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CHAPITRE IV

SIMULATION PAR ELEMENTS FINIS

DU COMPORTEMENT

THERMOMECANIQUE

DE STRUCTURES SiO2/Si

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 79

CHAPITRE IV

Simulation par éléments finis du comportementthermomécanique de structures SiO2/Si

IV.1 Introduction et objectifs de la simulation

La conception et l’optimisation des performances d’un microcapteur de pression piézorésistif

de type PSOI impliquent non seulement l’étude des propriétés piézorésistives du polysilicium

mais également la modélisation du comportement du corps d’épreuve, la membrane composite

SiO2/Si, en fonction de la pression et de la température. La détermination des valeurs des

déformations appliquées aux jauges piézorésistives en surface du corps d’épreuve doit permettre

d’optimiser leur positionnement et la sortie électrique du capteur : augmentation de la sensibilité,

linéarité, réduction des dérives thermiques. En général la conception de capteurs de pression

repose sur des modèles simples [111] donnant la réponse en pression des membranes sans tenir

compte de la présence d’un diélectrique contraint [112]. Si ces modèles peuvent être suffisants

pour des membranes épaisses, la conception de capteurs de pression sensibles peut nécessiter

l’utilisation de membranes fines dont les déformations en température et en pression peuvent être

importantes. L’étude complexe du comportement thermomécanique de ces microstructures se

décompose en plusieurs étapes allant de la modélisation des déformations thermoélastiques de

plaquettes de silicium oxydées en fonction de la température jusqu’au modèle thermomécanique

complet (pression et température) des membranes composites SiO2/Si microusinées. Toutes ces

simulations sont validées par des mesures et comparées avec les prévisions mathématiques

lorsque cela est possible. Cette démarche est originale car dans la littérature [113, 114] l’analyse

des contraintes en température concerne essentiellement l’encapsulation finale des capteurs et les

conséquences de la présence de plusieurs matériaux possédant des coefficients de dilatation

thermique différents : silicium, Pyrex, céramique. Peu d’études sont publiées sur les déformations

thermoélastiques du corps d’épreuve lui-même ou ne sont pas validées par des mesures [115].

Après avoir montré l’intérêt de la simulation par éléments finis et les différents types de

simulation utilisés, les paramètres physiques du silicium et de l’oxyde issus de la littérature ou

80 Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si

mesurés sont présentés. Les résultats de la modélisation de substrats silicium oxydés sont

comparés avec les mesures effectuées au chapitre III et les prévisions mathématiques. Cette

modélisation sert de point de départ pour l’optimisation du modèle avec en particulier la

réduction du nombre d’éléments qui est nécessaire pour la modélisation complète des membranes

microusinées. L’influence de l’encapsulation de ces membrane ne sera pas étudiée au cours de

cette thèse faute de temps et de moyens de vérification expérimentale et seule la réponse statique

du corps d’épreuve sera simulée (la réponse dynamique des membranes fait l’objet d’une autre

thèse en cours au laboratoire). Pour ne pas allonger démesurément ce chapitre, j’ai préféré

regrouper toutes les mesures et toutes les simulations concernant les membranes microusinées

dans le chapitre V.

IV.2 Utilisation de la modélisation par éléments finis

IV.2.1 Principe

Etudier une structure, donc un domaine continu, par la méthode des éléments finis consiste

d’abord à effectuer une discrétisation géométrique. La structure est subdivisée en sous-domaines

de forme géométrique simple appelés « éléments finis » interconnectés en des points appelés

« noeuds ». L’approximation de la solution (déplacements, contraintes) est définie non pas sur

l’ensemble de la structure mais pour chacun de ses éléments. En d’autres termes on ramène le

problème du milieu continu à un ensemble de problèmes discrets avec un nombre fini de

paramètres inconnus qui sont déterminés par application de critères énergétiques. Dans la

méthode matricielle des déplacements, les paramètres inconnus sont les déplacements aux

noeuds. Ces déplacements (contraints en certains noeuds par l’utilisateur) sont reliés aux charges

appliquées (également définies par l’utilisateur) par la matrice de rigidité du système. Le

problème consiste donc à calculer cette matrice de rigidité globale du système à partir des

matrices de rigidité de chaque élément déterminées en utilisant le théorème des travaux virtuels.

Les détails de ces calculs, qui heureusement sont effectués automatiquement sous forme

matricielle par un logiciel spécifique, sont données dans la littérature [116].

IV.2.2 Intérêts de la modélisation par éléments finis

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 81IV.2.2.1 Fonctions analytiques décrivant le comportement des membranes

Soit une membrane d’épaisseur e, de coefficients d’élasticité E et ν, en état de contrainte

uniforme T dans le plan xy qui est soumise à une pression P. Dans le cas de très faibles flèches

(W/e « 0,2), l’application de la théorie des plaques [29] conduit à une équation aux dérivées

partielles (Equation 18) de la fonction déplacement W(x,y) en tous points de la membrane [117,

118].

∂4W

∂x4+ 2 ⋅

∂4W

∂x2∂y2+

∂4W

∂y4=

12⋅ 1− ν2( )E ⋅ e3

⋅ P + T ⋅ e⋅∂2W

∂x2+

∂2W

∂y2

Equation 18

Dans le cas d’une membrane composite SiO2/Si on ne peut plus considérer que la contrainte

initiale dans la membrane est constante dans son épaisseur. Le terme de droite dans l’Equation 18

se complique sensiblement (Equation 19) [119]

12⋅ 1− ν2( )E ⋅ e3 ⋅ P+ e⋅

∂2F

∂x2 ⋅∂2W

∂y2 − 2 ⋅∂2F

∂x∂y⋅∂2W

∂x∂y+

∂2W

∂x2 ⋅∂2F

∂y2

+2

1− ν⋅

∂2M T

∂x2 +∂2M T

∂y2

Equation 19

MT est le moment thermique par unité de longueur dans l’épaisseur de la membrane défini

par l’Equation 20 dans laquelle α représente la différence des coefficients de dilatation thermique

entre le silicium et l’oxyde, t la température et z la coordonnée selon l’axe perpendiculaire au

plan de la membrane.

M T = α⋅ E ⋅ t ⋅ z ⋅ dzz∫ Equation 20

La fonction de contrainte d’Airy F(x,y) vérifie l’Equation 21.

