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Chapitre 7: Dynamique des fluides

But du chapitre: comprendre les principes qui permettent de décrire la circulation sanguine.Ceci revient à étudier la manière dont les fluides circulent dans les tuyaux. Selon la vitesse dufluide, l'écoulement est laminaire ou turbulent. Dans ce qui suit, on se restreindra à l'étude desfluides laminaires, visqueux ou non.

7.1 Equation de continuitéLa conservation de la matière impose que le débit d'un fluide dans un tuyau (ou du sang dansles veines) est constant. Le débit, noté Q est donné par:

€

Q = S ⋅ v en m3/s. L'équation decontinuité s'écrit:

€

Q = S1 ⋅ v1 = S2 ⋅ v2,

ce qui signifie que le fluide circule plus vite dans les parties où le tube est plus étroit.Exemple: aspirateur, sèche-cheveux, etc.

7.2 Equation de BernouilliLe théorème de Bernouilli est une application de la conservation de l'énergie au cas desfluides en mouvement. Un certain travail est fourni au fluide lorsqu'il passe d'un point à unautre et ce travail est égal à la variation d'énergie mécanique. Dans le cas d'un fluide laminairevisqueux et incompressible, on obtient la relation suivante:

€

p1 +12ρv1

2 + ρgh1 = p2 +12ρv2

2 + ρgh2 + Δp1,2

où pi est la pression aux points (1) ou (2); l'unité de pression est le Pa et

€

Pa =Nm2 =

Jm3

le deuxième terme est une densité d'énergie cinétique [J/m3]le troisième terme est une densité d'énergie potentielle [J/m3]

€

Δp1,2 est la perte de charge et représente la densité d'énergie nécessaire pour qu'un fluidevisqueux circule dans un tube.

7.3 Fluides parfaitsUn fluide non visqueux est dit parfait, et dans ce cas

€

Δp1,2=0. L'équation de Bernouilli seréduit à:

€

p +12ρv 2 + ρgh = constant .

A partir de cette équation on retrouve certains des résultats de la statique des fluides. Exemples:

Dynamique des fluides

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1) Si la section du tube est constante de sorte que la vitesse du fluide est elle aussi constante,on trouve que la variation de pression entre deux points dépend de la différence de hauteurentre ces points. Pour le manomètre représenté ci-dessous on a::D'après l'équation de Bernouilli:

€

p + ρgy1 = pbas = patm + ρgy2Donc la pression dans le récipient vaut:

€

p = patm + ρgy2 − ρgy1 = patm + ρg(y2 − y1) = patm + ρgh

La mesure de la pression (ou tension) artérielle par cathétérisation, est basée sur ce mêmeprincipe: on introduit une canule dans l'artère et on utilise un liquide adéquat pour le liquidede manomètre, c'est-à-dire du mercure pour les pressions artérielles, une solution salée pourles pressions veineuses (qui sont beaucoup plus faibles que les pressions artérielles). Au lieude différence de hauteur d'un liquide, on peut aussi mesurer la pression exercée par le liquidedu manomètre contre une membrane et traduire cette pression en signal électrique.

2) Dans le cas où l'écoulement est horizontal et s'effectue dans un tuyau de section variable,

on a:

€

p1 +12ρv1

2 = p2 +12ρv2

2 (la densité d'énergie potentielle est la même aux deux points

considérés et a été simplifiée dans l'équation) . Cette équation exprime le fait que lorsqu'en unpoint la vitesse du fluide est grande, la pression en ce même point est faible. Cetteconstatation permet d'expliquer bien des phénomènes de la vie courante: les toits 'arrachés' parla tempête, le rideau de douche qui 'colle' contre le corps, les avions qui volent.En utilisant la relation ci-dessus avec l'équation de continuité, on peut écrire que la variationde pression entre les points (1) et (2) vaut:

€

p1 − p2 =12ρv1

2 A12

A22 −1

.

La connaissance des pressions et des aires en deux points, permet de calculer la vitesse en undes points et d'en déduire l'autre vitesse par l'équation de continuité.

7.4 Fluide visqueux et équation de PoiseuilleLors de l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux, la vitesse n'est pas la même en différentspoints de la section du tube. Elle est nulle au niveau des parois et maximum, vmax , au centre.

L'expérience montre que la vitesse moyenne vaut

€

v = 12

vmax . La chute de pression (perte de

charge) le long d'un tube horizontal de section constante dépend de l'importance des forcesvisqueuses, et puisque celles-ci dépendent de la vitesse, de la vitesse moyenne. Par ailleurs, lalongueur du tube intervient aussi, puisque le travail dépensé pour lutter contre les forces

Dynamique des fluides

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visqueuses est proportionnel au déplacement. On a donc:

€

Δp1,2 ∝v ⋅ l . Cette remarque permetd'écrire ensuite la vitesse moyenne en fonction des paramètres pertinents, telles que perte decharge, longueur du tube, viscosité du fluide, rayon du tube. Une analyse dimensionnelle

donne:

€

v = Δp ⋅ R2

8ηl et le débit moyen

€

Q = Av = πR2 ⋅ v s'écrit:

€

Q =Δp ⋅ π ⋅ R4

8η ⋅ l, c'est la loi de Poiseuille.

On voit donc que le débit est considérablement influencé par le rayon du tube. En effet,lorsque le rayon est augmenté de 20%, le débit double. Ce résultat joue un rôle crucial pourexpliquer la circulation du sang dans les artères, artérioles, capillaires.

Exemple: le débit de sang à travers l'artère d'un chien (rayon 4 mm) est de 1 cm3/s. On peut endéduire que la vitesse moyenne du sang est de 2 cm/s, la vitesse maximum de 4 cm/s et laperte de charge le long de l'artère sur une distance de 10 cm de 2,1 Pa.

