chapter 6 finite differences - engineering...
TRANSCRIPT
Chapter 6
Finite Differences
6.1 Introduction
For a function đŠ = đ đ„ , finite differences refer to
changes in values of đŠ (dependent variable) for any
finite (equal or unequal) variation in đ„ (independent
variable).
In this chapter, we shall study various differencing
techniques for equal deviations in values of đ„ and
associated differencing operators; also their
applications will be extended for finding missing
values of a data and series summation.
6.2 Shift or Increment Operator (đŹ)
Shift (Increment) operator denoted by âđžâ operates on đ(đ„) as đžđ đ„ = đ đ„ + đ
Or đžđŠđ„ = đŠđ„+đ , where âđâ is the step height for equi-spaced data points.
Clearly effect of the shift operator đž is to shift the function value to the next
higher value đ đ„ + đ or đŠđ„+đ
Also đž2đ đ„ = đž đžđ(đ„) = đžđ đ„ + đ = đ đ„ + 2đ
⎠đžđđ đ„ = đ đ„ + đđ
Moreover đžâ1đ đ„ = đ đ„ â đ , where đžâ1 is the inverse shift operator.
6.3 Differencing Operators
If đŠ0, đŠ1, đŠ2 , âŠđŠđ be the values of đŠ for corresponding values of đ„0, đ„1, đ„2 ,
âŠđ„đ , then the differences of đŠ are defined by (đŠ1 â đŠ0), (đŠ2 â đŠ1), ⊠, (đŠđ â đŠđâ1) , and are denoted by different operators discussed in this section.
6.3.1 Forward Difference Operator â
Forward difference operator âââ operates on đŠđ„ as âđŠđ„ = đŠđ„+1â đŠđ„
Or âđ đ„ = đ đ„ + đ â đ đ„ , where đ is the height of differencing.
⎠âđŠ0 = đŠ1â đŠ0
âđŠ1 = đŠ2â đŠ1
âź
âđŠđ = đŠđ+1â đŠđ
Also â2đŠ0 = âđŠ1â âđŠ0 = đŠ2â đŠ1 â đŠ1â đŠ0 = đŠ2 â 2đŠ1 + đŠ0
âź
âđđŠ0 = đŠđ â đđ¶1đŠđâ1 + đđ¶2đŠđâ2 ââŻ+ â1 đâ1 đđ¶đâ1đŠ1 + â1 đđŠ0
Generalizing âđđŠđ = đŠđ+đ â đđ¶1đŠđ+đâ1 + đđ¶2đŠđ+đâ2 ââŻ+ â1 đđŠđ
Here âđ is the đđĄđ order forward difference; Table 6.1 shows the forward
differences of various orders.
Table 6.1 Forward Differences
đ đ â âđ âđ âđ âđ đđ đŠđ
âđŠđ đđ đŠ1 â2đŠđ
âđŠ1 â3đŠđ đđ y2 â2đŠ1 â4đŠ0
âđŠ2 â3đŠ1 â5đŠ0 đđ đŠ3 â2đŠ2 â4đŠ1
âđŠ3 â3đŠ2 đđ đŠ4 â2đŠ3
âđŠ4 đđ đŠ5
The arrow indicates the direction of differences from top to bottom. Differences in
each column notate difference of two adjoining consecutive entries of the previous
column.
Relation between â and đŹ
â and đž are connected by the relation â ⥠đž â 1
Proof: we know that âđŠđ = đŠđ+1â đŠđ
= đžđŠđâ đŠđ
â âđŠđ = đž â 1 đŠđ
â â ⥠đž â 1 or đž ⥠1 + â
Properties of operator âââ
âđ¶ = 0 , đ¶ being a constant
âđ¶ đ(đ„) = đ¶đ(đ„)
â[đđ đ„ ± đđ(đ„)] = đ âđ đ„ ± đ âđ(đ„)
â đ đ„ đ đ„ = đ đ„ + đ â đ đ„ + đ đ„ âđ đ„ , đ & đ may be interchanged
â đ đ„
đ đ„ =
đ đ„ âđ đ„ âđ(đ„)âđ đ„
đ đ„+đ đ đ„
Result 1: The đđđ differences of a polynomial of degree 'n' are constant and all
higher order differences are zero.
Proof: Consider the polynomial đ(đ„) of đđĄđ degree
đ(đ„) = đ0đ„đ + đ1đ„
đâ1 + đ2đ„đâ2 + âŻ+ đđâ1đ„ + đđ
First differences of the polynomial đ(đ„) are calculated as:
â đ đ„ = đ đ„ + đ â đ(đ„)
= đ0 (đ„ + đ)đ â đ„đ + đ1 (đ„ + đ)đâ1 â đ„đâ1 + âŻ+ đđâ1 đ„ + đ â đ„ = đ0đđ đ„đâ1 + đ1
âČ đ„đâ1 + đ2âČ đ„đâ2 + âŻ+ đđâ1
âČ đ + đđâČ
where đ1âČ , đ2
âČ ,⊠,đđâ1âČ , đđ
âČ are new constants
â First difference of a polynomial of degree đ is a polynomial of degree (đ â 1)
Similarly â2đ đ„ = â đ đ„ + đ â â đ đ„
= đ0đ(đ â 1)đ2 đ„đâ2 + đ1âČâČ đ„đâ3 + âŠ+ đđ
âČâČ
⎠Second difference of a polynomial of degree đ is a polynomial of degree (đ â 2)
Repeating the above process âđđ đ„ = đ0đ(đ â 1)âŠ2.1đđ đ„đâđ
â âđđ đ„ = đ0đ! đđ which is a constant
⎠đđĄđ Difference of a polynomial of degree đ is a polynomial of degree zero.
