chapitres 5 et 6 : la géométrie analytique...0 chapitres 5 et 6 : la géométrie analytique ~...
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Chapitres 5 et 6 :
La Géométrie analytique
~ Notes de cours ~
Chapitre 5.1
La pente d’une droite
Chapitre 5.2
La distance entre 2 points
Chapitre 5.3
L’équation d’une droite
Les droites parallèles
Les droites perpendiculaires
Chapitre 5.4
Le point de partage
Le point milieu
Chapitre 6.1
La méthode de substitution
Chapitre 6.2 La méthode de réduction
Chapitre 6.3 Le point de partage
Les systèmes d’équations
particuliers
Mathématiques 4e secondaire CST
Collège Letendre
2015-2016
Nom : _____________________________
Groupe : ________________
Document préparé par Christian Desjardins et Josiane Richard
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Chapitre 5.1
La pente Toutes les droites peuvent être définies par 2 points dans le plan cartésien. Cette droite forme alors un angle avec l’axe
_________________________. Cet angle donne une inclinaison à la droite qu’on appelle ________________. (En
secondaire 3, dans le chapitre des fonctions en contexte, la pente est reconnue sous le nom du taux de variation)
Il existe 4 types d’inclinaison de la droite (4 pentes)
Deux choses influencent la pente
- L’accroissement des ordonnées : ____________
- L’accroissement des abscisses : ____________
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____________________________________ __________________________________
____________________________________ __________________________________
_____________________________________ __________________________________
Attention ! Si la pente est un nombre entier, cela veut dire que l’accroissement des abscisses est 1.
Pente = 2 =
Exemple 1 : Trouve la pente de la droite passant par les points 𝐴( 1 , 6 ) et 𝐵 ( −7 , 12 ).
La pente = ________ = ___________
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Exemple 2 : Soit 𝐴 ( 2 , 5 ) et la pente -3/4, trouve 3 autres points sur cette droite.
L’énigme des triangles
Explication de l’énigme des triangles grâce à la pente :
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Exercices
1) Calculez la pente de chacun des segments.
a)
b)
c)
d)
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2) À l’aide de la pente et des coordonnées de deux points appartenant à une même droite fournis ci-dessous,
déterminez la valeur de la coordonnée manquante (x ou y)
a) 𝐴 (2,1), 𝐵(9, 𝒚), pente de -5 b) 𝐴 (−2, 𝒚), 𝐵(0,6), pente de
1
4
c) 𝐴 (0,0), 𝐵(𝑥, 1), pente de 10 d) 𝐴 (−19, 𝑦), 𝐵(−11,5), pente de 0
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Rappel : Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse au carré est égale à la somme du carré des cathètes.
(𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒)2 = (𝐶𝑎𝑡ℎè𝑡𝑒 1)2 + (𝐶𝑎𝑡ℎè𝑡𝑒 2)2
Écriture et symbole mathématiques : Il y a deux façons différentes d’écrire l’équation du le théorème de Pythagore.
Avec des côtés Avec des sommets
Cathète 1
Cathète 2
a
b
c
A
B
C
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Chapitre 5.2
La distance entre deux points dans le plan cartésien
La ________________________ entre deux points dans le plan cartésien correspond à la__________
_________________________________________________________________________________
La distance entre deux point dans le plan cartésien se calcule de la même façon que l’on calcul la longueur de
l’hypoténuse dans un triangle rectangle. On note _______________________________ la distance entre les points A et
B.
Attention! La PENTE et la DISTANCE entre deux points ne sont pas le même CONCEPT!!
La PENTE utilise les accroissements en y et en x afin d’exprimer un taux qui exprime l’inclinaison de la droite.
La DISTANCE utilise la différence entre les points x et y afin de trouver la MESURE du segment. La distance est une
mesure en unité (cm, m, km, etc.)
La distance en les points A et B = ___________ = __________________________
𝐴( 𝑥1 , 𝑦1 )
𝐵( 𝑥2 , 𝑦2 )
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Exemple 1: Trouve la distance entre 𝐴( 3 , 7 ) et 𝐵(5, −2).
Exemple 2 : Si je sais que 𝑑( 𝐶, 𝐷 ) = 15 unités, que 𝐶( 2 , 7) et que 𝐷( 11, 𝑦2). Quelle est la valeur de 𝑦2 ?
