Percorso svolto su due classi parallele: 3B Sala Vendita e 3A Prodotti Dolciari.

Non sempre il piano di studi e le ore a disposizione permettono di dedicare allo studio della geometria il tempo necessario ad un doveroso approfondimento,come ogni insegnante vorrebbe.Per questo motivo, per non rinunciare all’approfondimento di crescita culturale , per tener conto delle capacità degli studenti e per non diminuire l’efficacia formativa della matematica , abbiamo pensato ad un percorso sulla geometria solida , che di solito viene affrontata in modo superficiale , o addirittura trascurata .La geometria solida è quella che ha più riscontri nel mondo in cui viviamo.Ogni cosa che vediamo ,tocchiamo e percepiamo si estende in tre dimensioni.E’ indispensabile quindi conoscere le figure solide.In questo nostro percorso gli argomenti verranno affrontati prima attraverso una didattica di laboratorio facendo costruire i solidi agli alunni stessi e poi osservare le proprietà fondamentali.L’osservazioni e le intuizioni verranno poi organizzate e risistemate dal punto di vista teorico e astratto.

•oggetti tridimensionali a partire da rappresentazioni bidimensionali e viceversa.•Rappresentare nel piano una figura solida.•Sviluppare le capacità di osservazione visualizzando Costruire modelli materiali.•Fare deduzioni ,ricavando possibilmente formule .•Giustificare in modo adeguato le enunciazioni distinguendo tra quelle indotte dalla osservazione,quelle intuite e quelle argomentate.

•La geometria pianaConoscenze di base sui poligoni

•Assiomi dello spazio•Piani e rette nello spazio•Angoloide•Poliedri•Prismi e piramidi•Solidi platonici•Aree e volumi

•Acquisire il concetto di diedro•Saper individuare le proprietà dei prismi ,dei poliedri e delle piramidi•Sapere le proprietà dei Poliedri platonici•Saper individuare l’equivalenza tra solidi.

•Saper lavorare in gruppo •Saper rispettare le idee dei compagni•Saper aiutare i compagni collaborando in modo positivo,compensando le difficoltà altrui

La metodologia didattica è stata quella di alternare a momenti di lavoro a classe intera ed altri a piccoli gruppi, per garantire la cooperazione tra gli alunni , favorendo lo sviluppo delle loro capacità manuali e il dibattito scientifico.Gli allievi hanno saputo organizzare e dividere il lavoro gestendo al meglio il tempo a loro disposizione.Hanno dovuto condividere il contributo di ciascuno accettando i vari punti di vista .Tutti hanno avuto l’opportunità di discutere e argomentare le proprie affermazioni.

La classe ha fornito una relazione del proprio operato .Sono allegate foto degli alunni al lavoro.

Sono previste sei ore di attività di laboratorio e due di lezioni teoriche ,nel corso del secondo pentamestre.Classi coinvolte: 3B SV, 3A PD

CARTONCINO, FORBICI , COLLARIGA E COMPASSO ,COMPUTER,ASTE E SFERETTE MAGNETICHEBASTONCINI.

OBIETTIVI ( conoscenze ed abilità)•VISUALIZZARE E COSTRUIRE I SOLDI A PARTIRE DA L SUO SVILUPPO NEL PIANO•RICONOSCERE LE PROPRIETA’ DELLE FIGURE SOLIDE RICORRENDO A MODELLI MATERIALI •CALCOLARE AREA , VOLUMI ED EVIDENZIARE LE EVENTUALI SIMMETRIETEMPI•3 ORE DI ATTIVITA’ LABORATORIALE IN CLASSE •2 ORA DI RICERCA DEL MATERIALE SU INTERNET•1 ORA DI VERIFICA IN CLASSE•2 ORE DI LEZIONE FRONTALE PER SISTEMATIZZARE IN MODO RIGOROSO L’ATTIVITA’ PRATICA SVOLTA IN CLASSE

La classe è stata divisa in gruppi , i quali hanno portato avanti ciascuno una specifica attività laboratoriale .Ogni singolo gruppo si è riorganizzato in modo trasversale , abbiamo poi riunito i contributi di ciascuno .Il lavori comprendono:•Foto•Sviluppo della figura.•calcolo della relazione di Eulero•calcolo dell’area della superficie e del volume•simmetrie

Classe 3BSV

Gruppo n° 1 costruisce il tetraedro

Questo è lo sviluppo del tetraedro

Gli alunni costruiscono con i cartoncini tetraedri con lato di 13 cm.