∂4F

∂x4+ 2 ⋅

∂4F

∂x2∂y2+

∂4F

∂y4= E ⋅

∂2W

∂x∂y

2

−∂2W

∂x2⋅∂2W

∂y2

Equation 21

Il apparaît évident que la résolution de telles équations différentielles couplées n’est pas aisée

et nécessite de considérer un encastrement parfait des membranes pour pouvoir fixer des

conditions sur les fonctions W et F et leurs dérivées. Par exemple la flèche est nulle en bord de


membrane. La détermination des contraintes en tous points de la membrane nécessite de résoudre

encore des équations différentielles non reproduites ici [119] mais qui font à nouveau intervenir

les fonctions W et F. Voyons sur un exemple en quoi l’hypothèse d’un encastrement parfait ne

peut s’appliquer aux membranes microusinées étudiées au cours de cette thèse.

IV.2.2.2 Influence de l’encastrement des membranes sur leur réponse en pression

Considérons une membrane carrée de 3 mm de côté et 20 µm d’épaisseur encastrée sur les

côtés (Figure 31.a) et une membrane microusinée fixée à la base (Figure 31.b). Pour pouvoir

vérifier la simulation avec les formules analytiques de la littérature on considère ici un matériau

isotrope de module de Young E = 130 GPa et de coefficient de Poisson v = 0,28 (soit les valeurs

pour le silicium dans la direction [100]). Deux modèles éléments finis permettant de simuler la

flèche h au centre de la membrane en fonction de la pression P appliquée pour les deux conditions

d’encastrement ont été développés (élément 45, membrane de 18 x 18 éléments, 2 éléments dans

l’épaisseur et cadre de 4 x 4). Les relations P = f (h) obtenues par simulation sont données en

Figure 32.

a) b)Figure 31 : schéma en coupe d'une membrane carrée encastrée (a) et microusinée (b) de 3 mm de côté et 20 µm

d’épaisseur


Figure 32 : relation P=f(h) pour une membrane isotrope de 3 mm de côté et 20 µm d’épaisseur (E = 130 GPa, ν =0,28) encastrée ou microusinée. Comparaison avec le modèle analytique

Il apparaît clairement que pour une pression donnée la déformation de la membrane

microusinée est plus importante que celle de la membrane encastrée. Les simulations de

X. Chauffleur [120] pour les membranes carrées et de A. Yasukawa [121] pour les membranes

circulaires donnent des résultats similaires. Les différences observées entre la théorie des plaques

et les solutions éléments finis résultent des déformations élastiques des régions locales situées

près des bords de membrane.

Pour une membrane isotrope rectangulaire ou carrée encastrée, E. Bonotte [122] propose une

relation reliant la pression P à la flèche h au centre de la membrane donnée par l’Equation 22 qui

sert à vérifier la simulation de la plaque encastrée. Cette relation P = f(h) se présente sous la

forme d’une somme de trois termes correspondant respectivement aux cas des petites flèches

(partie linéaire), des grandes flèches (partie cubique) et de l’état de précontrainte non nulle. Ici la

contrainte initiale σ0 est nulle. Cette formule montre bien que l’état de contrainte de la membrane

a une influence sur sa réponse en pression d’où l’intérêt de développer au cours de cette thèse un

modèle complet de membranes composites SiO2/Si.

P =E

1− ν2⋅

e3

12⋅ α ⋅ a4

⋅ h + C⋅

E

1− ν⋅

e

a4

⋅ h3 + C* ⋅

σ0 ⋅ e

a2⋅ h

Equation 22

Avec :


E : modules de Young ν : coefficient de Poisson σ0 : contrainte initialee : épaisseur a : côté

Dans le cas des petites flèches (h/e « 1) le coefficient α déterminé par S. P. Timoshenko [29]

est uniquement fonction de la géométrie de la membrane (rectangulaire ou carrée) et ne dépend

pas de ses propriétés physiques (isotrope ou anisotrope). Pour une membrane carrée, α = 1,26 10-

3. La valeur de C obtenue à partir d’un calcul de minimisation de l’énergie de déformation

élastique est donnée par O. Tabata [123]. C dépend de la géométrie de la membrane et du

coefficient de Poisson. Pour une membrane carrée et v = 0,28 la valeur de C est de 21,75.

E. Bonnotte a montré que ce coefficient doit être impérativement recalé sur les solutions

numériques et propose un coefficient correctif Cm (à multiplier a C) fonction de h/e et ν qui

s’exprime par l’Equation 23. Les coefficients Ci pour une membrane carrée sont donnés dans le

Tableau 10.

( ) ( ) ( )

⋅−⋅⋅−+

⋅−⋅⋅−−⋅−=

e

hCeCC

e

hCCCCCCm 76543210 expexpνν

Equation 23 : formule empirique donnant le coefficient correctif Cm

C0 C1 C2 C3 C4 C5C6

-1 (µm) C7

1,41 0,292 1,64 1,466 1,4 0,173 2,35 10-3 0,1

Tableau 10 : Coefficients Ci pour une membrane carrée

Cm a été calculé pour des flèches entre 0 et 30 µm (par pas de 2 µm). La relation analytique

P=f(h) donnée par l’Equation 22 et sa partie linéaire (petites flèches) ont été également tracés en

Figure 32. Une très bonne corrélation est trouvée avec la simulation d’une membrane encastrée.

Pour des membranes anisotropes, E. Bonnotte propose une relation semblable à l’Equation 22

mais qui fait intervenir un terme qui n’a pas encore pu être calculé analytiquement dans le cas des

grandes flèches (h/e » 1).

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 85IV.2.2.3 Conclusion sur les modèles analytiques et intérêt de la modélisation par élémentsfinis

Dans le cas des modèles analytiques le silicium est assimilé à un matériau isotrope, E et ν

sont calculés pour une direction particulière alors que dans le logiciel de simulation par éléments

finis le comportement élastique du silicium peut être décrit par sa matrice de complaisance (Sij)

ou sa matrice de raideur (Cij). La résolution des équations différentielles nécessite de considérer

un encastrement parfait des membranes or la simulation montre que l’on doit tenir compte du

voisinage des membranes microusinées que l’on appellera cadre particulièrement dans le cas des

fortes flèches. Sans modification du modèle, il est possible de modéliser les faibles et fortes

flèches et de donner directement les valeurs des contraintes et déformations en chaque noeud.

