Chapter 6Applications

Taiki Todo

March 29, 2012

Repeated Games and ReputationsLong-Run Relationships

Introduction

• 本章では完全観測繰り返しゲームの適用例を３つ紹介

• 現実問題の解析・説明に繰り返しゲームを用いる際の定式化の例

Outline

• 6.1 Price Wars– n 企業間の価格競争–プレイヤ間の協調 (collusion) の達成可能性

• 6.2 Time Consistency–企業 - 政府間の資本課税競争–無限回繰り返しゲームによる効率的結果の実

現• 6.3 Risk Sharing–消費と保険加入–現実問題の，均衡結果による説明

6.1 Price Wars6. Applications

Price Wars

• 同一の商品を生産する n 個の企業• 最安値を設定した企業のみが勝者（消費

者に販売可能）• 勝者の利益は，消費者の需要量 × 価格–複数の企業が最安値を設定した場合，その企

業間で需要を等分割• この競争が繰り返し行われる場合に，企

業間の協調（全員が同一価格を設定）は達成できるだろうか

Repeated Game Representation(1/3)

• n: 企業（プレイヤ）数• s: 状態．全プレイヤが正確に状態を把握

(perfect monitoring)• S: 状態の集合• q: S 上の分布関数． q(s) は状態 s が生起する確

率• p1,…, pn: 分布 q から選ばれる現在の状態を観

測後，プレイヤが設定する価格．プレイヤの戦略．

• s-min{p1,…,pn}: 最安値に対応する需要．この形式で与えられると仮定．

• min{p} * (s – min{p}): 勝者が等分割する利益

Repeated Game Representation(2/3)

• 各期のゲームにおけるナッシュ均衡では，最安値は $0 となり，全員利得 0– 他の誰か一人でも $0 を付けた場合，自分はどのよ

うな価格を付けても利得は 0– 一方，自分以外の最安値が $100 のとき， $99 を付

ければ全ての需要を独占– この繰り返しにより最安値は $0 まで低下

• 一方，最も利得を増加させる価格は，需要 s に対して s/2. そのときの利得 (s/2)^2

• 自分以外の全員が s/2 を付けているとき，少し下げれば需要を独占

Repeated Game Representation(3/3)

• The most collusive equilibrium (MCE)– Strongly symmetric– Maximizes the firms’ expected payoff

• 以降，この MCE p(s) を考慮– p(s) <= s/2: min{p}(s-min{p}) の式より一般性を失わな

い– 均衡からの逸脱は，以降永久に処罰

• 分布 q の構造と均衡戦略との関係を議論– 6.1.1 independent and identically distributed– 6.1.2 with persistence

6.1.1 Independent Price Shocks

• 各期独立に，同一の分布 q に従って状態 s が生起

• MCE p(s) は，全ての s において以下の式の解：

協調した場合の今期の利得と今後の期待利得

均衡戦略 p から逸脱した場合の今期の利得

For Large δ

• δ が十分大きいとき， v* の式のみが有効• すなわち， p(s) = s/2 が均衡戦略–現在の状態 s に対する価格設定による利得

が小さくなる

For Small δ (1/3)

• 一方， δ が十分小さいとき， p(s) は次の式を解く：

• 右図より， s = max{S} の場合

であるから，必ず bar(s) が存在

p(s)

u

bar(s)

p(s)(s-p(s))

For Small δ (2/3)

• この bar(s) を用いて，MCE p(s) は次のように書ける：– s > bar(s) のとき

– s <= bar(s) のとき

p(s)

u

For Small δ (3/3):discussions

• Bar(s) が与えられたとき， MCE p(s) は，– s > bar(s) に対して単調減少 (counter-cyclical)• 状態 s の値が大きいほど，逸脱した場合の利益は

大きい– s < bar(s) に対して単調増加 (pro-cyclical)

• 問題（特に需要 s ）が与えられたとき，需要が小さいうちは協調戦略の価格は増加傾向

• しかし，需要が大きくなると，協調戦略の価格が減少

6.1.2 Correlated Price Shocks

• 6.1.1 では，各期の状態は独立に同一の分布から選ばれると仮定

• 現実の問題，次の状態は現在の状態と何らかの関係を持つことが多い

• 特に，次の状態が現在の状態から変わりにくい（粘度， persistence ）というのはよく見られる傾向–景気の変動：好景気と不景気が急激に入れ替

わることは稀，多くの場合緩やかに変動

Simple Example

• n=2• S = {1 (low demand) , 2 (high demand)}• q: 次状態の分布．以下のマルコフ過程で定義：– 初期状態はランダム（互いに確率 1/2 ）で生起– 確率 1-φ で，現在の状態と同一の状態が生起– 確率 φ で，現在の状態と異なる状態が生起– φ を小さく選べば， persistent な状況を表現可能

