chapitre4 simplex

IntroductionObjectif

Mise sous forme standardAlgorithme du simplexe : Mthode algbrique

ExerciceMthode des tableaux

DgnrescencesMthode des deux phases

Lalgorithme du simplexe

Mohammed Saddoune

12 novembre 2013

Mohammed Saddoune Lalgorithme du simplexe





Introduction

Lalgorithme du simplexe est la mthode la plus utilise de larecherche oprationnelle. Cest Dantzig qui, dans un article paru en1949, a dcrit cet algorithme, qui constitue lpine dorsale de larecherche oprationnelle. Depuis, cet algorithme a fait lobjet deplusieurs centaines darticles scientifiques et a servi la rsolutionde nombreux modles linaires relatifs des problmes de gestion,de transport, daffectation...






Objectif

Lobjectif de ce chapitre est double :Prsenter les concepts de base de lalgorithme du simplexe ;Dcrire, laide dexemples numriques, comment rsoudre unmodle linaire par lalgorithme du simplexe.






Les variables dcart et les variables dexcdent

- Lalgorithme du simplexe permet doptimiser les modles linairescontinus dont les variables sont non-ngatives et dont lescontraintes sont crites sous formes dquations. Beaucoup deproblmes pratiques, toutefois, se modlisent de telle faon queplusieurs contraintes scrivent sous forme dinquations.- Afin de pouvoir utiliser lalgorithme du simplexe pour rsoudre cesproblmes, nous indiquons comment transformer un modlecomportant des contraintes des signes ou en un modlequivalent dont toutes les contraintes, sauf celles de non-ngativit,sont de signe =.






Problme de production

Une entreprise peut fabriquer, sur une machine donne, travaillant45 heures par semaine trois produits diffrents P1, P2 et P3. Cettemachine peut fabriquer un seul type de produits la fois ; ses tempsde rgalges sont ngligeables. Une unit du produit P1 laisse unprofit net de 4 euros, une de P2, un profit de 12 euros, et enfin, 3euros pour P3.Les rendements de la machine sont, respectivement pour les troisproduits, et dans le mme ordre : 50, 25 et 75 units par heure.On sait dautre part, grce une tude de march que lespossibilits de vente ne dpassent pas 1000 units de P1, 500 unitsde P2 et 1500 units de P3, par semaine.

Le problme est comment rpartir la capacit de production entreles trois produits, de manire maximiser le profit hebdomadaire.






Modle

Appelons x1, x2 et x3 les quantits respectives (inconnues) des produitsP1, P2 et P3 que nous avons fabriquer pour obtenir le profit maximal.

Formulation complte

Max z = 4x1 + 12x2 + 3x3 (1)subject to : (2)x1 1000 (3)x2 500 (4)x3 1500 (5)

150

x1 +125

x2 +175

x3 45 (6)xi 0, i (7)






Modle

Formulation complte

Max z = 4x1 + 12x2 + 3x3 (8)subject to : (9)x1 1000 (10)x2 500 (11)x3 1500 (12)

3x1 + 6x2 + 2x3 6750 (13)xi 0, i (14)






DfinitionLa mise sous forme standard consiste introduire des variablessupplmentaires (une pour chaque contrainte) de manire rcrire lesingalits () ou et () sous la forme dgalits.

une variable dcart reprsente le nombre de ressources non utilises.Elle sert transformer en quation la contrainte de signe .une variable dexcdent reprsente le nombre de ressources en excspar rapport au minimum exig. Elle sert transformer en quationla contrainte de signe .

En programmation linaire, lcriture des contraintes respectegnralement la covention suivante : les termes impliquant une variablesont tous placs gauche du symbole relationnel (=, , ) ; le termeconstant est isol droite et il est non ngatif.






Modle : Forme standard

Forme standardMax z = 4x1 + 12x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7sujet :x1 + x4 = 1000

x2 + x5 = 500x3 + x6 = 1500

3x1 + 6x2 + 2x3 + x7 = 6750x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 0,

Interprtation

Les variables x4, x5, x6 et x7 sont nommes variables dcart.x4 reprsente lcart la saturation du march en produit P1.Les variables dcart ont une contribution nulle la fonction objectif(ou conomique)






DfinitionUne solution de base est obtenue en annulant les n mvariables et en rsolvant les m contraintes pour dterminer lesvaleurs des autres m variables restantes.les n-m variables 0 sont des variables hors base.






