chapter 6 cohomology

23

Upload: others

Post on 12-Sep-2021

7 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Chapter 6 Cohomology

������� �

����������

Page 2: Chapter 6 Cohomology

��� ������ � ���� �����

��� ����� �� ��� ���� ��� �� �� ������ ������� ��� ���� ��������� ��

�������� ��������� ��� ������� � ������ �� ���� ����� �� � ������ ��� ������

�������� ���� ���� �� �������� ���������

��� �����

��� ��� �� �� ������� ��� ��������� �� ����� ����� �� �� �����������

��� �� �� �� ��� �� ������ � ��� � �� � � � ��

������� ��� �� � �� ��� �� �� �� ��� �� !���" ������

� � � ��� �� ���� �� ��� �� �������� �������� ������ ��

�� ���� �� ����� ������� �� ��� �������� �� ���

�� #�����$� �������� �� ��� ���� ���� �������� � �� ���

���� �� ���� ������� ������� ������ �� �������� �� ����

�����%��� ������ ��� �� ���� �� � �� ����� ������ ���

���������

��� ���� ����� �� � ��� %���� ����� � �� � Æ � ���

%���� ����� �� ��� ����� ����������� � � �� ��� ����

����� �������� dim�� Æ� � dim�� �� ��� �� Æ� Æ �� � �� � �������� ��������� ���� ��

� ����������� ������ �� ������� �� ����� ������ ������� &� � � � � � �� ������

��� ���� �� � ���� � �� � �� � Æ � � Æ � � Æ ��%�� �� �� Æ������� � ��� ����� '���

�� ��� ���� ������ ����� �%���� ��� �������� �� ��� ��( �� �� ��� ���������

�������� �� ���� �������

������ ��� ������� ��� �

)��� %���� ������ ���� �� � ������ ��� �� �������� �� ��������� ��� ���� �� �

����� �� � ������� �� � �� ��� %���� ����� ���� � �

� � ���� Æ �� ���

������� ������ ��� ��������� ������� ��*� ���� ������� ����� ������ �� ������� ��

�� � ������ �� %���� ������ �%� � ��� ���� �� � �� ��� � �� ��� ��������

�� � %���� ���� �� � �����( � ������ �� � �

� ���������� �� � +� ��� ���� ��%��

� ����%����� �������� � � � �� ��� ������ � �� � �� ��� ���� �� ����� �� �����

���������� � ����� �%������� ��

�� �

�∑���

��

� �� � �

��� � � �� ��� ���� �� ��� � ���� ������� %����� ���

����� ��� � ����� ���� �� �� ����������� �� ��� ����� ���

�������� ���� �� ������ ��� &� �� � �� �� ����*� ��

������� ��� ������� �� � �������� ��� � %���� ���� �� (

���� �� �� ������� �� ,�������� ������ ��� ��� ������ �� ���

���������� &� �� ���� �� � ����� � ������� �� ��� �� � %���

�� ����� ��� �� � �� ��� - � ���� �� ���� ��� ���������

����������� ��� ����� - ����� ���� ������� %����� �� ������� �

����� ��������� ������ � ����� ��� �� �� � � � �� � �� ��� � ��� ���� � ���

Page 3: Chapter 6 Cohomology

���� ����� ���� ���� ���

��� ����� ���� ����

� ������� ����� � � ������� C � ���� �� �� ������ �� �� ���������� ��

���� � ������������ �� � �� � ���� ��� ������� ����� ��� ��� �������� ����

���� Æ �� � � ��� � �� ��� ��������� �� � ����� ���� �� �

���C� � ker ��

/im �

����

������ �!� � ����� ��� ���"� ��� � ����� �� ������

ker � � ��� ���� ��� ��� ����������� � ���� �#�� $� �

�� ������� im � � ��� ��� ��� ���� �� ��������!

����� ���� ���� � �� ��� %� � ��� ���� �� ���� ���

&"� ���� � ���� �� ���� ���'���� ��� �� ��(� �� � � � ��� ���� � ��

������������ �� � �� ��� ��$������ � � ��� ��)�� �� ��� $������ � �� ����

� Æ � � �Æ Æ � Æ � �� Æ �� Æ � � Æ � ��

��� ��$������ �������� � � ��� ��* ��� ��� � � ���� +�� � ���� � �� �����

��� ������ , ����� �� � ����� � ��"! �� � �����

����� ��� ��������� ��������� �

-���� �� ��� ��� �� ����!��� ��� ������"�� ������ � ���!� ���� ��� ���

� ������� � � ��!�� ��! �� ���'�����

�� ���� ������� � � ��� ��$����

��� �� � .������ ���� �$� �

"������ ��� � �� � �� ��� ����

�� �� ��� ��� �� ��� ������� �

�� �� ����/* ��� � ���� � ��"�

� � ��� ������ ��/� /�� 0

��� ����� ��� � �� �������

� ������� ��� ���� ���"� ��

, ��� � �� �� , ��� �� ��

�������� � �� �� ������� � ����

� �"���! ��� ��� ������

������ � ���� ��� �� �� �� ������ $����� ���� ����� �� �� !������ �� �

��� �������� �"�� ��� "������ ��� ������ �!� � ��� �� �#������! $�����

����� ���� ��� �� ��� �� ! �$� � �������$ � �� � !����� �� � ������ � �

����� ��� ������������ �

������ � ��� ���� �� C ��� �����'���� ���� � !������� $� �������� ���

� ��� �� � ��� �� ���� �� �� ��� ��� $��� ������ �� $� ����!�� �� ��

������������ ������ ����� ��� �$"��� ���! $����� C �� �� ��� C Æ �����

$���� ������ � ��!�� ����������* ��� $��� � ����� �� ��(�∫��� ��

$� ��� �"� ���� ��/! ��� "� �� � � �� � � � � �� � � ���

Page 4: Chapter 6 Cohomology

��� ������ � ���� �����

���� �������� �� ������������ �� ��������� �� ��� ��������� � �� ��� ���� �� ���

������� �� ��� ��� �������� � ������� ����� �������� ��� ��� ������� ���������

��� ��� �� ��� �������� � � �� ��� ������ � � �����

∫�

�� �

∫��

�� ���

���� �������� ������ ������ �� ���������� ��� �������� !�� "��! �� ���� ���������

��� ������� �� #��"��$ ����� � ��� ���� �� ��%�������� �� �� ��������& �������� ���

���� ����� �� ��������� ������ ��� '�(� �

������� � �� �������� ������� ����� �

������� �� ������� ������ �� � �)�� �������� ���� �� ���*� !��� ������ ��� ����

��������� ���������� ���� ������� �� ��� ������� �� ������ � �������� �������

���� ������ ���� ��� �� �� ��� ������� ��������� ��%������ ����� ��� ���� �� ���

������ �� +��� ,� ��� �������� �� ���� ������& ������� � � ��� �������� �

������� �� ����� ��� ����� �

������� � � ������ ����� �& � �)� ���� �� ���* !��� ���� ���� �������� - ���������

��� �� ����� � �� �� ��������� ���� �+����� ������� .�!� �� �� ������ �!� �����

�� � �� �� ��� ����� �s ��� ����� �t ������ ��� ���� � ���� ��� ���� �� ���������

�� s � t ���������� �������� � - ��� �� � �� �� ������ ��� �� ���/������ ����

���� � �� ����� �� � �� ����� �� ���� ���� �*���� s ��� t� ��� �� �� ��� ��)��������

���� .�! ������ �0���� ��� �� �� ��� ���)�������� ���� .�! ������� 1�������� ��

����� � �� ������������ ��� ���!�� ��������� ��� ��������� ��� ��� ��� ��� ���"�

�� �*� �+� ��� ��� ����� ���� ��� � ���� .�!��� �� s �� �0����������� ���� t ��� ��� .�!�� ��� ����� �� ���������� �� ���� ���� ���� �� �������� � ����� �!

