chapitre10 · 2013-04-26 · modÈles statistiques du risque en assurance 5...

Chapitre 10

Risque et assuranceArthur Charpentier

Dans ce chapitre, nous allons présenter quelques modèles utilisés par lesassureurs afin de quantifier les risques pris. Dans les premiers chapitres, il étaitmentionné qu’un risque était une variable aléatoire X (ou un ensemble devariables aléatoires X), et que la gestion des risques se résumait à calculerR(X) (ou R[h(X)] si h désigne une fonction d’agrégation). Mais nous n’avionspas encore introduit d’aspect temporel, sous entendant dans les sections traitantde l’inférence statistique qu’au moment de quantifier le risque, des observationsXi (ou Xi) étaient disponibles. C’est bien entendu très simplificateur. A la finde l’année, un assureur ne connait pas les coûts des sinistres survenus pendantl’année. On peut parler des accidents corporels en assurance automobile, oude la responsabilité civile des hôpitaux, ou de l’expérience du sang contaminédans les centres de transfusion. On pourra aussi penser à l’assurance décès :les engagements pris ne seront parfois honnorés que d’ici plusieurs dizainesd’années. Dans ce chapitre, nous insisterons sur deux risques (parmi beaucoupd’autres). Le premier sera la modélisation des « provisions pour sinistres àpayer », et plus particulièrement, la présentation de méthodes permettant dequantifier la marge d’erreur associée à ce calcul de provisions. Le second serale risque démographique présent dans les contrats d’assurance en cas de décès,ou surtout en cas de vie, en essayant de calculer la probabilité qu’un assurédécède dans 30 ou 40 ans.

10.1 La problématique du provisionnment enassurance

Comme le définit (19), « les provisions techniques sont les provisions desti-nées à permettre le règlement intégral des engagements pris envers les assurés

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et bénéficiaires de contrats. Elles sont liées à la technique même de l’assurance,et imposées par la règlementation ». D’un point de vue plus formel, à la datet, la compagnie d’assurance est tenue de constituer une provision pour les si-nistres survenus avant la date t qu’elle sera tenu d’indemniser (et de tenir ainsila promesse qu’elle a vendue). Elle doit donc estimer le coût des sinistres sur-venus, et retrancher les montants déjà versés. Il s’agit donc fondamentalementd’un problème de prévision.

En effet, contrairement à l’hypothèse faite dans la plupart des modèles ac-tuariels, les coûts de sinistres ne sont pas connus le jour de la survenance dusinistre. Il y a tout d’abord un délai avant que le sinistre ne soit déclaré àla compagnie d’assurance par l’assuré, puis un temps (plus ou moins long) degestion du sinistre, d’expertises, de paiements, avant de le clôturer plusieursmois, ou plusieurs années plus tard.

La Figure 10.1 illustre la problématique du provisionnement, avec un dia-gramme de Lexis de la vie des sinistres.

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

2006 2008 2010 2012 2014

02

46

810

Temps calendaire

Ann

ées

de d

ével

oppe

men

t

●● ●● ● ●●● ●● ●

Figure 10.1 – Évolution de la vie des sinistres, sur un diagramme de Lexis, avecen abscisse le temps calendaire (la date à laquelle un opération est effectuée :déclaration, paiement, etc), et en ordonnée l’âge des sinistres. Les sinistressurviennent à la date •, sont déclarrés à l’assureur à la date + et clôturés àla date ×. L’exercice de provisionnement consiste à estimer à une date donnée(ici fin 2010, correspondant au trait plein vertical), le montant des paiementsrestant à faire pour l’ensemble des sinistres survenus (déclarés ou pas).

En pratique, le jour de la déclaration du sinistre à l’assureur (+), le ges-tionnaire de sinistres est tenu d’estimer un montant du sinistre dont il vient

MODÈLES STATISTIQUES DU RISQUE EN ASSURANCE 3

d’avoir connaissance (à l’aide de factures à sa disposition, ou de coûts moyensde sinistres similaires). Le montant réel du sinistre ne sera connu que le jourde la clôture (×). Entre ces deux dates, le gestionnaire de sinistre peut réviserses estimations de coûts, mais aussi effectuer des paiements. En pratique, aulieu de travailler sur des données individuelles, les données sont ici aggrégéespar années (comme indiquée sur la Figure 10.1) : on s’intéresse à l’année desurvenance du sinistre • (i, en abscisse) et l’année du paiement (par rapport àl’année de la survenance, j, en ordonnées).

Parmi les méthodes reconnues par les autorités de contrôles, les plus clas-siques sont basées sur les cadences de paiements. On raisonne pour cela parannée de survenance de sinistre, et on suppose une certaine régularité dans lacadence de paiement.

10.1.1 Quelques définitions et notations

La plupart des méthodes présentées ici sont détaillées dans (5), ou (21).L’idée est d’agréger les informations sur les sinistres dans des triangles, avec :

– l’année de survenance en ligne i,– l’année de développement en colonne j = 0, 1, 2, · · · ,– l’année calendaire en diagonale i+ j,

Parmi les informations que l’on trouvera résumée :– Yi,j les incréments de paiments, pour les sinistres survenus l’année i, et

pour l’année de développement j (autrement dit payé l’année i+j), commeindiqués dans la Table 10.1

– Ci,j les paiments cumulés, au sens où Ci,j = Yi,0 + Yi,1 + · · · + Yi,j ,pour l’année de survenance i, correspondant à l’ensemble des paiementseffectués pour les sinistres survenus l’année i, entre l’année i et l’annéei+ j, comme dans la Table 10.2

– Ni,j le nombre cumulé de sinistres pour l’année de survenance i, vu aubout de j années, dans la Table 10.3 (en milliers)

Les données sont celles utilisées dans (16), et les calculs numériques sont dé-taillés dans (2). Enfin, une information non aléatoire (les primes étant payéesen début de période de couverture) peut aussi être utilisée

– Pi la prime acquise pour l’année i (répartie prorata temporis pour lescontrats chevauchant une année calendaire), dans la Table 10.4

On parle de triangle car au delà de la dernière diagonale, les montants (etles nombres) ne sont pas connus. La difficulté est donc de prévoir les montantsqui seront payés par le futur : comme rappelé en introduction, les compagniesd’assurance sont tenues de constituer des provisions pour garantir que ces paie-ments pourront être faits. Comme le notait (1), « it is hoped that more casualtyactuaries will involve themselves in this important area. IBNR reserves deservemore than just a clerical or cursory treatment and we believe, as did Mr. Tar-bell Chat the ‘problem of incurred but not reported claim reserves is essentiallyactuarial or statistical’. Perhaps in today’s environment the quotation would

4 Chapitre 10

Table 10.1 – Triangle des incréments de paiements, Y = (Yi,j).

0 1 2 3 4 50 3209 1163 39 17 7 211 3367 1292 37 24 102 3871 1474 53 223 4239 1678 1034 4929 18655 5217

Table 10.2 – Triangle des paiements cumulés, C = (Ci,j).

0 1 2 3 4 50 3209 4372 4411 4428 4435 44561 3367 4659 4696 4720 47302 3871 5345 5398 54203 4239 5917 60204 4929 67945 5217

be even more relevant if it stated that the problem ‘...is more actuarial thanstatistical’. ».

10.1.2 Formalisation du problème du provisionnement

Comme évoqué dans le paragraphe précédant, le provisionnement est fon-damentalement un problème de prédiction, conditionnelle à l’information donton dispose à la date n. En particulier, on a besoin de prévoir la charge ul-time des sinistres, pour une année de survenance donnée, Ci,∞. On notera Fnl’information disponible à la date n, soit formellement :

Hn = {(Yi,j), i+ j ≤ n} = {(Ci,j), i+ j ≤ n}.

On cherche à étudier, par année de survenance, la loi conditionnelle de Ci,∞sachantHn, ou encore, si l’on suppose les sinistres clos au bout de n années la loide Ci,n sachant Hn. Si l’on se focalise sur une année de survenance particulière,on pourra noter :

Fi,n−i = {(Yi,j), j = 0, · · · , n− i)} = {(Ci,j), j = 0, · · · , n− i)}.

Cette notation permet de prendre en compte que l’information disponible changed’une ligne à l’autre.


Table 10.3 – Triangle des nombres de sinistres, cumulés, en milliers,N = (Ni,j).

0 1 2 3 4 50 1043.4 1045.5 1047.5 1047.7 1047.7 1047.71 1043.0 1027.1 1028.7 1028.9 1028.72 965.1 967.9 967.8 970.13 977.0 984.7 986.84 1099.0 1118.55 1076.3

Table 10.4 – Vecteur des primes acquises, P = (Pi).