Il tetraedro è costituito da : 4 facce 4 vertici 6 spigoli 3 facce l’ angolo diedro del tetraedro è costituito da tre angoli del triangolo equilatero.L’area della sua superficie si trova moltiplicando per 4 l’area di un triangolo equilatero :Lato = 13cm

Per trovare l’altezza del triangolo equilatero si moltiplica la metà del lato per la radice di tre

*

La base misura 13 cm

L’altezza del triangolo è 6.5 * 3

L’area del triangolo è 73,18

L’are della superficie del tetraedro si trova moltiplicando per 4 l’area del triangolo ed è 292.71

Il volume del tetraedro si trova come quello di una piramide a base triangolare con la formula : ( AREA DI BASE * ALTEZZA DEL TETRAEDRO ) : TRE

L’altezza del tetraedro si trova applicando il teorema di Pitagora e svolgendo gli opportuni calcoli si trova il valore 9.19 cm

Volume del tetraedro è ( 73.18 * 9.19 ) : 3 = 224.17

Gli alunni durante l’attività in laboratorio di informatica documentandosi su internet sulle proprietà del tetraedro hanno scoperto che per trovare il volume del tetraedro si può usare la formula seguente :V = 0.118 * l³ dove l = lato del tetraedro e 0.118 è la costante del tetraedro.

Durante l’attività nel laboratori di informatica ,gli alunni hanno ricercato su internet le forme tetraedriche presenti in natura.Alcune molecole come per esempio quella del metano hanno la forma di tetraedro

Anche la molecola del diamante è a forma di tetraedro , poiché esso è costituito da carbonio. L a molecola di tutti i silicati è a forma tetraedrica.

Gruppo 2°Questo gruppo si dedica allo studio del le caratteristiche del cubo partendo dallo sviluppo piano.

Alcuni alunni costruiscono con il cartoncino il cubo di lato 13cm.

Il cubo è formato da : 6 facce 8 vertici 12 spigoli 3 facce dell’angoloide l’angolo diedro del cubo è costituito da tre facce del cubo.L’area della sua superficie si trova moltiplicando per 6 l’area di una faccia.Area del quadrato = l² = 13² = 169 cm²Area superficie cubo = 6* 169 = 1014 cm²Volume del cubo = l³ = 13³ = 2197 cm³ Diagonale di una faccia è data dalla radice quadrata di 169 * 3 il suo valore è 22.51 cm

gli alunni si sono accorti confrontando i risultati numerici che il volume del tetraedro è un terzo di quello del cubo e ciò si può vedere sperimentalmente incastrando in modo opportuno il tetraedro nel cubo.Alcuni alunni del gruppo hanno costruito un cubo usando aste e sferette magnetiche ,con asticelle di legno (stecchini per lo spiedo ) e con cartoncino a forma rettangolare simulando in questo modo le rette e i piani

Disponendoli secondo varie posizioni hanno costatato le simmetrie del cubo rispetto alla retta e al piano.

Alcuni alunni durante l’attività in laboratorio di informatica hanno ricercato su internet le simmetrie del cubo rispetto alla retta e al piano per visualizzarle con maggiore precisione.

Alcune sostanze hanno molecole di forma cubica come ad esempio quella del sale da cucina Na Cl e nei cristalli

Gruppo 3 ° Alcuni alunni si sono dedicati alla costruzione dell’ ottaedro

Alcuni alunni costruiscono l’ottaedro di lato 13 cm con il cartoncino

L’ottaedro è costituito da: 8 facce a forma di triangolo equilatero 6 vertici 12 spigoli Angoloide formato da 4 facce

infatti l’angolo diedro è formato da 4 facce del triangolo .L’area della superficie moltiplicando l’area di una faccia per 8.Area di una faccia = 73.17 cm²Area dell’ottaedro = 73.17*8 = 585.36 cm²Volume si trova moltiplicando per la costante 0.471 il cubo del latoVolume = 0,471*13³ = 1034.78 cm³L’area della superficie moltiplicando l’area di una faccia per 8.Area di una faccia = 73.17 cm²Area dell’ottaedro = 73.17*12=878.04 cm²Volume si trova moltiplicando per la costante 0.471 il cubo del latoVolume = 0,471*13³ = 1034.78 cm³.

Gli alunni hanno poi ricercato su internet lo sviluppo del dodecaedro e dell’ icosaedro

Tabella riassuntiva sui solidi platonici.

I CINQUE POLIEDRI REGOLARI

Gli alunni hanno pensato di arricchire l’attività laboratoriale costruendo solidi come prototipi di scatole da utilizzare come imballaggi per torte e cioccolatini ,dato che fanno parte di un Istituto Alberghiero.

