chong pik lin · iii dedikasi dikhaskan kepada tuhan yesus yang tercinta. kepada ibu bapa saya,...
TRANSCRIPT
APLIKASI KALKULUS VEKTOR
DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK
CHONG PIK LIN
UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA
APLIKASI KALKULUS VEKTOR DALAM
MEDAN ELEKTROSTATIK
CHONG PIK LIN
Laporan projek ini dikemukakan
sebagai memenuhi sebahagian daripada syarat penganugerahan
Ijazah Sarjana Muda Sains serta Pendidikan (Matematik).
Fakulti Pendidikan
Universiti Teknologi Malaysia
2 MEI 2006
ii
Tarikh : 2 MEI 2006
iii
DEDIKASI
Dikhaskan kepada Tuhan Yesus yang tercinta.
Kepada ibu bapa saya, dalam hidup saya ini, kasih sayang ibu dan bapa sentiasa
hadir pada setiap saat. Sokongan dan dorongan yang diberikan oleh ibu dan bapa
kepada saya membolehkan saya lebih bertekad menumpukan masa dan perhatian dalam
menyiapkan projek ini.
Kepada abang sulung saya, kesediaan menolong saya dalam meminjamkan
laptop ketika berpeluang datang ke Johor banyak memberi kesenangan dalam penyiapan
laporan ini. Terima kasih atas tunjuk ajar yang diberikan apabila saya menghadapi
masalah dalam komputer.
Kepada abang ngah, kehadiran abang dalam kehidupan saya telah memberi
rangsangan agar saya menjadi seorang yang lebih baik.
Kepada adik saya, teman adik semasa saya membuat tesis melalui mesej pendek
dan perbualan menerusi telefon merupakan saat yang saya hargai.
iv
PENGHARGAAN
Saya ingin merakamkan penghargaan yang tak terhingga kepada Dr. Maslan
Osman yang telah banyak memberi teguran dan pandangan yang bernas semasa saya
menyiapkan projek ini.
Terima kasih juga ditujukan kepada rakan-rakan seperjuangan yang tidak jemu-
jemu memberi perangsang dalam menyiapkan projek ini.
v
ABSTRAK
Semua benda dalam dunia ini terdiri daripada cas. Apabila bilangan cas positif dan
cas negatif dalam jasad tidak sama, jasad adalah bercas. Medan elektrik berpunca
daripada cas atau taburan cas yang berterusan. Keamatan medan elektrik pada
kawasan yang berdekatan dengan cas adalah lebih tinggi daripada kawasan yang
jauh. Untuk penggiraan keamatan medan elektrik, penggunaan kalkulus vektor
diperlukan. Teorem Kecapahan, Teorem Stoke merupakan dua teorem yang
digunakan. Selain itu, laporan ini juga membincangkan beza keupayaan elektrik,
konduktor dan dielektrik dalam medan elektrostatik, ketumpatan fluks elektrik dan
pemalar dielektrik, syarat sempadan dalam medan elektrostatik, kapasitan dan
kapasitor serta daya dan tenaga elektrostatik.
vi
ABSTRACT
Everything in this world contains charge. When positive charge and negative charge
are not equivalence, material is charged. Electric field causes by a charge or a
continuous of charge. The intensity of electric field nearer to the source is stronger
compare to the further. To calculate the electric field intensity, we use calculus vector.
Theorem Divergence and Theorem Stoke are two theorems that involve in this
calculation. Other than that, this report also discusses about electric potential,
conductors and dielectric in static electric field, electric flux density and dielectric
constants, boundary conditions for electrostatic fields, capacitance and capacitors and
lastly, electrostatic energy and forces.