Thus (đ + 1)đĄđand higher order differences of a polynomial of đđĄđ degree are all
zero.
The converse of above result is also true , i.e. if the đđĄđ difference of a
polynomial given at equally spaced points are constant then the function is
a polynomial of degree âđâ.
6.3.2 Backward Difference Operator đ
Backward difference operator â â â operates on đŠđ as âđŠđ = đŠđâ đŠđâ1
⎠The differences (đŠ1 â đŠ0) , (đŠ2 â đŠ1) , ⊠, (đŠđ â đŠđâ1) when denoted by
âđŠ1, âđŠ2, ⊠,âđŠđ are called first backward differences.
Also â2đŠđ = âđŠđ â âđŠđâ1 , â3đŠđ = â2đŠđ â â2đŠđâ1 denote second and third
backward differences respectively.
Table 6.2 shows the backward differences of various orders.
Table 6.2 Backward Differences
đ đ đ đđ đđ đđ đđ đđ đŠđ
âđŠ1 đđ đŠ1 â2đŠ2
âđŠ2 â3đŠ3 đđ y2 â2đŠ3 â4đŠ4
âđŠ3 â3đŠ4 â5đŠ5 đđ đŠ3 â2đŠ4 â4đŠ5
âđŠ4 â3đŠ5 đđ đŠ4 â2đŠ5
âđŠ5 đđ đŠ5
The arrow indicates the direction of differences from bottom to top. Differences in
each column notate difference of two adjoining consecutive entries of the previous
column, i.e. âđŠ1
= đŠ1â đŠ
đ, â2đŠ
2= âđŠ
2â âđŠ
1, ⊠,â5đŠ5 = â4đŠ5 â â4đŠ4.
Relation between đ and đŹ
â and đž are connected by the relation â ⥠1 â đžâ1
Proof: we know that âđŠđ = đŠđâ đŠđâ1
= đŠđâ đžâ1đŠđ
â âđŠđ = 1 â đžâ1 đŠđ
â â ⥠1 â đžâ1
6.3.3 Central Difference Operator đ
Central difference operator â ÎŽ â operates on đŠđ as ÎŽ đŠđ = đŠđ+
1
2
â đŠđâ
1
2
⎠The differences (đŠ1 â đŠ0) , (đŠ2 â đŠ1) , ⊠, (đŠđ â đŠđâ1) when denoted by
ÎŽđŠ1
2
, ÎŽđŠ3
2
, ⊠, ÎŽđŠđâ
1
2
are called first central differences.
Also ÎŽ2đŠđ = ÎŽđŠđ+
1
2
â ÎŽđŠđâ
1
2
, ÎŽ3đŠđ = ÎŽ2đŠđ+
1
2
â ÎŽ2đŠđâ
1
2
denote second and third
central differences respectively as shown in Table 6.3.
Table 6.3 Central Differences
đ đ đ đ đ đ đ đ đ đ đ đđ đŠđ
ÎŽđŠ12
đđ đŠ1 ÎŽ2đŠ1
ÎŽđŠ32 ÎŽ3đŠ3
2
đđ y2 ÎŽ2đŠ2 ÎŽ4đŠ
2
ÎŽđŠ52 ÎŽ3đŠ5
2
ÎŽ5đŠ52
đđ đŠ3 ÎŽ2đŠ3 ÎŽ4đŠ
3
ÎŽđŠ72 ÎŽ3đŠ7
2
đđ đŠ4 ÎŽ2đŠ4
ÎŽđŠ92
đđ đŠ5
Central differences in each column notate difference of two adjoining consecutive
entries of the previous column, i.e. ÎŽđŠ1
2
= đŠ1â đŠ
đ, ⊠, ÎŽ5đŠ5
2
= ÎŽ4đŠ3 â ÎŽ4đŠ2.
Relation between đ and đŹ
ÎŽ and đž are connected by the relation ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
Proof: we know that ÎŽ đŠđ = đŠđ+
1
2
â đŠđâ
1
2
= đž1
2đŠđâ đžâ 1
2đŠđ
â ÎŽ đŠđ = đž1
2 â đžâ 1
2 đŠđ
⎠Ύ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
Observation: It is only the notation which changes and not the difference.
⎠đŠ1 â đŠđ = âđŠ0 = âđŠ1 = ÎŽđŠ1
2
6.3.4 Averaging Operator đ
Averaging operator â ÎŒ â operates on đŠđ„ as ÎŒ đŠđ„ =1
2 đŠ
đ„+đ
2
+ đŠđ„â
đ
2
Or ÎŒ đ đ„ = 1
2 đ đ„ +
đ
2 + đ đ„ â
đ
2 , â h â is the height of the interval.
