chapitre ii-poussée et butée - finale - copie.doc

- GEOTECHNIQUE II -

Chapitre II :

POUSSEE ET BUTEE

2ème génie civil

ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS

I/ TERRES AU REPOS

Soit un massif de sol homogène à surface horizontale.

Si le sol n’est pas soumis à un déplacement latéral (εh=0), il se trouve dans un

état initial qui dépend de son histoire géologique, on nomme cet état : poussée

des terres au repos (sans déplacement).

Pour définir l’état des terres au repos, on relie la contrainte effective horizontale

ζ’h0 à la contrainte effective verticale ζ’v0=γ’z par le coefficient de pression des

terres au repos K0

Géotechnique II

0'' 00 vh K

I/ TERRES AU REPOS

Le coefficient des terres au repos pourrait être déterminé expérimentalement à

l’aide de l’appareil triaxial:

Géotechnique II

v

hK'

'0

Coefficient des terres au repos:

I/ TERRES AU REPOS

La valeur de K0 varie suivant le type du sol. Elle est donnée, de façon

approximative, au tableau suivant :

Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés, on pourra

utiliser la formule simplifiée de JAKY si le terre plein est horizontal :

Géotechnique II

'sin10 K

I/ TERRES AU REPOS

S’il existe un talus de pente β, la valeur de K0, avec la même définition, sera :

Par rapport aux sols normalement consolidés, la valeur de K0 augmente pour

les sols surconsolidés. D’autant plus que le coefficient de surconsolidation ROC

est important. On pourra utiliser la relation suivante :

Avec :

Géotechnique II

)sin1(00 KK

2/1

0 )'sin1( OCRK

0'

'

v

p

OCR

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE

Soit un massif de sol homogène à surface

horizontale, maintenu par un écran, et soit F

l’effort nécessaire pour maintenir l’écran

immobile.

Si l’effort F est relâché, il y a un léger

déplacement Δ de l’écran.

Si le déplacement est important; il y a rupture du

sol derrière l’écran (éboulement) par formation de

surfaces de glissement.

Géotechnique II

1) Cas actif: équilibre de poussée

La rupture correspond à

l’équilibre de poussée ou

actif: le sol agit sur

l’écran


Soit un massif de sol homogène à surface

horizontale, maintenu par un écran, et soit F

l’effort nécessaire pour maintenir l’écran

immobile.

Si l’effort F est augmenté, il y a un léger

déplacement Δ de l’écran.

Si le déplacement est important; il y a rupture du

sol derrière l’écran (refoulement) par formation de

surfaces de glissement.

Géotechnique II

2) Cas passif: équilibre de butée

La rupture correspond à

l’équilibre de butée ou

passif: le sol subit

l’action de l’écran


pour qu’il y est équilibre de poussée ou de butée,

il faut qu’il y est déplacement, grossièrement, de:

l’ordre de H/1000 pour mobiliser la poussée

(pour H=10m, il faut un déplacement Δa=1cm)

Supérieur à H/100 pour mobiliser la butée (pour

H=10m, il faut un déplacement Δp=10cm).

Géotechnique II

3) Déplacements nécessaires pour atteindre les équilibres limites


Lors de l’expansion latérale (Le sol pousse sur l’écran), la contrainte ζ’v0

reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 diminue, jusqu’à ce

que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une

contrainte horizontale: ζ’a.

C’est l’équilibre actif ou de poussée.

Géotechnique II

4) Équilibres limites en contraintes

a) équilibre limite actif ou de poussée

Remarque: ζ’v reste la contrainte principale majeure.


Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes

dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe

intrinsèque.

Géotechnique II


a) équilibre limite actif ou de poussée: plans de rupture


Lors de la contraction latérale (L’écran pousse sur le sol), la contrainte ζ’v0

reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 augmente, jusqu’à ce

que le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour une

contrainte horizontale: ζ’p.

C’est l’équilibre passif ou de butée.

Géotechnique II


b) équilibre limite passif ou de butée

Remarque: ζ’v devient la contrainte principale mineure.


Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planes

dont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe

intrinsèque.