0 1 2 3 4 54591 4672 4863 5175 5673 6431

Hn Fi,n−i? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ??

? ? ? ?

On cherchera par la suite à prédire le coût final des sinistres à payer survenusl’année i :

C(n−i)i,∞ = E[Ci,∞|Fi,n−i].

Classiquement, on commencera par supposera que les sinistres sont clôturésau bout de n années, au plus (on reviendra sur cette hypothèse par la suite).Aussi, Ci,∞ = Ci,n, et on cherche alors à prédire :

C(n−i)i,n = E[Ci,n|Fi,n−i],

et la différence entre ce montant et le montant déjà payé constituera la provisionpour sinistres à payer,

Ri = C(n−i)i,n − Ci,n−i.

On essayera ensuite de quantifier l’incertitude associée à cette prédiction. Commeon le verra les méthodes usuelles visaient à calculer

Var[Ci,n|Fi,n−i] ou Var[C(n−i)i,n ],

ce que l’on appelera incertitude à horizon ultime. Mais ce n’est pas ce qui est de-mandé d’un point de vue comptable et réglementaire, Solvabilité II demandant

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plutôt de mesurer une incertitude dite « à un an ». Pour cela, on va s’intéresserà la prédiction qui sera faite dans un an,

C(n−i+1)i,n = E[Ci,n|Fi,n−i+1]

et plus particulièrement le changement dans l’estimation de la charge ultime

∆ni = C

(n−i+1)i,n − C(n−i)

i,n .

Si cette différence est positive, on parle de « mali » (il faudra gonfler la provisionafin de pouvoir payer les sinistres), et si elle est négative, on parle de « boni »(l’assureur avait trop provisionné, et sur-estimé la charge ultime des sinistres).On peut montrer que

E[∆ni |Fi,n−i] = 0,

autrement dit, on ne peut espérer faire ni boni, ni mali, en moyenne. On aalors une propriété de martingale. Les contraintes règlementaires imposées parSolvabilité II demandent de calculer

Var[∆ni |Fi,n−i].

La Figure 10.2 montre les estimations de montant de provisions deux annéesconsécutives. On note ici que la variation est faible, mais sur des branchesd’assurance à forte variabilité (en particulier pour les dommages corporels, oula responsabilité civile), la variation peut ètre beaucoup plus importante.

10.2 Les cadences de paiements et la méthodeChain Ladder

L’idée d’utiliser des cadences de paiements pour estimer la charge futuredate du début du XXème siècle. On suppose qu’il existe une certaine propor-tionnalité, avec une relation de récurrence de la forme :

Ci,j+1 = λj · Ci,j pour tout i, j = 1, · · · , n.

Un estimateur naturel pour λj , basé sur l’expérience passée est alors :

λj =∑n−ji=1 Ci,j+1∑n−ji=1 Ci,j

pour tout j = 1, · · · , n− 1.

De telle sorte que l’on peut alors prédire la charge pour la partie non-observéedans le triangle :

Ci,j =[λn+1−i...λj−1

]· Ci,n+1−i.

MODÈLES STATISTIQUES DU RISQUE EN ASSURANCE 7M

onta

nt (

paie

men

ts e

t rés

erve

s)

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

0 1 2 3 4

Figure 10.2 – Estimation de la charge ultime Ci,n deux années consécutives(n − 1 et n), avec en gris le montant total de paiements déjà effectués, Ci,n−iet en noir le montant de provisions Ri.

Notons qu’au lieu de calculer les facteurs de développement, on peut aussides taux de développement, cumulés ou non. Autrement dit, au lieu d’écrireCi,j+1 = λj · Ci,j pour tout i, j = 1, · · · , n, on suppose que :

Ci,j = γj · Ci,n ou Yi,j = ϕj · Ci,n.

On notera que :

γj =n∏

k=j+1

1λk

et ϕj ={γ1 si j = 1γj − γj−1 si j > 1

Table 10.5 – Facteurs de développement, λ = (λi), exprimés en cadence de paie-ments par rapport à la charge ultime, en cumulé (noté γ), puis en incréments(noté ϕ).

0 1 2 3 4 n

λj 1,38093 1,01143 1,00434 1,00186 1,00474 1,0000γj 70,819% 97,796% 98,914% 99,344% 99,529% 100,000%ϕj 70,819% 26,977% 1,118% 0,430% 0,185% 0,000%

8 Chapitre 10

On notera qu’il est possible de voir l’estimateur Chain-Ladder comme unemoyenne pondérée des facteurs de transition individuels :

λj =n−j∑i=1

ωi,jλi,j où ωi,j = Ci,j∑n−ji=1 Ci,j

et λi,j = Ci,j+1

Ci,j.

Aussi, on peut obtenir ces coefficients à l’aide de régressions linéaires pondéréessans constantes, en régressant les C·,j+1 sur les C·,j ,

λj = argminλ∈R

{n−j∑i=1

Ci,j

[λ− Ci,j+1

Ci,j

]2},

soit :

λj = argminλ∈R

{n−j∑i=1

1Ci,j

[λCi,j − Ci,j+1]2}. (10.1)

Table 10.6 – Triangle des paiements cumulés, C = (Ci,j)i+j≤n avec leur pro-jection future C = (Ci,j)i+j>n.

0 1 2 3 4 50 3209 4372 4411 4428 4435 44561 3367 4659 4696 4720 4730 4752.42 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.83 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.14 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.15 5217 7204.3 7286.7 7318.3 7331.9 7366.7

10.3 Modèle multiplicatif et méthode des marges

Avec l’écriture Ci,j = γj ·Ci,n, on voit que la méthode Chain Ladder reposesur l’utilisation d’un facteur ligne (les Ci,n) et d’un facteur colonne (les γj).On peut ainsi réécrire le modèle sous la forme Ci,j = AiBj . Afin d’identifierles paramètres, des contraintes doivent être imposer. Par exemple, il peut êtrelégitime de demander une égalité de la somme par ligne, mais aussi par colonnes,des Ci,j , mais aussi des AiBj . Autrement dit, on cherche des vecteurs A =(A0, · · · , An) et B = (B0, · · · , Bn), avec B0 + · · ·+Bn = 1, tels que :

n−j∑i=0

AiBj =n−j∑i=0

Yi,j pour tout j, etn−i∑j=0

AiBj =n−i∑j=0

Yi,j pour tout i,

(on ne somme que sur la partie observée du triangle) les montants prédits dansla partie inférieure du triangles. Alors les termes (AiBj)i+j>n (correspondant


aux prédictions pour les paiements futurs), coïncident avec les quantités pré-dites par la méthode Chain Ladder ((18)).

Proposition 10.1 S’il existe A = (A0, · · · , An) et B = (B0, · · · , Bn), avecB0 + · · ·+Bn = 1 (car il faut rajouter une contrainte d’identifiabilité), tels que

n−j∑i=0

AiBj =n−j∑i=0

Yi,j pour tout j, etn−i∑j=0

AiBj =n−i∑j=0

Yi,j pour tout i,

alors

Ci,n = Ai = Ci,n−i ·n−1∏k=n−i

λk

et

Bk =n−1∏j=k

1λj−

n−1∏j=k−1

1λj, avec B0 =

n−1∏j=k

1λj.

Autrement dit, le montant de provision coïncide avec l’estimateur obtenu parla méthode Chain Ladder.

Preuve 10.1 La démonstration se fait de manière récursive.Commençons par réécrire les conditions,n−j∑i=0

Yi,j =n−j∑i=0

AiBj = Bj

n−j∑i=0

Ai, etn−i∑j=0

Yi,j =n−i∑j=0

AiBj =, Ain−i∑j=0

Bj .

Pour i = 0 dans la dernière somme, on en déduit que

A0 =∑nj=0 Yi,j∑nj=0 Bj

=n∑j=0

Yi,j = C0,n.

Supposons que la relation sur les Ai soit vérifiée pour 0, 1, 2, · · · , n− k− 1,et que

∑ij=0 Bj =

∏n−1j=i λ

−1j aux étapes n, n− 1, · · · , k. Alors à l’étape n− k,

n−k∑i=0

Ai =n−k−1∑i=0

Ai +An−k =n−k−1∑i=0

Ci,k

n−1∏k=n−i

λk +∑kj=0 Yn−k,j∑kj=0 Bj

qui peut se réécriren−k−1∑i=0

Ci,k

n−1∏k=n−i

λk + Cn−k,k∑kj=0 Bj

soit encoren−k−1∑i=0

Ci,k

n−1∏k=n−i

λk + Cn−k,k

n−1∏k=n−i

λk =n−k∑i=0

Ci,k

n−1∏k=n−i

λk.