���� �� ������ ��� �������� .�! ����� �� ���� �����

��� ���"���"� �"��� ������� ������ ���� ��� �*� � �������� .�! �����

�0���� ��� ��� �� ��� ����� �� �����!�� !��� � ��� �� � ������ �� ����� �� � !����

� ���� ����������� s ��� t ����� �� �� ����� ������� ����� �� ����� �� �����

��� ��� ����� �� ��� �� �� ��� ���� ���������� ��� ��� ���� ���� ����� �� �

��� �*)���� ����� �� !���� � ������� ���!��� .�!� ��� ���� �� �� ������

,� ��� �������� �� ���� ������� ����� �� s� ��� t� ���� ��� .�!� �������� ��

������ ������ ��� ��������� 2� ������� ���� � ���� � ��� ���� ��� ����� �� ����

Page 5: Chapter 6 Cohomology

���� �������� ���

����� �������� ��� ���� t �� s ���� ������� � � ���� �� ���� � ��� � ��� �� �������� �� �������� ����� ��� ��� �� ��� ������������ �� ���������� ���� ��� ��������� ������ ��� ��������� ��� ��� ������ �� ������ �� � �� ������! ��!� ����" �#� �!�� �������� ����� �� ������!� � �� �������� ������ ���� ��� ���� �$ ��������� �� �� � �� ��� � �� !������� �� � �� ������ ��� �� ��� �#�� %�� �� ��� ������#������ �� � ���&�#� �# ��� �� � �� �� ��&�������� � �# ���� ��� '( ���� �)�*���

������� �� �� ������� �

���� �� ������ �( ����� ���� ��������� �� ���� � ������$� �� �(������ �� �� ��� � ��# � �� �� ��� �� ���� ���� ��� �������� �� ���� +�,�-� �������� �� ��� �(�� ��� �$�� �� ��� �� � ������������ � � ����

��� "��#�� ��� �(������� �� ��������

����� . ���������� �� � � � �#�� �� � ��� #��� �� �� �� ����� �� � #���� �� �� � ���� ���� �#� � ������ �� � �� � � ���

� �� /#��� � �� �� ���� ����� � �� ��� ��� �0# �

�� �� ��� � ��� �#�� �� � �(�� �� � ��� �� � �� $�����%���� �� � �#� � ��! �#�� ������ �� �!�� �(�

�� �� � ��� � �������� 1����� ��� ������� �� � �� � �� ��� � #� �(�� � ������ �� ��� ��� ������ �� �! �# ���� � �������� ��� ��� � ��� �� �� �� � � �� ������� �(�� �������� �� ������� � ����� ��0#���� �� �� ��� ������������ �� �$ �� �� ���#��� ��� � �� ��#�� 2 ���#��� 3��� �� �� ����� �����4� %�� � ��#�� �� �� � ������ ����� ��� � � ��� � . ��0#���� �� �� ��� ���

�#���� �� ��� ��� �� �� � ���� ��� �� �������� �� � � ����� ���� ��� ���� � ���#� �� ���� ������( �� ��� � ������ ����� ������������ �� ! �� ���� �� ���!���� �������� ������ �������� � � 5���� ��� ���� 2��� ! �#�� �� #����� ��4 �� �� ���2�����! ���4� %�� �� ��� � ��5� �������� ��� ������� ����������� �� � ������������ ��&�� ��������������� � �������� � ������ 2� � ��� � ������(4 ���� #���#� ���� �� �� �� � �����3�� � ��� � �� ������( ������� �

��� ��������

%�� ��������� �� �������� �� ����� �� �# ��3�� �� �� ������(��� ���#� ���� �� ����#���!�� �� �������� / �# ��3�� ���#��� �� ��� ���!��#� ��� �� ������ ��� ������ ���� � ��� ��� ���������

�� �������� ��������� ����#� �� ���#� �� ��� �� 6���� ��� ��!�� ���#���7 �� ���� � ��� � ����������7

*� 8#������ ��� �� ��� ������� ��! �� ��� �� ��������7�� ���������� � ��� �( �� ��0#����� �� � ���7 ��� 9 ���:������� ��0#����7 �(�

�������

%� �������� ��������� �� #�� ����� ���#��� ���� ���� �� ������� 8�� �( ����� ������#��� ������������� �� �������� ����� ������������ �� �� � ������ �� ��$����� ���� ��� � �� � �# �� �� ���� � �� ������ ����� �� !�� %�� ;� $� <���

Page 6: Chapter 6 Cohomology

��� ������ � ������ ���

������ ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� � ���� ����� �������� � ������ �� ���������

��� �������� !��� "��� ���� ���� ���� ��� ����� ��� ��� ����� �������� � � ���

����� �� � ��� "�� ���� ����� �������� � ������� ���� �����

� �� ���������

�� �������

�� ����� �� � �

������� ��� ��� ����� ���������

�� �������Æ

�� �����������

�� ���������

�� ����� �� �

����� �� ���� ����� ��� ������� ��� ���������� ������������ ��#� ��� ���� ����$

���� �� ���� ��� ��� ������ ��� ��� �� ������������� � #�� ������� ��� ��������

"�� ��#��� ���� ���� � �� �� ������� ���� ��� ��� %���$&������ �������� ��

������ ���

"�� ������� ��� �� ��!���� �� ������ ���� ������ ��� ����� �� �#�� ��

��� ����� �� ���� �� � �� ���� � ���� ��� �����

������� �� �� ������ ����� ��� ��������� ��� � � ��� �� � ��� ��

����������� �������� ���� � ���� �� ��������� ������� �

"�� ��������� �� ���� ��� �� ����� �� �$���'�������

��� �� �� ��#���� ��� ��� ���� ������ ��� �� ��������� ��

(������ ��� ���� ��� ��� ������ � ������ �������� �

��� ���'����� ��� )������� ��� ����� ��� ���� ���� �

����� ���� ���� ������� � ����������� ������ ���� ��

�� � �(� �� ���� ��� �� �#�� ������ ������ ��������� *�

��� ���������� ��� ���� � ����� ��� ����� ���� ��� ���

� ��� ���� �+�� � ������ ��'�� ����

������� ��� ������� � ��� �

,��� ���� ��� ��������� � ��� �(� ���� � ��� ��� �� ��������#��� ���� "�� ��� ��

��� ���� � ������ ��� �� ������ ���� � ���� ���� ������ �� ��+������� �� � ker ��

"��� �� ������� �� �������� ���� ��� �� ��� �#��� *� ��� �� � � ����� � ������

� ����� �� �������� �� #������ ����� ������� ��-������ � ��� ����� �� .���$

���� ���#���#�/� �� �#������ ��� 0 ����� ������ �� ��� ����� � ������������ �

��� �$�������� �������� �� � *� ����� ����� � ������ � ����� �������� � �����$

������� �������� � ��������� ���������� � � ,��� ��� ��-������ *� ���� ����

�� ��������� ��� ����� � ����$��������� ���������� ����� ����� 1$��� �� ��

��������� �� �$����� ������ ��� � ������ ��� �� ������� ��������� ����������

��� ���� �� �������� �� �

������� ��� ����������� �

2�� ������ � ������������ ���� ����������� ������� ��� ��� � ��� �����������

�� ��� ���� � ������ � ����� � ��� ��������� ����� 3��� ��� ��(� �� ��� �����

Page 7: Chapter 6 Cohomology

���� ������ � ���� ���

��� ��� ���������� �� ������ ������� � ��� �� ����� �� ���� ����� � �������

������� ����� ����� � ������ ����� �� �� ���� !�� �"�������� ��� �� �����

�� ���#��� ���� �� �� $������ ���%���� ���������� ���� ��� " ����������� ���

�� ��������� � �� �� ������ ��&������ ���"��� '(�)*+�

,� ���� "�� �������� �-"��� ��� ���%�� ���#

����� �#�������� �� ��� ��� � �"� �� ����� ���� ��� �

� � �� ����� ���� � ���� � � ��� ����� �%��� � ��#

������ , ���� ������ �� ������� � �� � ���� ��� �-#

���� �� ����� ������� ����� ���� �� ��� � ���"��

� �%�� �� ���� �� �%���� $���� ����� "���� �%#

���� � ������ ���% �%����+ � .#������ $���� ����

�� ��+� �� ��� � �#������ $�������� ��� ������ �

�����+/ �������� �� ��� �� ���� �������� ��������� !��

!��"��� ���"�� � ��� ������ ���������� ��"�����

�%���� �� ��� �� ����� ��������������� � �� ������ ����� �� ������ ������ 0��

���� �-�������� ����"������ �� ���� ��� �� �

��� ������ � ����

��"����� �� ����"����� �� "������� �-���� � ���� � ��"������� ��""����

1��� �� �� ��" ������� ��"��� �������� � ����� ���� �� ��� 23�����

��" � �� 4��(� ��� "���� � ��� ��� �� � ��"��� �������� �#"������ ��

���5������ �� ���� dim ��� � dim ������ �� ��%����� ���� ����"������ !���

�� � � �� �� ������ �� � ���� � � �� �������

,� ��� ����� �� ���� � ��"������ ���� � ���� �� ��#

�"���� ������������ 6������� ���� ��"��� � ���

���� �������� ���� �� �� �� �� ��� C �� ��� ���� �

���� ��"���- ���� �� ���5������� !��� �� � � ����#

���� ���� �� �� �� �������� ���� ��"���- C� ���� ���

� � ���� �� �� � ����� ����- �� ��� ����� �� ��� ���#

��� (#����� �� �#����� ������� �� ��� ������ �#����� ���

���������� �� � ��� (#����� ������������ �� ��� ������

�������� 7�� � � (#���� �� �������� �#���� ���� �

�� ��� ����� �� ��� ������ .#���� � �� 8��� ��� �����

���� ����"��������� � � �� � � �� ��� ��� �9��� ��

������� ��� ��"������� �� �����/ �#����� �������� �� � �� ��&������ ������������

���� ��� ��#����� �������� "��� �� ���� � ���� �� � ���� � !�� � � ��"���-

���������� �� ���� �

� �� � � �

�������� ���� �

��� ���"/

� �� ��

����

��� ��

����

��� ��

����

�� �

� �� �� �

�� �� �

�� ��

�� �

Page 8: Chapter 6 Cohomology

��� ������ � ���� �����

��� ���� ������ ����� ���� ��� ������� ��� �� ��� ����� � ���� ��������� ����

��� ����� �� �� �������� ��� ����������� �� ������� ��� ������� ����� ������

����� ���� ����� ��� � ����� ����� �� � �� ���� ������ ���� �� ��� �������

���� ���� �� ������

Æ �� ���� � ������ ���� ����� �� ���� �������!�� �� �����"

�� �������� ��������� � #���� �$��������� �� ��� �� ����� ������ �� ����� �����

�� �� ����#���� ��� ������� �� � ���� ���� ������ �� ���"�� ���� �������� ��

����� �� ����� ����� � ���%�� ���� ����� ����� �� ��������

&���� � '�������� �� �������� �������( ������� �� ���$ C� �� � ����� �� �������

��� ��#�� ���$ C���� �������� ����� �� �� ������ ��������) ���� ������� �� !��

������� �� � �� ���� ��#��� �� �� '*� ��� �� ������� � ������� �������� ���� �� �����"

����� �� #������� �������� �� � %���� �� #� �� #���� ���������( ��� ��#������

�� ������� �� � � ��

�� ����

���� �� � �� �������� � ����"��%��� ���������� ��

������ ����� � ������� ���� ���� ����� �����%�� ��� ���������)

�� ����� ��� � �� ����� ��������� #�� �� � ����"�� ����� '��� ����� � �� �"

� ����� ( ���������

+� ��

����� � � �� ��� � �$���� � � �� �� ����� ���� �� �� �� ��� ����

,� ������ �� ����� �� � �� �����

-� ������ �� ��������� �� � � �� ������� ���� �� ���� ����

���� ��� #� ��#���) �� #���� ��� ���� �� ���� ���� #� ��������� ��� ����

������� ��� �� ���� � �� ��� .��� ����� /��� ,�,0� �� ������ �������� ���� �����

������� �$������ ������� �������)

������� ���� �������� ������� ��� �� ������ �� ����� �� � ������ �����

���� PD � ����������� ����

�������

1� � �� ���� �" �������� ������� �� ���������� 1� ������#�� ��"

������� ��� ����� ����� ���� ��� %��� ��� ������� *����� ��� ������ �� ��

��#�� ����) �������� ��� ���� ��� �� ������� /-� ��0� 2��� � ������ ������ ��

���������� '�� 3�4(� � �� ������ �� �� PD ���� #� ������

��� ������� ��� ��

5�����6 ������� ��� #� ������� ��

������ ������ �������� ��������� ���������

7 ��� ��� ��� ������ �� ��������� ���

����

������� ���� ���������� ������� ���

� �� �� ������� �������� �������

��� ��� ����������� �� ����� �� �� ���

������

AD � ��������

���� ����������

Page 9: Chapter 6 Cohomology

���� ������� ���� ���

������ � ��������� �� � �� � ��� �� �� ����� ��� �� �������� �������� ��� �� �����

� � ��� ���� ���������� � �� � ��� ����� �������������� ���� �� ��� � � ��

�������� �� �

���

������� � ������! �������"

�� ���� ������ �������������� ��� ���� ��������"

� ���������� ����

�� �������� �� ��#������"

�� ���������� ����� �#��� ��$����� �� ����"

�� ����������� ������ ����� ����������"

%���� ���&������� ��� ��$����� ��� � � �� � ����� ���� ��� ��� ���'������� �

��� ������� ����

��� ������� ������ �� � ������� ������ � ����� �� ���� �� �� ����� �� ����

������� ��� ����� ���� ������ � ��������� ������

������� �� ��� ��� ��������� ��� U � ���� �� � �������� �� � � � � �

��� ��� ����� ������� �� �� ���� ���� ����� �� � ����� �� �� ����� ������� ��

U ��� � �� ������ ��� ��� ������� �� U ���� � �� ������

������ ����� � �� ���� �� � � � � �� ������� ��� ���� N�U� �� U� �� ��

� ����� ���� �� ��� �� � ����� ���� ������ �� ����������� ������ ��� ������ �� ���

�� � ���������� �� � ���� ��� N�U� � ����� � ��� �� ��� ����� U �� �� �����

����� �� �� � ������� ����� ��� �� ��� ����������� ��� �� ��������� �������! ���

��� ������ "�#�

����U� �� �

��N�U�� �� �

������� �

� ����� ������ N�U� � �� ��� ��� �� ���� �� � ������

�� ��� $������� �� �� � �������� ��� � ������ � � �� ��

���� ��� �� ���� ���� �� ��� ���%� �� �������� ��������

�� �������� &��� ���� ��� ���������� ��� ������ '�(( ���

�����)��� �� ����������

����� �� ������������ � ��������� �

���� ��� � ��� ��� �� ��� ������� ����� N�U� �� ��� �� ��� ����� U ���

���� � �� � ���������� ����� ��� ������� ���� �� � �� ��� ���)����� �� ����

������

��� ������ �� ���� ��� ������ �� $����*� ������ ����� � ����� �� ����

�� �������� �������� +� ���)� �� ��� ���������� �������� �� ���� �������� ��

��� ���� ���� �� ������� ����� ��� ������ �� ������ ��������� ��� ��������

������� �� ���� ��� ������� ����� U �� ��������

Page 10: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� � � � � ��

��� ������� ���� ���������

������ ������� �� � �� ��� �� ��� ���� � ������ ����� ������� ��� � �

�� ���� ������� � ���� ���� � ��� ����������� � � � � � ����!� �����

��� �� "���� � � #$�% ���� ����� � &��� �� ���� ������� � � � ��� �

� �����&� �� �� ������ ���� ���� � �� � � ��� ���� ��

'��� �������� � � ��������� ��� � � � � ����� ��

� ���� �� ������ ���������( � ��) ������� �� ��

���� �� �� ������ � � � ������� � ���� � ��� ��

� � � � ��� ����� �� ���� � � ������� ���

��� � ����� *��� �� ������� � � CF���� ������ �

� ����� ��) � ������� ��� � ���� ���� �� �+���� �

,$���- ������ ���� �� ������� � � �� ��� ������

������ � �� ��� ����� � ��� �� �� ����� ��� ����

. ��) �� �� �������� ���� � � ��� � ���� � �

�������� � �����) ��� �� �� � �������� ��/���� � ��� ��

��� �� � ��� ������������� '����� �� 0�� � ����

� �� ��� � ��� ��� � �� ������ � ���� ����� 1 ���� ������ ��� ����

,� #���- ���� ��� �� ��� ����������� ��� ������ ��

����������� �� ����� ��� � � ��� � � ��������� � � ����� ������ �� �����

∫��

� �� �

�∑���

����� � �� � ���� � ��� �� � ,���-

����� ��� ������ ����� ����� �� � dim � �� ��� ����� �� � ���� ���� � ��

����� 2� & � � ����� � ����� ��� ��&�� � ��� 3 � �� � � � �����

�4���� � � �� ��� ����������� ��� � �������� � )

