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CHAPITRE IV : COMPORTEMENT D’INTERFACE

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CHAPITRE IV : COMPORTEMENT D’INTERFACE 1 INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIQUE SUR LE COMPORTEMENT D’INTERFACE--------- 143

1.1 MOYENS D’ÉTUDES DU COMPORTEMENT D’INTERFACE --------------------------------------------------- 143 1.1.1 Essais de cisaillement ------------------------------------------------------------------------------------- 144 1.1.2 Essais d’arrachement-------------------------------------------------------------------------------------- 146 1.1.3 Remarques sur les résultats fournis par ces dispositifs expérimentaux ----------------------------- 147 1.1.4 Comment caractériser la rugosité d’une surface ? ---------------------------------------------------- 149

1.2 PRINCIPAUX RÉSULTATS DES ÉTUDES EXPÉRIMENTALES -------------------------------------------------- 151 1.2.1 Influence de la rugosité sur le comportement global-------------------------------------------------- 151 1.2.2 Déplacement des particules------------------------------------------------------------------------------- 155 1.2.3 Épaisseur de la zone d’interface ------------------------------------------------------------------------- 157 1.2.4 Prise en compte de la géométrie de l’inclusion -------------------------------------------------------- 159

1.3 PRINCIPAUX RÉSULTATS DES ÉTUDES NUMÉRIQUES DISCRÈTES ------------------------------------------ 161 1.4 ÉTUDE PAR MILIEUX CONTINUS GÉNÉRALISÉS -------------------------------------------------------------- 165

1.4.1 Présentation des milieux continus généralisés --------------------------------------------------------- 165 1.4.2 Études des localisations de déformation et du comportement d’interface par les milieux continus généralisés------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 167

1.4.2.1 Étude des bandes de cisaillement ------------------------------------------------------------------------------168 1.4.2.2 Étude du comportement d’interface ---------------------------------------------------------------------------169

1.5 CONCLUSIONS BIBLIOGRAPHIQUES -------------------------------------------------------------------------- 171 2 SIMULATIONS NUMÉRIQUES D’ESSAIS DE CISAILLEMENT ------------------------------------- 173

2.1 DESCRIPTION DU MILIEU GRANULAIRE ---------------------------------------------------------------------- 173 2.1.1 Précisions concernant le contact linéaire élastique --------------------------------------------------- 174 2.1.2 Précisions concernant le contact de type Hertz -------------------------------------------------------- 175 2.1.3 Détermination des paramètres de la loi de Hertz------------------------------------------------------ 176

2.2 DESCRIPTION GÉOMÉTRIQUE ET PHYSIQUE DE L’INCLUSION ---------------------------------------------- 177 2.3 ESSAIS DE CISAILLEMENT ANNULAIRE----------------------------------------------------------------------- 178 2.4 EXPLOITATION DES ESSAIS DE CISAILLEMENT ANNULAIRE------------------------------------------------ 179

2.4.1 Au niveau global ------------------------------------------------------------------------------------------- 179 2.4.1.1 Évaluation de la répétabilité des simulations numériques --------------------------------------------------181 2.4.1.2 Concernant la vitesse de cisaillement -------------------------------------------------------------------------182 2.4.1.3 Vérification de l’élasticité---------------------------------------------------------------------------------------183

2.4.2 Au niveau local --------------------------------------------------------------------------------------------- 184 2.4.2.1 Le nombre de coordination -------------------------------------------------------------------------------------184 2.4.2.2 Le profil de déplacement et de rotation -----------------------------------------------------------------------184 2.4.2.3 Profil de porosité et évolution au cours de l’essai de cisaillement ----------------------------------------186 2.4.2.4 Répartition des orientations de contact------------------------------------------------------------------------186 2.4.2.5 La couche d’interface--------------------------------------------------------------------------------------------186

3 ÉTUDE DES PARAMÈTRES DE L’INCLUSION ---------------------------------------------------------- 188 3.4 PRÉSENTATIONS DES ESSAIS ---------------------------------------------------------------------------------- 188 3.5 RÉSULTATS CONCERNANT LES ÉTATS INITIAUX ------------------------------------------------------------ 188

3.5.2 Porosité ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 188 3.5.3 Nombre de contacts global et avec l’inclusion--------------------------------------------------------- 189 3.5.4 Orientation des contacts ---------------------------------------------------------------------------------- 190

3.6 RÉSULTATS CONCERNANT LE COMPORTEMENT GLOBAL -------------------------------------------------- 193 3.6.2 Influence du coefficient de frottement de l’interface -------------------------------------------------- 193 3.6.3 Influence de la hauteur du motif de l’inclusion -------------------------------------------------------- 194 3.6.4 Influence de l’angle du motif de l’inclusion ------------------------------------------------------------ 196


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4 ÉTUDE DES PARAMÈTRES DU MILIEU GRANULAIRE---------------------------------------------- 199 4.1 PRÉSENTATION DES ESSAIS ----------------------------------------------------------------------------------- 199 4.2 EFFETS DE LA GRANULARITÉ --------------------------------------------------------------------------------- 199

4.2.1 Sur les états initiaux --------------------------------------------------------------------------------------- 199 4.2.2 Sur le comportement d’interface ------------------------------------------------------------------------- 200

4.2.2.1 Module de cisaillement apparent G en petites déformations -----------------------------------------------201 4.2.2.1.1 Influence du pourcentage de grandes particules ---------------------------------------------------------201 4.2.2.1.2 Influence de la porosité de l’échantillon ------------------------------------------------------------------202 4.2.2.1.3 Influence de la hauteur relative de l’inclusion -----------------------------------------------------------203

4.2.2.2 Coefficient de frottement réel au pic --------------------------------------------------------------------------204 4.2.2.3 Épaisseur d’interface --------------------------------------------------------------------------------------------206

4.3 ÉTUDE DE L’INFLUENCE DE LA LOI DE CONTACT ----------------------------------------------------------- 207 4.3.1 Étude des états initiaux------------------------------------------------------------------------------------ 208

4.3.1.1 Porosité ------------------------------------------------------------------------------------------------------------208 4.3.1.2 Répartition des types de contact--------------------------------------------------------------------------------210 4.3.1.3 Répartition des raideurs moyennes selon les familles de contact------------------------------------------210 4.3.1.4 Orientation des contacts -----------------------------------------------------------------------------------------212 4.3.1.5 Conclusions sur les états initiaux ------------------------------------------------------------------------------213

4.3.2 Études des caractéristiques élastiques et de résistance au cisaillement ---------------------------- 213 4.3.2.1 Influence du coefficient de frottement interparticulaire µp-------------------------------------------------213 4.3.2.2 Influence de la linéarité ou non-linéarité de la loi de contact élastique-----------------------------------216

4.3.3 Conclusions------------------------------------------------------------------------------------------------- 218 5 APPROCHES D’HOMOGÉNÉISATION --------------------------------------------------------------------- 219

5.1 DESCRIPTION DES APPROCHES D’HOMOGÉNÉISATION ----------------------------------------------------- 219 5.1.1 Approche cinématique------------------------------------------------------------------------------------- 221

5.1.1.1 Milieu monodisperse anisotrope -------------------------------------------------------------------------------221 5.1.1.2 Milieu polydisperse isotrope------------------------------------------------------------------------------------222

5.1.2 Approche statique------------------------------------------------------------------------------------------ 223 5.1.2.1 Milieu monodisperse anisotrope -------------------------------------------------------------------------------223 5.1.2.2 Milieu polydisperse isotrope------------------------------------------------------------------------------------224

5.2 COMPARAISON AVEC LES RÉSULTATS NUMÉRIQUES ------------------------------------------------------- 225 5.2.1 Milieu monodisperse anisotrope ------------------------------------------------------------------------- 225 5.2.2 Milieu polydisperse isotrope------------------------------------------------------------------------------ 227

6 CONCLUSIONS DU CHAPITRE IV --------------------------------------------------------------------------- 229


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1 INTRODUCTION BIBLIOGRAPHIQUE SUR LE COMPORTEMENT D’INTERFACE

Le comportement d’interface entre le sol et une structure a fait l’objet de nombreuses études à la fois expérimentales et numériques. La première partie de cette introduction bibliographique présente succinctement les différents essais permettant l’étude de ce type de comportement, essais qui ont été mis en œuvre expérimentalement ou modélisés par des approches numériques continues ou discrètes. Puis, nous aborderons les résultats de ces études expérimentales ou numériques discrètes portant sur l’influence de la rugosité de l’inclusion sur le comportement d’interface, ainsi que la description du comportement macroscopique des particules permettant de déterminer une épaisseur de la zone d’interface. Enfin, nous conclurons sur des études numériques par milieu continu généralisé du comportement d’interface.

1.1 Moyens d’études du comportement d’interface L’étude des sols en cisaillement est classiquement mené par deux principaux essais : l’essai de cisaillement plan direct et l’essai triaxial. Ces essais ont pour objectif de déterminer les caractéristiques au cisaillement : l’angle de frottement interne et la cohésion à court ou long terme selon les conditions de drainage imposées. L’essai de cisaillement plan direct a l’avantage d’être facile d’emploi mais l’inconvénient de présenter des effets de bords importants et une répartition non homogène des contraintes. Tandis que l’essai triaxial permet une bonne connaissance de l’état de contrainte du massif cisaillé mais nécessite des précautions de mise en œuvre. Le comportement d’interface étant un comportement en cisaillement, ces essais classiques de cisaillement des sols ont naturellement fait l’objet d’aménagement permettant d’étudier le comportement d’interface entre le sol (généralement du sable) et une structure généralement en acier. Ces essais présentent les avantages et inconvénients inhérents aux essais dont ils sont issus. Notons toutefois, que l’essai triaxial ne se prête pas aisément à un aménagement pour l’étude du comportement d’interface sol-structure : Tejchman & Wu (1995) reprennent cet essai et propose le dispositif de la Figure IV - 1 où la structure en acier est disposée selon l’angle de frottement interne du sol étudié. Cet appareil de déformation plane présente l’avantage de fournir la connaissance de toutes les composantes des contraintes agissantes dans le plan de cisaillement. La grande majorité des études expérimentales et numériques porte sur les essais du type : cisaillement direct, simple ou annulaire (Schlosser & Guilloux 1981, Yoshimi & Kishida 1981, Hryciw et al. 1993, Hassan 1995 Evgin & Fu 1997, Kishida et al. 1987, Lerat et al. 1997).


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Figure IV - 1 : Essai de déformation plane pour l’étude du comportement sol-structure (d’après Tejchman & Wu 1995).

D’autre part, des essais plus spécifiques tel que les essais d’arrachement d’armatures ont été réalisés (Sartoris & Chambon 1999).

1.1.1 Essais de cisaillement

Les essais de cisaillement classiques destinés à la détermination des caractéristiques de résistance au cisaillement des sols ont fait l’objet d’aménagement pour l’étude du comportement d’interface. C’est le cas de la boîte de Casagrande pour laquelle la demi-boîte inférieure est remplacée par l’inclusion étudiée. La boite de cisaillement permet de mettre en évidence le phénomène plan. Il est possible de distinguer deux principaux essais : cisaillement plan direct ou simple, cisaillement annulaire.

L’essai de cisaillement direct (cf. Figure IV - 2) est un essai facile d’emploi donc couramment utilisé dans de nombreux travaux malgré les inconvénients que représentent les pertes de matière au cours de l’essai et la répartition non uniforme de la contrainte normale (Schlosser & Guilloux 1981, Yoshimi & Kishida 1981, Hryciw et al. 1993, Hassan 1995 Evgin & Fu 1997).

Figure IV - 2: Essai de cisaillement direct (d’après Yoshimi & Kishida 1982) Cet essai peut être réalisé selon trois chemins :

− Contrainte normale constante : la contrainte de confinement est maintenue constante au cours du cisaillement, la paroi supérieure pouvant se déplacer. Cet essai ne tient pas


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compte du phénomène de dilatance empêchée qui entraîne une augmentation de la contrainte normale.

− À volume constant : la contrainte normale appliquée varie au cours de l’essai, la hauteur de l’échantillon restant constante quant à elle. Ceci permet de tenir compte, en partie, du phénomène de dilatance empêchée, mais tout comme l’essai précédent ne permet pas décrire le comportement réel.

− Rigidité normale imposée : le comportement réel est situé entre les deux essais précédents, le chemin permettant de le simuler expérimentalement est le cisaillement direct à rigidité normale imposée. Le principe consiste à imposer une rigidité normale extérieure afin d’asservir les variations de contrainte normale au déplacement relatif normal selon la relation : ∆σ=K∆u afin de simuler la présence et le comportement de sol au dessus de la partie étudiée.

Les effets de bords sont importants comme l’a mis en évidence Hassan (1995), ainsi il est préférable de s’intéresser uniquement au comportement de la partie centrale pour s’en abstraire. D’autre part cet essai ne permet que de mesurer les déplacements globaux, sans distinction concernant la part de glissement et de déformation du sol (ce que permet l’essai de cisaillement simple).

Le cisaillement simple (Figure IV - 3) : contrairement à l’essai de cisaillement direct, les parois initialement verticales de la cellule s’inclinent au cours de l’essai. Ceci peut être obtenu soit par l’intermédiaire de plaques superposées huilées ou de membranes en caoutchouc. Hormis sa simplicité d’utilisation, l’avantage de ce type d’essai est de connaître la part de glissement dans le déplacement. Les principaux inconvénients sont la concentration de contrainte aux extrémités ainsi que les déplacements limités. Ce type d’essai a été mis en œuvre notamment par Kishida et al. (1987)

Figure IV - 3 : Essai de cisaillement simple (d’après Kishida et al. 1987) L’essai de cisaillement annulaire (Figure IV - 4) permet de s’affranchir des effets de bord et de s’abstraire des pertes de matière. D’autre part, il est possible de mettre en œuvre des sollicitations aux grands déplacements et pour des gammes de contraintes élevées. L’essai peut être réalisé à volume constant ou à contrainte normale constante. En revanche le principal inconvénient est une mise en œuvre difficile avec une procédure délicate. Il a notamment été mis en œuvre par Yoshimi & Kishida (1981) et Lerat et al. (1997) pour l’étude du frottement entre le sol et une structure.


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Figure IV - 4 : Essai de cisaillement annulaire (d’après Yoshimi et al. 1981)

1.1.2 Essais d’arrachement

Un essai d’arrachement à symétrie de révolution consiste en un cylindre de matériau sous pression radiale de confinement, avec en son centre une inclusion soumise à un effort de traction. Cet essai permet d’effectuer l’étude sur un domaine de déformation important, sans perte de matière et avec une bonne corrélation avec les essais in situ. Cependant, il présente une non homogénéité importante des contraintes le long de l’inclusion et ne permet pas l’observation des particules proches de l’inclusion.

Figure IV - 5 : Essai d’arrachement avec suivi de particules d’après Sartoris & Chambon (1999)

Afin de palier ce dernier point, les travaux de Sartoris & Chambon (1999) mettent en œuvre un essai d’arrachement en ne considérant qu’une demi inclusion (Figure IV - 5). La mise en

Échantillon de sable

Interface métallique

grains colorés

inclusion


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place d’une fenêtre de visualisation couplée à la présence d’une caméra permet de suivre l’évolution du champ de déplacement (sans les rotations). Un logiciel de traitement d’images détermine en temps réel la position du centre de gravité de tâches colorées (quelques grains étant préalablement colorés). La visualisation des particules proches de l’inclusion par le suivi de quelques particules marquées permet l’étude du champ de déplacement proche de l’inclusion au cours de l’essai. Notons que les essais d’arrachement mettent en jeu le comportement de l’inclusion elle-même. Ainsi il est important de garder à l’esprit la présence d’une déformation propre à l’inclusion lors de l’essai, ce qui n’est pas le cas dans des essais de cisaillement précédent.

Remarque :

Figure IV - 6 : Essai mis en œuvre par Marchal (1986) D’autres essais plus complexes à exploiter ont été mis en œuvre pour l’étude du comportement d’interface tels que celui de Marchal (1986) consistant en un essai de cisaillement direct dans lequel une inclusion est placée verticalement au milieu des deux demi-boîtes.

1.1.3 Remarques sur les résultats fournis par ces dispositifs expérimentaux

État de contrainte Thornton & Zhang (2001) ont étudié par des simulations numériques discrètes (TRUBAL) différents essais de cisaillement (biaxial, cisaillement simple et direct) à volume constant. Habituellement, l’état de contrainte est déterminé à partir des efforts subis par les parois contenant l’échantillon testé. Ces auteurs ont comparés cet état de contrainte à celui déterminé en considérant les contacts sur l’échantillon ou sur la zone cisaillée pour l’essai de cisaillement direct selon l’expression suivante :

IV - 1 ∑=σcontacts

jiij nFV2

où Fi : la composante de la force de contact selon l’axe i, nj : la composante j du vecteur normal au contact. Il apparaît dans le cas de l’essai de cisaillement direct (tenseur σij déterminé à partir des contacts dans la zone de cisaillement) que le coefficient de frottement mobilisé est surestimé de plus de 50% en considérant les efforts agissants sur les parois de la boîte de cisaillement.


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D’autre part, les résultats sont fortement influencés par la géométrie de la boîte et plus particulièrement par les dimensions des murs. De même pour l’essai de cisaillement plan à volume constant, il s’avère que les contraintes déterminées à partir des efforts subis par les parois ne reflètent pas l’état de contrainte interne du matériau cisaillé mais fournissent uniquement des informations sur le frottement moyen mobilisé par les murs.

Caractérisation du comportement d’interface Les différents essais détaillés précédemment permettent d’étudier le comportement d’interface de manière globale par l’observation de l’effort de cisaillement et de la déformation volumique en fonction du déplacement relatif sol-inclusion appliqué (cf. Figure IV - 7). Le comportement est caractérisé par la contrainte de cisaillement au pic et résiduelle (valeur post-pic), mais plus généralement par le coefficient de frottement au pic ou résiduel.

Figure IV - 7 : Résultats globaux obtenus par Uesugi et al. (1988) pour un essai de cisaillement direct plan.

Le coefficient de frottement est le rapport entre la contrainte de cisaillement et la contrainte normale. Deux types de coefficient de frottement peuvent être définis :

− µ coefficient de frottement « apparent » prend en considération la contrainte normale initiale appliquée et ne tient pas compte de son évolution au cours de la sollicitation,

− µ* coefficient de frottement « réel » prend en considération la contrainte normale réellement subie par l’inclusion.

Au cours de l’essai de cisaillement, le phénomène de dilatance empêchée entraîne une augmentation locale de la contrainte normale au niveau de l’inclusion. La valeur de cette contrainte n’est généralement pas accessible expérimentalement, ce qui explique que dans la plupart des études, seul le coefficient de frottement apparent est considéré. Il est également fait référence au rapport entre le coefficient de frottement au pic obtenu par un essai de frottement sol-inclusion, et un essai de cisaillement sur le sol lui-même. Le rapport entre le coefficient de frottement caractéristique du comportement d’interface et celui caractéristique du milieu granulaire noté E est défini par :

IV - 2 φ

µ=

φϕ

=tantan

tanE

Où φ est l’angle de frottement interne ϕ est l’angle de frottement caractéristique du comportement d’interface.


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Visualisation des déplacements des particules D’autre part, la majorité des essais ont fait l’objet d’aménagement afin de permettre la visualisation des particules dans une zone plus ou moins grande autour de l’inclusion (Uesugi et al. 1988, Yoshimi et al. 1981, Hassan 1995, Sartoris et al. 1999) permettant ainsi une étude locale (champ de déplacement, rotation, porosité …). Yoshimi et al. (1981) suivent ainsi le mouvement de particules (uniquement en translation) par rayon X durant un essai de cisaillement annulaire. Sartoris et al. (1999) lors d’un essai d’arrachement en laboratoire suivent le déplacement de particules colorées par traitement d’images numériques (les rotations ne sont pas prises en compte). Pour étudier la rotation des particules il est préférable de travailler sur des matériaux analogiques tels que les rouleaux de Schneebeli qui permettent, de par leurs dimensions, de suivre leur déplacement et rotation par marquage. Uesugi et al. (1988) suivent le déplacement d’une quarantaine de particules lors d’essai de cisaillement simple à l’aide de photos (cf. Figure IV - 7). Ceci leur permet de déterminer le profil de déplacement horizontal et vertical dans l’épaisseur de l’échantillon au cours de l’essai. Ce type d’observation de particules individuelles n’est pas sans poser des questions sur la représentativité des résultats obtenus en déplacement. En effet, pour pouvoir repérer ou marquer facilement les particules qui seront suivies durant l’essai, ces dernières ont généralement des dimensions supérieures à celles constituant le reste de l’échantillon, voire une géométrie différente. D’autre part, l’influence de la fenêtre de visualisation sur le comportement n’est pas clairement identifié.

1.1.4 Comment caractériser la rugosité d’une surface ?

L’étude du comportement d’interface nécessite la caractérisation de la rugosité de l’inclusion relativement aux particules du milieu, donc une définition différente de celle rencontrée en tribologie par exemple. Dans ce contexte précis d’étude du comportement d’interface sol/structure, la rugosité de surface de l’inclusion a été dans un premier temps caractérisée uniquement de manière qualitative, étant généralement qualifiée de nulle, faible ou forte. Cette rugosité est obtenue expérimentalement par collage de particules sur l’inclusion. La rugosité est alors d’autant plus forte que les particules collées sont de diamètre plus important que celui des particules constituant le sol testé. Cette rugosité qualitative à défaut d’être précise est définie par rapport aux caractéristiques géométriques du milieu granulaire (Hassan 1995, Baylac 2001). Yoshimi et al. (1981) propose de quantifier la rugosité par la caractéristique Rmax(L) correspondant à la distance verticale entre le point le plus haut et le point le plus bas de la surface sur une certaine distance L (Cf. Figure IV - 8). Cette rugosité n’est alors pas définie par rapport aux dimensions des particules du milieu. Les résultats de différentes études mettant en évidence l’influence importante des dimensions des particules du milieu sur le comportement global d’interface, Uesugi et al. (1986b.) proposent de définir la rugosité de la surface relativement aux dimensions des particules du milieu en contact avec l’inclusion. Cette rugosité normalisée Rn a l’expression suivante :

IV - 3 ( )

50

DLmaxn D

RR 50==

où : Rmax(L=D50) la distance entre le point le plus haut et le point le plus bas sur une longueur considérée L égale au diamètre moyen des particules (L=D50),


150

D50 diamètre des particules correspondant sur la courbe granulométrique du matériau granulaire à 50% en poids.

