chapitre ii-poussée et butée - finale - copie.doc(1)

8/20/2019 Chapitre II-Poussée Et Butée - Finale - Copie.doc(1)

1/87

- GEOTECHNIQUE II -

Chapitre II :POUSSEE ET BUTEE

2ème génie civil

ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS


2/87

I/ TERRES AU REPOS

Soit un massif de sol homogène à surface horizontale.Si le sol n’est pas soumis à un déplacement latéral (εh=0), il se trouve dans unétat initial qui dépend de son histoire géologique, on nomme cet état : pousséedes terres au repos (sans déplacement).

Pour définir l’état des terres au repos, on relie la contrainte effective horizontale

ζ’h0 à la contrainte effective verticale ζ’v0=γ’z par le coefficient de pression desterres au repos K 0

Géotechnique II

0'' 00 vh K


3/87

I/ TERRES AU REPOS

Le coefficient des terres au repos pourrait être déterminé expérimentalement àl’aide de l’appareil triaxial:

Géotechnique II

v

h K

'

'0

Coefficient des terres au repos:


4/87

I/ TERRES AU REPOS

La valeur de K 0 varie suivant le type du sol. Elle est donnée, de façonapproximative, au tableau suivant :

Pour les sols pulvérulents et les sols fins normalement consolidés, on pourrautiliser la formule simplifiée de JAKY si le terre plein est horizontal :

Géotechnique II

'sin10 K


5/87

I/ TERRES AU REPOS

S’il existe un talus de pente β, la valeur de K 0, avec la même définition, sera :

Par rapport aux sols normalement consolidés, la valeur de K 0 augmente pour

les sols surconsolidés. D’autant plus que le coefficient de surconsolidation R OCest important. On pourra utiliser la relation suivante :

Avec :

Géotechnique II

)sin1(00 K K

2/1

0 )'sin1( OC R K

0'

'

v

p

OC R


6/87

II/ NOTION DE POUSSEE ET DE BUTEE

Soit un massif de sol homogène à surfacehorizontale, maintenu par un écran, et soit Fl’effort nécessaire pour maintenir l’écranimmobile.

Si l’effort F est relâché, il y a un léger déplacement Δ de l’écran.

Si le déplacement est important; il y a rupture dusol derrière l’écran (éboulement) par formation desurfaces de glissement.

Géotechnique II

1) Cas actif: équilibre de poussée

La rupture correspond àl’équilibre de poussée ouactif: le sol agit surl’écran


7/87


Soit un massif de sol homogène à surfacehorizontale, maintenu par un écran, et soit Fl’effort nécessaire pour maintenir l’écranimmobile.

Si l’effort F est augmenté, i l y a un léger déplacement Δ de l’écran.

Si le déplacement est important; il y a rupture dusol derrière l’écran (refoulement) par formation desurfaces de glissement.

Géotechnique II

2) Cas passif: équilibre de butée

La rupture correspond àl’équilibre de butée oupassif: le sol subitl’action de l’écran


8/87


pour qu’il y est équilibre de poussée ou de butée,il faut qu’il y est déplacement, grossièrement, de:

l’ordre de H/1000 pour mobiliser la poussée(pour H=10m, il faut un déplacement Δa=1cm)

Supérieur à H/100 pour mobiliser la butée (pour H=10m, il faut un déplacement Δ p=10cm).

Géotechnique II

3) Déplacements nécessaires pour atteindre les équilibres limites


9/87


Lors de l’expansion latérale (Le sol pousse sur l’écran), la contrainte ζ’v0reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 diminue, jusqu’à ceque le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour unecontrainte horizontale: ζ’a.

C’est l’équilibre actif ou de poussée.

Géotechnique II

4) Équilibres limites en contraintesa) équilibre limite actif ou de poussée

Remarque: ζ’v reste la contrainte principale majeure.


10/87


Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planesdont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe

intrinsèque.