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EXERCICES : Calculez la distance entre les points :
a) A(0, 0) et B(3, 4)
b) C(–2, 7) et D(–7, 19)
b) E(8, 8) et F(2, 16)
d) G(–13, 0) et H(–3, –24)
e) I(1, 0) et J(3, –4)
f) K(200, 12) et L(2, 325)
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Chapitre 5.4
Le point de partage Le point de partage est un point qui partage un segment dans une fraction ou un rapport.
Exemples :
Dans une fraction
Dans un rapport
En résumé,
E F
A B
P
P
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Exercices sur les rapports et les fractions d’un segment
Segment P est au ___ de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅
P est au ___ de 𝑩𝑨̅̅ ̅̅
P partage 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ dans le rapport ____
P partage 𝑩𝑨̅̅ ̅̅ dans le rapport ____
𝟐
𝟕
𝟑
𝟓
𝟐 ∶ 𝟑
𝟐 ∶ 𝟑
𝟏
𝟒
𝟏 ∶ 𝟑
𝟏
𝟐
𝟒 ∶ 𝟏
A B
A B
A B
P
P
P
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
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Formule du point de partage
Trouver le point de partage c’est trouver les coordonnées du point qui partage un segment.
Si un point P se trouve au 2/3 de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , chacune de ses coordonnées est aussi au 2/3 de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Exemple : 𝐴(2 , 4 ) et 𝐵( 7 , 14 ). Trouve les coordonnées du point qui se situe au 4
5 de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
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Pour le point qui est au milieu d’un segment. Il existe une formule simplifiée.
Exemple :
𝐴(3 , 7 ) et 𝐵( 5 , 15 ). Trouve les coordonnées du point qui se situe au milieu de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
EXERCICES : Complétez le tableau ci-dessous.
Coordonnées du point A
Coordonnées du point B
Coordonnées du point milieu
de AB
Coordonnées du point situé
aux 3
2 de AB
Coordonnées du point qui
partage AB dans
un rapport 2 : 3
(23, 0) (14, 21)
Calculs :
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Coordonnées du point A
Coordonnées du point B
Coordonnées du point milieu
de AB
Coordonnées
du point situé
aux 3
4 de AB
Coordonnées du point qui partage AB
dans un rapport 3 : 4
(–6, 38) (–36, 23)
Calculs :
Coordonnées du point A
Coordonnées du point B
Coordonnées du point milieu
de AB
Coordonnées
du point situé
aux 1
5 de AB
Coordonnées du point qui partage AB
dans un rapport 1 : 6
(8, –9) (–12, 4)
Calculs :
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Chapitre 5.3
Rappel Pour trouver l’équation d’une droite j’ai besoin de deux points :
Si une droite passe par les points suivants A(-1,1) et B(3,-6), trouve son équation ?
Calcul de l’abscisse à l’origine Calcul de l’ordonnée à l’origine
Équation de la droite sous la FORME CANONIQUE
L’équation de la droite sous la forme : ________________ est écrite sous la
forme _________________________.
Le forme fonctionnelle est bien pratique car le paramètre ____________ nous donne des renseignement sur
________________________ et le paramètre ___________ nous donne _____________________________.
Cependant, elle présente un désavantage. Elle ne représente que les graphiques de fonctions. Elle ne
représente pas les relations non fonctionnelles, donc _______________________________________.
Pour contrer ce phénomène, on a inventé la _____________________________.
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La forme générale d’une équation nécessite deux choses :
- ____________________________________________________________
- ____________________________________________________________
On aura donc,
*Attention*
Les lettres A, B et C de la forme générale sont en MAJUSCULE. Les lettres A et B ne représentent PAS les
mêmes paramètres que le ____ et le _____ de la forme canonique. Nous verrons les paramètres de la forme
générale plus tard.
Deux cas particulier : les équations des droites verticales et les droites horizontales
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Exercices :
Exprimez chacune des équations ci-dessous sous la forme CANONIQUE 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
a) 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 b) – 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0
c) – 3𝑥 + 6𝑦 − 10 = 0
d)6𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 e) 22𝑥 + 11𝑦 − 1 = 0 f) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
g) 12𝑥 + 7𝑦 = 10
h) 8𝑥 − 3 = 4𝑦 + 5
i) 2𝑥−1
12=
𝑦−5
10
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La position entre deux droites dans le plan cartésien peut prendre les quatre
possibilités suivantes :
__________________ __________________ __________________ ____________________
__________________ __________________ __________________ ____________________
Le système
d’équations admet :
__________________
Le système
d’équations admet :
__________________
*Le système
d’équations admet :
__________________
*Le système
d’équations admet :
__________________
Avec les équations des droites, on peut déterminer leur position relative dans le plan.