��� �

�∑���

�����dim ����

�� � �� �� ������� � � � �� �� 4�� � /������ 5��� � ��) ��� � �

� ��� � � �) ��� �� ��/�� � � ���� ��� � dim ���� dim ���� 6� � ������

� ��4���� � � ������ �������)

dim ��� � dim ������ � � dim ����� �� ��

�� �� ���� +������ ,�� � � &�� ��- � �� �� � � � � �� ���� �+��� � �� ���

���������� 5��� � �� ��� ��� � ����� ��) ��� � �� ��� ����� � ���

� �� � �� �� � ������ 7 ���� ���� ��� � �� � ��) � ���8

∫� �� �

�∑���

��� � �� �

�∑���

dim ���� � ���� �dim ���� � ���� �� �

Page 11: Chapter 6 Cohomology

���� ����� � � �� �� ���

��������� ��� � ������� ��� ��� �������� � ������ ��� �������� ��∫� ��

���� � �� ������ �� � �� ������ ������ � ��� �� �� ���������� �� ��

����� �� ���� ��������� ��� �� ��

���� ����� ��� �� ������� � ������� �� ������ ��� ������� �� ����

�������� ������ �� � � ����� �������� ������ � �������� �� �� ���� �

�� �!�� � �� ���� ����� �� ��"���� � ��#�� ������ $%&'�

��� ����� � � �� ��

( ��� ������ �� ������ ���� ��� ������ ��� )��� ��� � ���� �� ��#��� �

� �� �� $*�� ��&'� +� ����� ���� �� �� ��� ����� ,�#� � #����� ���� � � ��

��� � ����� ��� ���� �� ���� � � - ������ �� �� ��� ��� ���� ��������

�� � �� �� ,�#� ���� ������

��� � � ��� ���� �������� ��� ��� � �� ��#� �� ���

�� � ����� ��� � � Æ � ����� ��� � � � � ������ ��� � ��� �������� �� #����� �

� � .� � �� ��� ����� � ��� � �� �#�� � � ��� ��� �� ������ �� ��� � � Æ �

��� ������� � ��� ���� ��� � �� � �� ��� ����� ������� � ������ �� (� ��

������� ����� � ������ �� ��� ��� � ��� � ���� � ��� ��� � � � � ���

���� ��� � �� �����/

��� � ��

�⊕���

���� ��

����� ���� � �� ��� #����� ���� �� ������ ���� ����

���� � � � � � ���� ��� � � �� � � � �� � � � dim � � 0

���� ���� � ��� ������ ������� ��� � �� #������

� � � ������ �� ����� � ��� ��� �� �� ��

��� � ������� ��� ���������� ��� ��1����� ��

��� �������� ��� ��� ��� dim �� � �2 ��� ������

�������� �� � ��� ��� ��� �� � � ��� � � � dim � �

����� �������� ����������� ��� �� ���� ��� ��� ��� ����������� ���� �

3�� ���� 4��5 ��� ��� � ���� � � ��� ���� ��� � �� �� �� �����

�� � ������� #����� ������ ��������!�� �� ����� � � 0 6������7 #�����

8� � � �� ������ �� � ����� �� �� #���� 6������ �7 � � � ��� ���� ������� ��

������ ���� � � � ��� � �� � ( ��� ���� ��� #����� ����� �� ������

����� �� �� ����#� � ���� 9��� �: #���� ������ � ���� � � � �� ����� ���

������ ��� � � � �� ��� ��� � �� 0� ���� ��� ������ � ����� �� ;��� �

���� ����� ���� 6�������� �� ����� � �������7 �� ������ � � � ����� �

��#�� �� � ����� � #���� ������ � � � � ��� ���� �� ���� ������� - ���

���� 8� �� � - �� ������ �� � ��� �� + ���� ��� ��� � � ��� ����

���� dim �� � �� <�������� ��� � � � ��� � dim � 0 ������ ��������

� � ��� �� �������� � � �� ��� ������� ��������� ��� ���� �� ��� �����

������� ������ �� � � �� ��� � �����

( ��� ����� ���� � �� �� ���� 8� �� ���� ���� ���� �� ����/ ����

����� �� ������� �� ����#��#�� ��� ��������� ��=����� ������� ��� �����

Page 12: Chapter 6 Cohomology

��� ������ � ���� �����

�� ��� �������� ��������� � � ��� ����� ����� ��� ��� ��������� ���������

�� � �� ����� ���� ������ �� �������� �� �� � ��� ����� ��������������

�� � �������� � ������� ���� ��� � �� � �� � � � �� � ��

� �� �!�� �� � �� ��� ����� ��"������� ������ � � � �� �� � ���

#� ���� � � � �� ��� $!�� � � �

��� � ���� ������� � �� �� �� ��� �

%� &�������� ��� �!�� � � � �� �� ����������� �� � � ���� � ���� � ���� �

���� ��� ���'����� ��������� �� �� � ����� ( �!�� � � � ��� �� �����������

�� � � ���� � �� � ���� � �� � ���� � �� � &)�� !�� �� �� �� �� ��� ��

�� ��� ��� �� �� � � *�� ��"������� ������ � �� �� ���� �� �������� �� )����

��������� +����� �� &,������ -.� / ��� ��� �������� ���� ��� ��)������ �������

��� ������� ��������� � ����� ��� )���� ����� X � X����� *��� �� ���)����

)�� � �� �����)� ����� �

��

��

��

X��

��

��

��

X��

��

��

��

��

��

�� ��� �� �

�� �� ��� ��

� -� /

%� ������� � �� ��� ������� ������� ��0��� � �������� � ��� �� ��� ������� )����

����� ��� �� ��� �� ������ ������� �!�� �� � %� ������� � �� ��� ��� �������

�� ������� � ���� �� ��� ��)������ ������� 1��� ��� )������ ���� �������� $! ���

!�� � ���� ���������� ��� �������� )���� ����� ���� �! ��� �!�� � �� ��� ��)����

�����

� � ��� � ��� � ��� �� ��� � ��� � ��� � ���

� � ��� � ��� � ��� �� ��� � �� � ��� � �� � ��� � �� � ���

*�� ���� ������ ���� �� �� ������� �2� ���� �� �������� ��� �����������

��� �� ���)����� ���� ���� �� ������ �� ��� �������� ��)�� �� ������ � �������

�������� �� ��������� ����� ��� ��)��������

��� � ���� ����� �� ��������� �

*�� �������� �� ��"������� �� � �� ���,������ �� ���� ������ �������� 3�2����4�

�,������� �� �� � ���������� �� ��� ������������� *�� �������� )����� �� 3�2����4�

�,������� -�� &�������� ��� �� � )���� / �� �� ��������

� ��

��� �� �� � � �� � �

� ��

��� �� �� �

��� � � �� � ���

���� ��� ��� ��� �� ��� � �� ��� ������� ����� ������� ����� ������ ����� ��������

��� ����� �� ������ �������)���� 5���� ��� &�������� ������� �� ���)�� � ���� �

Page 13: Chapter 6 Cohomology

���� ����� � � �� �� ���

��� ������ ����� ������ ���

� � ���� � ����� �� ������

������� �� � ���

� � �

������� �� � ���

� � ��� ��� �� � � �� � � � ��

� ��� �!����� � �� ��� ���� ������ ��� � ������� �� ������" #��������

���� �� ���# ���� �� � � ����������� � $����� �

������� �� � ���� ������ �

� � �!����� �� ����� ��� ������� �%����� &��� �� �'�(��� ����� �� ������ )�� � ���

�� ������������ %� ����������%�# %����� *� � ���������# � � ��������

����� �� &��� � ��� ��� ��� +� ����������%�# ��� � � ��� � � � ���

%� ��� ���� � � �� (�� � �� � �( ��� %�� �#� � � ����%��%� ���� � �� � �

%�� ��� )�� ����� � � ,������������- ������ �� �� � � ��� ���� � �����

� �� � � �� �� �!����� ������

����

��� ����

�� � �� � ���� ,��.-

( ��� � � � � � �� ������ ,��������� '�( � � � ���� �� ������ ������-

������# �������� � '����� ���#" ������ � �� ����� ��� ������� ���# &���

�"���� � ������" ���������� �������� / ���� � � (�� ����� "