Géotechnique II

4) Équilibres limites en contraintesa) équilibre limite actif ou de poussée: plans de rupture


11/87


Lors de la contraction latérale (L’écran pousse sur le sol), la contrainte ζ’v0reste constante et la contrainte horizontale initiale ζ’h0 augmente, jusqu’à ceque le cercle de Mohr devienne tangent à la courbe intrinsèque pour unecontrainte horizontale: ζ’ p.

C’est l’équilibre passif ou de butée.

Géotechnique II

4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée

Remarque: ζ’v devient la contrainte principale mineure.


12/87


Les plans de rupture constituent un réseau de surfaces de glissement planesdont l’inclinaison est donnée par les points de contact avec la courbe

intrinsèque.

Géotechnique II

4) Équilibres limites en contraintes b) équilibre limite passif ou de butée: plans de rupture


13/87

A NOTER:

On admet que les ouvrages de soutènement sont susceptibles de se déplacersuffisamment pour qu’apparaissent dans le sol des lignes de glissementcorrespondant à l’équilibre plastique.

Géotechnique II

Cette hypothèse estpratiquement toujours vérifiéepuisque les déplacementsnécessaires pour passer de l’état

de pression au repos à l’état depoussée sont faibles(Δa=H/1000).


14/87

Les sols contenus par les ouvrages de soutènement sont: pesants généralement cohérents peuvent supporter des surcharges

La force de poussée est obtenue en superposant les trois états d’équilibre plastique: Pesant, non cohérent, non surchargé Non pesant, non cohérent, surchargé Non pesant, cohérent, non surchargé

1) Principe de superposition

A NOTER:


15/87

III/ RUPTURE DES MASSIFS SEMI-INFINIS -EQUILIBRE DE RANKINE

La théorie de Rankine repose sur les hypothèses suivantes: le sol est isotrope la présence de discontinuité (écran, mur) ne modifie pas la répartition descontraintes verticales.

1) Coefficients de poussée et de butée


16/87


1) Coefficients de poussée et de butée• la contrainte de poussée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par lecoefficient de poussée K a :

• la contrainte de butée est reliée à la contrainte verticale ζ’v0 par lecoefficient de butée K p :

0'.' vaa K

0

''v p p

K


17/87


Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:

2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'0γ

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 3

2

1

c

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 1

2

3

c

- Trouver les coefficients de poussée K a et de butée K p.


18/87


Coefficient de poussée K a:

Coefficient de butée K p:

2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:

0q

0c'0γ

3

1

'..'

'.'

z K

z

aa

v

2

'

4tan

2 a K

1

3

'..'

'.'

z K

z

p p

v

2

'

4tan

2 p K

État de poussée État de butée


19/87


La distribution des contraintes sur un écran plan varie linéairement avec z:

La force de poussée résultante est:

z K aa ..

H

aa dz z K F 0

...

2..

2

1 H K F aa

La force de poussée s’exerce autiers inférieur de H.

2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:


20/87


Rappel: La relation entre contraintes principales à la rupture est:

2) Massif horizontal b) Milieu non pesant, non cohérent, surchargé:

0q

0c'0γ

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 3

2

1

c

2

'

4tan'2'

2

'

4tan' 1

2

3

c

- Trouver les coefficients de poussée K aq et de butée K pq.


21/87


Coefficient de poussée K aq:

Coefficient de butée K pq:

2) Massif horizontal b) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:

0q

0c'0γ

3

1

'.'

''

q K

q

aqa

v

2

'

4tan

2 aq K

1

3

'.'

''

q K

q

pq p

v

2

'

4tan

2 pq K


N.B: la surcharge q a une valeur constante, indépendante de la profondeur.


22/87


La distribution des contraintes sur un écran plan est uniforme:


q K aqa .

H

aqaq dz q K F 0

..

H q K F aqaq ..

La force de poussée s’exerce au milieu de H.

