

Versement du loyer : 10 000$ Date de paiement : 1er janvier de l’annéeDurée du bail : 5 ans

Calculer la valeur actualisée équivalente de

ce flux monétaire si la compagnie utilise un

TRAM de 15%

Page 30: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 30

Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : flux continuflux continu

Plutôt que de transformer les formules comme dans le livre, le flux continu est transformé en flux de fin de période en lui appliquant le facteur suivant :

0 1

flux continu

A

0 1

fin de période

i)ln(1

iAA

flux non conventionnels

i)ln(1

i

Page 31: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 31

Exemple 3E :Exemple 3E : flux continuflux continu

flux non conventionnels

Résolution au tableau de l’exemple 3ERésolution au tableau de l’exemple 3E

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesRevenus d’une entrepriseUne entreprise reçoit des revenus de vente calculés de façon continue à une valeur de

Calculer la valeur actualisée équivalente des revenus si la compagnie

utilise un TRAM de 15%

3pour $000 133

2pour $000 125

1pour $000 100

nA

nA

nA

Page 32: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 32

Flux non conventionnels : Flux non conventionnels : taux d’intérêt variabletaux d’intérêt variable

A$B$

C$

0 1 2i = 9% i = 9%

flux non conventionnels

A$B$

C$

0 1 2Le flux non conventionnel est :

Le flux conventionnel est :

i = 9% i = 8%

Page 33: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 33

Exemple 3F :Exemple 3F : taux d’intérêt variabletaux d’intérêt variable

Résolution au tableau de l’exemple 3FRésolution au tableau de l’exemple 3F

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesDépôts et retraits bancairesConnaissant le flux monétaire suivant : Calculer la valeur

disponible dans le fonds à N = 4

flux non conventionnels

0 1

2

3 4

10,5% 10% 9% 9%

3 000$

2 000$

1 500$

2 500$

Page 34: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 34

Capital et intérêtCapital et intérêt

Dans le cadre du cours, seul le prêt amorti est considéré :

Le versement inclut une portion de paiement de capital et une portion de paiement d’intérêt variables dans le temps

Le calcul du versement s’effectue selon les formules d’annuitéannuité du chapitre 2

capital et intérêt

NiPAPA ,,

Page 35: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Figure 3.18, p.165 [Soucy, Yargeau]

capital et intérêt

Répartition Répartition capital et capital et intérêtintérêt

186

A

A

Page 36: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 36

Deux méthodes de calculDeux méthodes de calcul

Méthode intuitiveForme tabulaire indiquant le paiement en intérêt ainsi que le paiement en capital à chacun des versements (montant du versement constant)

Méthode théoriqueCalcul du paiement en intérêt ainsi que du paiement en capital à un moment précis du remboursement (montant du versement constant)

capital et intérêt

Page 37: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 37

Méthode intuitive*Méthode intuitive*

capital et intérêt

nn IAPP niAFPiAPBn ,,

* Méthode à privilégier

# Capitali Intérêt, In Remboursement du capital, PPn

CapitalF ,Bn

1 P I1 = Pi PP1 = A-I1 B1 = P-PP1

2 B1 I2 = B1i PP2 = A-I2 B2 = B1-PP2

n … voir les formules ci-bas

iBI nn 1

Page 38: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 38

Méthode théoriqueMéthode théorique

Il est aussi possible de calculer une valeur Bn dans le futur sans calculer les valeurs précédentes. On utilise la formule suivante :

capital et intérêt

À partir de cette valeur, on peut ensuite calculer le paiement en intérêt, In et en capital, PPn pour ce versement par les mêmes formules.

nNiAPABn ,,Voir figure 3.19

Page 39: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 39

Méthode théoriqueMéthode théorique

capital et intérêt

Figure 3.19, p.166 [Soucy, Yargeau]

Page 40: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 40

Exemple 3G :Exemple 3G : capital et intérêt capital et intérêt

Résolution au tableau de l’exemple 3GRésolution au tableau de l’exemple 3G

RésolutionRésolutionDonnéesDonnéesMontant du prêt : 12 000$Taux d’intérêt : 9,5% composé

quotidiennementTerme du prêt : 9 ansVersement : mensuel

Calculer les paiements d’intérêt et de capital pour

chacun des 6 premiers versements par la méthode

intuitive

Calculer le paiement d’intérêt et de capital pour le 6e

versement par la méthode théorique

capital et intérêt

Page 41: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 41

ObligationObligation

Définition :Titre de créance donnant droit à des intérêts fixes périodiques et au remboursement de la valeur nominale à l’échéance

CaractéristiquesUne valeur nominale

Un taux de coupon (fixant les intérêts)

Des dates de paiement des intérêts

Une date d’échéanceobligation

Page 42: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 42

ObligationObligation

Description de la reproductionFig. 3.23, p. 180-181 [Soucy, Yargeau]

Description du flux monétaire

obligationFigure 3.24, p.186 [Soucy, Yargeau]

Prime d’émission

Valeur nominale

r = 11,25%i 6 mois = 5,625%

Coupon = 100 000*5,625%=5 625$

Échéance 10 ansCoupon 2 par an

N = 20

Page 43: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 43

Quelques termes importantsQuelques termes importants

Obligation émise au pairau pairObligation achetée à sa valeur nominale

Obligation avec prime d’émissionprime d’émissionObligation achetée à un prix supérieur à sa valeur nominale

Obligation à rabais à rabais ou escompte d’émission escompte d’émissionObligation achetée à un prix inférieur à sa valeur nominale

Pourquoi? Pour s’ajuster au taux d’intérêt du marché. obligation

Page 44: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 44

Description des différents tauxDescription des différents taux

Taux de coupon : Taux permettant de calculer la valeur du versement périodique d’intérêt

Taux de rendement : Connaissant le coût d’achat de l’obligation, sa durée de possession et sa valeur de revente si l’obligation est vendue avant l’échéance, c’est le taux qui rend la valeur présente de l’investissement = 0.

Taux de rendement courant : Taux similaire au taux de coupon mais lorsque l’obligation n’est pas achetée au pair

TRAM : Taux permettant de calculer la valeur présente de l’investissement obligation

payéprix

coupondu $i

nominalevaleur

coupondu $i

Page 45: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 45

Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : ObligationObligation

obligation

Page 46: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 46

Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : suitesuite

obligation

Page 47: Chapitre 31 Lapplication des formules déquivalence à des transactions commerciales concrètes

Chapitre 3 47

Exemple 3.18 :Exemple 3.18 : suitesuite

obligation