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Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 85Intersection SN Guide B Corrigé du manuel

La trigonométrieChapitre

8Entrée en matièreEn contexteManuel • p. 160

1. a) m BC = (73,4)2 – (51,2)2 ≈ 52,59 mm

A∆ABC = m AC • m BC2

≈ 51,2 • 52,592

≈ 1 346,3

L’aire de la surface visible de l’omoplate est d'environ 1 346,3 mm2.

b) Dans un triangle rectangle, le produit des mesures des cathètes est égal au produit des mesures de l’hypoténuse et de la hauteur relative à l’hypoténuse.

52,59 • 51,2 = 73,4 • h

h ≈ 36,7

La hauteur issue de C mesure environ 36,7 mm.

2. a) k = 5418

= 3 ou k = 1854

= 13

Le rapport de similitude est de 3 ou de 13.

b) k2 = Apetit∆

Agrand∆

19 = 142,5

Agrand∆

Agrand∆ = 1 282,5 mm2

Aomoplate = Agrand∆ - Apetit∆

Aomoplate = 1 282,5 - 142,5

Aomoplate = 1 140

L’aire de la surface visible de l’omoplate est d’environ 1 140 mm2.

Manuel • p. 161

3. a) Akyste = pr2

Akyste = p(9)2

Akyste = 81p

Akyste ≈ 254,47

L’aire du kyste est d’environ 254,47 mm2.

À l’aide d’une proportion, on calcule l’aire du foie :

2,2100

= Akyste

Afoie

Afoie ≈ Akyste • 100

2,2 ≈ 11 566,77

L’aire du foie est d’environ 11 566,77 mm2.

b) On calcule l’aire du triangle :

Afoie = Asecteur + A∆

A∆ = Afoie - Asecteur

A∆ ≈ 11 566,77 - 133°360°

• p • 852

A∆ ≈ 3 181,12

L’aire du triangle est d’environ 3 181,12 mm2.

À partir de l’aire du triangle et de la valeur d’une des cathètes h, on trouve la mesure de l’autre cathète b :

A = b • h2

3 181,12 ≈ b • 852

b ≈ 74,85

L’autre cathète mesure 74,85 mm.

Il faut trouver la mesure de l’hypoténuse pour trouver le périmètre du foie. À l’aide de la relation de Pythagore, on trouve que la mesure de l’hypo-ténuse est d’environ 113,26 mm.

P ≈ 85 + 133°360°

• 2 • p • 85 + 74,85 + 113,26 ≈ 470,42

Le périmètre de la coupe du foie est d'environ470,42 mm.

En brefManuel • p. 162

1. a) Les mesures sont celles d’un triangle rectangle, car la relation de Pythagore est à respectée :

82 + 152 = 172

289 = 289

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Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 86 Corrigé du manuel Intersection SN Guide B

b) Les mesures ne sont pas celles d’un triangle rectangle, car la relation de Pythagore n’est pas respectée :

( 3)2 + 22 ≠ ( 5)2

7 ≠ 5

c) Les mesures sont celles d’un triangle rectangle, car la relation de Pythagore est respectée :

352 + 1202 = 1252

15 625 = 15 625

d) Les mesures sont celles d’un triangle rectangle, car la relation de Pythagore est respectée :

12 + ( 3)2 = 22

4 = 4

2. a) 1) Le segment BC mesure 6 unités et le segment AC mesure 8 unités. Par la relation de Pythagore, il est possible de calculer la mesure du segment AB :

62 + 82 = 10

Le segment AB mesure 10 unités.

Le segment EF mesure 3 unités et le segment DF mesure 4 unités. Par la relation de Pythagore, il est possible de calculer la mesure du segment DE :

32 + 42 = 5

Le segment DE mesure 5 unités.

m BCm EF

= 63 = 2

m ACm DF

= 84 = 2

m ABm DE

= 105 = 2

Le triangle ABC est semblable au triangle DEF, car les deux triangles possèdent trois paires de côtés homologues dont les mesures sont proportionnelles.

2) Le triangle DEF est semblable au triangle DGH, car ils respectent la condition minimale de simi-litude AA. Ils ont l’angle D en commun et une paire d’angles correspondants formés par deux droites parallèles coupées par une sécante.

b) k = m DHm DF

= 34 ou k = m DF

m DH = 4

3

Le rapport de similitude entre le triangle DEF

et le triangle DGH est de 34 ou de 4

3 .

c) On détermine la mesure du segment GH :

m DHm DF

= m GHm EF

34 = m GH

3

m GH = 2,25 unités

On détermine l’aire du triangle rectangle DGH :

A∆DGH = m GH • m DH2

= 2,25 • 32

= 3,375

L’aire du triangle DGH est de 3,375 unités2.

3. a) x = 5 b) x = 1,5625

c) x = 0,1536 d) x = 1,2

4. a) P = 24 cm, A = 24 cm2

b) P ≈ 6,51 cm, A = 2,645 cm2

5. a)

BC

A

h

b) A

B

C

h

6. a) Faux b) Vrai c) Vrai

Les rapports trigonométriques Section 1 dans le triangle rectangle

Compétition de bolidesManuel • p. 163

On doit connaître la pente de la partie inclinée de chacun des six plans proposés. On complète le tableau suivant sachant que:

– la pente = hauteurlongueur horizontale ;

– la mesure manquante dans le triangle rectangle peut être obtenue à l’aide de la relation de Pythagore.

(voir au haut de la page suivante)

On remarque que la pente de la partie inclinée du plan 2 est de 1. Le triangle rectangle correspondant est donc isocèle; ses deux angles aigus complémentaires sont isométriques. L’angle d’inclinaison est donc de 45°.

On peut déduire que tous les plans dont la pente est inférieure à 1 ont un angle d’inclinaison de moins de 45°, et inversement, que tous les plans dont la pente est supérieure à 1 ont un angle d’inclinaison de plus de 45°.



On détermine les mesures des deux plans inclinés manquants tout en garantissant une longueur de la partie inclinée d’au moins 1 m :

Puisque deux des huit plans proposés doivent avoir un angle d’inclinaison de plus de 45° et que le plan 5 possède déjà un tel angle, un des deux plans manquants devrait avoir un angle d’inclinaison de plus de 45°.

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Plan 7 8

Hauteur (cm) 90 80

Longueur horizontale (cm)

50 100

Longueur de la partie inclinée (cm)

103 128

Pente de la partie inclinée

9050

= 1,8

80100

= 0,8

Durant la compétition, les plans inclinés doivent être utilisés dans l’ordre suivant :3 – 1 – 6 – 8 – 4 – 2 – 5 – 7 .

1ActIvItéd’exploration Demi-triangle

Manuel • p. 164

A Un triangle équilatéral

B m ABm AD

= m ACm AE

= m BCm DE

C Oui, dans la proportion écrite en B , le premier rapport est égal au dernier rapport :m ABm AD

= m BCm DE

Les propriétés des proportions permettent d’inter-changer les segments AB et DE :m DEm AD

= m BCm AB

, ce qui donne l’égalité recherchée.

D Oui, c’est le cas pour les triangles ABC et ADE, car c’est ce qui a été démontré en C . En effectuant le même raisonnement, on arriverait aussi à ce résultat pour le triangle AFG.

E Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30° mesure la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

F 1) Si l’hypoténuse du triangle AFG mesure 5 cm, le segment FG mesure 2,5 cm. De plus, le seg-ment AG mesure environ 4,33 cm.

cos 30° = m AGm AF

≈ 4,335

≈ 0,866

2) cos 60° = m FGm AF

= 2,55

= 0,5

Manuel • p. 165

G (voir au bas de la page)

H On peut obtenir la valeur de tan A en divisant la valeur de sin A par la valeur de cos A.

Réponse à la question G , page 165

Angle A 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

sin A 0,1736 0,3420 0,5000 0,6428 0,7660 0,8660 0,9397 0,9848

cos A 0,9848 0,9397 0,8660 0,7660 0,6428 0,5000 0,3420 0,1736

tan A 0,1763 0,3640 0,5774 0,8391 1,1918 1,7321 2,7475 5,6713

Réponse à la question de la page 163

Plan 1 2 3 4 5 6

Hauteur (cm) ≈ 39,7 84 ≈ 37,7 79 82 55

Longueur horizontale (cm)

109 84 140 ≈ 94,3 ≈ 57,2 ≈ 95,3

Longueur de la partie inclinée (cm)

116 ≈ 118,8 145 123 100 110

Pente de la partie inclinée

≈ 39,7109

≈ 0,364

8484

= 1

≈ 37,7140

≈ 0,269

≈ 7994,3

≈ 0,838

≈ 8257,2

≈ 1,434

≈ 5595,3

≈ 0,577



I tan A = sin Acos A

tan A

=

mesure du côté opposé à ∠ Amesure de l’hypoténuse

mesure du côté adjacent à ∠ Amesure de l’hypoténuse

tan A = mesure du côté opposé à ∠ Amesure du côté adjacent à ∠ A

J Non, dans un triangle rectangle, si on multiplie la mesure d’un angle par un facteur k, il est impossible qu’un seul des côtés soit multiplié par ce même facteur k.

K Ce n’est pas une coïncidence que sin 30° = cos 60°.

Conjecture : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est toujours égal au cosinus de l’angle qui lui est complémentaire.

Démonstration :

Soit deux angles aigus d’un triangle rectangle.

Ces deux angles sont complémentaires.

On a

sin A = mesure du côté opposé à ∠ Amesure de l’hypoténuse

= mesure du côté adjacent à ∠ B

mesure de l’hypoténuse

= cos B

= cos (90° – A)

L Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) sin A > cos A 2) cos A < cos B (m ∠ A > 45°) (m ∠ A > 45°)

AC

B

AB

C

BC

A

AC

B

AB

C

BC

A

3) tan A > sin A (N’importe quel triangle rectangle)

AC

B

AB

C

BC

AAi-je bien compris ?

1. a) 35 b) 4

5 c) 34

2. (voir au bas de la page)

2ActIvItéd’exploration La grotte du mont Bossu

Manuel • p. 166

A Le rapport trigonométrique sinus

B sin A = mesure du côté opposé à ∠ Amesure de l’hypoténuse

sin 12° = profondeur14,1

14,1 • sin 12° = profondeur

2,93 ≈ profondeur

La profondeur qui est associée à la mesure du premier segment est d’environ 2,93 m.

C Première façon : par la relation de Pythagore

(déplacement horizontal)2 + 2,932 ≈ 14,12

(déplacement horizontal)2 ≈ 14,12 – 2,932

déplacement horizontal ≈ 13,79

Le déplacement horizontal est d’environ 13,79 m.

Réponse à la question 2, page 165

Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3

a) sin A 3078

≈ 0,3846640

≈ 0,9487 58,6

≈ 0,5814

b) cos A 7278

≈ 0,9231240

≈ 0,3162 48,96 8,6 ≈ 0,8136

c) tan A 3072

= 0,416 62 = 3

548,96

≈ 0,7146



Deuxième façon : à l’aide du rapport trigonométrique cosinus

cos A = mesure du côté adjacent à ∠ Amesure de l’hypoténuse

cos 12° = déplacement horizontal14,1

14,1 • cos 12° = déplacement horizontal

13,79 ≈ déplacement horizontal

Le déplacement horizontal est d’environ 13,79 m.

D cos 15° = déplacement horizontal8,2

8,2 • cos 15° = déplacement horizontal

7,92 ≈ déplacement horizontal

Le déplacement horizontal associé à ce segment du passage est d’environ 7,92 m.

E sin 78° = 6mesure du segment du passage

Mesure du segment du passage = 6sin 78°

≈ 6,13

La mesure de ce segment du passage est d’environ 6,13 m.

Manuel • p. 167

F L’altimètre fournit une mesure négative, car Louise descend dans le passage souterrain et, arrivée au point C, elle se trouve à une profondeur de 2,3 m par rapport à son point de départ.

G Le rapport trigonométrique est le sinus de l’angle d’inclinaison DCE :

sin DCE = 2,310,3

H sin DCE = 2,310,3

≈ 0,2233

D’après la table de rapports trigonométriques, l’angle dont le sinus s’approche de 0,2233 est l’angle de 13°.

L’angle DCE mesure environ 13°.

I Étape Explication

sin C = 2,310,3

Le sinus est égal au rapport entre la mesure du côté opposé à l’angle et celle de l’hypoténuse.

arc sin (sin C)

= arc sin 2,310,3

On applique arc sin de chaque côté de l’équation.

C = arc sin 2,310,3

Dans le membre gauche de l’équation, l’arc sin et le sin s’annulent.

L’angle C mesure environ 13°.

Manuel • p. 168

J sin F = 2,64,1

m ∠ F = sin-1 2,64,1

≈ 39,4°

L’angle d’inclinaison de ce deuxième segment du passage mesure environ 39,4°.

Ai-je bien compris ?