Relation between đ and đŹ
We know that ÎŒ đŠđ =1
2 đŠ
đ+đ
2
+ đŠđâ
đ
2
=1
2 đž
1
2đŠđ+ đžâ 1
2đŠđ
â ÎŒ đŠđ =1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2 đŠđ
⎠Ό âĄ1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2
Result 2: Relation between đŹ and đ«, where đ« âĄđ
đ đ
We know đŠ đ„ + đ = đŠ đ„ + đ đŠâČ đ„ +đ2
2! đŠâČâČ đ„ +. .. By Taylorâs theorem
= đŠ đ„ + đ đ·đŠ(đ„) +đ2
2! đ·2đŠ(đ„)+. ..
= 1 + đđ· +đ2
2! đ·2 + ⯠đŠ(đ„)
â đž đŠ đ„ = đđđ·đŠ(đ„)
⎠đž = đđđ·, đ· âĄđ
đđ„
Result 3: Relation between â and đ«, where đ« âĄđ
đ đ
We know that â ⥠đž â 1
â â ⥠đđđ· â 1 â” đž = đđđ·
Result 4: Relation between đ” and đ«, where đ« âĄđ
đ đ
We know that â ⥠1 â đžâ1 = 1 â đâđđ· â” đž = đđđ·
Result 5: Relation between â and đ”
We know that đž ⥠1 + â âŻâ
Also đžâ1 ⥠1 â â
â đž âĄ1
1ââ ⯠âĄ
â 1 + ââĄ1
1ââ From â and âĄ
â ââĄ1
1âââ 1
â ââĄâ
1ââ
Result 6: Relation between đ , đč and đŹ
We have ÎŒ âĄ1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2
Also ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
â ΌΎ âĄ1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2 đž1
2 â đžâ 1
2
â ΌΎ âĄ1
2 đž â đžâ 1
Result 7: Relation between đ , đč , â and â
We have ΌΎ âĄ1
2 đž â đžâ 1 =
1
2 1 + â) â (1 â â
â ΌΎ âĄ1
2 â + â
Result 8: âđđŠđ = âđđŠđ+đ
We have âđđŠđ = (đž â 1)đđŠđ â” â= đž â 1
= đŠđ+đ â đđ¶1đŠđ+đâ1 + đđ¶2đŠđ+đâ2 ââŻ+ â1 đđŠđ
= đžđ â đđ¶1đžđâ1 + đđ¶2đž
đâ2 ââŻ+ â1 đ đŠđ
= đžđđŠđ â đđ¶1đžđâ1đŠđ + đđ¶2đž
đâ2đŠđ ââŻ+ â1 đđŠđ
= đŠđ+đ â đđ¶1đŠđ+đâ1 + đđ¶2đŠđ+đâ2 ââŻ+ â1 đđŠđ
Also âđđŠđ+đ = (1 â Eâ1)đđŠđ+đ â” â ⥠1 â đžâ1
= 1 â đđ¶1đžâ1 + đđ¶2đž
â2 ââŻ+ â1 đđžâđ đŠđ+đ
= đŠđ+đ â đđ¶1đŠđ+đâ1 + đđ¶2đŠđ+đâ2 ââŻ+ â1 đđŠđ
⎠âđđŠđ = âđđŠđ+đ
Example 1 Evaluate the following:
i. âđđ„ ii. â2đđ„ iii. â đĄđđâ1đ„ iv. â đ„+1
đ„2â3đ„+2 v. âđđ
2 = đđ + đđ+1 âđđ
Solution: i. âđđ„ = đđ„+đ â đđ„ = đđ„(đđ â 1)
âđđ„ = đđ„(đ â 1) , if đ = 1
ii. â2đđ„ = â(âđđ„)
= â đđ„ đđ â 1
= đđ â 1 âđđ„
= đđ â 1 đđ„+đ â đđ„
= đđ â 1 đđ„(đđ â 1)
= đđ„ (đđ â 1)2
iii. âđĄđđâ1đ„ = đĄđđâ1 đ„ + đ â đĄđđâ1đ„
= đĄđđâ1 đ„+đâđ„
1+(đ„+đ)đ„
= đĄđđâ1 đ
1+(đ„+đ)đ„
iv. â đ„+1
đ„2â3đ„+2 = â
đ„+1
đ„â1 (đ„â2)
= â â2
đ„â1+
3
đ„â2 = â
â2
đ„â1 + â
3
đ„â2
= â2 1
đ„+1â1â
1
đ„â1 + 3
1
đ„+1â2â
1
đ„â2
= â2 1
đ„â
1
đ„â1 + 3
1
đ„â1â
1
đ„â2
= â(đ„+4)
đ„ đ„â1 (đ„â2)
v. âđđ2 = đđ+1
2 â đđ2 = đđ+1 + đđ đđ+1 â đđ = đđ + đđ+1 âđđ
Example 2 Evaluate the following:
i. âđđ„ log 2đ„ ii. â đ„2
cos 2đ„
Solution: i. Let đ đ„ = đđ„ and đ đ„ = log 2đ„
We have â đ đ„ đ đ„ = đ đ„ + đ â đ đ„ + đ đ„ âđ đ„
⎠âđđ„ log 2đ„ = đđ„+đâ log 2đ„ + log 2đ„ âđđ„
= đđ„+đ log 2 đ„ + đ â log 2đ„ + log 2đ„ đđ„+đ â đđ„
= đđ„đđ log 1 +đ
đ„ + đđ„ log 2đ„ đđ â 1
= đđ„ đđ log 1 +đ
đ„ + log 2đ„ đđ â 1
ii. Let đ đ„ = đ„2 and đ đ„ = cos 2đ„
We have â đ đ„
đ đ„ =
đ đ„ âđ đ„ âđ(đ„)âđ đ„
đ đ„+đ đ đ„
=cos 2đ„ đ„+đ 2âđ„2 âđ„2 cos 2 đ„+đ âcos 2đ„
cos 2 đ„+đ cos 2đ„
= đ2+2đđ„ cos 2đ„+2đ„2 sin 2đ„+đ sin đ
cos 2 đ„+đ cos 2đ„
Example 3 Evaluate â4 1 â 2đ„ 1 â 3đ„ 1 â 4đ„ 1 â đ„ ,where interval of differencing is one.