Thorme 1La rgion ralisable pour tout problme de programmation linaireest un ensemble convexe. Si un PL possde une solution optimale,alors un point extrme de la rgion ralisable doit tre optimal.

Thorme 2Pour tout PL, il existe un point extrme unique de la rgionralisable qui correspond chaque solution de base ralisable.






Mthode de simplexe : pratiqueCest une procdure itrative qui passe dune solutionralisable de base une autre jusqu atteindre la solutionoptimale.

Le nombre de bases candidates ne peut pas excder Cnm+n.Une mthode base sur lexploration des points extrmes estce pendant non-polynomiale.lexprience montre que pour un problme de n variables et mcontraintes, la solution optimale est trouve en moyenne enmoins de 3m oprations.






Principe gnral1 Soit un programme linaire sous la forme standard constitu de n

variables et m contraintes (n m).2 Une solution de base est obtenue en annulant (n m) variables et

en rsolvant les m contraintes pour dterminer les valeurs des autresm variables.

3 Pour la mthode de simplexe, une solution ralisable de base initialeest demande. Dans notre cas par exemple, on peut commencer parla solution o on annule toutes les variables de dcision.

4 partir de ce point la mthode de simplexe va gnrersuccessivement des solutions ralisables de base pour notre systmedquations en sassurant que la valeur de la fonction objectif estentrain daugmenter jusqu localiser la solution optimale duproblme qui est un point extrme de lespace des solutionsralisables.






Appliquer cette mthode sur le problme de production.






Une compagnie alimentaire produit 2 types de produits (A et B) pourlesquels elle utilise 3 matires premires : bl, houblon et malt.

Bl Houblon Malt Bnfice (euros)Type A 2.5 kg 125 g 175 kg 65Type B 7.5 kg 125 g 10 kg 115

Quantits disponibles 240 kg 5 kg 595 kg

Table: Description des donnes

Pour fabriquer 1 tonneau du produit A, la compagnie utilise 2.5 kg debl, 125 g de houblon et 17.5 de malt. La fabrication de ce tonneaurapporte un bnfice de 65 euros. La mme chose pour le type B.

1 Modliser ce problme sous la forme dun programme linaire.2 Dterminer graphiquement la fabrication optimale de la production.3 Vrifier le rsultat par la mthode algbrique de simplexe.






Principe1- choisir le j le plus grand et positif

2- calculer les quotients iie o e reprsente lindice de la variablequi entrera dans la base. Prendre le rapport le plus petit.3- reprer le pivot lintersection de la ligne s (indice de la colonneassocie la variable xs sortante de la base) et de la colonne e(indice de la colonne associe la variable xe entrante dans la base).4- diviser les lments de la ligne s par le pivot se cest dire dansle tableau central et la colonne de droite.5- remplacer lindice du tableau de gauche, 2eme colonne, parlindice e de la colonne qui entre dans la base.6- remplacer le coefficient cs du tableau de gauche, 1ere colonne,par la valeur ce du coefficient de la fonction conomique.






Principe7- parmi les autres lignes du tableau, celles qui comportent un 0dans la colonne e qui entre dans la base (ke = 0 avec k 6= s) nesont pas modifes.8- les lments des autres lignes du tableau qui comportent unlment diffrent de 0 dans la colonne qui entre dans la base(ke 6= 0 avec k 6= s) sont modifies comme suit :

on multiplie les lments de la nouvelle ligne du pivot(dsormais ligne e) par cet lment ke diffrent de 0 et onsoustrait les rsultats aux lments correspondants de la ligne modifier.ce traitement est applicable aux lments du vecteur desseconds membres (). Il sapplique galement aux lments dela ligne z de la fonction conomique.