Figure IV - 8 : Définition de la rugosité normalisée Rn. Notons que ces études s’intéressent à des rugosités normalisées inférieures à 300.10-3. Il s’agit de rugosité surfacique qui ne mettent pas en jeu de géométrie propre à l’inclusion, les aspérités de la surface sont de l’ordre microscopique et sont donc nettement inférieures aux dimensions des particules en contact.

a) b)

Figure IV - 9 : a) Application de la rugosité normalisée au cas d’une inclusion nervurée b) Rugosité au sens de Paikowsky et al. (1995)

Dans le cas d’une inclusion nervurée où les aspérités sont du même ordre de grandeur que les particules, la notion de Rmax sur D50 n’a pas de sens si la nervure a une largeur plus importante que D50 comme illustré sur la Figure IV - 9a. Pour palier à ce problème, Paikowsky et al. (1995) définissent une rugosité de surface de manière différente (Figure IV - 9b). En effet, la rugosité maximale Rmax est fonction de l’angle entre le plan de mouvement de l’inclusion et le plan de contact entre la particule et l’inclusion.

IV - 4 ( )

2cos1DR 50

maxα−

=

ainsi, la rugosité normalisée (IV - 3) devient :

IV - 5 ( )

2cos1

DRR

50

maxn

α−==

Les études ont montré que le coefficient de frottement de l’interface augmente si la rugosité normalisée augmente (Kishida et al. 1987) pour une plage de rugosité normalisée de 0 à 100.10-3. Ainsi, on peut considérer que la rugosité normalisée définie par Uesugi caractérise l’état de surface de l’inclusion (au sens du coefficient de frottement d’une inclusion plane), tandis que la définition de Paikowsky est liée à une géométrie de surface de l’inclusion.

particule

D50

Rmax

Rmax H

D50

Motif de l’inclusion


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Il est clair que la définition de la rugosité est un problème ouvert, les deux définitions précédentes ne semblant pas être applicables de manière judicieuse à toutes les géométries envisageables comme il sera précisé au IV-2.2.

1.2 Principaux résultats des études expérimentales

Les études expérimentales eurent pour principal objet d’étudier l’influence sur le comportement global d’interface de :

− la rugosité de l’inclusion, − la densité du milieu, − la contrainte normale initiale, − la nature du milieu granulaire caractérisée par la dimension des particules, leur

forme plus ou moins angulaire, leur nature minérale, mais aussi de déterminer l’épaisseur de la zone d’interface mise en jeu.

Quelques chercheurs se sont intéressés plus particulièrement à l’influence de la dureté des inclusions sur le comportement global, citons O’Rourke et al. (1990) qui dans le cadre du comportement d’interface sol/polymère ont mis en évidence l’influence de la dureté de surface sur le glissement et la rotation des particules en contact avec elle. Le glissement des particules est favorisé par la dureté de la surface qui minimise les rotations des particules.

1.2.1 Influence de la rugosité sur le comportement global

Schlosser & Guilloux (1981) mirent en évidence par des essais d’arrachement que le comportement d’interface est influencé par trois principaux paramètres :

− La densité du milieu : le coefficient de frottement apparent est d’autant plus important que la densité du milieu augmente.

− La rugosité de l’inclusion (qui ici est encore une notion simplement qualitative : inclusion lisse ou crénelée) : le coefficient de frottement apparent au pic est d’autant plus important que l’inclusion est rugueuse. La valeur du coefficient de frottement apparent résiduel est proche de la valeur au pic si l’inclusion est rugueuse ou proche de la moitié de sa valeur au pic dans le cas d’inclusion lisse.

− La contrainte normale initiale : une diminution du coefficient de frottement apparent au pic accompagne une augmentation de la contrainte normale.


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Figure IV - 10 : Résultats d’essai de cisaillement annulaire de Yoshimi et al. (1981) Afin de mieux appréhender l’influence de la rugosité de l’inclusion sur le comportement d’interface, Yoshimi & Kishida (1981) menèrent des essais de cisaillement annulaire à contrainte de confinement constante avec suivi de particules en considérant six rugosités d’interface. Ceci leur permit de conclure que (Figure IV - 10) :

− La rugosité de surface n’affecte pas le comportement initial linéaire pour ce qui concerne la déformation volumique et le coefficient de frottement mobilisé au début de l’essai pour un sable dense. Ceci sera confirmé par des études ultérieures (Uesugi et al. 1986a, Hassan 1995). Gardons cependant à l’esprit qu’il s’agit de rugosité faible telle que Rmax<550µm pour des particules de D50=0.20mm (soit Rn=2.75 10-3).

− La rugosité de l’inclusion affecte le comportement au pic : le coefficient de frottement apparent au pic est d’autant plus important que la rugosité est importante. D’autre part le matériau devient dilatant pour une rugosité correspondant à une hauteur de même ordre de grandeur que les particules de l’échantillon cisaillé.

Uesugi & Kishida (1986a) par des essais de cisaillement simple poursuivirent l’étude de l’influence de la rugosité de l’inclusion, de la contrainte de confinement, ainsi que de l’état de surface des particules. Ils montrèrent ainsi que :

− La contrainte normale initiale ainsi que les dimensions des particules sont des facteurs négligeables pour le comportement d’interface.

− Le coefficient de frottement apparent au pic est limité supérieurement par le coefficient de frottement interne caractéristique du milieu considéré.

− Le coefficient de frottement apparent au pic n’est pas une fonction linéaire de la rugosité, mettant ainsi en évidence l’existence d’une rugosité critique au-dessus de laquelle le coefficient de frottement apparent au pic est constant (Figure IV - 11a). Ceci se justifie par le fait que pour une rugosité faible de l’inclusion, le glissement a lieu au niveau de l’interface, mais pour une rugosité plus importante, le glissement a lieu dans la masse des particules au dessus de l’interface, mettant ainsi en jeu le coefficient de frottement interne du matériau granulaire.

− Le coefficient de frottement au pic (tanϕ) satisfait l’équation IV - 6 conformément à Alimi (1978) cité par Bahloul (1990) :

IV - 6 φ≤ϕ≤φ tantantan5.0

où φ est l’angle de frottement interne.


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− La forme des particules intervient également, plus elles sont rondes plus le coefficient de frottement apparent est faible (confirmé notamment par Bahloul 1990).

La Figure IV - 11 met en évidence l’influence de la taille des différents sables testés sur le comportement global. La rugosité normalisée définie par Uesugi & Kishida (1986b) permet de tenir compte de la taille des particules vis-à-vis de la rugosité géométrique de l’inclusion (Figure IV - 11b). Ainsi, l’évolution du coefficient de frottement apparent au pic est une fonction linéaire, jusqu’à la valeur critique de la rugosité puis une constante.

a) b)

Figure IV - 11 : Évolution du coefficient de frottement au pic en fonction de : a) la rugosité Rmax (Uesugi & Kishida 1986a)

b) la rugosité normalisée et de la forme des particules (Uesugi et al 1986b) ( R : rayon moyen des particules)

Paikowsky et al. (1995) mirent en oeuvre un essai original de double cisaillement direct (Figure IV - 12) avec lequel ils étudièrent le comportement d’interface en s’intéressant à l’influence de la rugosité de l’inclusion, pour une gamme de rugosité normalisée importante (de 0 à 1 000.10-3).

Figure IV - 12 : Essai de cisaillement mis en œuvre par Paikowsky et al. (1995)


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Les auteurs mirent en évidence 3 types de comportement en fonction de la rugosité (Figure IV - 13) :

− une première zone de rugosité faible (surface lisse) pour laquelle le coefficient de frottement réel au pic est indépendant de la rugosité de l’inclusion et qui ne met pas en jeu de déformation volumique importante (absence de dilatance).

− une seconde zone qualifiée de rugosité intermédiaire, pour laquelle le coefficient de frottement réel au pic croît linéairement en fonction de la rugosité d’interface. Ici aussi la déformation volumique est faible.

− enfin, une troisième zone, rugosité forte (surface rugueuse), pour laquelle le coefficient de frottement au pic est indépendant de la rugosité, mais qui met en jeu de forte variation volumique. Le phénomène de dilatance est visible uniquement lorsque le cisaillement a lieu dans la masse de sol, c’est-à-dire uniquement lorsque l’inclusion est suffisamment rugueuse pour faire en sorte que le cisaillement ait lieu dans la masse.

On retrouve ici la notion de rugosité critique décrite par Uesugi & Kishida (1986a).

Figure IV - 13 : Évolution du coefficient de frottement réel (noté ici δ) en fonction de la rugosité normalisée (au sens de Uesugi et al. 1986b) d’après Paikowsky et al. (1995)

Hassan (1995) quant à lui mena une riche étude tant expérimentale que numérique du comportement d’interface par le biais d’essai de cisaillement direct à contrainte de confinement constante ou raideur constante. Une fenêtre dans la boite de Casagrande permit de surcroît une bonne étude des champs de déplacements des particules tant au centre de l’échantillon que près des bords de la boîte.


155

Figure IV - 14 : Influence de la rugosité et de la densité du milieu (Hassan 1995).

Un intérêt particulier fut porté à l’étude de la rugosité de l’inclusion obtenue par collage de sable sur les plaques d’acier, permettant ainsi de qualifier une rugosité nulle (pas de sable collé), une rugosité faible (les particules collées ayant des dimensions inférieures au milieu), une rugosité normale (même dimensions des particules), une rugosité forte (particules collées de plus grandes dimensions). Il confirma ainsi les résultats de Uesugi et al. (1986a et b) concernant l’influence de la rugosité sur le coefficient de frottement au pic, ainsi que sa non-influence sur le comportement initial élastique. D’autre part, le comportement global de l’interface est fonction de la rugosité de l’inclusion : en effet le comportement d’interface présente un pic en contrainte uniquement si l’inclusion est rugueuse. Ce pic est d’autant plus marqué que la rugosité est importante. La dimension des particules intervient sur le comportement d’interface, mais cela est surtout lié à la nature des grains utilisés pour les essais. En effet, dans le cadre de ces expériences, les particules les plus grandes sont de surcroît plus rondes, ceci favorisant leurs déplacements et rotation et minimise ainsi le coefficient de frottement au pic.

1.2.2 Déplacement des particules

Avant que le pic en contrainte ne soit atteint, la masse de sable se déforme uniformément avec un glissement faible au niveau de l’interface et une déformation volumique faible. Après que le pic en contrainte soit atteint, débute vraiment le glissement qui s’accompagne de déplacement désordonné important des particules proches de l’inclusion. Uesugi et al. (1988) complétèrent leurs études par des suivis de particules afin d’étudier le comportement microscopique au niveau de l’interface. Ainsi, ils mirent en évidence des déplacements et rotations importants dans une zone proche de l’inclusion. La Figure IV - 15 montre l’évolution du profil de déplacement vertical et horizontal dans l’échantillon au cours du cisaillement. Le glissement est faible dans la partie précédant le pic en contrainte (du point O au point A4 sur la Figure IV - 15) le milieu se déformant de manière uniforme :

− le profil de déplacement tangentiel est linéaire, égale au déplacement de l’inclusion pour les particules proches d’elle et nul pour les particules les plus éloignées,

Déplacement (mm)


156

− un déplacement vertical nul. Après le pic (du point A4 au point B4), le glissement apparaît (déplacement horizontal de la couche proche de l’inclusion inférieur au déplacement de cette dernière), les particules bougent de manière importante verticalement et horizontalement, accompagnées par des rotations si l’inclusion présente une rugosité de surface. Au contraire pour une surface lisse de l’inclusion, il y a uniquement glissement au niveau de l’interface. Les mouvements de particules mettent en évidence une zone de cisaillement au dessus de l’interface (uniquement si l’inclusion est rugueuse).

b)

a)

c)

Figure IV - 15 : Champ de déplacement d’après Uesugi et al. 1988 (inclusion rugueuse) : a) coefficient de frottement et déformation volumique au cours de l’essai,

b) profil du déplacement tangentiel au cours de l’essai, c) profil du déplacement normal au cours de l’essai.

Ces résultats furent notamment confirmés par les études expérimentales d’Hassan (1995). La Figure IV - 16a illustre le profil du déplacement des particules relativement au déplacement de l’inclusion (Wr=W-Uparticule avec W le déplacement de l’inclusion). Ainsi, les particules les plus éloignées de l’inclusion présentent un déplacement relatif Wr égal à l’opposé du déplacement de l’inclusion, signifiant une immobilité des particules au cours de l’essai. En revanche, les particules proches de l’inclusion présentent un déplacement relatif plus faible signifiant qu’elles suivent en partie le mouvement de l’inclusion, mais déplacement non nul mettant en évidence un glissement. D’autre part, Hassan (1995) étudia de manière quantitative le champ de rotation des particules. La Figure IV - 16 met en évidence des rotations très importantes (uniquement dans le cas d’une inclusion rugueuse) dans une zone proche de l’inclusion. Contrairement au champ de déplacement, les rotations sont nettement plus désordonnées.


157

Figure IV - 16 : Déplacement horizontaux et rotation pour différents déplacement de l’inclusion (W) (inclusion rugueuse, milieu dense) d’après Hassan 1995

L’étude de ces champs de déplacements et rotation permet de déterminer l’épaisseur de la zone d’interface comme nous le verrons au paragraphe 1.2.3.

Sartoris & Chambon (1999) par leurs essais d’arrachement avec suivi de particules mirent en évidence 4 phases du comportement d’interface qui permet notamment de définir la zone d’interface. La première phase, pour laquelle la contrainte tangentielle est inférieure à 85% de celle du pic, présente une déformation uniforme du massif. Puis, la seconde phase se manifeste à l’approche du pic de contrainte par une augmentation de la zone d’interface. La troisième phase, pour laquelle la zone d’interface n’augmente plus, présente une distorsion. Quatrième phase, le glissement est présent au niveau de l’interface, le sol ne présente plus d’évolution de la déformation.

1.2.3 Épaisseur de la zone d’interface

Des relations empiriques exprimant l’épaisseur de la zone d’interface en fonction des caractéristiques du milieu ont été proposées par différents auteurs. Tejchman & Wu (1995) cite la relation empirique de Wernick (1978) qui relie l’épaisseur D de la zone d’interface au déplacement vertical maximum vhmax ainsi qu’à la modification de la compacité initiale et finale γd et γcr par l’expression suivante :

IV - 7 ( )maxhcrd vDD +γ=γ

Mais cette relation ne tient pas compte de manière directe de la rugosité de la surface ni des dimensions des particules. Hassan (1995) détermina l’épaisseur de l’interface par les mouvements importants des particules qui y règnent (Figure IV - 16), son épaisseur est d’autant plus importante que la rugosité normalisée et le diamètre des particules le sont et qu’au contraire la densité du milieu est faible (Figure IV - 17). Cette épaisseur est de l’ordre de :

− 0 à 1 diamètre D50 pour une inclusion lisse, − 6 à 7 diamètres D50 pour une inclusion rugueuse (Rn de l’ordre de 740.10-3) en contact

avec un milieu lâche, − 4 à 5 diamètres D50 pour une inclusion rugueuse en contact avec un milieu dense.

(rotation)

Dis

tanc

e à

l’inc

lusi

on

Dis

tanc

e à

l’inc

lusi

on


158

Essai à contrainte normale constante (125 kPa)Essai à contrainte normale constante (50kPa)Essai à rigidité normale constante(k=50kPa/mm et contrainte normale de 50 kPa)

Figure IV - 17 : Influence de la rugosité standard sur l’épaisseur d’interface (Hassan 1995) pour D50=3.10mm et sable dense.

Lerat et al. (1997) étudièrent quant à eux le comportement d’interface à l’aide d’un essai de cisaillement annulaire (à volume ou pression constante) avec visualisation des particules proches de l’inclusion. Les résultats de leurs essais sont en accord avec les conclusions précédentes et leur technique de visualisation des particules au cours de l’essai permit d’évaluer l’épaisseur de la zone d’interface à :

− 0 à 1D50 dans le cas d’une inclusion lisse, − 6 à 8D50 dans le cas d’une inclusion rugueuse (Rn=303.10-3).

Lerat et al. (2000) par des essais de cisaillement annulaires sur des rouleaux de Schneebeli et sable d’Hostun conclurent que le meilleur moyen pour déterminer l’épaisseur de la zone d’interface est de considérer le profil des déplacements tangentiels (Figure IV - 18).

Figure IV - 18 : Champ de déplacement et rotation au cours de l’essai d’après Lerat et al. (2000).

Cette épaisseur de la zone d’interface est fonction de la rugosité de l’inclusion : − 0 à 1D50 pour une surface lisse, − 2 à 3D50 pour une surface de rugosité intermédiaire, − 6 à 8 D50 pour une surface rugueuse.


159

De plus, leurs résultats mettent en évidence une indépendance de l’épaisseur de la zone d’interface vis-à-vis de l’angularité des particules (même épaisseur pour du sable et des rouleaux de Schneebeli).

1.2.4 Prise en compte de la géométrie de l’inclusion

Il est notable que peu d’études se soient intéressées à des rugosités de surface importantes ou présentant des géométries propres. Hryciw & Irsyam (1993) se sont proposés d’étudier l’influence de la géométrie de l’interface par des essais de cisaillement plan mettant en jeu des inclusions présentant des nervures comme figurées sur la Figure IV - 19 (pour un diamètre moyen des particules de 0.55 mm).

Figure IV - 19 : Géométrie des inclusions étudiées d’après Hryciw & Irsyam (1993) Ils mirent ainsi en évidence que :

− La présence de nervure sur l’inclusion confère à celle-ci un comportement rugueux. Ainsi, le cisaillement prend place dans le milieu granulaire, le glissement le long de la surface de contact n’a pas lieu.

− Une zone passive (particules qui suivent le mouvement de l’inclusion en bloc) peut se développer entre deux nervures, ayant pour conséquence une augmentation de la résistance au cisaillement. Cependant, la création de cette zone passive est favorisée par certain type de géométrie (concrètement, des nervures carrées favorisent plus la présence de ces zones que des nervures trapézoïdales) (Cf. Figure IV - 20).

Figure IV - 20 : Zone passive entre deux nervures (selon Hryciw & Irsyam 1993) Plus récemment, Dove & Jarrett (2002) ont menés des essais de cisaillement direct afin d’étudier l’influence de la géométrie de l’inclusion. Cette étude très poussée considère une géométrie de la surface de l’inclusion caractérisée par la hauteur Rt, l’angle des nervures ∆a, ainsi que l’espace Sm entre elles (Figure IV - 21). Notons cependant que la hauteur des motifs de l’inclusion reste faible en ne dépassant pas la hauteur moyenne des particules considérées.


160

Figure IV - 21 : Géométrie des inclusions étudiées par Dove & Jarrett (2002)

Figure IV - 22 : Évolution de l’angle de frottement au pic en fonction de l’angle de l’aspérité de l’inclusion (Sr=0) d’après Dove & Jarret (2002).

: Rt

∆a :


161

Figure IV - 23 : Évolution du paramètre E (expression IV - 2)en fonction de la hauteur relative des motifs de l’inclusion et de l’espacement entre ces derniers d’après Dove &

Jarret (2002)

Il apparaît ainsi que :

− L’interface est d’autant plus résistante que l’angle de la nervure est importante, créant ainsi les zones passives décrite par Hryciw et al. (1993). Il apparaît qu’au delà d’un certain angle la résistance maximale est atteinte et ceci quel que soit l’espace entre les nervures (cf. Figure IV - 22).

− Comme déjà montré par Hryciw & Irsyam (1993) plus la hauteur de la nervure est importante plus le comportement global est résistant (Figure IV - 23).

− plus l’espace entre les nervures est important plus la résistance au pic est faible (Figure IV - 23).

1.3 Principaux résultats des études numériques discrètes Nous nous intéressons principalement aux études numériques discrètes qui permettent de suivre le déplacement de toutes les particules du milieu et ainsi d’obtenir une étude microscopique détaillée du comportement d’interface. Les codes de calcul numériques discrets étant relativement récents (depuis 1980), ces recherches numériques discrètes du comportement d’interface sont peu nombreuses.

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent dédié aux résultats d’études expérimentales, Hassan (1995) étudia le comportement d’interface par des essais de cisaillement direct expérimentaux et numériques via le code de calcul discret LMGC (contact régit par des lois de chocs) développé par J.J. Moreau et M. Jean (Jean 1999) (cf. Chapitre I-1.1.2.). La rugosité de l’interface est modélisée uniquement par le biais du coefficient de frottement particule/inclusion, l’inclusion est donc plate. Ces travaux aboutirent notamment aux conclusions suivantes :

− La mise en évidence de l’importance des rotations dans le mécanisme de réarrangement de la structure granulaire.

− L’influence de la contrainte normale initiale : plus celle-ci est importante, plus les déplacements horizontaux des particules le sont et moins la dilatance est importante.


162

Cependant, la contrainte normale initiale n’a que peu d’influence sur le coefficient de frottement au pic ou sur la rotation des particules dans la zone d’interface.

− La rugosité de l’inclusion est modélisée par le coefficient de frottement particule/inclusion. Plus ce dernier est important plus le coefficient de frottement au pic l’est ainsi que la dilatance.

− Les comparaisons entre les résultats expérimentaux et les simulations numériques discrètes, indiquent globalement les mêmes comportements et influences. Mais il apparaît que la modélisation de la rugosité de l’inclusion par le coefficient de frottement entre les particules et l’inclusion n’est pas satisfaisante. En effet, la dilatance et le coefficient de frottement au pic obtenus numériquement sont inférieurs aux résultats expérimentaux et le frottement global d’interface n’est que très peu influencé par le frottement paroi/particule.

− La Figure IV - 24 montre les résultats numériques et expérimentaux dans le cas d’une inclusion lisse et rugueuse. Il est important de garder à l’esprit les différences importantes qui existent entre les expériences et les simulations qui justifient les écarts observés : numériquement il s’agit de particules parfaitement cylindriques, avec une rugosité de l’inclusion plate modélisée par le coefficient de frottement, tandis qu’expérimentalement, il s’agit de grains de sable, la rugosité de l’inclusion étant obtenue par collage de particules sur une plaque.

− Il apparaît donc que pour modéliser correctement la rugosité de l’inclusion, le coefficient de frottement particule/inclusion doit obligatoirement s’accompagner d’une modélisation géométrique.

