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Technische Universität MünchenFakultät für Physik

Walther-Meißner-Institut für Tieftemperaturforschung

Abschlussarbeit im Bachelorstudiengang Physik

Charakterisierung nanomechanischerBalken mittels optischer Interferometrie

Moritz Jung

Garching, 22. Juli 2013

Betreuer: Prof. Dr. Rudolf Gross

Erstgutachter (Themensteller): Prof. Dr. Rudolf Gross

Zweitgutachter: Prof. Dr. Peter Böni

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Nanomechanische Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Interferometrische Detektion der Balkenbewegung . . . . . . . . . . . . 82.3 Thermische Balkenbewegung als Kalibrationsstandard . . . . . . . . . 9

3 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1 Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Funktionsweise eines Nanopositioners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Vektor-Netzwerk-Analysator (VNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Spektrumanalysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Vorbereitungen zur Untersuchung der Nanomechanik-Proben . . . . . 17

3.5.1 Probenmontage & Justage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.2 Navigation auf der Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Schwingungsverhalten eines beidseitig eingespannten Si3N4-Balkens . . 194.1 Detektion der Brownschen Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Leistungsabhängigkeit der Schwingungsamplitude . . . . . . . . . . . 224.3 Ortsabhängigkeit der Schwingungsamplitude . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Abhängigkeit des Signals vom Abstand des Glasfaserendes zur Probe . 294.5 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Rastertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Ergebnisse & Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Verbesserung des optischen Aufbaus: Linse zwischen Faser und Probe . 396.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Abbildungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2.2 Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

iii

Inhaltsverzeichnis

6.3 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3.1 Aufbau mit einer Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3.2 Vorgehen bei der Justierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.3.3 Aufbau mit zwei Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Ergebnisse & Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.1 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A Probe NM2.3A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

iv

Kapitel 1

Einleitung

Im Jahre 1959, anlässlich der jährlichen Zusammenkunft der American PhysicalSociety, hielt Richard Feynman einen Vortrag mit dem Titel „There’s Plenty of Roomat the Bottom“ [1] und beschrieb darin eine Entwicklung der voranschreitendenMiniaturisierung von Strukturen und Bauteilen, die bis heute andauert. Feynmanbeschränkte diesen Prozess nicht auf elektronische Komponenten, vielmehr faszi-nierte ihn die Miniaturisierung mechanischer Elemente. In diesem Rahmen lobteer sogar ein Preisgeld für denjenigen aus, der in der Lage sei, einen Elektromotormit weniger als 4 mm Seitenlänge in jeder Dimension zu konstruieren. Dieses Zielwurde, zur Überraschung Feynmans, bereits wenige Jahre später erreicht [2].

Die Verknüpfung mikromechanischer Elemente mit den Fortschritten der Halblei-terindustrie ermöglichte den Bau sogenannter mikroelektromechnanischer Systeme(MEMS), die heutzutage in einer Vielzahl von Sensoren und Aktoren industrielleAnwendung finden. Ein elektromechanisches System besteht dabei prinzipiell auszwei Komponenten: Einerseits einem mechanischen Element, das aufgrund vonäußeren Kräften ausgelenkt oder zu Schwingungen angeregt werden kann, ande-rerseits aus einem Wandler, der die mechanische Energie in ein elektrisches oderoptisches Signal umwandelt.

Derzeit wird intensiv an der Entwicklung nanomechanischer Systeme (NEMS)gearbeitet. Diese besitzen aufgrund ihrer kleinen Abmessungen, und der darausresultierenden geringen Masse, Resonanzfrequenzen im Megahertz-Bereich undweisen sehr hohe Güten auf. Die geringere Masse der nanomechanischen Elementemacht diese empfindlicher für den Einfluss äußerer Kräfte.

Um die Bewegung eines nanomechanischen Resonators und damit die auf ihnwirkenden Kräfte messen zu können, muss die mechanische Bewegung in ein elek-trisches Signal umgesetzt werden. Diese Kopplung kann entweder elektrisch [3, 4, 5,6] oder optisch [7] erfolgen. Im Falle einer optischen Kopplung kann beispielsweisedie optische Weglänge der Kavität durch die Bewegung des Oszillators verändertwerden. Als Folge dessen ändert sich auch deren Resonanzfrequenz, was sich ineiner Verschiebung der Phase zwischen eingestrahltem und reflektiertem Lichtauswirkt [8].

1

Kapitel 1 Einleitung

Die Fortschritte in der Produktion mechanischer Elemente auf der Nanometer-Skala waren beispielsweise entscheidend für die Entwicklung des Rasterkraftmi-kroskops (AFM1), bei dem die Kraftwirkung von Oberflächenatomen auf eine ein-atomige Spitze am Ende eines einseitig eingespannten nanomechanischen Balkens(„cantilever“) gemessen wird und damit beliebige Oberflächen dreidimensionalabgebildet werden können [9]. Derartige Mikroskope werden bereits kommerziellvertrieben. Auch in anderen Bereichen der Messtechnik wurden unter Verwendungvon nanomechanischen Bauelementen bereits Verbesserungen in der Auflösungerzielt. So konnten bereits Positionsmessungen in der Größenordnung des Quanten-limits [4, 10], Massenbestimmungen mit nahezu atomarer Genauigkeit [11] sowieKraftmessungen im Bereich von Zeptonewton [12, 13] realisiert werden.

Von möglichen technologischen Anwendungen abgesehen, ergeben sich auchneue Möglichkeiten im Bereich der Grundlagenforschung: Durch aktives Kühleneines derartigen Resonators erhofft man sich, die quantenmechanischen Eigenschaf-ten eines Oszillators direkt beobachten zu können [14]. Dazu wird der Oszillatormit einer Frequenz, die etwas niedriger als seine Resonanzfrequenz ist, getrieben,wodurch es möglich ist, thermische Phononen zu vernichten und den Resonator bisin seinen Quantengrundzustand abzukühlen [15].

Im Bereich der Signalverarbeitung wurde bereits beobachtet, dass durch Koppelnvon Mikrowellensignalen an nanomechanische Resonatoren diese Signale verzögertoder beschleunigt, sowie geschaltet werden können [16]. Ebenso ist es möglich,Signale zu verstärken [17] oder sehr schmale Frequenzbande aus einem Signal her-auszufiltern [18]. Auch optische Signale können durch optomechanische Kopplungverlangsamt oder sogar gespeichert werden [19].

Die meisten der angesprochenen Experimente werden bei tiefen Temperaturenrealisiert, um Effekte aufgrund thermischer Anregung und somit die Besetzungs-zahlen zu minimieren. Aus diesem Grund ist es von Interesse, die Eigenschaftenund Qualität der Resonatoren bereits vor dem Abkühlen, bei Raumtemperatur unddadurch mit geringerem Zeitaufwand, untersuchen zu können und das Probende-sign bzw. die Probenfabrikation hinsichtlich der mechanischen Eigenschaften zuoptimieren.

In dieser Arbeit werden mithilfe eines optischen Interferometers die Schwingungs-eigenschaften beidseitig eingespannter Balken aus Siliziumnitrid untersucht undderen Schwingungsverhalten charakterisiert. Der untersuchte Balken hat eine Längevon 35 µm und seine Resonanzfrequenz liegt bei 8,06 MHz. Die Güte des Resonatorswird auf 135 000 bestimmt.

In der in Abschnitt 4.1 vorgestellten Messung wird das Interferometer durch

1 Abkürzung des englischen Begriffs atomic force microscope

2

die Untersuchung der Brownschen Bewegung des Balkens kalibriert, was einequantitative Aussage über die Schwingungsamplitude ermöglicht. Diese wird inAbschnitt 4.3 auch positionsabhängig gemessen. Die in Abschnitt 4.2 durchgeführtenUntersuchungen eines durch einen Piezoaktuator getriebenen Balkens zeigen dessennichtlineares Verhalten bei höheren Antriebsleistungen.

Außerdem werden in dieser Arbeit zwei Ansätze diskutiert, die darauf abzielen,den bestehenden Messaufbau zu verbessern. Um die Genauigkeit der Messposi-tion zu erhöhen und damit die Grundlage für eine automatisierte Untersuchungeiner Probe zu schaffen, wird in Kapitel 5 das Hysterese-Verhalten der verwendetenNanopositioner in Abhängigkeit von der in Form einer Spannung vorgegebenenSchrittgröße untersucht und versucht die Abweichungen mithilfe statistischer Vor-hersagen zu korrigieren. Der zweite Ansatz widmet sich der Ortsauflösung. Hierwird in Kapitel 6 diskutiert, dass der auf die Probe treffende Laserstrahl mittelseiner Sammellinse gebündelt und so die Größe des Lichtkegels auf der Probe re-duziert wird, was eine Verbesserung der Ortsauflösung und des Kontrastes des zumessenden Interferenzsignals bewirken sollte.

Im folgenden Kapitel sind zunächst die theoretischen Grundlagen zusammenge-fasst, anschließend wird in Kapitel 3 der experimentelle Aufbau genauer beschrie-ben.

3

Kapitel 2

Grundlagen

In diesem Kapitel werden die zur Beschreibung der betrachteten nanomechani-schen Balken notwendigen theoretischen Grundlagen erläutert. Darüber hinauswird eine Methode vorgestellt, mit deren Hilfe eine quantitative Auswertung derSchwingungsamplitude des Balkens möglich ist, indem dessen thermische Bewe-gung gemessen wird.

2.1 Nanomechanische Balken

Die in dieser Arbeit untersuchten nanomechanischen Resonatoren sind beidseitigeingespannte Balken aus Siliziumnitrid, deren Geometrie in Abbildung 2.1 dar-gestellt ist. Abbildung 2.2 zeigt eine Rasterelektronenmikroskopaufnahme einesderartigen Balkens. Basis für die Struktur ist ein mit Siliziumnitrid und Siliziumdi-oxid beschichteter Silizium-Wafer. Die nanomechanischen Balken werden mittels

Silizium-Substrat

Si3N4 A h = 90 nm

l = 35 µm

SiO2

b = 330 nm

SiO2

Si3N4

Abbildung 2.1: Schematische Vorderansicht und Aufsicht der untersuchten na-nomechnanischen Balken, Maße entsprechend des Balkens A5 auf der ProbeNM2.3A.

5

Kapitel 2 Grundlagen

Si3N4

b = 287 nm

l = 20 µm

h = 90 nmSiO2

Si

Abbildung 2.2: Rasterelektronenmikroskopaufnahme eines 20 µm langenSiliziumnitrid-Balkens auf der Probe NM2.3A.

Elektronenstrahllithographie definiert und durch einen reaktiven Ionenätzschritt ge-folgt von einem Flusssäureätzschritt hergestellt [20, S. 303-305, 21, S. 23-24]. Auf deruntersuchten Probe NM2.3A, die von R. Holländer hergestellt wurde, befinden sichmehrere Balken verschiedener Länge und Breite, die separat untersucht werden. DieGeometrie der Probe, sowie die charakteristischen Eigenschaften der untersuchtenBalken sind in Anhang A zusammengefasst.

Die Bewegung des gesamten beidseitig eingespannten Balkens kann durch dieEuler-Bernoulli-Gleichung [20, S. 292] beschrieben werden. Diese lässt sich aufeine effektive Schwerpunktsbewegung reduzieren und entspricht in dieser erstenNäherung dem Modell eines gedämpften, getriebenen harmonischen Oszillators.Die Bewegungsgleichung lautet [20, S. 279]:

x + γx + ω20x =

F0

meffe−iωt (2.1)

Dabei bezeichnet ω0 die Resonanz- und ω die Antriebsfrequenz des Oszillators. γbeschreibt die Dämpfungsrate proportional zur durchschnittlichen Geschwindigkeit,F0 die Amplitude der periodisch modulierten äußeren Kraft, sowie meff die effektiveMasse des Balkens. Für einen beidseitig eingespannten Balken entspricht diese nach

6

2.1 Nanomechanische Balken

[22, Supplementary Methods] genau der Hälfte seiner tatsächlichen Masse:

meff =12

m =12

l · b · h · ρ (2.2)

Die Abmessungen des Balkens l, b, h entsprechen den Bezeichnungen in Abbil-dung 2.1 und ρ steht für die Dichte des Materials. Die Güte des Oszillators folgt imFalle kleiner Dämpfung aus der Resonanzfrequenz und der Dämpfungsrate bzw.der vollen Halbwertsbreite ∆ωFWHM [20, S. 281]:

Q =ω0

γ=

ω0

∆ωFWHM(2.3)

Die Annahme einer stationären Lösung der Bewegungsgleichung mit Frequenz ωführt auf die spektrale Verteilung der Amplitude [20, S. 294]

A (ω) =F0/meff

ω20 −ω2 + i∆ωFWHMω

(2.4)

Diese komplexe Funktion kann durch ihren Betrag sowie einen entsprechendenPhasenwinkel ausgedrückt werden:

A (ω) = |A (ω)| · eiφ (2.5)

Der Betrag |A (ω)| ist die reelle Amplitude, der Imaginärteil beschreibt die Phase φ,mit der die Auslenkung des Balkens gegenüber der Kraftwirkung verschoben ist.Im Resonanzfall ω = ω0 ergibt sich die Maximalamplitude zu

A (ω0) = −iF0/meff

∆ωFWHMω. (2.6)

Dabei handelt es sich um eine komplexe Größe, da im Resonanzfall die Phasenver-schiebung gerade −π/2 beträgt [23, S. 336].

