chapter 2 열전도방정식 -...

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Chapter 2 열전도방정식 본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고 하였습니다. 참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011 <학습목표> 1. 다차원성 및 시간에 의존하는 열전달 문제 및 열전달 문제를 1차원화할 수 있는 조건에 대해 이해한다. 2. 각종 좌표계 하에서의 열전도 미분방정식을 구한 후, 1차원 정상상태 방정식으로 단순화하는 과정을 이해한다. 3. 표면에서의 열조건에 대한 이해와 이를 경계 및 초기 조건의 항으로 수 학적으로 표현하는 방법을 찾는다. 4. 1차원 열전도 문제 해법과 매체와 열유속에서의 온도분포를 구한다. 5. 열원을 갖는 고체의 1차원 열전도를 해석한다. 6. 온도의 함수인 열전도도를 갖는 고체의 열전도를 해석한다.

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Chapter 2 열전도방정식본 자료의 모든 그림, 표, 예제 등은 다음의 문헌을 참고하였습니다. 참고문헌 : Yunus A. Cengel and Afshin J. Ghajar, "Heat and mass transfer (Fundamentals and applications)", 4th ed., McGraw-Hill Korea, 2011

<학습목표>1. 다차원성 및 시간에 의존하는 열전달 문제 및 열전달 문제를 1차원화할

수 있는 조건에 대해 이해한다.2. 각종 좌표계 하에서의 열전도 미분방정식을 구한 후, 1차원 정상상태

방정식으로 단순화하는 과정을 이해한다.3. 표면에서의 열조건에 대한 이해와 이를 경계 및 초기 조건의 항으로 수

학적으로 표현하는 방법을 찾는다.4. 1차원 열전도 문제 해법과 매체와 열유속에서의 온도분포를 구한다.5. 열원을 갖는 고체의 1차원 열전도를 해석한다.6. 온도의 함수인 열전도도를 갖는 고체의 열전도를 해석한다.

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2.1� 서� � � � 론

열전달은�크기와�방향을�가짐.

� � � (a)직각좌표계� � � � � � (b)원통좌표계� � � � � � � (c)구좌표계

<�정상상태�대�비정상상태�열전달� >

정상상태:� 매개물내의�어떤�점에�대해서�시간에�따른�변화가�없음

비정상상태:� 시간에�따라�변하는�시간종속을�의미

<� 다차원�열전달� >

Fourier의�열전도�법칙(1차원)� : 

(k:� 열전도도 dT/dx:� T-x선도에서�기울기를�나타내는�온도구배)

Fourier의�열전도�법칙(3차원)� :�

직각좌표에서� � � �

� �

등방성� :� 모든�방향에서�물성치�같음

이방성� :� 방향에�따라�물성치�변함

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<� 열발생� >

열발생� :� 전기,� 핵� 또는�화학적�에너지가�열에너지로�변환하는�과정� (=열에너지)

열발생률� :� 단위체적당�값,� 으로�표시� (단위가 )