Figure IV - 24 : Comparaison résultats numériques et expérimentaux (Hassan 1995) :

a) inclusion lisse, b) inclusion rugueuse.

− Le frottement inter-granulaire a peu d’influence sur le frottement global, c’est le frottement particule/inclusion qui est prépondérant.

− D’autre part les rotations des particules obtenues numériquement sont trop importantes par rapport aux résultats expérimentaux(cf. Figure IV - 25 à comparer avec les rotations obtenues expérimentalement Figure IV - 16b). Ce dernier point se justifie par le fait que les particules de sables ne sont pas aussi parfaitement rondes que les particules cylindriques du code de calcul.


163

Figure IV - 25 : Profil des rotations dans l’épaisseur de l’échantillon (Hassan 1995), résultats numériques : a) inclusion lisse, b) inclusion rugueuse.

Zervos et al. (2000) étudièrent le comportement d’interface par le biais d’un essai de cisaillement annulaire simulé par le code de calcul LMGC. Ils portèrent leur attention sur le comportement local des particules et notamment sur l’évolution de la porosité. Il en ressort que la zone d’interface est caractérisée par :

− une augmentation locale de la porosité (liée à la dilatance), − une localisation des déplacements tangentiels et des rotations des particules qui

s’accompagne de surcroît d’une grande disparité de ces valeurs. Il est à noter que ces simulations numériques reprenaient pour certaines d’entre elles les conditions d’essais expérimentaux menés à l’ENPC/CERMES (Lerat 1995), et que les résultats numériques sont en bonne adéquation qualitativement avec les résultats expérimentaux.

Baylac (2001) a étudié le comportement d’interface par simulation discrète (PFC2D) via un essai de cisaillement direct. L’inclusion est constituée d’une succession de billes de taille constantes et plus ou moins grande vis-à-vis des particules constituant le milieu (de 0.25Dmax à 2Dmax). Ainsi, la rugosité de l’inclusion est due :

− au coefficient de frottement du contact particules/inclusion, − à la géométrie induite par les particules constituant l’inclusion.

Baylac (2001) obtient le même type d’évolution du coefficient de frottement au pic en fonction de la rugosité de l’interface que Uesugi et al. (1986b) et Paikowsky et al. (1995). La rugosité critique serait de l’ordre de 670.10-3, frontière entre une rugosité partielle et parfaite. (Figure IV - 26)


164

Figure IV - 26 : Évolution du coefficient de frottement au pic en fonction de la rugosité normalisée (d’après les résultats de Baylac 2001).

D’autre part, ces travaux montrent que : − La rugosité normalisée de l’inclusion n’influe pas sur l’épaisseur de la zone

d’interface. − Le nombre de coordination diminue aussi bien dans la zone d’interface que dans le

reste de l’échantillon. Cette diminution s’accompagne d’une stagnation de la porosité. Ceci semble contradictoire à priori, mais peut se justifier par la création de chemins de force de contact privilégiés qui, déchargeant des contacts, diminueraient le nombre de contact global.

− La zone d’interface est le siège d’une direction principale de forces de contact qui ne correspond pas à celle visible pour le reste de l’échantillon (cf. Figure IV - 27). Ceci est visible avant que le pic de contrainte ne soit atteint.

− Avant que le pic ne soit atteint, la structure granulaire reste globalement inchangée (porosité inchangée), c’est le réseau de force qui est modifié (direction principale, nombre de coordination qui diminue). Le pic marque une destruction locale de la structure granulaire.

Figure IV - 27 : Distribution angulaire des forces de contacts post-pic de contrainte d’après Baylac (2001).

Rugosité partielle Rugosité parfaite


165

1.4 Étude par milieux continus généralisés

1.4.1 Présentation des milieux continus généralisés

Les milieux continus classiques ne permettent pas d’étudier de manière satisfaisante le comportement d’interface, en effet ils ne peuvent modéliser les phénomènes de localisation des déformations. Afin de permettre ce type d’étude, ils ont fait l’objet d’aménagements conduisant à la définition de différents models réunis sous l’appellation de milieu continu généralisé dont font partie : les milieux de Cosserat, les milieux micropolaires, quasi-micropolaires, du premier gradient, second gradient, micromorphique etc. Le point commun à tous ces milieux est la présence d’au moins une longueur interne caractéristique (correspondant pour les milieux granulaires au diamètre moyen des particules) qui permet :

− d’obtenir une description du milieu qui soit indépendante du maillage lors d’implémentation dans des codes d’éléments finis,

− de déterminer une épaisseur pour les zones de localisation des déformations telles que les zones de cisaillement ou d’interface,

− de tenir compte des effets d’échelle. La création d’un milieu continu généralisé se fait en deux étapes :

1. Description de la cinématique (avec éventuellement des degrés de liberté supplémentaires pour les rotations) par un champ de déplacement et de rotation.

2. Détermination de la statique par application du principe des travaux virtuels.

Les champs de déplacement et de rotation sont des fonctions polynomiales (développement en série de Taylor) dont les variables sont les gradients de déplacement et de rotation, tels que :

IV - 9 ...ll

21l

...llu21luuu

nmk

nmj

njk,i

nmj

nj,i

ni

mi

nmk

nmj

njk,i

nmj

nj,i

ni

mi

+ω+ω+ω=ω

+++=

avec ljnm vecteur branche,

uim déplacement au point m correspondant au centre de la mieme particule,

uni,j gradient de déplacement au point n

La rotation ωm est composée pour partie d’une rotation de corps rigide et d’une rotation propre au point (si celle-ci est prise en compte dans l’approche). La cinématique du point de contact caractérisée par un déplacement unm et une rotation θnm est déduite de ces champs de déplacement et rotation :

IV - 10 ( )

ni

mi

nmi

nck

nj

mck

mjijk

ni

mi

nmi rreuuu

ω−ω=θω−ω+−=

Les déformations au point n tiennent alors compte de la déformation dans son voisinage :

IV - 11 ( )

[ ] ( )ni,j

nj,i

nj,i

nj,i

ni,j

nij

uu21u

uu21

−=

+=ε


166

où un[i,j] partie asymétrique des déformations (rotation de corps rigide en 2D).

Quand le degré de développement de la série de Taylor est suffisamment important, le milieu continu peut décrire avec beaucoup de précision le milieu discret. Le champ de rotation et des déplacements ne sont pas obligatoirement du même degré. Les différents types de milieu continu généralisé sont fonction des choix effectués concernant les degrés du développement des séries de Taylor et l’éventuelle prise en compte de degrés de liberté supplémentaires en rotation. Chang & Gao (1995) classent les milieux continus généralisés en deux grandes familles :

− High gradient continua : milieux continus généralisés construits en considérant des développements de degré supérieur à 1 pour les déplacements et/ou rotations. Dans le cas le plus général, le champ de rotation comprend à la fois la rotation de corps rigide et des rotations propres aux particules. De ces milieux font partie entre autres : les milieux micropolaires, les milieux de Cosserat, les high gradient non-polaire, théorie du second gradient, …

− First-gradient continua : milieux généralisés construits sur des développements au premier degré de série de Taylor pour les déplacements et rotation. Le cas le plus simple correspond au milieu continu classique. Cette famille contient de plus les milieux micropolaires, quasi-micropolaire… Les milieux de premier gradient micropolaire présentent un développement au premier ordre aussi bien du champ de déplacement que du champ de rotation. Ainsi, la rotation interparticulaire est-elle présente. Le milieu quasi-micropolaire quant à lui présente un champ des déplacements du premier ordre tandis que le champ des rotations (de corps rigide et particulaire) est homogène. Ainsi la rotation interparticulaire est-elle nulle, ce qui définit le milieu comme non micro-polaire. Cependant, la présence d’une rotation propre aux particules le définit comme quasi-micropolaire.

Pour un milieu continu classique, la rotation correspond uniquement à la rotation de corps rigide puisque la rotation propre des points est négligée. Ce champ de rotation est homogène ainsi la rotation interparticulaire est nulle. Le champ de déplacement est également homogène, le développement en série de Taylor est d’ordre zéro. Les déformations εij sont fonction des gradients au premier ordre des déplacements ui du point matériel, la rotation de corps rigide ωij dépend de la déformation d’ensemble :

IV - 12 ( )i,jj,iij uu21

+=ε ( )j,ii,jij uu21

−=ω

Le cas le plus simple des milieux micromorphiques correspond au milieu de Cosserat. Celui-ci est caractérisé par un champ de déplacement uniforme (degrés nul du développement en série de Taylor), et un champ de rotation de degrés deux (rotation de corps rigide avec présence d’une rotation propre aux particules). Ce dernier point confère une rotation interparticulaire non nulle, qui justifie la présence d’un moment au sein du matériau granulaire (cf. Figure IV - 28).


167

Figure IV - 28: Milieu continu de Cosserat : description de la cinématique et de la statique sur un élément en 2D.

Les déformations sont définies alors par deux tenseurs, le tenseur des déformations εij qui n’est plus symétrique et le tenseur des courbures κi correspondant au gradient des rotations :

IV - 13 ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω−−++=ε c

i,jj,ii,jj,iij uu21uu

21

et i

c

i x∂ω∂

=κ

La statique globale est décrite par le tenseur des contraintes σij et le tenseur couple de contraintes µi correspondant à des moments par surface.

La loi de comportement reliant les tenseurs statiques aux tenseurs cinématiques fait intervenir une longueur interne caractéristique de la microstructure. Les milieux de Cosserat sont particulièrement appropriés au milieu où les micro-mécanismes sont prépondérant dans le comportement macroscopique. C’est donc un modèle tout indiqué pour les milieux granulaires afin d’étudier la localisation des déformations ou le comportement d’interface, car la rotation des grains est un phénomène important. Les milieux de Cosserat, dont la théorie date de 1909 a fait l’objet depuis les années 1960 de nombreuses applications aux milieux granulaires. Citons plus particulièrement les études de Unterreiner (1994) sur le comportement d’interface. Remarque : l’approche théorique dite non locale se propose également de décrire un milieu continu en faisant intervenir une longueur interne dans la loi de comportement, permettant ainsi l’étude des phénomènes de localisation. Cependant, il ne s’agit pas à proprement parlé d’un milieu continu généralisé, ni micropolaire, puisqu’il n’y a pas de degrés de liberté supplémentaire introduisant une rotation. Dans cette approche les contraintes sont définies au point matériel en prenant en considération les déformations dans la région autour du point considéré par l’intermédiaire d’une intégration qui introduit donc une longueur interne. Ainsi, la contrainte en un point n’est pas une fonction de la déformation en ce point, mais de la déformation dans la région proche de ce point.

1.4.2 Études des localisations de déformation et du comportement d’interface par les milieux continus généralisés

Les différents modèles de milieu continu généralisé ont fait l’objet de diverses applications mettant en jeu des lois de comportement multiples, du simple cas d’élasticité linéaire au cas plus complexe d’hypoplasticité, élasto-plasticité avec écrouissage. L’implémentation de ces

x2

x1

x2

x1

u1

u2 ωc

P

P’ ωc

σ11

m1

σ21

σ22 m2

σ12


168

modèles dans des codes calculs éléments finis a permis l’étude des phénomènes de localisation par simulations d’essai biaxial (Zervos et al. 2001) et annulaire (Unterreiner 1994), enfoncement d’une fondation superficielle (Chang & Ma 1992), remplissage de silo (Tejchman 1998).

1.4.2.1 Étude des bandes de cisaillement Zervos et al. (2001) ont étudié le phénomène de localisation par simulation d’un essai biaxial avec un milieu continu selon la théorie de haut gradient plastique. Ils ont ainsi mis en évidence :

− la localisation de la bande de cisaillement, − l’indépendance de son épaisseur vis-à-vis du maillage, − que l’inclinaison de cette bande de localisation n’est pas fonction du maillage ni de

l’orientation des mailles, mais correspond comme il convient à 45°+φ/2 avec φ l’angle de frottement interne du matériau.

− l’épaisseur de cette bande de cisaillement est estimée à 56 diamètres moyens. (cf. Figure IV - 29)

Figure IV - 29 : Localisation de la bande de cisaillement pour un essai biaxial par un milieu de haut gradient plastique (d’après Zervos et al. 2001)

Tejchman & Gudehus (2001) étudient la bande de cisaillement dans un milieu granulaire par un milieu continu micropolaire de Cosserat avec une loi de comportement hypoplastique. Leur étude met en évidence :

− la capacité de cette approche à modéliser le phénomène de localisation des déformations dans la bande de cisaillement,

− la capacité à tenir compte de l’influence de la pression de confinement, de la densité initiale, des dimensions et de la rugosité des particules.

La Figure IV - 30 compare l’évolution des contraintes au cours de l’essai de cisaillement pour une modélisation par milieu continu classique et de Cosserat. Nous remarquons que :

− l’évolution des contraintes classique (σ11, σ22 et σ33) est sensiblement la même pour les deux approches.

− le tenseur des contraintes n’est plus symétrique en approche micropolaire, σ12 et σ21 ne présentant pas la même évolution.


169

Figure IV - 30 : Évolution des contraintes au cours d’un essai de cisaillement plan a) pour un milieu continu classique, b) pour un milieu de Cosserat hypoplastique.

(d’après Tejchman & Gudehus 2001)

La Figure IV - 31 illustre l’évolution des rotations, contraintes et moment contrainte dans l’épaisseur de l’échantillon cisaillé. Les rotations de Cosserat sont fortement localisées dans la zone de cisaillement et nulles dans le reste de l’échantillon. De la même manière, des discontinuités importantes des contraintes et des moments sont visibles dans la zone de cisaillement. Notons, que les contraintes sont non symétriques uniquement dans la zone de localisation des déformations, de même les moments sont non nuls uniquement dans cette zone.

Figure IV - 31 : Profil des variables de Cosserat : rotation, contrainte et couple contrainte (d50= 0.5mm et hs l’épaisseur de l’échantillon)

(d’après Tejchman & Gudehus 2001).

1.4.2.2 Étude du comportement d’interface Tejchman & Wu (1995) étudient le comportement d’interface entre le sable et l’acier expérimentalement par des essais de cisaillement direct afin d’analyser le rôle de la rugosité d’interface, de la densité du sable et des dimensions des grains sur le comportement global d’interface. D’autre part, ils confrontent ces résultats à des études numériques menées par éléments finis avec une approche de milieu continu de Cosserat considérant une loi de comportement élastoplastique. Les conditions aux limites concernent les rotations de Cosserat au niveau de la plaque d’acier permettant de simuler différentes rugosités d’interface. Leurs études mirent en évidence que :

− un modèle de Cosserat élastoplastique permet de décrire le phénomène de dilatance et de radoucissement post-pic.


170

− l’épaisseur de la zone d’interface en fonction de la rugosité de l’interface est cohérente avec les résultats expérimentaux : nulle pour une interface lisse, de 3 diamètres moyen pour une interface rugueuse à 15 particules pour une très rugueuse. Cette épaisseur est déterminée par le profil de rotation de Cosserat ωc dans l’épaisseur de l’échantillon (cf. Figure IV - 32).

− d’autre part, cette épaisseur est indépendante du maillage considéré (fin ou grossier).

a) b)

Figure IV - 32 : Effet de la rugosité de l’inclusion sur le profil de rotation a) interface très rugueuse, b) interface rugueuse

(diamètre moyen 0.5mm, d’après Tejchman & Wu 1995).

Unterreiner (1994) a étudié des cisaillements simple plan et annulaire pour l’analyse du cisaillement d’interface. Ces études ont été menées par une approche de Cosserat avec différentes lois de comportement : linéaire élastique isotrope, rigide parfaitement plastique, élastoplastique avec ou sans écrouissage. Il met ainsi en évidence que :

− la loi de comportement élastique linéaire ne fait pas intervenir de discontinuité de comportement dans l’épaisseur de l’échantillon, ne permettant pas de reproduire le phénomène de localisation des couches d’interface.

− la loi de comportement rigide parfaitement plastique pose le problème du choix des critères de ruptures qui influencent grandement les résultats en terme de comportement en cisaillement et épaisseur de la zone d’interface. Cependant, cette loi rigide parfaitement plastique permet de définir clairement la zone d’interface par une discontinuité (notamment du déplacement tangentiel) dans l’épaisseur de l’échantillon.

− la loi de comportement élastoplastique avec ou sans écrouissage ne permet pas de résolution analytique et implique obligatoirement l’utilisation de méthodes numériques (ici méthode des éléments finis).

De manière plus générale, il apparaît que : − l’épaisseur des zones de localisation est contrôlée par les longueurs internes

introduites par la loi de comportement. Cette épaisseur est d’autant plus importante que la rugosité d’interface l’est. La plasticité est un bon modèle qui permet de modéliser une zone d’interface délimitée par une discontinuité du comportement, des tenseurs de contraintes, des couples de contraintes et du gradient de déplacement tangentiel (cf. Figure IV - 33). Dans le cas plastique, l’épaisseur de la zone d’interface est fonction de la longueur interne, de la rugosité de surface (mesurée en terme de couple de contrainte) et du rapport des coefficients plastiques.

− les rotations s’amortissent plus rapidement que les déplacements dans de l’échantillon. L’épaisseur de la zone d’interface est déterminée par la discontinuité des déplacements


171

tangentiels et non par la présence de rotations importantes. Les rotations sont relativement faibles mais suffisamment importantes pour initier de forts déplacements près de l’interface.

− la zone d’interface est de 5 à 7 diamètres moyen, mais les rotations ne sont présentes que sur une épaisseur de 4 particules.

− les rotations n’interviennent que sur une très faible épaisseur (environ 2 diamètres moyen), ce qui est peu vis-à-vis de la zone d’interface d’au moins 4 diamètres moyens. De même, les contraintes antisymétriques n’existent que sur une épaisseur de deux particules, alors que les couples contraintes sont présents sur toute l’épaisseur de la zone d’interface (cf. Figure IV - 33). Les termes de Cosserat sont non nuls dans toute l’épaisseur de la zone d’interface. La réponse globale des essais au cisaillement simple plan sont très proches en milieu continu classique et de Cosserat. Les différences ne se font ressentir qu’au niveau local et plus particulièrement dans la zone d’interface.

Figure IV - 33 : Profil des rotations et des contraintes au sein d’un échantillon soumis à un essai de cisaillement annulaire avec loi élastoplastique avec écrouissage (d’après

Unterreiner 1994).

1.5 Conclusions bibliographiques Les études expérimentales et numériques ont permis de définir les principaux facteurs influençant ses caractéristiques ainsi que la zone d’interface en terme d’épaisseur. La zone d’interface n’existe que si l’inclusion est rugueuse. Dans le cas d’inclusion lisse, le glissement a lieu au niveau de l’interface ne perturbant quasiment pas la structure granulaire au dessus. La zone d’interface est le siège :

− De rotations importantes avec un écart type important, même si la rotation moyenne est nulle.

− De forts déplacements aussi bien normaux que tangentiels. − De dilatance post-pic, donc augmentation de la porosité qui n’est visible qu’une

fois le pic de contrainte atteint. C’est cette dilatance partiellement empêchée par la présence de sol au-dessus (contrainte imposée ou volume imposé par les essais) qui justifie une augmentation locale de la contrainte normale à l’interface. Ceci justifie de surcroît la définition d’un coefficient de frottement réel au pic qui tient


172

compte de la contrainte normale réelle, ce coefficient est donc plus faible que le coefficient de frottement apparent.

− De perte de contact et diminution du nombre de coordination : cette perte de contact n’est pas entièrement due à la dilatance mais également à la création de chemins de forces privilégiés qui annule des contacts initiaux (création d’anisotropie de contact). De plus les directions principales des forces de contact dans la zone d’interface ne correspondent pas à celles du reste de l’échantillon.

Les principaux facteurs influençant le comportement d’interface sont : − La rugosité de l’inclusion. Sous le vocable « rugosité », il faut distinguer deux

notions différentes. D’une part, une rugosité partielle qui peut se comprendre comme la caractéristique de frottement de la surface, elle est due à des aspérités de la surface de l’inclusion de dimension très inférieure à celle des particules. D’autre part une rugosité induite par une géométrie propre de l’inclusion. Le domaine de rugosité partielle a été pleinement étudié par le passé. Mais, nous ne pouvons que constater que, hormis ces toutes dernières années, peu de travaux ont pris en compte la géométrie de l’inclusion.

− La nature du milieu granulaire ainsi que sa densité, la forme et taille des particules.

Les approches numériques discrètes permettent de simuler le comportement global d’interface de manière réaliste vis-à-vis des résultats expérimentaux. Il est cependant nécessaire de garder à l’esprit que ces simulations discrètes se font majoritairement avec des particules cylindriques ce qui amplifie le phénomène de rotation des particules. D’autre part, les études numériques discrètes ont, elles seules, l’avantage de fournir des renseignements sur la structure granulaire d’interface, informations précieuses pour échafauder les hypothèses d’études théoriques d’homogénéisation. Cette introduction bibliographique met en évidence que, hormis ces toutes dernières années, peu de travaux se sont intéressés à des géométries propre de l’interface, la gamme de rugosité étudiée (expérimentalement ou numérique) restant généralement faible et restreinte. D’autre part, il est également intéressant de constater que la totalité des essais se sont intéressés à un sol sableux, voire parfaitement calibré et toujours sec. Ainsi, les travaux qui font l’objet de ce mémoire se proposent-ils d’étudier par une approche numérique discrète le comportement d’interface en s’intéressant à la rugosité géométrique de l’inclusion d’une part et également une granulométrie moins serrée, présentant des rapports de tailles importantes entre les grains.


173

2 SIMULATIONS NUMÉRIQUES D’ESSAIS DE CISAILLEMENT

Afin d’étudier le comportement d’interface entre le sol et une inclusion présentant une rugosité géométrique, des essais de cisaillement ont été simulés à l’aide du code de calcul discret PFC2D (cf. chapitre I§1.2 pour la présentation de ce code de calcul). La géométrie de l’interface est conférée par des motifs triangulaires de hauteur plus ou moins importante pouvant atteindre 10 fois la hauteur d’une particule. Dans un premier temps nous nous sommes attachés à simuler des essais de cisaillement direct, les principaux résultats de ces études peuvent être consultés dans Claquin & Emeriault (2001). Les effets de bords importants nous ont amenés à poursuivre nos études par des simulations d’essai de cisaillement annulaire. Ces essais ont pour but d’étudier l’influence respective sur le comportement global et local d’interface de :

− L’inclusion de part sa rugosité géométrique et intrinsèque, − Du milieu granulaire de part sa granularité, la loi de contact élastique linéaire ou

non linéaire et le coefficient de frottement interparticulaire.