Cerchiamo di dare prima di tutto un definizione rigorosa di angolo diedro : due semipiani α e β ,uscenti da una stessa retta ,dividono il piano in due parti ,ciascuna delle quali si chiama ANGOLO DIEDRO

Tra i solidi geometrici ve ne sono alcuni che sono delimitati da superfici curve ( cilindro , cono…) ed altri che sono delimitati da superfici piane , questi ultimi si chiamano POLIEDRI.Altra definizione:un poliedro è una porzione di spazio delimitata da una superficie chiusa costituita da poligoni situati su piani diversi e tali che ogni lato sia comune a due di essi I poligoni prendono il nome di facce del poliedro. I lati e i vertici si chiamano spigoli e vertici del poliedro. Un POLIEDRO si dice REGOLARE se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro e ogni angoloide ha lo stesso numero di facce.

In natura ci sono molti esempi di poliedri .Questi sono ad esempio cristalli di sale a forma di cubi,visti al microscopio.I poliedri prendono nomi particolari secondo il numero delle facce:poliedro a 4 facce si dice TETRAEDRO poliedro a 5 facce si dice PENTAEDROpoliedro a 6 facce si dice ESAEDROpoliedro a 8 facce si dice OTTAEDROpoliedro a 12 facce si dice DODECAEDROpoliedro a 20 facce si dice ICOESAEDRO

Per i solidi vale il TEOREMA DI EULERO:

Se indichiamo con s, f ,v , rispettivamente , il numero degli spigoli ,facce , vertici di un poliedro , vale la relazione: f + v = s+ 2

I poliedri regolari ,nello spazio ,sono analoghi ai poligoni regolari nel piano,vi è però una importante differenza:

mentre si possono costruire infiniti tipi di poligoni regolari diversi, esistono invece solo cinque tipi di poliedri regolari.

Il motivo è molto semplice :in ogni vertice del poliedro devono convergere almeno tre facce e la somma dei loro angoli deve essere minore di 360°, quindi si possono avere solo queste combinazioni:TRE TRIANGOLI EQUILATERI ; tetraedroQUATTRO TRIANGOLI EQUILATERI;ottaedroCINQUE TRIANGOLI EQUILATERI; icosaedroTRE QUADRATI; cuboTRE PENTAGONI. Dodecaedro.Infatti in un poliedro regolare ,le facce sono poligoni regolari,uguali fra loro,in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce.Già gli antichi greci erano a conoscenza di questo fatto e ne furono cosi impressionati ,che i Pitagorici e successivamente Platone costruirono le loro teorie sull’origine del mondo associando ai cinque poliedri regolari i costituenti fondamentali della natura.Per questo i poliedri regolari sono detti PLATONICI.

Tabella riassuntiva

Ogni poliedro regolare può essere scomposto in piramidi. Infatti :•Il tetraedro è esso stesso una piramide•L’ottaedro può scomporsi in due piramidi regolari uguali•Il dodecaedro e l’ icosaedro possono scomporsi in dodici e venti piramidi aventi come base una faccia del poliedro e vertice nel centro del poliedro.

Basandosi su questa decomposizione e sulle proprietà dei poliedri regolari, si ottiene la seguente formula che fornisce il volume di un poliedro regolare di lato l .

V = C* l³

POLIEDRO REGOLARE

COSTANTE C

TETRAEDRO 0.118CUBO 1OTTAEDRO 0.471DODECAEDRO 7.663ICOESAEDRO 2.182

La costante C ha un valore diverso per ciascuno dei cinque poliedri regolari.

poligono

n° di lati

N° fisso

triangolo

3 0,433

quadrato

4 1

pentagono

5 1,720

Nella tabella successiva vengono dati i numeri fissi da utilizzare per calcolare l’area dei poligoni regolari che compongono il poliedro .Come già detto per calcolare l’area di un poliedro basta trovare l’area di una faccia in questo modo Area = N°. l² e poi moltiplicarla per il numero delle facce che lo compongono.

Se si conosce l’area di una faccia e si vuole calcolare lo spigolo l =

tabella riassuntiva che permette di calcolare l’area della superficie e il volume dei solidi platinici

La classe è stata sottoposta al seguente test di verifica.•Calcolare la somma degli spigoli di un dodecaedro regolare avente volume 206 cm³.•Calcolare il volume di un ottaedro regolare la cui area totale è 552cm².•Le somme degli spigoli di un tetraedro regolare e di un cubo valgono entrambe 96 cm ,calcolare il rapporto tra i volumi dei due solidi.•Completare la seguente tabella

• Dare la definizione di angolo diedro.•. Dare la definizione di poliedro regolare.• Perché i poliedri regolari sono solo 5 e si chiamano anche solidi platonici.

La classe è costituita da 24 alunni ed ha eseguito la prova di verifica il 16.05.2015Gli alunni assenti in tale data sono 7 .Gli alunni che si sottopongono alla prova sono 17.La gran parte degli studenti ha risposto alle domande richieste in modo soddisfacente .I risultati sono:2 alunni sono gravemente insufficienti.3 insufficienti.8 sufficienti.3 più che sufficienti.1 buono.