chapitre deux analyse économique des projets et temps
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Chapitre deux
Analyse économique des projets et temps
Dans ce chapitre et dans le suivant
Un projet est décrit, pour chaque période de sa durée de vie, par les coûts et les bénéfices monétaires qu’il rapporte à l’agent qui le considère
Cette hypothèse est clairement hardie car elle suppose résolue la question de la mesure de ces bénéfices et de ces coûts
Un projet est donc décrit:
Par sa durée de vie (nombre de périodes élémentaires)
Supposons qu’il y ait n périodes, indicées par t = 1,…,n
Ajoutons la période courante, dite période 0 Pour chaque période t = 0,1,…,n, on connaît: Le coût monétaire Ct du projet à la période Le bénéfice monétaire Bt du projet durant la
période Remarque: L’analyse des projets n’est pas
passéiste (bygones are bygones!!!)
Question examinée dans ce chapitre
Ces flux monétaires sont supportés par l’agent concerné à différentes périodes
Comment les rendre comparables ? 1 euro reçu/payé aujourd’hui n’a pas la même
valeur qu’un euro reçu/payé demain Un euro reçu/payé demain n’a pas la même
valeur qu’un euro reçu/payé après demain, Typiquement, on suppose que les euros ont une
valeur d’autant plus grande qu’ils sont perçus ou payés dans une période proche du présent (escompte)
Pourquoi y a-t-il escompte ?
A cause de préférences qu’ont la plupart des individus pour le présent (je préfère avoir un euro aujourd’hui qu’un euro demain)
A cause de la productivité du temps (un euro investi aujourd’hui produit plus d’un euro demain)
Préférences pour le présent Un individu, lorsqu’il envisage le futur à
partir de l’instant présent, considère sa consommation (en euros, pour des prix connus) à différentes périodes comme des biens différents
Soit un individu qui considère un horizon de T périodes (indicées par t = 1,…,T)
Un tel individu aura des préférences pour les différentes combinaisons de flux de consommation
Préférences pour le présent
c = (c1,…,cT) (c’1,…,c’T) = c’ signifie: l’individu préfère le profil de consommations c au profil c’
La relation de préférence est un ordre Elle reflète la subjectivité de l’individu, et
sa disposition psychologique (patience, impatience) à transférer du pouvoir d’achat entre les périodes
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
mieux
moinsbien
Courbe d’indifférence
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Supposons que cet individuenvisage d’augmenter sa
consommation courante d’un montant
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Supposons que cet individuenvisage d’augmenter sa
consommation courante d’un montant
c1+
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Quelle quantité maximale de consommation future serait disposé à sacrifier cet individu
pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?
c1+
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Quelle quantité maximale de consommation future serait disposé à sacrifier cet individu
pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?c2- a
c1+
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
Quelle quantité maximale de consommation future serait disposé à sacrifier cet individu
pour pouvoir bénéfier de cetaccroissement ?c2- a
c1+
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport -a/ lorsque tend vers 0
c2- a
c1+
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport -a/ lorsque tend vers 0
c2- a
c1+
-a/
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport -a/ lorsque tend vers 0
c2- a
c1+
-a/
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport -a/ lorsque tend vers 0c2- a
c1+
-a/
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
c2
c1
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport -a/ lorsque tend vers 0
-a/
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
On appelle taux marginal de substitution intertemporel
le rapport a/ lorsque tend vers 0
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Ce taux dépend du profil de consommation
où il est calculé
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Il est plus élevé ici (en valeur absolue) …
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
…que là
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Ce taux varie donc, pour un même individu, d’un profilde consommation à l’autre
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Il varie également d’un individu à l’autre pour un mêmeprofil de consommation
Tauxmarginal desubstitution
intertemporel
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Considérons par exemplecet individu au profil