1. a) x ≈ 7,64 cm d) x ≈ 5,1 m

b) x ≈ 27,44 cm e) x ≈ 12,25 cm

c) x ≈ 11,19 m f) x ≈ 11,7 dm

2. a) m ∠ A ≈ 63° c) m ∠ F ≈ 37,9°

m ∠ B ≈ 27° m ∠ G ≈ 52,1°

m ∠ C = 90° m ∠ H = 90°

b) m ∠ L ≈ 11,5°

m ∠ M ≈ 78,5°

m ∠ N = 90°

3ActIvItéd’exploration L’hypoténuse qui rayonne

Manuel • p. 169

A L’angle au centre qui intercepte AB mesure 30°.

B y

O

B

xB’ A(1, 0)

C Dans le triangle rectangle OBB’, le côté OB mesure

1 unité et le segment BB’ mesure 12

unité. On

détermine la valeur exacte de l’abscisse du point B :

(m OB’)2 + 12

2 = 12

(m OB’)2 = 12 - 12

2 = 3

4

m OB’ = 34

= 3

4 = 3

2

La valeur exacte de l’abscisse du point B est

32

.

D Les coordonnées du point C sont 12, 3

2 .



E On a sin 60° ≈ 0,866, cos 60° = 0,5 et tan 60° ≈ 1,73.

Les coordonnées du point C sont12, 3

2 ≈ (0,5, 0,866) = (cos 60°, sin 60°).

On remarque que l’abscisse du point C a la même valeur que cos 60°, et que l’ordonnée du point C a la même valeur que sin 60°.

F 1) Oui, car B 32

, 12

≈ (0,866, 0,5) = (cos 30°, sin 30°)

2) Oui, car (abscisse du point A, ordonnée du point A) mesure du côté adjacent à ∠ A

mesure de l’hypoténuse , mesure du côté opposé à ∠ A

mesure de l'hypoténuse

= mesure du côté adjacent à ∠ A1

, mesure du côté opposé à ∠ A1

= (cos A, sin A)

Manuel • p. 170

G 1) La valeur du sinus de l’angle s’approche de un.

2) La valeur du cosinus de l’angle s’approche de zéro.

3) La valeur de la tangente de l’angle devient très grande.

H 1) La valeur du sinus d’un angle aigu varie entre 0 et 1.

2) La valeur du cosinus d’un angle aigu varie entre 0 et 1.

3) La valeur de la tangente d’un angle aigu est toujours positive.

I L’abscisse du point E est - 32

.

J L’angle au centre qui intercepte AE mesure 150°.

K sin A = sin (180° - A)

cos A = -cos (180° - A)

tan A = - tan (180° - A)

L 1) Vrai. L’ordonnée de tous les points du cercle appar-tenant au deuxième quadrant est toujours positive.

2) Vrai. L’abscisse de tous les points du cercle appar- tenant au deuxième quadrant est toujours négative.

3) Faux. Par exemple, on suppose que le cercle passe par un point R, situé dans le deuxième quadrant, dont l’ordonnée est la même que celle du point C. Les coordonnées de R sont

donc -12

, 32

. Par définition du rapport

trigonométrique tangente, on a

tan 120 = sin Acos A

=

32

-12

=

32

• -21

= - 3 ≈ -1,73,

ce qui donne une valeur qui n’est pas comprise entre -1 et 0. Par contre, cette valeur est toujours négative.


1. a) La mesure de l’angle au centre qui intercepte AP est de 45°.

b) 12

, 12

c) 22

, 22

d) 1) 22

2) - 2

2 3) -1

2. tan 90° = sin 90°cos 90°

= 10 , puisque la division par zéro

est indéterminée.

Mise en pratiqueManuel • p. 174

1. Niveau de difficulté : faible

a) tan R c) sin R ou cos S

b) sin S ou cos R d) tan S


sin A cos A tan A1 ≈ 0,6345 ≈ 0,7730 ≈ 0,8208

2 ≈ 0,8712 ≈ 0,4908 1,775

3 0,4 ≈ 0,9165 ≈ 0,4364

4 ≈ 0,9798 0,2 ≈ 4,899

5 ≈ 0,6508 ≈ 0,7593 ≈ 0,8571

6 22

22

1


a) 1) sin 35° ≈ 0,5736 2) cos 35° ≈ 0,8192

b) 1) tan 35° ≈ 0,7002 2) cos 55° ≈ 0,5736

3) tan 55° ≈ 1,4282

4. Niveau de difficulté : moyen

B

x

20 m6˚

6˚

Le rapport trigonométrique à utiliser est la tangente de l’angle de dépression.

tan 6° = 20x

x ≈ 190,29

La distance qui sépare le bateau du pied du phare est d’environ 190,29 m.



Manuel • p. 175


a) x ≈ 13,07 cm d) x ≈ 6,31 cm

b) x ≈ 15,66 cm e) x ≈ 99,22 cm

c) x ≈ 13,12 cm f) x ≈ 28,6 cm


a) x ≈ 7 m et y ≈ 6,3 m

b) x ≈ 48,8 m et y ≈ 110,16 m


a) Vrai, car à un plus grand angle est opposé un plus grand côté.

b) Faux. En effet, la tangente d’un angle aigu dont la valeur est comprise entre 45° et 90° est plus grande que 1, tandis que la tangente d’un angle aigu de moins de 45° est plus petite que 1. De plus, un triangle rectangle possède toujours un angle aigu mesurant moins de 45° et un autre angle aigu mesurant plus de 45°, à moins qu’il s’agisse d’un triangle rectangle isocèle. Dans un tel cas, la tangente de chaque angle aigu de 45° est égale à 1.

c) Vrai. En effet, la mesure de l’hypoténuse est toujours plus grande que celle des cathètes du triangle rectangle. Ainsi, on obtient un plus petit rapport en divisant la mesure du côté opposé à un angle par la mesure de l’hypothénuse que par la mesure du côté adjacent à cet angle.


On détermine la mesure de la moitié du côté de la base :

tan 53,17° = 143,5c2

c2

≈ 107,47

c ≈ 214,94

Le côté de la base de la pyramide de Khéphren mesure environ 214,94 m.


a) m ∠ B ≈ 55°

b) m ∠ B ≈ 46,4°

c) m ∠ B ≈ 31,7°

Manuel • p. 176


a)

13 cm11 cm

A

BC

Calculs

L’angle A cos A = 1113

m ∠ A = cos–1 ( 1113 )

m ∠ A ≈ 32,2°

L’angle B sin B = 1113

m ∠ B = sin–1 ( 1113 )

m ∠ B ≈ 57,8°

Le segment BC m BC = 132 – 112

m BC ≈ 6,93 cm

b)

12 cm

D

EF

43,5˚

Calculs

L’angle E 180° – (43,5° + 90°) = 46,5°

Le segment DF tan 43,5° = 12m DF

m DF = 12tan 43,5°

≈ 12,65

Le segment DF mesure environ 12,65 cm.

Le segment DE sin 43,5° = 12m DE

m DE = 12sin 43,5°

≈ 17,43

Le segment DE mesure environ 17,43 cm.




a) On détermine la mesure de l’angle y :

y = tan–1 4520

≈ 66°

On détermine la mesure de l’angle D du triangle ADC :

m ∠ ACD = tan–1 3045

≈ 33,7°

On détermine la mesure de l’angle D du triangle BDC :

m ∠ BCD = 180° – (66° + 90°) ≈ 24°

On détermine la mesure de l’angle x :

x ≈ 33,7° – 24° ≈ 9,7°

x ≈ 9,7° et y ≈ 66°

b) On détermine la mesure du côté x :

tan 48° = x8

x ≈ 8,88 m

On détermine la mesure de l’angle y :

y = tan–1 8,889

≈ 44,6°

x ≈ 8,88 cm et y ≈ 44,62°

c) On détermine la mesure de l’angle T du triangle RTS :

m ∠ RTS = sin–1 45,254,8

≈ 55,6°

On détermine la mesure de l’angle T du triangle UTV :

m ∠ UTV = 180° – (55,6° + 93°) ≈ 31,4°


y = 180° – (31,4° + 90°) ≈ 58,6°

On détermine la mesure de côté x :

tan 31,4° ≈ x63,1

x ≈ 38,52 m

x ≈ 38,52 m et y ≈ 58,6°

d) On détermine la mesure du côté KN :

cos 36° = 50m KN

m KN ≈ 61,8 m

On détermine la mesure du côté LN :

cos 47° = 35m LN

m LN ≈ 51,32 m

On détermine la mesure du côté x :

x = 61,82 + 51,32 ≈ 80,33 m


y = tan–1 51,3261,8

≈ 39,7°

x ≈ 80,33 m et y ≈ 39,7°


On détermine la largeur x de la rivière :

tan 69° = x30

x ≈ 78,15 m

On détermine la hauteur h de la falaise :

tan 43° ≈ h78,15

h ≈ 72,88

La hauteur de la falaise est d’environ 72,88 m.


a) tan 64° = h1,2

h ≈ 2,46 m

L’échelle touche l’arbre à une hauteur d’environ 2,46 m.

b) L’échelle mesure environ 2,74 m.

Manuel • p. 177


cos–1 2121,5

≈ 12,4°

Le câble forme un angle d’environ 12,4° avec l’horizontale.


330,7 m

x

59,7 m

x = sin–1 59,7330,7

≈ 10,4°

Arrondi au degré près, l’angle que forme l’escalier avec le sol est de 10,4°.


Il est impossible d’utiliser uniquement le rapport trigonométrique sinus pour résoudre un triangle dont on ne connaît que deux mesures de côtés. Dans tous les cas, il faudrait utiliser la relation de Pythagore afin d’obtenir la mesure du troisième côté et ensuite il serait possible d’utiliser le rapport trigonométrique sinus afin de résoudre le triangle rectangle.




a) 1 sin 62° = 8 sin 118° = 12 cos 28° ;

4 cos 62° = 5 sin 152° = 7 sin 28°

b) 2 cos 118° = -cos 62°

3 tan 118° = - tan 62°

6 tan 152° = - tan 28°

9 cos 152° = -cos 28°

10 tan 28° = - tan 152°

11 tan 62° = - tan 118°


a) A 407

, 37

b) A' 5 407

, 157

B (0,28, 0,96) B' (1,4, 4,8)

C -34

, 74

C' -154

, 5 74

D (-1, 0) D' (-5, 0)

Manuel • p. 178


a) 1) Table de rapports trigonométriques :

tan 29° = h315

0,5543 = h315

h = 174,604 5

2) h ≈ 174,607 351 2

3) h ≈ 174,607 351

b) 173,889 342 2 ≤ h ≤ 175,326 750 8 (calculatrice)

c) La précision de l’angle, car elle influence davantage le calcul des mesures manquantes.


a) 53,1° + 90° ≈ 143,1°

La mesure de l’angle au centre qui intercepte AQ est d’environ 143,1°.

b) Les coordonnées de Q sont (sin 143,1°, cos 143,1°).


Si sin A = 4cos A, alors

sin Acos A

= 4

tan A = 4

m ∠ A ≈ 76°


Lorsqu’on ferme le livre l’angle varie de 180° vers 0°. La valeur du cosinus augmente à partir de -1 vers 1. La valeur du sinus augmente à partir de zéro vers 1 et elle diminue ensuite jusqu’à 0.


Puisque l’escalier fait exactement une fois le tour du réservoir, sa longueur est égale à celle de la diagonale du rectangle qui représente la face latérale du cylindre.

La base du rectangle correspond à la circonférence de la base du cylindre.

C = pd

C = 28,4p

55,3 m

28,4π m

x

On détermine l’angle formé par la diagonale et la base du rectangle :

x = tan–1 55,328,4p

≈ 31,8°

La mesure de l’angle d’inclinaison est d’environ 31,8°.

La recherche de mesures Section 2 dans un triangle quelconque

Une tyrolienne dans le parcoursManuel • p. 179

Le schéma suivant résume les données du problème.

22 m 22 m

P

QR S

H

A

59˚47˚

On détermine la mesure de AS :

Dans le triangle ARS,

cos 47° = 22m AS

m AS = 22cos 47° ≈ 32,26 m



On détermine la mesure de PS :Dans le triangle PQS,

cos 59° = 22m PS

m PS = 22cos 59° ≈ 42,72 m

On détermine la mesure de l’angle ASP :

m ∠ ASP = 180° - (47° + 59°) = 74°

On détermine la mesure de la hauteur AH :Dans le triangle AHS,

sin 74° ≈ m AH32,26

m AH ≈ 32,26 • sin 74° ≈ 31,01 m

On détermine les mesures de SH et de HP :Dans le triangle AHS,

tan 74° ≈ 31,01m SH

m SH ≈ 31,01tan 74° ≈ 8,89 m

m HP ≈ 42,72 – 8,89 ≈ 33,83 m

On détermine la mesure de AP :Dans le triangle AHP,

m AP ≈ 31,012 + 33,832 ≈ 45,89

Oui, monsieur Ipperciel a raison, il est possible de détermi-ner la longueur de la tyrolienne à l’aide des mesures qu’il a prises. La tyrolienne sera d’une longueur d’environ 46 m.