%�"�# ��� ������� ���� �� � �#�� ������ � � �� ������ ����� � �� #�%�

�" �������� ��� � � ������� ����� ��� � �� 0��1� � � ��������� �� ��� &��� ��

��� " �������� � %����� *� � ���������# � � ��� �� � � %� ����" *� �� � ���� ��

�� ���� ������ " ��*�� �� �� � � ������ ����� � � ����%��%� �� � � ������ �� ��

%� ����"� �

� � #�#� �� ��2����� ����� �� ����#�� ��� ��

��#����� ������ �� ��� �� ���� � ��# � �� � ���

3��� � � � �� ���#���� �%�� ��������� �����

4����*� "� #�%� ������� ��������� ������� �

(�� ������� �� � ��� �� ���#� �������∫�� � � �

��*�� �" �% ���# � � ������ ����(��� � ������� ��

��� �� �� �#�� %������ �� � � ���#���# � ��������

� ��� ���# � � ����� )����#�� ���#� � 5� �� � � ���

� � � ���� ��� �� �����# �� �� ���#� � � %����� � ���

��� � � � � 6� � ��� ��� �%���� �� � � ���#� (��

������� �� �� ���������������%�# �������� ��������

������ 7��� � ���� � ���� ������ ��������� � ��������� � � ������

� ����� �� � �� ���(�� ������ �� ��������

������� �� � ��!��" �������� ��� � � ���� ����������� ������ ��� � ��

�������� �� � ������������ ������� ����� ������� ������ ��������∫�

�� �

∫�

��

Page 14: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� � � � � ��

��� �� ��� ������ �

�� ���������� � ��� � � �� �� �������� � �� �������� �� ��� ������ ��

�� �� � ����� �� �� ��� � ��� � ������ � ������ ������ � ���� ���������

�� ��� �� � ����������� � ���� ������ �������� �� � � ��!��� �� ����� "�

#����� ���$� ���� � ���� �� �������� � � � �� � � ����% �� �� ���� ���

��� � � ����� �� � �� �� � ����� � ���� ��C � ���� �� � � �� !��� � " �����

�� ��� ������� � � �� �� ���� �������� � � � ������� �� �� � � �

� � �� � ��� &� ���� �� � �� �� ������ ��� � ���� �� � ����� ������ � �� ���

�� � " ������ ����� � ��� � �� ���� ����� �� � �� ���������� ��

� � �� ��� ��� ����� ��� �

������ ���� ������� ������� ��� �� ���� �������� �� �

�� ���� � '��� � � � � �� �����

���� � �� ��

������ � ��� � ������ � �� (��������� �� � � &��

���� ��������% �� �� � �� � ����� )� �� �������

���� ���� �� �� �� ��� �

�� �� �� � � ��

�� � � ��

�� �� ����� *���� "��� �� �� �� �� �� � ������

����� +�� � � !� � ������ ��� � �� ��, ���� ��

�-�� � � �������� � � � � �� ����� ��� ���� �

�������

��� �� �� �� ������ � �� � �� ����

���!����� �� �� �� ��� �� �� ������� ���� ����� �� ���� ��� ���� ��

������ �� !������ ���" � �" �� �% ��� #.���� � /0��1� �

������ ���� ���� � ������� �

&� � '��� � � � � �� �� !�� � ���� � � �� ������ � � � ���� �

� � � � ��� 2� �-���� � � �� � � � � � � �� ���� ���� ��� � �

�� �� �� � �� � � � � � �� � � �, ����� �� � �� ���� ��� �

�� � �� ���� � ����� ���

�� ���

��� ���� ���� ��� � ���� 3��� � ����� �

"���� #������� ��� � ����� ���� � ���� �������� ��� � ���� �� !��

� ���� ������ � � ������ �������� �� )� �� � �� �� !��� ������ � ������

�� �� ��� �� ��� � � � � � � ���� �� � � � � �� ��� ��������� ( �����

�� ���� � �������� �� � �� �� � ��� � � ��� � � � � � ���� �

&� �� � � ������� ���� �� � '��� � � � � �� � �� ��� �� ��� �� ���

������ �� �� �� �� ������� �� ��

������ ���� ��� ���� !��������� �������� �� � � ������� ������� ��

��������

4 ����� � 5 � ����� � ���������"��� ��� � � 6 ����7 �������� 8� ��

����

�� � �� � ���� � ������� ������� � �� � � � ���� !��� ��5�����

Page 15: Chapter 6 Cohomology

����� ��� ����� ���

� � ��� ���� � ��������� ������ ����

� ���� ������ ����� � ������ � ��

����� �� � ������ ����� � � ������ � ��� ������� ��

� �

������� �� ��� ���� �������� �� ���� ������ �� ��� � �� ������� ������

�� ��� ��� �� ���� �� ����������� �� ��� ���� � ������

∫�

� �� � �������

���� ���

���� ��� Æ

∫�

� � ����������� ���

���� Æ

� � �� �� ������!� ������ � � �� ���� ���������� � ��� � ����� ��

������� "� ��� � ����� � � ����� � � #������� ������ ���� �#������

�� � �� � ������ ���� �#������ ���� #������ ����

∫���

�� ��

∫�

��

∫��

� �

���

∫�

��

∫�

!�� $�%� & ������� ��� � ��� ��� �� ��� ������� ��� � ����� � � ������

���� �'��� ��� (�����) *������ � ����� � PD � ���������� ���

���� ��� Æ � ��

+��,�

���� ��� �����

��� � -��� � ����� � � ������ ���� ���� �� � ����� ������� �#� � ���

������ ��� ������ ������ $�!���� � ��� �� ����� ���� ��� ������� �� ����� ��

��� ������ � ������ ���� � ��� ��� ������� .��������� �������� ����#����/ �����

�� ������ � ��� ����� ������ ��� ����#���� ��������0���� � ��� ���� ������

-����� ��� 1������ ���� ���� ��� ���� ����� � ��� � �� ���������� ��������

� ����� � �����!����#�� ������� � � ��� � � ����� � � -��� ������

��� � � ��!��� ���� ��� �������� � � ����� 2��� � ��� ������� �������3

4� � � �� ���� ��� ���� � � ��� ��

���� �� � � ������� �� ���� � �����

� ������ � 5�� � � ������� #� � ��������

�� � � ������ � �������� *���� ��� ���

�������� � � � � �������� � #� ��� ������

�� � !���� � � ������� ��� �� ������ � � ��� �

� � ��!�� #� �� ������� � ��� �������� ������

��� ��� �� � � � ���� � ��� 6�� �& �� ������ ��

��� 6�� �& � ������7

�� � ��� � � ������ �� � � � ���� � � ������ ���� � � � �����

����� ��� ����� � �� ��� ���� �������� � ��� ��8����� �� 9�� �� ���� �� �

�� � ������ � ��� ��� ����� � � ������ � ����� �������� ������� �� �������

Page 16: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� ���� �����

�� �� ����� ���� �� �� ������ �� � ���� �� ��� ������ �� ������� �� �

� �� ������ ��� ��� ��� �� ��� ������� ���� ������� ������� � � � �

������� � ��

�� �� �� ��� ���� � ������ ���������� �� �� ����� ������!� �� ����� ��

��!� ��� ���� �� �� ������ "� � ��!���� �� ��# ���� � ��� � �������� ��

����!� ��� ����!� ��������� ��� �� ������ ����� � � � ������� �� �

����������� ����� ��� �����! �� �� ���� ��� ����� �� �� ������� ����� �� ��

����� ����! ��� ����!� �� ���� ������� �� ������ �� �� � $�� ��� ������

�� ������

������� �� � ��������� ����� ���������� ������ �

�� ��� ������ �� �� �� �� ��%����� �� ���������� ����������� �� �� �� ��� ��

������ ���� �� �� ����!�� � � ����� �� ���� ����� !� �����

��������� �� ���� � ������ &��'(

�� � � ���������� ���� �� �������� �� ��� � ���� &�� ����� )�*�+(� !��

�� ��� � ������ ����,����� "� #� ��� �� ��� ������ ���� ���� �� ��

��� �� ������ �� ������ �� ������ ��� ��� ��� ����� �� ���� ����� ������

������ !��� ����� ��� �� �� �� �� � ��� � ������� ��� ��� �������

��- ���� �� ����� � � �� ����� � �� � � �� �� ��� !�� �� �� � �� ��� �

���� ������

.� � ���� ��������� �������� ������ �� �������� ������� �� �� � �� �����

������ /���� �� �� � ����� �� #� �� 0#�!� ����������� !��� � ����

��� ����� �� �������� ������� �� �������� ���� ����� �� �� ���� �!���� ����

����� �� �� ����� ����� �� � ���� ��� ���� ������ ������ �� �������� ����� !���

�� �� ��� ��� ���� )��1� �23� �23+� �� ����� �� �� ��� ������������

��������� ������� ��� ��� �!������ �� �� �� ���� &��� �������� �� �� ��

��� �� ������ �� ���!���� ��!�������� ���( ��%���� &������( � ������� ��

����

"�# � �� ����� ������� �� �� ����� �� 4� ����� � �������� Æ ! ��

���� �� ���������� 5 �������� ����������� �� �� ������ ������� ���� �� ���

��� ��� � �� �������� ����� 6��� ��� ������ � ��� �� !������ �� �

� � ����� �� � �� ��� �� ��7���� �� �� #��� �������� � ��� � �����

8 ����� �� � ���� ���� � � �� ������ �� � �� ��� �� �� � ������� �����

�� ��# ������ �� ���� ������ �� ���� �������� ����

���� �� ������� ��

��� ���� ������ ������� �� �

�������

�� ���� �������� �� ����� ����� ��� �� ���� ��� ������ �� ��������� �������

�9�!������ 8� ����� ���� ������� ��! ������� �� � �� � ������� ���� �� ���

������ � ���� �� ��� ��� � $�� �� ����� ����� �������� ���� ��� �������

�� ����� ������ "� #� ��� ��� &�������� ����( ����� ���� � ���� �� � ��

����� ���� �� ��� ������ � ���� �� ����� ����� :��� #��� � ����

�� ���� � �������� ���� ���� �� � �� ������ � ������� ���� ��� ����

Page 17: Chapter 6 Cohomology

����� ������ ���

� ��� ��� � ������ � ��� �� ����� ��� ��� �� �������� ���� � �� � ����

������ ���� � ��� �� � �� �� � � !�� �"������ �� � �������� ��� ������

���� ��� ����� �� �� � ���� ������� ������ � ��� �� ����� ���� � � ��� ��

����� ����� � � ����� ����

������� �� � ����� ���������� ������ �

#�� ����� �� �� �������� �� ������ � �� � ����� ��� � ��� ��� ��� ���

��� ����� ���� �� � ��������� $����� �� �������� �� ���� ���� %&�� �� '��' �

��(��� �������� ��� �� ��� ) ����� ���� � �� ������� ��*���� ��� �� ��(��+

��� ��� �� �� ,������ �� � ����� ���� ���� �� ������ � ���� � ��� �������

���� - � ����� !�� �������� ��� � ��� �����

.������� � ������ ���� � ���� �� /������� 0�1'�

2�� � 33��45 �� ��� ����� ������������� �"������� ���

� � ������" �������� ����� ���� �� �� ������� ���"

������ ��� �� �����6�� � � ���� �� �"������ � ����

�� � ��� �� �"���������� ����������7 �� ������� �����

!�� �� ��� �� ��� ������" �������� ,�� �� �� � ��

���� ��� �� ��� �� �"������ �� � �8����� �� ����"

����������� ����"������� ����� !�� ���� � �������"

����� �� ���9���� ����� �� ��� �� ������" ��������

����� ���� �� ��� �

������� �� ��������� ��� ������ �

3 �� ���� ����� ��� � ���� ��� ��� � �� � �� ���� ��� ��� �������� ��

������� ������ ��� ������" �������� ����� ���� �� �� 0�'� ��� ��:5� !�� ������"

��� � � ������7 ����� ��� �� ��� �� � � ��� ������ ��� ������� ����� ��

,�� �� �� ����� ���� ��� ��� � ��� � �� �������� ���� �� ,������ ���� ����

� ���� ����� ��� ��� �� �� �� ��� ����"����� � ��� � �������� ����

������ ���� �� 2������; $��������� !������ ��� ������" �������� ,�� 0�415 �

���� ��� ����� ��� ��� �� ��� ��� �� �� ������� ������ �����"������ ���

���� ��� � ��� � � !�� ���� �� �� ������� ������� �������6�� �� ��� ��������

� �� � � �� � � ������� ��� ��� ������ ���� �������� ���� ����� ��� ��

�������� ������ ����� ����� �� ���������� ������� ������ �� �� ,���

�� � ��

∫��

∫��

��� �� dvol� dvol� �

!�� �����8�� �� ���� ��� ������ ���� �� ��� ����� �� �� ��������"

��������� 8����� ���������� ) ������" �������� ����� ���� � �� �� � �����

��� ������������� � � �"������+ �� �� ��� �� �� ����� ���� �������� ���

�� ������ ���� � ����� �� �&�� �"���� ���� �� �� � � ��� ��� �� !�� ������� ��

� � �� ������� �� �� ����� ����� �� � ��� � ���������7

H�� � ��

∫��

� � ��

Page 18: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� � � � � ��

�� �� �� ����������� ���� ���� � �� �� � � ��� �� ��� � �� !� ���

"�#$ %� �� ���� & '�� "�(�$ %� �� ���� ���)*����)* "+�$,, �� �� ���� �� ������� ��

�� ������ ��� ������� �*�-.