c1,c2
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Il est plus impatient, à ce profil,que l’individu à la courbe
d’indifférence rouge
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
…mais plus patientque l’individu à la courbe
d’indifférence blanche
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Les impatients (emprunteurs) sont prêts à sacrifier
beaucoup de pouvoir d’achat futur pour obtenir un peu de
pouvoir d’achat courant
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période futureLes patients (épargnants) ne sont disposés qu’à faire des
sacrifices modestes de pouvoir d’achat futur pour augmenter leur pouvoir
d’achat courant
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
La diversité des préférencespour le présent ouvre la
possibilité de transactionsmutuellement bénéfiques
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Un épargnant peut donner du pouvoir d’achat courant à un emprunteur en échange d’un
supplément de pouvoir d’achat futur
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période futureSi la quantité d’euros futurs
que doit rembourser l’emprunteur est inférieure à
son taux marginal de substitution intertemporel, il sera content d’emprunter
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future Réciproquement, si la quantité d’euros futurs que rembourse l’emprunteur est supérieure au taux marginal de substitution intertemporel de l’épargnant,celui-ci sera content de prêter
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Les marchés financierspermettent à tous ces individus de faire des emprunts et des prêts
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Imaginons que quiconque puisse épargner/emprunter n’importe quelle somme au taux de p euros de pouvoir
d’achat futur pour chaque euro de pouvoir d’achat courant
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Pour chaque euro emprunté, il faut donc rembourser dans le
futur p euros
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période future
Chaque euro courant épargné peut être converti en p euros
futurs
c1
c2
Préférences pour le présent (2 périodes)
Période courante
Période futureSi les individus empruntent et
épargnent à ce taux sans contrainte suivant leurs
préférences, ils égaliseront leur taux de marginal
substitution intertemporel à ce taux
c1
c2
Illustration: 2 individus (A et B)
A
B
cB2
cA1
cA2
cB1
Dotation initiale
2
1
Allocationrésultantde l’ échange
1/2
2/2
-p
Si les marchés financiers sont parfaits Le taux de conversion des euros futurs en euros
courants – p – mesure le taux marginal de substitution de tous
C’est ce taux qui doit être utilisé pour convertir les euros futurs en euros courants
On appelle taux d’intérêt, noté r, le nombre r = p -1 La plupart du temps, r > 0 (et donc p > 1) Les gens sont donc «impatients » (i.e. disposés à
sacrifier plus d’un euro futur pour obtenir un euro courant)
Mais on a connu des épisodes de taux d’intérêt réels négatifs
Actualisation ou capitalisation p = 1+r nombre d’euros futurs qu’il faut
donner pour avoir un euro courant ou nombre d’euros futurs qu’on obtient avec un euro courant (capitalisation)
1/p = 1/(1+r) nombre d’euros courant qu’on doit donner pour avoir un euro futur ou valeur, en euros courants, d’un euro futur (actualisation)
En évaluation de projets, on ramène tout à la période courante: actualisation
Actualisation/capitalisation sur plusieurs périodes
On a jusqu’ici raisonné sur deux périodes: le présent et le futur
Mais on peut étendre le raisonnement à un nombre quelconque de périodes
Supposons qu’il y ait T périodes, indicées par t = 0,…,T et que le taux d’intérêt entre la période t et la période t+1 soit de rt (pour t = 0,…,T-1)
Actualisation/capitalisation sur plusieurs périodes
Un euro reçu à la période t vaut 1/(1+rt-1) à la période t-1
Un euro reçu à la période t-1 vaut 1/(1+rt-2) à la période t-2
Un euro reçu à la période t vaut donc [1/(1+rt-2)][1/(1+rt-1)] = 1/[(1+rt-2)(1+rt-1)] à la période t-2
Par récurrence, on peut donc dire qu’un euro reçu à la période t vaut 1/[(1+rO)(1+r1)…(1+rt-2)(1+rt-1)] à la période 0 (courante)
Actualisation/Capitalisation sur plusieurs périodes
De façon symétrique un euro courant capitalisé vaudra: (1+r0)(1+r1)…(1+rT-2)(1+rT-1) à la période t (pour t = 1,…,T)
Il est rare en pratique qu’on puisse distinguer les taux d’intérêt qui prévaudront entre les diverses périodes
On utilise souvent un taux d’intérêt de long terme unique (r disons) supposé prévaloir entre toute deux périodes adjacentes.