1ActIvItéd’exploration Voguer à Venise

Manuel • p. 180

A

C

A

B

350 m

40°

65°

hA

B Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Puisque dans un triangle au plus grand angle est opposé le plus grand côté, cette distance est de moins de 350 m.

C (voir au bas de la page)

D On a b • sin C = c • sin B.

On divise chaque membre de l’égalité par sin B • sin C :

b • sin Csin B • sin C

= c • sin Bsin B • sin C

En simplifiant les rapports, on obtient

bsin B = c

sin C .

E 350sin 75° = c

sin 65°

c = 350 • sin 65°sin 75° ≈ 328,4

La distance qui sépare la demeure d’Adriano de la boulangerie est d’environ 328,4 m.

F On trace hB, la hauteur issue du sommet B.

On a sin C = hBa

et sin A = hBc

a • sin C = hB et c • sin A = hB

Par comparaison, on a

a • sin C = c • sin A

asin A = c

sin C

a

sin 40° ≈ 328,4

sin 65°

a ≈ 328,4 • sin 40°sin 65° ≈ 232,9

La distance qui sépare la demeure de Cecilia de la boulangerie est d’environ 232,9 m.

C

hB

A

B

350 m

40°

60°

Réponse à la question C , page 180

Étape Justification

1re égalité 2e égalité

1. sin C = hAb sin B =

hAc

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle est le rapport entre la mesure de son côté opposé et la mesure de l’hypoténuse.

2. b • sin C = hA c • sin B = hA On isole hA dans chacune des équations.

3. b • sin C = c • sin B On pose une égalité entre les deux expressions équivalentes à hA.



Manuel • p. 181

G Dans un triangle, les rapports entre la mesure d’un côté et le sinus de l’angle qui lui est opposé sont équivalents.

H 1 asin A = b

sin B

asin 56° = 40

sin 71°

a = 40 • sin 56°sin 71° ≈ 35,1 m

2 L’angle D mesure 59°.

d

sin D = esin E

57sin 59° = e

sin 49°

e = 57 • sin 49°sin 59° ≈ 50,2 m

3 ysin Y = w

sin W

27,8

sin 67° = 16sin W

sin W = 16 • sin 67°27,8 ≈ 0,5298

m ∠ W ≈ 32°

I 1) Non. Voici un exemple de triangle pour lequel ce n’est pas possible :

C

A

B

17 cm

12 cm

108°

En substituant les valeurs connues dans la

formule asin A

= bsin B

= csin C

, on obtient a

sin 108°= 17

sin B = 12

sin C . On n’a donc jamais

un des trois rapports complet, et il est donc impossible de trouver la valeur des autres inconnues.

2) Oui. Sachant que la somme des angles dans un triangle est de 180°, on peut connaître la valeur de A, B et C dans la formule

asin A

= bsin B

= csin C

. On connaît aussi la valeur

de a, de b ou de c. On a donc toujours un des trois rapports complet et, en s’en servant, on peut trouver la valeur des deux autres inconnues.


1. a) m AB ≈ 79,5 cm c) m HJ ≈ 7,65 m

b) m ∠ E ≈ 45° d) m ∠ M = 15°

2. Le périmètre du triangle RST est d’environ 40,72 cm.

2ActIvItéd’exploration Oiselet

Manuel • p. 182

Remarque : Une portion de la deuxième phrase du premier paragraphe de l’activité d’exploration 2, Oiselet, devrait se lire comme suit : « … la balle a emprunté une trajectoire formant un angle de 13° avec la trajectoire optimale… »

A (voir au bas de la page)

B asin A = b

sin B = csin C

208sin A = 52

sin 13° = csin C

sin A = 208 • sin 13°52 ≈ 0,8998

m ∠ A ≈ 64,1°

Réponse à la question A , page 182

DépartDépartC

208 m

52 m

13°

A



Puisque l’angle A est un angle obtus, on calcule la mesure de cet angle :

180° - 64,1° ≈ 115,9°

L’angle formé par les trajectoires des deux coups de Patrice mesure environ 115,9°.

C Dans la section 1 de ce chapitre, on a vu que

sin A = sin (180° - A).

Ainsi, la mesure d’angle d’environ 64,1° satisfait aussi à la loi des sinus.

D (voir au bas de la page)

E Première représentation :

On trouve la mesure de l’angle C :

180° - (13° + 115,9°) ≈ 51,1°a

sin A = bsin B = c

sin C

asin A = 52

sin 13° = csin 51,1°

c ≈ 52 • sin 51,1°sin 13°

≈ 180

La distance parcourue par la balle de Patrice au premier coup est d’environ 180 m.

Seconde représentation :

On trouve la mesure de l’angle C :

180° - (13° + 64,1°) ≈ 102,9°

a

sin A = bsin B = c

sin C

a

sin A = 52sin 13° ≈ c

sin 102,9°

c ≈ 52 • sin 102,9°sin 13°

≈ 225,4

La distance parcourue par la balle de Patrice au premier coup est d’environ 225,4 m.


1. En utilisant la loi des sinus, on obtient

10sin A = 7

sin 35°

sin A = 10 • sin 35°7

m ∠ A ≈ 55°

Pour trouver la mesure de l’angle obtus, on doit donc effectuer le calcul suivant :

m ∠ A ≈ 180 - 55 ≈ 125°

2. Triangle 1 : m ∠ D = 12° m EF = 135 cm m ∠ E ≈ 16,5° m DF = 184 cm m ∠ F ≈151,5° m DE = 309,45 cm

Triangle 2 : m ∠ D = 12° m EF = 135 cm m ∠ E ≈ 163,5° m DF = 184 cm m ∠ F ≈ 4,5° m DE = 50,51 cm

3ActIvItéd’exploration Triangulation planétaire

Manuel • p. 183

A Non, c’est impossible. La loi des sinus permet de résoudre un triangle, si l’on connaît la mesure d’un angle et celle du côté qui lui est opposé ainsi qu’une autre mesure d’angle ou de côté. Ici, pour le seul angle dont on connaît la mesure, la mesure du côté qui lui est opposé n’est pas connue.

B Si le triangle était rectangle en T, la mesure de t serait égale à (75)2 + (105)2. Puisque l’angle T mesure moins de 90°, la mesure du côté opposé à cet angle doit mesurer moins de (75)2 + (105)2.

La distance séparant Vénus de Mars sera plus petite que (75)2 + (105)2.

Réponse à la question D , page 182

DépartDépartC

208 m

52 m

13°

A



C On nomme cette hauteur hV :

V

M

T

m = 75 Gm

v = 105 Gm

Wt

hV 70°

sin 70° = hV75

m hV = 75 • sin 70°

m hV ≈ 70,48

La hauteur issue de V mesure environ 70,48 Gm.

D En appliquant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle VTW, on trouve que le segment TW mesure environ 25,65 m.

On calcule la mesure du segment MW :

105 – 25,65 ≈ 79,35

Le segment MW mesure environ 79,35 m.

En appliquant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle VMW, on trouve que le segment MV mesure environ 106,13 m.

La distance séparant Mars de Vénus est d’environ 106,13 Gm.

Manuel • p. 184

E a2 = b2 + c2 – 2bc • cos A

F hc2 = b2 – x2 et hc

2 = a2 – (c – x)2

G b2 – x2 = a2 – (c – x)2

b2 – x2 = a2 – (c2 – 2cx + x2)

b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx – x2

b2 + c2 – x2 + x2 – 2cx = a2

b2 + c2 – 2cx = a2

Dans le triangle rectangle ACH, on a cos A = xb . On a

donc b • cos A = x. En substituant la valeur de x dans l’équation b2 + c2 – 2cx = a2, on arrive à

b2 + c2 – 2cx = a2

b2 + c2 – 2cb • cos A = a2.

H 1) b2 = a2 + c2 – 2ac • cos B

2) c2 = a2 + b2 – 2ab • cos C

I a2 = b2 + c2 – 2bc • cos A

(75,14)2 = (75)2 + (0,384)2 – 2 • 75 • 0,384 • cos A

(75,14)2 – (75)2 – (0,384)2 = -2 • 75 • 0,384 • cos A

(75,14)2 - (75)2 - (0,384)2

-2 • 75 • 0,384 = cos A

-0,362 ≈ cos A

111,2° ≈ m ∠ A

L’angle formé par les lignes de visée de la Lune et de Vénus à partir de la Terre est d’environ 111,2°.


a) m RS ≈ 13,91 m c) m ∠ C ≈ 50,1°

b) m KH ≈ 9,34 cm d) m ∠ E ≈ 61,3°



a) m AB ≈ 5,64 m c) m AB = 140 cm

b) m AB ≈ 13,6 cm d) m AB ≈ 1,82 m


On détermine la mesure du troisième angle : 180° – (42° + 64°) = 74°

Dans un triangle, le plus grand angle est opposé au plus grand côté. Ici, l’angle de 74° est opposé au côté mesurant 50 cm.

On utilise la loi des sinus pour déterminer les mesures x et y des deux autres côtés :

50sin 74° = x

sin 42°

x ≈ 34,8 cm

50sin 74° =

ysin 64°

y ≈ 46,75 cm

On détermine le périmètre du triangle :

50 + 46,75 + 34,8 ≈ 131,55

Le périmètre de ce triangle est d’environ 131,55 cm.


Dans le triangle ABD,

m ∠ D = 180° – (51° + 54°) = 75°



On détermine la mesure du segment BD à l’aide de la loi des sinus :

100sin 75° = m BD

sin 51°

m BD ≈ 80,46 m

On utilise le rapport trigonométrique tangente afin de déterminer la hauteur du rocher Percé :

tan 41° ≈ m CD 80,46

m CD ≈ 69,94

La hauteur du rocher Percé est d’environ 69,94 m.


a) m ∠ C ≈ 37,3°

b) m ∠ C ≈ 37,3°

c) m ∠ C ≈ 79°

d) m ∠ C ≈ 119,7°

Manuel • p. 188


a) m ∠ A ≈ 51° c) m ∠ K ≈ 115,7°

m AB ≈ 20,4 m m ∠ L ≈ 32,3°

m BC ≈ 16,7 m m KM ≈ 10,1 m

b) m ∠ E = 54°

m EF ≈ 64,3 mm

m DF ≈ 52,6 mm


a) On détermine la mesure de l’angle B qui est l’angle homologue à l’angle E :

25sin B = 5,4

sin 12°

m ∠ B ≈ 74,3°

On trouve la mesure de l’angle obtus : m ∠ B ≈ 180° – 74,3° ≈ 105,7°

L’angle E mesure environ 105,7°.

b) On détermine la mesure de l’angle C :

m ∠ ACB = ∠ DCE ≈ 180° – (105,7° + 12°) ≈ 62,3°

On détermine la mesure du segment DE à l’aide de la loi des sinus :

60sin 105,7° ≈ m DE

sin 62,3°

m DE ≈ 60 • sin 62,3°sin 105,7° ≈ 55,2

Le segment DE mesure environ 55,2 cm.

7. Niveau de difficulté : élevé

FD

A

x

2 510 m

10˚13˚

On détermine d’abord les mesures des angles intérieurs du triangle :

m ∠ D = 180° – 13° = 167°

m ∠ A = 180° – (167° + 10°) = 3°

On détermine la valeur de x à l’aide de la loi des sinus :2 510sin 3° = x

sin 10°

x ≈ 8 328

La distance qui sépare l’avion du début de la piste d’atterrissage est d’environ 8 328 m.


a) m AC ≈ 38,61 cm d) m ∠ M ≈ 22,6°

b) m FG ≈ 16,53 m e) m ∠ Q ≈ 40,2°

c) m ∠ H ≈ 110,2° f) m RS ≈ 32,65 cm


En utilisant la loi des sinus, on a les égalités suivantes pour un triangle donné ABC.

asin A = b

sin B = csin C

Dans un triangle isocèle, on a deux côtés isomé-triques ; par exemple, les côtés b et c. Le rapport devient donc le suivant :

bsin B = b

sin C .

On cherche à trouver la mesure des angles. On peut multiplier par la même mesure sans changer l’égalité.

sin B • sin Cb

• bsin B

= sin B • sin Cb

• bsin C

sin C = sin B

sin-1 (sin C) = sin-1 (sin B), donc m ∠ C = m ∠ B.

Manuel • p. 189


La distance entre chaque quille étant la même, la distance entre la quille 6 et la quille 10 est de 30,4 cm, car

91,23 = 30,4.

Les trois angles du triangle équilatéral mesurent chacun 60°.



30,4 cm60°

91,2 cm7 10

6

On determine la distance qui sépare les quilles 6 et 7 à l’aide de la loi des cosinus :

a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A

a = (91,2)2 + (30,4)2 - 2(91,2) • (30,4) • cos 60°

a ≈ 80,43

La distance entre les quilles 6 et 7 est d’environ 80,43 cm.


On détermine la hauteur du plus grand édifice à l’aide du rapport trigonométrique tangente.