Solution: â4 1 â 2đ„ 1 â 3đ„ 1 â 4đ„ 1 â đ„
= â4 24đ„4 + âŻ+ 1 = 24.4!. 14 = 576
â” âđđ đ„ = đ0đ! đđ and â4đ„đ = 0 when đ < 4
Example 4 Prove that â3đŠ3 = â3đŠ6
Solution: â3đŠ3 = (đž â 1)3đŠ3 â” â= đž â 1
= đž3 â 1 â 3đž2 + 3đž đŠ3
= đž3đŠ3 â đŠ3 â 3đž2đŠ3 + 3đžđŠ3
= đŠ6 â đŠ3 â 3đŠ5 + 3đŠ4
Also â3đŠ6 = (1 â Eâ1)3đŠ6 â” â ⥠1 â đžâ1
= 1 â Eâ3 â 3đžâ1 + 3đžâ2 đŠ6
= đŠ6 â đŠ3 â 3đŠ5 + 3đŠ4
Example 5 Prove that â + â = â
âââ
â
Solution: L.H.S. = â + â = đž â 1 + 1 â đžâ1
= đž â đžâ1
R.H.S. =â
âââ
â
=đžâ1
1âđžâ1â
1âđž â1
đžâ1
= đžâ1 2 â 1â đž â1
2
1âđž â1 đžâ1
= đž2+1â 2đž â 1+ đžâ2â2đžâ1
đž + đžâ1â2
=đž2âđžâ2â2đž+2đžâ1
đž + đžâ1â2
= đž+đžâ1 đžâđž â1 â 2 đžâ đžâ1
đž + đžâ1â2
= đž â đžâ1 đž + đž â1â2
đž + đžâ1â2
= đž â đžâ1 = R.H.S.
Example 6 Prove that đž = 1 +1
2ÎŽ2 + ÎŽ 1 +
1
4ÎŽ2
Solution: R.H.S. = 1 +1
2ÎŽ2 + ÎŽ 1 +
1
4ÎŽ2
= 1 +1
2 đž
1
2 â đžâ 1
2 2
+ đž1
2 â đžâ 1
2 1 +1
4 đž
1
2 â đžâ 1
2 2
â” ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
= 1 +1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1 +1
4 đž + đžâ1 â 2
= 1 +1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1
4 đž + đžâ1 + 2
= 1 +1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1
4 đž
1
2 + đžâ 1
2 2
= 1 +1
2 đž + đžâ1 â 2 +
1
2 đž
1
2 â đžâ 1
2 đž1
2 + đžâ 1
2
=1
2 đž + đžâ1 +
1
2 đž â đžâ1 = đž = L.H.S.
Example 7 Prove that â = â1
2ÎŽ2 + ÎŽ 1 +
1
4ÎŽ2
Solution: R.H.S. = â1
2ÎŽ2 + ÎŽ 1 +
1
4ÎŽ2
= â1
2 đž
1
2 â đžâ 1
2 2
+ đž1
2 â đžâ 1
2 1 +1
4 đž
1
2 â đžâ 1
2 2
â” ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
= â1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1 +1
4 đž + đžâ1 â 2
= â1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1
4 đž + đžâ1 + 2
= â1
2 đž + đžâ1 â 2 + đž
1
2 â đžâ 1
2 1
4 đž
1
2 + đžâ 1
2 2
= â1
2 đž + đžâ1 â 2 +
1
2 đž
1
2 â đžâ 1
2 đž1
2 + đžâ 1
2
= â1
2 đž + đžâ1 â 2 +
1
2 đž â đžâ1 = 1 â đžâ1 = â= L.H.S.