Dans un tel cas, un euro à la période t vaut 1/(1+r)t = 1/(1+r)(1+r)…(1+r)(1+r) à la période 0
Et un euro à la période 0 se capitalise en (1+r)t euros de la période t
Le critère de la valeur actuelle nette (VAN)
Soit un projet i décrit par une durée de vie n et un flux de coûts et de bénéfices {Cit,Bit} pour les périodes t = 0,…,n)
La Valeur Actuelle Nette de i, notée VANi est la valeur, en euros courants, des flux de bénéfices nets courants et futurs générés par le projet sur sa durée de vie.
VANi est définie par:
nininiiii
iii r
CB
r
CB
r
CBCBVAN
)1(...
)1(1 22211
00
Le critère de la valeur actuelle nette (VAN)
Soit un projet i décrit par une durée de vie n et un flux de coûts et de bénéfices {Cit,Bit} pour les périodes t = 0,…,n)
La Valeur Actuelle Nette de i, notée VANi est la valeur, en euros courants, des flux de bénéfices nets courants et futurs générés par le projet sur sa durée de vie.
Qui peut s’écrire comme:
n
ttitit
i r
CBVAN
0 )1(
Critère de la VAN
Il s’agit d’un critère naturel d’évaluation de projets dont on connaît avec certitude la durée de vie et les flux financiers qu’ils génèrent (bénéfices et coûts) à chaque période.
Un projet est d’autant meilleur qu’il a une VAN élevée
La VAN dépend évidemment du taux d’intérêt, qui, parce qu’il est positif, tend à pondérer de façon plus importante les flux financiers qui surviennent plus tôt
Exemples de calcul de VAN Un hôpital a décidé d’augmenter sa capacité d’accueil Cette décision augmentera les coût annuels de
production de repas Pour limiter cette augmentation, on réfléchit sur
l’opportunité de faire des travaux d’aménagement de la cuisine
Ces travaux, réalisés en l’année 0, coûteraient 1,1 millions d’euros, et auraient une durée de vie utile de 20 ans
Les coûts d’opération de la cuisine avec et sans travaux sont présentés dans le tableau suivant
Coûts d’opération de la cuisine (milliers d’euros)
année sans travaux
avec travaux
1 480 400
2 520 420
3 580 460
4 620 480
5 660 500
6 et + 660 500
Quel est la VAN de ce projet ?
Le bénéfice du projet à chaque période est l’économie de coût réalisée
Coût du projet: nul pour toutes les périodes autres que 0 1,1 millions d’euros à la période 0
Les bénéfices du projet aux périodes t = 1,…,20 sont donc donnés dans le tableau suivant
Bénéfices nets du projet
année bénéfice net
1 480 - 400 = 80
2 520 - 420 = 100
3 580 - 460 = 120
4 620 - 480 = 140
5 660 - 500 = 160
6 et + 660 - 500 = 160
Calcul de la VAN
Certains calculs de VAN peuvent être fastidieux si le nombre de période est grand
Ici par exemple, il faut calculer la valeur du bénéfice de 160 mille euros reçu chaque année pendant 15 ans
Un peu de raisonnement mathématique élémentaire simplifie considérablement ces calculs
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Si le taux d’intérêt annuel est r, quelle est la valeur présente, d’un montant de A euros perçus chaque année pendant n années ?
Cette valeur présente est donnée par:
nr
A
r
A
r
A
)1(...
)1(1 2
ou: ))1(
1...
)1(
1
1
1(
2 nrrrA
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Il peut être utile de trouver un moyen rapide de calculer le facteur
d’annuité a(n;r) défini par
nrrrrna
)1(
1...
)1(
1
1
1);(
2
La chose est, heureusement, aisée
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Nous savons en effet que:
nrrrrna
)1(
1...