2) Massif horizontala) Milieu pesant, non cohérent, surchargé:


23/87


Rappel: Théorème des états correspondants

2) Massif horizontalc) Milieu non pesant, cohérent, non surchargé:

0q

0c'0γ

- L’état du sol vis-à-vis de la rupture est identique dans les deux cas.

a: la courbe intrinsèque d’un sol cohérent

(c’#0 et φ’#0) avec 2 cercles de Mohr:C1 (en équilibre limite)

C2 ( en équilibre surabondant).

b: la courbe intrinsèque d’un sol pulvérulent (c’=0 et φ#0) de même anglede frottement interne que le sol précédent:

C1 et C2 sont obtenues par translation égale à:

'tan

''

cOO


24/87


Rappel: Théorème des états correspondants (suite)


0q

0c'0γ

Un milieu cohérent peut être

transformé en milieu pulvérulentde même angle de frottementinterne, en appliquant autour dumassif une pression hydrostatiqued’intensité égale à c’/tanφ’.

Appliquer une translation c’/tanφ’ sur un

cercle de Mohr quelconque revient àappliquer une contrainte normalesupplémentaire d’intensité c’/tanφ’ sur chaque facette de chaque point.


25/87


Application du théorème des états correspondants:

- On suppose un milieu fictif pulvérulent (non pesant) chargé en surface: q=c’/tanφ’

- on applique le théorème des états correspondants pour passer au milieu réelcohérent on soustrait la pression hydrostatique d’intensité égale à c’/tanφ’.



0q

0c'

0γ

- Trouver les contraintes de poussée et de butée ζ’a et ζ’p.


26/87


En équilibre de poussée:


'tan

'.'

'tan

''

c K

c

ah

v

0q

0c'

0γ

Milieu fictif (non cohérent) Milieu réel(cohérent)

'tan

'''

'tan

'''

c

c

hh

vv

'tan

').1('

c

K ah

ah K c'.2' traction


27/87


En équilibre de butée:


'tan

'.'

'tan

''

c K

c

ph

v

0q

0c'0γ

Milieu fictif (non cohérent) Milieu réel(cohérent)

'tan

'''

'tan

'''

c

c

hh

vv

'tan

').1('

c

K ph

ph K c'.2' compression


28/87


Superposition des trois états:

2) Massif horizontald) Cas général: milieu pesant, cohérent, surchargé

0q

0c'

0γ

aah K cq z K '.2)..('

q

K

c z

a

c '2

Traction jusqu’à:

p ph K cq z K '.2)..('

En équilibre de poussée:

En équilibre de butée:


29/87

Exercice:

Nous avons une tranchée de 5m de profondeur à creuser dans undépôt argileux. La résistance moyenne en compression simple estde 44 KPa et la densité du matériau est de γ=16 KN/m3 .

1) Calculer et tracer le diagramme de pression des terres requis

pour le design du mur de soutènement à court terme.

1) Calculer également la force résultante et commenter le résultat.


30/87


2) Massif inclinéa) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'0γ

Contrainte géostatique:

Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontale. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottement interne φ et de poids volumique γ).

La contrainte géostatique qui s’exerce en un point M à une profondeur h, sur la facette parallèle à la surface libre est:

cos.. z


31/87

Conventionde signes:

-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.

φ’: angle de frottement interne du sol

θ: inclinaison du mur

β: inclinaison du massif

α: angle de frottement sol-écran

Massif de sol gauche Massif de sol droite



θα

θα


32/87


2) Massif incliné:a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'0γ

Etat de poussée:Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontaleen équilibre limite inférieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle de frottementinterne φ et de poids volumique γ).Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de poussée est linéaire:Avec K aγ coefficient de poussée:

2sin)2cos(.sin21.

)sin(

)cos(.sin

a K

sin

sinsin

r K T a ..

α

θ


33/87



0q

0c'0γ

Etat de poussée:L’inclinaison θ de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL est

constante tout le long du rayon vecteur est égale à:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan

α

θ


34/87


Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la

verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):


2

..2

1

l K F aa

La force de poussée s’exerce autiers inférieur de l.

2) Massif inclinéa) Milieu pesant, non cohérent, non surchargé:

r K T a ..

l

aa dr r K F 0

...