������� ��� ��� � �� ��������� H�� � � ���� �

!� � � ����/ �� ������� �� �� �������� � � *�� �� ���� � � � �*��

������ ��' � ������ � ��/ ���� ������� �*�-� � *������� -� �*��� ���

�� � ��� ���������� �� 0*�� ��������/ ���� �� �� ���� ��� � �� ���� 0*�� � ���

�� ��� ��� ���� � �� 1*� 2*��� �� %13���� ���+,/ ��� �� ��� � �� 0*��

%�� ������ � �� � � � �� �� ���� ���, �� - *��� -� � -� ������� 4 H �� �

� � � ����� ���* � � 0*���� ���-����� � ��3� � � � � �� 5������ � �

�� "��$ *�� �*��� � ����� � ����* ������� -���� � �

������� ��� ������ ��� �������� ������� �

&��� � �� � ���*��� � ����� ( � ������ 1*�

����������� ��� �������� � �*�� ��� � ������� �

�� ��� � �*��� "�(#$� � ������ ����� � � ���

�� � � �� �� � ������� �� � ������� �� � ��� ���

� ������� ����� �� ��� �� �

���� �

�� � � � �� �

� ������ � ������� �� ��� � ��� ����� �� ���� ��������� ��

������ ��� � � ��� ��� � � ���� � ������ �������� � �

��

��� �������� ���� � � ���� ��� � � �� �� � ������� ������ �� �

�������� � ��� � ������� ������ �� ��� � ���� � � ����� ��������� � �� ����

����� ��� ��� �� ��� � ��� ������ ���� � ��� �������� � ���� �� � � �!"�

�������� ��� ������������ � � ��� ��� �� ��#��� �� ��� ������� � � ��� �����

� � $�� � �����

��� ���� �� � ����� ����% �� ��� ��� ����� �����&

����� �

∫��

�� �

∫��

��

'��������� � ��� �������� � ���� �� ���

������ �� ���� � ���������� � �����&

�� ���� � �� �����

��� ��� �����

(��� � �� ���� ������ �� ���� ��

��� ��� ��� ��)����� ���(��� ��� ���

������������ � � � ����� ���� ���� � � � ��� � ��� ����� ������� � � ����� ��

����� � � ������ *��� ��������� ��� � � ��� ����� ����

� � ���

� ��� ��� �

�� �� �� ��� ����� �� ��� ������� � �� ���� ���� �� ������� � � ��� ���� �����

�� �� ������� ��������� �+����� �� ��� ���� ������� �

Page 19: Chapter 6 Cohomology

����� �������� �� �� �� ������ ���

���� �������� �� �� �� ������

��� ��� � ��� �� � ������� ��������� ����� � ������� ����������� �� ������

����� � ��������� ��� ������ � �� ������ ������� �!������� "���� ���� ��� �

����� ���� � �� ������ �� ��� ����#�� �� ������ ��� �� ������ � ��#�������

�����$ dim ���� � �

(�

)� dim �

����� �� %& � �������� �� � � ��� ���� �� ��

���� ��� �� ��� �� �� ����� �� ����������� #��� ������� %& ���� �� ��������� ��

� � ��� ���� �� �� �!������� ���� �� �� ����� ��� ����� #��� �������� �� �� ����

������������ '�(�� ��� ����� ��� � � ���� � � ������ � �� #��� �������� ��

�����)�$

����� � ���� � � � � � ���� �� ������ � � � � � ������ � ���� �

)���� ��� �� ���� ���� ����� ������� ���������� *&��� �� ��� �� ��� � �� ��������

��� �� �� ���� ���� � ���� �� ��� ���� ��� �� �� ��� ���������� ��� �� ���

#��� ������ +� ����(�� � ���� ����� �� � ����������Id�+� �� ������ ������ � � "������� ,��� *&����� ���-. ���� ��� �� �� ����

�&��� � �� � � �� � ����� %�� �&������ � *�� ��� �� )�� ��� ���� �� #��� ��

��� *&����� ���/� ����� ��

� *���� ������ "������� ������ ��� � )���0 �(��

��� � �� �� )��� � ���� ����������� ��� ������ � ��� � � � � � ��� ��

)�� � ���� #� � ��� � ��� �� �� ���� ��� � �� ���� ��� �� �� ��� �� ��

���������$

��� � ��

∫�

� � ��

��� ��� �������� � ����� ��� ���

�(�� � � ������� Æ � �� � ���� ����

#� ��� � 1���$ ��� �� � ��� �2 ����

�&������ Æ �� �������������� ��� ������

���� � ��� ��������� �� � �� ���� #�$

�� �� Æ�� � �Æ Æ��

3��� ���� ��� ������� � ����� 4���� �� ��� � � � � ��� ������ ���� 0�� �� �0

�������� ��������� ��� ������� #��� � ������� �������� �� ��������� ���������

��� �� ���� ����� ��� �(�� �� � ���� �� ker � ��� 5����� �� ��� ��������

����� ���� ������ ����� �� ���� � ������� ����� ������ ��������

����� ��� �� ���������� �����������

�� � ����� � � �����

������� ����� ���� � ������� ����� ������ �������� � ���� �� �

�����

��� #����� �� )��5�� )�� �������� ��� ��� �����)�� ���� $ ��� �� �� ����

� � �� �������� �� ������ ������ ��� � � � #� � ������ ����� �������

���6 ����� ���� �� � � � �� ��� ����� ���� �� � ���� ������� ���

���� � ��������������� ������� � ���� ���� � ��

Page 20: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� � � � � ��

����� � ��� ���� � ����� ������� �� �� �� � ����� � � ������� ��

�������

��� �� � �����

�� �� !�"�� ����� ��#�����$� � � ����� � ������� �� �� �!����� �

��� � ��� %� � ���� !�&� �� �� ��� ����� ��& '�� �� �� � �����

���������� ���� �� �� ( �� �� � &���� ��� �� ��)����� *����� �

��� ��#����!������ ���� �� �������� !�� ��� �� �������� � ���� � �$

��� � ��� � ���% � &��� ������ � ����� � ���% C � ���� �� �� � � +������

�� � �� ��� � ���� ��� �� � ���� ������� ����� �� ) �� ���� � � $

�� � ���� �� �������� �� �� �� �� �� ������ ��� �����% ������� � �� � ��

,��� ���� ��� � ���� ������� �� �� ��- ��� Æ � � �"� �� ������ �� ���

���. � � �Æ � Æ� � /� �� �� �� �� �� �� �� ��� ��� � ������ � �� � ker ��

�� �� &��� ����� ( �� �� � !� �� � ����� %����

������ ���� ������� ����� �������� ��� � � ��� �� ���� �� ��� �����

�� ������� �� � ����� � ��� � �����

���� �� ���� ��� � �� ������ �

0���� 1��������� ��) �� �� ����� �� �� ���� �� � ��� �� ���� ��

�� � �� ������ 2 � �� ������� ���� ��� � ��� � � � ����� � � ��

� ��� �� ���� 1�������� �� �"�� ��

��� ���� �∑

� � �� �������

���� ���

�� �� ��� )� � ���� ���� ��� &��� �� 1�������� � ����� ��� �� !$

)� �� ���$� ���� ������ � ������� 3� �� ��� ���� � ��� ��� �$����� �� �

�� &���� ��� � �4� )��� �� �� �)�� ��� ����! �4� 5��� 1��������� ��)

��� %����) �� �� ��� ����� 6�7�8� ���� � ������ 69�8 ��� ���� � � ��

�������� :������� � �� ; ���)��� �� ���� 1�������� � �� �� �� !��)�

��� � &��'� � � ���� ��� � ���� � �������� ��������� �� �� ��� � ����������

� ���%� 6�9�8� �

���� �� ��� ������!"��� �������# �� "������� �

�� 1�������� �� � � ��� ��� ���� �� ����� �� &��$����� � �����!��� � �����$

�� �� �� & ' ���!��$<���� ��� =��!�!�� 6��98 ������ �� �� �� ����������

1�������� � �����!��� � ������� � �� � � � ����� � )�� ���� � >?���

@� �� �� ?��� ��� ����� )�"� � )�� �� � ��� ��& ' �� �� �� &� �

�� &��� ���� ker � � � � ����� �$ �� �� A�� � ���% F �� ��& '� 3�

�� ��� � � ���� �� ���� �$"������ �� � ��� ��� � �� �� ������ ������� ���!�

� ���� � � ��� ��� � ker � � �� ����� !� � �)��� � ��� *���� � &��� ��� � ���$

���� � ����� ��� � ��� �� �� :� �� �� � ����� �� ��� � ������� � ����� ��;

� ����� � )�� � �� � ���� � � �)�� � � � ���� ���� *���� � ��� ! � �)�

� ����� ��� �� � �����!��� ���� 6��?8 �� ��� � � �� � ����� � �� �� &�

��� ���� ��� &��� �� ��� *���� �� �� ��� �� � �)��� � �� � ���� � ���

! �� &� ���� ��� ! ��� )� !� ������ ����� � &�) *���� � ��� ��� 6��?8� �

Page 21: Chapter 6 Cohomology

����� ������ ���� ������ �� ��� ���� ���

���� ������ ���� ������ �� ��� ����

�� ����� ��� ������ �� ���������� ��� ������� �� � ����� �� ��� � ����� ��

����� �� ���������� �������� � ����������� �������� ������� ��� �����������

��� ��� � ������� � ����� ������ �� ���� ��������� � ����� �� �

����� ��� ��� ������� ���� Q � �� �� � �����

�� ����� ������� �� !���� �� ������� �� �� �"