)1(
1
1
1);(
2
et que:
132 )1(
1...
)1(
1
)1(
1
1
);(
nrrrr
rna
On peut donc déduire quer
rnarna
1
),();(
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Nous savons en effet que:
nrrrrna
)1(
1...
)1(
1
1
1);(
2
et que:
132 )1(
1...
)1(
1
)1(
1
1
);(
nrrrr
rna
r
rnarna
1
);();(
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Nous savons en effet que:
nrrrrna
)1(
1...
)1(
1
1
1),(
2
et que:
132 )1(
1...
)1(
1
)1(
1
1
),(
nrrrr
rna
r
rnarna
1
);();(
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Nous savons en effet que:
nrrrrna
)1(
1...
)1(
1
1
1);(
2
et que:
132 )1(
1...
)1(
1
)1(
1
1
);(
nrrrr
rna
1)1(
1
1
1
1
);();(
nrrr
rnarna
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
Nous avons donc que:
ou:
1)1(
1
1
1
1
);();(
nrrr
rnarna
])1(
11[
1
1
1
);(nrrr
rnra
et
donc:
])1(
11[
1);(
nrrrna
Actualisation d’une annuité de A euros reçus pendant n années
En clair
Si n, on aura que 1/(1+r)n 0 et donc, que:
])1(
11[
1);(
nrrrna
rrna
1);(
Cette formule est très utile
Exemple: je veux emprunter 150 000 euros et le rembourser à un rythme annuel constant pendant 20 ans à un taux d’intérêt de 5%
Que seront mes annuités ? On cherche A tel que: 150 000 = Aa(20;0,05)
= A[1/(0,05)][(1-1/(1,05)20]= A[20[1-0,377]]= A12,46
D’où on tire: A = 150 000/12,46 = 12 038,52
Utilisons cette formule pour calculer la VAN du projet de réfection de
cuisine Supposons d’abord que le taux d’intérêt est de
8% Déterminons la valeur actualisée, à la période 5,
de l’annuité de 160 milliers d’euros correspondant à la différence de coûts sur les 15 années suivantes
On doit donc déterminer la valeur de a(15;0,08) = [1/0,08][1-1/(1,08)15]
= 8,66 La valeur actualisée d’un bénéfice net annuel de
160 milliers d’euros pendant 15 ans est donc de 1608,66 = 1369,5 soit 1,3695 millions d’euros
La VAN du projet est donc
La VAN du projet est donc
36,189
47,1
5,1369
36,1
140
26,1
120
17,1
100
08,1
801100
)08,1(
5,1369
)08,1(
140
)08,1(
120
)08,1(
100
08,1
801100
5432
VAN
La VAN du projet est donc
36,189
47,1
5,1369
36,1
140
26,1
120
17,1
100
08,1
801100
)08,1(
5,1369
)08,1(
140
)08,1(
120
)08,1(
100
08,1
801100
5432
VAN
La VAN du projet est donc
36,189
47,1
5,1369
36,1
140
26,1
120
17,1
100
08,1
801100
)08,1(
5,1369
)08,1(
140
)08,1(
120
)08,1(
100
08,1
801100
5432
VAN
Ce projet a une VAN positive (189 360 euros). Il est donc meilleur que le status quo
Cette conclusion dépend du taux d’intérêt
VAN du projet pour r =10%
VAN du projet pour r =10%
57,3
61,1
5,1216
47,1
140
33,1
120
21,1
100
1,1
801100
1,1
)1,0;15(
1,1
140
1,1
120
1,1
100
1,1
801100
5432
a
VAN
VAN du projet pour r =10%
57,3
61,1
5,1216
47,1
140
33,1
120
21,1
100
1,1
801100
1,1
)1,0;15(
1,1
140
1,1
120
1,1
100
1,1
801100
5432
a
VAN
VAN du projet pour r =10%
57,3
61,1
5,1216
47,1
140
33,1
120
21,1
100
1,1
801100
1,1
)1,0;15(
1,1
140
1,1
120
1,1
100
1,1
801100
5432
a
VAN
Ce projet a une VAN négative (-3 570 euros). Il est donc moins bien que le status quo si letaux d’intérêt est de 10%
La relation entre la VAN d’un projet et le taux d’intérêt est complexe
Beaucoup de projets impliquent des coûts importants en début de projet et des bénéfices futurs modestes mais répétés
Ces projets tendent à exhiber une relation négative entre la VAN et le taux d’intérêt
Une relation typique entre VAN et taux d’intérêt
VAN
taux d’intérêt
Bon projet
Mauvais projet
Mais cette relation n’est pas observée pour tous les projets
