Chapter 3. Generator, Transformer and Per Unit System 3.1 Synchronous Generator

동기발전기(Synchronous Generator)

- 전력을 생산해 내는 전력계통의 기본 요소.

- 원동기로부터 축을 통해서 전달되는 기계적 에너지를 전기적 에너지로 변환.

- 고정자(Stator)와 회전자(Rotor)

- 회전자의 속도 = 주파수 (3600 RPM = 60 Hz)

구조

- 회전자 철심에는 계자권선(Field winding)이 감겨있으며, 여기에 직류의 계자

전류(Field current)가 흘러 계자 자속을 공급.

- 고정자 철심의 슬롯내에는 전기자 권선(Armature winding)이 감겨져 있음.

- Three Phase Electromotive Force (삼상 유기 기전력)

조속기 (Governor)

- 부하증감에 따라 터빈의 밸브를 조절함으로써 주파수를 제어

- 입력은 회전자의 회전 속도이며, 출력은 밸브의 위치

여자기 (Exciter)

- 출력 전압을 입력으로 받아 계자권선에 직류 전류를 조절하여 유기 전압 제어.

3.2 Steady-State Generator Model (정상상태 발전기 모델)

용어

- 정상상태: 주요 변수가 시간에 따라 일정한 상태

→ 일정 출력전압, 일정 출력전력, 일정 주파수

- 발전기 단자전압(V): 발전기 외부단자에서 측정한 전압

- 유기전압(E) : 발전기의 내부에서 유기되는 전압 (무부하시의 단자전압)

동기기는 정상상태에서 (유기전압 + RL 회로)

SaS jXRZ +=

δ∠= EE +

-

V- + Load or

Network

aI

- VIXXjRVIjXjXRE aaraaaaraa +++=+++= )]([)(

VIZVIjXR aSaSa +=++= ][

aa jXR + : Impedance of Armature winging

arX : Armature Reaction Mutual Reactance

SX : Synchronous Reactance

SZ : Synchronous Impedance

- aR is very small.

단자전압과 전류의 위상 차이에 따라, 3가지 상황이 가능

Fig. 3.5 Synchronous generator phasor diagram

Infinite Bus (무한 모선) Model

- 전력계통 요소의 해석을 위해, 가장 간단한 상황 가정

- 한 발전기(부하)의 변화가 전체 network에 미치지 않는다.

- 전체 network을 하나의 모선(bus)로 대치: 무한모선

→ 무한모선 전압의 크기, 위상, 주파수가 변하지 않고 일정. °∠= ∞∞ 0VV

→ Ideal Voltage source

Fig. 3.4 Synchronous Generator connected to an Infinite Bus

무한모선에 연결된 발전기의 복소전력

** 00)(

∠−∠°∠==

Sa jX

VEVIVS δ

SSS jX

jVEVVEjX

VVEjX

VEV−

−−=

−−−∠

=

−

−−∠=

δδδδ sincos)()( 22

jQPX

VVEjX

VESS

+=

−+=

2cossin δδ

SX

VEP δsin= ,

SXVVEQ

2cos −=

δ

→ 발전기 출력을 내부 유기전압( E 와 δ )의 함수로 해석

),( δEfjQPS =+=

3.3 Effect of Excitation

동일한 발전기 유효전력(P)에 다양한 여자전류(계자전류) 값 존재

- 내부 유기전압의 크기(E)는 여자전류의 크기에 비례

- SX

VEP δsin= = constant → δsinE = constant

그림에서 cd의 길이로 표현되므로,

같은 P에 대해서 E는 ef 선상에서 움직임 (1)

- θcosaVIP = = constant → θcosI = constant

같은 P에 대해서 전류 I 는 세로 실선상에서 움직임 (2)

- VIjXE aS += 를 항상 만족. (→ aI 와 aS IjX 는 90도 위상차) (3)

- (1), (2), (3)에 의하여 그림 3.6과 같은 3가지 상태 존재

그림 3.6 Variation of Filed at constant power

즉, 동일한 P에 대하여, 여자전류를 조절하면, E의 크기가 변하고, 이에 따라

유기전압과 전류가 변화되어, 그림의 3가지 상태로 제어 가능.