체적� 의�매체의�총�열발생률

2.2� 1차원�열전도�방정식

<� 대형� 평면벽에서의�열전도� >

(x에서�열전도율)� -� ((x+Δx)에서� 열전도율)� +� (요소의�열발생률)� =� (요소의�에너지�변화율)또는

.Q x

� -.Q x+ Δx

� +�.G element

� =�ΔE element

Δt

.Q x

� -.Q x+ Δx

� +�.gAΔX� =� ρCAΔx T t- Δt- T t

Δt

가변�열전도도:� �∂∂x(k

∂T∂x

)+.g= ρC

∂T∂t

일정�열전도도:∂ 2T∂ 2x

+

.gk=

∂Tα∂t

(1)정상상태:∂ 2T∂ 2x

+

.gk=0

(2)비정상상태�열발생이�없는�경우:∂ 2T∂ 2x

=∂Tα∂t

(3)정상상태�열발생이�없는�경우:�∂ 2T∂ 2x

=0

<� 긴� 원통에서�열전도�방정식� >

(r에서� 열전도율)-(r+Δr에서� 열전도율)+(요소� 내부의�열발생율)=(요소내부의�에너지�변화율).Q r

� -.Q r + Δr

� +�.G element

� =�ΔE element

Δt

.Q r

� -.Q r + Δr

� +�.gAΔr� =� ρCAΔr T t- Δt- T t

Δt

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가변�열전도도:�∂ 2T∂ 2x

+∂ 2T∂ 2y

+∂ 2T∂ 2z

+

.gk=

∂Tα∂t

일정�열전도도:�1r

∂∂r(r

∂T∂r

)+

.gk=

1α∂T∂t

(1)정상상태:�1r

∂∂r(rk

∂T∂r

)+.g=0

(2)비정상상태,� 열발생이�없는�경우� :�1r

∂∂r( r

∂T∂r

)=1α∂T∂t

(3)정상상태,� 열발생이�없는�경우:1r

∂∂r(r

∂T∂r

)=0

<� 구에서의�열전도�방정식� >

가변�열전도도:�1

r 2

∂∂r( r 2k

∂T∂r

)+.g= ρc

∂T∂t

일정�열전도도:�1

r 2

∂∂r( r 2 ∂T

∂r)+

.gk=

1α∂T∂t

(1)정상상태:�1

r 2

∂∂r( r 2 ∂T

∂r)+

.gk=0

(2)비정상상태,� 열발생이�없는�경우:�1

r 2

∂∂r( r 2 ∂T

∂r)=

1α∂T∂t

(3)정상상태,� 열발생이�없는�경우:� �1

r 2

∂∂r( r 2 ∂T

∂r)=0�

⋇복합� 1차원�열전도�방정식평면벽,� 원통�및�구에서�각각의� 1차원�비정상�열전도�방정식

1

r n

∂∂r( r nk

∂T∂r

)+.g= ρc

∂T∂t

여기서�평면벽의�경우� n=0,� 원통은� n=1,� 구는� n=2

평면벽의�경우�변수를� r대신� x로�대치함.

(이식은� � 정상상태�또는�열발생이�없는�경우에�단순화�될� 수� 있음.)

예제� 2-3� 전열기의�열전도.

열전도도� k=15W/m℃,� 지름� D=0.4cm,길이� L=50cm인� 2kW� 전열기가�그림� 2-27과� 같이� 물속에�잠겨서� 물을� 끓이는데�사용된다.� 전열선의�온도에�따른� 열전도도의�변화는� 무시하고�정상작동�

중에�저항선의�온도�변화를�나타내는�미분방정식을�구하라.

sol)� �.G=⌠⌡v

.gdv� � � � � � � � � �

.g=

.GV=

.G

(π D 2/4)L=

2000W[π (0.004m) 2/4](0.5m)

=0.318* 10 9W/ m 3

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열전도도는�일정하고�전선의�온도변화를�지배하는�미분방정식은�아래와�같다.

� � �1r

∂∂r(rk

∂T∂r

)+.g=0

2.3� 일반적인�열전도방정식

<� 직각좌표계� >

� �

길이�∆ ,� 폭�∆,� 높이�∆인�직육면체

∆동안�이�직육면체에�대한�에너지�균형

∆ ∆

∆ ∆

∆� � � � (2-1)

직육면체의� 체적은� ∆∆∆이고,� 직육면체의� 에너지� 변화와� 열발생률은�

다음과�같이�표현된다.

∆ ∆ ∆ ∆∆∆∆

∆∆∆

위의�두식을� (2-1)식에�대입하면,� 다음�식을�얻는다.

∆ ∆ ∆∆∆ ∆∆∆ ∆

이�식을�∆∆∆로�나누면�다음�식이�된다.

∆∆

∆∆

± ∆∆

방향에서� 전도된� 열전달� 면적은� 각각 ∆∆ ∆∆ ∆∆이

고�∆∆∆그리고�∆→의�극한을�취하면�다음과�같다.

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위�식은�직각�좌표계에서의�일반적인�열전도방정식이다.

일정�열전도도인�경우,� 특정�조건하에서는�다음과�같다.

(1)� Steady–state:� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

(2)� Transient,� no� heat� generation:� � � � � �

(3)� Steady-state,� no� heat� generation:� � � �

<� 원통좌표계� >

� �

직각좌표계에서와�같은�방법으로�식을�유도하면�다음�식을�얻을�수� 있다.

일정�열전도도인�경우,� 특정�조건하에서는�다음과�같다.