Faγ

θ

α


35/87



0q

0c'0γ

Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticaleLe long de la demi-droite verticale, la répartition des contraintes de poussée est

linéaire:

Avec K aγ coefficient de poussée:

cos... z K T a

cos.

coscoscos

coscoscos22

22

aa K K

α=β


36/87


Etat de poussée: cas particulier d’une facette verticale

La distribution des contraintes sur un écran plan vertical varie linéairementavec H (avec une inclinaison α=β):

La force de poussée résultante est: H

aa dz z K F 0

..cos..

2.cos..2

1 H K F aa

La force de poussée s’exerce au tiers inférieur de H.


cos... z K T a

0q

0c'0γ


37/87


2) Massif incliné:

a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'0γ

Etat de butée:Soit un massif semi-infini à surface libre inclinée de l’angle β sur l’horizontaleen équilibre limite supérieur. Le milieu est pulvérulent (d’angle defrottement interne φ et de poids volumique γ).Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de butée est linéaire:Avec K pγ coefficient de butée:

)2cos(.sin1.)sin(

)cos(.sin

p K

sin

sinsin

r K T p ..


38/87


2) Massif incliné

a) milieu pesant, non cohérent, non surchargé

0q

0c'0γ

Etat de butée:L’inclinaison α de la contrainte s’exerçant sur une facette portée par OL estconstante tout le long du rayon vecteur est égale à:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan


39/87


Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale

varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):

La force de butée résultante est: l

p p dr r K F 0

...

2..

2

1l K F p p

La force de butée s’exerce au tiersinférieur de l.


r K T p ..


40/87


2) Massif incliné:

a) milieu non pesant, non cohérent, chargé verticalement

0q

0c'0γ

Etat de poussée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de poussée est uniforme:Avec K aq coefficient de poussée:

)cos(

aaq

K K

q K T aq.

L’inclinaison de la contrainte de poussée

par rapport à la normale à OL est:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan

α

θ


41/87




La force de poussée résultante est: l

aqaq dr q K F 0

..

l q K F aqaq ..

La force de poussée s’exerce aumilieu de l.

2) Massif incliné:


0q

0c'0γ

q K T aq.

α

Faqθ


42/87


2) Massif incliné:


0q

0c'0γ

Etat de butée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, larépartition des contraintes de butée est uniforme:Avec K pq coefficient de butée:

)cos(

p pq

K K

q K T pq.

L’inclinaison de la contrainte de butée par

rapport à la normale à OL est:

)2cos(.sin1

)2sin(.sintan


43/87


Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la



pq pq dr q K F 0

..

l q K F pq pq

..

La force de butée s’exerce au milieu de l.

2) Massif incliné:


0q

0c'0γ

q K T pq.


44/87


2) Massif incliné:

a) milieu non pesant, cohérent, non surchargé

0q

0c'

0γ

Etat de poussée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la

répartition des contraintes de poussée est uniforme:Avec K ac coefficient de poussée:

)cos(.sin1

cos2

ac K

c K T ac.

L’inclinaison de la contrainte de poussée par rapport à la normale à OL est:

)(

Traction


45/87



verticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):La force de poussée résultante est:

l

acac dr c K F 0

..

l c K F acac ..

La force de poussée s’exerce au milieu de l.

c K T ac.

2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Fac


46/87


2) Massif incliné:


0q

0c'

0γ

Etat de butée:Le long d’une demi-droite OL faisant un angle θ avec la verticale, la

répartition des contraintes de butée est uniforme:Avec K pc coefficient de butée:

)cos(.sin1

cos2

pc K

c K T pc.

L’inclinaison de la contrainte de butée par rapport à la normale à OL est:

)(

Compression


47/87


Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison θ avec la verticale

varie linéairement avec r (avec une inclinaison α):La force de butée résultante est:

l

pc pc dr c K F 0

..

l c K F pc pc ..


c K T pc.

2) Massif incliné:


0q

0c'0γ


48/87

3) Insuffisance de la théorie de Rankine

Hypothèse de la théorie deRankine:

la présence d’un écran ne modifie pas larépartition des contraintes dans lemassif.