Géotechnique II


b) équilibre limite passif ou de butée: plans de rupture

A NOTER:

On admet que les ouvrages de soutènement sont susceptibles de se déplacer

suffisamment pour qu’apparaissent dans le sol des lignes de glissement

correspondant à l’équilibre plastique.

Géotechnique II

Cette hypothèse est

pratiquement toujours vérifiée

puisque les déplacements

nécessaires pour passer de l’état

de pression au repos à l’état de

poussée sont faibles

(Δa=H/1000).

Les sols contenus par les ouvrages de soutènement sont:

pesants

généralement cohérents

peuvent supporter des surcharges

La force de poussée est obtenue en superposant les trois états d’équilibre

plastique:

Pesant, non cohérent, non surchargé

Non pesant, non cohérent, surchargé

Non pesant, cohérent, non surchargé

1) Principe de superposition

A NOTER:

III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -

EQUILIBRE DE RANKINE

La théorie de Rankine repose sur les hypothèses suivantes:

le sol est isotrope

la présence de discontinuité (écran, mur) ne modifie pas la répartition des

contraintes verticales.

1) Coefficients de poussée et de butée



1) Coefficients de poussée et de butée

• la contrainte de poussée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le

coefficient de poussée Ka :

• la contrainte de butée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par le

coefficient de butée Kp :

0'.' vaa K

0'' vpp K



Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:

2) Massif horizontal

a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'

0γ

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 3

2

1

c

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 1

2

3

c

- Trouver les coefficients de poussée Ka et de butée Kp.



Coefficient de poussée Ka:

Coefficient de butée Kp:


a) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:

0q

0c'

0γ

3

1

'..'

'.'

zK

z

aa

v

2

'

4tan2

aK

1

3

'..'

'.'

zK

z

pp

v

2

'

4tan2

pK

État de poussée État de butée



La distribution des contraintes sur un écran plan varie linéairement avec z:

La force de poussée résultante est:

zKaa ..

H

aa dzzKF0

...

2..2

1HKF aa

La force de poussée s’exerce au

tiers inférieur de H.





Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:


b) Milieu non pesant, non cohérent, surchargé:

0q

0c'

0γ

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 3

2

1

c

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 1

2

3

c

- Trouver les coefficients de poussée Kaq et de butée Kpq.



Coefficient de poussée Kaq:

Coefficient de butée Kpq:


b) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:

0q

0c'

0γ

3

1

'.'

''

qK

q

aqa

v

2

'

4tan2

aqK

1

3

'.'

''

qK

q

pqp

v

2

'

4tan2

pqK


N.B: la surcharge q a une valeur constante, indépendante de la profondeur.



La distribution des contraintes sur un écran plan est uniforme:


qKaqa .

H

aqaq dzqKF0

..

HqKF aqaq ..

La force de poussée s’exerce au milieu de H.


a) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:



Rappel: Théorème des états correspondants


c) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:

0q

0c'

0γ

- L’état du sol vis-à-vis de la rupture est identique dans les deux cas.

a: la courbe intrinsèque d’un sol cohérent

(c’#0 et φ’#0) avec 2 cercles de Mohr:

C1 (en équilibre limite)

C2 ( en équilibre surabondant).

b: la courbe intrinsèque d’un sol

pulvérulent (c’=0 et φ#0) de même angle

de frottement interne que le sol précédent:

C1 et C2 sont obtenues par

translation égale à:

'tan

''

cOO



Rappel: Théorème des états correspondants (suite)



0q

0c'

0γ

Un milieu cohérent peut être

transformé en milieu pulvérulent

de même angle de frottement

interne, en appliquant autour du

massif une pression hydrostatique

d’intensité égale à c’/tanφ’.

Appliquer une translation c’/tanφ’ sur un

cercle de Mohr quelconque revient à

appliquer une contrainte normale

supplémentaire d’intensité c’/tanφ’ sur

chaque facette de chaque point.



Application du théorème des états correspondants:

- On suppose un milieu fictif pulvérulent (non pesant) chargé en surface: q=c’/tanφ’

- on applique le théorème des états correspondants pour passer au milieu réel

cohérent on soustrait la pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.




0q

0c'

0γ

- Trouver les contraintes de poussée et de butée ζ’a et ζ’p.