Toutefois il ne faut pas oublier que l’on ne peut que modéliser une interface abrupte entre l’oxyde

et le substrat silicium. Les valeurs des contraintes ou déformations pour les noeuds situés à

l’interface SiO2-Si n’ont pas de sens physique. L’important pour le positionnement des jauges

piézorésistives et la prévision de la sortie électrique du capteur est que les valeurs obtenues en

surface du corps d’épreuve soit réelles. Un autre avantage du logiciel ANSYS est qu’il permet

d’effectuer des simulations électriques qui serviront pour la conception du démonstrateur.

IV.3 Développement des modèles éléments finis

IV.3.1 Définition des modèles et maillage

Le logiciel de simulation par éléments finis utilisé est ANSYS dans sa version 5.0a mais pour

la version universitaire utilisée au cours de cette thèse le nombre d’éléments utilisables est limité

(wavefront maximum de 800 : paramètre qui correspond au nombre de lignes des matrices

triangularisées que le logiciel doit traiter et qui est plus important pour les modélisation en 3D

qu’en 2D). Cette limite ne permet pas de modéliser l’ensemble du capteur : corps d’épreuve +

jauges + connections aluminium. Les dimensions des jauges étant en effet très inférieures à celles

de la membrane, le nombre d’éléments nécessaires pour mailler le modèle serait trop important

pour les capacités du logiciel. Si cette limite logicielle n’existait pas nous serions de toute façon

limité au point de vue matériel (mémoire vive et de masse de l’ordinateur) et il faudrait garder des

temps de calcul raisonnables. Il faut donc utiliser au mieux cette version d’ANSYS et vérifier la

validité de ses calculs en fonction du maillage.


Comme nous l’avons vu au chapitre II, les dimensions des échantillons à modéliser sont

mesurées par FT-IR (épaisseur de la membrane), profilométrie optique et mécanique (côté de la

membrane, épaisseur de l’oxyde), ellipsométrie (épaisseur d’oxyde) et palmer mécanique et

optique (épaisseur du substrat). La géométrie des modèles est aussi définie en tenant compte des

symétries présentes. Pour limiter la taille et les temps de calcul, ANSYS permet de ne modéliser

qu’un quart des membranes microusinées, membranes carrées encastrées ou plaques. Le modèle

« fil de fer » est ensuite maillé par des éléments dépendant du type de modélisation et de matériau

(Tableau 11). L’élément n°64, seul capable de prendre en compte l’anisotropie élastique du

silicium, est utilisé pour modéliser le comportement des plaques et des membranes. L’oxyde

isotrope est modélisé par l’élément n°45. L’élément n°42 sera réservé aux simulations de

membranes circulaires en 2D. Les simulations en 2D, pour lesquelles chaque noeud comporte

seulement deux degrés de liberté contre trois en 3D, conduisent à des calculs moins volumineux

et permettent d’utiliser un nombre d’éléments beaucoup plus important. Elles sont parfois

nécessaires pour confirmer les tendances observées en 3D (pour montrer qu’un résultat de

simulation n’est pas un artefact lié à la pauvreté du maillage) ou affiner les résultats en certains

points particuliers de la structure.

élément ANSYS modélisation degrés de liberté propriétés physiques

n°64 3D translations x, y et z E, ν, Sij ou Cij

n°45 3D translations x, y et z E, ν

n°42 2D axisymétriqueou plane

translations x, y E, ν

Tableau 11 : types d'éléments de maillage utilisés dans ANSYS

IV.3.2 Application des contraintes et des charges

Les quatre types de modélisation de membranes en 3D utilisés au cours de cette thèse sont

présentés en Figure 34. La stratégie adoptée pour prévoir la déformation thermoélastique d’une

plaque oxydée ou d’une membrane oxydée est de simuler le passage réel de la structure de la

température d’oxydation Tox (pas de contrainte) à la température T (ambiante ou autre). Les

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 87membranes ou plaques sont définies dans le plan xy en 3D. Le noeud correspondant à l’origine du

repère ANSYS situé en surface de l’oxyde et au centre de la plaque ou de la membrane et qui

appartient aux deux plans de symétrie xz et yz de la structure est le seul point fixe (il est

nécessaire de fixer au moins un point du modèle pour éviter la divergence des calculs de

simulation). Lorsqu’il s’agit de simuler la réponse en pression d’une membrane microusinée,

toute la base du modèle est fixée. On se rapproche ainsi des conditions réelles d’utilisation du

capteur à savoir que la membrane microusinée est fixée à un support silicium ou autre. Pour

connaître la réponse en pression d’une membrane oxydée deux simulations successives sont

nécessaire. La première permet d’obtenir l’état précontraint de la structure composite. Puis un

changement des contraintes appliquées au modèle élément finis est effectué. Le noeud central fixe

autour duquel la structure s’est déformée redevient libre et la base de la membrane est fixée avant

l’application d’une pression et le lancement de la deuxième simulation. Notons que pour les

simulations en température, les dimensions géométriques du modèle (épaisseur et côté de la

membrane, épaisseur de l’oxyde, épaisseur du substrat) doivent être corrigées pour tenir compte

de la dilatation thermique. Par exemple, soit L le côté de la membrane mesuré par profilométrie

optique à la température ambiante Ta. A la température d’oxydation Tox et compte tenu du

coefficient de dilatation thermique linéaire αSi du silicium cette longueur devient par définition :

L’=L.(1+αSi.(Tox-Ta)). Dans les modèles éléments finis des déformations thermoélastiques, l’état

initial de la structure étant à la température Tox, toutes les dimensions géométriques mesurées à

température ambiante doivent être multipliées par un coefficient : (1+α.(Tox-Ta)). Ces coefficients

pour l’oxyde et le silicium sont présentés au paragraphe 3.3.1.3. En 2D, le modèle est une

membrane circulaire définie dans le plan xy (Figure 33). Les mêmes conditions aux limites qu’en

3D s’appliquent.