90° – 72° = 18°

tan 18° = 42hG

hG ≈ 129,26 m

On détermine la différence de hauteur entre les deux édifices à l’aide du rapport trigonométrique tangente :

tan 27° = x42

x ≈ 21,4 m

On détermine la hauteur du petit édifice :

hP = 129,26 – 21,4 ≈ 107,86

Le plus haut édifice mesure environ 129,26 m et le plus petit, environ 107,86 m.


La distance qui séparait la balle de la coupe avant le premier coup roulé de Bernard est de 11,54 m.


On détermine la mesure des angles B et E à l’aide de la loi des cosinus :

b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B

cos B = b2 - a2 - c2

-2ac

cos B = (10)2 - (12)2 - (4)2

-2 • 12 • 4

m ∠ B = m ∠ E ≈ 51,3°

m ∠ EAB = 180 - 2 • 51,3 = 77,4°

m DE = 4 cm puisque ∆ADE ≅ ∆ABC (condition minimale d’isométrie CAC).

On trouve ensuite la mesure du segment BE en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABE.

a2 = b2 + e2 - 2be • cos A

a2 = (12)2 + (12)2 - 2 • 12 • 12 • cos 77,4°

a = 15 cm

m CD = m BE - m DE - m BC = 15 - 4 - 4 = 7

La mesure de CD est de 7 cm.


Oui, car pour un triangle donné ABC, rectangle en C, et en utilisant la loi des cosinus, on obtient

c2 = a2 + b2 - 2ab • cos 90°.

Mais, comme le cosinus d’un angle droit vaut 0, on obtient donc l’égalité suivante : c2 = a2 + b2.

Manuel • p. 190


a) m ∠ C = 180° - (57° + 48°) = 75°

On trouve la mesure du segment DE en utilisant la loi des cosinus dans le triangle DEF.

(m DE)2 = (2,5)2 + (3,9)2 - 2 • 2,5 • 3,9 • cos 97°

m DE ≈ 4,88 m

Avec la loi des sinus, on trouve la mesure du segment CD.

sin 75°4,88

= sin 57°m CD

m CD = 4,24 m

b) On trouve la mesure du segment BD avec la loi des cosinus dans le triangle ABD.

(m BD)2 = (21)2 + (25)2 - 2 • 21 • 25 • cos 70°

m BD ≈ 26,59 mm

Avec la relation de Pythagore, on obtient

(m CD)2 = (16)2 + (26,59)2

m CD ≈ 31,03 mm

16. Niveau de difficulté moyen

On trouve la mesure des segments en utilisant la formule de la distance entre deux points :

d(P, Q) = 13

d(R, Q) = 128 ≈ 11,31

d(P, R) = 5

On détermine la mesure d’un des trois angles avec la loi des cosinus :

q2 = r2 + p2 - 2rp • cos Q

(5)2 = (13)2 + ( 128)2 - 2 • 13 128 • cos Q

m ∠ Q ≈ 22,4°



En utilisant la loi des sinus, on trouve la mesure des deux autres angles.

L’angle R est un angle obtus.

q

sin Q = psin P = r

sin R

5sin 22,38°

≈ 11,31sin P ≈ 13

sin R

m ∠ P ≈ 59,5°

m ∠ R ≈ 180° - (59,5° + 22,4°) ≈ 98,1°

Les mesures des angles P, Q et R sont les suivantes : environ 59,5°, environ 22,4° et environ 98,1° respectivement.


a) On trouve la distance entre le point de départ et l’arrivée en utilisant la loi des cosinus.

b2 = (200)2 + (250)2 - 2 • 200 • 250 • cos 140° b ≈ 423,21

Sean doit marcher environ 423,21 m.

b) On trouve le temps total pour la durée d’un parcours.

Temps total ≈ 0,75 + 423,216 000

60 ≈ 0,75 + 4,2321

≈ 4,9821

≈ 5 min

Si l’entraînement dure une heure, Sean pourra faire le parcours 12 fois.

Section 3 L’aire des triangles

Un rallye dans le Sahara Manuel • p. 191

Dans le but de simplifier la démarche, on nomme les sommets correspondants aux deux repères par les lettres A et B. La position du véhicule de Claude et Nathalie est identifiée par la lettre C. De plus, on trace à partir du sommet C un segment vertical CN pointant vers le nord géographique. Grâce aux prises d’azimut des lignes de visée des deux repères, on peut calculer que les angles ACN et BCN mesurent respectivement 12° et 43°. On trace enfin la hauteur issue du sommet A.

Situationd’application



Voici la représentation :

A

B

C

H

N

43˚12˚

6,8 km 4,4 km

On détermine la mesure de la hauteur AH :

L’angle BCA mesure 55° (43° + 12°).

Dans le triangle rectangle ACH,

sin 55° = m AH 4,4

m AH = 4,4 • sin 55° ≈ 3,6 km

On détermine l’aire du triangle ABC :

AABC = m BC • m AH2

AABC ≈ 6,8 • 3,62

≈ 12,24

L’aire du triangle ABC est d’environ 12,24 km2.

On calcule le temps t nécessaire aux coéquipières pour ratisser la région où se trouve, selon elles, la prochaine balise :

t ≈ 12,244 ≈ 3,06

Les coéquipières ont besoin d’environ 3,06 heures pour ratisser complètement cette région.

Il est présentement 15 h 40. Elles n’auront pas terminé de ratisser complètement la région avant le coucher du soleil prévu pour 18 h 15.

Pour être certaines, elles devraient donc demander de l’aide par radio.

1ActIvItéd’exploration Animal et végétal

Manuel • p. 192

A 1)

A

EK

R 35˚

70 m

64 m

On trace AK, la hauteur relative à ER.

On calcule la mesure du segment AK en utilisant le rapport trigonométrique sinus dans le triangle rectangle RKA.



sin 35° = m AK64

m AK = 64 • sin 35° ≈ 36,71

La hauteur relative à ER mesure environ 36,71 m.

On calcule l’aire de cette parcelle de terrain.

A = m ER • m AK2

≈ 70 • 36,712

≈ 1 284,81 m2

2)

LA

E

R 35˚

70 m

64 m

On trace EL, la hauteur relative à AR.

On calcule la mesure de EL en utilisant le rapport trigonométrique sinus dans le triangle rectangle REL.

sin 35° = m EL70

m EL = 70 • sin 35° ≈ 40,15

La hauteur relative à AR mesure environ 40,15 m.

On calcule l’aire de cette parcelle de terrain.

A = m AR • m EL2

≈ 64 • 40,152

≈ 1 284,81 m2

B On détermine la mesure de AE à l’aide de la loi des cosinus.

r2 = a2 + e2 - 2ae • cos R

r2 = 702 + 642 - 2 • 70 • 64 • cos 35°

r ≈ 40,7

Le segment AE mesure environ 40,7 m.

On détermine la mesure de la hauteur relative au segment AE à partir de la formule de l’aire du triangle :

A∆ = b • h2

1 284,81 ≈ 40,7 • h2

63,14 ≈ h

La hauteur relative à AE mesure environ 63,14 m.

Manuel • p. 193

C Oui

Pour le triangle BDC :

On trace BK, la hauteur relative à DC.

65 m

B

61˚

75˚

D

K

C

On détermine la mesure de l’angle DCB.

180° - 61° - 75° = 44°

La mesure de l’angle DCB est de 44°.

On détermine la mesure du segment DC à l’aide de la loi des sinus.

65sin 44°

= m DCsin 75°

m DC = 65 • sin 75°sin 44°

≈ 90,38

Le segment DC mesure environ 90,38 m.

En utilisant le rapport trigonométrique sinus dans le triangle rectangle DBK, on détermine la mesure du segment BK.

sin 61° = m BK65

m BK = 65 • sin 61° ≈ 56,85

Le segment BK mesure environ 56,85 m.

On calcule l’aire du triangle BDC.

A∆BDC = m DC • m BK2

≈ 90,38 • 56,852

≈ 2 569,14

L’aire de la parcelle de terrain représenté par le triangle BDC est d’environ 2 569,14 m2.

Pour le triangle FGH :

On détermine la mesure de l’angle F à l’aide de la loi des cosinus.

f 2 = g2 + h2 - 2gh • cos F

522 = 762 + 452 - 2 • 76 • 45 • cos F

0,745 ≈ cos F

41,83° ≈ m ∠ F

L’angle F mesure environ 41,8°.

On trace la hauteur GL issue du sommet G et on détermine sa mesure en utilisant le rapport trigo-nométrique sinus.

F

G

45 m

41,83˚

52 m

76 mH

L



sin 41,83° ≈ m GL45

m GL ≈ 45 • sin 41,83° ≈ 30

La hauteur GL mesure environ 30 m.

On calcule l’aire du triangle FGH.

A∆FGH = m FH • m GL2

≈ 76 • 302

≈ 1 140,35

L’aire de la parcelle de terrain représentée par le triangle FGH est d’environ 1 140,35 m2.

D Pour déterminer l’aire d’un triangle quelconque, il faut connaître au minimum la mesure d’un côté et celle de deux angles, la mesure de deux côtés et celle d’un angle ou la mesure des trois côtés.


a) ≈ 34,3 m2 b) ≈ 84,62 m2 c) ≈ 47,8 m2

2ActIvItéd’exploration De Calibao à Santa Rosa

Manuel • p. 194

A 1) Le périmètre est de 11 km.

2) L’aire est d’environ 5,74 km2.

h

2 km 2 km

3,5 km3,5 km

Puisque l’axe de symétrie supporte la médiane et la hauteur, on partage le côté mesurant 4 km en deux segments isométriques :

h = 3,52 - 22

h ≈ 2,87

A∆ = b • h2

A∆ ≈ 4 • 2,872 ≈ 5,74

B Oui.

C A∆ = p(p - a)(p - b)(p - c), où p est le

demi-périmètre du triangle, et a, b et c, les mesures de ses côtés.

D p = a + b + c2

= 14,85

A∆ = p(p - a)(p - b)(p - c)

A∆ = 14,85(14,85 - 6,8)(14,85 - 10,7)(14,85 - 12,2)

A∆ ≈ 36,26

L’aire de ce triangle est d’environ 36,26 km2.

E À l’aide de la loi des cosinus, on détermine la mesure de l’angle opposé au côté mesurant 10,7 km. On nomme cet angle A.

a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A

(10,7)2 = (6,8)2 + (12,2)2 - 2 • 6,8 • 12,2 • cos A

0,4857 ≈ cos A

60,9° ≈ m ∠ A

La mesure de l’angle A est d’environ 60,9°.

On trace la hauteur h relative au segment mesurant 12,2 km et on détermine sa mesure en utilisant le rapport trigonométrique sinus.

sin 60,94° ≈ h6,8

h ≈ 6,8 • sin 60,9° ≈ 5,94

La hauteur h mesure environ 5,94 km.

On calcule l’aire de l’île d’Anaphi.

A∆ ≈ 12,2 • 5,94

2 ≈

72,522

≈ 36,26

L’aire de ce triangle est d’environ 36,26 km2.

Manuel • p. 195

F En utilisant la formule de la distance entre deux points,

d(A, B) = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2, on détermine

la mesure de chacun des côtés du quadrilatère.

Le côté AB mesure environ 18,97 km.

Le côté BC mesure environ 12,06 km.

Le côté CD mesure 14,5 km.

Le côté AD mesure environ 16,43 km.

G On aurait besoin de connaître la mesure de la diago-nale BD ou celle de la diagonale AC.

H La diagonale BD mesure environ 16,83 km.

On calcule l’aire du triangle ABD :

p ≈ 18,97 + 16,83 + 16,43

2 ≈

52,232

≈ 26,1

A∆ABD = p(p - a)(p - b)(p - c)

A∆ABD ≈ 26,1(26,1 - 18,97)(26,1 - 16,83)(26,1 - 16,43)

A∆ABD ≈ 129,4



L’aire du triangle ABD est d’environ 129,4 km2.

On calcule l’aire du triangle CBD :

p ≈ 12,06 + 16,83 + 14,5

2 ≈

43,42

≈ 21,7

A∆CBD = p(p - a)(p - b)(p - c)

A∆CBD ≈ 21,7(21,7 - 12,06)(21,7 - 16,83)(21,7 - 14,5)

A∆CBD ≈ 85,6

L’aire du triangle CBD est d’environ 85,6 km2.

On calcule l’aire du quadrilatère.

A ≈ 129,4 + 85,6 ≈ 215

L’aire de ce quadrilatère est d’environ 215 km2.