En équilibre de poussée:



'tan

'.'

'tan

''

cK

c

ah

v

0q

0c'

0γ

Milieu fictif

(non cohérent)

Milieu réel

(cohérent)

'tan

'''

'tan

'''

c

c

hh

vv

'tan

').1('

cKah

ah Kc'.2' traction



En équilibre de butée:



'tan

'.'

'tan

''

cK

c

ph

v

0q

0c'

0γ

Milieu fictif

(non cohérent)

Milieu réel

(cohérent)

'tan

'''

'tan

'''

c

c

hh

vv

'tan

').1('

cK ph

ph Kc'.2' compression



Superposition des trois états:


d) Cas général: milieu pesant, cohérent, surchargé

0q

0c'

0γ

aah KcqzK '.2)..('

q

K

cz

a

c '2

Traction jusqu’à:

pph KcqzK '.2)..('

En équilibre de poussée:

En équilibre de butée:

Exercice:

Nous avons une tranchée de 5m de profondeur à creuser dans un

dépôt argileux. La résistance moyenne en compression simple est

de 44 KPa et la densité du matériau est de γ=16 KN/m3 .

1) Calculer et tracer le diagramme de pression des terres requis

pour le design du mur de soutènement à court terme.

1) Calculer également la force résultante et commenter le résultat.



2) Massif incliné

a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'

0γ

Contrainte géostatique:

Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur

l’horizontale. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de

poids volumique γ).

La contrainte géostatique qui s’exerce en un point M à une profondeur h, sur

la facette parallèle à la surface libre est:

cos..z

Convention

de signes:

-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique

-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.

φ’: angle de frottement interne du sol

θ: inclinaison du mur

β: inclinaison du massif

α: angle de frottement sol-écran

Massif de sol gauche Massif de sol droite



2) Massif incliné


θα

θα



2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Etat de poussée:

Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale

en équilibre limite inférieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement

interne φ et de poids volumique γ).

Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la

répartition des contraintes de poussée est linéaire:

Avec K aγ coefficient de poussée:

2sin)2cos(.sin21.

)sin(

)cos(.sin

aK

sin

sinsin

rKT a ..

α

θ



2) Massif incliné


0q

0c'

0γ

Etat de poussée:

L’inclinaison θ de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est

constante tout le long du rayon vecteur est égale à:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan

α

θ



Etat de poussée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la

verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):


2..2

1lKF aa


tiers inférieur de l.

2) Massif incliné


rKT a ..

l

aa drrKF0

...

Faγ

θ

α



2) Massif incliné


0q

0c'

0γ

Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale

Le long de la demi-droite verticale, la répartition des contraintes de poussée est

linéaire:

Avec K aγ coefficient de poussée:

cos... zKT a

cos.

coscoscos

coscoscos

22

22

aa KK

α=β



Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale

La distribution des contraintes sur un écran plan vertical varie linéairement

avec H (avec une inclinaison α=β):

La force de poussée résultante est: H

aa dzzKF0

..cos..

2.cos..2

1HKF aa

La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.

2) Massif incliné


cos... zKT a

0q

0c'

0γ



2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Etat de butée:

Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale

en équilibre limite supérieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de

frottement interne φ et de poids volumique γ).


répartition des contraintes de butée est linéaire:

Avec K pγ coefficient de butée:

)2cos(.sin1.)sin(

)cos(.sin

pK

sin

sinsin

rKT p ..



2) Massif incliné


0q

0c'

0γ

Etat de butée:

L’inclinaison α de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est

constante tout le long du rayon vecteur est égale à:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan



Etat de butée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale

varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):

La force de butée résultante est: l

pp drrKF0

...

2..2

1lKF pp

La force de butée s’exerce au tiers

inférieur de l.

2) Massif incliné


rKT p ..



2) Massif incliné:

a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement

0q

0c'

0γ

Etat de poussée:


répartition des contraintes de poussée est uniforme:

Avec K aq coefficient de poussée:

)cos(

a

aq

KK

qKT aq.