Figure 33 : types de modélisation 2D. a) réponse en pression b) déformation thermoélastique


Types de modélisation Contraintes sur le modèle éléments finis. Application des charges

(A)

Déformationthermoélastique desubstrats silicium

épais oxydés Etat initial à la températured’oxydation. Le noeud origine ensurface de l’oxyde au centre de laplaque est le seul point fixé

Simulation du retour à latempérature ambiante (ou autre). Lastructure se déforme autour del’origine fixe

(B)

Déformationpneumatique demembranes en

siliciummicrousinées

Structure uniquement en silicium doncnon contrainte. La base de la structureest fixe pour simuler les conditions decollage de plaques

Une dépression est appliquée àl’intérieur de la cavité (ou pression ensurface). La membrane et sonvoisinage proche se déforment

(C)

Déformationthermoélastique de

membranescomposites SiO2/Si

microusinées

Structure non contrainte à latempérature d’oxydation Tox. Le noeudorigine en surface de l’oxyde aucentre de la plaque est le seul pointfixé

Simulation du passage de Tox à T(ambiante ou autre). Déformationthermoélastique libre de la structureautour de l’origine fixe

(D)

Déformationthermo-

pneumatique demembranes

composites SiO2/Simicrousinées

Simulation de type (C) pour obtenirl’état précontraint de la structure. Puisle noeud origine est libéré, la base estfixée et une simulation de type (B) estréalisée

On peut ainsi étudier l’effet de laprésence de l’oxyde donc d’unecontrainte initiale dans la membranesur sa réponse en pression

Figure 34 : Types de modélisations 3D


IV.3.3 Paramètres physiques du modèle

IV.3.3.1 Coefficients de dilatation thermique

IV.3.3.1.1 Coefficient de dilatation thermique du silicium

Les valeurs du coefficient de dilatation thermique (CDT) du silicium αSi en fonction de la

température T sont trouvées dans la littérature. On peut se référer en particulier aux travaux de K.

G. Lyon [124] dans le domaine des basses températures (6 à 340 K) et de Y. Okada [125]

jusqu’aux températures d’oxydation (300 à 1500 K). Ces travaux avec ceux d’autres auteurs ont

été regroupés par T. Soma [126]. L’évolution de αSi avec la température est représentée en Figure

35.

IV.3.3.1.2 Coefficient de dilatation thermique de l’oxyde

Le CDT de la silice donné dans les « handbooks » et généralement utilisé est :

• valeur moyenne de 0,55 10-6 °C-1 entre 20°C et 320°C pour le quartz fondu [127]

• valeur constante de 0,58 10-6 °C-1 entre 16°C et 1000°C pour le verre de quartz [128].

Contrairement au silicium l’évolution du CDT de l’oxyde en fonction de la température

(surtout jusqu’à la température d’oxydation Tox) est beaucoup plus difficile à trouver dans la

littérature et dépend du type de silice considéré. Pour des températures allant de 0 à 100°C,

G. Hetherington [129] propose deux expressions donnant le CDT de la silice vitreuse :

αox = 0,409 10-6 + 0,686 10-9.T (Vitreosil)

et αox = 0,468 10-6 + 0,524 10-9.T (Spectrosil)

A 25°C, ces deux matériaux ont des CDT respectivement égaux à 0,43 10-6 °C-1 et

0,48 10-6°C-1. Toutefois on ne peut raisonnablement pas utiliser ces expressions jusqu’à la

température d’oxydation. Les seules données dont nous disposons jusqu’à 1400°C sont celles de

la silice vitreusea qui nous ont été transmises et conseillées par notre partenaire industriel Sextant


Avionique. A 25°C la valeur du CDT de la silice vitreuse est de 0,48 10-6 °C-1 soit la même que

celle donnée par G. Heterington pour le spectrosil mais son évolution en fonction de la

température est très différente. Faute de disposer d’autres données jusqu’aux températures

d’oxydation, le CDT de la silice vitreuse a été utilisé. Nous verrons qu’il permet de retrouver les

résultats des mesures de contraintes effectuées au chapitre III. Les valeurs du CDT relevées sur

un graphique sont également représentées en Figure 35.

Figure 35 : Coefficients de dilatation thermique en fonction de la température pour le silicium et la silice vitreuse

Cette figure montre bien la forte dépendance de αSi en fonction de T et la différence constante

entre αSi et αox. C’est cette différence qui est à l’origine de la contrainte thermoélastique

compressive dans l’oxyde (αSi > αox) présentée au chapitre III.

IV.3.3.1.3 Coefficients de dilatation thermique moyens

Dans le logiciel ANSYS les propriétés physiques des matériaux dont le CDT peuvent être

décrites à différentes températures sous forme de tableaux de valeurs ou de fonctions. Pour

simuler l’état de la structure à une température T donnée, le logiciel ne considère alors que les

valeurs des propriétés physiques à cette température T (état final de la structure). Or connaître à la

température ambiante Ta la contrainte dans l’oxyde formé à Tox nécessite de tenir compte de

l’évolution des CDT entre ces deux températures. ANSYS ne pouvant pas intégrer les valeurs de

αSi et αox en fonction de la température, des valeurs moyennes ou équivalentes notées α doivent

être introduites et sont définies par les Equation 24 et Equation 25.


α ⋅ (Tox − T) = α(T) ⋅ dTT

Tox

∫ Equation 24

Soit α =α(T) ⋅ dT

∆T∫

∆T

Equation 25

Les courbes α(Τ) données en Figure 35 ont été intégrées entre une température T de 25 à

300°C et la température d’oxydation Tox égale à 1130°C (la valeur de αSi (1130°C) a été obtenue

par interpolation linéaire entre les valeurs αSi (1100°C) et αSi (1200°C) de la littérature). Les

valeurs moyennes obtenues sont présentées dans le Tableau 12. Lorsque l’état initial de la

structure est à la température d’oxydation Tox, toutes les dimensions géométriques mesurées à la

température ambiante Ta (25°C) doivent être corrigées par les coefficients multiplicatifs

(1+α.(Tox-Ta)). Ces coefficients calculés à partir des CDT moyens à 25°C du Tableau 12 sont

donnés dans le Tableau 13.

Si SiO2

T (°C) α Si (x 10-6 °C-1) α ox (x 10-6 °C-1)

25 4,001 0,578

100 4,086 0,576

200 4,167 0,557 Si SiO2

300 4,228 0,529 1,0044 1,00064

Tableau 12 : coefficients de dilatation thermique moyennés dusilicium et de l’oxyde.