2.1 Description du milieu granulaire Le milieu granulaire est selon les cas d’études monodisperse, bidisperse ou tridisperse, avec des rapports de taille entre les différentes familles de particules allant de 1 à 20. Les différents milieux granulaires pris en compte dans les différentes simulations ont été présentés en détails dans le Chapitre II §3-1. Les deux figures suivantes rappellent les différents milieux granulaires considérés, dont la description complète est disponible dans l’Annexe du Chapitre II.

R m =3R p Rg=5Rp

Rp=0.3mm

P m 50%

75% 85 %

50%

62%

75%

90%

100%

Pg

Pp=Pg=Pm

Pp=66.66%

P m =66.66% Pg=66.66%

100 %

0%

50%25% 75%

K1

K2

K3

K4

K5

K6 K7Pg=16.5% Pm=16.5

Pp=16.5

Figure IV - 34 : Milieux granulaires 1-3-5 étudiés.


174

Rm=5R p Rg=10R p

Rp=0.3mm

P m 50%

75%

90%

50%

62% 75%

85%

100%

Pg

95%

62%

25%

Pp= 66.66%

Pp=Pm=Pg

P m = 66.66% Pg= 66.66%

100%

0%

K1

K3

K4 K2

Figure IV - 35 : Milieux granulaires 1-5-10 étudiés

Les particules ont une densité de 26 500 kg/m3. Cette valeur n’intervient qu’au niveau de la détermination du pas de temps (cf. Chapitre I §1.2.1), les essais étant effectués sans prendre en compte les effets de la gravité (comme si l’échantillon était dans le plan horizontal). Le coefficient de frottement interparticulaire est µp=0.9 (Notons que certains essais ont été menés avec un coefficient de frottement interparticulaire différent : 0.1, 0.2, 0.45, ou 1.5, les essais sont analysés au §4.3.2.1). La loi de contact est élastique donc la force de contact est reliée à l’interpénétration au contact par les expressions suivantes :

IV - 14 innn

i nUKF = et ti

tti UKF ∆−=∆

L’expression des raideurs de contact est fonction de la loi considérée : élastique linéaire ou non linéaire de type Hertz (Chapitre I §1.2.2 et Tableau IV - 1).

Élastique linéaire Contact de Hertz

Kn IV - 15 nn

nnn

ba

ba

kkkk

K+

= IV - 16 ( )nn U

13R2G2K

ν−=

Kt IV - 17 tt

ttt

ba

ba

kkkk

K+

= IV - 18 ( )( )ν−

=ν−

ν−=

2UR~8G

F2

1GR32Kn

3/1n

3/12t

Tableau IV - 1: Expression des raideurs de contact selon la loi de contact définie.

2.1.1 Précisions concernant le contact linéaire élastique

Les paramètres de la loi de contact pour le cas élastique linéaire sont les raideurs normales et tangentielles définies pour chaque particule et paroi et notées respectivement kn et kt. Concrètement, dans le cas d’une loi de contact élastique linéaire, nous définissons les raideurs normale et tangentielle identiques pour toutes les particules et parois. Ainsi, les raideurs mises en jeu au contact sont la moitié de celles définies pour les particules et ont même valeur quel que soit le type de contact.


175

kn=1.5 107 N.m-1 et kt=1.0 107 N.m-1 donc Kn=0.75 107 N.m-1 et Kt=0.5 107 N.m-1

Notons que ces valeurs de raideurs tangente et normale entraînent une interpénétration moyenne des particules de 1.10% de leur rayon moyen à l’état initial et de 1.14% en cours de cisaillement.

2.1.2 Précisions concernant le contact de type Hertz

Les raideurs normale et tangentielle mises en jeu dans un contact sont fonction des rayons, des modules de cisaillement et du coefficient de Poisson des entités en contact, ainsi que de l’interpénétration et de la force normale pour la raideur tangentielle (Tableau IV - 1). Les paramètres sont : − G : le module de cisaillement moyen des entités en contact, c’est-à-dire :

( )ba GG5.0G +=

− ν : la moyenne des coefficients de Poisson des entités en contact : ( )ba5.0 ν+ν=ν Étant donné que toutes les particules ont les mêmes caractéristiques, le module de

cisaillement et le coefficient de Poisson utilisé dans l’expression des raideurs, correspondent aux valeurs définies pour les particules.

− R~ par contre n’est pas le rayon moyen des entités en contact, mais :

IV - 19 T

Tpetite

ba

ba

R1RR2

RRRR2R~

+=

+=

avec RT le rapport de taille entre les deux particules en contact. Dans le cas :

− d’un contact avec une paroi, R~ correspond au rayon de la particule. − d’un contact entre particules de même taille, R~ est égale au rayon des particules. − d’un contact entre particules de dimensions différentes, R~ prend une valeur

comprise entre 1 à 2 fois le rayon de la plus petite particule en contact, et ceci quel que soit le rapport de taille entre les deux particules (Figure IV - 36).

Figure IV - 36 : Évolution de R~ en fonction du rapport de taille.

Les raideurs de contact sont fonction du type de contact par le biais du paramètre R~ . Il apparaît qu’un contact entre deux grandes particules sera nettement plus raide que celui entre deux petites particules ou entre petite et grande.


176

2.1.3 Détermination des paramètres de la loi de Hertz

Le rapport entre les raideurs normale et tangentielle au contact est de 1.5=1/α dans le cas élastique. Ce rapport est conservé pour le contact hertzien ce qui permet de définir la valeur du coefficient de Poisson :

IV - 20 α−α−

=ν3

23

où α est le rapport entre les raideurs tangentielle et normale (i.e. 1/1.5). Quant à l’expression du module de cisaillement :

IV - 21 ( )

n

t

UR~8

K2G

ν−=

Ces relations permettent de déterminer les paramètres de la loi hertzienne à partir des caractéristiques d’un état initial obtenu avec la loi élastique linéaire. Le cas de référence élastique est un milieu bidisperse avec un rapport de taille Rt=5 et un pourcentage surfacique de grandes particules Pg=75% pour lequel l’état initial est tel que :

α=1.5-1, R~ =0.439 mm, Un=9.415 µm. ainsi, les paramètres hertziens sont :

ν=0.714 et G=35.109 Pa

Un échantillon pour le cas bidiperse avec un rapport de taille de 5 et PL=75% est créé avec les paramètres de la loi définis précédemment. L’état initial est comparé à celui obtenu avec une loi linéaire élastique. (Tableau IV - 2)

élastique Hertz % d’écart Force normale moyenne 70.6 N 72.5 N 2.69% Porosité 9.03% 9.46% 4.76% Interpénétration moyenne 9.415 µm 8.932 µm 5.13%

Tableau IV - 2 : Comparaison des états initiaux pour Rt=5 Pg=75% selon la loi de contact.

Les échantillons sont comparables pour ce qui concerne la force normale moyenne au contact. La porosité est légèrement différente, ceci se justifiant par des contacts de raideurs plus importantes. Les résultats permettent de valider les valeurs de ν et G.

Remarques : Soulignons le fait que la loi élastique linéaire a été utilisée dans le cadre de simulation considérant les particules comme des cylindres de 1m de profondeur. En revanche, la loi de Hertz n’est applicable que dans le cadre de particules sphériques. Cela n’a pas d’incidence sur la valeur d’une comparaison entre deux essais. La considération cylindrique ou sphérique agit uniquement sur le temps de simulation. En effet, les pas de temps de calcul sont déterminés comme le rapport entre la masse et la raideur de contact. Dans le cas de particules sphériques la masse prise en considération est nettement plus faible que celle considérée dans le cas cylindrique. Ainsi, le pas de temps est nettement plus faible dans le cas hertzien entraînant un temps de simulation d’autant plus important.


177

2.2 Description géométrique et physique de l’inclusion L’inclusion possède deux types de rugosité :

− Rugosité intrinsèque liée à des aspérités au niveau microscopique, cette rugosité est modélisée par le coefficient de frottement µi de la surface.

− Rugosité géométrique induite par la présence de motifs géométriques constituant la surface de l’inclusion. Ces motifs ont des dimensions du même ordre de grandeur que les particules.

La géométrie de l’inclusion est caractérisée par deux paramètres (Figure IV - 37) : − la hauteur H du motif triangulaire étant égale à : 0.6 mm, 1.8 mm ou 6 mm. Il est

cependant préférable de qualifier cette hauteur en fonction des dimensions des particules. Ainsi, la hauteur relative notée Hr est le rapport entre la hauteur H et le diamètre moyen des particules Dm :

IV - 22 Hr=H/Dm.

− l’angle β du motif de l’inclusion par rapport à la direction de rotation de l’inclusion. β varie entre 20° et 80° dans les essais présentés dans ce chapitre.

H

β

θus

re ri

us nc

un un

rotation de l’inclusion

H=0.6mm, 1.8mm ou 6mm β=20, 30, 45, 60 ou 80°

Figure IV - 37 : Caractéristiques géométrique de l’inclusion (essai de cisaillement

annulaire) La loi de contact entre les particules et l’inclusion est élastique (linéaire ou non linéaire) frottante. Le coefficient de frottement de l’inclusion µi est soit nul soit de 0.9. Cependant le coefficient de frottement pris en compte pour un contact particule/inclusion est le minimum entre µi et µp. Les paramètres du contact élastique définis pour l’inclusion sont : − pour une loi élastique linéaire : kn=1.5.107 N.m-1, ks=1.0.107 N.m-1 − pour une loi élastique non linéaire (contact de Hertz), les raideurs de contact sont fonction

de l’interpénétration de contact et des caractéristiques physiques des particules tels que le coefficient de Poisson et le module de cisaillement. Il n’est donc pas requis de définir des


178

paramètres de contact propre à l’inclusion. Remarques : L’application de la définition de Uesugi et al. (1986a) est problématique car il est possible de déterminer plusieurs valeurs pour Rmax(L=D50) pour une même géométrie (Figure IV - 38). Dans le premier cas, la rugosité normalisée est tanβ, dans le second cas 0.5tanβ. Dans les deux cas, la hauteur réelle du motif n’est pas prise en considération.

D50 D50

Rmax=D50tanβ

Rmax=0,5D50tanββ

Figure IV - 38 : Rmax pour la géométrie de l’inclusion étudiée.

Selon la définition de Paikowsky et al. (1995), la rugosité maximale est Rmax=0.5D50(1-cosβ), soit une rugosité normalisée Rn=0.5(1-cosβ). Ainsi, deux inclusions présentant le même angle β, mais des hauteurs H différentes sont qualifiées de la même rugosité normalisée aussi bien par Uesugi que Paikowsky, ce qui ne semble pas acceptable. Ainsi pour qualifier la rugosité de l’inclusion, nous conservons les deux paramètres Hr et β indépendamment l’un de l’autre.

2.3 Essais de cisaillement annulaire

Il s’agit de simulation d’essai de cisaillement annulaire à contrainte de confinement (contrainte radiale) constante mettant en jeu une interface de géométrie triangulaire. La procédure de création de l’échantillon est entièrement détaillée au Chapitre II §2.1.2.

Figure IV - 39 : Vue d’un échantillon après confinement avant cisaillement et de son

champ de force normalisée (force max. 242 N) (cas β=60°, H=3Dm )

L’essai de cisaillement proprement dit débute par une mise en rotation de l’inclusion (dans le sens trigonométrique) avec une vitesse de v, 3v ou 4v selon les essais (vitesse pour le point bas du motif de l’inclusion) (v étant de 1mm/min). La pression de confinement est maintenue constante durant l’essai par ajustement permanent du rayon extérieur de l’échantillon. La majorité des essais se sont déroulés sur 1mm d’avancement linéaire de l’inclusion, représentant environ une rotation de 5.7°, ce qui était suffisant pour atteindre le pic de contrainte de cisaillement ou, pour certains essais uniquement, le palier après radoucissement.


179

Notons bien que lors de la création des échantillons, le coefficient de frottement interparticulaire et avec les parois est nul, entraînant ainsi un état dense.

2.4 Exploitation des essais de cisaillement annulaire Chaque essai est l’objet d’une analyse concernant sa structure granulaire (porosité, distribution des contacts, nombre de coordination) et le comportement d’interface (caractérisé par un module de cisaillement apparent et un coefficient de frottement au pic). Les principes d’exploitations des essais à ces différents niveaux sont détaillés dans les paragraphes qui suivent. Les analyses de ces essais concernant l’influence sur le comportement d’interface des paramètres de l’inclusion et du milieu granulaire seront détaillées aux paragraphes 3 et 4 de ce chapitre.

2.4.1 Au niveau global

Chaque essai de cisaillement permet d’obtenir l’évolution de la contrainte de cisaillement et de la déformation volumique en fonction de la sollicitation de cisaillement appliquée. La contrainte de cisaillement τi est le rapport des forces tangentes à l’inclusion et du périmètre moyen de l’inclusion. Par périmètre moyen de l’inclusion, nous entendons le cercle passant par le centre de l’inclusion. Les forces tangentes Ft à l’inclusion sont les projections des forces de contacts subies par chaque mur constitutif de l’inclusion selon la direction d’avancement de l’inclusion.

IV - 23 ∑π=τ

inclusionaveccontact

t

ii F

r21

La contrainte normale σi subie par l’inclusion est déterminée de même par :

IV - 24 ∑π=σ

inclusionaveccontact

n

ii F

r21

Le coefficient de frottement réel µ* est le rapport entre les forces tangentes et radiales subies par l’inclusion. De même, le coefficient de frottement apparent µ est le rapport des forces tangentes subies par l’inclusion par la contrainte de confinement constante durant l’essai (déterminée par sommation des forces normales sur les parois extérieures de l’échantillon).

IV - 25 i

i*µστ

= et conf

iµσ

τ=

La déformation de cisaillement εrθ est obtenue en fonction du déplacement de l’inclusion et de l’épaisseur de l’échantillon cisaillé.

IV - 26 ( )2e

2ii

2einclusion

r rrrru

−=ε θ

θ

où uθinclusion : déplacement tangentiel au centre de l’inclusion (à mi hauteur du motif), ri et re : rayons extérieur et intérieur de l’échantillon (cf. Figure IV - 37).


180

Figure IV - 40 : Évolution de la contrainte de cisaillement et du coefficient de frottement

réel en fonction de la déformation de cisaillement pour le cas H=3Dm, β=45°, µi=0.0 et µp=0.9.

Pour une majorité des essais, les courbes contrainte-déformation mettent en évidence un comportement de type pic-palier plus ou moins marqué. Pour qualifier le comportement de chaque essai, il est déterminé :

− Le module de cisaillement G obtenu en petites déformations (εrθ < 2.10-3). G est la pente à l’origine de la courbe τi = f(2εrθ) pour une déformation tangente inférieure à 0.2%. Un essai de déchargement (sur deux géométries différentes) a permis de vérifier que pour ce domaine de déformation, il s’agit bien d’un comportement élastique (cf. IV§2.4.1.3). Notons que le vocable « module de cisaillement » est abusif du fait de la répartition non homogène des contraintes et déformations au sein de l’échantillon, il serait plus juste de parler de module apparent de cisaillement.

− µ*f le coefficient de frottement réel au pic.

− µ*p le coefficient de frottement réel résiduel obtenu au palier post-pic. Il est à noter que le comportement post-pic est soumis à des variations, ainsi le palier n’est pas parfaitement lisse, mais présente des oscillations (Figure IV - 40). Baylac (2001) a montré qu’il est préférable de considérer comme valeur de contrainte au palier post-pic, la moyenne des valeurs minimales. Car, les valeurs minimales correspondent à des champs de force homogène, alors que les pics de contrainte correspondent à des réseaux de forces non homogènes.

Figure IV - 41 : Déformation radiale en fonction de la déformation de cisaillement. Cas

β=45°, H=3Dm, µi=0.0 et µp=0.9.

La déformation radiale correspond au rapport du déplacement de la paroi extérieure et de l’épaisseur initiale de l’échantillon cisaillé.


181

Ceci est basé sur l’hypothèse que le déplacement radial est linéaire dans l’épaisseur de l’échantillon au cours du cisaillement. Cette hypothèse est correcte pour les petites déformations, mais n’est plus vérifiée pour les grands déplacements de l’inclusion. Comme l’illustre la Figure IV - 41, le comportement pour tous les essais est dilatant, caractéristique d’un état dense du milieu granulaire, puis atteint un plateau. Pour l’étude comparative nous utilisons cette déformation radiale au palier qui est déterminée comme la moyenne au palier, et caractérisée par un écart type. Notons, que :

− ce palier n’était pas atteint pour tous les essais menés, − le palier en déformation radiale n’est pas de la même importance pour tous les essais

de cisaillement.

2.4.1.1 Évaluation de la répétabilité des simulations numériques L’étude de la répétabilité consiste en la création de plusieurs échantillons ayant les mêmes caractéristiques de l’inclusion et des particules (dimensions, répartitions et nombre des particules identiques), seul l’ordre de génération des particules est modifié d’un échantillon à l’autre. Modifier l’ordre de création des particules induit une disposition spatiale différente des particules d’un échantillon à l’autre et ainsi une structure interne finale différente selon les échantillons, bien qu’identique sur toutes autres considérations. Cette étude de répétabilité a été effectuée aussi bien sur des milieux granulaires monodisperses que polydisperses, pour des contact frottants ou non et des lois de contact élastique linéaire ou non linéaire. Les résultats de ces essais de répétabilité montrent que le comportement global (Figure IV - 42) est sensiblement le même pour ce qui concerne le comportement jusqu’au pic. Une légère et acceptable variation sur le module de cisaillement initial et coefficient de frottement au pic est visible, cette variation est d’autant plus importante que la hauteur et l’angle du motif de l’inclusion le sont.

Figure IV - 42 : Exemple de résultats pour des essais de répétabilité (cas β=60°,

µp=µi=0.9, H=3Dm) Pour G et µ*

f, il apparaît que l’écart type caractérisant la variation est toujours inférieur à 7% de la valeur moyenne. L’influence de la structure granulaire est donc faible pour les milieux monodisperses (cf. Tableau IV - 3).

Les milieux tridisperses concernés par l’étude de répétabilité sont les milieux (1-3-5) pour les mélanges K3 et K4 (cf. Figure IV - 35). K4 présente le moins de particules donc semble le plus soumis à des fluctuations dues à la structure interne du milieu granulaire. Le mélange K3 correspond à l’échantillon possédant le plus de particules, donc à priori le moins soumis à des


182

fluctuations de son comportement. Les résultats présentés dans le Tableau IV - 4 montre également une fluctuation faible et acceptable.

H=1Dm H=3Dm Rugosité nulle β=30° β=60° β=30° β=60°

µi=0.9 µi=0.0 µi=0.9 µi=0.0 µi=0.9 µi=0.0 µi=0.9 µi=0.0 µi=0.9 Sur µ*f 5.54% 1.71% 5.47% 4.41% 1.17% 5.28% 6.27% 6.19% 5.83%

Sur G 0.65% 1.00% 1.21% 2.65% 1.79% 2.81% 1.65% 4.09% 6.26%

Tableau IV - 3 : Écart type à la valeur moyenne (en % de la valeur moyenne) du coefficient de frottement réel au pic et du module de cisaillement pour les différents essais de répétabilité (µp=0.9 et µi=0.0 ou 0.9 selon les essais, milieux monodisperses).

K3 K4 Échantillon 1 Échantillon 2 Échantillon 1 Échantillon 2

G (MPa) 6.19 6.11 5.71 5.58 µ*f 0.771 0.768 0.781 0.774

Tableau IV - 4 : Module de cisaillement en petite déformation et coefficient de frottement réel au pic, pour les essais de répétabilité sur mélange granulaire 1-3-5.

Lors des études concernant des milieux polydisperses avec loi de contact élastique non linéaire (type Hertz) des essais de répétabilité ont également été menés (cf. Tableau IV - 5). Les résultats montrent une variation du même ordre de grandeur.

1-5 PL=50%

1-10 PL=75%

G 6.56 MPa ± 3.3% 10.99 MPa +- 5.8%

Tableau IV - 5 : Étude de la répétabilité pour les contact hertziens.

2.4.1.2 Concernant la vitesse de cisaillement Les essais de cisaillement ont été menés avec 4 vitesses de cisaillement différentes (v, 3v, 4v et 16v, pour v=1mm/min). Dans tous les cas, le comportement reste dans le domaine quasi statique, le confinement est maintenu quelle que soit la vitesse de cisaillement appliquée. Les résultats à l’échelle globale sont semblables (Figure IV - 43) : le même type de comportement global est observé avec une légère variation sur les valeurs du coefficient de frottement réel au pic ou sur G. Cette variation reste néanmoins dans un domaine acceptable (inférieure à 1%) puisqu’elle est largement inférieure à celle induite par l’agencement de la structure granulaire (7% de variation pour les essais de répétabilité). Une variation plus importante semble être présente lors du radoucissement.

H=3Dm β=30° µi=0.9 H=10Dm β=60° µi=0.0 v 4v 4v 16v

µ*f 0.15% 0.06% G 0.07% 0.11%

Tableau IV - 6 : Influence de la vitesse de cisaillement sur le comportement global. (écart type en % de la valeur moyenne)


183

Figure IV - 43 : Contrainte de cisaillement au cours du cisaillement pour le cas H=10Dm,

β=60° pour deux vitesses de cisaillement.

2.4.1.3 Vérification de l’élasticité Dans le cas Pg=62% pour milieu bidisperse 1-10, le cisaillement est stoppé et reprend dans l’autre sens afin d’étudier la décharge, ceci a été fait à différents moments du cisaillement (cf. Figure IV - 44). Dans le cas d’une décharge avant 1% de sollicitation, nous obtenons un comportement identique à celui du chargement, caractéristique d’un comportement élastique (même pente). Pour des déchargements se produisant plus tard, les pentes obtenues ne sont plus comparables. Ceci se justifie par le fait que la décharge ayant lieu à un stade plus avancé du cisaillement, la structure granulaire de l’échantillon est nettement différente de l’état initial. Les milieux n’étant plus identiques à l’échelle de la structure granulaire, le comportement global sont différents.