Example 8 Prove that (i) â â â = ÎŽ2 (ii) ÎŒ = 1 +1
4ÎŽ2 = 1 +
â
2 1 + â â
1
2
Solution: (i) ÎŽ2 = đž1
2 â đžâ 1
2 2
= đž + đžâ1 â 2 â” ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
= đž â 1 â 1 â đžâ1 = â â â
â” đž â 1 ⥠â and 1 â đžâ1 = â
(ii) 1 +1
4ÎŽ2 = 1 +
1
4 đž
1
2 â đžâ 1
2 2
â” ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
= 1 +1
4 đž + đžâ1 â 2
= 1
4 đž + đžâ1 + 2
= 1
4 đž
1
2 + đžâ 1
2 2
=1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2 = ÎŒ â” ÎŒ âĄ1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2
Also 1 +â
2 1 + â â
1
2 = 1 +đžâ1
2 1 + đž â 1 â
1
2
â” â ⥠đž â 1
= đž+1
2 đžâ
1
2
=1
2 đžâ
1
2 + đž1
2 = Ό
Example 9 Prove that (i) â ⥠đžâ ⥠âE = ÎŽđž 12 (ii) Er = ÎŒ +
đż
2
2đ
Solution: (i) đžâ = E 1 â đžâ 1 = đž â 1 = â â” â ⥠1 â đžâ1
âE = 1 â đžâ 1 đž = đž â 1 = â
ÎŽđž 12 = đž
1
2 â đžâ 1
2 đž 12 = đž â 1 = â â” ÎŽ ⥠đž
1
2 â đžâ 1
2
(ii) R.H.S. = ÎŒ +đż
2
2đ
= 1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2 +1
2 đž
1
2 â đžâ 1
2
2đ
â” ÎŒ âĄ1
2 đž
1
2 + đžâ 1
2 and ÎŽ ⥠đž1
2 â đžâ 1
2
= 1
2 2đž
1
2
2đ
= đž1
2 2đ
= Er = L.H.S
Example 10 Prove that (i) đ· ⥠1
đđđđ đž (iii) đđ· ⥠đđđ 1 + â ⥠âlog(1 â â)
(iii) â2 ⥠đ2đ·2 â đ3đ·3 +7
12đ4đ·4 + âŻ
Solution: (i) We know that đž ⥠đđđ·
â đđđđž ⥠đđđ đđđ·
â đđđđž ⥠đđ đđđ đ
â đ· ⥠1
đđđđ đž â” đđđ đ = 1
(ii) đ đ· ⥠đđđđž From relation (i)
⥠log(1 + â) â” đž ⥠1 + â
Also đ đ· ⥠đđđđž ⥠â logđžâ1
⥠âlog(1 â â) â” â ⥠1 â đžâ1
(iii) We know that â ⥠1 â đžâ1
â â ⥠1 â1
đž
⥠1 â đâđđ· â” đž = đđđ·
â â⥠1 â 1 â đđ +đ2đ·2
2!â
đ3đ·3
3!+ âŻ
â â⥠đđ âđ2đ·2
2! +
đ3đ·3
3!+ âŻ
⎠â2 ⥠đđ âđ2đ·2
2! +
đ3đ·3
3!+ âŻ
2
â â2 ⥠đ2đ·2 + đ2đ·2
2!
2
+ âŻâ 2 đđ đ2đ·2
2! + 2 đđ
đ3đ·3
3! ââŻ
â â2 ⥠đ2đ·2 â đ3đ·3 + đ4đ·4
4+
đ4đ·4
3 ââŻ
â â2 ⥠đ2đ·2 â đ3đ·3 +7
12đ4đ·4 ââŻ
Remark: In order to prove any relation, we can express the operators (â ,â,đż) in
terms of fundamental operator đž.
Example 11 Form the forward difference table for the function
đ đ„ = đ„3 â 2đ„2 â 3đ„ â 1 for đ„ = 0, 1, 2, 3, 4.
Hence or otherwise find â3đ đ„ , also show that â4đ đ„ = 0
Solution: đ 0 = â1, đ 1 = â5, đ 2 = â7, đ 3 = â1, đ 4 = 19
Constructing the forward difference table:
đ đ(đ) â âđ âđ âđ đ â1 â4
1 â5 2 â2 6 đ â7 8 0 6 6 đ â1 14 20 đ 19
From the table, we see that â3đ đ„ = 6 and â4đ đ„ = 0
Note: Using the formula âđđ đ„ = đ0đ! đđ , â3đ đ„ = 1.3!. 1đ = 6
Also âđ+1đ đ„ = 0 for a polynomial of degree đ, ⎠â4đ đ„ = 0
Example 12 If for a polynomial, five observations are recorded as: đŠ0 = â8,
đŠ1 = â6, đŠ2 = 22, đŠ3 = 148, đŠ4 = 492, find đŠ5.
Solution: đŠ5 = đž5đŠ0 = (1 + â)5đŠ0 â” đž ⥠1 + â
= đŠ0 + 5đ¶1âđŠ0 + 5đ¶2â2đŠ0 + 5đ¶3â
3đŠ0 + 5đ¶4â4đŠ0 + â5đŠ0 âŠâ
Constructing the forward difference table:
đ đ â âđ âđ âđ đđ â8
2 đđ â6 26
28 72 đđ 22 98 48
126 120 đđ 148 218
344 đđ 492
From table âđŠ0 = 2, â2đŠ0 = 26 , â3đŠ0 = 72 , â3đŠ0 = 48 ⊠âĄ
â đŠ5
= â8 + 5 2 + 10 26 + 10 72 + 5 48 = 1222 using ⥠in â
6.4 Missing values of Data Missing data or missing values occur when an observation is missing for a
particular variable in a data sample. Concept of finite differences can help to locate
the requisite value using known concepts of curve fitting.