Tableau 13 : coefficients correctifs pourla géométrie du modèle des

déformations thermoélastiques

IV.3.3.2 coefficients d’élasticité

IV.3.3.2.1 Coefficients d’élasticité du silicium

IV.3.3.2.1.1 Matrices de raideur et de complaisance du silicium à température ambiante

Je ne présente pas ici la théorie de l’élasticité dans un cristal qui est bien décrite dans la


littérature [130]. Rappelons simplement que pour un cristal et compte tenu des symétries

présentes la loi de Hooke s’écrit sous la forme matricielle :

σ i = Cijj=1

6

∑ ⋅ ε j et ε i = Sijj =1

6

∑ ⋅ σ j

Le tenseur des contraintes (et des déformations) est réduit à six composantes indépendantes

dont les actions sur un élément de volume sont illustrées en Figure 36. Les axes notés 1, 2 et 3

représentent les axes cristallographiques [100], [010], [001] ou un quelconque repère x, y, z. σ1 à

σ3 sont des contraintes normales alors que σ4 à σ6 sont des contraintes de cisaillement.

Figure 36 : Définition des composantes du tenseur de contrainte

La matrice de complaisance (Sij) a été utilisée de préférence à la matrice de raideur (Cij),

inverse de la matrice de complaisance, car ses composantes permettent de calculer les modules de

Young et coefficients de Poisson pour certaines directions. Ces deux matrices sont données en

Figure 37 (on reconnaît la forme propre à toutes les classes du système cubique).


(Cij) =

C11 C12 C12 0 0 0

C12 C11 C12 0 0 0

C12 C12 C11 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C44 0

0 0 0 0 0 C44

a)

(Sij) =

S11 S12 S12 0 0 0

S12 S11 S12 0 0 0

S12 S12 S11 0 0 0

0 0 0 S44 0 0

0 0 0 0 S44 0

0 0 0 0 0 S44

b)

Figure 37 : a) matrice de raideur et b) matrice de complaisance du silicium

Les coefficients des matrices de raideur et de complaisance exprimés par rapport au repère

cristallographique sont trouvés dans la littérature [131] et sont indiquées dans le Tableau 14.

C11 = 1,6564 1011 Pa (ou N.m-2)

C12 = 0,6394 1011 Pa

C44 = 0,7951 1011 Pa

S11 = 7,6909 10-12 Pa-1 (ou N-1.m2)

S12 = -2,142 10-12 Pa-1

S44 = 12,577 10-12 Pa-1

Tableau 14 : coefficients Cij et Sij du silicium par rapport aux directions cristallographiques

IV.3.3.2.1.2 Changement de repère

Pour définir la géométrie de la structure et exploiter facilement les résultats du programme de

simulation ANSYS il est commode d’utiliser un repère lié à la membrane différent du repère

cristallographique du silicium (cf. chapitre II). La matrice de complaisance (Sij) doit alors être

calculée par rapport à ce nouveau repère. Soit le repère cristallographique de base ��

&�

i ,&�

j ,&�

k ( ) et le

repère ANSYS (O, x, y, z) de base ��

&�

′ i ,&�

′ j ,&�

′ k ( ) (Figure 38).


Figure 38 : Repère cristallographique et repère ANSYS

Les vecteurs de la base du nouveau repère peuvent être exprimés de manière générale dans

l’ancienne base par l’Equation 26 qui devient ici l’Equation 27.

′ &�

i = l1 ⋅&�

i + m1 ⋅&�

j + n1 ⋅&�

k

′ &�

j = l 2 ⋅&�

i + m2 ⋅&�

j + n2 ⋅&�

k avec li, mi, ni( )i=1,2,3 ∈ℜ3

′ &�

k = l 3 ⋅&�

i + m3 ⋅&�

j + n3 ⋅&�

k

Equation 26

′ &�

i = 2

2⋅&�

j + 2

2⋅&�

k

′ &�

j = −2

2⋅&�

j +2

2⋅&�

k

′ &�

k =&�

i

Equation 27

Les calculs donnant les nouvelles valeurs S’ij de la matrice de complaisance (S’ij) en fonction

des coefficients li, mi et ni ont été donnés par J. J. Wortman [132]. La matrice (S’ij) exprimée par

rapport au repère lié à la membrane est donnée en Figure 39. Malgré l’anisotropie du silicium il

est souvent commode de définir un module de Young et un coefficient de Poisson pour certaines

directions particulières. Dans le plan {100} et pour le repère (O, x, y, z) donné en Figure 38

considérons une traction ou une compression uniaxiale selon la direction x. Le module de Young

Ex et le coefficient de Poisson νxy dans le plan se calculent respectivement par les Equation 28 et

Equation 29 [133].


( ′ S ij) = 10−12 ⋅

5,9187 −0,3698 −2,14197 0 0 0

−0,3698 5,9187 −2,14197 0 0 0

−2,14197 −2,14197 7, 69087 0 0 0

0 0 0 12,577 0 0

0 0 0 0 12,577 0

0 0 0 0 0 19, 666

Figure 39 : matrice de complaisance du silicium exprimée dans le repère lié à la membrane

Ex =1

S'11

Equation 28

νxy = −S'12

S'11

Equation 29

En effectuant une rotation par pas autour de z du nouveau repère et en calculant pour chaque

pas les valeurs de Ex et νxy on obtient les Figure 40.a et Figure 40.b qui montrent bien

l’anisotropie du silicium dans le plan {100}. Dans la direction [010] (l’axe x est alors parallèle au

bord de membrane), νxy atteint une valeur minimum de 0,0625 alors que Ex atteint une valeur

maximum de 169 GPa. Ces valeurs seront utilisées pour des simulations en 2D d’un plan médian

de la structure.

a) b)Figure 40 : a) Module d'Young et b) coefficient de Poisson du silicium dans le plan (100)

Un résultat remarquable que l’on peut retrouver par ces calculs est que le rapport E

1− ν reste


invariant dans le plan {100} et vaut 1

S11 + S12

soit 180,21 GPa [134]. On comprend alors

pourquoi l’équation de Stoney présentée au chapitre III est utilisée pour les substrats silicium.

IV.3.3.2.1.3 variation des Sij en température

Contrairement aux CDT, les paramètres élastiques du silicium et de l’oxyde doivent être considérés

à la température finale T de la structure. En effet si la détermination de la contrainte (CAUSE) nécessite

de prendre en compte toutes les valeurs des CDT entre la température d’oxydation et T, la déformation

induite de la structure (CONSEQUENCE) à la température T est fonction des paramètres élastiques à

cette température T. Dans une étude récente [135] les valeurs des coefficients S11, S12 et S44 ont été

déterminées entre 0°C et 110°C d’après le fréquence de résonance de trois structures différentes. Les

variations des Sij sont linéaires dans cet intervalle de température et sont données dans le Tableau 15.