Für stark zugverspannte Balken entspricht deren Resonanzfrequenz der einergespannten Saite und ist durch

ωn

2π=

n2l

√σ

ρ(2.7)

gegeben [24]. Hier bezeichnet n die Schwingungsmode1, l die Länge des Balkens, σdie Zugspannung der Saite und ρ wiederum die Dichte des Materials. Zu beachten

1Im Rahmen dieser Arbeit wurde nur die Grundmode (n = 1) betrachtet. Es wurde aber bereitsgezeigt, dass bei ähnlichen Balken (Siliziumnitrid auf Quarz) höhere Harmonische bis zur 9.Ordnung angeregt werden können [25].

7


Silizium-Substrat

Glasfaser d = 4 µm

(1) (2) (3) (4)

h = 90 nmSi3N4

Abbildung 2.3: Schematische Darstellung der Reflexion der interferierenden Teil-strahlen an den unterschiedlichen Grenzflächen: Oberfläche der Probe (Substrat),Innenseite der Faser, Siliziumnitrid-Balken.

ist, dass die Resonanzfrequenz invers proportional der Länge ist, womit sich dieResonanzfrequenz des Balkens bei bekannten Materialparametern geometrisch fest-legen lässt. Für typische Werte von Siliziumnitrid (ρ = 2700 kg m−3, σ = 1200 MPa[24]) ergeben sich somit Frequenzen im 10 MHz Bereich, wie in Abschnitt 4.1 undAnhang A gezeigt wird.

2.2 Interferometrische Detektion der Balkenbewegung

Die Bestimmung der Balkenbewegung erfolgt interferometrisch. Dazu wird der Bal-ken, unter Verwendung einer Glasfaser, mit einem Laser beleuchtet. Hierbei entstehtInterferenz durch die Reflexion einzelner Teilstrahlen an den folgenden, in Abbil-dung 2.3 schematisch dargestellten, Grenzflächen und dem daraus resultierendenUnterschied in der optischen Weglänge:

(1) Silizium-Oberfläche der Probe

(2) Innenseite der Glasfaser

(3) Siliziumnitrid-Balken

(4) Silizium-Oberfläche der Probe mit zweimaliger Transmission durch denSiliziumnitrid-Balken

8

2.3 Thermische Balkenbewegung als Kalibrationsstandard

Das in die Glasfaser zurückfallende Licht beinhaltet die Information über die Lagedes Balkens und wird mithilfe einer schnellen Photodiode in eine Spannung umge-wandelt. Der genaue Aufbau des Interferometers ist in Abschnitt 3.1 beschrieben.


Im vorherigen Abschnitt wurde dargelegt, dass das Interferometer eine Balkenaus-lenkung in eine Lichtintensitätsänderung umsetzt und diese mit einer schnellenPhotodiode in ein Spannungssignal U (ω) umgewandelt wird. Im thermischenGleichgewicht mit der Umgebung führt der Balken die sogenannte Brownsche Be-wegung aus, unter der man eine mechanische Bewegung aufgrund thermischerAnregung versteht. Nach dem Äquipartitionstheorem der Statistischen Mechanikerhält jeder Freiheitsgrad eines Systems die mittlere thermische Energie 1

2 kBT, wobeikB die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur des Systems bezeichnen[26]. Im Falle der hier untersuchten nanomechanischen Balken treten zwei Freiheits-grade auf, die Auslenkung aus der Ruhelage sowie die Geschwindigkeit. Damitist die dem Balken zugeführte Energie bestimmt und es ist möglich die dadurchhervorgerufene Auslenkung zu berechnen.

Somit lässt sich mittels der Brownschen Bewegung eine Kalibration des gemes-senen Spannungssignals durchführen, was wiederum eine Absolutangabe dermechanischen Amplitude zulässt.

Aus dem Fluktuations-Dissipations-Theorem folgt für einen mechanischen Oszil-lator bei der Temperatur T nach [27] folgender Ausdruck für die spektrale Verteilungder Amplitude A (ω):

|A (ω)|2 ≈ 2kBT∆ωFWHM

meff

1(ω2 −ω2

0

)2+ ∆ω2

FWHMω2(2.8)

≈ A20

1(ω2 −ω2

0

)2+ ∆ω2

FWHMω2(2.9)

Die Näherung gilt für hohe mechanische Besetzungszahlen 〈nm〉 ≈ kBThω0 1. Diese

Bedingung ist bei Raumtemperatur und Resonanzfrequenzen im MHz-Bereich mit〈nm〉 ∼ 105 gut erfüllt. meff, ω, ω0 sowie ∆ωFWHM entsprechen den in Abschnitt 2.1eingeführten Größen. Im zweiten Schritt wurde der Parameter A0 eingeführt, derein Maß für die Amplitude der Funktion darstellt und folgendermaßen definiertwird:

A0 =

√2kBT∆ωFWHM

meff(2.10)

9


00,0

0,5

1,0A

mpl

itude

Frequenz

12|A (ω0)|

(A

0∆

ωFW

HM

ω0

) |A (ω)| =√√√√ A2

0(ω2 − ω2

0)2

+ ∆ω2FWHMω2

(ω − ω0)

∆ωFWHMA0

∆ωFWHMω0

Abbildung 2.4: Beispielhafte Darstellung der spektralen Verteilung der Amplitu-den nach Gleichung 2.11 mit den entsprechenden Parametern der Lorentzkurve.

Die Auslenkung |A (ω)| wird somit durch

|A (ω)| = A0

√1

(ω2 −ω2

0

)2+ ∆ω2

FWHMω2(2.11)

beschrieben. Die Parameter sind in einer beispielhaften Lorentzkurve in Abbil-dung 2.4 eingezeichnet.

Ausgehend von der in Abschnitt 2.2 beschriebenen Intensitätsänderung, die linearin eine Photospannung umgewandelt wird, erwarten wir, dass sich in der spektralaufgelösten Photospannung direkt die in Gleichung 2.11 beschriebene Lorentzkurvewiederfindet. Somit kann die Frequenzabhängigkeit der Photospannung beschriebenwerden als:

U (ω) = U0

√1

(ω2 −ω2

0

)2+ ∆ω2

FWHMω2(2.12)

=

∣∣∣∣U0


∣∣∣∣ (2.13)

10


Dabei wurde im zweiten Schritt eine äquivalente Darstellung der spektralen Ver-teilung gewählt, die der spektralen Verteilung der Amplitude eines harmonischenOszillators (vgl. Gleichung 2.4) entspricht.

Der lineare Zusammenhang zwischen |A (ω)| und U (ω) wird durch Einführungder Proportionalitätskonstanten C beschrieben.

|A (ω)| = C ·U (ω) (2.14)

Indem die frequenzunabhängigen Vorfaktoren A0 in Gleichung 2.11 und U0 inGleichung 2.13 miteinander in Beziehung gesetzt werden, kann C bestimmt undsomit die gewünschte Kalibration durchgeführt werden.

C =A0

U0=

1U0

√2kBT∆ωFWHM

meff(2.15)

A0 berechnet sich aus den geometrischen Abmessungen des Balkens, seiner Dichte,der Temperatur, sowie der mithilfe eines Fits von Gleichung 2.13 an die Messwertebestimmten vollen Halbwertsbreite ∆ωFWHM. Aus diesem Fit folgt auch der benö-tigte Wert für U0.

11

Kapitel 3

Experimenteller Aufbau

In diesem Kapitel wird der für die durchgeführten Messungen verwendete Messauf-bau beschrieben. Dabei wird einerseits die Funktionsweise des optischen Interfe-rometers erläutert, andererseits werden kurz die Eigenschaften der verwendetenMessgeräte dargelegt. Abschließend wird das Vorgehen beim Einbau der Probe unddem Auffinden der Balken beschrieben.

3.1 Interferometer

Die Untersuchung der Nanomechanik-Proben erfolgt mit einem optischen Interfero-meter, dessen Aufbau in Abbildung 3.1 schematisch dargestellt ist.

Als kohärente Lichtquelle dient eine Laserdiode1 mit einer Wellenlänge vonλ = 670 nm und einer Leistung von 10 mW. Die Lichtleistung kann mittels einesneutralen Dichtefilters2 auf ein Zehntel reduziert werden. Der Laserstrahl wirdmittels Spiegeln durch einen 66 % Strahlteiler gelenkt und anschließend in eineSingle-Mode-Glasfaser eingekoppelt. Der Faserkoppler besteht aus einer Linse so-wie einer Halterung für den FC/PC-Stecker der Faser. Die Position der Linse kannin zwei Achsen mittels Mikrometerschrauben justiert werden, ebenso kann derAbstand zum Faserende mithilfe einer Mikrometerschraube eingestellt werden. Da-durch wird sichergestellt, dass der Strahl bestmöglich in die Faser eingekoppelt wird.Die Glasfaser wird in einen Vakuumkolben eingeführt und das mit einem Cleavergerade abgebrochene Ende in eine Halterung eingeklebt. Die zu untersuchendeProbe befindet sich unter dem Ende der Glasfaser. Bei optimaler Einkopplung desLaserstrahls in die Faser konnte an deren Ende eine Lichtleistung von ca. 220 µWdetektiert werden (unter Verwendung des neutralen Dichtefilters).

Die Interferenz entsteht durch die Reflexion der Teilstrahlen an unterschiedli-chen Grenzflächen und dem daraus resultierenden Unterschied in der optischenWeglänge, was bereits in Abschnitt 2.2 erläutert wurde.

Das reflektierte Licht wird mit Hilfe eines Photodetektors3 in eine Spannung1Hitachi HL6714G Single Mode Laserdiode2Thorlabs NE10A3Thorlabs DET10A

13

Kapitel 3 Experimenteller Aufbau

Linse &Faserkoppler

Photodetektor

Laserdiodeλ = 670nmneutraler

Dichtefilter

Verstärker

Oszilloskop

Strahlteiler 66%

Z

Probenstab

NanovoltmeterSpektrumanalysator

YX

BalkenDickenschwinger

Vektor-Netzwerk-Analysator2 1

Abbildung 3.1: Schematische Darstellung des optischen Aufbaus (auf die Darstel-lung von Zuleitungen in den Probenstab wurde aus Gründen der Übersichtlich-keit verzichtet).

umgewandelt, die verstärkt und mit einem Nanovoltmeter bzw. einem Vektor-Netzwerk-Analysator ausgelesen werden kann. Für den genauen Aufbau und dieFunktionsweise des Interferometers sei auf die Bachelorarbeit von R. Holländer [28]verwiesen.

Die Probe selbst befindet sich in einem Vakuumkolben und lässt sich mit Hilfedreier Nanopositioner4 in den drei Raumrichtungen um bis zu 5 mm bewegen. Da-mit die Balken zu Schwingungen angeregt werden können, befindet sich die Probeauf einem Dickenschwinger. Um den Einfluss von Gasdämpfung zu vermeidenwird der Probenstab kontinuierlich mit einer Vakuumpumpe abgepumpt.

4Attocube ANPx101 (2x) bzw. ANPz101

14

3.2 Funktionsweise eines Nanopositioners

Messobjekt

Vorwärtsrichtung

S12

S21S22

a1

a2b1

b2S11

Rückwärtsrichtung

Abbildung 3.2: Schematische Darstellung der Wellengrößen und Streuparametereines Vektor-Netzwerk-Analysators nach [29, S. 15].

3.2 Funktionsweise eines Nanopositioners

Die Funktionsweise der verwendeten Nanopositioner basiert auf dem Zusammen-spiel von Gleit- und Haftreibung: Der Probentisch sitzt auf einer Achse, die mittelseines Piezokristalls bewegt werden kann. Wird die Spannung am Piezokristall in-stantan erhöht, dehnt dieser sich ruckartig aus. Der Probentisch bewegt sich nurminimal, da die ruckartige Bewegung die Haftreibung überwindet. Wird die Span-nung am Piezokristall wieder langsam verringert, und damit dessen Ausdehnung,bleibt der Probentisch auf der Achse haften und wird mit der Achse bewegt. Je nachSpannungsverlauf kann so eine Bewegung in beide Richtungen erfolgen („step-ping“). Darüber hinaus besteht die Möglichkeit, die Position durch den Aufbaueiner konstanten Offset-Spannung geringfügig zu verändern.