(1)� Steady–state:� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

(2)� Transient,� no� heat� generation:� � � � � �

(3)� Steady-state,� no� heat� generation:� � � �

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<� 구좌표계� >

앞에서�한�방법으로�그대로�유도를�하면�다음과�같은�식을�얻는다.

일정�열전도도인�경우,� 특정�조건하에서는�다음과�같다.

(1)� Steady–state:� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

(2)� Transient,� no� heat� generation:� � � � � �

(3)� Steady-state,� no� heat� generation:� � � �

예제2-5� 공기중에서�뜨거운�금속구의�냉각

� 반지름� R인� 금속구는� 오븐에서� 600℉의� 온도로� 가열된다.� 그런� 다음� 오븐에서� 꺼내� T=75℉의� 공기중에서� 대류와� 복사에� 의해� 냉각된다.� 금속구의� 열전도도는� 온도에� 따라� 선형적으로� 변한다.� 금속구는� 바깥표면으로부터� 균일하게� 냉각된다고� 가정하고� 냉각기간� 중� 금속

구의�온도�변화를�나타내는�미분방적식을�구하라.

풀이� )� 열전도도는� 변하고� 구의� 열발생은� 없다.� 그러므로� 구� 내부의� 온도� 변화를� 지배하는� 미분

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방정식은�아래와�같다.

� � � �

2.4� 경계조건과�초기조건

경계에서�열적조건의�수학적�표현을�경계조건이라�함.�

또한� 열전달� 문제를� 완전히� 기술하기� 위해서� 두개의� 경계조건은� 반드시� 열전달이� 일어

나는�각�방향으로�주어져야�함.

시간� t=0일� 때의� 주어지는� 조건을� 초기조건이라� 하며,� 이는� 초기일�

때� 매체�온도분포에�대한�수학적�표현임.�

실제로� 주어진� 온도,� 열유속,� 내류� 및� 복사등이� 흔히� 접하게� 되는� 경

계조건.

직각�좌표계의�경우�초기�조건은� T(x,y,z,0)� =� f(x,y,z)

여기서�함수� f(x,y,z)는� � t=0� 일�때�매체의�온도�분포

1� 주어진�온도�경계조건

두께� L의� 평면벽을�통한� 1차원�열전달의�경우

T(0� ,� t)� =� T1� �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � T(L� ,� t)� =� T2� � � � (� 제� 1경계조건)

T1,� T2는�각각� x=0,� x=L에서의�표면온도.

주어진�온도는�정상�열전도인�경우에는�일정,� 시간에�따라�변할�수도�있음.

2� 주어진�열유속�경계조건

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q� =� =(양의� x방향으로�열유속)� � (W/m )� � � � (제� 2�

경계조건

매체의� 경계를� 포함한� 어떤� 위치에서� 양의� x방향으로� 열

유속은� Fourier의� 열전도�법칙에�의해�표현할�수�있음.

� � �

� � � 특별한�경우� :� 단열경계

� =� 0� � � 또는� � � =� 0

단열면에서�그�면은�온도의�기울기가� 0이므로�온도함수는�그� 면에�수직이어야�함.

� � � 다른�특별한�경우� :� 열적�대칭성

� =� 0

왼쪽의� 그림에서� 보는� 것과� 같이� 중심인� x=L/2인� 중심을� 기준으로� 열적대칭성을� 갖음.�

평판의�중심은�단열면으로�간주될�수�있으며,� 좌우�대칭적인�열적조건을�갖음.�

3� � 대류�경계조건

대부분의� 열전달� 표면은� 특정한� 온도를� 가진� 주위에� 노출되

어� 있기� 때문에� 대류는� 실제로� 가장� 흔히� 접하는� 경계조건.�

대류� 경계� 조건은� 표면에서의� 에너지� 균형에� 근거를� 두고� 다

음와�같이�표현됨.

(표면에서�지정된�방향으로의�열전도)=(표면에서�같은�방향으로�

열대류)

두께� L의� 평판에서� x방향으로의� 1차원�열전달의�경우�표면에서의�대류�경계조건은�다음

과�같음.

그리고

=

왼쪽�상단� 그림에서� 과 는� 열전달� 계수,� 과� 는� 평판�양

쪽에서의� 주위� 매체의� 온도.� 경계에서� 열전달의� 가정된� 방향은� 경

계조건� 표현에� 영향이� 없고,� 그� 부호로써� 그� 방향만을� 표시함.� (다

만� 평면벽에� 관한� 대류문제의� 경우는� 그� 전달수단이�대류에서�전도

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로�바뀌는�것뿐임.)