vii
KANDUNGAN
BAB PERKARA MUKA SURAT
PENGESAHAN STATUS LAPORAN
PENGESAHAN PENYELIA
JUDUL i
PENGAKUAN ii
DEDIKASI iii
PENGHARGAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KANDUNGAN vii
SENARAI SIMBOL xi
SENARAI RAJAH xiii
BAB 1 PENGENALAN
1.1 Pendahuluan 1
1.2 Kepentingan Kajian 2
1.3 Objektif Laporan 3
1.4 Skop Kajian 4
1.5 Rangka Penulisan 4
viii
BAB 2 KALKULUS VEKTOR
2.1 Pengenalan 5
2.2 Skala dan Vektor 5
2.3 Vektor Unit 6
2.4 Aljabar Vektor 7
2.4.1 Penambahan dan Penolakan Vektor 8
2.4.2 Pendaraban Vektor 9
2.4.2.1 Pendaraban vektor dengan skala 9
2.4.2.2 Hasil Darab Bintik 9
2.4.2.3 Hasil Darab Silang 10
2.4.2.4 Pendaraban Antara Tiga Vektor 11
2.5 Sistem Koordinat Ortogonal 12
2.5.1 Sistem Koordinat Cartesian 13
2.5.2 Sistem Koordinat Silinder 14
2.5.3 Sistem Koordinat Sfera 15
2.6 Kalkulus Vektor 17
2.6.1 Kecerunan φ 18
2.6.2 Kecapahan f 18
2.6.2.1 Kecapahan 18
2.6.2.2 Laplacian 19
2.6.2.3 Teorem Kecapahan 20
2.6.3 Keikalan f 22
2.6.3.1 Keikalan f 22
2.6.3.2 Keikalan Bagi Kecerunan dan Kecapahan 23
Bagi Keikalan
2.6.3.3 Teorem Stoke 23
2.7 Penutup 25
ix
BAB 3 TEORI ASAS MEDAN ELEKTROSTATIK
3.1 Pengenalan 26
3.2 Aksiom Asas Elektrostatik Dalam Ruang Bebas 27
3.3 Hukum Coulomb 30
3.3.1 Medan Elektrik Dalam Sistem Cas Asingan 36
3.3.2 Medan Elektrik Bagi Cas Taburan Selanjar 39
3.4 Hukum Gauss dan Aplikasi 41
3.5 Keupayaan Elektrik 44
3.5.1 Keupayaan Elektrik Bagi Cas Taburan 46
3.6 Penutup 50
BAB 4 KONDUKTOR DAN DIELEKTRIK DALAM MEDAN
ELEKTROSTATIK
4.1 Pengenalan 51
4.2 Konduktor Dalam Medan Elektrostatik 52
4.3 Dielektrik Dalam Medan Elektrostatik 57
4.3.1 Taburan Cas Yang Seimbang Bagi Dielektrik 58
Terkutub
4.4 Ketumpatan Fluks Elektrik dan Pemalar Dielektrik 62
4.4.1 Kekuatan Dielektrik 69
4.5 Syarat Sempadan Dalam Medan Elektrostatik 71
4.6 Penutup 74
x
BAB 5 KAPASITOR DAN TENAGA ELEKTROSTATIK
5.1 Pengenalan 76
5.2 Kapasitan dan Kapasitor 76
5.2.1 Kapasitor Yang Disambung Secara Siri dan 80
Secara Selari
5.3 Daya dan Tenaga Elektrostatik 83
5.3.1 Tenaga Elektrostatik Dalam Sebutan 89
Quantiti Medan
5.3.2 Daya Elektrostatik 94
5.3.2.1 Sistem Bagi Jasad Dengan Cas Malar 94
5.3.2.2 Sistem Jasad Konduktor Dengan Beza 96
Keupayaan Yang Malar
5.4 Penutup 100
BAB 6 KESIMPULAN
6.1 Kesimpulan 101
6.2 Cadangan 106
Rujukan 107
xi
SENARAI SIMBOL
Simbol Takrif
∫∫∫vdv Kamiran isipadu / Kamiran terhadap isipadu
∫∫sds Kamiran permukaan / Kamiran terhadap permukaan
∫Ld Kamiran garisan / Kamiran terhadap garisan
eR Vektor unit dalam arah R
i Vektor unit dalam arah x
j Vektor unit dalam arah y
k Vektor unit dalam arah z
(x, y, z) Sistem Koordinat Cartesian
(r, θ, z) Sistem Koordinat Silinder
(ρ, θ, φ ) Sistem Koordinat Sfera
∇ Vektor pengoperasian / Pengoperasian
∇ f Kecerunan f
f•∇ Kecapahan f
f×∇ Keikalan f
ρ Ketumpatan isipadu
ρs Ketumpatan permukaan
ρℓ Ketumpatan garisan
εo Ketelusan ruang bebas
ε Ketelusan mutlak
Q Cas
E Keamatan medan elektrik / medan elektrik
F Daya
ℓ
xii
V Beza keupayaan
P Vektor pengkutuban
p Momen elektrik dwikutub
D Ketumpatan fluks elektrik / sesaran elektrik
χe Kerentanan elektrik
C Kapasitan
Cll Jumlah kapasitan bagi sambungan kapasitor-kapasitor yang selari
Csr Jumlah kapasitan bagi sambungan kapasitor-kapasitor yang sesiri
W Tenaga elektrostatik
we Ketumpatan tenaga elektrostatik
We Tenaga elektrostatik semulajadi
TQ Kuasa pusingan jasad (torque)
xiii
SENARAI RAJAH
No. Rajah Tajuk Muka Surat
3.1 Lintasan tertutup 30
3.2 Cas titik pada asalan 31
3.3 Cas titik tidak berada pada asalan 31
3.4 Sistem pemesongan elektostatik bagi sinar katod osiloskop 34
3.5 Medan elektrik bagi dwikutub 36
3.6 Medan elektrik yang disebabkan oleh taburan cas selanjar 39
3.7 Cas garisan yang lurus dan takterhingga panjangnya 40
3.8 Hukum Gauss diaplikasikan ke dalam cas garis yang tak terhingga
panjangnya 43
3.9 Hubungan antara arah E dan penambahan V 46
3.10 Lintasan cas titik 47
3.11 Dwikutub dielektrik 47
3.12 Cas tertabur seragam dalam bulatan 49
4.1 Sempadan antara konduktor dan ruang bebas 52
4.2 Keamatan medan elektrik dan beza upaya bagi cas titik +Q pada pusat
rangka konduktor 56
4.3 Perantaraan dielektrik terkutub 57
4.4 Perbezaan medan bagi satu cas positif yang berada pada pusat rangka
dielektrik 67
4.5 Dua sfera konduktor yang bersambung 70
4.6 Perantara muka bagi dua perantaraan 71
4.7 Keadaan sempadan pada perantara muka antara dua perantaraan
dielektrik 73
xiv
5.1 Satu kapasitor yang terdiri daripada dua konduktor sebagai platnya 77
5.2 Kapasitor sfera 79
5.3 Sambungan kapasitor secara siri 80
5.4 Sambungan kapasitor secara selari 81
5.5 Gabungan kapasitor-kapasitor 81
5.6 Penghimpunan sfera seragam cas 86
5.7 Kapasitor dengan plat selari yang dicaskan 91
5.8 Kapasitor bentuk silinder 93
BAB 1
PENGENALAN
1.1 Pendahuluan
Setiap benda dalam dunia ini mempunyai cas. Cas-cas yang hadir ini terdiri
daripada cas negatif dan cas positif. Suatu benda yang mempunyai bilangan cas positif
dan cas negatif yang sama adalah bersifat neutral. Apabila bilangan cas ini tidak sama,
medan elektrik terbentuk.