1. a) ≈ 39,19 cm2 c) ≈ 2 716,12 cm2

b) ≈ 6,05 m2 d) ≈ 766 cm2

2. 14,5 unités2



a) 64,3 m2 b) 5 529,2 m2 c) 58,58 cm2


On calcule la mesure du troisième angle :

180° – (64° + 42°) = 74°

Puisqu’au plus grand angle est opposé le plus grand côté, on trace la figure suivante :

64˚

74˚

hx

42˚50 cm

50sin 74° = x

sin 64°

x ≈ 46,75 cm

On détermine la mesure de la hauteur issue du sommet dont l’angle est de 74° :

sin 42° ≈ h46,75

h ≈ 46,75 • sin 42° ≈ 31,28 cm

On détermine l’aire du triangle :

A∆ = b • h2

A∆ ≈ 50 • 31,282 ≈ 782,05

L’aire du triangle est d’environ 782,05 cm2.


a) 12 cm2

b) 104,3 m2

c) 5 726,6 cm2


a) Dans un triangle, il existe trois bases et trois hauteurs relatives à ces bases. Par exemple, si l’on prend comme base le côté b, alors la hauteur à considérer est celle issue du sommet B. Pour déterminer cette hauteur h, il suffit d’utiliser le rapport trigonométrique sinus.

sin A = hc

h = c • sin A

A∆ = b • h2

A∆ = b • c • sin A2

A∆ = bc • sin A2

La formule de Benoît est équivalente à la formule de l’aire d’un triangle.

b) L’aire d’un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés adjacents et du sinus de l’angle compris entre ces deux côtés.


L’aire de ce timbre-poste est d’environ 3,64 cm2.

Manuel • p. 198


a) On détermine la mesure du côté AB en utilisant le rapport trigonométrique tangente.

tan 56,1° = m AB150,5

m AB ≈ 223,97

Le côté AB mesure environ 223,97 m.

On détermine la mesure de la diagonale BD en utilisant la relation de Pythagore.

150,52 + 223,972 ≈ 269,84

La diagonale BD mesure environ 269,84 m.



On détermine la mesure du côté CD en utilisant le rapport trigonométrique tangente.

tan 35,7° = m CD269,84

m CD ≈ 193,9

Le côté CD mesure environ 193,9 m.

On détermine la mesure du côté BC en utilisant la relation de Pythagore.

269,842 + 193,92 ≈ 332,28

Le côté BC mesure environ 332,28 m.

On calcule le périmètre du quadrilatère :

P ≈ 223,97 + 150,5 + 193,9 + 332,28 ≈ 900,64 m

On calcule l’aire de ce quadrilatère :

Il est formé de deux triangles rectangles, donc on peut calculer l’aire de chacun de ces triangles.

A∆ABD = b • h2 A∆BCD = b • h

2

A∆ABD ≈ 150,5 • 223,972 A∆BCD ≈ 193,9 • 269,84

2

A∆ABD ≈ 16 853,56 A∆BCD ≈ 26 160,27

Atotale ≈ 16 853,56 + 26 160,27 ≈ 43 013,84 m2

Le périmètre du quadrilatère DEFG est d’environ 900,64 m et son aire, d’environ 43 013,84 m2.

b) On détermine la mesure du segment FH en utilisant la loi des cosinus.

(m FH)2 = (5,4)2 + (4,2)2 - 2 • 5,4 • 4,2 • cos 85°

m FH ≈ 6,55

On détermine les mesures des deux autres angles et du troisième côté du triangle EFG en utilisant la loi des sinus.

sin 70°6,5

≈ sin ∠ EHF3,7

≈ sin ∠ EFHm EH

m ∠ EHF ≈ 32°, m ∠ EFH ≈ 77,9°, m EH ≈ 6,81 cm

On calcule le périmètre du quadrilatère.

P ≈ 6,81 + 3,7 + 4,2 + 5,4 ≈ 20,11

Le périmètre du quadrilatère EFGH est d’environ 20,11 cm.

On calcule l’aire des deux triangles à l’aide de la formule de Héron.

p ≈ 6,81 + 3,7 + 6,52

≈ 8,51

A∆EFH ≈ 8,51(8,51 - 6,81)(8,51 - 3,7)(8,51 - 6,5)

A∆EFH ≈ 11,84 m2

p ≈ 6,5 + 4,2 + 5,42

≈ 8,07

A∆FGH ≈ 8,07(8,07 - 6,55)(8,07 - 4,2)(8,07 - 5,4)

A∆FGH ≈ 11,3 m2

Atotale ≈ 11,84 + 11,3 ≈ 23,13

L’aire du quadrilatère EFGH est d’environ 23,13 cm2.

c) Remarque : Dans le manuel, une mesure de 40 mm devrait être donnée pour le segment JK

Dans le triangle isocèle, on sait que l’hypoténuse mesure 40 mm.

En appliquant la relation de Pythagore x2 + x2 = (40)2, on trouve que la mesure des deux côtés isométriques est d’environ 28,28 mm.

Les mesures des deux cathètes du petit triangle rectangle sont donc environ 11,72 mm et environ 8,28 mm.

On détermine la mesure du segment KL à l’aide de la relation de Pythagore.

11,722 + 8,282 ≈ m KL

14,35 ≈ m KL

Le segment KL mesure environ 14,35 mm.

On détermine le périmètre du quadrilatère.

P ≈ 40 + 40 + 20 + 14,35 ≈ 114,35

Le périmètre du quadrilatère est d’environ 114,35 mm.

On détermine l’aire du quadrilatère.

Atotale = Agrand ∆ + Apetit ∆

Atotale = b • h2

+ b • h2

Atotale = 28,28 • 28,28

2 +

11,72 • 8,282

Atotale ≈ 448,4

L’aire du quadrilatère est d’environ 448,4 mm2.


Un octogone régulier est formé de 8 triangles isocèles isométriques.

Les deux angles isométriques mesurent 67,5°,

car 360°8 = 45° et 180° – 45°

2 = 67,5°.

2 cm

67,5°67,5°

x



On détermine la mesure de la moitié du segment CD en utilisant le rapport trigonométrique tangente.

tan 67,5° = x2

x ≈ 4,83

L’apothème de cet octogone mesure environ 4,83 cm.

L’aire d’un octogone régulier est calculée à partir de

A = n • a • c2 , où n représente le nombre de côtés,

a, la mesure de l’apothème et c, la mesure du côté.

A ≈ 8 • 4,83 • 42

A ≈ 77,25

L’aire de l’octogone est d’environ 77,25 cm2.


a)

On détermine la mesure des angles A et C :75

sin 110° = 60

sin A

m ∠ A ≈ 48,7°

m ∠ C ≈ 21,3°.

On détermine la mesure de la hauteur issue de l’angle B :

sin 21,3° ≈ h60

h ≈ 60 • sin 21,3° ≈ 21,8 cm


A∆ABC = b • h2

A∆ABC ≈ 75 • 21,82 ≈ 817,32

L’aire de la région délimitée par le bras, la jambe et le torse de cette femme est d’environ 817,32 cm2.

h

C

B

A

60 cm75 cm

110˚

b)

On détermine la mesure de la diagonale :

d = 1102 + 602 ≈ 125,3 cm

On détermine l’aire du triangle rectangle :

A∆ = b • h2

A∆ = 110 • 602

A∆ = 3 300 cm2

On détermine l’aire du second triangle à l’aide de la formule de Héron :

p = a + b + c2

= 45 + 90 + 125,32

≈ 130,15

A∆ = p(p – a)(p – b)(p – c)

A∆ = 130,15(130,15 – 45)(130,15 – 90)(130,15 – 125,3)

A∆ ≈ 1 469 cm2

On détermine l’aire du quadrilatère :

Aquadrilatère ≈ 1 469 + 3 300 ≈ 4 769

L’aire de la région délimitée par le sol, le bras, le torse et la jambe de cet homme est d’environ 4 769 cm2.

Manuel • p. 199


a) Avant de calculer l’aire, on trouve la distance entre les sommets du triangle ABC en utilisant la formule de la distance entre deux points.

d(A, B) = 74 ≈ 8,6

d(B, C) = 157 ≈ 12,53

d(A, C) = 137 ≈ 11,7

On trouve l’aire du triangle ABC à l’aide de la formule de Héron.

p ≈ 8,6 + 12,5 + 11,772

≈ 16,42

A∆ABC ≈ 16,42(16,42 - 8,6)(16,42 - 12,53)(16,42 - 11,7)

A∆ABC ≈ 48,4

L’aire du triangle ABC est d’environ 48,4 unités2.

d110 cm 90 cm

45 cm

60 cm



b) En utilisant la même démarche qu’en a, on obtient

d(D, E) = 4825 ≈ 69,46

d(E, F) = 2249 ≈ 47,42

d(D, F) = 866 ≈ 29,43

A∆DEF = 551,5

L’aire de la figure DEF est de 551,5 unités2.

c) On divise cette figure en deux triangles et on suit la même démarche qu’en a et en b.

d(K, M) = 12,5 ≈ 3,54

d(K, N) = 42,25 = 6,5

d(M, N) = 15,25 ≈ 3,91

A∆KMN = 5,875

d(K, M) = 12,5 ≈ 3,54

d(K, L) = 21,25 ≈ 4,61

d(L, M) = 9,25 ≈ 3,04

A∆KLM = 5,375

L’aire de la figure KLMN est de 11,25 unités2.


C

B

A

39,9˚

a) En utilisant la relation de Pythagore, on trouve la mesure de deux des trois côtés du triangle.

m AC = (4,5)2 + (5)2 ≈ 6,73 cm

m AB = (5,5)2 + (3)2 ≈ 6,26 cm

En utilisant la loi des sinus, on trouve la mesure des deux autres angles et du troisième côté.

6,73sin 39,9°

≈ 6,26sin B

≈ m BCsin A

m ∠ B ≈ 36,6°, m ∠ A ≈ 103,5°, m BC ≈ 10,2 cm

À l’aide de la formule de Héron, on trouve l’aire du triangle.

p ≈ 6,73 + 6,26 + 10,22

≈ 11,6

A ≈ 11,6(11,6 - 6,73)(11,6 - 6,26)(11,6 - 10,2)

A ≈ 20,5

L’aire du triangle formé de tissu rayé est d’environ 20,5 cm2. Le pourcentage de tissu rayé corres-pond à environ 20,5 % du motif de courtepointe.

b) On sépare le quadrilatère formé de tissu à pois en deux figures. Un des triangles sera rectangle et l’autre, acutangle.

m ∠ GBA = tan-1(4,5

5 ) ≈ 42°

On détermine la mesure de l’hypoténuse du triangle BDE :

m BE = 32 + 52 ≈ 5,83 cm

On détermine la mesure de l’angle DBE :

m ∠ DBE = tan-1(3

5) ≈ 31°

Il y a quatre angles qui sont supplémentaires. Il est possible de trouver la mesure de l’angle EBF en utilisant les autres mesures d’angles.

m ∠ EBF ≈ 180° – (31° + 42° + 36,6°) ≈ 70,4°

Dans le triangle acutangle, comme on connaît la mesure d’un angle ainsi que deux côtés, on trouve la mesure du troisième côté en utilisant la loi des cosinus.

c2 ≈ (2)2 + (5,83)2 - 2 • 2 • 5,83 • cos 70,4°

c ≈ 5,49

La mesure du troisième côté est donc d’environ 5,49 cm.

Atotale = A∆rectangle + A∆acutangle

Atotale ≈ 3 • 52

+ 6,65(6,65 - 5,47)(6,65 - 5,83)(6,65 - 2)

Atotale ≈ 13

L’aire du quadrilatère formé de tissu à pois est d’environ 13 cm2. Le pourcentage de tissu à pois correspond à environ 13 % du motif de courtepointe.

xy

2 cm

36,68°

3 cm

5 cm5 cmG

A

B D

E

F

?

4,5 cm




a) Dans le triangle ABC, on a les informations suivantes :

m AB = 7,5 m

m BC = 4,2 m

m ∠ B = 157,5°

C

B

A

NN

7,5 m

4,2 m

45˚

22,5˚

En utilisant la loi des cosinus, on trouve la mesure du segment AC.

(m AC)2 = (7,5)2 + (4,2)2 - 2 • 7,5 • 4,2 • cos 157,5°

m AC ≈ 11,49

La distance qui sépare les sommets A et C est d’environ 11,49 m.

b) Avec la formule de Héron, on trouve l’aire de la surface à ratisser.

p ≈ 11,49 + 7,5 + 4,22

≈ 11,6

A ≈ 11,6(11,6 - 7,5)(11,6 - 4,2)(11,6 - 11,49)

A ≈ 6,22

L’aire que les géochercheurs auront à ratisser pour trouver la cache est d’environ 6,22 m2.

ConsolidationManuel • p. 200

1. Recherche de mesures de côtés dans un triangle rectangle

Niveau de difficulté : moyen

48˚

12 m

h

tan 48° = h12

h ≈ 13,3

La hauteur de l’arbre est d’environ 13,3 m.