3.3 Vektor-Netzwerk-Analysator (VNA)

Ein Vektor-Netzwerk-Analysator erlaubt die phasenkorrekte Messung von Reflexionund Transmission elektromagnetischer Wechselfeldsignale im Bereich von mehrerenKilohertz bis hin zu mehreren Gigahertz.

Wird die an Port 1 auslaufende Welle durch a1 und die an Port 2 einlaufendeWelle durch b2 beschrieben, so wird das Amplituden- und Phasenverhältnis vonaus- und einlaufender Welle in Form des sogenannten Streuparameters S21

S21 =b2

a1(3.1)

angegeben [29, S. 15]. Dieser Zusammenhang ist schematisch in Abbildung 3.2 dar-gestellt. Das Amplitudenverhältnis der Wellengrößen wird durch den Betrag |S21|des Streuparatmeters ausgedrückt. Der Betrag dieses dimensionslosen S-Parameters,bezeichnet als Magnitude, wird in der logarithmischen dB-Skala angegeben [30,

15


Photodetektor Laserdiode

Balken

Dickenschwinger

Vektor-Netzwerk-Analysator

21

Uin

Uout

Abbildung 3.3: Schematische Darstellung des Signalflusses bei der Untersuchungeines nanomechanischen Balkens mit einem Vektor-Netzwerk-Analysator (derinterferometrische Aufbau ist der Übersicht halber stark vereinfacht dargestellt).

S. 146].

Mag S21 (dB) = 20 · log |S21| (3.2)

Die Angabe von absoluten Leistungen erfolgt in Form des sogenannten Leistungs-pegels in der Einheit dBm. Die Umrechnung des Leistungspegels von dBm in Wattwird durch folgenden Zusammenhang beschrieben [29, S. 154]

P (W) =1

1000· 10

110 ·P(dBm). (3.3)

Dabei ist zu beachten, dass die dBm-Skala auf einen Wert von 1 mW bezogen ist.

Wie in Abschnitt 2.3 beschrieben, kann die gemessene Photospannung in eineabsolute Amplitude umgerechnet und damit das Interferometer kalibriert werden.Aus diesem Grund ist es von Interesse, mithilfe des Vektor-Netzwerk-Analysatorsdie absolute Photospannung frequenzabhängig zu messen. Diese lässt sich ausdem Betrag des S21-Parameters und der eingestrahlten Leistung Pin berechnen. DerSignalfluss bei einer derartigen Messung ist schematisch in Abbildung 3.3 darge-stellt. Unter Annahme einer Impedanz von 50 Ω folgt für die am Dickenschwingeranliegende Spannung

Uin =

√50 Ω · 0, 001 · 10

110 ·Pin(dBm). (3.4)

Daraus lässt sich die frequenzabhängige Photospannung zu

Uout = |S21| ·Uin = 101

20 ·Mag S21(dB) ·√

50 Ω · 0, 001 · 10110 ·Pin(dBm) (3.5)

berechnen. Dabei wurden die Bezeichnungen Uout = |b2| und Uin = |a1| für denjeweiligen Betrag der komplexen Spannungsamplitude gewählt.

16

3.4 Spektrumanalysator

3.4 Spektrumanalysator

Die vom Photodetektor ausgegebene Spannung ist entsprechend der Bewegungdes Balkens moduliert. Um die Frequenz dieser Modulation ermitteln zu können,wird das Spannungssignal mit einem Spektrumanalysator untersucht. Dieser istin der Lage, das Frequenzspektrum des Signals mithilfe der Fouriertransforma-tion zu bestimmen [31]. Der Vorteil des Spektrumanalysators gegenüber einemVektor-Netzwerk-Analysator besteht darin, dass das Frequenzspektrum mit einerAuflösebandbreite von 1 Hz bestimmt werden kann, wohingegen der VNA eineminimale Messbandbreite von 10 Hz erreicht. Der Spektrumanalysator besitzt je-doch keine integrierte Mikrowellenquelle und kann deswegen nicht dazu genutztwerden, den Balken anzutreiben.

3.5 Vorbereitungen zur Untersuchung derNanomechanik-Proben

3.5.1 Probenmontage & Justage

Die zu untersuchende Probe wird mit Photolack auf einen Dickenschwinger auf-geklebt, der sich auf dem obersten der drei Nanopositioniertische befindet. An-schließend wird der Probentisch unter dem Faserende platziert. Mittels des drittenNanopositioners (z-Richtung) wird die Probe so dicht an das Faserende gefahren,dass auf dem Oszilloskop ein Interferenzsignal als Folge der Abstandsänderungzwischen Faserende und Probe zu erkennen ist. Mithilfe eines seitlich angebrachtenMikroskops kann die Position der Faser über der Probe bestimmt werden. Diese wirdzunächst auf einen Bereich außerhalb der Struktur eingestellt, der Nanopositioner inz-Richtung wird in seine Nullposition zurückgefahren, um ihn vor Erschütterungenwährend des Einbaus in das Vakuumrohr zu schützen. Der Probenstab wird in dasVakuumrohr eingeführt und dieser mit einer Vakuumpumpe evakuiert. Die Probewird wieder an das Faserende angenähert bis Interferenz erkennbar ist. Währendder Experimente wird durchgehend gepumpt, um den Druck unter 10−5 mbar zuhalten.

3.5.2 Navigation auf der Probe

Um die Position der Probe unter der Faser auszurichten, wird der Probentisch in x-und y- Richtung verfahren und das detektierte Signal am Oszilloskop beobachtet.Um die Orientierung zu vereinfachen, befindet sich auf der Probe eine durchgehen-de Linie aus Siliziumnitrid (vgl. Abbildung A.1 in Anhang A). Die Beschriftung derStruktur lässt erkennen, in welche Richtung die Probe orientiert ist und ermöglicht

17


somit die genaue Zuordnung der einzelnen Balken. Die Position wird derart einge-stellt, dass sich die Faser zentral über einem Balken befindet. Für diese Bewegungenwerden die Nanopositioner bei einer Spannung zwischen 20 V und 25 V und einerFrequenz kleiner 250 Hz betrieben.

Gleichzeitig wird das Signal am Vektor-Netzwerk-Analysator beobachtet, der zudiesem Zeitpunkt einen größeren Frequenzbereich von ca. 2 MHz bei einer Mess-bandbreite von 1 kHz untersucht und eine, verglichen mit späteren Messungen, hoheLeistung von −20 dBm in den Dickenschwinger einstrahlt. Die große Messbandbrei-te ermöglicht eine schnelle Untersuchung des Frequenzspektrums und die hoheLeistung stellt sicher, dass die Schwingung des Balkens bei dieser Messbandbreitenicht durch das Rauschen dominiert wird.

Befindet sich ein funktionierender Balken unter dem Faserende, so sollte bereitseine Resonanz zu erkennen sein. Die genaue Position kann nun mittels einzelnerSchritte bei höheren Spannungen, beispielsweise 40 V, weiter optimiert werden,sodass das am Vektor-Netzwerk-Analysator gemessene Signal maximal ist.

18

Kapitel 4

Schwingungsverhalten eines beidseitigeingespannten Si3N4-Balkens

Mithilfe des im vorherigen Kapitel beschriebenen Aufbaus wird im Folgenden dasSchwingungsverhalten eines beidseitig eingespannten Balkens aus Siliziumnitriduntersucht. Zunächst wird die Brownsche Bewegung des Balkens gemessen und diein Abschnitt 2.3 beschriebene Kalibration durchgeführt. Darüber hinaus wird dieResonanzfrequenz und die Güte des untersuchten Balkens bestimmt.

Ausgehend von der durchgeführten Kalibration wird das Schwingungsverhaltendes angetriebenen Balkens in Abhängigkeit von der Anregungsleistung untersuchtsowie die Auslenkung in Abhängigkeit von der Position auf dem Balken gemessen.Dadurch kann das Profil der Schwingungsmode des Balkens bestimmt werden.

Abschließend wird die Abhängigkeit des mit dem Vektor-Netzwerk-Analysatorgemessenen Signals von dem Abstand des Glasfaserendes zu der Oberfläche derProbe untersucht. Dies ermöglicht eine Aussage über die Relevanz der einzelnen, inAbschnitt 2.2 aufgeführten, Teilstrahlen für das gemessene Signal.

Sämtliche beschriebenen Messungen werden am Balken A5 der Probe NM2.3A

100μm

A B C

20μm

Abbildung 4.1: Lichtmikroskopaufnahme der Probe NM2.3A und des untersuch-ten Balkens A5.

19

Kapitel 4 Schwingungsverhalten eines beidseitig eingespannten Si3N4-Balkens

durchgeführt. Dieser ist 35 µm lang, sowie 330 nm breit. Die Höhe des Silizium-nitrids beträgt 90 nm. Abbildung 4.1 zeigt eine Aufnahme dieses Balkens sowieeines Teils der Probe mit einem Lichtmikroskop. Eine detailliertere Beschreibungder Probe findet sich in Anhang A.

4.1 Detektion der Brownschen Bewegung

Wurde die Position der Probe, wie in Unterabschnitt 3.5.2 beschrieben, hinsichtlichdes Signals optimiert und die Resonanzfrequenz des zu untersuchenden Balkensmittels des VNA bei niedriger Leistung bestimmt, erfolgt die Analyse der Photospan-nung mit einem Spektrumanalysator. Die Probe wird dabei nicht angetrieben unddie Verbindung vom Vektor-Netzwerk-Analysator zum Dickenschwinger getrennt.Hierdurch wird ein ungewollter Antrieb des Dickenschwingers ausgeschlossen unddie Probe befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit ihrer Umgebung.

Das Spektrum wird mit einer Auflösebandbreite von 1 Hz aufgezeichnet und 100mal gemittelt, um das Signal-Rausch-Verhältnis zu minimieren. Das resultierendeSpektrum ist in Abbildung 4.2 dargestellt. Die Umrechnung der Photospannung inEinheiten der Amplitude erfolgt nach der in Abschnitt 2.3 diskutierten Methode, diebenötigten Parameter werden durch den Fit folgender Funktion an die Messdatenermittelt:

U (ω) =

∣∣∣∣U0


+ iφ∣∣∣∣+ y0 (4.1)

Der Parameter φ berücksichtigt eine eventuelle Asymmetrie der Lorentzkurve, derParameter y0 einen konstanten Offset des Messsignals, verursacht durch Rauschen.Dieses resultiert überwiegend aus dem Rauschen des Photodetektors. Für die be-schriebene Kalibration sind jedoch nur die Parameter U0, ω0 und ∆ωFWHM relevant,deren Bedeutung bereits in Abschnitt 2.3 beschrieben wurde. Die ermittelten Wertesind in Tabelle 4.1 aufgeführt.

Die Anpassung von Gleichung 4.1 an die Daten in Abbildung 4.2 ergibt, dass der35 µm lange Balken eine Resonanzfrequenz von ω0 (2π)−1 = 8,062 968 MHz undeine Linienbreite von ∆ωFWHM (2π)−1 = 59,95 Hz besitzt. Somit ergibt sich für dieGüte nach Gleichung 2.3 ein Wert von Q = 134 000. Aus der Resonanzfrequenz desBalkens lässt sich nach Gleichung 2.7 die Zugspannung σ des zur Probenherstellungverwendeten Siliziumnitridwafers bestimmen. Unter Annahme des Literaturwertesder Dichte von ρ = 2700 kg m−3 ergibt sich aus der gemessenen Resonanzfrequenzeine Zugspannung von σ = 860 MPa.

Die neben der Resonanzfrequenz und der vollen Halbwertsbreite für die Be-stimmung der Umrechnungskonstante benötigte effektive Masse des Balkens

20

4.1 Detektion der Brownschen Bewegung

8,0620 8,0625 8,0630 8,0635 8,0640

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Pho

tosp

annu

ng (µ

V H

z-1/2)

Frequenz (MHz)

Amax = 2,47 pm Hz-1/2

Abbildung 4.2: Spektrum der Brownschen Bewegung des Balkens A5 auf derProbe NM2.3A mit dem nach Gleichung 4.1 durchgeführten Fit. Gezeigt ist das100-fach gemittelte spektrale Rauschsignal des verstärkten Photodetektors (vgl.Abbildung 3.1).

wird aus den in Tabelle 4.2 aufgeführten Abmessungen nach Gleichung 2.2 zumeff = 1,4 · 10−15 kg bestimmt. Die Abmessungen erhält man z. B. durch Untersu-chung der Probe mit einem Rasterelektronenmikroskop. Es stellt sich heraus, dassdie Dicke der Siliziumnitridschicht durch den Herstellungsprozess nicht reduziertwurde. Die Breite des Balkens, nach dem Layout für die Elektronenstrahllitho-graphie 300 nm, wurde durch die Streuung des Elektronenstrahls während desHerstellungsprozesses vergrößert und auf 330 nm bestimmt1.