To determine the equation of a line (equation of degree one), we need at least two
given points. Similarly to trace a parabola (equation of degree two), at least three
points are imperative. Thus we essentially require đ + 1 known observations to
determine a polynomial of đđĄđ degree.
To find missing values of data using finite differences, we presume the degree of
the polynomial by the number of known observations and use the result
âđ+1đ đ„ = 0 for a polynomial of degree đ.
Example 13 Use the concept of missing data to find đŠ5 if đŠ0 = â8, đŠ1 = â6,
đŠ2 = 22, đŠ3 = 148, đŠ4 = 492
Solution: Constructing the forward difference table taking đŠ5 as missing value
đ đ â âđ âđ âđ âđ đđ â8
2 đđ â6 26
28 72 đđ 22 98 48
126 120 đŠ5 â 1222 đđ 148 218 đŠ5 â 1174
344 đŠ5 â 1054 đđ 492 đŠ5 â 836
đŠ5 â 492 đđ đŠ5
Since 5 observations are known, let us assume that the polynomial represented by
given data is of 4đĄđ degree. ⎠â5đŠ = 0 â đŠ5â 1222 = 0 or đŠ5 = 1222
Example 14 Find the missing values in the following table
đ đ đ đđ đđ đđ đđ
đ(đ) 6 ? 13 17 22 ?
Solution: Since there are 4 known values of đ đ„ in the given data, let us assume
the polynomial represented by the given data to be of 3đđdegree.
Constructing the forward difference table taking missing values as đ and đ.
đ đ â âđ âđ âđ đ 6
đ â 6 đ đ 19 â 2đ
13 â đ 3đ â 28 đđ 13 đ â 9 38 â 4đ
4 10 â đ 15 17 1 đ + đ â 38
5 đ â 28 2đ 22 đ â 27
đ â 22
25 đ
Since the polynomial represented by the given data is considered to be of
3đđdegree, 4đĄâand higher order differences are zero i.e. â4đŠ = 0
⎠38 â 4đ = 0 and đ + đ â 38 = 0 Solving these two equations, we get đ = 9.5 đ = 28.5
6.5 Finding Differences Using Factorial Notation We can conveniently find the forward differences of a polynomial using factorial
notation.
6.5.1 Factorial Notation of a Polynomial
A product of the form đ„ đ„ â 1 đ„ â 2 ⊠đ„ â đ + 1 is called a factorial
polynomial and is denoted by đ„ đ
⎠đ„ = đ„
đ„ 2 = đ„(đ„ â 1)
đ„ 3 = đ„ đ„ â 1 (đ„ â 2)
âź
đ„ đ = đ„ đ„ â 1 đ„ â 2 ⊠đ„ â đ + 1
In case, the interval of differencing is đ, then
đ„ đ = đ„ đ„ â đ đ„ â đ ⊠đ„ â đâ 1 đ
The results of differencing đ„ đ are analogous to that differentiating đ„đ
⎠â đ„ đ = đ đ„ đâ1
â2 đ„ đ = đ(đ â 1) đ„ đâ2
â3 đ„ đ = đ đ â 1 (đ â 2) đ„ đâ3
âź
âđ đ„ đ = đ đ â 1 đ â 2 ⊠3.2.1 = đ!
âđ+1 đ„ đ = 0
Also 1
â đ„ =
đ„ 2
2 ,
1
â đ„ 2 =
đ„ 3
3 and so on
1
â2 đ„ =
1
â đ„ 2
2 =
đ„ 3
6
âź
Remark:
i. Every polynomial of degree đ can be expressed as a factorial
polynomial of the same degree and vice-versa.
ii. The coefficient of highest power of đ„ and also the constant term
remains unchanged while transforming a polynomial to factorial
notation.
Example15 Express the polynomial 2đ„2 + 3đ„ + 1 in factorial notation.
Solution: 2đ„2 â 3đ„ + 1 = 2đ„2 â 2đ„ + 5đ„ + 1
= 2đ„ đ„ â 1 + 5đ„ + 1
= 2 đ„ 2 + 5 đ„ + 1
Example16 Express the polynomial 2đ„3 â đ„2 + 3đ„ â 4 in factorial notation.