2. Recherche de mesures de côtés et d’angles

dans un triangle quelconque


N

GP

B

45˚

14,8 km

4,5 km

a) On détermine la mesure du côté BG à l’aide de la loi des cosinus :

p2 = b2 + g2 - 2bg • cos Pp2 = 14,82 + 4,52 - 2 • 14,8 • 4,5 • cos 45°

p ≈ 12,05

Le bateau de la garde côtière se trouve à environ 12,05 km du bateau en détresse.

b) On détermine la mesure de l’angle G à l’aide de la loi des sinus :

psin P = g

sin G

12,05sin 45° ≈ 4,5

sin G

sin G ≈ 4,5 • sin 45°12,05

m ∠ G ≈ 15,32°

90° - 15,32° ≈ 74,68°

L’angle formé par la direction du patrouilleur de la garde côtière et le nord géographique est d’environ 74,68°.

3. Recherche de mesures de côtés et d’angles dans un

triangle rectangle ou quelconque, aire de triangles


a) On détermine la mesure de l’angle ABD :

m ∠ ABD = tan-1(56)

m ∠ ABD ≈ 39,81°

On détermine la mesure de l’angle CBD :

m ∠ CBD = tan-1(26)

m ∠ CBD ≈ 18,43°

On détermine la mesure de l’angle ABC :

39,81° - 18,43° ≈ 21,4°

La mesure de l’angle ABC est d’environ 21,4°.



b) On détermine l’aire du triangle ABC :

A∆ABC = A∆ABD - A∆CBD

A∆ABC = b • h2

- b • h2

A∆ABC = 6 • 52

- 6 • 22

A∆ABC = 9

L’aire du triangle ABC est de 9 cm2.

4. Recherche de mesures de côtés et d’angles dans un triangle rectangle ou quelconque


a) On détermine la mesure de l’angle ABC :

m ∠ ABC = cos-1(19,4

29 ) ≈ 48°

On détermine la mesure de l’angle DBE :

m ∠ DBE = 180° - (48° + 91,7°) ≈ 40,3°

On détermine la mesure de l’angle BDE :

m ∠ BDE ≈ 90° - 40,3° ≈ 49,7°

L’angle BDE mesure environ 49,7°.

b) On détermine la mesure du côté NL :

tan 47° = m NL5,8

m NL ≈ 6,22 cm

On détermine la mesure du segment ML :

tan 25° = m ML5,8

m ML ≈ 2,7 cm

On détermine la mesure du segment MN :

m MN ≈ 6,22 – 2,7 ≈ 3,52

Le segment MN mesure environ 3,52 cm.

c) On détermine la mesure du segment EG à l’aide de la loi des cosinus :

(m EG)2 = 9,52 + 8,72 - 2 • 9,5 • 8,7 • cos 93°

m EG ≈ 13,21 m

On détermine la mesure de l’angle H :

m ∠ H = 180° - (31° + 50°) = 99°

On détermine la mesure du segment GH à l’aide de la loi des sinus :m GHsin 31°

≈ 13,21sin 99°

m GH ≈ 13,21 • sin 31°sin 99°

m GH ≈ 6,89

La mesure du segment GH est d’environ 6,89 m.


dans un triangle quelconque, formule de Héron


a) Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.

180° - 116° = 64°

64°2 = 32°

Le triangle possède deux angles mesurant 32°.

On détermine la mesure du troisième côté à l’aide de la loi des sinus :

11sin 32° = x

sin 116°

x ≈ 18,66 cm

On calcule le périmètre du triangle :

P ≈ 18,66 + 11 + 11 ≈ 40,66

Le périmètre de ce triangle est d’environ 40,66 cm.

b) p ≈ 18,66 + 11 + 112

p ≈ 20,33

A∆ ≈ 20,33(1,67)(9,33)2

A∆ ≈ 54,38

L’aire du triangle est d’environ 54,38 cm2.


dans un triangle rectangle


Le schéma du pont est formé de quatre triangles rectangles. Il suffit d’utiliser le rapport trigonométrique tangente afin de trouver la longueur du pont.

tan 18,7° = 135x

x ≈ 398,84

tan 10,8° = 135y

y ≈ 707,69

La première partie du pont mesure environ 398,84 m, la seconde environ 707,69 m, la troisième environ 707,69 m et la dernière environ 398,84 m.

(398,84)2 + (707,69)2 ≈ 2 213

La longueur du pont qui traverse l’estuaire de Humber est d’environ 2 213 m.



Manuel • p. 201

7. Recherche de mesures de côtés et d’angles dans un

triangle rectangle ou quelconque, formule de Héron


a) Le volume d’un prisme droit est calculé à partir de V = Ab • h.

Pour déterminer l’aire de la base, il manque la hauteur du triangle qui la forme.

9sin 114,1° = x

sin 37,4°

x ≈ 5,99

sin 28,5° ≈ h5,99

h ≈ 2,86

Ab = b • h2

Ab ≈ 2,86 • 92

Ab ≈ 12,86 cm2

On détermine le volume du prisme :

V ≈ 12,86 • 15

V ≈ 192,9

Le volume du prisme est d’environ 192,9 cm3.

b) On calcule l’aire de la base à l’aide de la formule de Héron :

p = 9,4 + 8,8 + 16,22

= 17,2

Ab = 17,2(7,8)(8,4)(1)

Ab ≈ 33,57 cm2

On détermine le volume du prisme :

V ≈ 33,57 • 4,3

V ≈ 144,35

Le volume du prisme est d’environ 144,35 cm3.


dans un triangle quelconque


a) On peut représenter la situation par un schéma.

A42°

25 cm

30 cm

B

C

CalculsL’angle B 30

sin 42° = 25

sin B

m ∠ B ≈ 33,9°

L’angle C 180° – (42° + 33,89°) ≈ 104,1°

Le segment AB 30sin 42°

≈ m ABsin 104,1°

m AB ≈ 43,48 cm

On peut tracer un seul triangle à partir de ces mesures.

b) On ne peut tracer aucun triangle. En effet, puisque l’angle E est le plus grand angle du triangle, le côté DF, qui lui est opposé, doit être le plus grand. Il ne peut donc pas être plus petit que le côté DE.

c)

g2 = h2 + j2 - 2hj • cos G

g2 = 5122 + 4362 - 2 • 512 • 436 • cos 12°

m HJ ≈ 124,63

124,63sin 12°

≈ 436sin ∠ J

m ∠ J ≈ 46,7°

Puisque la somme des mesures des angles inté rieurs d’un triangle donne toujours 180°, on a m ∠ H ≈ 180° - (12° + 46,7°) ≈ 121,3°

On peut tracer un seul triangle à partir de ces mesures.

9. Recherche de mesures d’angles dans un triangle

quelconque, formule de Héron


y

2

1 x

A(1, 5)

C(−2, 1)

B(6, −7)

a) On détermine la distance entre les sommets du triangle ABC à l’aide de la formule de la distance entre deux points :

12°436 m H

J

G

512 m



d(A, B) = 13 unités

d(A, C) = 5 unités

d(B, C) ≈ 11,31 unités

Selon la loi des cosinus, a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A.

m ∠ A = cos-1(a2 - b2 - c2

-2bc )m ∠ A ≈ cos

-1(11,312 - 52 - 132

-2 • 5 • 13 )m ∠ A ≈ 59,5°

m ∠ B = cos-1(c2 - a2 - b2

-2ab )m ∠ B ≈ cos

-1(52 - 11,312 - 132

-2 • 11,31 • 13 )m ∠ B ≈ 22,3°

m ∠ C = cos-1(b2 - a2 - c2

-2ac )m ∠ C ≈ 180° - (22,4° + 59,5°)

m ∠ C ≈ 98,1°

Les angles du triangle ABC mesurent environ 59,5°, environ 22,4° et environ 98,1°.

b) On détermine l’aire du triangle à l’aide de la formule de Héron :

p ≈ 29,312

≈ 14,66

A∆ ≈ 14,66(3,35)(9,66)(1,66)

A∆ = 28

L’aire du triangle est de 28 unités carrées.

10. Recherche de mesures d’angles dans un triangle quelconque


152 Å

96 Å96 Å

H H

O

Selon la loi des cosinus, a2 = b2 + c2 - 2bc • cos A.

m ∠ O = cos-1(1522 - 962 - 962

-2 • 96 • 96 )m ∠ O ≈ 104,7°

L’angle de liaison d’une molécule d’eau est d’environ 104,7°.

11. Formule de Héron


On détermine l’aire d’une algue à l’aide de la formule de Héron :

p = 30 + 30 + 302 = 45

A = 45(45 – 30)3

A ≈ 389,71 µm2

On convertit les micromètres carrés et les kilomètres carrés en mètres carrés.

389,711 000 0002

= 3,8971 × 10–10 m2

22 • 10002 = 2,2 × 107 m2

On détermine le nombre d’algues vertes nécessaires pour recouvrir la surface du lac :

2,2 × 107

3,8971 × 10–10

≈ 5,65 × 1016

Il faudrait environ 5,65 × 1016 Staurastrum pour recouvrir les 22 km2 du Grand lac Nominingue.

Manuel • p. 202

12. La grue blanche d’Amérique

Recherche de mesures de côtés et d’angles

dans un triangle rectangle ou quelconque


On doit déterminer la mesure de l’hypoténuse du petit triangle rectangle en utilisant le triangle quelconque.

x

BA

G

62 cm

150˚30˚

5˚

25˚

62

sin 5° = m BGsin 25°

m BG ≈ 300,64

On peut ensuite déterminer la hauteur de la grue en utilisant le rapport trigonométrique sinus.

sin 30° ≈ x

300,64

x ≈ 150,32

La taille de cette grue blanche est d’environ 150,32 cm.



13. Pas de faux pas

Recherche de mesures d’angles dans un triangle

quelconque


B? A C

49,6 cm45,5 cm

95 cm

Selon la loi des cosinus, b2 = a2 + c2 - 2ac • cos B.

m ∠ B = cos-1(b2 - a2 - c2

-2ac )m ∠ B = cos

-1(952 - 49,62 - 45,52

-2 • 49,6 • 45,5 )m ∠ B ≈ 174,7°

La mesure de l’angle est d’environ 174,7°.

14. Hissez ce symbole

Recherche de mesures de côtés dans un triangle

rectangle ou quelconque, formule de Héron

Niveau de difficulté : élevé

a) Le plus long côté se partage en trois segments isométriques mesurant 46,6 cm. Le petit côté se partage en trois segments isométriques mesurant 23,3 cm.

Il faut déterminer le périmètre de ce quadrilatère.

Il nous manque les mesures de deux côtés que nous pouvons trouver en utilisant les mesures des deux grands triangles rectangles formés des secteurs d’autres couleurs.

On trouve la mesure de l’hypoténuse de chacun des triangles.

702 + 93,32 ≈ 116,6 cm

1402 + 46,62 ≈ 147,57 cm

46,6 cm

23,3 cmRouge

93,3 cm

70 cmBleu et jaune Blanc

et vert

140 cm

46,6 cm

Périmètre :

23,3 + 46,6 + 116,6 + 147,57 ≈ 334,2

Le périmètre du secteur rouge est d’environ 334,2 cm.

b) Comme les dimensions du drapeau respectent la proportion 19 : 10, on peut poser que la longueur mesure 19 unités et la largeur 10 unités.

Étant donné que, sur le côté droit du drapeau, les segments orange et blanc mesurent chacun le cinquième de la mesure du côté, on peut poser qu’ils mesurent chacun 2 unités et que le reste du côté droit mesure 6 unités.

19

10

A

C

B2

2

6

Par la relation de Pythagore, on trouve la mesure du segment AB :

m AB ≈ 102 + 192 ≈ 21,47 unités

Par la relation de Pythagore, on trouve la mesure du segment AC :

m AC ≈ 82 + 192 ≈ 20,62 unités

On détermine l’aire du triangle orange à l’aide de la formule de Héron :

p ≈ 2 + 21,47 + 20,622

≈ 22,04

A∆ ≈ 22,04(20,04)(0,57)(1,42)

A∆ ≈ 19

L’aire du triangle orange est d’environ 19 unités carrées.

On détermine l’aire du drapeau :

10 • 19 = 190

L’aire du drapeau est de 190 unités carrées.

On détermine le pourcentage du drapeau qui est orange.

19190

• 100 ≈ 10

Environ 10 % du drapeau est orange.



Manuel • p. 203

15. Aire volante

Recherche de mesures d’angles et de côtés dans

un triangle quelconque, formule de Héron


La diagonale BD du carré partage ce dernier en 2 triangles rectangles isocèles.

m ∠ ABD = 45°

m ∠ CBD = 45°

m ∠ ABP = 180° - 45° = 135°

m ∠ BAP = 180° - (135° + 30°) = 15°

Le côté AB mesure 5 cm, car les mesures des côtés d’un carré sont isométriques.

On détermine la mesure du côté BP :

5sin 30°

= m BPsin 15°

m BP ≈ 2,59 cm

Par la relation de Pythagore dans le triangle DAB, on calcule la mesure de la diagonale BD.

m BD = 52 + 52

m BD = 50 ≈ 7,07 cm

La diagonale AC mesure également environ 7,07 cm.

La diagonale DP mesure environ 9,65 cm.

On calcule l’aire du quadrilatère APCD.