Bei einer Raumtemperatur von 300 K berechnet sich die für die Kalibrationbenötigte Konstante nach Gleichung 2.15 zu C = 4,70 nm mV−1. Damit kann nunbei weiteren Messungen die gemessene Photospannung in mV in eine Amplitude

1Da der Balken A5 nicht durch die Betrachtung mit dem Rasterelektronenmikroskop beschädigtwerden sollte, wurden anstatt dessen die Balken B5 und C5 untersucht, deren Konstruktionsmaßedenen des Balkens A5 äquivalent sind (vgl. Anhang A).

21


Tabelle 4.1: Parameter des nach Gleichung 4.1 durchgeführten Fits an die Messda-ten der Brownschen Bewegung des Balkens A5.

U0 ω0 (2π)−1 ∆ωFWHM (2π)−1

1,0026 · 1010 µV rad2 s−2 Hz−1/2 8,062 968 MHz 59,95 Hz

φ y0

0,183 µV Hz−1/2 0,106 µV Hz−1/2

Tabelle 4.2: Geometrische Daten des Balkens A5 auf der Probe NM2.3A sowiedessen daraus nach Gleichung 2.2 bestimmten effektiven Masse.

l b h meff

35 µm 330 nm 90 nm 1,4 · 10−15 kg

mit der Einheit nm umgerechnet werden.

Das Signal-Rausch-Verhältnis SRV der in Abbildung 4.2 gezeigten Messung folgtaus dem Verhältnis der Amplitudenhöhe zu der mittleren Höhe des Rauschens [32,S. 210]:

SRV =820 nV Hz−1/2

290 nV Hz−1/2 = 2,7 (4.2)

Daraus folgt eine maximale Auflösung von 2,47 pm Hz−1/2/2,7 = 0,9 pm Hz−1/2.

4.2 Leistungsabhängigkeit der Schwingungsamplitude

Wie bereits angemerkt, befindet sich unterhalb der Probe ein Piezoaktuator (Dicken-schwinger). Dieser ermöglicht es, eine oszillierende Kraft auf den nanomechanischenBalken wirken zu lassen.

Ausgehend von der oben durchgeführten Kalibration kann nun die Abhängigkeitder Schwingungsamplitude des Balkens von der am Piezoaktuator angelegtenTreibeleistung untersucht werden. Dazu wird der Dickenschwinger an Port 1 desVektor-Netzwerk-Analysators angeschlossen, der Photodetektor an Port 2. Wie inAbschnitt 3.3 beschrieben, misst der VNA frequenzabhängig das Verhältnis vondetektierter Leistung zu eingestrahlter Leistung. Bei der Frequenz, bei der eineresonante Anregung des Balkens stattfindet, ist das gemessene Signal somit höher.

22


020406080

100120

8,062 8,063 8,064 8,065

-60-56-52-48-44-40-36

8,062 8,063 8,064 8,065

-88-84-80-76-72-68-64-60

Frequenz (MHz)

Am

plitu

de (p

m)

(a) Pin = -80 dBm

(b)

0,000,801,602,403,20

Amplitude

Amplitude(nm)

Frequenz (MHz)

Anr

egun

gsle

istu

ng (d

Bm

)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50(nm)

(c)

Abbildung 4.3: Resonanzverhalten des Balkens A5 auf der Probe NM2.3A alsFunktion der Anregungsleistung des Piezoaktuators. Bild (a) zeigt den Schnitt bei−80 dBm. Bilder (b) und (c) zeigen jeweils einen farbkodierten Amplitudengraphfür Anregungsleistungen von −60 dBm bis −36 dBm bzw. −90 dBm bis −60 dBm.Bei Anregungsleistungen ab −54 dBm ist eine Asymmetrie der Linienform zubeobachten, was auf ein nichtlineares Verhalten zurückzuführen ist (Duffing Re-gime).

23


0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,400,0

0,5

1,0A

mpl

itude

(nm

)

Uin (mV)

Abbildung 4.4: Abhängigkeit der maximalen Amplitude von der am Dicken-schwinger angelegten Spannung Uin im linearen Bereich des Oszillators von−90 dBm bis −56 dBm (Umrechnung von Pin in Uin gemäß Gleichung 3.4).

Der S21-Parameter wird in Abhängigkeit von der Frequenz mit einer Bandbreitevon 10 Hz über einen Bereich von 5 kHz um die Resonanzfrequenz aufgezeichnet.Dies wird für Treibeleistungen von −90 dBm bis −36 dBm in Schritten von jeweils2 dBm durchgeführt.

Die Photospannung folgt aus der Umrechnung des S21-Parameters nach Glei-chung 3.5, die in Abschnitt 3.3 erläutert ist. Anschließend werden die Daten mitder in Abschnitt 4.1 bestimmten Umrechnungskonstanten C multipliziert um dieAuslenkung des Balkens in nm zu erhalten. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.3 dar-gestellt. Abbildung 4.3(a) zeigt beispielhaft die spektrale Verteilung der Amplitudefür eine Anregungsleistung von −80 dBm.

Es ist zu erkennen, wie die Breite der Resonanzkurven zu höheren Leistungenhin zunimmt. Bei −36 dBm wird eine maximale Auslenkung des Balkens von3,19 nm gemessen. In diesem Leistungsbereich kann der Balken bereits nicht mehrals linearer harmonischer Oszillator beschrieben werden, man spricht von einemsogenannten „Duffing“-Oszillator [20, S. 314]. Charakteristisch hierfür ist ein steilerAbfall der Amplitude nach dem Erreichen ihres Maximalwertes, hin zu höherenFrequenzen [33, S. 204, 20, S. 315-316].

Abbildung 4.4 zeigt den Zusammenhang zwischen der am Dickenschwinger ange-legten Spannung Uin und der jeweils maximalen Amplitude bei der entsprechendenAnregungsleistung. Die Datenpunkte sind aus Abbildung 4.3 für Leistungen von

24


−90 dBm bis −56 dBm, jeweils bei der Resonanzfrequenz, entnommen. Bei diesenAnregungsleistungen befindet sich der Oszillator noch im linearen Bereich. Die inden Dickenschwinger eingestrahlten Leistungen werden nach Gleichung 3.4 in eineSpannung umgerechnet. Die Daten lassen eine Proportionalität zwischen maximalerAmplitude und anliegender Spannung erkennen. Nach Gleichung 2.4 ist die Ampli-tude des Oszillators proportional zu der Amplitude der periodisch den Oszillatorantreibenden äußeren Kraft F0. Diese wiederum ist durch die Ausdehnung desDickenschwingers gegeben, die proportional zu der anliegenden Spannung Uinist [34, S. 49]. Die Schwingung des Balkens ist somit, wie erwartet, eine Folge desperiodischen Antriebs durch die Ausdehnung des Dickenschwingers.

In Abbildung 4.5 und Abbildung 4.6 ist die Frequenzabhängigkeit der Amplitu-de bei verschiedenen Leistungen aufgetragen. Die Kurven stellen Schnitte durchAbbildung 4.3 bei konstanten Leistungen dar. Abbildung 4.5 zeigt die spektraleVerteilung der Amplitude für Leistungen von−90 dBm bis−50 dBm, Abbildung 4.6von −50 dBm bis −36 dBm.

In Abbildung 4.5 ist zu erkennen, dass die Resonanzfrequenz bei der niedrigstenAnregungsleistung von −90 dBm, im Vergleich zu höheren Leistungen, zu niedri-geren Frequenzen verschoben ist. Diese stimmt auch mit der bei der BrownschenBewegung bestimmten Resonanzfrequenz von 8,063 MHz überein. Die zwischen−90 dBm und −80 dBm auftretende Verschiebung ist zunächst nicht mit dem Mo-dell eines harmonischen Oszillators erklärbar und lässt sich daher vermutlich aufeinen thermischen Effekt, verursacht durch die Dissipation des Piezoaktuators,zurückführen. Bei höheren Leistungen im linearen Bereich verschiebt sich die Re-sonanzfrequenz leicht zu niedrigeren Frequenzen, bis das nichtlineare Verhalteneinsetzt.

Die Kurve bei −50 dBm zeigt den Übergang vom linearen Verhalten zu dem einesDuffing-Oszillators: Die Amplitude steigt mit zunehmender Frequenz stetig anund erreicht ihren Maximalwert. Danach fällt die Amplitude sehr steil, innerhalbweniger Messpunkte, ab. Dieses Verhalten wird mit zunehmender Antriebsleistungimmer ausgeprägter, was in Abbildung 4.6 zu erkennen ist.

Die für den linearen Fall gültige Bewegungsgleichung eines gedämpften harmo-nischen Oszillators (Gleichung 2.1) folgt aus der Annahme eines harmonischenPotentials. Dieses ist bei einer zu großen Auslenkung des Oszillators nicht mehrgegeben, da rücktreibende Kräfte höherer Ordnung relevant werden: Die Oszilla-tion führt zu einer Längenänderung des Balkens, welche sich wiederum in einerÄnderung der Schwingungseigenschaften auswirkt [20, S. 312]. Dies kann als eine inAbhängigkeit von der Auslenkung steifer bzw. weniger steifer werdende Feder auf-gefasst werden. Da sich die Resonanzfrequenz des Balkens im Duffing-Regime mitzunehmender Antriebsleistung hin zu höheren Frequenzen verschiebt, entsprichtdies einer mit zunehmender Auslenkung steifer werdenden Feder [33, S. 205].

25


8,06274 8,06301 8,063280,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Am

plitu

de (n

m)

Frequenz (MHz)

-90 dBm -80 dBm -70 dBm -60 dBm -58 dBm -56 dBm -50 dBm

Abbildung 4.5: Spektrale Verteilung der Amplitude des Balkens A5 für einge-strahlte Leistungen von −90 dBm bis −50 dBm.

8,0622 8,0631 8,0640 8,06490,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

Ampl

itude

(nm

)

Frequenz (MHz)

-50 dBm -48 dBm -46 dBm -44 dBm -42 dBm -40 dBm -38 dBm -36 dBm

Abbildung 4.6: Spektrale Verteilung der Amplitude des Balkens A5 im Duffing-Regime für eingestrahlte Leistungen von −50 dBm bis −36 dBm.

26

4.3 Ortsabhängigkeit der Schwingungsamplitude

4.3 Ortsabhängigkeit der Schwingungsamplitude

Die Platzierung der Probe auf Nanopositionern erlaubt es, die Schwingungsam-plitude ortsaufgelöst zu bestimmen. Dazu wird die Position der Probe unter demGlasfaserende schrittweise verändert. Abbildung 4.7 zeigt schematisch die Proben-anordnung mit dem für Abbildung 4.8 relevanten Koordinatensystem. Anhanddieses Koordinatensystems wird ein Raster von 20 Schritten in x-Richtung und 40Schritten in y-Richtung untersucht (jeweils à 40 V). An jedem Punkt des Rasters wirddas Frequenzspektrum mit dem Vektor-Netzwerk-Analysator aufgezeichnet. Diesertreibt den Dickenschwinger mit einer konstanten Leistung von Pin = −60 dBm an.Bei dieser Leistung befindet sich der Oszillator noch im linearen Bereich. Als Start-punkt wird der Ursprung des in Abbildung 4.7 dargestellten Koordinatensystemsgewählt, was in beiden Dimensionen etwa der Mitte des Balkens entspricht.

Zur Auswertung der gewonnenen Daten wird für jedes Spektrum die Resonanz-frequenz bestimmt. Von diesen wird der Mittelwert gebildet, es ergibt sich eineFrequenz von 8,061 MHz. Im Bereich des Balkens sind die Abweichungen vondieser mittleren Frequenz vergleichsweise gering, die Standardabweichung vomMittelwert beträgt 25 Hz. Bei der mittleren Resonanzfrequenz wird nun aus jedemSpektrum die Größe der Amplitude ausgelesen. Diese ist in Abhängigkeit von derPosition in Abbildung 4.8(a) dargestellt. Der Startpunkt des Rastervorgangs liegt inder unteren linken Ecke der Falschfarbenabbildung. Die Daten für mehr als 6 Schrit-te in x-Richtung bzw. mehr als 24 Schritte in y-Richtung wurden nicht dargestellt,da diese bereits zu weit von dem Balken entfernt sind und daher kein Messsignalmehr zu beobachten ist.

Es ist zu erkennen, dass die Amplitude in x-Richtung, also senkrecht zu derOrientierung des Balkens, innerhalb von 2 Schritten von ihrem Maximalwert aufNull abfällt. In y-Richtung wird die maximale Amplitude nach 3 Schritten vomStartpunkt erreicht und fällt anschließend langsam ab. Die Position, an der diemaximale Amplitude von 2,48 nm erreicht wird, stellt die Mitte des betrachtetenBalkens dar.