4� � 복사�경계조건

표면과�주위사이의�복사�열전달�메커니즘.

(표면에서의�지정된�방향으로�열전도)=(표면과�같은�방향으로의�복사열교환)

두께� L인� 평판에서� x방향으로� 1차원� 열전달의� 경우,� 복사� 경계조건은� 다음과� 같이�

표시된다.

=

� � 그리고�

, 는� 표면에서의� 방사율,� =5.67×10-8W/m2․K4으로�Stefan-Boltzman상수

5� � 접촉면�경계조건

접촉면� 또는� 계면에서의� 경계조건은� 다음의� 요구조건에�

바탕을�둠.�

(1)접촉한� 두� 물체는� 반드시� 접촉면에서� 동일한� 온도를�

가짐.

(2)� 접촉면은�에너지를�저장할�수� 없으며,� 접촉면�양족에서의�열유속은�같음.

왼쪽� 그림과� 같이� x=x0에서� 완전히� 접촉한� 두� 물체� A와� B의� 접촉면에서의� 경계조

건은�다음과�같이�표현됨.

그리고�

=

6� � 일반화된�경계조건

일반적으로�표면에서의�열전달은�대류,� 복사�및� 지정된�열유속�등을�함께�포함.� 이� 경우�

경계조건은�다시�표면의�에너지�균형으로부터�표시됨.

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(모든�모드에서�표면으로�열전달)=(모든�모드에서�표면으로부터의�열전달)

열전달� 문제는� 다른� 표면에서� 다른� 경계조건을� 갖으며� 다른� 경계에서는� 어떠한� 조건도�

주어지지�않는�반면�동일경계에�한� 방향으로�두� 개의�경계조건들이�주어질�수� 있음.

예제� 2� – 6� 열유속�경계조건전기� 가열기� 위에� 올려� 놓고� 쇠고기를� 요리하는� 알루미늄팬을� 생각.� 팬� 바닥면의� 지름D=20cm

이고� 두께L=0.3cm.� 전기� 가열기의� 가열장치는� 요리중에� 800W의� 전력을� 소비하고� 발생된열의�

90%가� 팬에� 전달된다.� 정상� 작동중에� 팬� 안쪽� 면의� 온도가� 110℃로� 측정.� 요리를� 하는� 동안�팬� 바닥�부분의�경계조건을�나타내라.

Sol� )�

-� 해석� :� 팬의� 바닥에서� 열전달은� 1차원으로� 근사� 할� 수� 있음.� 바닥의� 바깥면과� 안쪽� 표면은� 각

각� x=0,� x=L로� 나타낼수�있음.� 정상작동시� T=T(x)

표면에서� 800W중� 90%인� 720W가�전달

x=0� 팬의� 바깥면에서�경계조건� :� � � -kdT(0)dx

=.q 0

여기서.q 0=

열전달률바닥면적 =0.720kW

π (0.1m) 2=22.9kW/ m 2

안쪽면의�경계조건� T ( L)=110℃� �여기서� L=0.003m

예제� 2� – 8� 대류,� 복사�그리고�열유속의�복합조건� 두께� L=0.2m인� 남향집의� 벽을� 생각.� � 벽의� 바깥면은� 태양� 복사에너지에� 노출되어� 있고� 태양에�

대한� 흡수율α=0.5이다� 집안의� 온도 T ∞1=20℃로� 유지되고� 바깥공기의� 온도� T ∞2=5℃로�

유지됨.� 하늘� 지면� 그리고� 주위� 건축물의� 표면은� 벽의� 바깥� 표면에서� 복사교환이� 일어날� 수� 있

는� 표면으로�유효온도 T sky=225K로�모델화�할수� 있다.� 벽의� 안쪽면과�바깥면�바닥� 그리고�천

정� 사이에서의� 복사는� 무시됨.� 벽의� 안쪽과� 바깥면에서의� 대류열전달계수는� 각각�

h 1=6W/ m2℃와� h 2=25W/ m 2℃.� 열전도도� k=� 0.7W/m℃,� 벽의� 바깥면의� 방사율

ε 1=0.9� 벽을� 통한� 열전달은� 1차원� 정상상태라고� 가정,� 벽의� 안쪽과� 바깥면에서의� 경계조건

을�표시.�

Sol� )�

x=0� 안쪽면에서의�경계조건� :� 대류조건.