0.00E+00

2.00E+04

4.00E+04

6.00E+04

8.00E+04

1.00E+05

1.20E+05

1.40E+05

1.60E+05

1.80E+05

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

2εrθ

σrθ

Figure IV - 44 : Charge et décharge dans le cas Pg=62%.

déchargement chargement 1 2 3 4

9.96 9.58 6.81 4.33 2.56

Tableau IV - 7: Module de cisaillement dans les 4 cas de déchargement et chargement (exprimé en MPa)

43

2

1

τ i


184

2.4.2 Au niveau local

2.4.2.1 Le nombre de coordination Le nombre de coordination moyen correspond au nombre moyen de contact que possède une particule. Il est déterminé en considérant toutes les particules de l’échantillon ou seulement celles proches de l’inclusion. De même, le nombre de contact par unité de surface est une caractéristique intéressante de l’ensemble de l’échantillon et de la zone proche de l’inclusion.

2.4.2.2 Le profil de déplacement et de rotation Les profils de déplacement radial et tangentiel et le profil de rotation au sein de l’échantillon peuvent être déterminés pour différents instants au cours du cisaillement. Pour déterminer le profil des déplacements dans l’échantillon, on considère des tranches successives de 1Dm d’épaisseur (cf. Figure IV - 45). Dans chacune, les déplacements tangents et radiaux de chaques particules sont déterminés, la moyenne de ces déplacements correspondant au déplacement de la tranche. L’évolution du profil de déplacement est étudié au cours du cisaillement. Le déplacement tangent est normalisé par rapport au déplacement de l’inclusion et le déplacement radial est normalisé par le déplacement de la paroi de confinement.

Figure IV - 45 : Découpage de l’échantillon pour l’étude du profil de déplacement.

Les déplacements en début de cisaillement pour les faibles déformations sont linéaires dans l’épaisseur de l’échantillon, puis ne le sont plus pour des déplacements plus importants de l’inclusion mettant ainsi en évidence une zone de cisaillement et permettant la détermination de l’épaisseur de la zone d’interface. La zone d’interface peut être définie comme celle qui présente des déplacements tangents et radiaux importants. Nous pouvons constater sur la Figure IV - 46, une incertitude importante sur la détermination de l’épaisseur de la zone d’interface. Le profil des rotations est déterminé de la même manière que le profil des déplacements. Nous pouvons constater que la valeur moyenne est faible, mais que les écarts types sont très importants. Ceci se justifiant par le fait que lorsqu’une particule tourne d’un certain angle, la particule en contact avec elle est soumise à une rotation sensiblement du même ordre de grandeur mais dans l’autre sens. Ainsi, la moyenne des particules est-elle proche de zéro. Du fait de l’absence de gravité, certains milieux présentant un fort rapport de taille entre particules et un pourcentage surfacique élevé de grosses particules, possèdent un nombre important de particules sans contact (cf. chapitre II § 2.2). Ces grains libres peuvent présenter des rotations très importante au cours de l’essai puisque aucun contact ne vient les freiner dans leur rotation. Ce dernier point complique l’analyse des profils de rotations pour certains milieux étudiés.


185

a) Profil de déplacement tangent

b) Profil de déplacement radial

Figure IV - 46 : Profil des déplacements radiaux et tangentiels dans le cas β=45°, H=3Dm, µi=0.0 et µp=0.9, pour des déplacements de l’inclusion de 0.1, 0.5, 1 et 1.4mm.

Figure IV - 47 : Profil des rotations dans le cas H=3Dm, β=30°, µi=µp=0.9.

(avec écart type) à la fin de l’essai (post-pic) (rotation de l’inclusion de 5° environ)


186

2.4.2.3 Profil de porosité et évolution au cours de l’essai de cisaillement

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14

distance au sommet de l'inclusion en Dm

poro

sité

initial 1.00mm

zone d'interface

Figure IV - 48 : Profil des porosités à l’état initial et post-pic (1mm d’avancement de

l’inclusion) pour le cas H=3Dm, β=30°

Les porosités d’anneaux concentriques d’un diamètre moyen Dm d’épaisseur sont déterminées, définissant ainsi le profil des porosités dans l’épaisseur de l’échantillon. Son évolution au cours du cisaillement est également analysé, permettant de définir une épaisseur à la zone d’interface qui correspond à l’épaisseur où l’écart entre la porosité actuelle et la porosité initiale moyenne de l’échantillon est supérieure à 5%.

2.4.2.4 Répartition des orientations de contact L’orientation d’un contact correspond à l’angle entre la normale au contact nc et la direction de cisaillement (cf. Figure IV - 49a). La répartition des orientations de contact est déterminée pour l’ensemble des particules ou uniquement pour celles situées dans la zone proche de l’inclusion. Ceci permet de mettre en évidence un état isotrope ou au contraire des directions de contact privilégiées comme c’est le cas sur la Figure IV - 49.

θ

nc : normale au contact

direction de cisaillement

Figure IV - 49 : Direction de contact et exemple de fréquence d’orientation de contact.

2.4.2.5 La couche d’interface L’épaisseur de la zone d’interface peut être définie expérimentalement :

− A partir du profil des déplacements, elle correspond à la zone qui présente un gradient de mouvement radial et tangentiel

− A partir du profil des rotations, elle correspond à la zone qui présente un écart type des rotations des particules important. L’épaisseur d’interface déduite par le profil des rotations est légèrement plus importante que celle déduite du profil des déplacements.

% d

u no

mbr

e to

tal d

e co

ntac

t


187

− A partir du profil de la porosité, elle correspond à la zone dans laquelle l’écart entre la porosité post-pic et la porosité initiale (moyenne au centre de l’échantillon) est supérieure à 5%.

Il semble que le meilleur moyen pour déterminer l’épaisseur de la zone d’interface soit la dernière, à partir du profil de la porosité qui est la moins soumise à la subjectivité. Notons, d’autre part que cette dernière méthode fournit des épaisseurs d’interface légèrement plus importantes que les deux premières. Rappelons que l’épaisseur de la zone d’interface correspond à l’épaisseur de milieu granulaire au-dessus du point haut du motif, elle ne contient donc pas la hauteur du motif de l’inclusion.


188

3 ÉTUDE DES PARAMÈTRES DE L’INCLUSION

3.1 Présentations des essais Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’influence des paramètres de l’inclusion sur le comportement d’interface. Les paramètres de l’inclusion sont :

− La hauteur Hr du motif ayant les valeurs suivantes : 0 (interface géométriquement lisse), 1Dm, 3Dm et 10 Dm.

− L’angle β du motif vis-à-vis de la direction de cisaillement ayant pour valeur : 20°, 30°, 45°, 60°, 80°.

− Le coefficient de frottement µi de la surface de l’inclusion étant nul ou égal au coefficient de frottement interparticulaire µp (c’est-à-dire 0.9).

Le milieu granulaire considéré pour cette étude est un milieu monodisperse de rayon médian Rp=0.30 mm présentant une dispersion de 20% autour de celui-ci afin d’éviter la création de structure cristalline (Cf. Chapitre II §2.1). Les différents essais effectués sont récapitulés dans le Tableau IV -8.

Hr (Dm) 10 3 1

β (°) 45 60 80 30 45 60 20 30 45 60 lisse

nb. de motifs 10 10 18 33 20 31 53 89 0 µi 0 0 0.9 0 0.9 0 0.9 0 0.9 0 0.9 0 0.9 0 0.9 0.9

Tableau IV -8 : Géométries de l’inclusion pour les essais de cisaillement annulaire.

3.2 Résultats concernant les états initiaux Sur les états initiaux, seuls les paramètres géométriques (Hr et β) peuvent intervenir puisque l’échantillon est créé avec des coefficients de frottement nuls pour tous les composants (inclusion et particules). L’état initial est caractérisé par :

− la porosité globale, − le nombre de coordination : global et défini pour une zone proche de l’inclusion.

3.2.1 Porosité

Globalement la même porosité initiale est obtenue pour tous les échantillons quelle que soit la géométrie (Hr et β) de l’inclusion, à savoir une porosité moyenne nmoyen=13.81% avec un écart type de 1.9% de la valeur moyenne (Cf .Tableau IV -9).

Concernant l’uniformité de la porosité au sein de l’échantillon, il apparaît qu’elle est plus importante dans les zones proches de l’inclusion et de la paroi de confinement, ceci étant un effet de paroi (Figure IV - 50). La présence du motif de l’inclusion se fait ressentir sur une épaisseur faible de l’ordre de 2Dm au maximum et ceci quel que soit le motif de l’inclusion. Enfin, la variation de la porosité au sein de l’échantillon (en dehors des zones soumises à l’effet de paroi) est en moyenne de 5% autour de la porosité globale de l’échantillon.


189

β=60° β=45° β=30° β=20° lisse (Hr=0, β=0°)

Hr=1Dm 14.18% (0.01)

13.85% 13.80% (0.05)

13.63% 13.61% (0.10)

Hr=3Dm 14.01% (0.04)

13.91% 13.87% (0.05)

Hr=10Dm 13.33% 13.26%

NB : entre parenthèse figure l’écart type dans le cas d’essai de répétabilité

Tableau IV -9 : Porosité des différents échantillons à l’état initial en fonction de la hauteur du motif Hr, et de l’angle β.

Figure IV - 50 : Profil de la porosité à travers l’échantillon (inclusion Hr=10Dm et β=45°)

3.2.2 Nombre de contacts global et avec l’inclusion

Le nombre de contacts global (par unité de surface) est sensiblement le même quel que soit le motif de l’inclusion. La variation de la hauteur du motif ou de l’angle ne modifie pas de manière notable le nombre de contact global dans l’échantillon. Cependant, le nombre de contacts avec l’inclusion est directement lié au motif de l’inclusion. Considérons un nombre de contact normalisé en fonction du périmètre de l’inclusion en prenant le cas lisse comme référence, c’est-à-dire :

IV -27 lissecc

ilisse

normalisé NN

rRN =

avec : − Nc : nombre de contacts avec l’inclusion pour l’échantillon considéré,

− ri : rayon de l’inclusion pour l’échantillon considéré (passant à mi-hauteur des motifs) − Rlisse : rayon de l’inclusion circulaire, − Nc lisse : le nombre de contacts avec l’inclusion circulaire.

La Figure IV - 51a indique que la hauteur du motif intervient faiblement et son influence est insignifiante par rapport à celle de l’angle β du motif de l’inclusion. En effet, le nombre de contact avec l’inclusion est d’autant plus important que l’angle β est important. Pour β=60°, le nombre de contact avec l’inclusion est le double de celui pour une inclusion purement circulaire et ceci quelle que soit la hauteur du motif. Une augmentation de la hauteur de motif de l’inclusion entraîne une augmentation du périmètre réel de l’inclusion et


190

ainsi un nombre de contact normalisé vis-à-vis du périmètre moyen de l’inclusion plus important. Un accroissement de β entraîne également une augmentation du périmètre réel de celle-ci et s’accompagne d’une diminution du nombre de particules en contact avec elles (diminution du nombre de particules coincées dans les motifs). Cependant, ceci n’induit pas une diminution du nombre de contacts, car chaque particule possède plus de contact avec l’interface. Concrètement, pour un β faible les particules en contact avec l’inclusion ne présente qu’un unique contact avec l’inclusion, alors que pour un β important, les particules tendent à avoir deux contact avec l’inclusion comme l’illustre la Figure IV - 51.b.

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

α (°)

nom

bre

de c

onta

ct n

orm

alis

é av

ec

l'inc

lusi

on

lisse 1Dm 3Dm 10Dm

Circulaire3 contacts

β=60° H=3Dm6 contacts

β =60° H=1Dm6 contacts

a) b)

Figure IV - 51 : Évolution du nombre de contacts avec l’inclusion en fonction des caractéristiques du motif de l’inclusion.

3.2.3 Orientation des contacts

Au niveau global, il n’y a pas de direction privilégiée de contact. Sur ce point le milieu est parfaitement isotrope, ceci étant le fruit de la répartition de 20% imposée autour du rayon médian du milieu granulaire afin d’éviter la création de structure cristalline régulière. Cependant, dans une zone proche de l’inclusion, cette dernière crée une structure plus ou moins organisée qui induit des directions de contact privilégiées. L’étude de la densité d’orientation de contact permet de constater la présence de plusieurs directions privilégiées (Figure IV - 52). Tout d’abord deux directions principales, celles à (90°- β) et (90°+ β) (c’est à dire 60° et 120° pour la Figure IV - 52) qui correspondent aux contacts avec l’inclusion, ces deux directions privilégiées sont toujours clairement distinctes quelle que soit la géométrie du motif (H et β) Puis des directions secondaires (au nombre de 6), celles à environ (120°m β), (60°m β), β et (180°-β) qui représentent les contacts entre deux particules elles-mêmes en contact avec l’inclusion (Figure IV - 53). Notons qu’étant donné les valeurs de β choisies, plusieurs directions n’en forment qu’une (par exemple β 3 et β 5 sont confondus si β = 30°). Ces 6 directions secondaires ne sont pas toujours nettement visibles, lorsque la hauteur du motif ou l’angle β est faible le nombre de particules pouvant être dans cette configuration est considérablement réduit et ces 6 directions secondaires ne sont plus clairement des directions de contact privilégiées.

β (°)


191

H=1Dm

Zone prise en compte pour l’étude

H=3Dm

Figure IV - 52 : Densité de probabilité d’orientation de contact pour le cas Hr=3Dm,

β=30°, concernant les contacts dans la zone proche de l’interface (en dessous de 1Dm au-dessus de l’inclusion)

β6

β5

β4

β3

β2

β

β1 β1=90°+ββ2=120°+ββ3=60°+βββ4=90°-ββ5=120°-ββ6=60°-β180−β

180−ββ

Figure IV - 53 : 8 directions de contacts privilégiées au niveau de l’inclusion.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.00 30.00 60.00 90.00 120.00 150.00 180.00

0Dm 1Dm 2Dm 3Dm totalité

Hauteurvariable de 0,1Dm à toutel’épaisseur

H=3Dm

Zone prise en compte pour l’étude

Figure IV - 54 : Évolution de la densité de probabilité d’orientation de contact en

fonction de l’épaisseur de la zone considéré. (cas β =60°, Hr=3Dm)

Ces diverses directions privilégiées de contacts sont essentiellement visibles dans une zone proche de l’inclusion. Plus la zone prise en compte pour l’étude des directions de contact est importante, moins les directions privilégiées de contact sont présentes (Figure IV - 54). La présence de ces 6 directions secondaires s’estompent plus rapidement que les directions principales lorsque l’on considère la probabilité d’orientation de contact dans une zone de plus en plus importante. Concernant la probabilité d’orientation de contact, la hauteur du motif n’influence pas sur les directions privilégiées mais sur l’importance relative de cette anisotropie. Cependant, plus la hauteur du motif est importante et moins loin cette anisotropie de contact se fait ressentir. En

β


192

effet plus la hauteur du motif est importante et plus le pas du motif l’est également, ainsi pour une épaisseur considérée la proportion de particule en contact avec les motifs est plus faible. La probabilité d’orientation de contact est directement liée à l’angle du motif de l’inclusion, puisqu’elle présente deux directions privilégiées en (90°- β) et (90°+ β). Les 6 autres directions privilégiées de contact, sont d’autant plus présentes que β est faible. Ainsi pour un motif de 30° avec une hauteur de 3Dm l’anisotropie de contact est plus complexe que dans le cas à 60° et Hr=3Dm.

Figure IV - 55 : Probabilité d’orientation de contact pour les cas β =60, 45°, 30° et

Hr=3Dm (hauteur d’étude des contacts 3Dm au dessus du sommet de l’inclusion)

Figure IV - 56 : Évolution de la densité de probabilité d’orientation de contact au cours du cisaillement (à 0.05, 0.10 et 0.15mm d’avancement de l’inclusion pour le cas β =60°,

Hr=3Dm avec une hauteur d’étude de 2Dm) Lors du cisaillement, la densité de probabilité d’orientation de contact évolue, il s’avère que la direction à (90°- β) est de moins en moins marquée (Figure IV - 56). Ceci se justifie par le fait que lors de l’avancement de l’inclusion, le nombre de particules en contact avec un côté du motif triangulaire diminue, tandis que de l’autre côté il reste identique. Dans l’exemple ci-dessous, le pic de contrainte de cisaillement est atteint pour un déplacement de l’inclusion de 0.15mm. Nous constatons qu’à cet instant la probabilité d’orientation de contact au pic présente une nette diminution pour l’orientation (90°+ β) (150° pour l’exemple de la Figure IV - 54). Du fait de l’avancement de l’inclusion, les particules en contact avec l’inclusion selon cette direction perdent ce contact, tandis que les contacts avec l’inclusion selon la


193

direction (90°- β) mettent en jeu des forces de contact plus importantes. Une fois passé le pic de contrainte, lors du radoucissement, la densité de probabilité d’orientation de contact selon (90°+ β) augmente pour retrouver sa valeur initiale.

3.3 Résultats concernant le comportement global 1.1.1 Influence du coefficient de frottement de l’interface

Figure IV - 57 : Évolution du coefficient de frottement au pic et du module de

cisaillement en fonction de la condition de frottement sur l’inclusion. (cas Hr=1Dm, µp=0.9)

La Figure IV - 57 illustre l’influence du coefficient de frottement de l’interface (µi=0 ou 0.9) sur le comportement global initial G et au pic µ*f. La présence d’une inclusion avec un coefficient de frottement non nul, entraîne un comportement global plus résistant et plus raide, c’est-à-dire un module de cisaillement en petite déformation, un coefficient de frottement au pic et un radoucissement post-pic plus importants. Notons de plus que cette différence de comportement est d’autant plus visible que la géométrie de l’inclusion est faible (Hr et β faibles). En effet, plus la géométrie des motifs de l’inclusion est faible, plus les particules sont libres de se mouvoir, la présence d’un coefficient de frottement non nul concernant l’inclusion modifie de manière importante leur mobilité et donc le comportement global. A contrario dans le cas de motifs possédant une forte valeur de Hr ou de β, la possibilité de mouvement des particules est fortement limitée, la présence d’un coefficient de frottement plus ou moins


194

important pour l’inclusion ne modifie que faiblement le déplacement des particules et par conséquent le comportement global. En conséquence, lorsque l’inclusion présente un coefficient de frottement important (ici µi=0.9), le rôle de la géométrie de l’inclusion sur le comportement global est mineur. Ainsi, les résultats sont globalement les mêmes en termes de module de cisaillement et de coefficient de frottement au pic quelle que soit la géométrie de l’inclusion (à la répétabilité près). En revanche, lorsque le coefficient de frottement de l’inclusion est nul, les résultats sont dépendants de la géométrie de l’inclusion. Pour ce qui concerne la déformation radiale au palier, la présence de frottement au niveau de l’inclusion entraîne une déformation radiale au palier plus importante. L’épaisseur de la zone d’interface est plus importante lorsque le coefficient de frottement de l’inclusion est non nul. Cette augmentation est d’autant plus importante que la hauteur du motif de l’inclusion est faible (Cf. Tableau IV -10).

Hr=1Dm Hr=3Dm

β (°) 20 30 45 60 30 45 60 µi=0.0 4 4.5 5 4 6 4 4.5 µi=0.9 7 6 6 6 7 5 6

Tableau IV -10 : Influence de la condition de frottement de l’inclusion sur la valeur de l’épaisseur de la couche d’interface exprimée en Dm.

3.3.1 Influence de la hauteur du motif de l’inclusion

Figure IV - 58 : Évolution du module de cisaillement en fonction de la hauteur du motif

de l’inclusion (β =45° et 60° pour µi=0.0 et µp= 0.90) Premièrement, il faut remarquer que l’influence de la hauteur du motif sur le comportement global est dépendante de la condition de frottement sur l’inclusion. Si l’inclusion présente un coefficient de frottement nul, la hauteur du motif est un paramètre du comportement global. Dans le cas contraire, le coefficient de frottement de l’inclusion existant (en l’occurrence 0.9), il n’apparaît aucune influence notable de la hauteur du motif sur le comportement global. Considérons donc ici le cas où l’inclusion ne présente pas de frottement. Le module de cisaillement en petite déformation G est une fonction linéaire de la hauteur du motif (cf. Figure IV - 58).


195

Lorsque l’interface est non-frottante (µi=0.0, µp=0.9), le coefficient de frottement réel à la rupture est d’autant plus important que la hauteur du motif l’est (cf. Figure IV - 59). Notons de plus que cette influence de Hr sur µf

* est d’autant plus importante que l’angle du motif de l’inclusion est important.

Figure IV - 59 : Évolution du coefficient de frottement au pic µ*

f en fonction de la hauteur du motif de l’inclusion (β =45° et 60° pour µi=0.0 et µp=0.90).

Le coefficient de frottement au palier a sensiblement la même évolution que le coefficient de frottement réel au pic, c’est-à-dire une augmentation en fonction de la hauteur Hr de l’inclusion, cette augmentation est d’autant plus marquée que l’angle β est important (cf. Figure IV - 60).

Figure IV - 60 : Évolution du coefficient de frottement au palier µ*p en fonction

de la hauteur Hr du motif de l’inclusion Concernant la déformation radiale, nous pouvons conclure qu’une augmentation de la hauteur du motif de l’inclusion entraîne dans un premier temps une augmentation de la dilatance, puis une diminution.


196

Figure IV - 61 : Évolution de la déformation radiale au palier en fonction de la hauteur

du motif de l’inclusion.

β (°) 30 45 60 Hr=1Dm 4.5 m 0.71 5 4 m 0 µi=0.0 Hr=3Dm 6 m 1.73 4 4.5 m 0.70 Hr=1Dm 6 m 1.41 6 6 m 0 µi=0.9 Hr=3Dm 7 m 1 5 6 m 0

Tableau IV -11 : Influence de la hauteur Hr du motif de l’inclusion sur l’épaisseur de la zone d’interface (exprimée ainsi que l’écart type en Dm).

Le Tableau IV -11 indique que la hauteur du motif de l’inclusion n’influence pas l’épaisseur de la couche d’interface ce qui est en accord avec les résultats obtenus par Baylac (2001). Cependant, la variation de Hr étudiée est trop faible pour pouvoir conclure définitivement sur ce point. De plus, les essais de répétabilité mettent en évidence une incertitude importante sur la détermination de cette épaisseur ne permettant ni de caractériser, ni de démontrer l’existence de l’influence de la hauteur du motif sur l’épaisseur de la zone d’interface.