- “ Overexcited” : VE >δcos

- “ Underexcited” : VE <δcos

여자전류를 증가 (감소) 시키면

- 유기전압의 크기가 증가 (감소)

(→ 무한모선이 아닌 경우 단자전압의 크기도 증가)

- 유기전압의 위상은 감소 (증가)

(←SX

VEP δsin= = constant)

- 전류의 위상은 단자전압보다 lagging (Leading)

→ 무효전력 Q 공급 (소비)

→ Generator acts like a Capacitor (Inductor)

결론) - 여자전류를 조절하여 발전기 단자전압의 크기 및 무효 전력 공급량 제어 가능

- Overexcited (Underexcited) Generator → 무효전력 공급 (소비)

3.4 Effect of Governor

동일한 여자전류에서 governor 조절 (유효전력 P 조절)

E

°∠= 0VV

+E

−E

I +I

−I

P∆

P∆−

δ

Fig. 스팀 벨브 증감에 따른 발전기 Phasor Diagram

동일한 여자전류이므로 E 의 크기는 동일

스팀이 증가 (감소) 함에 따라 E 의 위상 δ 와 P가 증가 (감소)

(←SX

VEP δsin= )

스팀이 증가 (감소) 함에 Q가 “ 약간” 감소 (증가)

(←SX

VVEQ2cos −

=δ

)

정상상태에서 발전기는 일정 유효전력(P)과 전압의 크기를 유지하는 요소로 모델링.

각종 외란으로 인한 과도상태에서는 시간에 따른 δ 의 변동을 설명할 수 있는

미분방정식 모델 사용. → “ Swing Equation ”

)()()(2

2

tPtPdt

tdM em −=δ

P. 463 (11.13)

3.5 Per-Unit System

Per-Unit System

- Large number and Various range of variables → Normalization of units

Usual five variables: YZSIV ,,,, (Complex variable)

기준량(Base)에 대한 비율로 표현.

Per-unit value = Actual value / Base value [constant]

Actual value = Per-unit value * Base value

where, Per-unit value, Actual value: complex

Base value : real

ex) BPU VVV /=

→ BPU VVV ⋅=

PUPUBBBPU jQPSjQSPSSS +=+== ///

→ BPU SPP *=

→ BPU SQQ *=

→ BBB SQP ==

Five base values: VB, IB, SB(=PB=QB), ZB,(=RB=XB), YB(=GB=BB).

Discussion) Circuital laws hold for per-unit values?

To hold the circuital laws in the per unit system,

- Ohm’ Law: VB = ZB *IB , - Power Relation: SB = VB* IB , Cf) for both Y-∆ load of three phase

SB =3 VBp* IBp (phase voltage and phase current)

= √3 VBl* IBl (line voltage and line current)

Y-load VBl = √3VBl , ∆-load IBl = √3 IBp.

- Z-Y Relation: ZB = 1/YB.

Five variables and three relations → Two independent bases

- Given VB, IB

SB(=PB=QB)= VB* IB , ZB (=RB=XB) = VB / IB , YB (=GB=BB) = IB / VB ,

- Given VB, SB

IB = SB / VB , ZB (=RB=XB) = VB / IB = VB

2 / SB ,

YB (=GB=BB) = 1 / ZB = SB / VB2 .

Usually, the normal operation values of voltage and power are base values.

Ex1) Current and source power with VB =100 [V] and ZB = 0.01 [Ω].

- +

][01.001.0 Ω+ j

I ][0100 VV °∠=

sol1) Without base,

][4570714525000)1(50002

11000

11

1110000

1110000

01.001.0100

Ajjjj

jjjZVI

°−∠=°−∠=−=−

=

−−

+=

+=

+==

jQP

VAjj

jIVSsource

+=

+==+=

°+°=°∠⋅=⋅=

][4999954999952

7071002

70710045sin70710045cos707100457071100*

sol2) VB =100 [V] and ZB = 0.01 [Ω]

→ 11/

01/jZZZ

VVV

BPU

BPU

+==

°∠==

- +

11 jZPU +=

PUI°∠= 01PUV

°−∠=°−∠

=−

=+

== 452

12

4522

1111

1 jjZ

VIPU

PUPU

PUPUPUPUPU jQPjIVS +=+=°∠⋅=⋅= 5.05.0452

11*

For actual value,

][1001.0

10000],[1000001.0

100 62

VAZVSA

ZVI

B

BB

B

BB ======

][50000050000010*5.010*5.0

][45707110000452

1

66 VAjjSSS

AIII

BPU

BPU

+=+=⋅=

°−∠=⋅°−∠=⋅=

→ Same with sol1)

Usually, the circuit variables are Per-Unit value with voltage and power base

in power system engineering.

Ex2) (회로뿐 아니라 하나의 단위기계에서도 p.u 사용)

The reactance of a generator is 0.3 p.u [=30%] with nominal base (정격) 330[V] &

20[KVA], Real Reactance = ?