� -kdT(0)dx

= h 1 [ T ∞,1-T(0)]

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x=L� 바깥쪽면에서의�경계조건� :� 전도,� 대류,� 복사,� 지정된�열유속�포함.

는�입사�태양� 열유속

2.5� 1차원�정상�열전도�문제�해

열전도�문제를�풀이하는�절차는�다음과�같이�요약가능

(1)� 가장� 간단한� 형태로� 적합한� 미분방정식� 세우고,� 경계조건을� 지정하

여�문제를�수식화

(2)�미분방정식에�대한�일반해를�구함

(3)�경계조건을�적용하고,�일반해에서�임의의�상수를�정함

예제� 2� – 10� 평면벽에서의�열전도두께L=0.2m인� 대형� 평면벽을� 생각해보자.� 열전도도는� k=1.2W/mk이고� 면적은� A=15㎡이다.�벽의�양쪽면은�그림� 2-40과� 같이�각각� T1=120℃와� T2=50℃로�일정하게�유지된다.(a)x=0.1m에서의�온도와�벽� 내의�온도변화를�구하고

(b)정상상태하에서�벽을�통한� 열전도율을�구하라.

Sol� )�

-� 해석� :

(a)�

경계조건� ℃

x에� 대하여�한번� 적분하면

� (C1=임의�상수)

한번�더�적분하면

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첫�번째�경계조건은� ×→

두�번째�경계조건은� → →

C1,� C2값을�일반해에�대입하면

따라서,� 주어진�경계조건에�따라� T(0)=T1� T(L)=T2이�된다.

x=0.1m�일�때

℃℃℃

(b)열전도율은� Fourier의� 법칙으로�부터�구함

예제� 2� – 11� 다양한�경계조건을�가진�벽� 두께L과� 일정한�열전도도k� 그리고� 열발생이� 없는�큰� 평면적에서의� 1차원� 정상� 열전도를� 생각해�

보자.� 다음의�경계조건들에�대한�벽�내의� 온도변화를�구하라(그림2-43)

and ℃

and

and

Sol� )�

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(C1� C2는�임의의�적분상수)

-� 해석� :�

(a)경계x=0,x=L�

경계조건을�적용하면

→ →

→ ×→

적분상수를�대입한�특별�해는�

(b)두� 개의� 경계에서�서로�다른�열유속을�가진다

→ →

→ →

(c)두� 경계들에서�동일�열유속이�주어진�경우

→ →

→ →

두�개의�경계에서�상수� C1은�같은�값이고,� C2값은�없음

상수� C1을�대입한�특별해는�다음을�구할�수�있음

예제� 2� – 12� 다리미�바닥판에서의�열전도� 두께L=0.5cm,� 바닥면적� A=300㎠,� 열전도도� k=15W/mk인� 1200W의� 다리미� 바닥판에� 대해서� 생각해보자.� 그림� 2-45에서와� 같이� 바닥판의� 내부면은� 열저항� 코일에� 의해� 면전체에� 균일하

게� 가열되고,� 받가판의� 외부면은� T∞=20℃의� 주위로� 대류열전달로� 열을� 빼앗긴다.� 대류열전달계수� h=80W/㎡k이며� 복사에� 의한� 열손실을� 무시할� 때,� 바닥면의� 온도변화식과� 바닥면� 내부와� 외부의�표면온도를�구하라.�

Sol� )�

-� 해석� :� 균일� 열유속은

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경계조건으로부터

적분하여�미분방정식의�일반해를�구하면

그리고�

첫�번째�경계조건을�적용하면�

→ →

두�번째�경계조건을�적용하면

∞→ ∞

를�대입하면

따라서,� x=0,� x=L

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예제� 2� – 14� 증기관을�통한�열손실� 그림2-49에서와� 같이� 길이L=20m,� 내부반경� r1=6cm,� 외부반경� r2=8cm,� 열전도도�

k=20W/mk인� 증기관에� 대해� 생각하자.� 관의� 내외� 면의� 평균온도는� T1=150℃,T2=60℃이다.� 정상상태에서� 관� 내부의� 온도분포에� 대한� 일반� 관계식을� 구하고� 증기로부터� 관을� 통한� 열손실률을�

구하라

Sol� )�

-� 해석� :�

경계�조건은 ℃

r에� 대해� 적분하면

다시�적분하면

ln

두�개의�경계조건을�적용하여�경계에서의�특정�값들을�대입하면

→ln

→ln

연립하여�풀면

ln

and ln

관내의�온도는

ln

ln

열손실률은�관을�통한� 총� 열전도율이므로� Fourier법칙으로�구함.

ln

ln

예제� 2� – 15� 구형�쉘을�통한�열전도� 그림� 2-51과� 같이� 내부반경� r1=8cm,� 외부반경� r2=10cm,� 열전도도� k=45W/mk인� 구형� 용기

에� 대해� 생각해보자.� 용기� 내에서� 발생하는� 어떤� 화학작용에� 의해� 내외� 면의� 온도는� 각각�

T1=200℃,T2=80℃로� 일정하게� 유지된다.� 이� 경우� 정상상태하에서� 내부� 쉘의� 온도� 분포에� 대한�일반�관계식을�구하고�용기로부터의�열손실률을�구하라

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Sol� )�

-� 해석� :�

경계조건은� ℃

r에� 대하여�적분하면�

다시�적분하면

두�개의�경계조건을�적용하여�경계에서의�특정�값들을�대입하면

연립하여�풀면

and

구형�쉘의�온도� 변화는

열손실률은�관을�통한� 총� 열전도율이므로� Fourier법칙으로�구함.

2.6� 고체�내부의�열발생

매체를�통해�온도상승이�일어나는�매체들은�내부�열발생을�포함.(그림� 2-53)

전기�저항선의�열발생은�다음과�같이�표시됨.

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정상상태�하에서�고체의�에너지�균형은�다음과�같음.(그림� 2-54)

(Rate� of� heat� transfer� from� solid)�

=� (Rate� of� energy� generation� within� the� solid)

열전달률은� Newton의�냉각법칙으로부터�다음과�같음(복사무시).

연립하면

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(1)평면벽� (As� =� 2Awall,� V� =� 2LAwall)

� � � � m ax

(2)� 긴원통� (As� =� 2πr0L,� V� =� πr02L)(그림2-55) ∞

� � � � m ax

� � � � � � � � � � � � � �

(3)� 구� (As� =� 4πr02l,� V� =� 4/3πr03)� � � � � ∞

� � � � m ax

m ax

∆m ax를�이용하면�중심선�온도를�구할수�있음.(그림� 2-56)

예제� 2-16� 전열기의�중심선에서의�온도

열전도도� k� =� 15W/m℃이고� 지름� D� =� 4mm� L� =� 0.5m의� 2kW� 전열기는� 물을� 가열하는데�사용된다.� 저항선의�외부�표면온도� Ts� =� 105℃일�때�저항선�중심의�온도를�구하라.(그림2-57)

sol)�

단위체적당�열발생률

선의�중심온도

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℃℃

예제� 2-17� 전열기의�온도변화

반지름� r0� =� 0.5cm,� 열전도도� k� =� 13.5W/m℃ 인� 균질의� 긴� 저항선이� 대기� 압력하�전류를� 흘려� 물을� 끓이는� 데� 사용한다.� 저항선은� � 의� 율로� 균일하

게�열을�발생한다.� 만일�저항선의�외부온도� Ts� =� 108℃로�측정된다면,� 정상상태에�도달했을�때의�온도분포에�대한�관계식을�구하고,� 저항선의�중심선에서의�온도를�구하라.

(그림2-58,59)

sol)�

온도변화를�지배하는�미분방정식

경계조건

℃ � � ,� �

변수분리�후�적분하면

� ........� (a)

두� 번째�경계조건을�적용하면

(a)식을� r로�나누고�적분가능한�형태로�변환

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적분하면

� ........� (b)

첫� 번째�경계조건을�적용

(b)에� C2를�대입한�후�재정리

� ........� (c)