3.3.2 Influence de l’angle du motif de l’inclusion

De même que pour l’influence de la hauteur du motif, l’influence du paramètre β sur le comportement global est fonction du coefficient de frottement de l’interface µi. Si le coefficient de frottement est de µi=0.9 pour l’inclusion, l’influence de β est inexistante. En revanche, pour une interface non frottante, nous constatons que β joue un rôle important sur le comportement en cisaillement (cf. §3.6.2). Lorsque β augmente, le comportement de type pic-palier est plus marqué, c’est-à-dire que le radoucissement est d’autant plus important que β l’est. Nous pouvons à l’opposé constater que pour β=20° et 1Dm, ou β=30° et 3Dm le pic est inexistant (Cf. Figure IV - 62). Concrètement pour une interface non frottante (µi=0.0), plus l’angle β du motif de l’inclusion est important plus le comportement global est raide et résistant, G et µ*

f importants (Figure IV - 63 et Figure IV - 64 ). Sur cette figure sont également représentés les résultats de Dove et al. (2002) obtenus expérimentalement par des essais de cisaillement direct sur des billes de verre pour une pression de confinement de 100 kPa et une hauteur relative du motif triangulaire inférieure à 1.5Dm (même géométrie triangulaire de l’interface). Nous constatons une bonne adéquation entre ces résultats expérimentaux et les simulations numériques. Les résultats de Dove et al. (2002) mettent également en évidence une augmentation quasi linéaire de µ*f avec l’angle du motif de l’inclusion, puis une stagnation.


197

Cette augmentation de G en fonction de β peut se comprendre par le fait que le nombre de contact avec l’inclusion augmente en fonction de β. Cependant, il apparaît une stagnation de cette évolution, à partir d’un certain angle du motif de l’inclusion noté βp. Cette valeur de βp étant fonction de la hauteur du motif de l’inclusion. La dépendance entre G et β semble initialement linéaire jusqu’à βp

D’autre part βp est d’autant plus important que la hauteur du motif Hr de l’inclusion l’est, passant de 40° pour Hr=1Dm à environ 50° pour Hr=3Dm et atteignant environ 65° pour Hr=10Dm. Des remarques similaires peuvent être formulées pour l’évolution de µ*f avec β et Hr.

Figure IV - 62 : Comparaison du radoucissement en fonction de β.

Figure IV - 63 : Influence de l’angle du motif sur le coefficient de frottement au pic µ*f

(µi=0.0, µp=0.9, Hr=1, 3 et 10Dm). Concernant le comportement post-pic, il est d’autant moins marqué que l’angle du motif de l’inclusion est faible, ceci est d’autant plus visible que la hauteur du motif est faible. Concernant le coefficient de frottement réel au palier : son évolution semble être la même que celle du coefficient de frottement réel au pic (cf. Figure IV - 65). Dans un premier temps il augmente en fonction de β puis diminue. Cependant, ici l’écart type sur les valeurs de coefficient de frottement sont nettement plus importantes. Comme nous l’avions remarqué précédemment, les essais de répétabilité font apparaître un comportement globalement


198

semblable pour le comportement pré-pic, mais qui diffère de manière plus importante pour le comportement post-pic.

Figure IV - 64 : Influence de l’angle du motif sur le module de cisaillement G (µi=0.0,

µp=0.9, Hr=1, 3 et 10Dm).

Figure IV - 65 : Évolution du coefficient de frottement réel au palier en fonction de

l’angle β du motif de l’inclusion.

Enfin, la déformation radiale est d’autant plus importante que l’angle β est faible (cf. Figure IV - 61).

Le Tableau IV -12 résume les épaisseurs d’interface en fonction de l’angle β de l’inclusion. Nous constatons que l’angle β du motif de l’inclusion, n’influence pas l’épaisseur de la zone d’interface. Nous notons une légère différence selon la géométrie du motif, mais celle-ci est de l’ordre de l’écart type.

β (°) 60 45 30 20 µi=0.0 4 m 0 5 4.5 m 0.707 4

Hr=1Dm µi=0.9 6 m 0 6 6 m 0 7 µi=0.0 4.5 m 0.707 4 6 m 1.73

Hr=3Dm µi=0.9 6 m 0 5 7 m 1

Tableau IV -12 : Épaisseur de la zone d’interface (exprimée en Dm) en fonction de β.


199

4 ÉTUDE DES PARAMÈTRES DU MILIEU GRANULAIRE

4.1 Présentation des essais Pour l’étude de l’influence des paramètres liés au milieu granulaire, la géométrie de l’inclusion est fixée pour tous les essais. La hauteur du motif est de 6mm, l’angle β est de 60°. Le coefficient de frottement défini pour l’interface est µi=0.0. Les paramètres étudiés du milieu granulaire sont :

− Sa granularité : des cas monodisperse, bidisperse et tridisperse sont considérés avec des rapports de taille entre chaque famille de particules variant de 1 à 10.

− Le coefficient de frottement des particules µp. − La loi de contact élastique frottante : le contact est défini comme élastique linéaire

ou non linéaire. (cf. Chapitre IV § 2.1) Le fait de modifier la granularité du milieu induit obligatoirement une variation de la hauteur relative de l’inclusion. Ainsi, bien que la géométrie de l’inclusion est fixée sa rugosité évolue, et ceci influence le comportement global d’interface. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’étude des paramètres de la granulométrie du milieu. Puis, l’influence de la loi de contact sera examinée d’une part en considérant le coefficient de frottement interparticulaire, et d’autre part la non linéarité du contact élastique.

4.2 Effets de la granularité 4.2.1 Sur les états initiaux

Le diamètre moyen Dm des particules varie selon les échantillons en fonction du pourcentage surfacique (Pg, Pm, Pp) de chaque taille de particules présente dans le milieu granulaire. Le diamètre moyen d’un milieu granulaire peut être déterminé de différentes manières : − par moyenne « traditionnelle » :

IV - 28 ∑

∑=

ii

iii

1m n

DnD

− en considérant la surface moyenne :

IV - 29 ∑

∑=

ii

i

2ii

2m n

DnD .

avec Di : diamètre de la iieme famille de particules, ni : nombre de particules dans la iieme famille.

De la même manière la hauteur Hr du motif de l’inclusion relativement à la dimension moyenne des particules varie en fonction du pourcentage surfacique respectif des différentes tailles de particules dans le milieu granulaire : Hr=H/Dm.


200

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0% 20% 40% 60% 80% 100%% surfacique de grandes particules

Ray

on m

oyen

(mm

)

0

2

4

6

8

10

12

haut

eur r

elat

ive

de l'

incl

suio

n en

Dm

Rm1 Rm2 Hr1 Hr2

Figure IV - 66 : Évolution du rayon moyen et de la hauteur relative de l’inclusion en

fonction de la fraction surfacique Pg de grandes particules pour le cas Rt=10.

En fonction de la manière dont le diamètre moyen Dm est déterminé, la hauteur relative de l’inclusion peut varier de 40% pour des fractions surfacique Pg importantes. (Figure IV - 66) Notons que le diamètre moyen considéré par la suite est celui déterminé par la seconde expression considérant les surfaces équivalentes. Pour sa détermination, seules les particules présentant des contacts à l’état initial sont prises en compte. Le fait de ne pas tenir compte des particules n’ayant pas de contact, a peu d’influence pour les faibles rapports de taille Rt, mais pour le cas Rt=10 et Pg =95%, la différence est nettement plus importante. Le rayon moyen en tenant compte de toutes les particules présentes dans cet échantillon est de 1.21mm et devient 2.47mm si les particules ne présentant pas de contact (essentiellement les particules de petites dimensions) sont exclues du calcul. Nous avons vu au chapitre II§2.2.1 que selon la granularité, la fraction de particules sans contact pouvait être négligeable ou non. La hauteur du motif de l’inclusion est définie relativement au diamètre moyen du milieu granulaire. En complément à la Figure IV - 66 le Tableau IV - 13 présente les hauteurs relatives et rayons moyens pour les milieux granulaires tridisperses.

K1 K2 K3 K4 1-3-5 485 618 358 678 Rm

(µm) 1-5-10 507 715 362 743 1-3-5 6.18 4.85 8.39 4.43 Hr

(Dm) 1-5-10 5.92 4.19 8.29 4.04

Tableau IV - 13 : Rayon moyen et hauteur relative de l’inclusion pour les différents échantillons ternaires.

Notons que les milieux granulaires tridisperses K2 et K4 sont assez proches en terme de rayon moyen et de hauteur relative.

4.2.2 Sur le comportement d’interface

Le comportement global du milieu granulaire est influencé par les pourcentages surfaciques Pg et Pp de grandes et petites particules (avec Pm=1-Pp-Pg) dans le milieu granulaire, qui induit les paramètres suivants :

− La porosité du milieu n et la porosité effective n*, tels que


201

IV - 30 néchantillo

N

1i

2inéchantillo

S

RSn

∑=

π−= et

néchantillo

N

1i

2inéchantillo

*

S

RSn

c

∑=

π−=

avec Ri : rayon de la iieme particule du milieu granulaire, N : nombre de particules du milieu, Nc : nombre de particules présentant au moins un contact, Séchantillon : surface totale de l’échantillon.

− La distribution des différents types de contacts entre chaque famille de particules (Tpp, Tgg, Tgp)

− Le nombre de coordination moyen : N

nn

N

1ici

c

∑==

avec nci : nombre de contact de la iieme particule, N : nombre de particule du milieu granulaire présentant au moins un contact

− La hauteur Hr de l’inclusion relativement à la dimension moyenne des particules,

tel que m

r DHH = avec Dm exprimé selon IV - 29.

4.2.2.1 Module de cisaillement apparent G en petites déformations 4.2.2.1.1 Influence du pourcentage de grandes particules La Figure IV - 67 met en évidence l’influence du pourcentage surfacique de grandes particules dans le milieu sur le module de cisaillement en petite déformation. Cette variation est d’autant plus importante que le rapport de taille Rt est important. La diminution de G pour les cas monodisperses Pg=100% par rapport au cas monodisperse Pg=0% est d’autant plus importante que le rapport de taille est important.

Figure IV - 67 : Évolution du module de cisaillement en petite déformation en fonction

de la fraction surfacique de grandes particules.


202

Ceci est induit par l’effet de la hauteur relative de l’inclusion que nous avons observé au paragraphe IV-3.3.2. Une augmentation du pourcentage surfacique de grandes particules (Pg) correspond à une diminution de la hauteur relative Hr de l’inclusion. Pour le cas Rt=10 une discontinuité importante apparaît dans l’évolution de G en fonction de Pg entre 75 et 85%. Ceci se justifie par le fait qu’à partir de Pg=85% le squelette particulaire est essentiellement composé de grandes particules, marquant ainsi une rupture avec le milieu granulaire précédent (pour Pg<85%) présentant un squelette de petites particules comportant des inclusions de grandes particules. Lorsque le rapport de taille Rt est plus faible, les deux milieux granulaires sont plus proches et ne manifestent pas de discontinuité aussi marquée.

4.2.2.1.2 Influence de la porosité de l’échantillon


de la porosité effective n* de l’échantillon. La Figure IV - 68 expose l’évolution du module de cisaillement en petite déformation en fonction de la porosité effective n* de l’échantillon initial. Les résultats pour l’étude du milieu monodisperse sont également reportés (β=60° pour H=1Dm, 3Dm et 10Dm, Pg =0%).

Tout d’abord pour les différents cas monodisperses, nous constatons que G est une fonction décroissante linéaire de la porosité n* et ceci pour des hauteurs relatives de l’inclusion qui différent selon les échantillons monodisperses. agréer

Pour les cas bidisperses avec un rapport de taille Rt inférieur à 10, nous constatons également que G est une fonction linéaire de la porosité effective n*. De la même manière une augmentation de la porosité du milieu entraîne une diminution de G qui est cependant moins importante que dans le cas monodisperse. Ce dernier point pouvant se justifier par la variation moins importante de la hauteur relative Hr. Pour le cas bidisperse présentant un rapport de taille Rt plus important (Rt=10) nous constatons que l’évolution de G en fonction de la porosité n’est plus linéaire. Comme précédemment une augmentation de la porosité du milieu entraîne une diminution du module de cisaillement en petite déformation. Cependant, deux échantillons bidisperses de même porosité mais de pourcentages surfaciques différents de grandes particules ne présentent pas le même G. Le comportement est d’autant plus raide que la fraction de particules de petite taille est importante. En conséquence, plus le milieu est dense, plus le comportement est raide. Cependant, une porosité minimale n’entraîne pas une raideur maximale pour les rapports Rt les plus importants.


203

Plus Rt est important et moins la dépendance de G vis-à-vis de la porosité est linéaire.

4.2.2.1.3 Influence de la hauteur relative de l’inclusion La Figure IV - 69 présente l’évolution du module de cisaillement en petite déformation G en fonction de la hauteur relative de l’inclusion exprimée en Dm. Sur ce graphe figurent les résultats des essais de cisaillement menés sur :

− milieu granulaire monodisperse pour lequel les dimensions des particules sont fixées (Rm=0.30mmm20%) mais où la hauteur H de l’inclusion varie,

− milieu granulaire monodisperse pour lequel la géométrie de l’inclusion est fixée (Hr=6mm et β=60°, bien que le nombre de motifs de l’inclusion est variable selon les essais de 10 ou 20 motifs) mais où les dimensions des particules varient,

− milieu granulaire binaire et ternaire, avec variation des dimensions et des proportions surfaciques des particules pour une géométrie de l’inclusion fixée (Hr=6mm et β=60°).

Ainsi, dans le premier cas la variation de la hauteur relative de l’inclusion Hr est due à la variation de la géométrie de l’inclusion, tandis que dans les cas suivants, elle est due à une variation du diamètre moyen Dm du milieu granulaire. Notons que tous les essais ternaires ont été effectués avec exactement la même géométrie de l’inclusion (H, β, nombre de motifs=20 et rayon intérieur). Les essais binaires ont été effectués avec une géométrie exactement identique (H, β, nombre de motifs=10 et rayon intérieur).


de la hauteur relative du motif de l’inclusion. La Figure IV - 69 met en évidence les points suivants :

− l’évolution de G selon Hr dans le cas de milieu bidisperse ne s’aligne pas selon l’évolution du cas monodisperse. En effet les valeurs de G pour Rt égal 3 et 5 sont largement plus importantes que celles attendues d’après l’évolution du milieu monodisperse. Ainsi, un milieu polydisperse n’est pas assimilable à un milieu monodisperse dont le rayon serait le rayon moyen du milieu polydisperse.

− il apparaît deux zones d’évolution différente du module de cisaillement en petite déformation selon la hauteur relative de l’inclusion, avec une transition pour une valeur de Hr=4Dm. Pour les valeurs de Hr faibles, G croît légèrement en fonction de Hr.


204

Pour les valeurs de Hr au dessus de la zone de transition, le module de cisaillement G stagne globalement. Cette transition dans l’évolution de G en fonction de Hr n’est pas due à une valeur critique de Hr mais à la modification de la structure granulaire. En effet, aux valeurs faibles de Hr correspond des milieux granulaires polydisperses gérés par un squelette de grandes particules. Au contraire, des valeurs fortes de Hr signifient que le mélange granulaire est principalement constitué de petites particules.

Ce dernier point justifie l’évolution non linéaire de G en fonction de Hr pour les milieux polydisperses contrairement à l’évolution linéaire mis en évidence au § IV-3.3.2 pour les milieux monodisperses. Pour les milieux ternaires, le domaine d’étude étant réduit à des valeurs de Hr supérieure à 4Dm, la discontinuité de l’évolution de G en fonction de la hauteur relative de l’inclusion n’est pas visible. Pour une hauteur relative et un rapport de taille semblables entre milieu binaire et ternaire, ce dernier présente un comportement moins raide que le milieu binaire. La Figure IV - 69 montre que les modules de cisaillement obtenus pour les milieux ternaires 1-5-10 sont toujours inférieurs aux valeurs obtenues pour les milieux binaires 1-5 et 1-10.

4.2.2.2 Coefficient de frottement réel au pic

Figure IV - 70 : Coefficient de frottement réel au pic en fonction du pourcentage

surfacique de grandes particules pour les milieux bidisperses. Nous constatons que le coefficient de frottement réel au pic est sensiblement constant en fonction de la fraction surfacique de grandes particules. D’autre part le coefficient de frottement au pic est le même quel que soit Pg pour Rt=3 et 5, et égale au cas monodisperse. Une augmentation de µ*f de 20% est visible pour une valeur de Rt très importante à savoir 10. Vallejo (2001) a montré que le frottement au pic est fonction du coefficient de frottement des particules. Son étude porte sur des essais de cisaillement triaxiaux de mélanges de deux types de particules caractérisées par un diamètre (rapport de taille de 12.5) et un coefficient de frottement spécifique. Ces essais lui ont permis d’étudier l’évolution de la résistance au cisaillement en fonction de la granularité et du coefficient de frottement particulaire associé (cf. Figure IV - 71). µ*f est proche de la valeur définie pour les particules qui sont majoritaires dans le milieu et qui constituent le squelette soumis à la sollicitation.


205

Dans notre cas, toutes les particules ayant le même coefficient de frottement, le coefficient de frottement au pic est constant quelle que soit la répartition surfacique des différentes familles de particules.

Figure IV - 71 : Évolution de la contrainte au pic en fonction de la granularité (ωc : pourcentage en poids de grandes particules, ωf de petites particules) d’après Vallejo

(2001).

Dans le cadre de l’étude du milieu monodisperse (§3.3.2), il apparaissait que le coefficient de frottement réel au pic est une fonction croissante non linéaire de la hauteur relative du motif de l’inclusion : en effet, la hauteur de l’inclusion passant de 1 à 10Dm le coefficient de frottement µ*

f augmentait de 0.5 à 0.9 environ. Dans le cas d’un milieu bidisperse, cette augmentation de µ*

f en fonction de Hr n’est pas mis en évidence (cf. Figure IV - 72). Il semble que le coefficient de frottement réel au pic soit une constante.


206

Figure IV - 72 : Coefficient de frottement réel au pic en fonction de la hauteur relative

des motifs de l’inclusion.

Au sens de Uesugi et al. (1986a) le coefficient de frottement apparent au pic est constant si la rugosité normalisée est supérieure à la rugosité critique (200.10-3). Étant donné les dimensions de l’inclusion et des particules, les inclusions présentent des rugosités nettement supérieures à la rugosité critique définie par Uesugi. Ceci justifie en partie la non variation de µ*f en fonction de la hauteur relative des motifs. En considérant comme précédemment deux plages de variation distincte, avant et après Hr=4Dm, nous pouvons considérer que le coefficient de frottement réel au pic est constant (à 5%) pour des valeurs de Hr supérieures à 4Dm.

4.2.2.3 Épaisseur d’interface La zone d’interface est définie à partir du sommet des motifs, elle ne tient donc pas compte de la hauteur des motifs. Précisons en premier lieu que l’incertitude sur les valeurs de l’épaisseur de la zone d’interface est assez élevée de l’ordre de 1 à 2Dm. Cependant nous pouvons constater que :

− L’épaisseur de la zone d’interface comporte d’autant moins de particule que le pourcentage surfacique de grandes particules est important dans le milieu granulaire.

− L’influence de la hauteur relative de l’inclusion sur l’épaisseur de l’interface n’est pas clairement identifiable, il semble cependant que cette dernière augmente avec Hr.

Notons en dernier lieu, que cette épaisseur peut-être évaluée non pas en fonction du diamètre moyen mais du plus gros ou plus petit diamètre en présence. Cependant, cela n’aboutit pas à une meilleure exploitation ni compréhension des observations.


207

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0% 20% 40% 60% 80% 100%fraction surfacique de grandes particules

épai

sseu

r de

la z

one

d'in

terfa

ce e

n D

m

Rt=5 Rt=3 Rt=10

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12Hauteur relative Hr de l'inclusion (en Dm)

épai

sseu

r de

la z

one

d'in

terfa

ce e

n D

m

Rt=5 Rt=3 Rt=10

p=100% p=0%

Figure IV - 73 : Évolution de l’épaisseur de la zone d’interface en fonction de :

a) la fraction surfacique de grandes particules ; b) la hauteur relative Hr de l’inclusion.

Pg=100% Pg=0%

Rm

R

m


208

Tableau IV - 13 Figure IV - 51 Figure IV - 52 Figure IV - 53 Figure IV - 54 Figure IV - 55 Figure IV - 56 Figure IV - 57 Figure IV - 58 Figure IV - 59 Figure IV - 60 Figure IV - 61 Figure IV - 62 Figure IV - 63 Figure IV - 64 Figure IV - 65 Figure IV - 66 Figure IV - 67 Figure IV - 68 Figure IV - 69 Figure IV - 70 Figure IV - 71 Figure IV - 72 Figure IV - 73 Figure IV - 74


208

4.3 Étude de l’influence de la loi de contact Nous venons de voir l’influence de la granularité sur le comportement d’interface, nous nous intéressons maintenant au second paramètre important du milieu granulaire que représente la loi de contact. Cette dernière est élastique avec frottement. Nous étudions l’influence:

− de la linéarité ou non linéarité de l’élasticité, − du coefficient de frottement interparticulaire.

sur le comportement d’interface.

Dans le cas élastique linéaire, la force de contact est directement reliée à l’interpénétration de contact. Dans le cas de la loi élastique non linéaire (contact de type Hertz) la force de contact est liée en plus de l’interpénétration de contact, aux caractéristiques physiques (module de cisaillement et coefficient de Poisson) et géométriques (dimension des particules) des entités en contact (Cf. IV-§2.1). Dans le cas d’un milieu polydisperse, l’influence de la loi de contact non linéaire semble donc importante.

Dans un premier temps, nous étudions l’influence sur l’état initial (porosité, distribution des contacts …) de la loi de contact purement élastique (linéaire ou non linéaire). En effet, les échantillons étant créés sans frottement, le coefficient de frottement n’influe pas sur ces paramètres.

Dans un second temps nous considérons le coefficient de frottement interparticulaire afin d’analyser son influence sur le comportement d’interface. Ce dernier varie dans la plage de valeurs suivantes : µp= 0.20, 0.45, 0.60, 0.90 et 1.50 pour une géométrie donnée de l’inclusion (β=60°, H=3Dm, 1Dm et 10Dm) et un coefficient de frottement de l’inclusion nulle (µi=0). Les différents échantillons créés sont listés dans le Tableau IV - 14.