Inconvénient de la théorie de Rankine:

l’angle de la contrainte de poussée avec lanormale à l’écran dépend des conditionsgéométrique mais n’a pas la réalité physiqued’un angle de frottement sol-écran.

δ=α


49/87

δ#α

3) Insuffisance de la théorie de Rankine

Interaction sol-écran:

- le déplacement relatif du sol sur un écran rugueux frottement d’angle δ.


- l’angle de frottement sol-écran δ dépend de l’état de surface de l’écran et de lanature du sol: 0≤ δ ≤φ

- δ=0: écran parfaitement lisse (ex: palplanche métallique)

- δ=2φ’/3: surface rugueuse (ex: béton lisse)

- δ=φ: surface très rugueuse (ex: béton sous des fondations)

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES EQUILIBRE


50/87

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBREDE BOUSSINESQ

1) Théorie de Boussinesq:

(Boussinesq (1882) a amélioré lathéorie de Rankine en prenant

l’interaction réelle entre le sol etl’écran, c.à.d. en choisissant la valeurde l’angle de frottement δ sol-écran.

δ#α



51/87



a) Hypothèses

massif pesant, non cohérent et non surchargé; massif à surface plane.

écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)

La mise en équation du problème a donné unsystème d’équations différentielles non intégrablesexplicitement

résolution numérique de Caquot et Kérisel

Dans cet équilibre, Boussinesq considère une première zone ou on al’équilibre de Rankine se raccordant à une seconde zone ou il tient comptedes conditions aux limites sur l’écran.



52/87



b) Lignes de glissement

Deux équilibres à considérer:

Equilibre de Rankine: dans la zone entre surface

libre et plan de glissement passant par O. Equilibre de Boussinesq: dans la zone entre écranet plan de glissement passant par 0

Remarque: Pour la poussée etpour un écran pas trop incliné,les courbes de glissement sont, àpeu près, des lignes droites.

Etat de poussée

Etat de buée



53/87



c) Calcul des contraintes

Conventionde signes:

-Massif de sol à droite angles + dans le sens trigonométrique-Massif de sol gauche angles + dans le sens horaire.


λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif

δ: angle de frottement sol-écran

Massif de sol gauche Massif de sol droite



54/87



c) Calcul des contraintes

L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:

Poussée:

Butée:

r K T a ..

r K T p ..

K aγ

et K pγ

sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, λ , β/φ’ et δ/φ’


λ: inclinaison du mur β: inclinaison du massif

δ: angle de frottement sol-écran



55/87



c) Calcul des contraintes: table de Kérisel et Absi de K aγ et K pγ pour β=λ =0

K aγ et K pγ sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, λ , β/φ’ et δ/φ’



56/87

Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):


2..2

1l K F

aa

La force de poussée s’exerce au tiersinférieur de l.

r K T a .. l

aa dr r K F 0

...

Faγλ

δ


d) calcul des forces




57/87

Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec la verticalevarie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):


p p dr r K F 0

...

2..

2

1l K F p p

La force de butée s’exerce au tiersinférieur de l.

r K T p ..


d) Calcul des forces




58/87


2) Théorie de Prandtl:

a) Hypothèses

Théorie de Boussinesq Théorie de Prandtl

massif pesant, non cohérent et non

surchargé .

massif non pesant, non cohérent et

surchargé uniformément.massif à surface plane (inclinaison β) massif à surface plane (inclinaison β)

écran rugueux (angle de frottementsol-écran est δ)

écran rugueux (angle de frottement sol-écran est δ)

mise en équation du problème:

- système d’équations différentiellesnon intégrables explicitement:

résolution numérique de Caquotet Kérisel

mise en équation du problème :

- système d’équations différentiellesanalogues à celles régissant les équilibresde Boussinesq:

Intégration analytique possible



59/87




Les lignes de glissement est une juxtaposition de deux zones en équilibre deRankine reliées par une zone en équilibre de Prandtl.