L’inclinaison de la contrainte de poussée

par rapport à la normale à OL est:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan

α

θ



Etat de poussée:



La force de poussée résultante est: l

aqaq drqKF0

..

lqKF aqaq ..


milieu de l.

2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

qKT aq.

α

Faqθ



2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Etat de butée:


répartition des contraintes de butée est uniforme:

Avec K pq coefficient de butée:

)cos(

p

pq

KK

qKT pq.

L’inclinaison de la contrainte de butée par

rapport à la normale à OL est:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan



Etat de butée:




pqpq drqKF0

..

lqKF pqpq ..

La force de butée s’exerce au milieu de l.

2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

qKT pq.



2) Massif incliné:

a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé

0q

0c'

0γ

Etat de poussée:


répartition des contraintes de poussée est uniforme:

Avec K ac coefficient de poussée:

)cos(.sin1

cos2

acK

cKT ac.

L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est:

)(

Traction



Etat de poussée:




acac drcKF0

..

lcKF acac ..

La force de poussée s’exerce au milieu de l.

cKT ac.

2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Fac



2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Etat de butée:


répartition des contraintes de butée est uniforme:

Avec K pc coefficient de butée:

)cos(.sin1

cos2

pcK

cKT pc.

L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:

)(

Compression



Etat de butée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale

varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):


pcpc drcKF0

..

lcKF pcpc ..


cKT pc.

2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

3) Insuffisance de la théorie de Rankine

Hypothèse de la théorie de

Rankine:

la présence d’un écran ne modifie pas la

répartition des contraintes dans le

massif.



Inconvénient de la théorie de Rankine:

l’angle de la contrainte de poussée avec la

normale à l’écran dépend des conditions

géométrique mais n’a pas la réalité physique

d’un angle de frottement sol-écran.

δ=α

δ#α

3) Insuffisance de la théorie de Rankine

Interaction sol-écran:

- le déplacement relatif du sol sur un écran rugueux frottement d’angle δ.



- l’angle de frottement sol-écran δ dépend de l’état de surface de l’écran et de la

nature du sol: 0≤ δ ≤φ

- δ=0: écran parfaitement lisse (ex: palplanche métallique)

- δ=2φ’/3: surface rugueuse (ex: béton lisse)

- δ=φ: surface très rugueuse (ex: béton sous des fondations)

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE

DE BOUSSINESQ

1) Théorie de Boussinesq:

(Boussinesq (1882) a amélioré la

théorie de Rankine en prenant

l’interaction réelle entre le sol et

l’écran, c.à.d. en choisissant la valeur

de l’angle de frottement δ sol-écran.

δ#α


DE BOUSSINESQ


a) Hypothèses

massif pesant, non cohérent et non surchargé;

massif à surface plane.

écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)

La mise en équation du problème a donné un

système d’équations différentielles non intégrables

explicitement

résolution numérique de Caquot et Kérisel

Dans cet équilibre, Boussinesq considère une première zone ou on a

l’équilibre de Rankine se raccordant à une seconde zone ou il tient compte

des conditions aux limites sur l’écran.


DE BOUSSINESQ


b) Lignes de glissement

Deux équilibres à considérer:

Equilibre de Rankine: dans la zone entre surface

libre et plan de glissement passant par O.

Equilibre de Boussinesq: dans la zone entre écran

et plan de glissement passant par 0

Remarque: Pour la poussée et

pour un écran pas trop incliné,

les courbes de glissement sont, à

peu près, des lignes droites.

Etat de poussée

Etat de buée


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes

Convention

de signes:

-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique

-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.


λ: inclinaison du mur


δ: angle de frottement sol-écran

Massif de sol gauche Massif de sol droite


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes

L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:

Poussée:

Butée:

rKT a ..

rKT p ..

Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel

et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’






DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: table de Kérisel et Absi de Kaγ et Kpγ pour β=λ=0

Kaγ et Kpγ sont donnés par les tables de Kérisel

et Absi en fonction de: φ’, λ, β/φ’ et δ/φ’

Etat de poussée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la

verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):


2..2

1lKF aa

La force de poussée s’exerce au tiers

inférieur de l.

rKT a ..

l

aa drrKF0

...