LES DROITES PARALLÈLES Dans le plan cartésien, deux droites sont ______________________ si elles ont __________________________.
Exemple : Quelle est la position de ces deux droites dans le plan?
𝑦 =2
3𝑥 + 3 0 = 4𝑥 − 6𝑦 − 12
Les droites sont : ____________________________________
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Remarque sur les droites parallèles : Des droites parallèles ont la même pente, mais pas nécessairement la même ordonnée à l’origine. Il existe alors une infinité de droites parallèles à une autre.
LES DROITES PARALLÈLES CONFONDUES Dans un plan cartésien, deux droites sont ________________________________ si elles ont la même équation.
(i.e. même _______________, même ____________________________________).
Exemple : Quelle est la position de ces deux droites dans le plan?
𝑦 =4
3𝑥 + 2 0 = 4𝑥 − 3𝑦 + 6
Les droites sont : ____________________________________
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LES DROITES PERPENDICULAIRES
Dans un plan cartésien, deux droites sont _________________________, (forment un angle ______________)
si la __________________de l’une des droites est ________________________________________ de l’autre.
Exemple : Quelle est la position de ces deux droites dans le plan?
𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 =−1
2𝑥 + 4
REMARQUE IMPORTANTE* : Il est à noter que le paramètre b (_________________________)
peut prendre n’importe quelle valeur puisqu’il existe une ____________________de droites
_____________________________________________à une autre.
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Exercices
1) Trouver l’équation des droites perpendiculaires aux droites suivantes :
2) Trouver les équations des droites demandées :
Équation de la
droite
Pente de la droite
Opposé de l’inverse de la
pente
Équation d’une droite
perpendiculaire à la droite *plusieurs réponses possibles
a) 𝑦 = 4𝑥 + 1
b) 𝑦 = −5𝑥 + 2
c)
𝑦 =1
3𝑥 − 3
d) 𝑦 = 0,4𝑥 + 15
Équation de la droite AB
Équation d’une droite parallèle à la droite AB
*plusieurs réponses possibles
Équation d’une droite perpendiculaire à la droite AB
*plusieurs réponses possibles
y 12x 5
y –5x 9
y 2
1x 2
y 5
4 x
5
4
2x y 5 0
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Trouver l’équation d’une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre
connaissant un point
Voici des renseignements concernant deux droites :
• L’équation de la droite d 1 est y 3x 2.
• La droite d 2 passe par le point A (2, 5).
a) Si la droite d 2 est PARALLÈLE à d 1, exprimez son équation sous la forme canonique.
b) Si la droite d est PERPENDICULAIRE à d 1, exprimez son équation sous la forme canonique.
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Chapitre 6
Résoudre un système d’équations Rappel : Qu’est-ce qu’un système d’équations du 1er degré à deux
variable?
C’est un ensemble de deux ou plusieurs équations qui sont toutes du
premier degré (des droites). Ces droites peuvent être exprimées sous la
forme générale, sous la forme fonctionnelle ou sous une autre forme.
3𝑥 + 𝑦
3= 2
3𝑥 – 2𝑦 = 8
Résoudre un système d’équations du 1er degré à deux variables
On cherche le point d’intersection (un couple(𝒙, 𝒚)). Les coordonnées du point d’intersection des deux droites
constituent la solution du système d’équations associé à ces deux droites.
Les trois méthodes pour résoudre un système d’équations algébriquement On peut résoudre un système de deux équations par les trois différentes méthodes algébriques suivantes :
Méthode de comparaison
(vue en 3e secondaire.𝑦1 = 𝑦2)
Cette méthode apprise en 3e secondaire est utilisée lorsque les 2 équations sont sous la forme
___________________________. Les deux équations comportent la même variable isolée (soit 𝑦 ou 𝑥). On
peut alors établir une comparaison entre les membres des équations impliquant la variable non isolée
(les 𝑥).