������ �������� �� �� �� ����� ��#����� ������ ���� ������

�� Q� �� �� � ������ ���� �������� ��� � ������ ����

��� �� ��� ����� � � �� $��������� �� ��% ���� Q ��

������ �� ������ &��� �� ��� �'������ ��������� ���

��������� ������ ���� ������ �� � ����� �� ()��* )++,

��-� ������� ���-�'��� �����������

.�� ������ �� � /�-�* &�����-* �� 0�1 ���

2�������� (+3, �� � ���! ���������� �� �������� �������

���� ��������� ��� �������� ����#�� �� ��������� ��

��� ��� �� ���"������� .�� ����� �� ����� ���! �� �� ������

�� 4�� ������ ���� ��� ������� ���� ���� �������� ������5 ��� ��� ����� �*

��� ���� �� $��������� ������-���% �������� ������ ������ �� ���� � � �� ��

���������� �� ������� $��� �+��%� .�� ���� ����������� ������� �� � � ��

��������� �� ������ ����������� -�� ����������

)� .� #� � ��������� ���� ��� � ���� �� � ������� �� �� �� Q* ������ ���

���������� ��������� �� � ��6���� �� 0������� 7��� �����'��* �� �� �����

����� 8�� ��� /������ .������ $.������ ��)�%* #� ���"������ ��� ��6��� 9

��� ������� ������� $�� �-�� ��� �: ������%* ���"������ �� � ��� #� ��

��� �������� �

�� � $����������% ���� ���� � �������� ��� �� ���-���� �� � ������� ����

��� � ������� �� ����� �� ��� ������� �������� .�� ����� �'��� ��6����

�� ���"������ � �� ����� ��� �� �� � ��� � � ����� �'��� ��6���� ��

������� �����'�� �� � �� * -�� ;���� ���* � ��� �'��� ��6���� �� ����

�����5

�� ������� �� ��������Æ

�� ���������

�� ������� ��

.�� !���� �� �� � ������� � ������� �������� �� � �������� ���������

������5 ��� � � ����� �� ���� �� �� ���� ���������� �� ������� ������ �

�-��� ����� ��� ����� <� �'�������* ker ���� im Æ9 ������� ���� �� ����* ��

������ ���� �������� �������� �� ��1����-�* �� $����������% ������ �� ��

���"������ ��������� ��� �� ������� �������

�� .�� ������� ������� ������ � �� ������� � ���� �� ���� ����������� = � ���

������ ������ ��� �� ����������� �-�� � ��� ����� �� �� .� ���' � �� �

������ ������ ���� ����� ������* ��� ��� ���"������ �� #� � ����������

�������� ������ � � ������� .���!� �� ��� ��� �-������� ���������� ��

��� ;�������* ���� � ������ ���������� �� � �� ������ ���� ����� �������

�� � � ���

Page 22: Chapter 6 Cohomology

��� ����� �� � � � � ��

� ������ � � ������� ��� ������ ��� ���������� �� � ����� ���� �

��������� ��� �� ������� ! � � � � ��� ���� ������������ �� ������ ������� "#

��� ��� ������� ��� ������ � $������

�����

�� ���� ����� �� ������� ��������� � ����� ���������� �� ����� �� ������ �

���������� ������ ��� �������� ������ ������ ������� � ����� �� ����� �������

������ ���� ��� �� ����� �� !�� ���� � !����� "�� �� �� #��� ������ $� ���

�� �%� �� �� ������� ����� ������� ��� "���� ��&' �� ���� ��������� �����

(� ��� ���)���� �� �!���� �� ����� �� �!�*����� ��� ���������� +������ �������

��������� ������� �,����� �� ����� -���� ��� ��-���� ��������� ������ �� ��������

���� �������� � ���.������

&� ��� ���� �� �� ������!�� ��!�� �� � �,������� �� �������� !� /������ �(%& � 0��

��� ������� ���� ��������� +�������� ��������� !���� �� ���

%� 0�� �� �� ���� ���������� ������� �� ������� �� ��� �� �� ������ � ���-�������

������ 1���� � � ��������� ���� ��� � � ����� �� �� !� �� �� �� �������� 2��

����������� ���34 � � ���� � �� ���� ����� � ������ C �� ��5������� � �6���

� ���� � � � � ��� � �� ���∑

� ����� � ���� � � � � ����� ����� � � � � ���� ��� �� �� ��� ��������

���� ������ �� � �����!������ �� �� ����� �������� ��� � � � � �� ����� � ��!������ C��

��� ��������������� ��������� �� � �� ���CC��� 7 ��� ��� �������!�� ������

��������� � �� �������� ����� �(89 � ���� ����� ����� ����������� ������� �

��������� �� ���-������� ������

'� �����:� ������� �� ������ �� � ��� ����� �� ���!�������� ��� ����;���� ��!,

���� �< � ��� �� ��� � ����� ��������� ���� �� � ������ � �� � �� �� ��,

������� ������� ��� ����������� ���� �� 6�� � � ����� ��� ���� ���������

��������;����� ����� 7 �� �����6�!�� �� ���� ����� ����������� ������� �����:�

������� � ������ ��������

�� ����� ��� �� ��� ���� ������ � ����� ���� �� ������� �� ���� /������=� >�����,

���� ��� ?������; ��� ���������� ������� ������� ��� ������� �� ����� �� !��

����������� �� �� ���� ��� � �� �� ������ ������� �� ��@��������� A���� <

��� ������ ���� �� �� ��*����� !��6������ ��� �� ������

�� ��� �� ����� �� ���� ������ ��� ��� � -�� ����� 7 �� ���� � �������;� �

����� ��5������� ������ +��� !��� �� �� ����������� ������� ������� ��(( 2��� ��

���������� �� �4 ���� � � ���������� !� ��� ��� ��������� �� �� ����� �

� � ����� ������ � ������� �� ��-��� �� � ����� � ��� � ������� ���

�� � � �� ������� ��� � � � � �� �� � ����� � ����� � � � � �� ��

7� -��� ���.������ � ��� ��� ������ ��� ��� � � � � ����� ��� � ����� �

��� �������� � ��

8� ��� ������ ��� ������ ����� �� ����� �� ���������� �� ����� ������ ����

�� �� ������������ �������� �� ����� �����B ���� ����� ��� ���� ����� ��

���� �� ���������� ���������

<� > ���� ����� ���� �� �� �� #��� ������� 2��(�4 ���� � ���!�� ������ �%� 2���

�� ���� � A���� '4�

�9� ����� ����� �� ������ � ��� � �� ����� ��5������� �*������ 2�� ��� �����

?�����:� �*�����4 �� �������� ��������� ��� ���� � ��������� ���������� C���

��!��� ��� ����� ��������� ���� ���� ���� /D+� ����� ��������� �������� ���

���� ���������� �� ����� ������ ����!���� �������� 6�� ������ ��� �����

Page 23: Chapter 6 Cohomology

����� ������ ���� ������ �� ��� ���� ���

��� ��������������� ����� ���� � �� ����� ��������� ����� �� ���� ��� ������ ����

��� ��� ��� �� �������� ������� �������� �� ���� ���!���� �" ���� �� ���� ��

���� �� �#��� � �� ���� �� � ������ ��� $����� ��� ���� ����� ��%� ����� �&������'

����� ��� ���������� �� ���� � �������� �� �������� ��������� (� $� )��� $��� ���������

�*"� �� �� ���� ���!��� ��� ����� ����� �$� �� ������ ��� ����������� ��� �� ���

�� �� � ��� �� ���� ��� ���������' ��� +#���� �,����