1

Sij

⋅dSij

dT ( x 10-6 °C-1)

S11 64,0 ± 0,6

S12 38,8 ± 3,5

S44 58,2 ± 0,5

Tableau 15 : variation des Sij en température

Nous avons fait l’hypothèse que ces variations restaient valables jusqu’à 300°C. Après le calcul des

Sij et le changement de repère, les valeurs des S’ij obtenues à différentes températures sont données dans

le Tableau 16.

( x 10-12 Pa-1) 25 °C 100°C 200°C 300°C

S11 7,69 7,728 7,777 7,826

S12 -2,14 -2,148 -2,156 -2,165

S44 12,58 12,63 12,70 12,78

S’11 5,9187 5,948 5,986 6,025

S’12 -0,3698 -0,368 -0,366 -0,364

S’13 -2,142 -2,148 -2,156 -2,165

S’33 7,691 7,728 7,777 7,826

S’44 12,58 12,63 12,70 12,78

S’66 19,67 19,75 19,87 19,98

Tableau 16 : Sij et S'ij en fonction de la température

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 97IV.3.3.2.2 Elasticité de l’oxyde

Les coefficients d’élasticité de l’oxyde trouvés dans la littérature sont assez disparates et

généralement données à température ambiante. Quelques valeurs pour le module de Young et le

coefficient de Poisson sont résumées dans le Tableau 17.

Eox (GPa) νox

Eox

1− νox

(GPa) Réf. Notes

0,161 à0,176

[136] silice vitreuse (produits commerciaux)

74 0,17 89,16 [137] source inconnue

73 [80]

88,00 [92]

72,8 0,165 87,2 b Silice fondue

72 0,17 86,75 [138, 139]

71,7 0,16 85,36 [127] Quartz fondu

85 [140]

67 [141] Ox. therm. sec 1150°C. 3250 Å. mesuré d’aprèsla fréquence de vibration d’une poutre

66 0,18 80,49 [89, 84]

57 [141] Ox. therm. humide 960°C. 4250 Å. mesuréd’après la fréquence de vibration d’une poutre

Tableau 17 : paramètres élastiques de l'oxyde trouvés dans la littérature

Pour obtenir des valeurs plus précises du module de Young, des mesures de nano-indentation

[142] ont été réalisées. Ces mesures ont été effectuées à l’Institut de Science et Génie des

Matériaux et Procédés de Perpignan sur 3 échantillons découpés dans une même plaquette de

silicium de 350 µm d’épaisseur recouverte par 1,55 µm d’oxyde. Cette méthode de mesure

permet de mesurer la dureté H du matériau et son module E

1− ν2. On ne peut donc pas obtenir

séparément les valeurs de E et ν.

Les valeurs de E données dans le Tableau 18 ont donc été calculées sur une moyenne de 10

indentations par profondeur et par échantillon pour un coefficient de Poisson ν = 0,17. Notons

que les profondeurs de pénétration du nano-indenteur sont très inférieures à l’épaisseur de

l’oxyde pour minimiser l’effet du substrat.


Echantillon Profondeur (nm) H (GPa) E (GPa)

8a 150 10,6 72,8

200 9,9 73,3

8b 150 9,9 62,5

200 9,55 58,4

8c 150 9,7 64,6

200 9,3 62,5

Tableau 18 : H et Eox mesurés par nanoindentation pour ν=0,17

Ces mesures donnent des valeurs du module de Young de l’oxyde très semblables à celles

trouvées dans la littérature mais tout aussi dispersées puisque entre 58,4 et 73,3 GPa. Devant la

dispersion des valeurs mesurées ou trouvées dans la littérature on comprend la remarque de

E. Obermeier [8] soulignant la nécessité de développer des dispositifs micromécaniques standards

et des techniques standards de caractérisation des matériaux utilisés pour ces microsystèmes. En

attendant et faute de pouvoir obtenir avec plus de précision les paramètres élastiques de l’oxyde il

a fallu faire un choix. Les évolutions des paramètres élastiques de la silice fonduec entre 0°C et

1300°C transmises par notre partenaire industriel Sextant Avionique ont été utilisés et sont

résumés dans le Tableau 19.

T (°C) Eox (GPa) νoxEox

1− νox (GPa)

25 72,8 0,165 87,2

100 73,8 0,168 88,7

200 75 0,172 90,6

300 76,1 0,176 92,3

Tableau 19 : coefficients d’élasticité de la silice fondue à différentes températures

b GENERAL ELECTRIC. Documentation Générale n°7700, octobre 1986.


IV.4 Modélisation de plaques oxydées et optimisation du modèle

IV.4.1 Valeur de la contrainte dans l’oxyde sur plaquette de silicium

Nous avons vu au chapitre III que la contrainte dans l’oxyde est essentiellement d’origine

thermoélastique et que cette contrainte thermoélastique moyenne dans l’oxyde en surface d’un

substrat épais s’exprime par l’Equation 30.

σ th = Eox

1 -νox

⋅ αSi T( )− αox T( )( )⋅dTTox

Ta

∫Equation 30

La déformation de l’oxyde s’exprime par l’Equation 31.

ε th = α Si T( )− αox T( )( )⋅dTTox

Ta

∫Equation 31

En utilisant les CDT moyens, les Equation 30 et Equation 31 deviennent respectivement les

Equation 32 et Equation 33.

σ th = Eox

1 -νox

⋅ α Si − α ox( )⋅ Ta − Tox( ) Equation 32

ε th = α Si − α ox( )⋅ Ta − Tox( ) Equation 33

Les valeurs des CDT moyens du silicium et de l’oxyde sont dans le Tableau 12. Les module

de Young et coefficient de Poisson de l’oxyde sont dans le Tableau 19. La température

d’oxydation Tox est toujours de 1130°C. Pour différentes températures l’application numérique

des Equation 32 et Equation 33 est résumée dans le Tableau 20.

c GENERAL ELECTRIC. Documentation Générale n°7700, octobre 1986.