L’évantail de Prandtl est unfaisceau de droites issues del’origine coupées par des

spirales logarithmiques



60/87




Équilibre de Rankine (leslignes de glissement sontconstituées de deux famillesde plans faisant entre euxun angle de π/2±φ)

Équilibre de

Rankine

Équilibre de Prandtl (les lignes de glissement sontconstituées:-d’une part, par des plans rayonnants passant par O-D’autre part, par des spirales logarithmiques.

Ω

O



61/87



c) Calcul des contraintes: cas de la poussée

Soient OT et OT’ les plans limitant les formesd’équilibre, on désignera par:

•

µ: l’angle• Ψ: l’angle• ε: l’angle

Le calcul conduit aux formules générales suivantes:

TOA'TOT

' BOT

1tan2

12 .'cossincoscossincos q K eqq a

sin

sinsin

sin

sinsin

22

1

22

1

22



62/87



c) Calcul des contraintes: cas de la poussée

Les conventions de signe relatives à α et δ sont données comme suit:



63/87



c) Calcul des contraintes: cas de la butée

Le calcul conduit aux formules générales suivantes:

1

tan2

12 .'

cossincos

cossincosq K eqq p

sin

sinsin

sin

sinsin

22

1

22

1

22

Les conventions de signe relatives à α et δ



64/87



c) Calcul des contraintes: coefficients de poussée

L’intensité de la contrainte agissant sur l’écran à la distance r du sommet O est:

Poussée:

Butée:

12 .' q K q a

12 .' q K q p

K’a et K’ p sont donnés par les tables de Kériselet Absi en fonction de: φ’, Ω, α et δ


α: obliquité de la surcharge q1δ: angle de frottement sol-écran

λ : inclinaison du mur β: inclinaison du massif

2

IV/ RUPTURE DES MASSIFS LIMITES - EQUILIBRE


65/87



c) Calcul des contraintes: tables de Kérisel et Absi

K’a et K’ p sont donnés par les tables de Kérisel et Absien fonction de: φ’ et δ pour Ω=π et α=0



66/87

Etat de poussée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):

La force de poussée résultante est: l

aaq dr q K F 0

..'

l q K F aaq ..'

La force de poussée s’exerce au milieu de l.

q K T a.'

δ

Faqλ



d) Calcul des forces:



67/87

Etat de butée:La distribution des contraintes sur un écran plan d’inclinaison λ avec laverticale varie linéairement avec r (avec une inclinaison δ):


p pq dr q K F 0

..'

l q K F p pq ..'


q K T p.'



d) Calcul des forces:



68/87

L’application du théorème des états correspondants consiste à appliquer une pression hydrostatique H’=c’/tanφ’ aux limites du massif.

La force de poussée résultante à prendre en compte est:Pc (traction): résultante de P et de C

L’écran, dans ce cas, est soumis à deux actions:1.action correspondant à H’: perpendiculaire

au mur et s’exerçant au milieu de l:

2.action de la poussée des terres sous l’effet dela surcharge H’ (calculée par la théorie dePrandtl pour surcharge normale à la surface

libre) s’exerçant au milieu de l:

3) Prise en compte de la cohésion:


l H C '.

'.' H K P a


69/87

le remblai en sable de la figure ci-contre est retenu par un mur de soutènement à paroi verticale. il est mal drainé et il est complètement saturé.

Sachant qu’est appliquée sur le remblai une surcharge uniforme q=50KPa,déterminer la force de poussée exercée sur le mur (δ=10°).

déterminer aussi les composantes normales et tangentielle de la force de poussée

Exercice n°1:

c’=0

φ=30°

γd=16KN/m3

γs=27KN/m3

V/ METHODE DE COULOMB


70/87


Mise au point par Coulomb en 1773,cette méthode (la plus ancienne)

permet de déterminer les forces depoussée et de butée limites s’exerçantdans le sol derrière un écranquelconque sans considération del’état des contraintes dans le sol

derrière le mur.



