chuong 1 dh va vp phan2 8022

§3 : Kh vi và Vi phân ả

Vi phân c p 2 là vi phân c a vi phân c p 1ấ ủ ấ

( ) ( )x yd f dx d f dy¢ ¢= +2 ( ) ( )x yd f d df d f dx f dy¢ ¢= = +

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x x y yd f dx f d dx d f dy f d dy¢ ¢ ¢ ¢= + + +2 22xx xy yyf dx f dxdy f dy¢¢ ¢¢ ¢¢= + +

Hay ta vi t d i d ngế ướ ạ2 2 2

2 2 22 22f f f

d f dx dxdy dyx x y y

¶ ¶ ¶= + +

¶ ¶ ¶ ¶

V y ta vi t d i d ng quy c sauậ ế ướ ạ ướ2

2d f dx dy fx y

æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶df dx dy f

x y

æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶


22

2 2 2

( , , )

2 2 2xx yy zz xy yz zx

d f x y z dx dy dz fx y z

f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx

æ ö¶ ¶ ¶ ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø¶ ¶ ¶

¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= + + + + +

Vi phân c p 2 c a hàm 3 bi n f(x,y,z)ấ ủ ế

3

3

3 2 2 33 3xxx xxy xyy yyy

d f dx dy fx y

f dx f dx dy f dxdy f dy

æ ö¶ ¶ ÷ç= + ÷ç ÷çè ø¶ ¶

¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢= + + +

T ng quát công th c trên cho hàm 3 bi n và cho vi ổ ứ ếphân c p 3 c a hàm 2 bi nấ ủ ế

Vi phân c p 3 c a hàm 2 bi n f(x,y)ấ ủ ế


Ví d : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, ụd2f t i (0,ạ π/2)

Gi i :ảTa đi tính các đ o hàm riêng đ n c p 2, thay vào ạ ế ấcông th c tính vi phânứ

sin 2 sin , cos 2cosx yf y y x f x y x¢ ¢= + = -

2 cos , cos 2sin , sinxx xy yyf y x f y x f x y¢¢ ¢¢ ¢¢= = + =-

(0, ) (0, ) (0, ) 22 2 2x ydf f dx f dy dx dyp p p¢ ¢= + = -

V y ta đ c:ậ ượ

2 2 2(0, ) (0, ) 2 (0, ) (0, )2 2 2 2xx xy yyd f f dx f dxdy f dxp p p p¢¢ ¢¢ ¢¢= + +

( ) 2 20, 2 , à (0, )2 2df dx dy v d f dxp p p= - =V y : ậ


Ví d : Cho hàm f(x,y,z) = xyụ 2 – 2yz2 + ex+y+z. Tính df, d2f

Gi iả

T ng t ví d trên, ta cóươ ự ụ

x y zdf f dx f dy f dz¢ ¢ ¢= + +

df = (y2+ex+y+z)dx+(2xy–2z2+ex+y+z)dy+(-4yz + ex+y+z)dz

d2f=ex+y+zdx2+(2x+ex+y+z)dy2+ (-4y+ex+y+z) dz2 + 2(2y+ex+y+z)dxdy+2(-4z+ex+y+z)dydz + 2(ex+y+z)dzdx

2 2 2 2 2 2 2xx yy zz xy yz zxd f f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢= + + + + +

§4 : Đ o hàm riêng và Vi phân hàm h p ạ ợ

Đ o hàm riêng c p 1 c a hàm h pạ ấ ủ ợĐ nh lýị : Cho hàm z = z(x,y) kh vi trong mi n D; ả ề x, y

là các hàm theo bi n t: ế x=x(t), y=y(t) kh vi trong ảkho ng ả (t1,t2), khi y hàm h p ấ ợ z = z(x(t),y(t)) cũng kh vi trong kho ng ả ả (t1,t2) và

dz z dx z dydt x dt y dt

¶ ¶= +

¶ ¶

Ví d : Cho hàm ụ z = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dzdt

Gi i: ả dz z dx z dydt x dt y dt

¶ ¶= +

¶ ¶=(2x – 3y)2 + (-3x)2t


T ng quát h nổ ơ :

Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) t c là ứ z là hàm h p c a 2 bi n ợ ủ ế u, v. Ta có công th c t ng t : ứ ươ ự

z z x z yu x u y u

z z x z yv x v y v

¶ ¶ ¶ ¶ ¶= +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶

¶ ¶ ¶ ¶ ¶= +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Ta có th t ng quát ể ổb ng s đ sau : ằ ơ ồ

z zy

¶

¶zx

¶

¶

x yxu

¶

¶

xv

¶

¶

u v u v

yu

¶

¶

yv

¶

¶C n tính đ o hàm c a z ầ ạ ủtheo bi n nào ta đi theo ếđ ng đ n bi n đóườ ế ế


Ví d : Cho hàm ụ z = xey, trong đó x=cosu+sinv, y=u2+v2. Tính ,

z zu v

¶ ¶

¶ ¶

Gi i: ả Ta s d ng công th c trên đ tínhử ụ ứ ể

. . ( sin ) .2y yz z x z ye u xe u

u x u y u¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= + = - +¶ ¶ ¶ ¶ ¶