T (°C) εox (x 10-3) σox (MPa)

25 -3,782 -329,8

100 -3,615 -320,7

200 -3,357 -304,1

300 -3,070 -283,5

Tableau 20 : déformation et contrainte dans l'oxyde à différentes températures

Donc à température ambiante la contrainte dans l’oxyde calculée d’après les paramètres

physiques retenus est : σ th = -329,8 MPa. Cette valeur est en accord avec celle mesurée au

chapitre III soit σox = -316 MPa ± 12 MPa (différence inférieure à 5%). Nous allons dans un

premier temps modéliser la déformation thermoélastique d’une plaque de silicium oxydée pour

retrouver cette contrainte.

IV.4.2 Modélisation de la courbure d’une plaque oxydée

IV.4.2.1 Géométrie et conditions aux limites

De manière à faciliter la définition du modèle, une plaque carrée de 4 mm de côté est étudiée.

A cause des symétries un quart de la plaque est seulement modélisé, soit un carré de 2 mm de

côté. Les côtés de la plaque sont divisés en 24 éléments (élément n°64) et les épaisseurs d’oxyde

et de silicium comportent respectivement 2 et 3 éléments (Figure 41).

Figure 41 : maillage d'un quart de substrat siliciumoxydé

Afin de comparer les mesures décrites au chapitre III et la simulation, l’épaisseur du substrat

silicium est de 350 µm et l’oxyde en surface est de 1,01 µm. Pour autoriser une déformation libre

de la structure seul le noeud central en surface de l’oxyde est fixe (noeud confondu avec l’origine

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 101du repère ANSYS) et le passage de la température d’oxydation Tox=1130°C à la température de

25°C est simulé. Ce modèle de plaque présente donc une courbure initiale K0 nulle donc un rayon

de courbure initial R0 infini (K=R-1). La simulation permet de déterminer directement σox et εox et

le profil de la plaque.

IV.4.2.2 Résultats

Par définition, la courbure en tout point d’une courbe quelconque est égale à la dérivée

seconde de cette courbe. Le profil le long d’un quart de la surface de la plaque courbée donné par

ANSYS (Figure 42.a) est dérivé deux fois par un logiciel mathématique classique (ORIGIN) ce

qui donne la courbure K en tout point (Figure 42.b). Notons que la valeur de K au centre et près

des bords de la structure n’est pas significative. L’effet de dents de scie correspond à des

imprécisions de calculs liées à la densité du maillage. Néanmoins on peut en déduire une valeur

moyenne de la courbure K et donc du rayon R.

Les résultats de cette simulation, le rappel des valeurs mesurées ainsi que les prévisions

mathématiques sont résumés dans le Tableau 21.

a) b)Figure 42 : courbure simulée d'un substrat oxydé à 25°C (Plaque carrée de 4 mm de côté, 350 µm de Si et 1,01 µmd’oxyde thermique formé à 1130°C). a) Flèche simulée et b) Courbure.


Mesure * Simulation Théorie

σox (MPa) -329 -329,8

εox-3,77 10-3 -3,78 10-3

Rayon de courbure (m) -11,52 -11,14

σox déduite du rayon decourbure (MPa) -316 -327

* Moyenne sur 5 plaquettes (cf. chapitre III).

Tableau 21 : Etude de la courbure d’un substrat de 350 µm recouvert par un oxyde de 1,01 µm

La simulation permet donc bien de retrouver les résultats théoriques. Notons que si on utilise

l’équation de Stoney avec le rayon simulé de -11,14 m on trouve une contrainte σox égale à -327

MPa en accord avec la valeur de -329 directement simulée. Le but de ce calcul n’est pas de

démontrer l’équation de Stoney mais de vérifier que pour un rapport d’épaisseur Si/SiO2 de

l’ordre de 350 l’équation de Stoney utilisant le rayon de courbure simulé redonne à moins de 1%

la même valeur pour la contrainte dans l’oxyde. Des simulations supplémentaires ont montré que

pour un rapport d’épaisseur de seulement 100 (soit 200 µm de Si et 2 µm d’oxyde), l’écart entre

les deux valeurs de la contrainte était inférieur à 1%. D’autre part la valeur de

ESi

1 -νSi= 180, 21 GPa donnée dans le chapitre III est satisfaisante. Il était donc légitime pour les

échantillons mesurés au chapitre III d’utiliser l’équation de Stoney.

IV.4.3 Optimisation du nombre d’éléments et contraintes dans le multicoucheSiO2/Si

Pour pouvoir simuler le comportement d’une membrane microusinée et son cadre et compte

tenu des limitations de la version ANSYS utilisée il faut optimiser le maillage du modèle. Il faut

chercher à réduire le nombre d’éléments tout en vérifiant que la solution obtenue est conforme

aux prévisions mathématiques et aux mesures. Les effets de dents de scie liés à la densité du

maillage ont déjà été présentés précédemment. La solution a consisté à déterminer

mathématiquement une valeur moyenne. Nous allons voir que le fait de n’utiliser qu’une maille

dans l’épaisseur de l’oxyde est légitime et que les contraintes dans l’épaisseur du substrat silicium

sont conformes à la théorie.


Pour pouvoir disposer d’un nombre de mailles important dans l’épaisseur d’une structure

SiO2/Si, une simulation en 2D est utilisée. La simulation consiste à étudier la courbure d’un

substrat circulaire isotrope (symétrie axiale) oxydé (Figure 43). De plus, les contraintes dans

l’épaisseur d’une telle structure isotrope sont bien décrites mathématiquement [143] et la validité

de la simulation pourra être vérifiée.

Figure 43 : simulation de la courbure d'un substrat circulaire oxydé. a)Structure avant déformation à Tox=1130°C. b) Structure déformée à

25°C

Les paramètres physiques du modèle utilisés sont les suivants :

Oxyde : Eox = 72,8 GPa νox = 0,165 α ox = 0,578 10-6 °C-1 épaisseur : 1 µmSubstrat : Es = 130 GPa νs = 0,3 α s = 4 10-6 °C-1 épaisseur : 350 µm

Deux simulations avec deux maillages différents sont effectuées (Tableau 22). Dans la

première, la couche d’oxyde est divisée en 10 mailles alors que dans la seconde l’oxyde n’est

formé que d’une seule maille.

nombre d’éléments dans :l’épaisseur de l’oxyde l’épaisseur du substrat la longueur

Simulation 1 10 35 100Simulation 2 1 35 100

Tableau 22 : maillage de la structureLe Tableau 23 montre pour les deux maillages la contrainte thermoélastique simulée dans

l’oxyde sur les noeuds situés le long de l’axe de révolution de la structure (la profondeur z=0

correspond ici à la surface de l’oxyde). Nous voyons nettement que les deux simulations donnent

en surface de l’oxyde la même valeur attendue de la contrainte. Pour la simulation divisant la

couche d’oxyde en 10 mailles, la valeur de la contrainte est quasi constante sur les 10 premiers

noeuds. La valeur de -162,45 MPa à l’interface SiO2-Si ne correspond à rien de physique et ne

doit pas être prise en compte.