10 Chapitre 10

De plus, en réécrire

k∑j=0

Bj =k+1∑j=0

Bj −Bk+1 =n−1∏j=k

λ−1j −

∑n−k−1j=0 Yj,k∑n−k−1j=0 Aj

Pour le terme de droite, en notant que

n−k−1∑j=0

Yj,k =n−k−1∑j=0

[Sj,k+1 − Sj,k] =n−k−1∑j=0

Sj,k+1 −n−k−1∑j=0

Sj,k

on obtient que

k∑j=0

Bj =(

1− 1 + λ−1n−k

) n−1∏j=n−k+1

λ−1j =

n−1∏j=n−k

λ−1j .

En soustrayant à chacune des étapes, on obtient le résultat annoncé.

Nous reviendrons sur ce modèle dans la sectionn 10.5, car la régressionde Poisson avec un lien logarithmique (dont les paramètres sont estimés parmaximum de vraisemblance) coïncide avec la méthode des marges.

10.4 De Mack à Merz & Wüthrich

La méthode dite Chain Ladder, que nous venons de voir, est une méthodedite déterministe, au sens où l’on ne construit pas de modèle probabiliste per-mettant de mesurer l’incertitude associée à la prédiction du montant des ré-serves. Différents modèles ont été proposés à partir des années 90, à partirdu modèles de Mack, jusqu’à l’approche proposée par Merz & Wüthrich quiintroduira la notion de « incertitude à un an ».

10.4.1 Quantifier l’incertitude dans une prédiction

Nous avons obtenu, par la méthode Chain Ladder un estimateur du mon-tant de provision, R (même si nous n’avons pas, pour l’instant, de modèlestochastique sous-jacent). Classiquement, pour quantifier l’erreur associée à unestimateur, on calcule l’erreur quadratique moyenne - ou « mean squared er-ror » mse - associée :

E([R−R]2).

Formellement, comme R est ici une variable aléatoire, on ne parle pas d’erreurd’estimation, mais d’erreur de prévision : on va alors calculer un erreur quadra-tique moyenne de prediction - ou « mean squared error of prediction » - notéemsep (on ne prédit pas sur les données passées, mais on utilisera les donnéees


pour calibrer un modèle qui servira ensuite à faire de la prédiction pour lesannées futures). Aussi

msep(R) = E([R−R]2).Ce terme peut se décomposer en deux (en faisant une approximation au premierordre), au sens où

E([R−R]2) ∼ E([R− E(R)]2)︸︷︷︸mse(R)

+E([R− E(R)]2)︸︷︷︸Var(R)

où le terme de gauche est l’erreur d’estimation, compte tenu du fait que nousavons dû estimer le montant de provisions à partir de la partie supérieure dutriangle, et le terme de droite est l’erreur classique de modèle (tout modèlecomportant une partie résiduelle orthogonale aux observations, et donc impré-visible).En fait, en toute rigueur (et nous en aurons besoin par la suite), on chercheplutôt à calculer un msep conditionnel à l’information dont on dispose au boutde n années,

msepn(R) = E([R−R]2|Hn).

10.4.2 Le formalisme de Mack

(13) a proposé un cadre probabiliste afin de justifier l’utilisation de la mé-thode Chain-Ladder. Pour cela, on suppose que (Ci,j)j≥0 est un processusMarkovien, et qu’il existe λ = (λj) et σ = (σ2

j ) tels que{E(Ci,j+1|Hi+j) = E(Ci,j+1|Ci,j) = λj · Ci,jVar(Ci,j+1|Hi+j) = Var(Ci,j+1|Ci,j) = σ2

j · Ci,j

On note que sous ces hypothèses,

E(Ci,j+k|Hi+j) = E(Ci,j+k|Ci,j) = λj · λj+1 · · ·λj+k−1 · Ci,j .

(13) rajoute une hypothèse supplémentaire d’indépendance entre les années desurvenance, autrement dit (Ci,j)j=1,...,n et (Ci′,j)j=1,...,n sont indépendant pourtout i 6= i′.

Une réécriture du modèle est alors de supposer que

Ci,j+1 = λjCi,j + σj√Ci,j + εi,j+1,

où les résidus (εi,j) sont i.i.d. et centrés. A partir de cette écriture, il peutparaître légitime d’utiliser les méthodes des moindres carrés pondérés pourestimer ces coefficients, en notant que les poids doivent être inversement pro-portionnels à la variance, autrement dit aux Ci,j , i.e. à j donné, on cherche àrésoudre

min{n−j∑i=1

1Ci,j

(Ci,j+1 − λjCi,j)2

}

12 Chapitre 10

qui correspond à l’équation 10.1 : on va donc retrouver le même montant deprovisions qu’avec la méthode Chain Ladder.

Pour tester ces deux premières hypothèses, on commence par représenterles C·,j+1 en fonction des C·,j à j donné. Si la première hypothèse est vérifiée,les points doivent être alignés suivant une droite passant par l’origine.

La Figure 10.3 montre ainsi les nuages de points pour j = 1 et j = 2.

●

●

●

●

●

3500 4000 4500 5000

4500

5000

5500

6000

6500

PAID[, j]

PAID

[, j +

1]

●

●

●

●

4500 5000 5500 6000 6500

4500

5000

5500

6000

PAID[, j]

PAID

[, j +

1]

Figure 10.3 – Nuage de points C·,j+1 en fonction des C·,j pour j = 1, 2, etdroite de régression passant par l’origine.

Pour la seconde hypothèse, on peut étudier les résidus standardisés ((13)

parle de « weighted residuals »), εi,j+1 = Ci,j+1 − λjCi,j√Ci,j

.

L’utilisation des résidus standardisés nous donnent d’ailleurs une idée simplepour estimer le paramètre de volatilité.

σ2j = 1

n− j − 1

n−j−1∑i=0

(Ci,j+1 − λjCi,j√

Ci,j

)2

ce qui peut aussi s’écrire

σ2j = 1

n− j − 1

n−j−1∑i=0

(Ci,j+1

Ci,j− λj

)2· Ci,j

(ce qui est à rapprocher de l’écriture du facteur de transition λ comme moyennepondérée des facteurs de transitions observés). Cette méthode permet d’estimerles différents paramètres intervenant dans le modèle de (13).


10.4.3 La notion de « tail factor »

Comme nous l’avions expliqué dans l’introduction, jusqu’à présent, on asupposé que la première ligne de notre triangle est close : il n’y a plus de sinistresouverts, et donc le montant de provision pour cette année de survenance estnul. Aussi, pour tout i, on suppose que Ci,∞ = Ci,n. Cette hypothèse peut êtreun peu trop forte pour les branches à déroulement long. (14) a posé les basesdes premiers modèles qui sont toujours utilisés, reposant sur l’idée d’un « tailfactor ». On supposera qu’il existe alors un λ∞ > 1 tel que

Ci,∞ = Ci,n × λ∞.

Une méthode qui a souvent été utilisée a reposé sur l’idée que l’on pouvait pro-jeter les λi par une extrapolation exponentielle (ou une extrapolation linéairedes log(λk − 1)), puis on pose

λ∞ =∏k≥n

λk

Mais mieux vaut faire attention, en particulier s’il y a des valeurs aberrantes. Ici,cette méthode prévoit de rajouter 0, 07% de charge par rapport à la prédictionfaite par les méthodes classiques, en supposant la première année close.

10.4.4 De l’incertitude sur Ri et R

L’incertitude est ici quantifiée à l’aide de l’erreur quadratique moyenne,

mse(Ri) = mse(Ci,n − Ci,n−i) = mse(Ci,n) = E([

Ci,n − Ci,n]2∣∣∣∣Hn) .