A = m DP • m AC2

≈ 9,65 • 7,072

≈ 34,15

L’aire du cerf-volant APCD est d’environ 34,15 cm2.

16. Une seule mesure suffit maintenant !




a) Un pentagone régulier est formé de cinq triangles isocèles isométriques dont les angles mesurent 72°, 54° et 54°.

Voici un schéma d’un de ces triangles isocèles.

54˚54˚

72˚

2 cm 2 cm

h

On détermine la mesure de la hauteur issue du sommet dont l’angle mesure 72° :

tan 54° ≈ h2

h ≈ 2 • tan 54° ≈ 2,75 cm


A∆ ≈ 4 • 2,752

≈ 5,5 cm2

On détermine l’aire du pentagone :

5 • 5,5 ≈ 27,5

L’aire du pentagone régulier est d’environ 27,5 cm2.

b) Un hexagone régulier est formé de six triangles équilatéraux isométriques dont les angles mesurent chacun 60°.

Voici un schéma d’un de ces triangles.

60˚

2 cm

x

60˚60˚

On détermine la mesure des trois côtés iso métriques en utilisant le rapport trigonométrique sinus :

sin 60° = 2x

x ≈ 2,31 cm


A = b • h2

A ≈ 2,31 • 22

A ≈ 2,31 cm2

On détermine l’aire de l’hexagone :

6 • 2,31 ≈ 13,86

L’aire de l’hexagone régulier est d’environ 13,86 cm2.

c) Un décagone régulier est formé de dix triangles isocèles isométriques dont les angles mesurent 36°, 72° et 72°. Le périmètre étant de 20 cm, chaque côté du décagone mesure 2 cm.

Voici un schéma d’un de ces triangles.

36˚

72˚72˚

2 cm

x



On détermine la mesure des deux côtés isométriques en utilisant la loi des sinus.

2sin 36° = x

sin 72°

x ≈ 3,24 cm

On détermine la mesure de la hauteur issue du sommet dont l’angle mesure 36°.

sin 72° ≈ h3,24

h ≈ 3,24 • sin 72º ≈ 3,08 cm


A = 2 • 3,082

≈ 3,08 cm2

On détermine l’aire du décagone :

10 • 3,08 ≈ 30,8

L’aire du décagone régulier est d’environ 30,8 cm2.

17. Deux par deux, face à face

Loi des sinus


En utilisant la loi des sinus, on a les égalités suivantes pour un triangle donné ABC.

asin A = b

sin B = csin C

Dans un triangle isocèle, on a deux côtés isomé-triques ; par exemple, les côtés b et c. Le rapport devient donc le suivant :

bsin B = b

sin C .

On cherche à trouver la mesure des angles. On peut multiplier par la même mesure sans changer l’égalité.

sin B • sin Cb

• bsin B

= sin B • sin Cb

• bsin C

sin C = sin B

sin-1 (sin C) = sin-1 (sin B), donc m ∠ C = m ∠ B.

18. Terrain privé


un triangle quelconque


C

BA 54,2 m

D

On détermine la mesure de l’angle ACB :

m ∠ ACB = 180° - (123° + 32°) = 25°

On détermine la mesure du côté BC :

m BCsin 32°

= 54,2sin 25°

m BC ≈ 67,96 m

On détermine la mesure de l’angle ADB :

m ∠ ADB = 180° - (104° + 41°) = 35°

On détermine la mesure du côté AD :

m ADsin 41°

= 54,2sin 35°

m AD ≈ 61,99 m

On détermine la mesure du côté AC :

m ACsin 123°

= 54,2sin 25°

m AC ≈ 107,56 m

On détermine la mesure de l’angle DAC :

m ∠ DAC = 104° - 32° = 72°

On détermine la mesure du côté CD à l’aide de la loi des cosinus :

(m CD)2 = (m AC)2 + (m AD)2

- 2(m AC)(m AD) • cos ∠ DAC

(m CD)2 ≈ 107,562 + 61,992 - 2 • 107,56

• 61,99 • cos 72°

m CD ≈ 106,26 m

On détermine le périmètre du terrain :

P ≈ 54,2 + 61,99 + 67,96 + 106,26 ≈ 290,4

La longueur de clôture nécessaire est d’environ 290,4 m.

19. Dans le port d’Amsterdam…




Après 45 minutes, l’un des bateaux se situe à 7,5 km du port d’Amsterdam et l’autre à 6 km.

On détermine la distance qui sépare les deux bateaux à l’aide de la loi des cosinus :

x2 = (7,5)2 + (6)2 - 2 • (7,5) • (6) • cos 38°

x ≈ 4,62

La distance qui sépare les deux bateaux après 45 minutes est d’environ 4,62 km.



Manuel • p. 204

20. Gicleur


un triangle rectangle ou quelconque


On peut représenter la situation par la figure suivante.

A D B E

C

5 m7,5 m

23°

5 m

On détermine la mesure du segment BC :

sin 23° = m BC7,5

m BC ≈ 2,93 m

On détermine la mesure du segment BD :

m BD ≈ 52 - 2,932

m BD ≈ 4,05 m

On détermine la mesure du segment DE :

m DE ≈ 2 • 4,05 ≈ 8,1

Tania se fera arroser sur une longueur d’environ 8,1 m.

21. Triangles en plan




A(0, 0), B(2, -4), C(-2, -4) et D(-4, -4)

On détermine les mesures des côtés des triangles :

m AC ≈ 42 + 42

m AC ≈ 5,66 m

m AD ≈ 22 + 42

m AD ≈ 4,47 m

m AB ≈ 22 + 42

m AB ≈ 4,47 m

m CD = 2 m

m DB = 4 m

On détermine certains angles des triangles à l’aide de la loi des cosinus :

m ∠ BAC = cos-1(a2 - b2 - c2

-2bc )

m ∠ BAC ≈ cos-1(62 - 5,662 - 4,472

-2 • 5,66 • 4,47 ) m ∠ BAC ≈ 71,6°

m ∠ CAD = cos-1(a2 - c2 - d2

-2bc ) m ∠ CAD ≈ cos

-1(22 - 4,472 - 5,662

-2 • 4,47 • 5,66 ) m ∠ CAD ≈ 18,4°

On détermine les autres angles des triangles à l’aide de la loi des sinus :

6sin 71,6°

≈ 5,66sin ∠ ABC

m ∠ ABC ≈ 63,4°

m ∠ ACB ≈ 180° - (63,4° + 71,6°) ≈ 45°

m ∠ ADC ≈ 180° - (18,4° + 45°) ≈ 116,6°

Les mesures des côtés du triangle ABC sont :

m AB ≈ 4,47 m

m BC = 6 m

m AC ≈ 5,66 m

Les mesures des angles du triangle ABC sont :

m ∠ BAC ≈ 71,6°

m ∠ ABC ≈ 63,4°

m ∠ ACB ≈ 45°

Les mesures des côtés du triangle ADC sont :

m AD ≈ 4,47 m

m CD = 2 m

m AC ≈ 5,66 m

Les mesures des angles du triangle ADC sont :

m ∠ CAD ≈ 18,4°

m ∠ ADC ≈ 116,6°

m ∠ ACD ≈ 45°

22. Le cercle arctique

Recherche de mesures de côtés dans un triangle

rectangle


6 378 km

6 378 km

66,6°Équateur

Cercle arctiquer



66° 34’ ≈ 66° 34’60

≈ 66,6°

sin 23,4° ≈ r6 378

r ≈ 2 536,4

C = 2pr ≈ 2 • p • 2 536,4 ≈ 15 936,67

La longueur du cercle arctique est d’environ 15 937 km.

Manuel • p. 205

23. Sortir du cercle

Valeurs trigonométriques remarquables, recherche

de mesures de côtés dans un triangle rectangle


Dans le schéma, on pose le point C pour former le triangle rectangle OCP.

1

0 C 1

A(1, 0)

B(1, y)

y

x

P(cos θ , sin θ )

θ

m ∠ BOA = m ∠ POC, puisque c’est un angle commun.

m ∠ OAB = m ∠ OCP parce qu’il s’agit de deux angles droits.

Les triangles OAB et OCP sont donc semblables par la condition minimale de similitude AA (deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables).

Comme les deux triangles sont semblables, on peut poser la proportion suivante :

m OCm OA

= m CPm AB

cos θ

1 = sin θ

y

y = sin θcos θ

= tan θ

L’ordonnée du point B en fonction de θ est tan θ.

24. La Terre est ronde

Recherche de mesures d’angles dans un

triangle rectangle


On détermine la mesure de l’angle que forment les rayons solaires avec l’obélisque à Alexandrie :

m ∠ A = tan-1(2,9

23 ) ≈ 7,2°

Cet angle a la même mesure que l’angle au centre de la Terre puisque Ératosthène a supposé que les rayons sont parallèles et que des angles alternes-inter-nes formés par des droites parallèles et une sécante sont isométriques.

L’arc qui intercepte les villes d’Alexandrie et de Syène représente une fraction de la circonférence de la Terre.7,2°360° = 788

x x ≈ 39 475

La circonférence de la Terre est d’environ 39 475 km.

Manuel • p. 206

25. Écoénergétiquement vôtre Recherche de mesures de côtés et d’angles



Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Voici le schéma de la façade sud de la nouvelle maison de Germain :

A

B

C

1,5 m2,4 m

DEF

G

Les segments AD et ED représentent respectivement le mur et le prolongement du toit et sont perpendi-culaires. Le segment AD mesure 2,4 m.

Les angles ECF et EBG représentent respectivement les angles d’élévation du Soleil au solstice d’hiver et au solstice d’été. Ils mesurent respectivement 19° et 67°.

Le segment BC représente une fenêtre dont la hauteur est de 1,5 m.

Le segment AB doit mesurer au moins 0,45 m.

Puisque les angles DEC et ECF sont des angles alternes-internes formés par des droites parallèles, l’angle DEC mesure 19°.

Puisque les angles DBE et EBG sont des angles complémentaires, l’angle DBE mesure 23°.



Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires. Donc dans le triangle rectangle BED, l’angle BED mesure 67°.

m ∠ CEB = m ∠ BED - m ∠ CED = 48°

En utilisant la loi des sinus dans le triangle BCE, on détermine la mesure du segment EC.

1,5sin 48°

= m ECsin 23°

m EC = 1,5 • sin 23°sin 48° ≈ 0,79 m

En utilisant le rapport trigonométrique sinus dans le triangle rectangle CED, on calcule la mesure du segment DC :

sin 19° = m DC 0,79

m DC = 0,79 • sin 19° ≈ 0,26 m

En appliquant la relation de Pythagore dans le triangle rectangle CED, on trouve que le segment ED mesure environ 0,75 m.

On calcule la mesure du segment AB :

m AB = m AD - (m BC + m CD)

m AB ≈ 2,4 - (0,26 + 1,5) ≈ 0,64

Le segment AB mesure environ 0,64 m, ce qui permet de respecter la règlementation concernant la construction des bâtiments dans la municipalité où Germain habite.

Pour que sa maison soit écoénergétique grâce à l’énergie solaire passive, Germain peut mettre ses fenêtres à environ 0,64 m du plancher et prolonger son toit d’environ 0,75 m.

Manuel • p. 207

26. Feutrine




20 cm

A

F

O

B D

C

B

E

Le grand triangle équilatéral ABC a des côtés mesurant 20 cm et des angles intérieurs de 60°.

On détermine la hauteur BO dans le triangle ABC. Les côtés AO et OC mesurent 10 cm chacun puisque la hauteur dans un triangle équilatéral est également une médiatrice.

On détermine la mesure de la hauteur BO à l’aide de la relation de Pythagore :

m BO ≈ 202 - 102

m BO ≈ 17,32 cm

Puisque le segment BO mesure environ 17,32 cm, le segment BE mesure environ 2,68 cm.

La feutrine restante se divise en trois figures : un petit triangle, un rectangle et un grand triangle.

Apetit triangle ≈ 2,68 • 102

≈ 13,4 cm2

Arectangle ≈ 2,68 • 10 ≈ 26,8 cm2

Agrand rectangle ≈ 17,32 • 102

≈ 86,6 cm2

On détermine l’aire de feutrine restante :

13,4 + 26,8 + 86,6 ≈ 126,8

L’aire de feutrine restante est d’environ 126,8 cm2.

27. Médiane équitable




On trace dans le schéma la hauteur AO des triangles ABM et ACM.

A

B CM O

m BM = m CM, car AM est une médiane.

L’aire du triangle ABM = m BM • m AO2

.

L’aire du triangle ACM = m CM • m AO2

.

Comme m BM = m CM,

l’aire du triangle ACM = m BM • m AO2

.

Le triangle ABM a donc la même aire que le triangle ACM.

28. Langage de construction

Recherche de mesures d’angles dans un

triangle rectangle


a) On détermine à l’aide des rapports trigonométriques la mesure de l’angle d’inclinaison.