Solution: 2đ„3 â đ„2 + 3đ„ â 4 = 2 đ„ 3 + đŽ đ„ 2 + đ” đ„ â 4
Using remarks i and ii
= 2đ„ đ„ â 1 đ„ â 2 + đŽđ„ đ„ â 1 + đ”đ„ â 4
= 2đ„3 + đŽ â 6 đ„2 + âđŽ + đ” + 4 đ„ â 4
Comparing the coefficients on both sides
A â 6 = â1, âđŽ + B + 4 = 3
â A = 5, B = 4
⎠2đ„3 â đ„2 + 3đ„ â 4 = 2 đ„ 3 + 5 đ„ 2 + 4 đ„ â 4
We can also find factorial polynomial using synthetic division as shown:
Coefficients đŽ and đ” can be found as remainders under đ„2 and đ„ columns
đ„3 đ„2 đ„
1 2 â1 3 â4
â 2 1
2 2 1 4 = đ”
â 4
2 5 = A
Example 17 Find â3đ đ„ for the polynomial đ đ„ = đ„3 â 2đ„2 â 3đ„ â 1
Also show that â4đ đ„ = 0
Solution: Finding factorial polynomial of đ đ„ as shown:
Let đ„3 â 2đ„2 â 3đ„ â 1 = đ„ 3 + đŽ đ„ 2 + đ” đ„ â 1
Coefficients đŽ and đ” can be found as remainders under đ„2 and đ„ columns
đ„3 đ„2 đ„
1 1 â2 â3 â1
â 1 â1
2 1 â1 â 4 = đ”
â 2
1 1 = A
⎠đ đ„ = đ„3 â 2đ„2 â 3đ„ â 1 = đ„ 3 + đ„ 2 â 4 đ„ â 1
â3đ đ„ = â3 đ„ 3 + đ„ 2 â 4 đ„ â 1
= 3! + 0 = 6 â” âđ đ„ đ = đ! and âđ+1 đ„ đ = 0
Also â4đ đ„ = â4 đ„ 3 + đ„ 2 â 4 đ„ â 1 = 0
Note: Results obtained are same as in Example 11, where we have used
forward difference table to compute the differences.
Example 18: Obtain the function whose first difference is 8đ„3 â 3đ„2 + 3đ„ â 1
Solution: Let đ đ„ be the function whose first difference is 8đ„3 â 3đ„2 + 3đ„ â 1
â âđ đ„ = 8đ„3 â 3đ„2 + 3đ„ â 1
Let 8đ„3 â 3đ„2 + 3đ„ â 1 = 8 đ„ 3 + đŽ đ„ 2 + đ” đ„ â 1
Coefficients đŽ and đ” can be found as remainders under đ„2 and đ„ columns
đ„3 đ„2 đ„
1 8 â3 3 â1
â 8 5
2 8 5 8 = đ”
â 16
8 21 = A
⎠âđ đ„ = 8đ„3 â 3đ„2 + 3đ„ â 1 = 8 đ„ 3 + 21 đ„ 2 + 8 đ„ â 1
đ đ„ = 1
â 8 đ„ 3 + 21 đ„ 2 + 8 đ„ â 1
=8 đ„ 4
4+
21 đ„ 3
3+
8 đ„ 2
2â đ„ â”
1
â đ„ =
đ„ 2
2 ,
1
â đ„ 2 =
đ„ 3
3, âŠ
= 2 đ„ 4 + 7 đ„ 3 + 4 đ„ 2 â [đ„] = 2đ„ đ„ â 1 đ„ â 2 đ„ â 3 + 7đ„ đ„ â 1 đ„ â 2 + 4đ„ đ„ â 1 â đ„
= đ„ 2 đ„ â 1 đ„ â 2 đ„ â 3 + 7 đ„ â 1 đ„ â 2 + 4 đ„ â 1 â 1 = đ„ 2đ„3 â 5đ„2 + 5đ„ â 3 = 2đ„4 â 5đ„3 + 5đ„2 â 3đ„
â đ đ„ = 2đ„4 â 5đ„3 + 5đ„2 â 3đ„
6.6 Series Summation Using Finite Differences The method of finite differences may be used to find sum of a given series by
applying the following algorithm:
1. Let the series be represented by đą0, đą1 , đą2 , đą3, âŠ
2. Use the relation đąđ = đžđđą0 to introduce the operator đž in the series.
3. Replace đž by â by substituting đž ⥠1 + â and find the sum the series by
any of the applicable methods like sum of a G.P., exponential or logarithmic
series or by binomial expansion and operate term by term on đą0 to find the
required sum.
Example 19 Prove the following using finite differences:
i. đą0 + đą1đ„
1!+ đą2
đ„2
2!+ ⯠= đđ„ đą0 + đ„
â đą0
1!+ đ„2 â2 đą0
2!+ âŻ
ii. đą0 â đą1 + đą2 â đą3 + ⯠= 1
2 đą0 â
1
4â đą0 +
1
8â2 đą0 ââŻ
Solution: i. đą0 + đą1đ„
1!+ đą2
đ„2
2!+ ⯠= đą0 +
đ„
1!đžđą0 +
đ„2
2!đž2đą0 + âŻ
= 1 +đ„đž
1!+
đ„2đž2
2!đą0 + ⯠đą0
= đđ„đž đą0 = đđ„(1+â) đą0
= đđ„đđ„â đą0
= đđ„ 1 +đ„â
1!+
đ„2â2
2!+ ⯠đą0
= đđ„ đą0 + đ„â đą0
1!+ đ„2 â2 đą0
2!+ âŻ
ii. đą0 â đą1 + đą2 â đą3 + ⯠= đą0 â đžđą0 + đž2đą0 â đž3đą0 + âŻ
= 1 â đž + đž2 â đž3 + ⯠đą0
= 1 + đž â1 đą0
= 2 + â â1 đą0
= 2â1 1 +â
2 â1
đą0
=1
2 1 â
â
2+
â2
4â⯠đą0
= 1
2 đą0 â
1
4â đą0 +
1
8â2 đą0 ââŻ
Example 20 Sum the series 12, 22, 32,âŠ, đ2 using finite differences.