• δ = 11/20 （ 1/2 より微妙に大きい点がポイント）

Cf. MCE

• 先に， 6.6.1 のケースと同様の i.i.d. の分布を仮定し， MCE を考えてみる–需要が小さいとき (s=1), 1/2 を設定–需要が大きいとき (s=2), 次の式で与えられる

p を設定：

–この式を解くと， p~ = 0.22 が得られる–即ち， countercyclical• High-demand の場合の方が均衡価格が低くなる

Persistent States (1/2)

• 次に，定義したマルコフ過程を考える• 各期 s/2 を定める戦略 p を考える– s に関して単調増加– この戦略が MCE であれば，このモデルは pro-

cyclical

• φ がほぼ 0 のとき（＝ persistence が強いとき），– 初期状態 s=1 -> v* = 1/8– 初期状態 s=2 -> v* = ½

• よって，上記の戦略が MCE となるための必要十分条件は

Persistent States (2/2)

• これらを解くと， δ >= ½• よって，現在の discount factor 11/20 であ

れば，各期 s/2 を定める戦略が MCE–この MCE p(s) は明らかに単調増加–すなわち，このモデルは pro-cyclical: 需要 s

が増加すれば，協調 (MCE) による利益も増加

6.2 Time Consistency6. Applications

Time Consistency

• 企業と政府の資本課税競争• 企業は各期，１単位の分割財を，消費と資本に

分割– 消費はそのまま自分の利益– 資本は，ある一定の割合の収益を生み出すが，その収益は政府によって課税される

– 徴収された税によって，公共財が生産され，企業はその公共財からも（微量の）利益を得る

• 企業が毎期同一の分割を行うような税率は？– 政府は benevolent/慈善的

6.2.1 Stage Game

• Player 1: 政府• Player 2: 企業．毎期同一性能の異なる企

業が参加– c: 消費 (consumption)– 1-c: 資本 (capital)– R: 資本からの収益 (return). R>1– t: 政府による課税率 (tax rate)– γ(>1): 税収からの公共財の生産率． R-1<γ<R

Consumer’s Utility

• 但し， G は公共財の量• 企業の立場では， G は微少量と考えられ

る？ため，固定して計算

Government’s Response

• 企業が分割 c を選択したときの政府の最適な課税率 t–ただし，政府は慈善的であり，目的関数は企

業の利益の最大化

Best Response

• 互いの最適反応を図示すると右図のようになる

• ところで，政府は慈善的であるから，政府 - 企業の利害は一致

• R は資本からの収益であるから明らかに R>1

• よって，企業は全て資本とする (c=0) のが効率的

• そのときの最適な課税はt = γ/R （点 B ）

6.2.2 Equilibrium, Commitment, and Time Consistency

• しかし，点 B は効率的ではあるが，均衡でない– 課税率 t=γ/R に対す

る最適な分割は c=1– 実際，均衡は点 A

• 企業が最適反応を取ると仮定すると，企業の利得を最大化する課税率は t=(R-1)/R となり，結果は点 C– 企業が全て資本とす

るような最大の課税率

Commitment Problem

• 先に政府が t=(R-1)/R を選び，それを企業が観測できるのであれば，点 C の結果を保証可能

• しかし，現実には不可能• このとき，政府の立場から見るとコミットメント問題が生じる– 相手の戦略決定前に自分の戦略を相手に伝えること

ができれば，自分の効用（この場合は政府の効用であり，問題の定義より企業の効用と等価）を増加可能

– Time consistency problem とも呼ばれる．このとき，政府は optimal だが time inconsistent な課税率を持つ，という