Contrainte biaxiale (MPa)

Profondeur (µm) 10 mailles 1 maille

Tableau 23 : contrainte simulée dans l'oxydesur les nœuds du maillage

0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1

-328,80-328,80-328,80-328,80-328.79-328.78-328.77-328.78-328.76-329.14-162.45

-328.79

-162.47

La contrainte biaxiale parallèle à la surface dans l’épaisseur du substrat est donnée par

l’Equation 34. La profondeur z dans le substrat est maintenant repérée à partir de sa face non

oxydée (Figure 44). K est la courbure de la surface neutre exprimée par l’Equation 35. Avec

l’utilisation des CDT moyens, cette équation devient l’Equation 36.

σ = Es

1- νs⋅

hs

3− z

⋅K

Equation 34

K = Eox

1-νox

⋅

Es

1− νs

−1

⋅6.hox

hs2

⋅ αs− αox( )

Tox

Ta

∫ ⋅dT Equation 35

K = Eox

1 -νox

⋅

Es

1− νs

−1

⋅6.hox

hs2

⋅ α s − α ox( )⋅ Ta− Tox( ) Equation 36

La Figure 45 montre la valeur de la contrainte biaxiale dans le substrat calculée par

l’Equation 34 (croix) et la valeur obtenue par simulation (trait).


Figure 44 : profondeur repérée par rapport à laface non oxydée du substrat

Figure 45 : contrainte dans le substrat. Simulation etthéorie.

Trois résultats intéressants ressortent de ces simulations. Le premier est que même en

réduisant au maximum le nombre de maille dans l’épaisseur de l’oxyde (une seule maille), la

valeur de la contrainte thermoélastique biaxiale en surface de ce film correspond à celle que l’on

peut trouver avec un maillage plus fin et est conforme aux prévisions mathématiques. Le second

est que l’on retrouve également dans l’épaisseur du substrat un résultat conforme à la théorie

mathématique.

Enfin même si le substrat étudié est isotrope, les module d’Young et coefficient de Poisson

choisis sont pratiquement ceux du silicium dans la direction [100] et l’on peut noter que la valeur

de la contrainte biaxiale dans l’épaisseur du substrat est faible : inférieure en valeur absolue à 5

MPa. Cette valeur inférieure à la résolution des mesures Raman (• 8 MPa) explique pourquoi la

ligne de base prise en dehors de la membrane sur un substrat oxydé ou non est identique (cf.

chapitre V).

IV.5 Modélisation de membranes

IV.5.1 Géométrie et maillage du modèle

La géométrie du modèle et son maillage sont représentés en Figure 46. Le maillage est

resserré dans les zones de forts gradients de contraintes c’est à dire près des bords de membrane


au niveau des médianes et au centre de la membrane bien que des essais montrent qu’un maillage

uniforme du modèle donne un résultat quasi identique au niveau de la courbure thermoélastique

ou sous pression de la membrane. L’intérêt de ce maillage est d’obtenir une meilleure définition

spatiale des valeurs des déformations du corps d’épreuve pour le calcul des variations de

résistance des jauges piézorésistives situées dans ces zones de fortes déformations. Le maillage

final est donc semblable à celui utilisé par B. Folkmer [144].

a) b)

Figure 46 : Modèle éléments finis d'un quart demembrane vu en perspective. a) Volumesdéfinissant la structure. b) et c) structure mailléevue respectivement par dessus et par dessous

c)

IV.5.2 Optimisation du maillage

Compte tenu des résultats du paragraphe IV.4.3, un seul élément modélise l’épaisseur de

l’oxyde. Des essais ont montré que deux éléments suffisaient dans l’épaisseur de la membrane en

silicium. La Figure 47 montre l’influence du nombre d’éléments dans le demi côté de la

membrane sur sa réponse en pression. Pour une pression de 1 bar les trois épaisseurs étudiées 10,

20 et 40 µm montrent que l’on arrive rapidement à une valeur asymptotique de la flèche au

Chapitre IV : Simulation par éléments finis du comportement thermomécanique de structures SiO2/Si 107centre. Entre 18 et 22 éléments, les variations de la flèche au centre ne sont plus que de 0,04%,

0,03% et 0,14% respectivement pour les membranes de 10, 20 et 40 µm. Un minimum de 18

éléments sera donc utilisé. La hauteur du cadre est formée de 3 éléments et sa largeur de 4. Le

programme complet donnant la réponse en pression d’une membrane oxydée est donné en

Annexe B.

Figure 47 : influence du nombre d’éléments (6 à 22) dans le côté des membranes et du cadre. Membranes desilicium de 3 mm de côté et 10 µm (a), 20 µm (b) ou 40 µm (c) d’épaisseur soumises à une pression de 1 bar

IV.6 Conclusion du chapitre IV

Nous avons montré les limites des modèles analytiques et les avantages de la méthode de

simulation par éléments finis pour l’étude du comportement en pression et en température des

membranes composites microusinées SiO2/Si. Nous avons en particulier montré l’influence de

l’encastrement d’une fine membrane microusinée sur sa réponse en pression. Les différents types

de modèles éléments finis développés au cours de cette thèse ont été présentés en détail. Tous ces

modèles sont basés sur les paramètres physiques du silicium et de l’oxyde : coefficients

d’élasticité (avec prise en compte de l’anisotropie du silicium) et coefficients de dilatation

thermique. Tous les paramètres physiques du modèle ont été présentés en montrant pour l’oxyde

la disparité des données de la littératures. Le module de Young de l’oxyde a été mesuré par

nanoindentation. Avec les paramètres physiques choisis, un bon accord a été trouvé entre les

simulations de la courbure de plaques oxydées, les mesures et les modèles mathématiques. Le

maillage des modèles a été optimisé en fonction de la structure étudiée (plaque ou membrane

microusinée) et des capacités du logiciel.

chapitre iv simulation par elements finis …csidoc.insa-lyon.fr/these/1998/malhaire/chap4.pdf ·...

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