71/87


La méthode de Coulomb repose sur des hypothèses très différentes de celles de

Boussinesq.Le principe de la méthode repose sur:

L’ouverture d’une fissure au remblai,suivant une surface plane passant par le

pieds de l’écran, lors de la rupture Laligne de glissement est une droite.

La séparation d’une masse de sol qui suitle mur dans son déplacement

La force agissante sur l’écran a une

direction connue l’angle de frottementδ entre l’écran et le sol est connu.

La méthode repose sur l’étude de l’équilibre d’un prisme à base

triangulaire: c’est le coin de Coulomb



72/87

La théorie du coin de Coulombs’applique aux milieux pulvérulents,

pesants et surchargés. Elle est moinssatisfaisante que la théorie del’équilibre limite puisqu’elle neconsidère qu’une surface de rupture

plane. Cependant, elle a retrouvé unregain d’intérêt pour une raisontotalement matérielle.


Cette méthode consiste à étudier l’équilibre du prisme limité par un planincliné. Le prisme est soumis à son poids W, à la surcharge éventuelle q, à laréaction R inclinée de –φ (poussée) et de +φ (butée) et à la réaction del’écran – Fa ou – F p inconnue mais d’inclinaison δ.

Fa



73/87

Soit un mur de soutenant un massif de sol pulvérulent, d’angle de frottementinterne φ. On suppose que la surface de rupture est le plan AC faisant l’angle θavec l’horizontale.

1) Principe de la méthode:


En chaque point M du plan derupture s’exerce une contrainte ζfaisant l’angle φ avec la normaleau plan est située d’un coté ou del’autre de cette normale, suivantque le massif est en poussée ou

en butée. Donc la réaction totaleR du sol sur ce plan de rupturefait avec la normale à ce planl’angle φ.



74/87

le calcul de la force agissante sur le mur consiste à considérer l’équilibre statiquedes forces agissantes sur le coin de sol ABC. Ces forces sont: le poids W; la réaction R exercée par le mur sur le plan de rupture AC;La force F exercée par le mur: inclinée de l’angle δ sur la normale au

parement du mur; cette force est notée Fa ou F p selon que la force de réaction estinclinée de +φ ou de –φ sur la normale au plan de rupture avec l’horizontale.

1) Principe de la méthode:


On détermine ainsi la valeur de la forceF en fonction de l’angle θ que fait le

plan de rupture avec l’horizontale. Laméthode de Coulomb consiste à

prendre le maximum F+ ou le minimumF- de F(θ) pour calculer Fa ou F p: dansles deux cas on a:

0)(

d

dF



75/87

Le diagramme des forces appliquées sur le coin ABC donne, dans le cas de lapoussée:

Avec:

2) Calcul: milieu pesant, non surchargé

V/ O COU O

)sin(

)sin(

W F

)sin(

)sin().sin(

2

1 2

l W

Pour trouver l’orientationdu plan de rupture, il fautdéterminer le maximum deF+, c’est-à-dire chercher

la valeur de θ qui vérifie:

0)(

d

dF



76/87

2) Calcul: milieu pesant non surchargé

La force de poussée est:

Avec:

La force de butée a, de même, pour expression générale:

Avec:

2

2

1l K F aa

2

2

)sin().sin(

)sin().sin(1)sin(

)(sin

a K

2

2

1l K F p p

2

2

)sin().sin(

)sin().sin(1)sin(

)(sin

p K

)sin()sin(

)sin()sin(

)sin(

1)cot(cot

arca



77/87

2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale

et δ=0:Cas de la poussée:

?a K



78/87

Cas de la poussée:

Avec:

2) Calcul: cas simple d’un écran vertical, d’un massif horizontale

et δ=0:

)tan()cos(

)sin(

W W F

cot2

1 2

H W

On cherche le maximum de F:

Le maximum a lieu pour Ce qui correspond à:

La valeur de la force de poussée Fa est alors:

)(cos

cot

sin

)tan(

2

1)(22

2

H

d

dF

)tan(cot2

1 2 H F

0)(cossin

)(2sin2sin

4

122

2

H

24

24tan2 a K

24tan

2

1 22 H F a



79/87

Cas de la poussée:

2) Calcul: milieu pesant non surchargé (Formule de Poncelet):

2..2

1l K F aa

2

2

)cos().cos(

)sin().sin(1)cos(

)(cos

a K

2

2

)cos().cos(

)sin().sin(1)cos(

)(cos

p K

2..21 l K F p p Cas de la butée:

)cos()sin(

)cos()sin(

)cos(

1)tan(cot

arca

2



80/87

Cas de la poussée:

2) Calcul: milieu non pesant, surchargé:

l q K F aqaq ..

)cos(

aaq

K K

l q K F pq pq ..Cas de la butée:

)cos(

p pq K

K

Fa

VI/ METHODE DE CULMANN


81/87

Lorsque les conditions géométriquesne permettent pas de déterminer

analytiquement la force de pousséeou de butée, on utilise alors laméthode graphique de Culmann.

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN


82/87

on détermine, grâce au graphique de la

résultante générale des forces appliquées(W i , Ri , F i), la force correspondante F iexercée sur le parement du mur. Pour cela:

La masse de sol derrière le mur estsubdivisée en une succession de coins.

Pour chacun de ces coins, délimité par un plan de rupture passant par le point B au pied du mur et incliné de l’angle θi sur l’horizontale, on reporte: les poids Wi des différents coins sur un axe B X faisant l’angle φ avec la direction

horizontale;

les forces F i qui sont tracées à partir des extrémités des W i, parallèlement à l’axe BY faisant l’angle (δ+η) avec l’axe B X .

Les extrémités des forces F i sont sur les plans de rupture inclinés de θi ( constituent laligne de Culmann).

VI/ CONSTRUCTION DE CULMANN


83/87

Le point où la tangente à cette courbe est parallèle à l’axe B X correspond à la

valeur maximale de F , soit à la poussée limite F a, et détermine le plan de rupturele plus dangereux, incliné de l’angle θa sur l’horizontale.

METHODES DE COULOMB ET CULMANN


84/87

1) Avantages et cas d’utilisation

Méthode simple

Prise en compte de configurations compliquées facile à résoudregraphiquement (massifs non rectilignes, surcharges non uniformes,forces d’écoulement,…)

Bons résultats en poussée pour des écrans peu inclinés.

2) Inconvénients et cas de non utilisation

Théoriquement insuffisante (surface de rupture rectiligne)

Inclinaisons marquées (les poussées sont sous-estimées) Inexactes dans le cas de la butée ( grandes courbures dans les lignes

de rupture).

VII/ CAS PRATIQUES


85/87

1) Massif stratifié:

VII/ CAS PRATIQUES


86/87

1) Massif stratifié: Remarque

A la limite de deux couches; par exemple au point A, la contrainte peut être différente selonque le point A est considéré:

comme étant situé à la base de la couche i-1de caractéristiques c

i-1 et φ

i-1 (point A-)

ou comme étant situé en tête de la couche ide caractéristiques ci et φi (point A+).

Il est donc indispensable de considérer

séparément les points A- et A+ pour établir lediagramme de pression des terres.

Le calcul conduit à des discontinuités parfois importantes. Dans lapratique, de telles discontinuités ne sauraient exister de façon brutale.

VII/ CAS PRATIQUES


87/87

2) Massif à nappe d’eau

La présence d’une nappe d’eau dans lemassif de sol implique la superposition de:

l’action de la poussée du sol immergé;

la poussée hydrostatique de l’eau;

Remarque: la poussée de l’eau sur les ouvrages est considérable; c’estpour cette raison que, dans les murs on prévoit toujours des systèmes dedrainage et des évacuations (barbacanes) pour éviter la mise en pression

hydrostatique. Beaucoup d’accidents survenus sur des ouvrages desoutènement proviennent du mauvais fonctionnement du système dedrainage (du au colmatage par exemple).

chapitre ii-poussée et butée - finale - copie.doc(1)

Documents