L'illustration (a) montre que la pression diminue lorsque la vitesse augmente (réduction desection du tube); l'illustration (b) montre qu'il y a de plus chute de pression le long d'un tuyaude section (donc de vitesse) constante, à cause de la viscosité du fluide.

7.5 Fluides laminaire et turbulentSi la vitesse d'un fluide dépasse une certaine valeur critique, l'écoulement devient turbulent.Les forces de frottement dans le fluide deviennent plus importante et le passage du fluide dansun tube demande davantage d'énergie. La vitesse critique à partir de laquelle l'écoulement estturbulent est donnée par:

€

vcritique =ℜηρD

où

€

ℜ est le nombre de Reynolds (les autres grandeurs ont été définies ailleurs

dans le texte). Si ce nombre est inférieur à 2000, le régime est laminaire. S'il est supérieur à3000, le régime est turbulent. Entre ces deux valeurs le régime est instable.

Ecoulement turbulent Exemple: Dans une aorte de diamètre 2 cm, l'écoulement devient

turbulent à partir de

€

vcritique =3000 ⋅ 2,1⋅10−3

1,05 ⋅103 ⋅ 0,02= 30 cm /s . Pour un

débit de 5 litres/min, la vitesse d'écoulement dans cette aorte estde 26,5 cm/s. Lors d'une activité physique intense, le débitaugmente et donc l'écoulement sera turbulent.

Dynamique des fluides

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7.6 Système cardio-vasculaireL'analogie de la circulation sanguine avec un système de plomberie a des limites, car le sangn'est pas un simple fluide; il contient des cellules dont les dimensions sont à peine inférieuresà celles de certains capillaires. Cependant, la description vue plus haut permet de donner unepremière image approximative du système de circulation sanguine, de discuter de la pressionsanguine et de la puissance délivrée par le coeur.

Le sang est pompé à travers le système par lecoeur, qui est constitué de deux pompescomprenant chacune deux chambres appeléesoreillette et ventricule. Le sang enprovenance de tout le corps, sauf lespoumons, entre dans l'oreillette droite qui secontracte et chasse le sang dans le ventriculedroit. Le ventricule se contracte à son tour etenvoie le sang dans les poumons. C'est là quele sang se débarrasse du dioxyde de carboneet absorbe l'oxygène. Régénéré, le sang passealors dans l'oreillette gauche, puis leventricule gauche qui force le sang danstoutes les parties du corps - sauf les poumons,à travers l'aorte. L'aorte se divise en artèrespuis en artérioles et finalement en capillairespour alimenter tous les organes. L'échange degaz, d'éléments nutritifs, de déchets entre lesang et les tissus se fait par diffusion à traversles parois minces des capillaires.

Le sang est pompé par impulsions. La pression maximum avec laquelle le coeur chasse lesang dans le système, que l'on nomme la pression systolique, vaut environ 120 torr (mmHg).La pression minimum, 80 torr. On prend pour pression moyenne exercée par le coeur 100torr=13,3 kPa (1 torr=1 mmHg=0,133 kPa). Ceci correspond à une hauteur de colonne desang de 129 cm (densité du sang: 1,05). Les pertes d'énergie occasionnées par la viscosité dusang et son frottements avec les parois artérielle, font que la pression n'est plus que de 30 torrau niveau des capillaires et qu'elle tombe quasiment à zéro juste avant de revenir au coeur. Lesystème veineux doit donc chasser activement le sang vers le coeur grâce aux contractionsmusculaires et à un système de valves. La pression en divers endroits du corps dépend de laposition:

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La puissance délivrée par le coeur pour maintenir l'écoulement sanguin est égale à lapuissance dissipée par les forces de frottements visqueux. Le travail des forces de frottementsest égal à la force F multipliée par le déplacement L:

€

Travail = F ⋅ L = p ⋅ A ⋅ L = p ⋅V

La puissance vaut: P

€

=TravailTemps

=p ⋅Vt

= pression ⋅ débit , soit P

€

= p ⋅Q.

Exemple: quelle est la puissance délivrée par le coeur pour un corps au repos? Dans ce cas, lapression moyenne est de 100 torr=13,3 kPa et le débit de 5 litres/minutes, ce qui donne pourla puissance cardiaque, P =1,1 W.

Dans le tableau ci-dessous, on donne quelques valeurs utiles concernant le système cardio-vasculaire (Tableau pris dans Kane et Sternheim):

Pression moyenne dans les artères 12,8 kPaPression moyenne dans les veines 1,07 kPaVolume du sang (corps humain de 70 kg) 5,2 litresTemps pour un cycle complet (repos) 54 sDébit cardiaque (au repos) 9,7.10-5 m3/sMasse volumique du sang (37°C) 1,06.103 kg/m3

Viscosité du sang (37°C) 2,08.10-3 Pa.s

Remarques finales:Les subdivisions les plus fines du système artérielle sont entourées de fibres musculaires. Ense resserrant ou se dilatant selon les besoins, le corps dispose d'un mécanisme d'ajustementpour l'écoulement du sang.Comme le sang dans les artères est à une pression relativement haute, le sectionnement d'uneartère est grave.Les dépôts dans les artères réduisent leur section et augmentent la vitesse d'écoulement dusang. Si la vitesse est plus grande, la pression en ces endroits est réduite (loi de Bernouilli). Ilpeut alors arriver que la pression extérieure soit supérieure à la pression dans l'artère et labloque totalement. Si cela se produit au niveau de l'artère coronaire, le sang cesse d'affluervers le muscle cardiaque et le coeur cesse de fonctionner.