µp Hr 0.10 0.20 0.45 0.60 0.90 1.50

1Dm X X X 3Dm X X X X X X

10Dm X X

Tableau IV - 14 : Récapitulatif des échantillons pour l’étude de l’influence du coefficient de frottement interparticulaire µp (µi=0.0 et β=60°).

Enfin, nous considérerons comme paramètre d’étude le type de loi élastique : linéaire ou non linéaire (type contact Hertz). Pour les cas élastiques non linéaires, les mêmes essais que pour le cas linéaire élastique sont étudiés, c’est-à-dire (Cf. Figure IV - 75) :

− Bidisperse avec un rapport de taille Rt=3, 5 et 10, − Tridisperse avec un rapport de taille de 1-3-5 et 1-5-10.

Les mêmes proportions surfaciques de chaque famille de particules sont étudiées. Quelques essais de répétabilité ont été effectués : 3 échantillons différents ont été créés pour les milieux suivants :

− Le milieu bidisperse 1-5 avec Pg=50%, − Les milieux bidisperses 1-10 avec Pg=50% et 75%.


209

R m =3R p Rg=5Rp

R p =0.3mm

P m 50%

75%

50%* 62%

75%

90%

100%

Pg

P p =Pg=P m

P p =66.66%

P m =66.66% P g =66.66% 100 %

0%

K1

K2

K3

K4

Rm =5Rp R g =10Rp

Rp=0.3mm

Pm 50%*

75%

90%

50%* 62%

75%* 85%

100%

P g

95%

62%

25% Pp= 66.66%

Pp=Pm=Pg

Pm= 66.66% P g = 66.66% 100%

0%

K1

K3

K4 K2 85%

Les milieux ayant fait l’objet d’essais de répétabilité sont repérés par un astérisque.

Figure IV - 75: Récapitulatif des milieux granulaires étudiés

4.3.1 Étude des états initiaux

4.3.1.1 Porosité

Figure IV - 76 : Évolution de la porosité effective en fonction du pourcentage de grandes

particules dans le milieu (cas bidisperses). La Figure IV - 76 présente l’évolution de la porosité n* en fonction de Pg (le pourcentage surfacique de grandes particules) pour les milieux granulaires bidisperses de rapports de taille différents pour une loi de contact hertzienne et linéaire. Nous constatons que : − pour un échantillon monodisperse, uniquement constitué de petites particules, la porosité

est sensiblement la même quelle que soit la loi de contact (linéaire ou non linéaire). − En présence de grandes particules dans le milieu, la porosité pour une loi de contact non

linéaire est plus importante que pour un contact élastique linéaire. Ceci s’explique par le fait que la raideur de contact hertzienne entre grandes particules est plus importante, empêchant le milieu granulaire de se densifier par rapport au cas linéaire où les contacts présentent toujours la même raideur.

− la différence entre l’élasticité linéaire et non linéaire au contact est donc d’autant plus importante que le rapport de taille est important. Le cas le plus flagrant étant les milieux monodisperses (Pg=100%) composé de grandes particules uniquement, pour lesquels la porosité est 14% pour un contact élastique linéaire et de 18% pour un contact hertzien.


210

Nous constatons d’autre part que l’approche théorique de Dodds (1980) permettant de décrire la porosité d’un mélange, n’est plus satisfaisante. En effet, l’approche purement géométrique de Dodds fournit la même porosité pour un milieu monodisperse quelle que soit la dimension des particules. Elle ne convient donc plus dans le cas de loi de contact hertzienne où la variation des raideurs de contact en fonction des dimensions des particules confère des porosités différentes pour des milieux monodisperses dont les particules présentent des dimensions différentes. En revanche, l’approche de Suzuki & Oshima (1985), qui permet de caler la description théorique de la porosité en tenant compte des porosités des milieux monodisperses de rayons différents est quant à elle toujours applicable dans le cas hertzien. Nous pouvons constater sur la Figure IV - 77 que la description de la porosité en fonction de Pg est moins satisfaisante que dans le cas élastique linéaire.

a)

b)

Figure IV - 77 : Évolution de la porosité en fonction de la granularité, comparaison avec l’approche théorique de Suzuki et al. (milieu bidisperse 1-10) :

a) cas élastique linéaire, b) cas élastique non linéaire. Pour ce qui est des milieux tridisperses, nous constatons la même évolution (cf. Tableau IV - 15) : − ainsi les milieux tridisperses K4 et K2 qui possèdent les granulométries les plus riches en

éléments grossiers présentent une porosité plus importante dans le cas hertzien. − en revanche, les milieux tridisperses K1 et K3 qui possèdent les granulométries les plus

fines présentent une porosité du même ordre quelle que soit la loi de contact utilisée.


211

1-3-5 1-5-10 K1 K2 K3 K4 K1 K2 K3 K4

Linéaire 11.14% 12.77% 11.78% 11.89% 9.18% 11.36% 10.97% 10.06% Non linéaire 11.53% 13.49% 11.62% 12.61% 9.28% 12.15% 10.73% 10.32%

Écart à la valeur linéaire 3.50% 5.64% -1.36% 6.06% 1.09% 6.95% -2.19% 2.58%

Tableau IV - 15 : Porosité n* pour les milieux tridisperses selon la loi de contact linéaire ou non linéaire.

4.3.1.2 Répartition des types de contact La répartition des différents types de contact est sensiblement identique quelle que soit la loi de contact. Pour un rapport de taille très important (à savoir Rt=10), une légère variation est visible pour les forts pourcentages surfaciques de grandes particules.

Figure IV - 78 : Évolution de la répartition des différents types de contact en fonction de

la granularité (cas bidisperse Rt=10). La répartition des différents types de contact n’est pas véritablement influencée par le type de la loi de contact. Seules les raideurs des différents types de contact varient de manière importante avec la non linéarité ou linéarité de la loi de contact.

4.3.1.3 Répartition des raideurs moyennes selon les familles de contact Nous avons vu que la raideur de contact pour le cas hertzien est fonction notamment des rayons des particules en contact et de l’interpénétration normale au contact. Ainsi, la raideur est d’autant plus importante que la distance Lij entre les centres des particules en contact est importante. La Figure IV - 79 montre l’évolution de la moyenne des raideurs normales en fonction de Lij pour différentes fractions surfaciques de grandes particules pour des milieux bidisperses. Rappelons que dans un milieu bidisperse, les deux familles de taille de particules (Rp et Rg=RtRp) possèdent chacune 3 sous-familles de particules du fait de la dispersion de


212

20% autour du rayon médian. Ainsi, il y a 6 types de contacts possibles entre petites particules, 9 entre petites et grandes particules, et 6 entre grandes particules. Chaque type de contact étant caractérisé par un vecteur branche de norme spécifique.

a)

b)

Figure IV - 79 : Évolution de la raideur moyenne au contact selon les types de contact a) milieu bidisperse 1-3 avec Pg=50, 75 et 90%

b) milieu bidisperse 1-10 avec Pg=62, 75 et 95%. Nous constatons une augmentation de la raideur avec la distance entre les centres de particules en contact. Les contacts entre grandes particules mettent en jeu une raideur plus importante que la raideur définie dans le cas élastique linéaire En revanche, les contacts entre petites particules mettent en jeu des raideurs plus faibles ou du même ordre de grandeur que celle définie dans le cas élastique linéaire. Par conséquent, les granularités favorisant les contacts entre grandes particules auront un comportement plus raide que celle favorisant les contacts entre petites particules. Enfin, il est à noter que les raideurs de contact sont faiblement influencées par la répartition surfacique des familles en présence.


213

a)

b)

Figure IV - 80 : a) Évolution de la force normale moyenne b) Évolution de l’interpénétration Un (milieu 1-5 et Pg=75%)

La répartition des forces normales de contact en fonction du type de contact est identique en élasticité linéaire et hertzienne (Figure IV - 80a). Concernant l’interpénétration au contact (Figure IV - 80b), nous constatons que : − Dans le cas linéaire, l’interpénétration augmente avec Lij puisque les forces augmentent

avec une raideur de contact constante. Cette interpénétration représente ainsi une fraction des diamètres des particules a peu prés constante quel que soit le type de contact.

− Dans le cas de l’élasticité non linéaire, l’interpénétration reste globalement du même ordre de grandeur, ainsi, représente-t-elle une partie de moins en moins importante des particules.

4.3.1.4 Orientation des contacts La répartition des orientations de contact au niveau de l’échantillon ou dans la zone d’interface n’est nullement influencée par la linéarité ou non linéarité de la loi de contact élastique. Au niveau global la distribution des orientations de contact est isotrope, ceci étant le fruit de la distribution des tailles des particules. Au niveau de la zone proche de l’inclusion, il apparaît des directions privilégiées de contact dépendantes des caractéristiques géométriques des motifs de l’inclusion (cf. §3.2.3). Ce dernier point n’est pas modifié par la loi de contact.


214

4.3.1.5 Conclusions sur les états initiaux Pour une granularité donnée, les états initiaux pour une loi de contact élastique linéaire ou non linéaire sont globalement les mêmes : − Répartitions identiques des différents types de contacts, − Distribution des contacts identique, − Même force moyenne, − Même répartition des forces de contact selon les familles de contact, Seule la porosité diffère et ceci uniquement pour les fractions surfaciques importantes de grandes particules (Pg>70%). Dans la majorité des cas, les états initiaux sont identiques en linéaire et non linéaire. Pour les grandes valeurs de Pg, le milieu est cependant légèrement plus poreux dans le cas élastique non linéaire.

4.3.2 Études des caractéristiques élastiques et de résistance au cisaillement

4.3.2.1 Influence du coefficient de frottement interparticulaire µp Afin d’étudier l’influence du coefficient de frottement interparticulaire, celui-ci varie dans la plage de valeurs suivantes : µp=0.20, 0.45, 0.60, 0.90 et 1.50 pour une géométrie donnée (β=60°, H=3Dm, 1Dm et 10Dm) et un coefficient de frottement de l’inclusion nulle µi=0. Le coefficient de frottement au pic µ*

f augmente avec le coefficient de frottement interparticulaire de manière logarithmique (Cf. Figure IV - 81a). Pour les faibles valeurs de coefficient de frottement interparticulaire, µ*

f est supérieur au coefficient de frottement interparticulaire. Ceci semble être dû à la présence même des motifs de l’inclusion qui rendent le mouvement des particules difficile, augmentant ainsi le coefficient de frottement réel à la rupture. Dans le cas d’une inclusion sans motif, c’est-à-dire sans rugosité géométrique, le coefficient de frottement à la rupture est toujours inférieur au coefficient de frottement des particules. Le module de cisaillement G augmente faiblement en fonction du coefficient de frottement interparticulaire (Cf. Figure IV - 81b). Un coefficient de frottement interparticulaire important impose une mobilité des particules réduite l’une par rapport à l’autre et une mise en jeu plus importante de leurs propriétés élastiques. Il apparaît cependant que le coefficient de frottement interparticulaire n’a pas d’influence notable sur le module de cisaillement en petite déformation. Ce qui apparaît le plus clairement ici, c’est l’influence de la hauteur du motif de l’inclusion sur la raideur initiale du comportement, d’autant plus importante que le motif est grand par rapport aux dimensions des particules.


215

a)

b)

Figure IV - 81 : Influence du coefficient de frottement interparticulaire sur le comportement en grande et petite déformation (µ*f et G), pour β=60°, Hr=1, 3 et 10Dm et

pour le cas de l’inclusion lisse. Concernant le radoucissement, il apparaît que plus le coefficient de frottement interparticulaire est important, plus le radoucissement est important (cf. Figure IV - 82a). Pour les valeurs les plus faibles de µp, le radoucissement est même inexistant, le comportement se rapprochant d’un comportement palier, sans présence de pic de cisaillement. Il semble également que tous les essais tendent vers le même palier en contrainte de cisaillement (soit un coefficient de frottement résiduel d’environ 0.30). Concernant la déformation radiale au palier, nous constatons que celle-ci augmente en fonction du coefficient de frottement des particules de manière logarithmique (Figure IV - 83). En effet, un coefficient de frottement interparticulaire rend de plus en plus difficile la rotation des particules et leur glissement, ainsi sont-elles soumises à des déplacements d’autant plus importants pour «débloquer» le système granulaire.


216

a)

b)

Figure IV - 82 : Évolution de la contrainte de cisaillement et de la déformation radiale au cours du cisaillement en fonction du coefficient de frottement interparticulaire

(β=60°, H=3Dm, µi=0.0).

y = 4.09E-03Ln(x) + 1.27E-02R2 = 9.69E-01

0.0%

0.2%

0.4%

0.6%

0.8%

1.0%

1.2%

1.4%

1.6%

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

coefficient de frottement interparticulaire

défo

rmat

ion

radi

ale

moy

enne

au

palie

r

Figure IV - 83 : Influence de µp sur la déformation radiale au palier pour β=60° et

Hr=3Dm (résultats numériques avec interpolation logarithmique). Enfin il semble que l’épaisseur de la zone d’interface est une fonction croissante du frottement interparticulaire µp tout en atteignant rapidement une valeur maximale. Cette conclusion est toutefois à modérer étant données les difficultés de détermination précise de cette épaisseur comme nous l’avons évoqué au §4.2.2.3.


217

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 0.2 0.45 0.6 0.9 1.5coefficient de frottement interparticulaire µp

épai

sseu

r de

la z

one

d'in

terfa

ce (D

m)

1Dm 3Dm 10Dm

Figure IV - 84: Influence du coefficient de frottement des particules sur l’épaisseur de la zone d’interface (β=60° et µi=0.0)

4.3.2.2 Influence de la linéarité ou non-linéarité de la loi de contact élastique

Avant de nous intéresser plus particulièrement à l’évolution des caractéristiques du comportement global en fonction de la loi de contact, comparons pour un milieu tridisperse (1-3-5 K1) le comportement global dans les cas élastique linéaire et hertzien (Figure IV - 85). Nous constatons que : − Le comportement est initialement plus raide dans le cas hertzien, ce qui s’explique par la

raideur de contact qui est d’autant plus importante que les particules en contact sont de grandes dimensions.

− Le comportement est plus résistant dans le cas hertzien, le coefficient de frottement réel au pic est plus important dans ce dernier cas.

− Le comportement est moins dilatant dans le cas hertzien que dans le cas linéaire élastique, ce qui peut se justifier par le fait que le milieu est moins dense initialement.

Figure IV - 85 : Évolution de la contrainte de cisaillement et de la déformation radiale

au cours de l’essai (pour le milieu 1-3-5 K1 : Pg=Pp=Pm).

Dans les cas élastiques linéaires avec milieu monodisperse, nous avions constaté que le module initial de cisaillement augmente avec la hauteur relative de l’inclusion. Cette augmentation en fonction de Hr est toujours visible dans le cas d’un milieu bidisperse, mais présente deux pentes différentes séparées par une zone de transition : − Pour Hr<4Dm : une augmentation de G ; le milieu granulaire est gouverné par les grandes

particules.


218

− Pour Hr>4Dm : une augmentation moins marquée, voire une stagnation ; le milieu granulaire est gouverné par les petites particules (le squelette de l’assemblage est constitué de petites particules, avec en inclusion les grandes particules).

− Autour de Hr=4Dm : une zone de transition. Cette zone de transition correspond au passage d’un milieu gouverné par les particules de grandes ou de petites dimensions (squelette constitué des grandes ou petites particules). Cette zone de transition est d’autant plus importante et marquée que le rapport de taille RT est important.

a)

b)

Figure IV - 86 : Évolution du module de cisaillement initial en fonction de la hauteur relative de l’inclusion : a) cas linéaire, b) cas non linéaire.

Pour les milieux polydisperses hertziens (cf. Figure IV - 86b), cette fonction croissante de G en fonction de Hr, n’est plus visible. Il apparaît au contraire que le module de cisaillement initial diminue en fonction de Hr, cela pouvant se justifier en partie par la distribution des raideurs de contact qui confère au contact entre grandes particules une valeur nettement plus importante que pour les contacts entre petites particules. Ainsi, la raideur moyenne de contact normal diminue-t-elle de manière importante en fonction de la hauteur relative de l’inclusion (cf. Figure IV - 87).

Nous pouvons constater sur la Figure IV - 87 que la raideur normale moyenne de contact n’est pas influencée par la granularité pour un Hr supérieur à 7Dm. Ces milieux sont caractérisés par


219

des contacts principalement entre petites particules (Pg<80%) . Nous constatons de plus que le module de cisaillement G subit des variations importantes alors que la raideur normale moyenne au contact reste sensiblement la même, mettant ainsi en évidence que la raideur moyenne de contact n’est pas le bon paramètre à considérer dans une approche d’homogénéisation et qu’il est nécessaire de considérer la distribution des raideurs de contact en fonction des types de contact.

a)

b)

Figure IV - 87 : Évolution de la raideur normale moyenne de contact en fonction de la granularité et de la hauteur relative de l’inclusion pour une loi de contact non linéaire.

4.3.3 Conclusions

L’influence de la rugosité géométrique de l’inclusion sur le comportement global de l’assemblage granulaire est fonction de la loi de contact utilisée pour la modélisation. En effet, pour une loi de contact élastique linéaire, une augmentation de G en fonction de Hr est constatée, alors que pour une loi de contact hertzienne, G diminue en fonction de Hr. La raideur de contact n’est plus constante mais dépend des dimensions des particules en contact. Ainsi, la distribution des types de contact joue-t-elle un rôle important dans la définition du comportement global. Pour une étude théorique par homogénéisation, la distinction des importances relatives de chaque type de contact doit être scrupuleusement prise en compte.


220

5 APPROCHES D’HOMOGÉNÉISATION Dans cette partie nous nous proposons d’appliquer une approche d’homogénéisation qui tienne compte de :

− la présence de l’inclusion par le biais de l’anisotropie de contact induite dans la proximité de l’inclusion,

− la granularité du milieu, en considérant les différentes tailles de particules présentes dans l’échantillon,

− la non linéarité éventuelle de la loi de contact élastique entre les particules du milieu granulaire.

Ces approches théoriques permettent de déterminer les caractéristiques globales du milieu en fonction de considérations locales (distribution des contacts, raideurs de contact, …). L’analyse est restreinte au comportement en faibles déformations, en considérant le milieu élastique, ainsi, le module de cisaillement G est comparé aux résultats des simulations numériques étudiées dans les parties précédentes.

5.1 Description des approches d’homogénéisation Nous reprenons les démarches cinématique et statique (dans le cas 2D) proposées par Chang & Liao (1994) pour sa facilité de mise en œuvre en y introduisant :

− l’anisotropie de contact pour des milieux monodisperses, afin de tenir compte de l’influence de l’inclusion sur son entourage proche ;

− une description de la distribution des diamètres des particules et des raideurs de contact pour des milieux polydisperses isotropes.

La Figure IV - 88 présente les différentes opérations nécessaires à l’homogénéisation selon les deux hypothèses cinématique et statique utilisées par Chang & Liao (1994).

εij σij

Uj Fi

iijj lu ε∆=∆

jiji uKF ∆=∆

Loi de contact

Loc

alis

atio

n ci

ném

atiq

ue

Moy

enne

st

atiq

ue

∑∆=σ∆c

ijij lFV1

klijklij C ε∆=σ∆

Loi de comportement

εij σij

Uj Fi

∑∆=ε∆c

ikkjij AnuV1

jiji FSu ∆=∆

Loi de contact

Moy

enne

ci

ném

atiq

ue

Loc

alis

atio

n st

atiq

ue

kikijj nAF σ∆=∆

klijklij S σ∆=ε∆

Loi de comportement

Figure IV - 88 : Schéma d’homogénéisation : chemin cinématique et statique. La présentation détaillée des différentes étapes de ces deux processus est reportée en Annexe du Chapitre IV. Seuls seront présentés ici les résultats des homogénéisations (i.e. l’expression de la loi de comportement global) en précisant les hypothèses sous lesquelles ils ont été obtenus. Les hypothèses fondamentales de l’approche d’homogénéisation mise en œuvre sont, quel que soit le chemin suivi, les suivantes : − Nous considérons un assemblage de particules en 2D, les intégrations se font donc sur un

milieu bidimensionnel. − La variable cinématique locale mise en jeu dans l’approche de Chang & Liao (1994) (cf.

Figure IV - 88) correspond au déplacement relatif de deux particules en contact. Nous avons vu au chapitre I dans la partie consacrée à l’étude bibliographique des techniques d’homogénéisation (§I-2), qu’il est préférable de prendre en considération le déplacement


221

relatif de particules voisines (pas nécessairement en contact) afin de décrire au mieux la cinématique locale. Cependant, la prise en compte de ce type de déplacement nécessite un maillage et une approche d’homogénéisation plus complexe. Étant donné que les milieux étudiés lors des simulations discrètes avec PFC2D (chapitres II et IV) sont des milieux particulièrement denses, cette simplification semble acceptable.

− D’autre part, toujours par soucis de simplification de la démarche, les variables cinématiques locales ne prennent pas en compte la rotation des particules.

− Conséquence directe du point précédent, il n’y a pas de moment en plus de la force développée au point de contact entre deux particules. Les variables globales sont uniquement les tenseurs de contraintes σij et de déformations εij.

− Le milieu est constitué de particules circulaires, ainsi le vecteur branche lc joignant le centre de deux particules a et b en contact en c est colinéaire à la normale au contact : lc=(Ra+Rb)n, où n=(cosθ, sinθ) est la normale au contact d’orientation θ par rapport à l’horizontale. θ varie de 0 à 2π.

− Les opérations de moyenne aussi bien statique que cinématique font intervenir une sommation sur tous les contacts (cf. Figure IV - 88). Ces sommes peuvent être décomposées en deux sommations distinctes : • Sommation sur les différents types de contacts : un milieu polydisperse est caractérisé

par la présence de différents types de contact (noté ci). Chaque type de contact représente un certain nombre de contact (noté Nci) dans le milieu. Chacun d’eux est caractérisé par des vecteurs branches de normes spécifiques (lci

k), des raideurs normale et tangentielle spécifiques (notées Knci et Ktci). Cette dernière remarque concerne essentiellement les milieux avec loi de contact élastique non linéaire (type Hertzien) où la raideur de contact est fonction des caractéristiques géométrique et physique des particules en contact et de la force normale appliquée.