En utilisant l’expression

E([X − x]2) = Var(X) + [E(X)− x]2,

on peut réécrire le mse sous la forme

mse(Ci,n) = Var(Ci,n|Hn) +[E(Ci,n|Hn)− Ci,n

]2,

où l’on a un terme d’erreur de modèle, et un terme d’erreur d’estimation.Pour le premier terme,

Var(Ci,n|Hn) = E(Var(Ci,n|Fi,n−i)) + Var(E(Ci,n|Fi,n−i))

soit

Var(Ci,n|Hn) = E(Ci,n−1|Fi,n−i) · σ2n−1 + Var(Ci,n−1|Fi,n−i) · λ2

n−1

14 Chapitre 10

d’où, en itérant sur le dernier terme,

Var(Ci,n|Hn) = E(Ci,n−1|Fi,n−i) · σ2n−1

+[E(Ci,n−2|Fi,n−i) · σ2

n−Z + Var(Ci,n−2|Fi,n−i) · λ2n−2

]· λ2

n−1

etc. On arrive, en itérant jusqu’à n− i (car Ci,n−i est observé), à la relation

Var(Ci,n|Hn) =n−1∑k=n−i

[λn−i · · ·λk−1Ci,n−i]σ2kλ

2k+1 · · ·λ2

n−1

en utilisant le fait que pour n− i < k < n, Ci,k = λn−i · · ·λk−1Ci,n−i.

Pour le second terme,

E(Ci,n|Hn) = E (E (Ci,n|Fi,n−i))= E (λn−1Ci,n−1|Fi,n−i) = λn−1 · E (Ci,n−1|Fi,n−i) ,

ce qui donne, par itérations successives,

E(Ci,n|Hn) = λn−i · λn−i+1 · · ·λn−1 · Ci,n−i.

Aussi, [E(Ci,n|Hn)− Ci,n

]2= C2

i,n−i

[λn−i · · ·λn−1 − λn−i · · · λn−1

]2.

Pour estimer le premier terme, on remplace simplement λk par λk et σ2k par

σ2k, de telle sorte que

Var(Ci,n|Hn) =n−1∑k=n−i

[λn−i · · · λk−1Ci,n−i

]σ2kλ

2k+1 · · · λ2

n−1

ce qui se réécrit encore, en se basant sur l’estimation de la charge ultime (etplus sur la dernière valeur observée)

Var(Ci,n|Hn) = C2i,n

n−1∑k=n−i

σ2k/λ

2k

Ci,k.

Pour le second terme, ça se complique un peu, car on ne peut pas simplementremplacer λk par son estimateur. On va alors réécrire

[λn−i · · ·λn−1 − λn−i · · · λn−1

]sous la forme d’une somme,

[λn−i · · ·λn−1 − λn−i · · · λn−1

]=

n−1∑k=n−i

Sk


où Sk = λn−i · · · λk−1[λk − λk]λk+1 · · ·λn−1, ce qui permet d’écrire le carré dela somme

n−1∑k=n−i

S2k + 2

∑j<k

SjSk.

En notant que

E([λk − λk]2|Hk) = Var(λk|Hk) = σ2k∑n−k

j=1 Cj,k,

on en déduit que

E(S2k|Hk) = λn−i · · · λk−1

σ2k∑n−k

j=1 Cj,kλk+1 · · ·λn−1.

Et en revanche, pour j < k, E(SjSk|Hk) = 0. Aussi, un estimateur pour lesecond terme peut être

λn−i · · · λn−1

n−1∑k=n−i

σ2k/λ

2k∑n−k

j=1 Cj,k.

On en déduit le résultat suivant :

Proposition 10.2 L’erreur quadratique moyenne du montant de provision mse(Ri),pour une année de survenance i, peut être estimé par

mse(Ri) = C2i,n

n−1∑k=n−i

σ2k

λ2k

(1Ci,k

+ 1∑n−kj=1 Cj,k

).

Toutefois, une compagnie doit au minimum provisionner pour la branched’activité, et par par année. Il faut ensuite calculer le mse pour R = R1 + · · ·+Rn. En fait, on notera que

mse(R) = E

n∑i=2

Ri −n∑i=2

Ri

]2∣∣∣∣∣∣Hn

soit

mse(R) = Var(

n∑i=2

Ci,n|Hn

)+[E

(n∑i=2

Ci,n

∣∣∣∣∣Hn)−

n∑i=2

Ci,n

]2

Comme on suppose que les années de survenance sont indépendantes, lepremier terme se simplifie,

Var(

n∑i=2

Ci,n

∣∣∣∣∣Hn)

=n∑i=2

Var (Ci,n|Hn)

16 Chapitre 10

(dont les terms sous le signe sommee ont été calculés auparavant). Pour lesecond terme, il peut être réécrit[

n∑i=2

E (Ci,n|Hn)− Ci,n

]2

soitn∑

i,j=2[E (Ci,n|Hn)− Ci,n] · [E (Cj,n|Hn)− Cj,n].

En utilisant les notations précédantes, notons que

[E (Ci,n|Hn)− Ci,n] · [E (Cj,n|Hn)− Cj,n] = [Ci,n−iFi] · [Cj,n−jFj ]

ce qui permet de réécrire l’erreur quadratique moyenne pour R. En réutilisealors l’astuce précédante pour estimer FiFj .

Proposition 10.3 L’erreur quadratique moyenne du montant de provision mse(R),pour l’ensemble des années de survenance, peut être estimé par

mse(R) =n∑i=2

mse(Ri) + 2∑

2≤i<j≤nCi,nCj,n

n−1∑k=n−i

σ2k/λ

2k∑n−k

l=1 Cl,k.

Cette vision est parfois appelée « vision à l’ultime » de l’incertitude relative aumontant de provision.

Exemple 10.1 Sur le triangle de paiements 10.2, mse(R) = 79.30, alors quemse(Rn) = 68.45, mse(Rn−1) = 31.3 ou mse(Rn−2) = 5.05. �

10.4.5 L’incertitude à un an de Merz & Wüthrich

Pour comprendre la notion d’incertitude à un an, plaçons nous un an enarrière. A la fin de l’année n − 1, nous disposions du triangle sans la dernièrediagonale, que l’on avait alors complété par la méthode Chain Ladder (Table10.4.5). Si l’on ne s’intéresse qu’aux années antérieures, i = 0, · · · , n − 1, à lafin de l’année n, nous avions obtenu un ‘triangle’ avec une diagonale supplé-mentaire que l’on avait alors complété par la méthode Chain Ladder (Table10.4.5).

A la fin de l’année n−1, le montant de provisions constitué était de 2114, 61,pour ces n − 1 premières années. Au final, on pensait payer 27513, 61 (toutesannées confondues). A la fin de l’année n, la charge totale était revue à la hausse,passant à 27697, 33. Cette augmentation de 183, 72 correspond à un « mali ».C’est l’incertitude associée à cette quantité qui est aujourd’hui demandé dansle cadre des changements des normes comptables imposées par Solvabilité II.


Table 10.7 – Triangle des paiements cumulés sur les années antérieures, C =(Ci,j)i+j≤n−1,i≤n−1 avec les projection future C = (Ci,j)i+j>n−1.

0 1 2 3 40 3209 4372 4411 4428 44351 3367 4659 4696 4720 4727.42 3871 5345 5398 5422.3 5430.93 4239 5917 5970.0 5996.9 6006.44 4929 6810.8 6871.9 6902.9 693.9

Table 10.8 – Triangle des paiements cumulés sur les années antérieures, C =(Ci,j)i+j≤n,i≤n−1 avec les projection future C = (Ci,j)i+j>n.

0 1 2 3 4 50 3209 4372 4411 4428 4435 44561 3367 4659 4696 4720 4730 4752.42 3871 5345 5398 5420 5430.1 5455.83 4239 5917 6020 6046.15 6057.4 6086.14 4929 6794 6871.7 6901.5 6914.3 6947.1

Si on souhaite formaliser le calcul que l’on vient d’effectuer, il convientd’introduire dans les notations la date à laquelle est faite l’estimation. Parexemple, on distinguera

λnj =∑n−i−1i=0 Ci,j+1∑n−i−1i=0 Ci,j

et λn+1j =

∑n−ii=0 Ci,j+1∑n−ii=0 Ci,j

qui sont les facteurs de transitions obtenus l’année n et l’année n+1. La sectionprécédante permet de monter que

E(λnj |Hn) = λj et E(λn+1j |Hn+1) = λj .

Sauf qu’ici, on se place toujours à la date n. Il convient alors de calculerE(λn+1

j |Hn). Notons que

λn+1j =

∑n−ii=0 Ci,j+1∑n−ii=0 Ci,j

=∑n−ii=0 Ci,j+1

Sn+1j

=∑n−1−ii=0 Ci,j+1

Sn+1j

+ Cn−j,j+1

Sn+1j

soit simplement

λn+1j =

Snj · λnjSn+1j

+ Cn−j,j+1

Sn+1j

.

18 Chapitre 10

Lemme 10.1 Sous les hypothèses du modèles de Mack,

E(λn+1j |Hn) =

Snj

Sn+1j

· λnj + λjCn−j,n

Sn+1j

.