Considérons par exemple un projet qui dure 5 périodes (en plus de la période 0) et qui donne les bénéfices nets suivants (en milliers d’euros):
Période 0: +50 Période 1: -60 Période 2: -70 Période 3: +70 Période 4: -20 Période 5: +80
5432 )1(
80
)1(
20
)1(
70
)1(
70
1
6050
rrrrrVAN
Voici la relation entre la VAN et le taux d’intérêt
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
10
20
30
40
50
taux d'intérêt
VAN
Bon projet mauvais projet
Bon projet
Taux de rendement interne (TRI) d’un projet
Beaucoup d’évaluations de projets appliquées utilisent le Taux de Rendement Interne (TRI) d’un projet comme critère d’évaluation
Le TRI d’un projet est le taux d’intérêt qui donnerait une VAN nulle au projet
Taux de rendement interne (TRI) d’un projet
D’un point de vue formel, pour un projet i d’une durée de vie de n périodes et caractérisé par un bénéfice Bt et un coût Ct à la période t = 0,…,n, son TRI est défini (implicitement) par:
nininiiii
ii TRI
CB
TRI
CB
TRI
CBCB
)1(...
)1(10
22211
00
Le TRI n’est pas un bon critère d’évaluation de projets
Certains projets (dont la VAN n’est pas en relation monotone décroissante avec le taux d’intérêt) ont plusieurs TRI
Quel TRI choisir alors ? Même lorsque la relation entre la VAN
et le taux d’intérêt est monotone décroissante, il est erroné de classer les projets sur la base de leur TRI
Le projet suivant a 2 TRI
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
10
20
30
40
50
taux d'intérêt
VAN
TRI no1 TRI no 2
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Le projet C a un TRI plus élevé que
le TRI du projet B
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Doit-on en conclure que C est un meilleur projet que B ?
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Absolument pas!
r1
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
C a une VAN plusélevée que B pour un
taux d’intérêt supérieur à r1
r1
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
… mais a une VAN inférieureà celle de B pour un
taux d’intérêt inférieur à r1
r1
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
De même, TRIB > TRIA
n’implique pas que le projetB soit meilleur que le projet A
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
La VAN de B est plus grandeque la VAN de A si le tauxd’intérêt est supérieur à r0
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
…mais la VAN de B est inférieureà celle de de A si le tauxd’intérêt est inférieur à r0
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
En clair, la règle de choix entre les trois projets est:
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Choisir A si le taux d’intérêt est inférieur à r0
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Choisir B si le taux d’intérêt est compris
entre r0 et r1
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
Choisir C si le taux d’intérêt est supérieur à r1
r1r0
Le classement de projets “typiques” par leur TRI est mauvais
VAN
taux d’intérêt
Projet A
Projet B
Projet C
TRICTRIBTRIA
La connaissance du TRI des projets n’est
d’aucune utilité pour prendrecette décision
r1r0
Une seule utilisation correcte du TRI
Il est préférable d’entreprendre tout projet dont la VAN est décroissante avec le taux d’intérêt à ne pas l’entreprendre si et seulement si le TRI est supérieur au taux d’intérêt
Mais n’est-il pas plus simple de calculer directement la VAN du projet ?
Un exemple de pertinence du TRI: Le taux de rendement interne de l’éducation