6.2.3 The Infinitely Repeated Game

• 無限回の繰り返しゲームを考えることで，政府が企業に情報を伝えられるのではないか

• 仮定として，政府は割引率 δ を持つものとする

• ここでは， grim-trigger 戦略を考え，毎期点 C を達成可能なサブゲーム完全均衡となることを示す

Grim Trigger Strategy

• 状態 : wL and wH– wL: 低税率（ t=t*=(R-1)/R ）かつ c=0– wH: 高税率（ t=1 ）かつ c=1

• 初期状態 wL• 行動– 政府 : wL のとき t*, otherwise t=1– 企業 : wL のとき c=0, otherwise c=1

• 遷移– wL かつ t=t* のとき wL, otherwise wH

6.3 Risk Sharing6. Application

Risk Sharing

• 消費者の消費と保険契約• 高所得者は低所得者よりも消費が多い？• 現実のデータを見ると，必ずしもそのようには

なっておらず，現在や過去の収入状況に依存している，らしい．

• ここでは，プレイヤ２人のシンプルなモデルを用いて，そのデータに一つの説明をつける– モラル・ハザードとの関係？

6.3.1 The Economy (1/2)

• n=2: プレイヤは二人• State: e(1) = (y-, y_) & e(2) = (y_, y-)– 初期保有量を規定– y- + y_ = 1, y- \in (1/2, 1)– 等確率 (random state RG)

• Stage game strategy:相手に譲渡する量（＝保険料？）– 譲渡後の保有量を c1, c2 で表記

• Utility u(c): 保有量に関する関数– 単調増加かつ凹 → リスク回避

– Ex. 限界効用逓減

c

u(c)

6.3.1 The Economy (2/2)

• Strategy: 前期までの履歴と今期の初期保有量から，今期相手へ譲渡する額を出力– Ex. No-transfer: 効用関数が単調増加なので，

各期相手に譲渡しないことが均衡．但し， concave であるから結果は非効率的（ risk-neutral であれば効率的）

• 各期で効率的な結果を導くサブゲーム完全均衡は存在する？それはどのような場合？

6.3.2 Full Insurance Allocations

• Full-insurance strategy profile: ある定数 c が存在し，任意の履歴に対してプレイヤ 1 が c を保有し，プレイヤ 2 が 1-c を保有するような戦略の組–即ち，任意の履歴に対して，両エージェント

が毎期同じ額を消費する戦略の組– No-transfer は full insurance?– Player1-all-transfer は full insurance?– Equal-payoff-transfer は full insurance?– Full insurance 自体は均衡とは別の概念

→ NO→ YES

→ YES

SPE and Full Insurance

• Full Insurance (FI) strategy profile がサブゲーム完全均衡となるのはいつ？– Minmax payoff 及び feasibility より，扇型の領域が IR かつ feasible なpayoff の集合

– サブゲーム完全均衡戦略は，次の式を解く：

• 例えば，多くの δ について，equal-payoff transfer はこの式を解く，即ちFI かつ SPE

Equal-Payoff Strategy

• 相手が逸脱しない限り，互いの保有量が 1/2 となるように譲渡

• 相手が逸脱したあとは，一切の譲渡を行わない

• 性質：– Full insurance: 常に同じ消費を行う– Sub-game perfect: 逸脱の誘因が生じない

6.3.3 Partial Insurance

• δ* を， equal-payoff equilibrium のみが full insurance SPE となる最小の割引率とする

• δ* より小さい割引率の場合， full insurance equilibrium は存在しない

• このとき，代わりの概念として， stationary-outcome equilibrium (SOE) を導入– e(1) においてはプレイヤ 1 が ε だけ保険料

を支払い， e(2) においてはプレイヤ 2 が εだけ支払う

– FI profile → SO profile. Equal-payoff も stationary-outcome.

Discussions on Risk Sharing

• ここまで， δ が十分大きい場合 (full insurance),及び δ が δ* よりも少しだけ小さい場合 (partial insurance) を議論してきた–即ち，割引率が大きい範囲においては，収入

(endowment) のレベルが異なっていても，消費 (consumption) が一定となる均衡が存在

Remainings

• 以降の内容は十分理解できていない• 6.3.4 Consumption Dynamics– 6.3.3 の一般化–履歴に e(1) のみが現れる場合 (y-, y_), それ

以外では stationary-outcome をとるような戦略

• 6.3.5 Intertemporal Consumption Sensitivity–状態数が 3 （ middle state を追加）の場合の

議論

Summary

Summary

• 完全観測繰り返しゲームによる定式化と解析