On en déduit en particulier que

E(Cn+1i,j |Hn) = Ci,n−i · λn−i ·

j−1∏k=n−i+1

E(λn+1k |Hn

).

En reprenant les notations de (15), on peut étudier la variation du boni/malid’une année sur l’autre, c’est à dire du changement dans la prédiction de lacharge totale, entre deux années.

Pour cela, on introduit le concept suivant

Définition 10.1 Le « claims development result » CDRi(n+ 1), pour l’annéede survenance i, entre les dates n et n+ 1 est

CDRi(n+ 1) = E(Rni |Hn)−[Yi,n−i+1 + E(Rn+1

i |Hn+1)],

où Yi,n−i+1 correspond à l’incrément de paiements,

Yi,n−i+1 = Ci,n−i+1 − Ci,n−i.

On notera que CDRi(n+1) est une martingale Hn+1-mesurable, et que l’onpeut réécrire

CDRi(n+ 1) = E(Ci,n|Hn)− E(Ci,n|Hn+1).

De plus, E (CDRi(n+ 1)|Hn) peut s’écrire

Ci,n−i

n−1∏j=n−i

λnj − λn−i ·n−1∏

j=n−i+1

(Snj

Sn+1j

· λnj + λj ·Cn−j,j

Sn+1j

) ,

ou encore

Ci,n−i

1− λn−i

λnn−i·

n−1∏j=n−i+1

[1 + (λj − λnj ) · Cn−j,j

λnj · Sn+1j

] .

A l’aide de ces relations, on peut calculer, puis estimer, l’erreur quadratiquemoyenne de prédiction conditionnel du boni-mali (ou du CDR avec ces nota-tions), par année de survenance i pour commencer, puis en aggrégeant toutesles années. Pour l’erreur de modélisation, on peut noter que

Var(CDRi(n+ 1)|Dn) = E(Ci,n|Dn)2 ·σ2n−i/λ

2n−i

Ci,n−i.


Pour l’erreur d’estimation,

Pour l’estimation de ces deux termes, on considère naturellement

Var(CDRi(n+ 1)|Dn) = (Cni,n)2 ·[σnn−i]2/[λnn−i]2

Ci,n−i,

où

[σnn−i]2 = 1n− j

n−j∑i=0

Ci,j−1

(Ci,jCi,j−1

− λnj−1

)2

En revanche pour le second terme, c’est un peu plus compliqué. On peut tou-tefois écrire

C2i,n−iE

n−1∏j=n−i

λnj − λn−i ·n−1∏

j=n−i+1

(Snj

Sn+1j

· λnj + λj ·Cn−j,j

Sn+1j

)2

|Hn

.

Un peu de calcul permet alors d’obtenir

n−1∏j=n−i

λ2j

n−1∏j=n−i

[σ2j /λ

2j

Snj+ 1]

+n−1∏

j=n−i+1

[α2j

σ2j /λ

2j

Snj+ 1]− 2

n−1∏j=n−i+1

[αjσ2j /λ

2j

Snj+ 1]

où αj =Snj

Sn+1j

.

On arrive finalement à la propriété suivante

Lemme 10.2 Sous les hypothèses du modèle de Mack,

msepcn−1(CDRi(t)) = C2i,n

(Γi,n + ∆i,n

)où

∆i,n =σ2n−i+1

λ2n−i+1S

n+1n−i+1

+n−1∑

j=n−i+2

(Cn−j+1,j

Sn+1j

)2σ2j

λ2jS

nj

et

Γi,n =(

1 +σ2n−i+1

λ2n−i+1Ci,n−i+1

)n−1∏

j=n−i+2

(1 +

σ2j

λ2j [S

n+1j ]2

Cn−j+1,j

)− 1.

(15) ont alors approché ce terme par

Γi,n ≈σ2n−i+1

λ2n−i+1Ci,n−i+1

+n−1∑

j=n−i+2

(Cn−j+1,j

Sn+1j

)2σ2j

λ2j · Cn−j+1,j

20 Chapitre 10

en faisant tout simplement un développement de la forme∏

(1+ui) ≈ 1+∑ui,

mais qui n’est valide que si ui est petit, soit ici

σ2j

λ2j

<< Cn−j+1,j .

Si l’on regarde finalement ce qui se passe toutes années de survenanceconfondues, (15) ont obtenu une formule fermée.

Sur le triangle 10.1, on obtient les grandeurs données dans la Table 10.4.5avec respectivement l’incertitude à l’ultime, et l’incertitude (avec ou sans l’ap-proximation discutée dans le paragraphe précédant).

Table 10.9 – Erreurs quadratiques moyenne de prévision conditionnelles, à l’ul-time ou sur les boni-mali (CDR), avec la formule exacte, et la forme approchée

0 1 2 3 4 5 cumulMack 0.0 0.6 2.5 5.0 31.3 68.4 79.3Merz-Wüthrich (app.) 0.0 1.4 2.5 4.5 30.9 60.8 72.6Merz-Wüthrich (ex.) 0.0 1.3 2.5 4.5 30.9 60.8 72.6

10.5 Régression et modèles factoriels

Dans cette section, nous nous éloignerons des modèles récursifs inspirés dela méthode Chain Ladder, et nous reviendrons sur des classes de modèles trèsutilisés dans les années 70, appelés « modèles à facteurs », remis au goût dujour en proposant une lecture économétrique de ces modèles, permettant ainsid’obtenir des intervalles de confiance des différentes grandeurs.

10.5.1 Les modèles à facteurs, un introduction historique

Avant de présenter l’utilisation des modèles de régression, on peut commen-cer par évoquer des modèles plus anciens. Par exemple (20) supposait que

Yi,j = rj · µi+j , pour tout i, j,

autrement dit, on suppose qu’il existe un effet colonne de cadence de paiement(paramètre rj), et un effet diagonal, que (20) interprète comme un facteurd’inflation (paramètre µi+j). Ce modèle peut se réécrire, dès lors qu’il n’y apas d’incrément négatif,

log Yi,j = αi + γi+j


qui prend alors une forme linéaire. On montrera par la suite que le cas

log Yi,j = ai + bj

s’apparentent à un modèle de type Chain-Ladder. En effet, cela suppose que

Yi,j = αi · βj

que l’on peut rapprocher du modèle de développement Yi,j = Ci,n × ϕj .

10.5.2 Les modèles de de Vylder et de Chritophides

(4) a été un des premiers modèles économétrique de provisionnement, afind’estimer les paramètres intervenant dans les modèles factoriels. Pour cela, onsuppose que

Yi,j ∼ N (αi · βj , σ2), pour tout i, j

On peut estimer les coefficients par moindres carrés,

(α, β) = argmin

∑i,j

[Yi,j − αi · βj ]2 .

Les équations normales s’écrivent ici

αi =∑j Yi,j βj∑j β

2j

et βj =∑i Yi,jαi∑i α

2i

,

ce qui ne résoud pas explicitement. Pour le résoudre, (3) a suggéré de le réécrirecomme un modèle log-linéaire, soit

log Yi,j ∼ N (ai + bj , σ2), pour tout i, j.

Dans ce cas, le modèle admet des estimateurs explicites des paramètres. Lesestimations de ces paramètres sont donnés dans la Table 10.10, et la prédictiondans la Table 10.11. Le montant de provisions dans ce cas est la somme desincréments dans la partie inférieure du triangle, corrigé en tenant compte del’écart-type estimé σ (ici 0,1753). En effet,

Yi,j = exp(ai + bj + σ2

2

)On obtient ici on montant total de provisions de l’ordre de 2481,857 (trèscomparable au montant obtenu par la méthode Chain Ladder).

22 Chapitre 10

Table 10.10 – Estimation des ai et bj , avec pour la valeur de référence uneconstante valant 7,9471, dans le modèle log-linéaire de Christophides.

1 2 3 4 5ai 0,16 0,27 0,59 0,55 0,61

(0,11) (0,12) (0,13) (0,16) (0,21)

bj -0,96 -4,23 -5,05 -5,90 -4,90(0,11) (0,12) (0,13) (0,16) (0,21)

Table 10.11 – Triangle des incréments paiements estimés, Y = (Yi,j)i+j≤navec leur projection future Y = (Yi,j)i+j>n dans le modèle log-linéaire deChristophides.