In Abbildung 4.8(b) ist die Amplitude als Funktion der Position in y-Richtung dar-gestellt, die Daten entsprechen einem Schnitt durch die Falschfarbenabbildung beix = 0. Es ist zu erkennen, dass der Verlauf, wie erwartet, dem halben Schwingungs-profil eines beidseitig eingespannten Balkens in der Grundmode entspricht. Dabeiist jedoch zu berücksichtigen, dass die Größe eines Schrittes des Piezoaktuatorsstarken Schwankungen unterliegt, was in Kapitel 5 gezeigt wird.

27


l = 35 µm

b = 330 nm

0

x

ySi3N4

Abbildung 4.7: schematische Darstellung des in Abbildung 4.8 untersuchten Aus-schnitts des Balkens A5 sowie dem verwendeten Koordinatensystem

0

2

4

0 5 10 15 20

0 5 10 15 200,00,51,01,52,02,53,0

(a)

(nm)

Position in y-Richtung (Schritte à 40V)

Pos

ition

in x

-Ric

htun

g(S

chrit

te à

40V

)

0,00

1,25

2,50

Amplitude

(a)

Position in y-Richtung (Schritte à 40V)

Am

plitu

de (n

m)

x = 0(b)

Abbildung 4.8: (a) Positionsabhängigkeit der Amplitude bei f = 8,061 004 MHzbei einer Anregungsleistung von −60 dBm. (b) Schnitt durch die Falschfarbenab-bildung bei x = 0.

28

4.4 Abhängigkeit des Signals vom Abstand des Glasfaserendes zur Probe

4.4 Abhängigkeit des Signals vom Abstand desGlasfaserendes zur Probe

Im Folgenden wird die am Photodetektor auftretende AC Photospannung gleich-zeitig mit der DC Photospannung gemessen, um zu untersuchen, inwieweit sichder Abstand des Glasfaserendes zur Probe auf die Größe des detektierten Signalsauswirkt. Dazu wird die am z-Positioner anliegende Offset-Spannung UPiezo schritt-weise erhöht, was eine Verkleinerung des genannten Abstandes bewirkt.

Die AC Photospannung wird mithilfe des Vektor-Netzwerk-Analysators gemes-sen, die DC Photospannung unter Verwendung eines Nanovoltmeters. Währendder Messung wird der Dickenschwinger mit einer Leistung von Pin = −65 dBmangetrieben.

In Abbildung 4.9 ist beispielhaft das mit dem VNA aufgezeichnete Frequenz-spektrum bei einer Offset-Spannung von 0,4 V dargestellt. Zur Auswertung wirdzunächst die Signalhöhe des Hintergrundes bestimmt, indem über die ersten undletzten zehn Messpunkte gemittelt wird. Als Signal wird die Höhe des Maximums,ausgehend von der Signalhöhe des Hintergrundes, ausgelesen, was in Abbildung 4.9durch blaue Markierungen dargestellt ist. Dieses Vorgehen wird auf jedes der aufge-zeichneten Spektren angewandt.

Anschließend wird die bestimmte Signalhöhe in Abhängigkeit von der z-Positionbetrachtet. In Abbildung 4.10 ist diese zusammen mit dem DC-Signal, das mit einem

8,0735 8,0740 8,0745 8,07500,000,020,040,060,080,100,120,140,16

Pin = -65 dBmUPiezo = 0,4 V

Phot

ospa

nnun

g (m

V)

Frequenz (MHz)

f0 = 8,074232 MHz0,13 mV

Abbildung 4.9: Photospannung als Funktion der Frequenz bei einer eingestrahl-ten Leistung von Pin = −65 dBm bei einer konstanten Offsetspannung des z-Richtungs Piezoaktuators von 0,4 V.

29


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,010,030,050,070,090,110,130,150,17

1,1

1,5

1,9

2,3

2,7

Pho

tosp

annu

ng A

C (m

V)

UPiezo (V)

Photospannung ACPhotospannung DC

Pho

tosp

annu

ng D

C (V

)

Abbildung 4.10: Vergleich der statischen Photospannung (DC) und des Signalsder dynamischen Photospannung (AC) in Abhängigkeit vom Abstand der Probezum Glasfaserende (z-Position).

Nanovoltmeter ausgelesen wurde, dargestellt. Beide Signale weisen die gleicheAbhängigkeit von der z-Position auf und sind gleichphasig.

Für die DC Photospannung ist dies das zu erwartende Verhalten, da der Großteildes auf die Probe treffenden Lichts am Substrat reflektiert wird und dieses mit deman der Innenseite des Glasfaserendes reflektierten Lichts interferiert (Strahlen 1 und 2in Abbildung 2.3). Folglich weist die Signalhöhe eine periodische Abhängigkeit vomAbstand des Glasfaserendes zur Probenoberfläche auf: Beide Strahlen interferierenkonstruktiv, wenn der Abstand einem Vielfachen der halben Wellenlänge entspricht.

Bei der dynamischen Photospannung muss ein Teilstrahl am Balken reflektiertwerden (Strahl 3 in Abbildung 2.3). Dadurch wird die detektierte Spannung mit derSchwingungsfrequenz moduliert und kann so mit dem Vektor-Netzwerk-Analysatorgemessen werden. Würde die Interferenz durch Überlagerung mit dem Teilstrahlentstehen, der an der Innenseite des Glasfaserendes reflektiert wird, so müsste dasSignal der dynamischen Photspannung gegenüber der DC Photospannung um 90°phasenverschoben sein, da die größte Empfindlichkeit an den Wendepunkten derDC Photospannung erreicht wird [vgl. 28, S. 12]. Eine Interferenz des am Balkenreflektierten Teilstrahls mit dem am Substrat reflektierten Teilstrahl kann hingegendie beobachtete periodische Abhängigkeit von der z-Position nicht erklären. Fürdie Erklärung des für die Detektion der Balkenbewegung relevanten Signals muss

30

4.5 Diskussion der Ergebnisse

folglich die Überlagerung mehrerer Teilstrahlen in betrachtet gezogen werden,sowie deren teilweise Relflexion und Transmission an den einzelnen Grenzflächen(Vielstrahlinterferenz).

Die Periodizität des Signals in Abhängigkeit von der z-Position ermöglicht eineKalibration der Bewegung des Piezoaktuators in dieser Richtung, da die Länge derPeriode nur von der Wellenlänge des verwendeten Lichts abhängt.

4.5 Diskussion der Ergebnisse

Mithilfe der durchgeführten Kalibration durch Messung der Brownschen Bewegungwar es möglich, die Abhängigkeit der Amplitude von der Anregungsleistung sowieder Position über dem Balken zu untersuchen.

Die Aufnahme der Brownschen Bewegung war mit einem sehr guten Signal-Rausch-Verhältnis möglich. Die aus den Fitparametern bestimmte Güte von 134 000ist etwas schlechter als die von Unterreithmeier et al. in [25] gemessene (158 000) undberechnete (140 000) Güte eines 35 µm langen beidseitig eingespannten Balkens ausSiliziumnitrid. Dieser unterscheidet sich jedoch auch in den restlichen geometrischenDimensionen, da er eine Höhe von h = 100 nm und eine Breite von b = 200 nmaufweist. Die Untersuchung eines 35 µm langen, 250 nm breiten und 100 nm hohenSiliziumnitridbalkens in [35] führt auf eine Güte von 138 000 für die Grundmode desOszillators, was sehr gut mit der für den Balken A5 bestimmten Güte übereinstimmt.

Die aus der Resonanzfrequenz und der Länge des Balkens berechnete Zugspan-nung von σ = 860 MPa stimmt sehr gut mit dem von Faust et al. in [22] bestimmtenWert von 830 MPa überein.

Durch die Anregung des Balkens mit unterschiedlichen Leistungen wurde der leis-tungsabhängige Verlauf der Amplitude beobachtet, insbesondere der Übergang vomlinearen in den nichtlinearen Bereich. Dies ermöglicht bei zukünftigen Messungendie Bestimmung von Materialparametern, die ansonsten nur schwer experimentellzugänglich sind. Durch Anpassung der Lösung der Duffing-Gleichung an die Mess-daten kann das Elastizitätsmodul der untersuchten Struktur bestimmt werden [35].Dies wurde beispielsweise von F. Hocke in seiner Dissertation [36] für einen Balkengezeigt, der aus Siliziumnitrid besteht und mit Niob beschichtet wurde und somiteine kompliziertere mechanische Struktur aufweist.

Darüber hinaus können bei einem Duffing-Oszillator Bifurkationen beobachtetwerden, da für eine gegebene Frequenz mehrere stabile Lösungen für die Amplitudeexistieren. In [21] wurde der Übergang zwischen den möglichen Lösungen genaueruntersucht, auch im Hinblick darauf, den Resonator in einem der beiden Zuständezu präparieren und so Information zu speichern. Um dieses Verhalten genauer zuuntersuchen, muss jedoch die Variation des Frequenzbereichs in beide Richtungen

31


möglich sein.

Die Vermessung der Amplitude in Abhängigkeit von der Position auf dem Balkenzeigt, dass es mithilfe der Piezoaktuatoren möglich ist, dessen Schwingungsprofilzu vermessen. Das Ergebnis entspricht qualitativ der für einen beidseitig einge-spannten Balken erwarteten Funktionalität. Eine quantitative Betrachtung kannbei eingehenderen Untersuchungen durch Vergleich der Daten mit den Lösungender Euler-Bernoulli Gleichung durchgeführt werden [20, S. 292]. Insbesondere imHinblick auf die Untersuchung höherer Harmonischer ist dies von Interesse, da sodie genaue Form der jeweiligen Schwingungsmode bestimmt werden kann.

32

Kapitel 5

Rastertechnik

5.1 Motivation

Der verwendete Probenherstellungsprozess mittels Elektronenstrahllithographieermöglicht die einfache Herstellung von Proben mit einer Vielzahl von Balken.In Verbindung mit den im Aufbau verwendeten Nanopositionern stellt sich dieFrage, ob die Untersuchung einer solchen Probe zumindest teilweise automatisiertwerden könnte. Vorstellbar wäre beispielsweise ein Ablauf, in dem nacheinanderverschiedene Balken durch Variation der Position der Nanopositioner angefahrenwerden und jeweils das Interferenzsignal am Photodetektor bei unterschiedlichenFrequenzen aufgezeichnet wird.

Voraussetzung für eine derartige Messung wäre, dass jede Position auf der Probedurch Angabe von Koordinaten zielsicher angefahren werden kann. Um dies zuüberprüfen wurde die Photospannung in Abhängigkeit von der x- und y-Positiongemessen, das so erzeugte Reflektogramm ist in Abbildung 5.1 dargestellt. DieStruktur der Probe ist zwar zu erkennen, allerdings erscheint sie deutlich verzerrt.

Die Funktionsweise der Nanopositioner, beschrieben in Abschnitt 3.2, führt dazu,dass die Größe eines Schrittes von seiner Richtung abhängt. Im Folgenden soll diesesVerhalten genauer untersucht werden und der Versuch unternommen werden, dieresultierende Verzerrung bei der Aufnahme eines Rasterbildes zu korrigieren.

5.2 Experiment

Um das Verhalten der Nanopositioner systematisch zu untersuchen, werden zu-nächst für die x-Richtung nacheinander mehrere eindimensionale Reflektogrammeaufgenommen. Dabei wird die Anzahl der Schritte konstant gehalten und die Positi-on wird nach jeder Messung um die gleiche Anzahl von Schritten wieder zurückgefahren.

Bei jedem Messpunkt wird die Photospannung bei sieben unterschiedlichenz-Offsetspannungen gemessen. Die Offsetspannung wird dabei jeweils von 0 Vin 1 V Schritten bis 6 V erhöht. Zur Auswertung wird bei jeder Position über die

33

Kapitel 5 Rastertechnik

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

Position in x-Richtung (Schritte à 70V)

Pos

ition

in y

-Ric

htun

g (S

chrit

te à

70V

)

Ref

lexi

on (a

rb. u

nits

)

Abbildung 5.1: 2D-Rasteraufnahme von Probe 3 mit Schritten à 70 V sowie eineLichtmikroskopaufnahme der untersuchten Probe. Die Rasteraufnahme zeigt dieStruktur deutlich verzerrt.

Offsetspannung gemittelt, dadurch wird das Signal lediglich durch die Interferenzmoduliert, die durch Reflexion der Teilstrahlen an Balken und Substrat entsteht. Dieanderen Beiträge zur Interferenz entfallen durch die Mittelung über den Abstanddes Glasfaserendes zur Probe.