Faγ

λ

δ


d) calcul des forces


DE BOUSSINESQ

Etat de butée:

La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticale

varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):


pp drrKF0

...

2..2

1lKF pp

La force de butée s’exerce au tiers

inférieur de l.

rKT p ..


d) Calcul des forces


DE BOUSSINESQ


DE BOUSSINESQ

2) Théorie de Prandtl:

a) Hypothèses

Théorie de Boussinesq Théorie de Prandtl

massif pesant, non cohérent et non

surchargé .

massif non pesant, non cohérent et

surchargé uniformément.

massif à surface plane (inclinaison β) massif à surface plane (inclinaison β)

écran rugueux (angle de frottement

sol-écran est δ)

écran rugueux (angle de frottement sol-

écran est δ)

mise en équation du problème:

- système d’équations différentielles

non intégrables explicitement:

résolution numérique de Caquot

et Kérisel

mise en équation du problème :

- système d’équations différentielles

analogues à celles régissant les équilibres

de Boussinesq:

Intégration analytique possible


DE BOUSSINESQ



Les lignes de glissement est une juxtaposition de deux zones en équilibre de

Rankine reliées par une zone en équilibre de Prandtl.

L’évantail de Prandtl est un

faisceau de droites issues de

l’origine coupées par des

spirales logarithmiques


DE BOUSSINESQ



Équilibre de Rankine (les

lignes de glissement sont

constituées de deux familles

de plans faisant entre eux

un angle de π/2±φ)

Équilibre de

Rankine

Équilibre de Prandtl (les lignes de glissement sont

constituées:

-d’une part, par des plans rayonnants passant par O

-D’autre part, par des spirales logarithmiques.

Ω

O


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: cas de la poussée

Soient OT et OT’ les plans limitant les formes

d’équilibre, on désignera par:

• µ: l’angle

• Ψ: l’angle

• ε: l’angle

Le calcul conduit aux formules générales suivantes:

TOA

'TOT

'BOT

1

tan2

12 .'cossincos

cossincosqKeqq a

sin

sinsin

sin

sinsin

22

1

22

1

22


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: cas de la poussée

Les conventions de signe relatives à α et δ sont données comme suit:


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: cas de la butée

Le calcul conduit aux formules générales suivantes:

1

tan2

12 .'cossincos

cossincosqKeqq p

sin

sinsin

sin

sinsin

22

1

22

1

22

Les conventions de signe relatives à α et δ


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: coefficients de poussée

L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:

Poussée:

Butée:

12 .' qKq a

12 .' qKq p

K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel

et Absi en fonction de: φ’, Ω, α et δ


α: obliquité de la surcharge q1




2


DE BOUSSINESQ


c) Calcul des contraintes: tables de Kérisel et Absi

K’a et K’p sont donnés par les tables de Kérisel et Absi

en fonction de: φ’ et δ pour Ω=π et α=0

Etat de poussée:




aaq drqKF0

..'

lqKF aaq ..'

La force de poussée s’exerce au milieu de l.

qKT a.'

δ

Faqλ


DE BOUSSINESQ


d) Calcul des forces:

Etat de butée:




ppq drqKF0

..'

lqKF ppq ..'


qKT p.'


DE BOUSSINESQ


d) Calcul des forces:

L’application du théorème des états correspondants consiste à appliquer une

pression hydrostatique H’=c’/tanφ’ aux limites du massif.

La force de poussée résultante à prendre en compte est:

Pc (traction): résultante de P et de C

L’écran, dans ce cas, est soumis à deux actions:

1.action correspondant à H’: perpendiculaire

au mur et s’exerçant au milieu de l:

2.action de la poussée des terres sous l’effet de

la surcharge H’ (calculée par la théorie de

Prandtl pour surcharge normale à la surface

libre) s’exerçant au milieu de l:

3) Prise en compte de la cohésion:


DE BOUSSINESQ

lHC '.

'.' HKP a

le remblai en sable de la figure ci-contre est retenu par un mur de soutènement à

paroi verticale. il est mal drainé et il est complètement saturé.