Ferme de toit 1

tan-1(2,3

4,6) ≈ 26,6°

Ferme de toit 2

cos-1(6,74

7,3 ) ≈ 22,6°

Ferme de toit 3

sin-1( 2,1

6,64) ≈ 18,4°

Ferme de toit 4

sin-1( 2

5,2) ≈ 22,6°

Il faut porter un harnais de sécurité sur les fermes de toit 1 , 2 et 4 .

b) Ces appellations représentent la pente du toit. L’inclinaison standard 4 : 12 représente une

pente de 1 : 3 ou 13. La troisième ferme de toit

représente cette inclinaison.

x = 6,642 - 2,12 ≈ 6,3

2,16,3 = 13

L’inclinaison standard 5 : 12 représente une pente de 5

12. C’est la quatrième ferme de toit qui a

cette caractéristique. Pour l’inclinaison standard 6 : 12, c’est la première ferme de toit qui a cettecaractéristique avec une pente de 1

2.

c) La pente est de 1 puisque la hauteur a la même mesure que la moitié de la base. Donc, selon le principe de cette terminologie, on appellerait cette ferme de toit « 12 : 12 ».

Manuel • p. 208

29. Jeux olympiques d’hiver Recherche de mesures de côtés et d’angles



On peut représenter cette situation à l’aide de deux triangles isocèles.

On détermine la mesure du troisième côté du petit triangle isocèle, sachant que les deux angles isométriques mesurent 71° chacun.

65sin 71° = x

sin 38°

x ≈ 42,32

38˚65 cm 65 cm

120 cm 120 cm

Le troisième côté du triangle formé par les jambes du skieur est d’environ 42,32 cm.

On détermine la mesure de l’angle formé par les jambes du skieur à l’aide de la loi des cosinus.

m ∠ A = cos-1(a2 - b2 - c2

-2bc )m ∠ A ≈ cos

-1(42,322 - 1202 - 1202

-2 • 120 • 120 )m ∠ A ≈ 20,3°

L’angle formé par les jambes du skieur est d’environ 20,3°.

30. Jeux olympiques d’été

Formule de Héron


On détermine l’aire d’un premier triangle à l’aide de la formule de Héron :

p = 133 + 75 + 1702

= 189

A = 189(56)(114)(19)

A = 4 788

L’aire du premier triangle est de 4 788 cm2.

On détermine l’aire du second triangle à l’aide de la formule de Héron :

p = 124 + 84 + 1702

= 189

A = 189(65)(105)(19)

A ≈ 4 950,61

L’aire du second triangle est d’environ 4 950,61 cm2.

On détermine l’aire de la région formée entre deux nageuses :

4 950,61 + 4 788 ≈ 9 738,61 cm2

L’aire de la région comprise entre deux nageuses est d’environ 9 738,61 cm2.

31. Non, il ne manque rien !


un triangle rectangle


On fait appel aux relations métriques dans le triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est la moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et la mesure de l’hypoténuse.



Soit x, la mesure de BD.

x8

= 8x + 14,6

x2 + 14,6x = 64

x2 + 14,6x - 64 = 0

x = -b ± b2 - 4ac

2a

x = -14,6 ± 14,62 - 4 • 1 • -64

2 • 1

x ≈ 3,53 et x ≈ -18,13

La deuxième solution est à rejeter, car elle est négative.

Le côté BD mesure environ 3,53 cm et le côté AB mesure environ 18,13 cm.

À l’aide de la relation de Pythagore, on trouve la mesure du côté AC :

m AC ≈ 18,132 - 82

m AC ≈ 16,27 cm

On détermine le périmètre du triangle ABC :

P ≈ 8 + 18,13 + 16,27 ≈ 42,41

Le périmètre du triangle ABC est d’environ 42,41 cm.

On détermine l’aire du triangle ABC.

A∆ = b • h2

≈ 8 • 16,272

≈ 65,09

L’aire du triangle ABC est d’environ 65,09 cm2.

32. Le rapport des sinus


un triangle rectangle


C

BDA H

Soit CH, la hauteur des triangles ABC et ACD.

A∆ACD

A∆ACB

=

m AD • m CH2

m AB • m CH2

= m AD • m CH2

• 2m AB • m CH

= m ADm AB

Par la loi des sinus dans le triangle ABC :

m ABsin ∠ ACB

= m CBsin ∠ CAB

Par la loi des sinus dans le triangle ACD :

m ADsin ∠ ACD

= m CDsin ∠ CAD

Comme m CD = m CB et que ∠ CAB = ∠ CAD, on a

m AD

sin ∠ ACD = m AB

sin ∠ ACB

m AD • sin ∠ ACB = sin ∠ ACD • m AB

m ADm AB

= sin ∠ ACDsin ∠ ACB

Le rapport des aires des triangles ACD et ACB

équivaut donc au rapport sin ∠ ACDsin ∠ ACB

.

Manuel • p. 209

33. L’altitude des nuages la nuit




On peut représenter la situation par un triangle quelconque ABC dans lequel on a tracé une hauteur issue de B.

Il y a deux façons d’aborder le problème. La première est de calculer la hauteur des nuages lorsqu’on connaît la mesure de l’angle indiquée sur le clinomè-tre. La seconde est de calculer la mesure de l’angle qui sera indiquée sur le clinomètre lorsqu’on connaît la hauteur des nuages.

On observe les étapes à suivre pour trouver la hauteur des nuages lorsqu’on connaît la mesure de l’angle indiquée sur le clinomètre.

On suppose que la mesure de l’angle A est 60°. L’angle B mesurerait alors 50°, car la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

En utilisant la loi des sinus dans le triangle ABC, on détermine la mesure du segment AB.

70˚A C

B

K300 m

1,5 m



300sin 50°

= m AB sin 70°

m AB = 300 • sin 70°sin 50° ≈ 368 m

En travaillant avec le rapport trigonométrique sinus dans le triangle rectangle ABK, on trouve la mesure du segment BK.

sin 60° = m BK 368

m BK = 368 • sin 60° ≈ 318,7 m

Comme le segment AC est situé à une distance de 1,5 m du sol, les nuages sont donc à une hauteur d’environ 320,2 m.

En procédant plusieurs fois comme on vient de le faire, on peut trouver la hauteur des nuages en fonction de la mesure de l’angle A et ainsi remplir le tableau pour des mesures d’angles qui sont des multiples de 5°.

On procède maintenant à l’inverse. On fixe la hauteur du nuage afin de déterminer la mesure de l’angle qui sera indiquée sur le clinomètre.

On suppose, par exemple, que la hauteur des nuages est de 300 m. On veut trouver la mesure de l’angle qui sera indiquée sur le clinomètre. Pour y arriver, on commence par trouver la mesure de la hauteur BK.

Le segment AC est situé à 1,5 m du sol.

300 – 1,5 = 298,5La mesure de la hauteur du triangle issue du sommet B est de 298,5 m.

On trouve ensuite la mesure de la cathète CK du triangle rectangle de droite.

tan 70° = 298,5m CK

m CK ≈ 108,65 m

On trouve la mesure de la cathète AK du triangle rectangle de gauche.

300 - 108,65 = 191,35 m

On trouve maintenant la mesure de l’angle A.

tan-1( 298,5

191,35 ) ≈ 57,3°

Ainsi, si les nuages sont à une hauteur de 300 m, l’angle indiqué sur le clinomètre sera d’environ 57,3°.

En procédant plusieurs fois comme on vient de le faire, on peut trouver la mesure de l’angle A en fonction de la hauteur des nuages et ainsi remplir le tableau pour diverses valeurs de hauteur de nuages qui sont des multiples de 50 m.

(voir le tableau au bas de la page)

Ce tableau associe l’angle mesuré à l’aide du clinomètre et la hauteur des nuages. On a calculé le résultat pour divers angles d’élévation variant entre 0° et 90°. La hauteur des nuages est arrondie au mètre près. De plus, on a indiqué en gras les mesures d’angles pour lesquelles les nuages sont à une altitude supérieure à 300 m.

Réponse à la question 33, page 209

L’angle mesuré à l’aide du clinomètre et la hauteur des nuages

Mesure d’angle (°) Hauteur des nuages (m) Mesure d’angle (°) Hauteur des nuages (m)10 51 65 36315 75 68,8 40020 98 70 41425 121 73 45030 145 75 476

31,1 150 76,6 50035 169 79,6 55040 194 80 557

41,1 200 82,2 60045 221 84,4 650

49,9 250 85 66650 251 86,3 70055 283 87,9 750

57,3 300 89,3 80060 320 90 826

63,6 350



34. À la croisée des sentiers


un triangle rectangle ou quelconque, valeurs

trigonométriques remarquables


On ajoute quelques éléments au schéma afin de faciliter la démarche. Les segments BE, CF et DG sont tous perpendiculaires à AD.

CO, DO et CP mesurent chacun 6 m, comme le rayon de la surface éclairée.

C D

G

OF

E

PSentier 2

Sentier 15 m 5 m 5 m

6 m

6 m6 m

30°

A B

On détermine la mesure du côté BE :

tan 30° = m BE5

m BE ≈ 2,89 m

On détermine la mesure du côté CF :

tan 30° = m CF10

m CF ≈ 5,77 m

Puisque chaque projecteur éclaire une surface circulaire dont le rayon est de 6 m, le projecteur C éclaire le sentier 2 un peu plus loin qu’au point F.

On détermine la mesure du côté DG :

tan 30° = m DG15

m DG ≈ 8,66 m

Par la relation de Pythagore, on peut déterminer la mesure des côtés AE, AF et AG.

m AE ≈ 52 + 2,892

m AE ≈ 5,77 m

m AF ≈ 5,772 + 102

m AF ≈ 11,55 m

m AG ≈ 8,662 + 152

m AG ≈ 17,32 m

m ∠ CFA = 180° - (30° + 90°) = 60°

m ∠ AGD = 180° - (30° + 90°) = 60°

m ∠ CFO = 180° - 60° = 120°

On détermine la mesure de l’angle COF à l’aide de la loi des sinus.

6

sin 120° = 5,77

sin ∠ COF

m ∠ COF ≈ 56,4°

m ∠ FCO = 180° - (120° + 56,4°) = 3,6°

On détermine la mesure du côté FO à l’aide de la loi des sinus :

6sin 120°

= m FOsin 3,6°

m FO ≈ 0,43 m

On détermine la mesure de l’angle AOD à l’aide de la loi des sinus :

6sin 30°

= 15sin ∠ AOD

La mesure de l’angle AOD n’existe pas.

Le projecteur D n’éclaire pas le sentier 2.

a) m AF + m FO ≈ 11,55 + 0,43 ≈ 11,98

Le sentier est éclairé sur une longueur d’environ 12 m.

b) Le sentier est éclairé sur une longueur d’environ 12 m par les projecteurs B et C.

c) On détermine la mesure de l’angle APC à l’aide de la loi des sinus :

6

sin 30° = 10

sin ∠ APC

m ∠ APC ≈ 56,4° ou 123,6°

D’après le schéma, l’angle APC mesure environ 123,6°.

m ∠ ACP ≈ 180° - (30° + 123,6°) ≈ 26,4º

On détermine la mesure du côté AP à l’aide de la loi des sinus :

6sin 30°

= m APsin 26,4°

m AP ≈ 5,34 m

m AO - m AP ≈ 11,98 - 5,34 ≈ 6,64

La longueur éclairée par le projecteur C est d’environ 6,64 m. Le projecteur D n’éclaire pas le sentier 2.



Manuel • p. 210

35. Sur la piste des éléphants


un triangle rectangle ou quelconque, valeurs

trigonométriques remarquables


On ajoute au schéma les points O, G et F pour former les triangles OGF et OGL.

O

5

L

AB

G

F

53°C

D

LacBaringo

5

y

x

Le deuxième groupe d’éléphants va à une vitesse de 10 km/h. Les éléphants ont parcouru 5 km depuis 30 minutes et ils parcourront encore 5 km avant que l’équipe de zoologistes ne se rende sur place. Ils auront ainsi parcouru 10 km. Cette distance est représentée par le segment OG sur le schéma.

La distance entre le point de départ O et le point d’arrivée L est 12,12 + 21,52 ≈ 24,67 km.

On détermine la mesure du segment OF :

m ∠ GOF = 90° - 53° = 37°

cos 37° = m OF10

m OF ≈ 7,99 km

On détermine la mesure du segment FG à l’aide de la relation de Pythagore :

m FG ≈ 102 - 7,992

m FG ≈ 6,01 km

On détermine la mesure du segment GL à l’aide de la loi des cosinus :

(m GL)2 = (21,5)2 + (10)2 - 2 • (21,5) • (10) • cos 53°

m GL ≈ 17,42 km

Les coordonnées de G sont (7,99, 6,01).

On détermine la distance entre G et L :

m GL = (12,1 - 7,99)2 + (21,5 - 6,01)2

m GL = 277,03

m GL ≈ 16,64

La distance que le deuxième troupeau devra parcourir pour rejoindre le premier troupeau est de 16,64 km.


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