Das Ergebnis einer solchen Messung ist in Abbildung 5.2 beispielhaft für eineSchrittspannung von 50 V dargestellt. An dem markanten Maximum, das vermutlichein metallisches Artefakt auf der Probe darstellt, ist sehr gut zu erkennen, dass sichdas Reflektogramm mit jeder Messung weiter nach rechts verschiebt. Die Differenzin Schritten zur jeweils vorigen Messung ist in der Grafik eingezeichnet. Da sichdas Reflektogramm nach rechts verschiebt, fährt der Nanopositioner eine größereStrecke zurück, als er vorher in einzelnen Schritten zurückgelegt hat.

Derartige Messungen werden für Schrittspannungen zwischen 25 V und 70 V

34

5.3 Ergebnisse & Diskussion

0 20 40 60 80 100

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Messung 1 Messung 2 Messung 3 Messung 4 Messung 5

13 Schritte13 Schritte14 Schritte

<Pho

tosp

annu

ng> Z-

Offs

etsp

annu

ng (V

)

Position in x-Richtung (Schritte à 50V)

20 Schritte

Abbildung 5.2: Beispielhafte Messung zur Bestimmung der Hysterese der Pie-zoaktuatoren: 5 sukzessive durchgeführte 1D-Reflektogramme mit jeweils 100Schritten bei 50 V.

durchgeführt und jeweils die Verschiebungen bestimmt. Die Messung der Photo-spannung erfolgt dabei stets bei der Bewegung in „up“ Richtung. Die Richtung derVerschiebung ist bei allen Messungen identisch, allerdings mit deutlich unterschied-lichen Weiten.

Eine ähnliche Messreihe wird für die y-Richtung durchgeführt, allerdings mit we-niger Datenpunkten, da zunächst nur überprüft wird, ob sich für beide Richtungenein ähnliches Verhalten ergibt.


Die Ergebnisse der Messungen für beide Achsen sind in Abbildung 5.3 dargestellt.Dabei ist die relative mittlere Abweichung pro Schritt gegen die Schrittspannungaufgetragen. Die dargestellten Fehlerbalken geben die Standardabweichung vom

35

Kapitel 5 Rastertechnik

20 30 40 50 60 70-505

101520253035404550556065

<Abw

eich

ung

pro

Sch

ritt>

(%)

Schrittspannung (V)

x-Richtung y-Richtung

Abbildung 5.3: relative mittlere Abweichung pro Schritt bei unterschiedlichenSchrittspannungen für x- und y-Richtung

dargestellten Mittelwert wieder, allerdings ist zu beachten, dass bei einzelnen Da-tenpunkten der y-Richtung jeweils nur eine Messung vorliegt.

Es ist zu erkennen, dass sich das Verhalten der x-Richtung deutlich von demder y-Richtung unterscheidet. Während bei der y-Richtung ein Abfall der mittlerenAbweichung hin zu höheren Schrittspannungen beobachtet wird, ist die mittlereAbweichung bei der x-Richtung für Spannungen kleiner 40 V näherungsweise kon-stant, wenn auch mit großen Schwankungen um den Mittelwert. Abgesehen vonkleinen Spannungen ist die mittlere Abweichung in y-Richtung stets geringer als inx-Richtung.

Der Einfluss von äußeren Faktoren, wie beispielsweise die Stapelfolge der Nano-positioner oder eventueller Widerstand durch die Steifigkeit der Steuerungskabel aufdie in Abbildung 5.3 dargestellte Kurve, konnte aus Zeitgründen nicht untersuchtwerden. Allerdings wurde der Versuch unternommen, die auftretende Verschiebungzu minimieren, indem die Anzahl der Schritte, die der Nanopositioner nach jederMessung zurückfährt, um die gemessene Abweichung korrigiert wird. Dies brachte

36


jedoch keine Verbesserung, da die relative Abweichung zu starken Schwankungenunterliegt.

Folglich scheint eine automatisierte Untersuchung mithilfe der derzeit eingesetz-ten Nanopositioner nicht möglich, da jegliche Positionsbestimmung nicht repro-duzierbar ist. Um dieses Problem zu lösen, könnten die Piezoaktuatoren durchsogenannte „closed-loop“-Positioner ersetzt werden, die auf dem gleichen Funkti-onsprinzip basieren, jedoch zusätzlich noch die zurückgelegte Schrittweite mittelsInterferometerie oder hochpräziser Widerstandsmessung bestimmen können unddie Positionierung somit reproduzierbar wird.

37

Kapitel 6

Verbesserung des optischen Aufbaus:Linse zwischen Faser und Probe

6.1 Motivation

Um die Auflösung des Interferometers zu verbessern, wurde der Versuch unternom-men, das aus der Glasfaser austretende Licht mittels einer Linse zu fokussieren undauf diese Weise die Größe des Lichtkegels zu verringern. Dies hätte zur Folge, dassder Anteil des reflektierten Lichts, das durch die Bewegung des Balkens moduliertwird, zunimmt, was wiederum zu einer Verbesserung des Messsignals führt.

Darüber hinaus würde eine Linse den Arbeitsabstand, das heißt den Abstand desGlasfaserendes zur Probe, vergrößern. Dies würde verhindern, dass die Faser auf derProbe aufsetzen kann und dadurch ggf. die Probe zerstört bzw. das Glasfaserendebeschädigt wird.

6.2 Theoretische Grundlagen

6.2.1 Abbildungsgleichung

Das Abbildungsverhalten einer dünnen Linse wird durch die Linsengleichungbeschrieben [37, S. 268].

1f=

1g+

1b

(6.1)

Dabei bezeichnet f die Brennweite der Linse, g die Gegenstandsweite und b dieBildweite. Bei gegebener Brennweite kann somit einer der beiden Parameter freigewählt werden, der jeweils andere wird dadurch festgelegt. Bei einer Sammellinsesind im Falle einer reellen Abbildung sowohl Gegenstands- als auch Bildweitegrößer als die Brennweite.

39

Kapitel 6 Verbesserung des optischen Aufbaus: Linse zwischen Faser und Probe

6.2.2 Kohärenz

Da durch die Linse der Abstand des Glasfaserendes zur Probe deutlich vergrößertwird, stellt sich die Frage, ob mit diesem Aufbau noch die gewünschte Interferenzbeobachtbar ist. Dabei ist einerseits die Kohärenzlänge des verwendeten Lasers vonBedeutung, andererseits stellt sich die Frage, ob die Linse einen Einfluss auf dieoptische Weglänge der einzelnen Strahlen hat und somit eventuell die Kohärenz desLaserlichts zerstört.

Die Kohärenzlänge der verwendeten Laserdiode konnte leider nicht genau ermit-telt werden, da eine Bestimmung aus der Linienbreite an dem Auflösevermögendes zur Verfügung stehenden Gitterspektrometers scheiterte. Dieses lieferte an derGrenze seines Auflösevermögens eine Linienbreite von 0,988 nm. Die Linienbreite∆λ ist über folgenden Zusammenhang mit der Kohärenzlänge lc verknüpft [38,S. 308]:

lc =λ2

0∆λ

(6.2)

λ0 entspricht dabei der Wellenlänge der Laserdiode, in diesem Fall also 670 nm.Dieser Zusammenhang führt auf eine Kohärenzlänge von 0,46 mm. Auf eine Anfragebei dem Lieferanten der Laserdiode wurde deren Linienbreite mit ungefähr 0,1 nmangegeben. Dies entspricht einer Kohärenzlänge von 4,5 mm. Für eine Interferenzzwischen Teilstrahlen, die an Balken und Substratoberfläche reflektiert werden, wärediese somit ausreichend.

Da die einzelnen Strahlen durch die Linse offensichtlich unterschiedlich langeWege zurücklegen, bis sie die Probe erreichen, stellt sich die Frage, ob trotz diesesWegunterschieds überhaupt noch Interferenz aufgrund von Strukturänderungenauf der Probe möglich ist. Um dies zu untersuchen, wird die Funktionsweise derLinse mit dem Fermat’schen Prinzip erklärt.

Das Fermat’sche Prinzip besagt: »Zwischen zwei Punkten S und P durchläuft einLichtstrahl stets eine optische Weglänge, die bezüglich der Variationen dieses Wegesstationär ist.«[37, S. 187] Ausgehend von diesem Prinzip lassen sich die Gesetzeder geometrischen Optik, wie beispielsweise das snelliussche Brechungsgesetz oderdas Reflexionsgesetz, herleiten. Damit ist es grundlegend für die physikalischeBegründung der geometrischen Optik, die sonst auf zuvor eingeführten Axiomenaufbaut.

Auch die Wirkung einer Linse in einem optischen System lässt sich mit Hilfe desFermat’schen Prinzips erklären. Dieses wird von Hecht in [37, S. 285-287] für diequantenelektrodynamische Behandlung einer Sammellinse zugrunde gelegt: EineSammellinse sei demnach mit dem Ziel gleicher optischer Weglänge für alle Lichtwe-ge durch die Linse konstruiert. Die Fokussierung im Brennpunkt komme dadurch

40

6.3 Experimenteller Aufbau

Linse inx-y-Positioner

Nanopositioner

Probe aufDickenschwinger

Glasfaser

(a) eine Linse

Linse inx-y-Positioner

Nanopositioner

Probe aufDickenschwinger

Glasfaser

2. Linse inx-y-Positioner

(b) zwei Linsen

Abbildung 6.1: Schematische Darstellung der Aufbauten mit einer Linse, be-schrieben in Unterabschnitt 6.3.1, bzw. mit zwei Linsen, beschrieben in Unter-abschnitt 6.3.3.

zustande, dass in diesem Punkt sämtliche Wahrscheinlichkeitswellenfunktionendie selbe Phase aufweisen und sich daher konstruktiv überlagern. Entfernt mansich von diesem Punkt, weisen die Wellenfunktionen zunehmend unterschiedlichePhasen auf und die resultierende Wahrscheinlichkeitsamplitude nimmt stark ab.

Ausgehend von dieser Betrachtungsweise des Funktionsprinzips einer Linse, isteine Interferenz der einzelnen Teilstrahlen im Rahmen der Kohärenzlänge möglich.

6.3 Experimenteller Aufbau

6.3.1 Aufbau mit einer Linse

Der Aufbau des Interferometers nach Einbau der Linse ist schematisch in Abbil-dung 6.1(a) dargestellt. Die Glasfaser wird in einen FC/PC-Stecker eingeklebt,welcher mit einer entsprechenden Durchführung in dem Cage-System befestigtwird. Die Linse wird in einem manuellen x-y-Positioner platziert und kann dadurchso justiert werden, dass der Strahl mittig durch die Linse fällt. Alternativ wird dieFaser im x-y-Positioner montiert und die Position der Linse fixiert. Die verwendetenLinsen haben eine Brennweite von 4,6 mm1 bzw. 3,3 mm2.

1Thorlabs A390TM-A Mounted Rochester Aspheric Lens: f = 4,6 mm, NA = 0,532Thorlabs A414TM-A Mounted Rochester Aspheric Lens: f = 3,3 mm, NA = 0,47

41


6.3.2 Vorgehen bei der Justierung

Das optische System muss derart optimiert werden, dass möglichst viel Licht in dieFaser zurückgekoppelt wird und gleichzeitig die Abstände Faserende-Linse undLinse-Probe so eingestellt werden, dass sich ein möglichst kleiner Fokuspunkt aufder Probe ergibt. Folgendes Vorgehen erwies sich dabei als praktikabel:

1. Die x-y-Position der Linse/Faser wird derart eingestellt, dass der Fokuspunktmöglichst in der Mitte des Cage-Systems liegt, das heißt der Lichtstrahl trifftmöglichst mittig und im rechten Winkel auf die Linse.

2. Vor Einbau der Probe wird ein Spiegel an das Ende des Cage-Systems montiert,sodass das gesamte Licht reflektiert wird. Die x-y-Position der Linse/Faserwird nun so optimiert, dass die mit dem Detektor gemessene Photospannungmaximal wird.

3. Einbau der Probe in der Brennebene.

Mit Hilfe der Nanopositioner kann die z-Position der Probe kontinuierlich verändertund damit fein justiert werden, allerdings konnten keine Interferenzerscheinungendetektiert werden. Auch beim Ändern der x- und y-Positionen wurde keine bzw.nur sehr geringe periodische Änderungen der Photospannung festgestellt. DieModulation der Intensität war deutlich geringer als beim Aufbau ohne Linse.

6.3.3 Aufbau mit zwei Linsen

Alternativ wird der Aufbau in Abbildung 6.1(b) realisiert, der durch die Verwen-dung von zwei Linsen einfacher justiert werden kann. Zuerst wird die erste Linseeingebaut und deren Position derart eingestellt, dass ein paralleles Strahlenbün-del die Linse verlässt. Dies wird erreicht, wenn sich die innerhalb der Glasfaserangenommene Punktlichtquelle, deren Position relativ zum Faserende aus der nu-merischen Apertur bestimmt werden kann, im Brennpunkt der Linse befindet. Mitder zweiten Linse wird das parallele Licht wieder auf einen Punkt fokussiert. Dieserschrittweise Aufbau hat den Vorteil, dass die Position der ersten Linse in Bezug aufdie Faser deutlich einfacher optimiert werden kann, da im ideal justierten Fall auchin weiter Entfernung keine Aufweitung oder Ablenkung des Strahles beobachtetwerden sollte.