Sachant qu’est appliquée sur le remblai une surcharge uniforme q=50KPa,

déterminer la force de poussée exercée sur le mur (δ=10°).

déterminer aussi les composantes normales et tangentielle de la force de poussée

Exercice n°1:

c’=0

φ=30°

γd=16KN/m3

γs=27KN/m3

V/ METHODE DE COULOMB

Mise au point par Coulomb en 1773,

cette méthode (la plus ancienne)

permet de déterminer les forces de

poussée et de butée limites s’exerçant

dans le sol derrière un écran

quelconque sans considération de

l’état des contraintes dans le sol

derrière le mur.


La méthode de Coulomb repose sur des hypothèses très différentes de celles de

Boussinesq.

Le principe de la méthode repose sur:

L’ouverture d’une fissure au remblai,

suivant une surface plane passant par le

pieds de l’écran, lors de la rupture La

ligne de glissement est une droite.

La séparation d’une masse de sol qui suit

le mur dans son déplacement

La force agissante sur l’écran a une

direction connue l’angle de frottement

δ entre l’écran et le sol est connu.

La méthode repose sur l’étude de l’équilibre d’un prisme à base

triangulaire: c’est le coin de Coulomb

La théorie du coin de Coulomb

s’applique aux milieux pulvérulents,

pesants et surchargés. Elle est moins

satisfaisante que la théorie de

l’équilibre limite puisqu’elle ne

considère qu’une surface de rupture

plane. Cependant, elle a retrouvé un

regain d’intérêt pour une raison

totalement matérielle.


Cette méthode consiste à étudier l’équilibre du prisme limité par un plan

incliné. Le prisme est soumis à son poids W, à la surcharge éventuelle q, à la

réaction R inclinée de –φ (poussée) et de +φ (butée) et à la réaction de

l’écran –Fa ou –Fp inconnue mais d’inclinaison δ.

Fa

Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottement

interne φ. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle θ

avec l’horizontale.

1) Principe de la méthode:


En chaque point M du plan de

rupture s’exerce une contrainte ζ

faisant l’angle φ avec la normale

au plan est située d’un coté ou de

l’autre de cette normale, suivant

que le massif est en poussée ou

en butée. Donc la réaction totale

R du sol sur ce plan de rupture

fait avec la normale à ce plan

l’angle φ.

le calcul de la force agissante sur le mur consiste à considérer l’équilibre statique

des forces agissantes sur le coin de sol ABC. Ces forces sont:

le poids W;

la réaction R exercée par le mur sur le plan de rupture AC;

La force F exercée par le mur: inclinée de l’angle δ sur la normale au

parement du mur; cette force est notée Fa ou Fp selon que la force de réaction est

inclinée de +φ ou de –φ sur la normale au plan de rupture avec l’horizontale.

1) Principe de la méthode:


On détermine ainsi la valeur de la force

F en fonction de l’angle θ que fait le

plan de rupture avec l’horizontale. La

méthode de Coulomb consiste à

prendre le maximum F+ ou le minimum

F- de F(θ) pour calculer Fa ou Fp: dans

les deux cas on a:0

)(

d

dF

Le diagramme des forces appliquées sur le coin ABC donne, dans le cas de la

poussée:

Avec:

2) Calcul: milieu pesant, non surchargé


)sin(

)sin(

WF

)sin(

)sin().sin(

2

1 2

lW

Pour trouver l’orientation

du plan de rupture, il faut

déterminer le maximum de

F+, c’est-à-dire chercher

la valeur de θ qui vérifie:

0)(

d

dF

2) Calcul: milieu pesant non surchargé


La force de poussée est:

Avec:

La force de butée a, de même, pour expression générale:

Avec:

2

2

1lKF aa

2

2

)sin().sin(

)sin().sin(1)sin(

)(sin

aK

2

2

1lKF pp

2

2

)sin().sin(

)sin().sin(1)sin(

)(sin

pK

)sin()sin(

)sin()sin(

)sin(

1)cot(cot

arca

2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale

et δ=0:

Cas de la poussée:


?aK

Cas de la poussée:

Avec:

2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale

et δ=0:


)tan()cos(

)sin(

WWF

cot2

1 2HW

On cherche le maximum de F:

Le maximum a lieu pour Ce qui correspond à:

La valeur de la force de poussée Fa est alors:

)(cos

cot

sin

)tan(

2

1)(22

2

H

d

dF

)tan(cot2

1 2 HF

0)(cossin

)(2sin2sin

4

122

2

H

24

24tan2

aK

24tan

2

1 22 HFa

Cas de la poussée:

2) Calcul: milieu pesant non surchargé (Formule de Poncelet):


2..2

1lKF aa

2

2

)cos().cos(

)sin().sin(1)cos(

)(cos

aK

2

2

)cos().cos(

)sin().sin(1)cos(

)(cos

pK

2..2

1lKF pp Cas de la butée:

)cos()sin(

)cos()sin(

)cos(

1)tan(cot

arca

2

Cas de la poussée:

2) Calcul: milieu non pesant, surchargé:


lqKF aqaq ..

)cos(

a

aq

KK

lqKF pqpq ..Cas de la butée:

)cos(

p

pq

KK

Fa

VI/ METHODE DE CULMANN

Lorsque les conditions géométriques

ne permettent pas de déterminer

analytiquement la force de poussée

ou de butée, on utilise alors la

méthode graphique de Culmann.

on détermine, grâce au graphique de la

résultante générale des forces appliquées

(Wi, Ri, Fi), la force correspondante Fi

exercée sur le parement du mur. Pour cela:

La masse de sol derrière le mur est

subdivisée en une succession de coins.

Pour chacun de ces coins, délimité par un

plan de rupture passant par le point B au

pied du mur et incliné de l’angle θi sur

l’horizontale, on reporte:

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN

les poids Wi des différents coins sur un axe BX faisant l’angle φ avec la direction

horizontale;

les forces Fi qui sont tracées à partir des extrémités des Wi, parallèlement à l’axe BY

faisant l’angle (δ+η) avec l’axe BX .

Les extrémités des forces Fi sont sur les plans de rupture inclinés de θi (constituent la

ligne de Culmann).

Le point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe BX correspond à la

valeur maximale de F, soit à la poussée limite Fa, et détermine le plan de rupture

le plus dangereux, incliné de l’angle θa sur l’horizontale.

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN

METHODES DE COULOMB ET CULMANN

1) Avantages et cas d’utilisation

Méthode simple

Prise en compte de configurations compliquées facile à résoudre

graphiquement (massifs non rectilignes, surcharges non uniformes,

forces d’écoulement,…)

Bons résultats en poussée pour des écrans peu inclinés.

2) Inconvénients et cas de non utilisation

Théoriquement insuffisante (surface de rupture rectiligne)

Inclinaisons marquées (les poussées sont sous-estimées)

Inexactes dans le cas de la butée ( grandes courbures dans les lignes

de rupture).

VII/ CAS PRATIQUES

1) Massif stratifié:

VII/ CAS PRATIQUES

1) Massif stratifié: Remarque

A la limite de deux couches; par exemple au

point A, la contrainte peut être différente selon

que le point A est considéré:

comme étant situé à la base de la couche i-1

de caractéristiques ci-1 et φi-1 (point A-)

ou comme étant situé en tête de la couche i

de caractéristiques ci et φi (point A+).

Il est donc indispensable de considérer

séparément les points A- et A+ pour établir le

diagramme de pression des terres.

Le calcul conduit à des discontinuités parfois importantes. Dans la

pratique, de telles discontinuités ne sauraient exister de façon brutale.

VII/ CAS PRATIQUES

2) Massif à nappe d’eau

La présence d’une nappe d’eau dans le

massif de sol implique la superposition de:

l’action de la poussée du sol immergé;

la poussée hydrostatique de l’eau;

Remarque: la poussée de l’eau sur les ouvrages est considérable; c’est

pour cette raison que, dans les murs on prévoit toujours des systèmes de

drainage et des évacuations (barbacanes) pour éviter la mise en pression

hydrostatique. Beaucoup d’accidents survenus sur des ouvrages de

soutènement proviennent du mauvais fonctionnement du système de

drainage (du au colmatage par exemple).

chapitre ii-poussée et butée - finale - copie.doc

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