Medan dalam pengertian umum bermakna lapangan atau kawasan lapang.
Medan elektrik wujud adalah kesan cas elektrik yang pegun di mana cas ini berfungsi
sebagai sumber kepada medan elektrik. Medan elektrik yang berubah mengikut masa
adalah medan magnetik. Medan elektrik yang bukan fungsi masa adalah medan
elektrostatik.
Dua benda yang penting dalam medan elektrostatik adalah keamatan medan
elektrik dan beza keupayaan. Keamatan medan elektrik bergantung kepada kedudukan
titik dari sumber. Keamatan medan elektrik adalah lebih tinggi bagi kawasan dekat
dengan sumber. Beza upaya antara dua titik Vab ditakrifkan sebagai kerja dalam joule
2
yang mesti dilakukan untuk menggerakkan satu unit cas titik positif dari titik b ke a
dalam keamatan medan elektrik.
1.2 Kepentingan Kajian
Hukum Coulomb merupakan asas kepada konsep medan elektrostatik. Hukum
ini diasaskan oleh Colonel Charles Coulomb melalui eksperimen yang dijalankan pada
tahun 1785. Walau bagaimanapun, kalkulus vektor adalah penting dalam pengiraan.
Kajian ini bertujuan untuk melihat penerbitan rumus bagi medan elektrostatik
secara mendalam. Konsep-konsep dalam kalkulus vektor digunakan. Kecapahan dan
keikalan merupakan asas dalam kalkulus vektor. Penggunaan kecapahan dan keikalan
membentuk aksiom asas kepada medan elektrostatik. Dengan itu, Teorem kecapahan
dan teorem Stoke banyak digunakan dalam kajian ini. Setiap langkah penerbitan bagi
rumus yang berkaitan dengan medan elektrostatik ditunjukkan.
1.3 Objektif Kajian
Objektif laporan projek ini adalah untuk
i) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrik dengan menggunakan
teorem kecapahan,
ii) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrik bagi cas taburan
berterusan,
iii) menerbitkan persamaan beza keupayaan bagi taburan cas,
3
iv) menerbitkan persamaan keamatan medan elektrostatik dengan menggunakan
teorem Stoke,
v) menerbitkan beza keupayaan bagi dielektrik dengan menggunakan teorem
kecapahan,
vi) menerbitkan persamaan tenaga elektrostatik dengan menggunakan teorem
kecapahan.
1.4 Skop Kajian
Laporan kajian ini adalah terbatas kepada medan elektrostatik sahaja. Masalah-
masalah elektrostatik tidak termasuk dalam kajian ini.
1.5 Rangka Penulisan
Dalam bab 2, konsep-konsep asas kalkulus vektor akan dibincangkan.
Antaranya termasuk aljabar vektor, sistem koordinat ortogonal dan kalkulus vektor.
Bab 3 bermula dengan aksiom-aksiom asas medan elektrostatik. Bab ini lebih tertumpu
kepada medan elektrik dalam ruang bebas. Hukum Coulomb dan Hukum Gauss adalah
dua hukum menjadi asas kepada penerbitan teori-teori medan elektrik ruang bebas.
Pada akhir bab adalah perbincangan persamaan beza keupayaan.
Bab 4 membincangkan medan elektrostatik pada sempadan konduktor dan
sempadan dielektrik apabila jasad diletakkan ke dalam medan elektrik. Syarat-syarat
sempadan antara dua perantaraan dibincangkan pada akhir bab. Bab 5 membincangkan
4
penggunaan syarat sempadan dalam kapasitor dan tenaga elektrostatik. Daya
elektrostatik dibincangkan pada akhir bab.
Laporan ini diakhiri dengan bab 6, kesimpulan dan cadangan. Cadangan diberi
agar pelajar yang berminat boleh meneruskan kajian ini.