Anschließend wird die Probe in der Brennebene montiert und ihre Position,wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, in allen drei Raumrichtungen verändertum Intensitätsänderungen zu detektieren. Da jedoch selbst das Abblenden desLaserstrahls zwischen Linse und Probe zu keiner Änderung in der detektiertenIntensität führte, lässt dies darauf schließen, dass das reflektierte Licht nicht in dieFaser zurückgekoppelt wurde.

42



Leider war es nicht möglich, mit den beschriebenen Aufbauten ein verwertbaresMesssignal zu erhalten. Ausgehend von der theoretischen Beschreibung müsste diesmöglich sein, allerdings stellte sich heraus, dass die Justierung der einzelnen Kompo-nenten nicht ausreichend genau möglich war. Aufgrund des geringen zur Verfügungstehenden Raumes innerhalb des Probenstabes konnten keine x-y-Positioner mit Mi-krometerschauben verwendet werden, hingegen mussten die Verschiebungen vonHand durchgeführt und die Position anschließend mit Schrauben arretiert werden.Dadurch war es nur schwer möglich, die Position der Linse systematisch und inkleinen Schritten zu optimieren.

Der Aufbau mit zwei Linsen lässt sich einfacher justieren, allerdings schrän-ken auch hier die verwendeten Positioner die erreichbare Genauigkeit ein. DurchVerlängerung des Cage-Systems, in dem sich der Aufbau befindet, könnte das Ab-bildungsverhalten der Linsen über eine größere Distanz beobachtet werden undso insbesondere das mittige Auftreffen des Laserstrahls auf die Linse sichergestelltwerden.

Die Tatsache, dass nur ein Bruchteil des Lichts in die Faser zurückgekoppeltwurde, lässt sich ebenfalls darauf zurückführen, dass weder die Faser, noch dieProbe in ihrer Neigung relativ zur Linsenebene justiert werden konnten. DieAbbildung einer Lichtquelle, die sich nicht auf der optischen Achse befindet undderen Strahlen somit schief durch die Linse laufen, weist keinen eindeutigenBrennpunkt mehr auf. Dieser Abbildungsfehler wird als Koma bezeichnet [39,S. 288-289]. Die Tatsache, dass sich die Probe ebenfalls nicht in einer Ebene senkrechtzur optischen Achse befindet, verstärkt diesen Effekt bei der Reflexion entsprechend.

Dass die Problematik hauptsächlich in der ungenauen Justierung bestand, zeigtein Vergleich mit dem von Metzger et al. in [40] verwendeten Messaufbau. Diesenutzen einen mit Abbildung 6.1(b) vergleichbaren Aufbau zur Untersuchung einesBalkens mit Cantilever Geometrie. Das Glasfaserende ist direkt mit einem entspre-chenden Kollimator verbunden, der ein paralleles Lichtbündel erzeugt. Dieses kannmit einer weiteren Linse fokussiert werden. Das optische System, bestehend ausKollimator und Linse, ist innerhalb eines entsprechend gefertigten Rohres platziert,um die korrekte Anordnung der Komponenten sicherzustellen.

Ein derartiger Aufbau mit Einsatz eines direkt mit der Glasfaser verbundenenKollimators erscheint sehr sinnvoll, da durch Verwendung eines entsprechendgefertigten Rohres mit Innengewinde alle Komponenten auf der optischen Achseplatziert werden können und die beschriebenen Schwierigkeiten bei der Justagesomit entfallen. Es werden lediglich die Abstände der einzelnen Komponentenvariiert. Darüber hinaus ist kein zusätzlicher Platz im Vakuumrohr von Nöten, dadie Verwendung der x-y-Positioner entfällt.

43


Zu beachten ist jedoch, dass in dem in [40] beschriebenen Aufbau ein Helium-Neon-Laser verwendet wird, der eine deutlich längere Kohärenzlänge aufweist, alsdie derzeit verwendete Laserdiode. Ob die Kohärenzlänge trotzdem ausreichend ist,hängt davon ab, welche Teilstrahlen für das Zustandekommen des gewünschtenInterferenzsignals verantwortlich sind. Wie in Abschnitt 4.4 beschrieben, muss dafüreine ausführlichere Betrachtung unter der Einbeziehung von Vielstrahlinterferenzangestellt werden.

44

Kapitel 7

Zusammenfassung und Ausblick

7.1 Zusammenfassung der Ergebnisse

Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein optisches Interferometer charakterisiert, daszur Untersuchung nanomechanischer Systeme dient. Mithilfe dieses Interferometerswurde dann ein 35 µm langer nanomechanischer Balken aus Siliziumnitrid unter-sucht und sein Schwingungsverhalten charakterisiert. Der 330 nm breite und 90 nmhohe Balken schwingt auf einer Frequenz von 8,063 MHz und weist eine Güte von134 000 auf. Beide Werte liegen in der für einen derartigen Balken zu erwartendenGrößenordnung, wie in Abschnitt 4.5 diskutiert wurde.

Mit der in Abschnitt 2.3 beschriebenen Methode konnte durch Detektion der ther-mischen Bewegung des Oszillators der interferometrische Aufbau kalibriert werden,indem der Zusammenhang zwischen tatsächlicher Amplitude und gemessener Pho-tospannung bestimmt wurde. Die Auslenkung des Balkens aufgrund thermischerBewegung wurde zu 2,47 pm Hz−1/2 bei einem sehr guten Signal-Rausch-Verhältnisvon 2,7 bestimmt, woraus eine maximale Auflösung des Interferometers von0,9 pm Hz−1/2 berechnet wurde. Ausgehend von der durchgeführten Kalibrationwurde das Amplitudenspektrum des Balkens für verschiedene Anregungsleistun-gen untersucht. Dabei wurde der Übergang vom linearen Schwingungsverhaltendes Balkens zum nichtlinearen Duffing-Bereich beobachtet. Da die Probe mit mithilfevon Piezoaktuatoren in allen drei Raumrichtungen verfahren werden kann, war esmöglich, die Amplitude ortsaufgelöst zu untersuchen und so die Schwingungsmodedes Balkens aufzuzeichnen.

Darüber hinaus wurde gezeigt, dass die von der Schrittrichtung und Schrittspan-nung abhängige Weite eines Schrittes der verwendeten Piezoaktuatoren nicht aus-reichend genau vorhergesagt werden kann, um die auftretende Abweichung durchAnpassung der Schrittzahl zu korrigieren. Um eine reproduzierbare Positionierungder Probe durchzuführen, ist daher die Verwendung von „closed-loop“-Positionernerforderlich. Dies ist im Hinblick auf die gewünschte automatisierte Untersuchungvon nanomechanischen Proben ein entscheidendes Kriterium.

45

Kapitel 7 Zusammenfassung und Ausblick

Der Ansatz, das Messsignal durch Verwendung von einer bzw. zweier Linsen zwi-schen Glasfaserende und Probenoberfläche zu verbessern (siehe Kapitel 6), konnteaufgrund mangelnder Justierungsmöglichkeiten mit dem verwendeten Ansatz nichtrealisiert werden. Allerdings konnte auch ohne diese Optimierung eine sehr guteAuflösung bei den beschriebenen Messungen erreicht werden.

7.2 Ausblick

Für weitere Experimente mit der untersuchten Probe ist eine detaillierte Betrachtungdes nichtlinearen Verhaltens interessant, da eine Auswertung mit den entsprechen-den theoretischen Modellen die Bestimmung wichtiger Materialparameter erlaubt.Dazu sollte die Anregungsleistung in deutlich kleineren Abständen als 2 dBm vari-iert werden, um die leistungsabhängigen Änderungen exakt untersuchen zu können.

Durch die Verwendung von closed-loop-Positionern ist einerseits eine quanti-tative Untersuchung von Schwingungsmoden möglich, da dafür die pro Schrittzurückgelegte Weite bekannt sein muss. Die Schwingungsmode kann anschlie-ßend mit der theoretischen Vorhersage des Schwingungsverhaltens eines beidseitigeingespannten Balkens verglichen werden, was insbesondere im Hinblick auf dieUntersuchung höherer Harmonischer interessant ist.

Andererseits sollte es mit diesen Piezoaktuatoren möglich sein, eine Probe auto-matisiert bzw. teilautomatisiert zu untersuchen, da lediglich die Koordinaten derBalken bekannt sein müssen. Im Hinblick auf die Möglichkeit, mit dem verwendetenHerstellungsprozess Proben mit nahezu beliebig vielen Resonatoren herstellenzu können, ist dies von besonderem Interesse, da so eine einfache und schnelleMöglichkeit bestünde deren Resonanzfrequenz und Dämpfung zu bestimmen.

Die gewonnen Daten zeigen, dass eine Verbesserung des optischen Aufbaus fürdie derzeit durchgeführten und geplanten Messungen nicht zwingend erforderlichist, da eine ausreichend hohe Auflösung erzielt werden kann. Nichtsdestotrotzlässt sich diese durch den in Kapitel 6 beschriebenen Ansatz vermutlich verbessern,allerdings müssen die einzelnen Komponenten dafür deutlich präziser angeordnetwerden. Insbesondere die Verwendung eines mit der Glasfaser verbundenenKollimators und eines maßgefertigten Rohres zur Montage des optischen Systemsstellen einen vielversprechenden Ansatz dar, der in [40] bereits erfolgreich realisiertwurde. Ein weiterer Vorteil eines Aufbaus mit Linsensystem wäre der größereArbeitsabstand zwischen Linse und Probe, der ein versehentliches Beschädigen vonFaserende oder Balken beim Verfahren der Probe verhindert.

Mithilfe des optischen Interferometers sollen zukünftig auch mit ferromagneti-

46

7.2 Ausblick

schen Metallen beschichtete Balken untersucht und deren Schwingungsverhalten inAbhängigkeit von der Stärke und Orientierung des Magnetfeldes untersucht werden.Die zur Kalibration des Interferometers verwendete Methode (siehe Abschnitt 2.3und Abschnitt 4.1) ermöglicht auch bei diesen Messungen quantitative Aussagenüber die Auslenkung der untersuchten Balken.

47

Anhang A

Probe NM2.3A

Die in dieser Arbeit untersuchte Probe NM2.3A ist in Abbildung A.1 dargestellt. DieStruktur wurde mittels Elektronenstrahllithografie definiert und als Basis diente einmit Siliziumnitrid und Siliziumdioxid beschichteter Silizium-Wafer. Die Dicke derSiliziumnitiridschicht beträgt 90 nm. Die Balken haben die Längen 35 µm, 25 µm so-wie 20 µm und die Breite erhöht sich von 100 nm in Reihe 1 bis 400 nm in der siebtenReihe in 50 nm-Schritten (Angabe entsprechend des für den Lithographie-Prozessesverwendeten Layouts). Die tatsächliche Breite der Balken wurde mithilfe eines Ras-terelektronenmikroskops bestimmt. Es zeigt sich, dass die Balken durchgehendetwas breiter sind, was durch die Streuung des Elektronenstrahls beim Schreibender Struktur verursacht wird.

Die Balken der Probe wurden systematisch untersucht und jeweils die Reso-nanzfrequenz bestimmt. Diese sind in Tabelle A.1 aufgeführt, gemeinsam mit dengeometrischen Abmessungen. Die Höhe der Balken ist durch die Dicke der Silizi-umnitridschicht des Wafers bestimmt und wird daher für alle Balken mit h = 90 nmangenommen.

Auf den in Abbildung A.2 dargestellten Vergrößerungen sind die Balken markiert,bei denen eine Oszillation detektiert wurde. Die restlichen Balken konnten nichtzum Schwingen angeregt werden, die Mikroskopaufnahmen lassen auf folgendeUrsachen schließen:

AD E F B C12345677

12345677

12345677

12345677100μm

Abbildung A.1: Lichtmikroskopaufnahme der Probe NM2.3A.

49

Anhang A Probe NM2.3A

Tabelle A.1: Maße und gemessene Resonanzfrequenzen der untersuchten Balkenvon Probe NM2.3A, sowie die aus der Resonanzfrequenz berechnete Zugspan-nung. Die Höhe der Balken beträgt einheitlich h = 90 nm.