0 1 2 3 4 50 2871 1091 41 18 8 211 3370 1281 49 21 9 252 3767 1432 55 24 10 283 5181 1969 75 32 14 384 4994 1898 72 32 14 375 5297 2013 77 34 14 39

10.5.3 La régression poissonnienne de Hachemeister &Stanard

Une alternatuve est de réécrire le modèle proposé par (4) sous la formed’une régression de Poisson, avec :

Yi,j ∼ P(exp(ai + bj)), pour tout i, j.

(7), (9) et enfin (12) ont montré que dans une régression log-Poisson sur lesincréments, la somme des prédictions des paiments à venir correspond à l’es-timateur Chain Ladder. On retrouve ici un résultat pouvant être relié à laméthode des marges présentée à la fin de la section 10.3. On suppose ici que

E(Yi,j) = µi,j = exp[ai + bj ] = αi · βj

Il y a ici un 2n paramètres à estimer, a = (a0, · · · , an) et b = (b0, · · · , bn),avec une contrainte de la forme b0 + · · · + bn = 1 (car il nous reste un degréde liberté). Compte tenu du choix des facteurs (ici un facteur ligne α (ou a) etun facteur colonne β (ou b)), une fois estimés ces paramètres, il est possible deprédire la partie inférieure du triangle très simplement :

Yi,j = µi,j = exp[ri + cj ] = ai · bj .


La valeur de référence est la valeur dans le coin supérieur gauche. Compte tenude la forme logarithmique du modèle, on a une interprétation simple de toutesles valeurs, relativement à cette première valeur

E(Yi,j |Fn) = E(Y0,0|Fn) · exp[ai + bj ].

Les estimations de ces paramètres sont donnés dans la Table 10.12, et la pré-diction dans la Table 10.13. Le montant de provisions dans ce cas est la sommedes incréments dans la partie inférieure du triangle, à savoir ici 2426,985, quicorrespond (exactement) au montant obtenu avec la méthode Chain Ladder.

Table 10.12 – Estimation des ai et bj , avec pour la valeur de référence uneconstante valant 8,057, dans la régression de Poisson.

1 2 3 4 5ai 0,06 0,20 0,31 0,44 0,50

(0,02) (0,02) (0,02) (0,02) (0,02)

bj -0,96 -4,14 -5,10 -5,94 -5,01(0,01) (0,06) (0,13) (0,24) (0,22)

Table 10.13 – Triangle des incréments paiements estimés, Y = (Yi,j)i+j≤navec leur projection future Y = (Yi,j)i+j>n dans le modèle log-linéaire deChristophides.

0 1 2 3 4 50 3156 1202 50 19 8 211 3366 1282 53 20 9 222 3864 1472 61 23 10 263 4310 1641 68 26 11 294 4920 1874 78 30 13 335 5217 1987 83 32 14 35

10.5.4 Incertitude dans un modèle de régression

Nous avions noté auparavant qu’obtenir une estimation du montant de si-nistres restant à payer ne suffisait pas, et qu’il fallait avoir un intervalle deconfiance, ou au moins une mesure de la dispersion du vrai montant autour decette valeur prédite.

24 Chapitre 10

Les formules économétriques fermées

Les modèles de régressions pourraient paraître très intéressants car il existedes formules fermés pour toutes sortes de prédiction. Par exemple, dans unerégression GLM avec un lien logarithmique, rappelons que

E(Yi,j |Fn) = µi,j = exp[ηi,j ]

ou encoreYi,j = µi,j = exp[ηi,j ].

La delta method nous permet d’écrire que

Var(Yi,j) ∼∣∣∣∣∂µi,j∂ηi,j

∣∣∣∣2 ·Var(ηi,j),ce qui se simplifie dans le cas où le lien est logarithmique, à savoir :

∂µi,j∂ηi,j

= µi,j .

Aussi, pour une loi de Poisson surdispersée (on peut introduire un paramètrede surdispersion φ, comme dans (17)),

E(

[Yi,j − Yi,j ]2)≈ φ · µi,j + µ2

i,j · Var(ηi,j)

pour la partie inférieure du triangle. De plus, car il sera nécessaire de sommertous les termes de la partie inférieure du triangle pour déterminer le montanttotal de provisions,

Cov(Yi,j , Yk,l) ≈ µi,j · µk,l · Cov(ηi,j , ηk,l).

Le montant de provision que lêon cherche à estimer étant la somme des prédic-tions de paiements à venir, R =

∑i+j>n Yi,j , alors

E(

[R− R]2)≈

∑i+j>n

φ · µi,j

+ µ′ · Var(η) · µ

Remarque 10.1 Cette formule est malheureusement asymptotique, ce qui estrarement le cas en provisionnement où l’on dispose de très peu de données.

La Table 10.5.4 avec respectivement l’incertitude à l’ultime obtenue par laformule de Mack, avec celle calculée ci-dessus


Table 10.14 – Erreurs quadratiques moyenne de prévision conditionnelles, avecles formules d’incertitude asymptotique des modèles linéaires généralisées.

0 1 2 3 4 5 cumulMack 0.0 0.6 2.5 5.0 31.3 68.4 79.3GLM 0.0 105.2 29.6 25.9 24.1 60.3 131.8

Les méthodes de simulations

Les méthodes de simulation sont une bonne alternative si on dispose detrop peu de données pour invoquer des théorèmes asymptotiques. Rappelons,comme le notait (13) qu’il existe deux sources d’incertitude,

– l’erreur d’estimation (on parle de « variance error ») sur l’estimation deR,

– l’erreur de modèle (on parle de « process error ») sur lévolution possiblede R.

Il sera alors nécessaire d’utiliser deux algorithmes pour quantifier ces deuxerreurs. Afin de quatifier l’erreur d’estimation, il est naturel de simuler desfaux triangles (supérieurs), puis de regarder la distribution des estimateurs demontant de provisions obtenus pour chaque triangles. A l’étape b, on génèreun pseudo triangle à l’aide des résidus de Pearson. Rappelons que pour unerégression de Poisson, les résidus de Pearson

εi,j = Yi,j − Yi,j√Yi,j

,

sont (asymptotiquement) de variance unitaire. Si l’on souhaite avoir des résidusnormalisés, il convient de considérer

εi,j =√

n

n− kYi,j − Yi,j√

Yi,j

,

où k est le nombre de facteurs de la régression. En simulant des erreurs (quisont supposées indépendantes et identiquement distribuée), εb = (εbi,j), on posealors

Y bi,j = Yi,j +√Yi,j · εbi,j .

Pour générer des erreurs, la méthode la plus usuelle est d’utiliser une simula-tion nonparamétrique, c’est à dire que l’on va bootstrapper les résidus parmiles pseudorésidus obtenus. Sinon il est aussi possible d’utiliser un modèle para-métrique (par exemple supposer une loi normale, même si rien théoriquementne justifie cette méthode).

26 Chapitre 10

Table 10.15 – Le triangle des résidus de Pearson, εi,j .

0 1 2 3 4 50 1.375 -1.635 -2.222 -0.710 -0.619 0.0001 0.035 0.402 -3.208 1.149 0.6002 0.169 0.082 -1.484 -0.4313 -1.569 1.293 6.1414 0.189 -0.3065 0.000

Le triangle des résidus obtenus peuvent être visualisés sur la Table 10.5.4.Une fois simulé un pseudo triangle d’incréments de paiments, on prédit un

montant de provision Rb (par exemple à l’aide de la méthode Chain Ladder, unedifficulté technique est qu’il est possible de générer, par simulation, des pseu-dos triangles à incréments négatifs). La variance des Rb correspond à l’erreurd’estimation.

Afin de prendre en compte l’erreur de modèle, plusieurs méthodes peuventêtre utilisées. La première, et la plus simple, consiste à noter qu’à partir dupseudo triangle Y bi,j , peut obtenir des prédictions pour la partie inférieure, Y bi,j .Compte tenu du modèle Poissonnien, on peut alors simuler une trajectoirepossible d’incréments de paiements en simulant les Y bi,j à l’aide de loi de Poissonde paramètre Y bi,j .

Remarque 10.2 En fait, la régression quasi-Poisson peut éventuellement êtreplus adaptée. Dans l’exemple considéré, on obtient φ = 3.186, où Var(Yi,j) =φ ·E(Yi,j). L’estimation donne les mêmes résulats que la régression de Poisson,toutefois, il faut alors pour générer une loi quasi-Poisson. La simulation decette quasi-loi, se fait généralement suivant une des deux méthodes suivantes.La première idée est d’utiliser une approximation par une loi binomiale négativeBN(r, p). Rappelons que pour cette loi

E(N) = r1− pp

= λ et Var(N) = r1− pp2 = φλ,

de telle sorte que, si on cherche à simuler une loi quasi-Poisson de paramètresλ et φ,

p = E(N)Var(N) = 1

φet r = λφ

φ− 1 .