Sol) 445.520330Z

22B ===

==

KSV

VSV

IV

B

B

BB

BBB

[ ]Ω=∗=⋅= 634.1445.53.0Z jjZZ BPU

Change of Base

Real value is not changed !

′=′→′′==

′=′→′′==

′=′→′′==

′=′→′′==

B

BpupuBpuBpu

B

BpupuBpuBpu

B

BpupuBpuBpu

B

BpupuBpuBpu

ZZZZZZZZZ

IIIIIIIII

SSSSSSSSS

VVVVVVVVV

[ ] [ ] ?,, =′′′→ puBBpuBB ZSVZSV

Z 1

- +

Z 2

Z L

B

B

B

Bpu

B

B

B

B

pu

B

BB

B

Bpupu

SS

VVZ

SV

SV

Z

SVZ

ZZZZ

′⋅

′

=

′′

=

=

′=′

2

2

2

2

Per unit of Ideal transformer

Ī1 Ī2

N 1 : N2

Ē + • • + V1 V2

- -

Ideal Transformer with nominal [VR1/ VR2 , SR]

1

2

2

1

1

2

NN

II

VV

==

21 SS = (←Transformer 가 받는 전력과 부하에 보내는 전력이 같다.)

변압기 내부의 총 소비전력=0

⇒ 00

21

*22

*11

=−

=−

SSIVIV

· Multi-Base sets in a circuit

→ Generally, circuital laws don’ t hold

· Ideal Transformer with a common SB & 1

2

1

2

NN

VV

B

B =

→ Circuital laws hold.

→ Transformer removed.

[VB1 = VR1 , SB = SR] , [VB2 = VR2 , SB = SR ]

1

1

1

11

RBpu V

VVVV == [pu]

2

2

2

22

RBpu

VV

VVV == 1

1

221

1

22 , RR V

NNVV

NNV ==

pu

R

VV

NN

VNN

1

11

2

1

1

2

==

puE

],[ 1 RR SV

Zpupu VV 21 = - +

+

-

puZ1

LpuZ

puZ2

pupu VV 21 =

],[ 2 RR SV

전류는 하나지만 실제 전류값은 base가 다르므로 다르다 !!!

Ex3) Sadiku p.578

6j−

- +

2I

4

0120∠

20

2:1

1I

Sol 1) By reflecting secondary circuit

1:N

1I 2I

1V 2V Z

inZ

22

22

2

2

11

211

?,

NZ

INV

IN

VN

IVZ

II

in ====

=

+

-

+ -

6j−

- +

1I

4

0120∠

Ω= 54

20

69.3309.1169

1205)64(

01201 ∠=

−=

+−∠

==jjZ

VI

°∠=== 69.3354.5211

112 IIn

I

sol 2) ][1000 VASB =

1201∆BV → 2402 =BV

]][1000],[240[]][1000],[120[ VAAVAV

6.5710002404.14

1000120 2

2

22

2

2

1

21

1 ======B

BB

B

BB S

VZS

VZ

][01 pu°∠ puI

- +

][416.0227.0 puj−

][3472.0 pu

69.33333.169.3375.0

1416.06242.0

13472.0)416.0277.0(

01

∠=°−∠

=−

=+−

°∠=

jjI pu

°∠=

===∗°∠=

∗=

69.3310.11

)333.81201000(333.869.33333.1

1

11

11

BB

B

Bpu

VSI

III

Q

°∠=

===∗°∠=

∗=

69.3355.5

)166.4240

1000(166.469.33333.12

22

22

BB

B

Bpu

VSI

III

Q

- Per unit system of a power system

i) select an overall power base : SB

ii) select a voltage base of a generator

iii) select the other voltage bases according to transformer ratio

iv) To get the actual value, convert with base power and local base voltage.

- +

1:N1Z1

1:N2

VB N1N2VB E N1VB Z3

Z4

Z2

1:N3

Z5 N1N3VB

3.6 부하 (Load)

일정 전력 모델

- 전압과 주파수에 무관하다고 가정

(← 주로 정상상태에서 해석)

- jQPS +=

부하모델의 파라미터 결정

- 측정에 의한 방법

특정 기간에 대표적인 변전소의 모선에서 부하의 특성을 측정하여 P, Q를

결정

-부하의 특성 분석에 의한 방법

한 모선에 연결되어 있는 부하를 산업용, 상업용, 주택용, 농업 등으로 분류

분류된 각각의 집단을 그 구성요소에 따라 다시 한번 분류

최종적으로는 이러한 구성요소들의 특성을 각각 분석

< 구성요소에 의한 부하 분류의 예 >