Solution: Let the series 12, 22, 32,âŠ, đ2 be represented by đą0, đą1 , đą2 ,âŠ, đąđâ1
⎠đ = đą0 + đą1 + đą2 + âŻ+đąđâ1
â đ = đą0 + đžđą0 + đž2đą0 + âŻ+đžđâ1đą0
= 1 + đž + đž2 + âŻ+ đžđâ1 đą0
=1âđžđ
1âđžđą0 =
đžđâ1
đžâ1đą0 â” đđ = đ
1âđđ
1âđ
â đ =(1+â)đâ1
(1+â)â1đą0
=1
â 1 + đâ +
đ(đâ1)
2!â2 +
đ đâ1 (đâ2)
3!â3 + ⯠â 1 đą0
= đđą0 +đ(đâ1)
2!âđą0 +
đ đâ1 (đâ2)
3!â2đą0 + âŻ
Now đą0 = 12 = 1
âđą0 = đą1 â đą0 = 22 â 12 = 3
â2đą0 = âđą1 â âđą0 = đą2 â 2đą1 + đą0 = 32 â 2( 22) + 12 = 2
â3đą0, â4đą0 ⊠are all zero as given series is an expression of degree 2
⎠đ = đ + đ(đâ1)
2! 3 +
đ đâ1 (đâ2)
3! 2 + 0
= đ +3đ đâ1
2+
đ đâ1 đâ2
3
=1
6 6đ + 9đ đ â 1 + 2đ đ â 1 đ â 2
=1
6đ 6 + 9đ â 9 + 2đ2 â 6đ + 4
=1
6đ 2đ2 + 3đ + 1 =
1
6đ đ + 1 (2đ + 1)
Example 21 Prove that đą0 + đą1đ„ + đą2đ„2 + ⯠=
đą0
1âđ„+
đ„âđą0
(1âđ„)2+
đ„2âđą02
(1âđ„)3+ âŻ
and hence evaluate 1.2 + 2.3đ„ + 3.4đ„2 + 4.5đ„3 + âŻ
Solution: đą0 + đą1đ„ + đą2đ„2 + ⯠= đą0 + đ„đžđą0 + đ„2đž
2đą0 + âŻ
= 1 + đ„đž + đ„2đž2 + ⯠đą0
=1
1âđ„đžđą0 â” đâ =
đ
1âđ
=1
1âđ„(1+â)đą0 =
1
(1âđ„)âđ„âđą0
=1
1âđ„
1
1âđ„â
1âđ„ đą0
=1
1âđ„ 1 â
đ„â
1âđ„ â1đą0
=1
1âđ„ 1 +
đ„â
1âđ„ +
đ„2â2
(1âđ„)2+ ⯠đą0
= đą0
1âđ„+
đ„âđą0
(1âđ„)2+
đ„2âđą02
(1âđ„)3+ ⯠= R.H.S.
Now to evaluate the series 1.2 + 2.3đ„ + 3.4đ„2 + 4.5đ„3 + âŻ
Let đą0 = 1.2 = 2, đą1 = 2.3 = 6, đą2 = 3.4 = 12, đą3 = 4.5 = 20,âŠ
Forming forward difference table to calculate the differences
đ â âđ âđ âđ đđ = đ.đ = đ
4 đđ = đ.đ = đ 2
6 0 đđ = đ.đ = đđ 2 0
8 0 đđ = đ.đ = đđ 2
10 đđ = đ.đ = đđ
⎠1.2 + 2.3đ„ + 3.4đ„2 + 4.5đ„3 + ⯠= đą0
1âđ„+
đ„âđą0
(1âđ„)2+
đ„2âđą02
(1âđ„)3+ âŻ
=2
1âđ„+
4đ„
(1âđ„)2+
2đ„2
(1âđ„)3+ 0
=2
(1âđ„)3
Exercise 6A
1. Express đŠ4 in terms of successive forward differences.
2. Prove that âđđ3đ„+5 = đ3 â 1 đđ3đ„+5
3. Evaluate â2 5đ„+12
đ„2+5đ„+6
4. If đą0 = 3, đą1 = 12, đą2 = 81, đą3 = 2000, đą4 = 100, calculate â4đą0.
5. Prove that ÎŒ =2+â
2 1+â= 1 +
1
4ÎŽ2
6. Find the missing value in the following table
đ„ 0 5 10 15 20 25
đŠ 6 10 - 17 - 31
7. Sum the series 13, 23, 33,âŠ, đ3 using finite differences.
Answers
1. đŠ4 = đŠ0 + 4âđŠ0 + 6â2đŠ0 + 4â3đŠ0 + â4đŠ0
3. â3(đ„2+9đ„+15)
đ„(đ„+1)(đ„+4)(đ„+5)(đ„+8)(đ„+9)
4. â7459
6. 13.25, 22.5