(c)에� r=0을� 대입한�후� 알고�있는�값들을�대입

따라서�중심선에서의�온도는� 128℃

예제� 2-18� 두�층�매체�내에서의�열전도

그림� 2-60처럼� 반지름� r1� =0.2cm,� 열전도도� kwire� =� 15W/mk� 인� 긴� 저항선에�

의� 일정한� 율로� 균일하게� 열이� 발생한다.� 저항선은� 열전도도� kceramic� =�

1.2W/mk인� 두께� 0.5cm의� 세라믹에� 피복되어� 있다.� 만일� 세라믹층의� 외부� 표면온도가�

Ts� =� 45℃라면� 정상상태에서� 저항선의� 중심선� 온도와� 저항선과� 세라믹� 접촉면에서의�온도를�구하라.(그림2-60)

sol)�

미지의�접촉면�온도를� T1이라�하면,� 저항선에서의�열전달�문제는�아래와�같이�수식화됨

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예제� 2-17과� 같은�방법으로�풀� 수� 있고,� 구한�해는

� ........� (a)

세라믹층은�어떠한�열발생도�없고�외부표면온도는�특정값으로�주어짐

예제� 2-15와� 같은�방법으로�풀� 수� 있음

ln

ln � ........� (b)

접촉면� 온도� TI� 은� r� =� r1의� 접촉면에서� 저항선과� 세라믹층의� 열유속이� 같다는� 두� 번째�

접촉면�조건으로부터�구할�수� 있음.

ln

접촉면�온도는�다음과�같음

℃ ℃

중심선(r� =� 0)에서의�온도는�다음과�같음

예제� 2-19� 전열기의�온도변화

그림� 2-61에서� 두께� 2L인� 대형� 평면벽에서� 균일한� 열이� 발생한다.� 벽� 내부의� 온도변화

식을� (a)� T1� >� T2,� (b)� T1� =� T2� 대해서�구하라.(그림2-61)

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sol)�

직각�좌표계에서�열발생이�있는�열전도�방정식

1차원�정상열전도에서의�일반�열전도방정식

두�번�적분하면

(a)� T1� >� T2인� 비대칭�경계조건의�경우

상수� C1,� C2는�다음과�같다.

and

일반해에�대입하면,� 벽� 내부의�온도변화는�다음과�같음

(b)� 대칭�경계조건의�경우,� 위� 식에� T1� =� T2를� 대입하면�다음과�같음

2.7� 가변�열전도도� k(T)

열전도도의�평균값

� � � � � � � � k ave=

⌠⌡

T 2

T 1

k(T)dT

T 2- T 1

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�가변�열전도도에�대한�정상상태�열전달률.

(1)� 평면벽의�경우:� �.Q planewall

= k aveAT 1- T 2

L=

AL⌠⌡

T 2

T 1

k(T)dT

(2)� 원통형의�경우:�.Q cylinder

=2πL k ave

T 1- T 2

ln(r 1

r 2

)

=2πL

ln (r 1

r 2

)

⌠⌡

T 2

T 1

k(T)dT

(3)� 구형의� 경우:� � �

.Q cylinder

= 4π r 1 r 2 k ave

T 1- T 2

r 2- r 1

=(4π r 1 r 2 )

r 2- r 1

⌠⌡

T 2

T 1

k(T)dT

� � � 선형함수로서�근사적�표현

� � � � � � � � � � �

� � � � � � � k(T)� =� k 0(1+βT)� � � � � � � � β :� 열전도도의�온도�계수이�경우�열전도도의�평균값

k ave=

⌠⌡

T 2

T 1

k 0 (1-βT)dT

T 2- T 1

= k 0 (1+βT 2- T 1

2)= k( T ave )

예제� 2-21� k(T)인� 벽면을�통한�열전도

� 두께� =� 0.1m�높이� 2m� 폭0.7m� 황동판.

판의� 한쪽면이� 400K로� 유지되는� 동안� 다른� 한� 면은� 600K로� 유지됨.�

열전도도� k(T)� =� k 0(1+βT)� ->� 선형적으로�변함� ( k 0=38W/mK,� β=9.21* 10 - 4 K - 1)

가장자리�효과를�무시,1차원� 열전달로�가정

평판을�통한�열전도율을�구하라.

sol)

k ave=k( T ave )= k 0 (1+βT 2- T 1

2)

� � � � � � =(38W/mK) [1+(9.21* 10 -4 K -1 )(600+400)K

2]= 55.5W/mK

평판을�통한�열전도율

�.Q planewall

= k aveAT 1- T 2

L= (55.5W/mK)(2m*0.7m)

(600-400)K0.1m

= 155400W