Exemple :
𝒚𝟏 = 𝟒𝒙 − 𝟕
𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟏
𝑦 = −2𝑥 − 4
2𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0
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Chapitre 6.1
Méthode de substitution
Cette méthode est utile lorsque les 2 formes (____________________ et __________________) sont
représentées dans le système d’équations. L’équation sous la forme fonctionnelle comporte une variable
isolée, on remplace alors, dans l’autre équation, la variable correspondante par la valeur de la variable
isolée. On forme ainsi une équation à une seule variable.
Exemple 1 :
𝑦 = 4𝑥 + 5
2 𝑥 + 7 𝑦 + 11 = 0
Exemple 2 :
3𝑥 – 2 𝑦 = 5
𝑦 = – 𝑥 – 4
Chapitre 6.2
Méthode de réduction
Cette méthode est utile lorsque les deux équations sont sous la forme
______________________ ou lorsque les deux variables 𝑥 et 𝑦 des équations sont du même
côté du signe d’égalité. On doit les transformer afin d’obtenir des équations équivalentes dans
lesquelles les termes en 𝑥 ou en 𝑦 auront le même coefficient. On élimine ensuite une des
variables en soustrayant les 2 équations l’une de l’autre.
Exemple 1 : ÉLIMINER LA VARIABLE X
4𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0
6𝑥 + 5𝑦 − 12 = 0
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Exemple 2 : ÉLIMINER LA VARIABLE Y
– 3𝑥 7𝑦 = 8
– 4𝑥 𝑦 = – 6
Exemple 3 : AVEC UN COEFFICIENT NÉGATIF
−2𝑥 + 10𝑦 = −17
𝑥 − 3𝑦 = 12
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Chapitre 6.3
Les trois cas de système d’équations La résolution d’un système d’équation du 1er degré à deux variables peut mener à trois cas possibles :
1er cas : Les droites sont SÉCANTES ou PERPENDICULAIRES
Il y aura une solution au système d’équations puisqu’il existe ______________ point
d’intersection.
Exemple :
𝑦2 = 4𝑥 – 2
__________________________
Les deux droites sont :_
__________________________
__________________________
__________________________
Les deux droites sont :_
__________________________
__________________________
Les deux droites sont :
__________________________
𝑦1 = 3𝑥 + 4
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2e cas : Les droites sont PARALLÈLES
Il n’y aura pas de solution au système d’équations. Algébriquement, les variables vont disparaître
et on arrivera à une égalité qui est toujours ________________. Cela s’explique par le fait qu’il
n’y a jamais de point d’intersection car les droites sont parallèles.
Exemple :
𝑦 = 7𝑥 + 5
3e cas : Les droites sont PARALLÈLES CONFONDUES
Il n’y aura pas de solution au système d’équations. Algébriquement, les variables vont disparaître
et on arrivera à une égalité qui sera toujours _______________. Cela s’explique par le fait que
les deux droites seront toujours une par-dessus l’autre, alors elles sont toujours égales (donc une
infinité de couples solutions)
Exemple :
𝑦 = −𝑥 − 4
21𝑥 − 3𝑦 = −3
−3𝑥 − 3𝑦 = 12
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Étapes pour traduire et résoudre un système d’équations à partir d’un contexte
1. Identifier les variables (𝑥 et 𝑦)
2. Traduire les énoncés du contexte en équations mathématiques.
3. Résoudre le système d’équations en utilisant l’une des 3 méthodes
(comparaison, réduction ou substitution)
4. Répondre à la question par une phrase. ( 𝑥 vaut….. et 𝑦 vaut…..)
a) Une copie couleur coûte 3 ¢ de plus que le triple du prix d’une copie en noir et blanc. Pour 8 copies
couleur et 6 copies en noir et blanc, il a fallu débourser 1,38 $. Si x représente le prix d’une copie en
noir et blanc et y, le prix d’une copie couleur, déterminez deux équations qui traduisent cette
situation, puis trouver le prix de chacune des photocopies
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b) Pour une fête, on prévoit distribuer 4 rafraîchissements à chacun des 222 invités. Lors de
l’inventaire, les responsables ont constaté qu’il y avait 8 jus de plus que le quadruple du nombre de
thés glacés. Combien y a-t-il de rafraîchissements de chaque sorte ?
c) Un éleveur possède 225 animaux, répartis entre 2 espèces, soit les poulets et les moutons. Si 774
pattes foulent ses terres, combien y’a-t-il d’animaux de chaque espèce ?