Balken Länge l Breite b Resonanzfrequenzω0 (2π)−1

Zugspannungσ

A5 35 µm 330 nm 8,074 MHz 862 MPaB1 25 µm 163 nm 11,307 MHz 863 MPaB4 25 µm 250 nm 11,378 MHz 874 MPaB5 25 µm 335 nm 11,567 MHz 903 MPaC2 20 µm 193 nm 14,386 MHz 894 MPaC3 20 µm 239 nm 14,392 MHz 895 MPaC4 20 µm 287 nm 14,463 MHz 904 MPaC5 20 µm 330 nm 14,991 MHz 971 MPaE5 25 µm 305 nm 11,283 MHz 859 MPaF3 20 µm 206 nm 14,203 MHz 871 MPaF5 20 µm 305 nm 14,347 MHz 889 MPa

50 μm

12345677

12345677

DE

F

(a) linke Seite

50 μm

12345677

12345677

AB

C

(b) rechte Seite

Abbildung A.2: Lichtmikroskopaufnahmen der Probe NM2.3A mit größerer Ver-größerung, die untersuchten Balken sind blau umrandet, die Abmessungen undResonanzfrequenzen sind in Tabelle A.1 aufgeführt.

50

• Einige Balken „kleben“ auf dem Substrat (bspw. A2), was an der dunklenFärbung zu erkennen ist.

• Die Balken A1 und B2 scheinen gebrochen bzw. von den Aufhängungspunktenabgerissen zu sein.

• Die Balken in der 6. und 7. Reihe sind vermutlich nicht vollständig unterätzt.Dies lässt sich darauf zurückführen, dass die Ätzzeit nicht ausgereicht hat, dasSiliziumdioxid unter den beiden breitesten Balken vollständig zu entfernen.

Aus den Resonanzfrequenzen wurde jeweils nach Gleichung 2.7 die Zugspannungσ berechnet. Die Mittelung über die verschiedenen Balken ergibt einen Wert von890 MPa. Dieser liegt etwas höher als der in [22] bestimmte Wert von 830 MPa, abertrotzdem noch deutlich niedriger als der von Verbridge et al. in [24] gemessene Wertvon 1200 MPa für stark zugverspanntes Siliziumnitrid.

51

Literaturverzeichnis

[1] R. Feynman. »There’s plenty of room at the bottom«. Journal of Microelectrome-chanical Systems 1, 1 (1992), S. 60–66.

[2] M. Roukes. »Nanoelectromechanical systems face the future«. Physics World14, 2 (2001), S. 25–31.

[3] A. N. Cleland und M. L. Roukes. »Fabrication of high frequency nanometerscale mechanical resonators from bulk Si crystals«. Applied Physics Letters 69,18 (1996), S. 2653–2655.

[4] R. G. Knobel und A. N. Cleland. »Nanometre-scale displacement sensingusing a single electron transistor«. Nature 424, 6946 (2003), S. 291–293.

[5] I. Mahboob und H. Yamaguchi. »Parametrically pumped ultrahigh Q electro-mechanical resonator«. Applied Physics Letters 92, 25 (2008), S. 253109–253111.

[6] Q. P. Unterreithmeier, E. M. Weig und J. P. Kotthaus. »Universal transductionscheme for nanomechanical systems based on dielectric forces«. Nature 458,7241 (2009), S. 1001–1004.

[7] N. O. Azak, M. Y. Shagam, D. M. Karabacak, K. L. Ekinci, D. H. Kim undD. Y. Jang. »Nanomechanical displacement detection using fiber-optic interfe-rometry«. Applied Physics Letters 91, 9 (2007), S. 093112–093114.

[8] T. J. Kippenberg und K. J. Vahala. »Cavity Optomechanics: Back-Action at theMesoscale«. Science 321, 5893 (2008), S. 1172–1176.

[9] F. J. Giessibl. »Advances in atomic force microscopy«. Review of Modern Physics75, 3 (2003), S. 949–983.

[10] M. D. LaHaye, O. Buu, B. Camarota und K. C. Schwab. »Approaching theQuantum Limit of a Nanomechanical Resonator«. Science 304, 5667 (2004),S. 74–77.

[11] K. Jensen, K. Kim und A. Zettl. »An atomic-resolution nanomechanical masssensor«. Nature Nanotechnology 3, 9 (2008), S. 533–537.

[12] H. J. Mamin und D. Rugar. »Sub-attonewton force detection at millikelvintemperatures«. Applied Physics Letters 79, 20 (2001), S. 3358–3360.

[13] C. A. Regal, J. D. Teufel und K. W. Lehnert. »Measuring nanomechanicalmotion with a microwave cavity interferometer«. Nature Physics 4, 7 (2008),S. 555–560.

53

http://dx.doi.org/10.1109/84.128057

http://dx.doi.org/10.1063/1.117548

http://dx.doi.org/10.1063/1.117548

http://dx.doi.org/10.1038/nature01773


http://dx.doi.org/10.1063/1.2949319

http://dx.doi.org/10.1063/1.2949319



http://dx.doi.org/10.1063/1.2776981

http://dx.doi.org/10.1063/1.2776981

http://dx.doi.org/10.1126/science.1156032


http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.75.949



http://dx.doi.org/10.1038/nnano.2008.200

http://dx.doi.org/10.1038/nnano.2008.200

http://dx.doi.org/10.1063/1.1418256

http://dx.doi.org/10.1063/1.1418256

http://dx.doi.org/10.1038/nphys974



[14] M. Aspelmeyer, P. Meystre und K. Schwab. »Quantum optomechanics«. Phy-sics Today 65, 7 (2012), S. 29–35.

[15] J. D. Teufel, T. Donner, D. Li, J. W. Harlow, M. S. Allman, K. Cicak, A. J.Sirois, J. D. Whittaker, K. W. Lehnert und R. W. Simmonds. »Sideband coolingof micromechanical motion to the quantum ground state«. Nature 475, 7356(2011), S. 359–363.

[16] X. Zhou, F. Hocke, A. Schliesser, A. Marx, H. Huebl, R. Gross und T. J. Kippen-berg. »Slowing, advancing and switching of microwave signals using circuitnanoelectromechanics«. Nature Physics 9, 3 (2013), S. 179–184.

[17] F. Massel, T. T. Heikkila, J.-M. Pirkkalainen, S. U. Cho, H. Saloniemi, P. J. Ha-konen und M. A. Sillanpaa. »Microwave amplification with nanomechanicalresonators«. Nature 480, 7377 (2011), S. 351–354.

[18] F. Hocke, X. Zhou, A. Schliesser, T. J. Kippenberg, H. Huebl und R. Gross.»Electromechanically induced absorption in a circuit nano-electromechanicalsystem«. New Journal of Physics 14, 123037 (2012).

[19] S. Weis, R. Rivière, S. Deléglise, E. Gavartin, O. Arcizet, A. Schliesser undT. J. Kippenberg. »Optomechanically Induced Transparency«. Science 330, 6010(2010), S. 1520–1523.

[20] A. Cleland. Foundations of Nanomechanics: From Solid-State Theory to DeviceApplications. Advanced Texts in Physics. Springer, Berlin Heidelberg 2003.

[21] T. Faust. »Nanomechanik zugverspannter Siliziumnitridresonatoren«. Diplom-arbeit. Sektion Physik der Ludwig-Maximilians-Universität München, 2009.

[22] T. Faust, P. Krenn, S. Manus, J. P. Kotthaus und E. M. Weig. »Microwavecavity-enhanced transduction for plug and play nanomechanics at room tem-perature«. Nature Communications 3, 728 (2012).

[23] W. Demtröder. Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. 6. Auflage. Springer,Berlin Heidelberg 2013.

[24] S. S. Verbridge, J. M. Parpia, R. B. Reichenbach, L. M. Bellan und H. G. Craig-head. »High quality factor resonance at room temperature with nanostringsunder high tensile stress«. Journal of Applied Physics 99, 12 (2006), S. 124304–124311.

[25] Q. P. Unterreithmeier, T. Faust und J. P. Kotthaus. »Damping of Nanomechani-cal Resonators«. Physical Review Letters 105, 2 (2010), S. 027205–027208.

[26] F. Schwabl. Statistische Mechanik. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2006.

[27] M. L. Gorodetsky, A. Schliesser, G. Anetsberger, S. Deleglise und T. J. Kip-penberg. »Determination of the vacuum optomechanical coupling rate usingfrequency noise calibration«. Optics Express 18, 22 (2010), S. 23236–23246.

54

http://dx.doi.org/10.1063/PT.3.1640







http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/14/12/123037

http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/14/12/123037


http://dx.doi.org/10.1038/ncomms1723



http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-25466-6

http://dx.doi.org/10.1063/1.2204829

http://dx.doi.org/10.1063/1.2204829

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.105.027205


http://dx.doi.org/10.1364/OE.18.023236

http://dx.doi.org/10.1364/OE.18.023236


[28] R. Holländer. »Räumliche Untersuchung nanomechanischer Objekte mit In-terferometrie«. Bachelorarbeit. Technische Universität München - Fakultät fürPhysik, Walther-Meißner-Institut für Tieftemperaturforschung, 2011.

[29] M. Hiebel. Grundlagen der vektoriellen Netzwerkanalyse. 1. Auflage. Rohde &Schwarz GmbH & Co. KG, München 2006.

[30] R&S ZVA / R&S ZVB / R&S ZVT Vector Network Analyzers Operating Manual.Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG. München 2013.

[31] C. Rauscher, V. Janssen und R. Minihold. Grundlagen der Spektrumanalyse. 3.Auflage. Rohde & Schwarz, München 2007.

[32] R. Lerch. Elektrische Messtechnik: Analoge, digitale und computergestützte Verfah-ren. 6. Auflage. Springer, Berlin 2012.

[33] G. Radons, B. Rumpf und H. G. Schuster, Herausgeber. Nonlinear Dynamics ofNanosystems. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2010.

[34] F. Kuypers. Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: Band 2: Elektrizi-tät, Optik und Wellen. 3. Auflage. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA,Weinheim 2012.

[35] Q. P. Unterreithmeier, S. Manus und J. P. Kotthaus. »Coherent detection ofnonlinear nanomechanical motion using a stroboscopic downconversion tech-nique«. Applied Physics Letters 94, 26 (2009), S. 263104–263106.

[36] F. Hocke. »Microwave circuit-electromechanics in a nanomechanical hybridsystem«. Dissertation. Technische Universität München - Lehrstuhl E23 fürTechnische Physik, Walther-Meißner-Institut für Tieftemperaturforschung,2013.

[37] E. Hecht. Optik. 5. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2005.

[38] L. Bergmann, C. Schäfer, H. Eichler und H. Niedrig. Optik: Wellen- und Teil-chenoptik. Lehrbuch der Experimetalphysik - Band 3. Walter de Gruyter, Berlin2004.

[39] W. Demtröder. Experimentalphysik 2 - Elektrizität und Optik. 5. Auflage. Springer,Berlin Heidelberg 2009.

[40] C. Metzger, M. Ludwig, C. Neuenhahn, A. Ortlieb, I. Favero, K. Karrai undF. Marquardt. »Self-Induced Oscillations in an Optomechanical System Drivenby Bolometric Backaction«. Physical Review Letters 101, 13 (2008), S. 133903–133906.

55

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-22609-0

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Danksagung

Abschließend möchte ich mich bei allen bedanken, die mich während meiner Tä-tigkeit am Walther-Meißner-Institut und der Anfertigung dieser Arbeit unterstützthaben.

Ich danke Prof. Dr. Rudolf Gross für die Möglichkeit, diese Arbeit am Walther-Meißner-Institut zu schreiben und für die ein oder andere, interessante Anekdoteam Mittagstisch.

Vielen Dank an Dr. Hans Hübl, der mich nach 3 Jahren theoretischem Studiumlehrte, was es heißt wissenschaftlich zu arbeiten und dessen Anmerkungen zu denersten Entwürfen dieser Arbeit erheblich zu deren Qualität beigetragen haben undaus denen ich sehr viel lernen konnte.

Einen herzlichen Dank auch an Matthias Pernpeintner, der mich gerade in derAbschlussphase dieser Arbeit sehr unterstützt hat und mir u. a. mit seinen Erfah-rungen in der Formatierung und Formulierung von wissenschaftlichen Texten zurSeite stand.

In besonderer Weise möchte ich mich auch bei Rasmus Holländer bedanken, dermich bei meinen ersten Schritten im Labor begleitet hat und immer ein offenes Ohrfür meine Fragen hatte.

Auch außerhalb des Instituts haben mich während dem Verfassen dieser Arbeitverschiedene Personen in besonderer Weise begleitet:

Meine Eltern Dres. Barbara & Urlich Jung, die mich jederzeit unterstützen und esmir ermöglichen zu studieren.

Meine Mitbewohner Philipp Barthel, Tim Ordenewitz & Christopher Rhein, diezur abwechslungsreichen Gestaltung meiner Pausen beitrugen und meine gelegent-liche Frustration geduldig ertragen haben.

Ein ganz besonderer Dank gilt auch meiner Freundin Anna-Sophie Rudloff, diemir half, auch nach tagelangem Messen von Rauschen nicht die Hoffnung oder dieNerven zu verlieren.

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