• Une seconde sommation sur les orientations des normales au contact caractérisées par la distribution P(θ) qui respecte la relation suivante :

IV - 31 ( ) 1dP2

0

=θθ∫π

=θ

Généralement, la probabilité d’orientation de contact est décrite par un tenseur d’ordre deux, ce qui n’est pas toujours suffisant pour décrire correctement certaines anisotropies. Ainsi Cambou et al. (1984) montrent qu’une description par un tenseur du quatrième ordre permet une bonne corrélation avec les résultats expérimentaux, notamment pour des descriptions d’anisotropie sous sollicitation biaxiale et de distorsion. La probabilité d’orientation de contact sera donc décrite par un tenseur d’ordre 4 afin de respecter au mieux des probabilités d’orientation de contact complexes comme nous en avons observées au IV-3.2.3. Ainsi la probabilité d’orientation de contact a l’expression générale suivante (cf. annexe du chapitre IV) :

IV - 32 ( ) lkijkljijiji nnnnnnP φ+φ+φ=θ

avec :

− le tenseur de deuxième ordre2

1ij 0

0φ

φ=φ : tenseur diagonale de trace nulle,

− φ=1/2π − le tenseur de quatrième ordre φijkl tel que :


222

IV - 33 ∗Φ−=φ+φ31

22221111

Nous noterons par la suite :

IV - 34 212121121221121222111122 φ+φ+φ+φ+φ+φ=Φ∗

Et Φ1=φ1111 et Φ2=φ2222 et les autres termes nuls : φ1112=φ1121=φ1211=φ2111=φ2221=φ2212=φ2122=φ1222=0

− On considère que ces deux variables de sommation (type de contact et orientation de contact) sont non corrélées, c’est-à-dire que les différents types de contacts ne sont pas assujettis à certaines orientations de contacts. Nous avons vu au chapitre II que les différents types de contacts présents dans un milieu polydisperse possèdent la même distribution d’orientations de contact. Cette hypothèse de non corrélation est d’autant plus justifiée pour nos cas d’études que le milieu est globalement isotrope pour ce qui concerne les orientations de contact (sauf pour une zone proche de l’inclusion).

5.1.1 Approche cinématique

La Figure IV - 89 résume les différentes opérations utiles pour boucler le schéma d’homogénéisation par le chemin cinématique selon les hypothèses de Chang & Liao (1994).

εij σij

Uj Fi

iijj lu ε∆=∆

jiji uKF ∆=∆

Loi de contact

Loc

alis

atio

nci

ném

ati q

ue

Moy

enne

stat

ique

∑∆=σ∆c

ijij lFV1

klijklij C ε∆=σ∆

Loi de comportement

Figure IV - 89 : Schéma d’homogénéisation selon le chemin cinématique

5.1.1.1 Milieu monodisperse anisotrope Considérons un milieu constitué de particules circulaires :

− Monodisperse : les longueurs de vecteurs branches reliant les centres de deux particules en contact sont toutes identiques telles que lc

i=2Rni, les raideurs de contact sont constantes : Kn et Kt=αKn.

− Anisotrope pour ce qui concerne les orientations de contact. Cette anisotropie est caractérisée par la probabilité d’orientation de contact définie au §5.1.1 dont nous rappelons l’expression :

IV - 35 ( ) lkijkljijiji nnnnnnP φ+φ+φ=θ

La loi de comportement est sous ces hypothèses (ici la convention de sommation d’Einstein n’est pas prise en compte) :


223

IV - 36 ( )

( )( )

( )( )( )*iiij

t

jijiij

222111

*iiij

ji

ijtnc2

ij

8484896K

33212266

212162

26824tr

KK

V24NR

Φ+Φ+φ+φε∆+

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

Φ+Φ+Φ+φε∆+ε∆+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φε∆+Φε∆+

Φ−Φ+φε∆+

Φ+Φ+φ+φε∆

δ−π

=σ∆

∗

∗

où Φ∗ est une somme de différents termes du tenseur φijkl (relation IV - 34) Φ1=φ1111 et Φ2=φ2222

φ1=φ11 et φ2=φ22

Le module de cisaillement obtenu par cette approche sera comparé à la valeur du module de cisaillement apparent issu des simulations numériques d’essai de cisaillement annulaire sur milieu monodisperse. Nous faisons l’hypothèse que le milieu a un comportement élastique linéaire isotrope, alors la loi de comportement est de la forme suivante :

IV - 37

( ) ( )( ) ( )

2112

2112

22

1122

22

2112

2112

22

11

Z2B00AG200001E1E001E1E

ε∆−ε∆ε∆+ε∆

ε∆ε∆

ν−ν−νν−νν−

=

σ∆−σ∆σ∆+σ∆

σ∆σ∆

Où le module de cisaillement G a l’expression suivante :

IV - 38 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+φ

−π

= t*tn

c2

K242

KKVNR2G

5.1.1.2 Milieu polydisperse isotrope Les observations issues des simulations numériques concernant les milieux polydisperses nous indiquent que la distinction entre les différents types de contact est indispensable. Chaque type de contact est caractérisé par une raideur de contact et un vecteur branche spécifique. L’isotropie de contact entraîne P(θ)=1/2π. La loi de comportement globale comporte les caractéristiques des différents types de contact présents dans le milieu polydisperse, ainsi :

IV - 39

( ) ( )( )

( )∑

∑

ε∆+

ε∆+ε∆+εδ∆−=σ∆

i

iii

i

iiii

cij

ct

2cc

cjiijij

ct

cn

2ccij

KlNV21

trKKlNV81

Avec Nci nombre de contacts de type ci Kn

ci raideur normale au contact pour des contacts de type ci Kt

ci raideur tangentielle au contact pour des contacts de type ci

lci longueur du vecteur branche pour un contact de type ci. Le module de cisaillement G a l’expression suivante :


224

IV - 40 ( ) ( )∑ +=i

iiii

c

ct

cn

2cc KKlNV81G2

G dépend donc de la granularité du milieu qui est caractérisée par une distribution des différents type de contact Nci, des longueurs des vecteurs branches lci, ainsi que les raideurs de contacts spécifique à chaque type de contact Kn

ci et Ktci.

5.1.2 Approche statique

εij σij

Uj Fi

∑ ∆=ε∆c

ikkjij AnuV1

j1ijjiji FKFSu ∆=∆=∆ −

Loi de contact

Moy

enne

ciné

mat

i que

Loc

alis

atio

nst

atiq

ue

kikijj nAF σ∆=∆

klijklij S σ∆=ε∆

Loi de comportement

Figure IV - 90 : Schéma d’homogénéisation selon le chemin statique La Figure IV - 90 présente les différentes opérations de l’approche d’homogénéisation selon le chemin statique (Chang & Liao 1994). Nous constatons que par rapport à l’approche cinématique, il apparaît un élément supplémentaire, le tenseur Aij qui intervient dans l’expression de la localisation statique et de la moyenne cinématique. Ce tenseur Aij est l’inverse du tenseur de structure lui même défini comme :

IV - 41 ∑=ccontact

jciij nl

V1F

5.1.2.1 Milieu monodisperse anisotrope Le milieu est supposé monodisperse, ainsi les sommations ne font intervenir que les différentes orientations de contact, tous les contacts étant du même type caractérisés par la même longueur du vecteur branche lc

k=2Rnk, les mêmes raideurs de contact normale et tangentielle Kc

n=Kn, et Kct=Kt=αKn.

Déterminons dans un premier temps l’expression du tenseur de structure ainsi que son inverse, le tenseur Aij en tenant compte de l’anisotropie d’orientation des contacts (expression IV - 32). L’expression IV - 41 devient alors :

IV - 42 [ ] ijii

c

ij 6612V6

RNF δΦ+Φ+φ+φπ

= ∗

Le tenseur de structure est diagonal, de termes diagonaux différents, le tenseur Aij est son inverse donc :

IV - 43 2

1ij a0

0aA = avec ∗Φ+Φ+φ+φπ

=ii

ci 66121

RNV6a


225

Le bouclage du processus d’homogénéisation sous cette hypothèse d’anisotropie pour un milieu monodisperse conduit à l’expression finale (ici la convention de sommation d’Einstein n’est pas prise en compte) (cf Annexe du chapitre IV) :

IV - 44

( )

( )( )( )

( )( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ+φσ∆+σ∆+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ∆Φ+σ∆Φ+

Φ+φσ∆+Φ+Φ+φσ∆

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

Φ+Φ+φ+φσ∆

π=ε∆

∗

∗

12aaaa3

a24312atr

K1

K1

4242448aK1

V48aN

ijijij

22221111

iiiij

i

ij

tn

*iiiijt

ic

ij

Nous étudierons par la suite l’évolution du terme G tel que :

IV - 45

( )( )

( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ+φ+Φ+φ+

+Φ+φ+

++Φ+φ

π=

222211

21

t

22

21*

t

22

2121*

nc

aaK24

aa336K1

aaaa12K1

V48N

G1

5.1.2.2 Milieu polydisperse isotrope L’expression du tenseur de structure dans le cas polydisperse isotrope est la suivante :

IV - 46 ikikc

ccik FlN

V21F

i

ii δ=δ= ∑

Ainsi le tenseur Aij est de la forme : Aik=Aδik avec

IV - 47 ∑

=

i

ii

c

cc lNV2A

Les tenseurs Aij et Fij sont des tenseurs diagonaux de termes diagonaux égaux dépendant de la granularité du milieu. Ces deux tenseurs caractérisent l’état de structure du milieu granulaire en tenant compte des granularités du milieu. La loi de comportement obtenue par ce processus statique d’homogénéisation sous ces hypothèses d’isotropie d’un milieu polydisperse est (cf. Annexe du chapitre IV) :

IV - 48 ( ) ijc

ct

c2

jiijijaac

ct

cn

c2

iji

i

i

iii

i

KN

V2A

K1

K1N

V8A

σ∆+σ∆+σ∆+δσ∆⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ε∆ ∑∑

Nous comparerons l’évolution en fonction de la granularité du milieu du terme G tel que :

IV - 49 ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

iii

i

cct

cn

c2

K1

K1N

V4A

G21

avec les résultats issus des simulations numériques d’essai de cisaillement annulaire sur milieux polydisperses.


226

5.2 Comparaison avec les résultats numériques Les expressions du module de cisaillement obtenues par les 4 approches d’homogénéisations précédentes sont comparées aux résultats issus des simulations numériques d’essai de cisaillement annulaire. Dans un premier temps, les approches cinématique et statique pour milieu monodisperse anisotrope sont considérées, afin de vérifier si la prise en compte de l’anisotropie de contact développée par l’inclusion dans la zone proche d’elle permet de décrire l’influence de la géométrie de l’inclusion sur le comportement d’interface. Puis, les expressions du module de cisaillement issues des approches d’homogénéisation tenant compte de la nature polydisperse de l’assemblage granulaire sont comparés aux évolutions de G en fonction de la granularité et de la loi de contact.

5.2.1 Milieu monodisperse anisotrope

L’approche d’homogénéisation que nous venons de décrire permet de tenir compte d’une anisotropie de contact. Nous avons vu au paragraphe 3 l’influence de la géométrie de l’inclusion sur l’état initial (essentiellement sur l’orientation des contacts sur une faible épaisseur de particules au dessus de l’inclusion) et sur le comportement global caractérisé par G. Nous nous proposons ici, de comparer les évolutions de G en fonction de la géométrie de l’inclusion (caractérisée par la hauteur H et l’angle β) obtenues numériquement avec des résultats de l’approche d’homogénéisation :

IV - 50 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

+φ

−π

= t*

tn

c2

K242

KKVNR2G cinématique

IV - 51

( )( )

( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Φ+φ+Φ+φ+

+Φ+φ+

++Φ+φ

π=

222211

21

t

22

21*

t

22

2121*

nc

aaK24

aa336K1

aaaa12K1

V48N

G1

statique

Nous comparons les valeurs numériques de G à celles obtenues théoriquement par les deux chemins cinématique et statique. Cependant, ne connaissant pas avec suffisamment de précision le rapport Nc/V à prendre en considération pour la zone que nous étudions par homogénéisation nous considérons l’évolution de G/(Nc/V). D’autre part l’expression de la probabilité de contact utilisée dans les approches d’homogénéisation est déterminée à partir des résultats numériques afin de décrire au mieux l’anisotropie de contact. Nous avons constaté que les milieux granulaires étudiés sont isotropes à l’échelle de l’échantillon dans sa globalité, l’anisotropie de contact n’étant visible que dans une zone de faible épaisseur proche de l’inclusion. Ainsi, les termes des tenseurs φij et φijkl sont déterminés par la méthode des moindres carrés au vu des probabilités d’orientation de contact issues des simulations numériques pour la zone proche de l’inclusion. Nous considérons plus précisément, les particules comprises dans les motifs de l’inclusion et au dessus de l’inclusion dans une épaisseur inférieure à 3Dm.


227

La Figure IV - 91 met en évidence une assez bonne description de l’anisotropie de contact, les approximations obtenues présentent les directions privilégiées de contact observées numériquement. Cependant, ces évolutions théoriques ne permettent pas de décrire des pics d’anisotropie aussi marqués que ceux constatés numériquement. La description de l’anisotropie de contact par un tenseur d’ordre 4 ne permet pas de décrire l’anisotropie dans toute sa complexité comme le montre la Figure IV - 91b. Dans ce dernier cas, nous constatons que les deux pics obtenus numériquement autour de 180° n’en forment plus qu’un seul dans l’approximation obtenue.

Figure IV - 91 : Densité de probabilité d’orientation de contact pour :

a) Hr = 3Dm et β=60° ; b) Hr = 10Dm et β=80°) (épaisseur d’étude au dessus de l’inclusion 3Dm)

Les Figure IV - 92 et Figure IV - 93 comparent les résultats numériques aux approches théoriques. Il apparaît dans un premier temps que l’ordre de grandeur est relativement correct. Les résultats numériques étant plus ou moins encadrés par les résultats théoriques. Cependant, l’influence de l’angle du motif de l’inclusion sur le comportement global n’est pas représentée correctement par l’approche d’homogénéisation, malgré la prise en compte de l’anisotropie de contact dans l’approche théorique.

Figure IV - 92 : Évolution du module de cisaillement en fonction de l’angle du motif de

l’inclusion (pour une hauteur Hr=1Dm).

G.V

/Nc


228

Figure IV - 93 : Évolution de G en fonction de l’angle du motif de l’inclusion.

Figure IV - 94 : Évolution de G en fonction de la hauteur relative du motif de

l’inclusion : résultats numériques, théoriques (statique et cinématique).

De la même manière la Figure IV - 94 montre que la prise en compte de l’anisotropie de contact dans l’approche d’homogénéisation n’est pas satisfaisante car elle ne permet pas de décrire l’influence de la hauteur du motif sur le comportement global. Nous pouvons supposer que la description de l’anisotropie de contact par un tenseur de 4ieme ordre n’est pas suffisant pour décrire correctement l’anisotropie observée numériquement, et par conséquent, ne permet pas d’obtenir une bonne description de l’influence de la géométrie de l’inclusion sur les caractéristiques globales. Une description de l’anisotropie de contact avec un tenseur d’ordre plus élevé donnerait à n’en pas douter de meilleurs résultats, mais nécessiterait des développements théoriques nettement plus lourds à gérer pour obtenir une expression de la loi de comportement.

5.2.2 Milieu polydisperse isotrope

L’approche théorique d’homogénéisation que nous avons développée dans ce chapitre permet de tenir compte de la dispersion des diamètres des particules. Dans le cas d’une loi de contact élastique linéaire, cette dispersion de taille des particules signifie uniquement une distribution des longueurs des vecteurs branches. Dans le cas d’une loi de contact élastique non linéaire (contact de type Hertzien), cette dispersion des dimensions des particules signifie de surcroît une distribution des raideurs de contact. Nous nous proposons dans ce paragraphe de comparer l’évolution du terme G (reliant la contrainte de cisaillement à la déformation de sollicitation en cisaillement) obtenu numériquement aux résultats de l’approche théorique, et ceci pour les deux types de lois de contact élastique :

IV - 52 ( ) ( )∑ +=i

iiii

c

ct

cn

2cc KKlNV81G2

cinématique

G.V

/Nc

G.V

/Nc

G.V

/Nc

G.V

/Nc


229

IV - 53 ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

iii

i

cct

cn

c2

K1

K1N

V4A

G21

statique

Contrairement au paragraphe précédent, nous ne considérons pas l’anisotropie de contact, nous considérons l’échantillon au niveau global. Ainsi, le rapport Nc/V caractérisant l’état de densité du milieu, utilisé dans l’approche numérique est issu directement des simulations numériques.

Figure IV - 95 : Évolution du module de cisaillement G en fonction de la granularité

(milieu bidisperse Rt=10) et de la loi de contact élastique linéaire ou non linéaire. La Figure IV - 95 présente les résultats numériques et théoriques obtenus dans le cas d’un milieu bidisperse (rapport de taille Rt=10). Nous constatons que l’approche d’homogénéisation permet de décrire correctement l’influence à la fois de la granularité et de la loi de contact sur le comportement global. Notons, que les résultats pour les autres cas bidisperses sont disponibles dans la partie 2 de l’Annexe au chapitre IV.


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6 CONCLUSIONS DU CHAPITRE IV

Dans ce quatrième chapitre, l’étude portait sur le comportement d’interface entre une inclusion (possédant une géométrie propre) et un milieu granulaire par la simulation d’essais de cisaillement annulaire avec le code de calcul discret PFC2D.

Dans un premier temps, l’influence sur le comportement d’interface des paramètres propres à l’inclusion a été analysée. L’inclusion est caractérisée par sa rugosité qui possède deux origines : une rugosité intrinsèque à la surface (modélisée par le coefficient de frottement de la paroi) et une seconde rugosité d’origine géométrique imputable au motif de l’inclusion. La géométrie de l’inclusion introduit localement une anisotropie des contacts dans une épaisseur faible, de l’ordre de 4 particules, au dessus de l’inclusion. La rugosité géométrique n’influence le comportement global que si la rugosité intrinsèque est négligeable. Notons toutefois que la gamme de variation étudiée pour la géométrie de l’inclusion est importante, alors que le coefficient de frottement de l’interface a fait l’objet d’une étude plus réduite, ayant soit une valeur importante (µi=0.9) soit nulle. Il est apparu qu’un coefficient de frottement important minimise la mobilité des particules dans la zone proche de l’inclusion rendant le comportement d’interface plus résistant et plus raide. Dans la même logique, pour un coefficient de frottement de l’inclusion faible, la rugosité géométrique intervient : le comportement d’interface est d’autant plus résistant et raide que la hauteur relative et l’angle du motif sont importants.

En second lieu, l’influence sur le comportement d’interface des paramètres liés au milieu granulaire ont été étudiés. Il s’agissait : de la granularité du milieu, de la loi de contact entre particules du milieu (linéarité ou non-linéarité de l’élasticité et frottement interparticulaire). La distribution des diamètres dans le milieu se fait par la présence de deux ou trois familles de particules de dimensions différentes, ce qui modifie également la valeur du diamètre moyen et par voie de conséquence la hauteur relative de l’inclusion. La modification de la granularité du milieu s’accompagne donc obligatoirement d’une modification de la hauteur relative de l’inclusion dont les effets sont connus. Il apparaît qu’un milieu granulaire ne peut se résumer à la valeur de son diamètre moyen : un milieu granulaire bi- ou tri-disperse ne se comporte pas comme un milieu granulaire monodisperse dont le diamètre serait le diamètre moyen. Ceci est particulièrement vrai pour les milieux granulaires bidisperses. Un milieu bidisperse est caractérisé par son squelette granulaire composé des particules de l’une des deux familles de taille en présence. En fonction de l’importance relative de l’une ou l’autre famille dans le milieu, c’est-à-dire de la composition du squelette granulaire, le mélange ne se comporte pas de la même manière. Pour les milieux granulaires composés de 25% à 100% (en surface) de petites particules, ces dernières constituent le squelette, les grandes ne jouant que le rôle perturbateur d’inclusion dans le milieu. Au contraire, pour les milieux composés de 75% à 100% de grandes particules, ces dernières forment le squelette : les petites jouant le rôle de lubrifiant entre les grandes. Ainsi, le comportement d’interface est fortement influencé par la composition du milieu granulaire. Cette conclusion est d’autant plus marquée que la loi de contact interparticulaire est non linéaire, i.e. que les raideurs de contact sont fonction des dimensions des particules en contact.

Deux approches d’homogénéisations (toutes deux faites selon le chemin cinématique et

statique) ont été menées. Elles sont basées sur les observations concernant la structure granulaire (caractérisée par la distribution des orientations de contacts, des différents types de contacts, de la longueur de leur vecteur branche et raideurs spécifiques). Les caractéristiques


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globales (le module de cisaillement G) issues de ces approches sont fonction des paramètres locaux, et sont confrontés aux résultats des essais de cisaillement annulaires simulés avec PFC2D.

La première approche d’homogénéisation se proposait de prendre en compte les paramètres géométriques de l’inclusion afin de tenir compte de son influence sur le comportement global. La géométrie de l’inclusion est introduite dans le processus d’homogénéisation par le biais de l’anisotropie de contact induite par les motifs de l’inclusion dans une zone de faible épaisseur autour d’elle. Les résultats de cette approche ne sont pas concluants, puisque les évolutions des caractéristiques globales obtenues en fonction de la géométrie de l’inclusion ne sont pas suffisamment marquées au vu des résultats issus des simulations numériques. Ceci est en partie imputable à la modélisation de l’anisotropie, par un tenseur d’ordre 4, qui ne décrit pas l’anisotropie dans toute sa complexité.

La seconde approche d’homogénéisation a pour objectif de prendre en compte la présence de particules de diverses tailles dans le milieu. Ceci est surtout important pour les contacts élastiques non-linéaire pour lesquels la raideur de contact est fonction des rayons des particules en contact. La prise en compte de la présence de particules de divers diamètres se fait par l’introduction d’une distribution des normes des vecteurs branches. A cette distribution s’ajoute dans le cas de contact hertzien, la distribution des raideurs de contact associées. Ceci permet une bonne description du comportement global. Les évolutions obtenues pour le module de cisaillement en fonction de la granularité du milieu mettent en évidence les deux types d’évolutions liées à la nature du squelette granulaire qui ont été observées par les simulations numériques.

chapitre iv : comportement d’interface - insa de...

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