La seconde idée est d’utiliser une approximation par une loi Gamma (dont onpourra prendre la partie entière)

E(N) = αβ = λ et Var(N) = αβ = φ · λ,


soit α = λ/φ et β = φ. La Figure 10.4 permet de comparer la simulation deces lois.

La Table 10.5.4 permet de comparer les quantiles de R (tenant compte del’incertitude associée à l’estimation) et de R (par simulation à partir )

Table 10.16 – Quantiles de R et de R, par bootstrap et simulations, dans unmodèle quasi-Poisson.

75% 95% 99% 99,5%R 2478 2609 2704 2733R 2507 2653 2764 2805

2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

40.

005

Montant de provisions

Figure 10.4 – Distribution de R, avec deux méthodes de générations de scéna-rios, suivant une loi de Poisson (en trait pointillé), ou une approximation de laloi quasi-Poisson par une loi Gamma (en trait plein)).

10.5.5 Quel modèle de régression ?

Comme nous l’avons mentionné dans le premier chapitre, deux paramètresfondamentaux interviennent dans une régression linéaire généralisée,

– la « fonction lien », qui lie la prédiction aux facteurs, ici un lien logarith-mique

Yi,j = E(Yi,j |Fn) = exp[widehatαi + βj ]

28 Chapitre 10

● ●●●●● ●●● ●● ● ●●●● ●● ● ●●● ●● ●●●● ●●●● ●●● ●● ●●● ●●●●●●● ●●● ● ●● ● ●●●●●●● ● ● ●● ●● ●●● ● ●● ● ●●● ●●● ●●●● ●●● ●●●● ● ●● ●● ●● ● ●●●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●●● ● ●●●● ●●● ● ●● ●●●●●● ●● ●● ● ● ●●● ●● ● ●●●●●●● ●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ●● ●●● ●●●● ●● ●● ●●● ● ● ●●●● ●●● ● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ●●● ●●● ●● ●●● ●● ● ● ●● ●● ●●●● ● ●●● ● ●●● ●● ● ●● ●●● ●●●● ●●●● ● ●●● ●●●● ● ●● ●● ● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●● ●●● ●●●● ●●● ●●● ●●●● ●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●● ●●● ●● ●●●● ● ●●● ●● ●● ●●● ●●●● ● ● ●● ●●●●●●● ● ●● ●● ●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●●● ●●● ●● ●●● ●● ●●●●●● ●●●● ● ●●● ●●●● ●● ●●●● ●●● ● ● ●●● ●● ●●●● ● ●●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ●●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●●● ● ● ●●● ●● ●

●● ● ● ●●●● ●●●● ●● ●● ●● ●●● ● ● ●● ●● ●●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ● ●●● ●● ●●●●● ● ●●● ●●●● ● ●●●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●●● ●● ●●●● ● ●● ●●● ●● ●●● ●●●●●● ●● ●●● ●●● ● ●● ● ●●●● ●●● ●●● ●● ● ●● ●●● ●● ● ●● ● ● ●●●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ● ●●● ●● ● ● ●● ●●●● ● ●● ●● ● ●●●●● ●●● ● ●● ●● ●● ● ●● ● ●●●● ● ●●●● ●●● ● ●●●● ● ●●●● ●●●●

Rna

rmR

snar

m

2000 2200 2400 2600 2800 3000

2200 2400 2600 2800 3000

0.00

00.

001

0.00

20.

003

0.00

4

N = 18079 Bandwidth = 11.07

Den

sity

Figure 10.5 – Boxplot et densité estimée de R et de R, par simulation .

– la loi ou la « fonction variance », qui donne la forme de l’intervalle deconfiance, ici une loi de Poisson,

Var(Yi,j |Fn) = φ · E(Yi,j |Fn)

L’unique motivation du modèle précédent est qu’il permet d’obtenir exac-tement le même montant que la méthode Chain Ladder. Mais aucun critèrestatistique n’a été évoqué, pour l’instant, afin de légitimer ce modèle.

Les modèles Tweedie sont une famille de sur-modèle, incluant le modèlePoissonnien. On suppose que

– la fonction lien, est une fonction puissance, ou plutôt une tranformée deBox-Cox, Yi,j = g−1

λ [αi + βj ] où gλ(x) = λ−1[xλ − 1] si λ > 0 avec le caslimite g0(x) = log(x).

– la fonction variance, qui donne la forme de l’intervalle de confiance, iciVar(Yi,j |Fn) = φ · E(Yi,j |Fn)µ

où les paramètres λ et µ sont inconnus.


10.6 Modélisation et prédiction de la mortalitéfuture

De même que le provisionnement posait le problème de la dynamique de lavie des sinistres (dont le montant n’est pas connu le jour de la survenance dusinistre), les contrats d’assurance vie sont liés à des probabilités de décès (oude survie) dans un futur plus ou moins lointain. L’assurance vie doit donc éga-lement être vu comme un problème de prévision, tout comme la modélisationdes provisions pour sinistres à payer. Le diagramme de Lexis, présenté dans laFigure 10.1 a d’ailleurs été introduit en démographie, et en assurance-vie : desindividus naissent (•) puis décèdent (×), avec entre temps, des versements deprimes (de l’assuré vers l’assureur) ou de prestations (de l’assureur vers l’as-suré). Les cadences de paiments sont souvent déterministes car prédeterminéesde manière contractuelle, la seule incertitude étant ici la durée de vie de l’as-suré. L’outil central pour décrire la survie est la table de mortalité, présentéedans la Table 10.17, qui donne l’évolution de Lx, nombre de survivants d’âgex.

10.6.1 Modélisation statique des contrats d’assurance vie

Si l’assurance non-vie reposait essentiellement sur des modélisation stochas-tique des sinistres à venir (et des dates auxquelles des payements seront effec-tués), l’assurance-vie consiste fondamentalement à actualiser des flux futurs(aléatoires). Comme le rappelait l’introduction, l’aléa dans les flux est généra-lement associé au décès ou à la survie d’un assuré (on omettra ici l’aléa surles montants ou leur actualisation). De la même manière que nous nous étionsattaché à calculer primes à l’aide d’espérance de flux en assurance non-vie, nousallons ici calculer calculer des grandeurs de la forme :

E

( ∞∑k=1

Ck(1 + i)Tk

1(paiement à la date Ti))

où l’assureur s’est engagé à verser un capital Ci à des dates Ti, à conditionqu’une hypothèse soit vérifiée à la date Ti (souvent un décès, ou une survie).Compte tenu de la linéarité de l’espérance, si l’on suppose le taux d’actualisa-tion non aléatoire, on peut réécrire cette dernière expression sous la forme :

∞∑k=1

Ck(1 + i)Tk

P(paiement à la date Ti).

La valeur actuelle probable s’écrit, de manière très générale,

k∑j=1

Cj · pj(1 + i)j

30 Chapitre 10

Table 10.17 – Table de mortalité TD 88-90, avec les Lx, nombre de survivantsd’âge x, pour x allant de 0 à 107.

x Lx x Lx x Lx x Lx

0 100000 27 97222 54 88011 81 358241 99129 28 97070 55 87165 82 325182 99057 29 96916 56 86241 83 292203 99010 30 96759 57 85256 84 259624 98977 31 96597 58 84211 85 227805 98948 32 96429 59 83083 86 197256 98921 33 96255 60 81884 87 168437 98897 34 96071 61 80602 88 141338 98876 35 95878 62 79243 89 116259 98855 36 95676 63 77807 90 938910 98835 37 95463 64 76295 91 743811 98814 38 95237 65 74720 92 576312 98793 39 94997 66 73075 93 435013 98771 40 94746 67 71366 94 321114 98745 41 94476 68 69559 95 231515 98712 42 94182 69 67655 96 163516 98667 43 93868 70 65649 97 111517 98606 44 93515 71 63543 98 74018 98520 45 93133 72 61285 99 45319 98406 46 92727 73 58911 100 26320 98277 47 92295 74 56416 101 14521 98137 48 91833 75 53818 102 7622 97987 49 91332 76 51086 103 3723 97830 50 90778 77 48251 104 1724 97677 51 90171 78 45284 105 725 97524 52 89511 79 42203 106 226 97373 53 88791 80 39041 107 0


où C = (C1, · · · , Ck) est l’ensemble des montants à verser, i est est le tauxd’actualisation, et p = (p1, · · · , pk) est le vecteur des probabilité de verser lecapital aux différentes dates. À partir du moment où nous disposons de toutesles probabilités, il est possible de faire tous les calculs imaginables d’actualisa-tion de flux futurs probables.