Dgnrescence de premire espcePour certains programmes linaires, loptimum peut tre ralis enplusieurs points de la frontire du domaine admissible : tous lespoints dune arrte ou dune facette sont alors optimaux. On ditquon a une Dgnrescence de premire espce

Exemple : Rsoudre le problme :

Max z = 6x1 + 4x2 (15)sous contraintes : (16)3x1 + 2x2 4 (17)3x1 + 2x2 16 (18)

x1 3 (19)x1, x2 0 (20)






Dgnrescence de deuxime espcePour certains programmes linaires, une ou plusieurs variables de labase optimale peut tre nulle. On dit quon a une Dgnrescencede deuxime espce


Max z = x1 + x2 (21)sous contraintes : (22)x1 + 4x2 22 (23)3x1 + 2x2 4 (24)3x1 + 2x2 16 (25)

x1 3 (26)x1, x2 0 (27)






Cas gnralEn gnral, un programme linaire peut comporter 3 types decontraintes (P), (Q) et (R) :

(P) :n

j=1aijxj bi

nj=1

aijxj + yi = bi (on introduit une variable dcart)

(Q) :n

j=1aijxj bi

nj=1

aijxj yi = bi (on introduit une variable dexcdant)

(R) :n

j=1aijxj = bi (on nintroduit ni variable dcart ni variable

dexcdant)Mohammed Saddoune Lalgorithme du simplexe





Cas gnral

Si toutes les contraintes taient de type (P), on serait dans lecas favorable trait plus haut.Si on se trouve avec des contraintes de type (Q) ou/et (R),alors on ajoute une nouvelle variable de coefficient 1 nommevariable artificielle.

les variables artificielles comme les autres variables sontpositives ou nulles.Normalement les valeurs des variables artificielles doivent trenulles, car si non, les contraintes sont violes.






Idepartir dune base comportant une ou plusieurs variables artificielles etobtenir, en itrant lalgorithme de simplexe, si possible une base sansvariables artificielles.






RsolutionPhase 1 : Introduire une nouvelle fonction conomique z qui consiste minimiser la somme des variables artificielles sous les mmes contraintesdu problme (la forme standard avec les variables artificeilles)Phase 2 :

Si z = 0, alors on a obtenu un sommet du polydre, partirduquel on reprend la rsolution du PL initial (donc avec la fonctionconomique z maximiser).

Si z > 0, alors toute base admissible du nouveau PL comporte aumoins une variable artificielle de valeur > 0. Donc le PL initial estimpossible (polydre vide = contraintes sont contradictoires)







Max z = 4x1 + 5x2 + 3x3 (28)sous contraintes : (29)

x1 + 2x2 + x3 5 (30)2x1 + x2 + x3 1 (31)

x1 + x2 = 4 (32)x1, x2, x3 0 (33)






Exercice 1 :

Dans une carrire, trois tailles t1, t2, t3 sont susceptibles de fournir uneextraction maximale journalire de respectivemente1 = 200, e2 = 500 et e3 = 300 tonnes de trois minerais. La productionjournalire est dabord stocke dans un local abrit, dune contenancemaximale de 1800 m3 et lon indique les volumes spcifiques respectifsdes trois minerais : 1.8, 2, et 2.2 m3/t.Le lendemain, les minerais sont lavs : la laverie dbite respectivement80, 90, et 100 tonnes lheure pour les produits extraits des taillest1, t2, et t3 ; en outre, son horaire journalier est limit 10 heures detravail.Enfin, les profits unitaires raliss sont, respectivement :p1 = 4, p2 = 5, p3 = 6 units montaires par tonne de minerai.

Quelle est la meilleure rpartition des quantits de minerais extraire ?






Exercice 2 :Rsoudre le problme :

Max z = 5x1 2x2 + 3x3 (34)sous contraintes : (35)

2x1 + 2x2 x3 2 (36)3x1 4x2 3 (37)x2 + 3x3 5 (38)x1, x2, x3 0 (39)


IntroductionObjectifMise sous forme standardAlgorithme du simplexe: Mthode algbriqueExerciceMthode des tableauxDgnrescencesMthode des deux phases

chapitre4 simplex

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