Pour un assuré d’âge x, on notera Tx sa durée de vie résiduelle, et kpx laprobabilité qu’il survive encore k années,

kpx = P(Tx > k) = P(T > x+ k|T > x)

où T désigne sa durée de vie.

Exemple 10.2 Le plus simple est probablement la valeur actuelle probabled’un capital différé (« pure endowment ») kEx, correspondant à la valeur ac-tuelle probable d’un capital de 1 dans le cas où une personne actuellementd’âge x soit encore en vie à au bout de k années,

kEx = 1(1 + i)k P(T > x+ k|T > x) = 1

(1 + i)k kpx

�

Exemple 10.3 Considérons le cas du versement d’une unité monnétaire, com-mençant dès aujourd’hui, et continuant tant que l’assuré sera vivant (on parlerad’annuité vie entière). On supposera l’annuité payable d’avance. On peut mon-trer que

äx =∞∑k=0

1(1 + i)k kpx =

∞∑k=0

kEx

Plus généralement, on veut considérer non pas des assurance annuelles, maistemporaires, d’une durée de n années :

näx =n−1∑k=0

1(1 + i)k kpx =

n−1∑k=0

kEx

Notons que l’on peut également différer de h années,

h|näx =h+n−1∑k=h

1(1 + i)k kpx =

h+n−1∑k=h

kEx

�

Exemple 10.4 Comme précédament, le cas le plus simple est probablementl’assurance décès vie entière, dont la valeur actuelle probable s’écrit, pour un

32 Chapitre 10

assuré d’âge x qui souhaite le versement d’une unité à la fin de l’année de sondécès,

Ax = E(

11 + i

T)

=∞∑k=1

E(

11 + i

T

|T = k

)=∞∑k=1

1(1 + i)k k−1px1qx+k−1.

Plus générallement, on peut définir une assurance temporaire décès, où le ver-sement du capital n’a lieu que si le décès survient dans les n années qui suiventla signature du contrat,

nAx =n∑k=1

1(1 + i)k k−1px1qx+k−1.

�

10.6.2 Extension dans un cadre dynamique

Dans le cadre statique, toutes les grandeurs pouvaient être construites àpartir des tables de mortalités, c’est à dire des Lx, ou des 1px, où x était l’âgedes individus. On supposait alors

k+hpx = Lx+h+k

Lx= hpx+k · kpx = Lx+h+k

Lx+h· Lx+h

Lx,

puisque pour survivre jusqu’à l’âge x + k + h, un assuré d’âge x devait déjàsurvivre jusqu’à l’âge x+ k, et donc

P(T > x+ k + h|T > x) = P(T > x+ k + h|T > x+ k) · P(T > x+ k|T > x).

Avec la notation précédante, on omet le fait que les probabilités n’était pascalculés à la même date. Désormais, nous allons intégrer la dimension tempo-relle, en notant qu’une « table de mortalité » est construite à une date t. Aussi,formellement, on notera Lx,t le nombre de personnes d’âge x en vie à la date t.

Les données que nous allons utilisées sont tirées du site internet http ://mor-tality.org, et il s’agit de données françaises, avec respectivement la mortalité desfemmes, des hommes, et de l’ensemble, entre 1899 et 2005. Ici on dispose deDx,t le nombre de personnes décédée à l’âge x l’année t, et Ex,t l’exposition,avec x allant de 0 à 110 ans (environ), et t observé jusqu’à une date que l’onnotera T (ici 2005).

Pour commencer, on peut visualiser l’évolution de la surface du taux de mor-talité, sur la Figure 10.6, afin de mieux comprendre la nécessité d’une analysedynamique de la démographie, où

µx,t = Dx,t

Ex,t

La figure 10.7 permet de visualiser la « rectangularisation » des fonctionsde survie, en fonction du temps, en faisant varier l’année t.


10.7 Le modèle de Lee & Carter

La modélisation retenue pour le taux instantané de mortalité est la suivante :

logµx,t = αx + βx · κt + εxt,

avec les variables aléatoires εxt indépendantes et identiqueement distribuées.L’idée du modèle est donc d’ajuster à la série (doublement indicée par x ett) des logarithmes des taux instantanés de décès une structure paramétrique(déterministe) à laquelle s’ajoute un phénomène aléatoire.Le coefficient κt capture ici la dynamique temporel, qui impactera différmentles différents âges, d’où le coefficient βx (par exemple les gains sur la mortalitéinfantile ne sont pas du même ordre que pour les àges élevés), et enfin, unfacteur αx décrivant l’évoluation moyenne de la mortalité en fonction de l’âge x.Le critère d’optimisation généralement retenu consiste à maximiser la varianceexpliquée par le modèle, ce qui revient à minimiser la variance des erreurs.Autrement dit, l’estimation des paramètres s’effectue en résolvant :

(αx, βx, κt

)= arg min

{∑x,t

(logµx,t − αx − βx · κt)2

}.

On retient en général les deux contraintes d’identifiabilité suivantes :

xM∑x=xm

βx = 1 ettM∑t=tm

kt = 0.

Une alternative est d’utiliser une régression de Poisson, de la forme

Dx,t ∼ P(Ex,t · exp[αx + βx · κt]).

ou, de manière plus réaliste, un modèle de type binomial,

Dx,t ∼ B(Ex,t, logit(αx + βx · κt)).

L’estimation des coefficients fonctions de l’âge x peut se visualiser sur laFigure 10.8, avec respectivement x 7→ αx et x 7→ βx.

Pour prédire la mortalité future, on utilise

µx,t = exp(αx + βx · κt

)pour t > T . Pour les les coefficients fonctions de l’âge x (αx et βx) on utilise lesestimateurs obtenus auparavant, mais pour les coefficients liés au temps t (lescoefficients κt), on a besoin de prédictions. On peut ajuster plusieurs modèles.(8) suggère des méthodes de lissage exponentiel, (10) ou (11) encore suggèrentun modélisation par un processus ARIMA (avec, ou sans tendance). La grande

34 Chapitre 10

difficulté (en pratique) est ici de savoir quelles données utiliser pour effectuerla prévision, en particulier s’il faut tenir compte des deux guerres mondiales.La Figure 10.9 permet de noter que les prévisions sont alors sensiblement dif-férentes, en particulier si l’on tient compte de l’intervalle de confiance.

Comme le montrent l’évolution des résidus de Pearson de modèle Poissonienεx,t, en fonction de lâge x et en fonction du temps t, sur les Figures 10.10 et10.11, ce modèle peut être grandement amélioré.

Par exemple, (6) suggère d’intégrer un effet cohorte,

logµx,t = αx + βx · κt + γx · δt−x + εx,t.

Une fois modélisée et projetée le taux de décès, toutes les quantités actua-rielles (et démographiques) usuelles peuvent être dérivées.


Age

0

20

4060

80

Année

1900

1920

1940

19601980

2000

taux de mortalité

−8

−6

−4

−2

Figure 10.6 – Surface du taux de mortalité, en fonction de l’année d’observation,et de l’âge.

0 20 40 60 80 100 120

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Age

Fon

ctio

n de

sur

vie

(à la

nai

ssan

ce)

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

Figure 10.7 – « Rectangularisation » des fonctions de survie.

36 Chapitre 10

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0 20 40 60 80 100

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

Age

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0 20 40 60 80 100

0.00

50.

010

0.01

50.

020

0.02

5

Age

Figure 10.8 – Estimation des fonctions x 7→ αx et x 7→ βx du modèle de Lee-Carter.

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Forecasts from ARIMA(0,1,0) with drift

1900 1950 2000 2050 2100

−50

0−

400

−30

0−

200

−10

00

100

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Forecasts from ARIMA(1,1,0) with drift

1900 1950 2000 2050 2100

−50

0−

400

−30

0−

200

−10

00

100

Figure 10.9 – Projection des κt du modèle de Lee-Carter par un modèle demarche aléatoire avec une tendance linéaire avec les données complètes (àgauche) et les données après guerre (à droite).


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1.0

−0.

50.

00.

51.

01.

5

Age

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Figure 10.10 – Visualisation des pseudo-résidus, x 7→ εx,t.

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−1.

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1.0

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50.

00.

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5

Année

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Figure 10.11 – Visualisation des pseudo-résidus, t 7→ εx,t.

38 Chapitre 10

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