. . (cos ) .2y yz z x z ye v xe v

v x v y v¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= + = +¶ ¶ ¶ ¶ ¶Chú ý: Có th tính đ o hàm trên b ng cách ể ạ ằ thay x, y theo u, v vào bi u th c c a hàm z r i tính ể ứ ủ ồ đ o hàm ạthông th ngườ . Tuy nhiên, vi c s d ng công th c ệ ử ụ ứđ o hàm hàm h p (nói chung) s cho ta k t qu ạ ợ ẽ ế ảnhanh h nơ


Ví d : Cho hàm ụ z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đ n ếc p 2 c a hàm z ấ ủ

Gi i : ả

Ta đ t thêm 2 bi n trung gian : ặ ế u = x+y, v = 2x – 3y đ th y rõ ràng hàm ể ấ z = f(u,v) là hàm h pợ

Dùng công th c đh hàm h p, ta đ c 2 đhr c p 1: ứ ợ ượ ấ

z’x= f’u.u’x+f’v.v’x= f’u+2f’v ; z’y = f’u.u’y+f’v.v’y = f’u-3f’v

Sau đó, l y đhr c a các đh c p 1, ta đ c các đhr ấ ủ ấ ược p 2:ấ


z”xx = [f’u]’x + 2[f’v]’x =

z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x]

L y đhr c p 2 theo thì t ng ng nhân v i đhr ấ ấ ươ ứ ớc a u, v theo x ủ

Gi nguyênữGi nguyênữ

L y đhr theo v thì nhân ấv i đhr c a v theo ớ ủ x

L y đhr theo u thì nhân ấv i đhr c a u theo ớ ủ x

T ng t : ươ ự z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv


. . . .2x

zy f t y f x

x¶

¢ ¢ ¢= =¶

. . . .( 2 )y

zf y f t f y f y

y¶

¢ ¢ ¢= + = + -¶

Ví d : Cho hàm ụ z = y.f(x2-y2). Tính ,x yz z¢ ¢

Gi i: ả Ta đ t ặ t = x2-y2, thì f là hàm theo 1 bi n ế t, z=y.fV y:ậ

Vi phân c p 1ấ : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) t c là ứ z là hàm h p c a 2 bi n ợ ủ ế u, v. Ta tính vi phân c a hàm ủ z theo vi phân c a 2 bi n đ c l pủ ế ộ ậ u, v b ng cách dùng công th cằ ứ nh hàm 2 bi n th ng`ư ế ườ

v udz z dv z du¢ ¢= +


Đ o hàm riêng c p 2 c a hàm h pạ ấ ủ ợCho hàm z = z(x,y), trong đó x = x(u,v), y = y(u,v). Ta đi tính đ o hàm riêng c p 2 c a hàm z theo bi n ạ ấ ủ ếđ c l p ộ ậ u, v

(( ) . . ) (( ) . . )u u u ux u x u y u y uz x z x z y z y¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢= + + +

( ) ( . . )uu u u x u y u uz z z x z y¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢= = +

( . . ) ( . . )x x ux u y u x uu y y u yx y u uuuz z x z x z z y zx y x y y¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢= + + + +¢+¢ ¢ ¢

T ng t , ta có 2 đ o hàm c p 2 còn l i ươ ự ạ ấ ạ

V y:ậ

( ) ( )2 22uu xx u xy u u yy u x uu y uuz z x z x y z y z x z y¢¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢= + + + +


Gi i: ả2 1 2(2 ) ( 2 )2v

u x u y uz z x z y xy y vu x xy u-¢ ¢ ¢ ¢ ¢= + = - + -

2 1 2 1 2(2 ) (2 )( ) ( 2 ) 2v vuv v v vz xy y vu xy y vu x xy u- -¢¢ ¢ ¢ ¢= - + - + -

Ví d : Cho hàm ụ z = x2y - xy2, x = uv, y =u2 - v2. Tính

uvz¢¢

Ta l y đ o hàm theo v c a bi u th c trên:ấ ạ ủ ể ứ

1 2 1 1( )2 ln . 2 2 2 (2 )( ln )

2 ln 2 ln . 2

( )( ) ( )

( )( ( )2)

v v v v

v v

u u y x v y v vu xy y u vu u

xu u u u y x v u

- - -= + - - - + - +

+ - + -


Ta ch tính ỉ vi phân c p 2 c a hàm ấ ủ z theo bi n đ c ế ộl pậ u, v; t c là ta s d ng công th c vi phân c p 2 ứ ử ụ ứ ấc a hàm ủ z(u,v). V y vi phân c p 2 c a hàm h p làậ ấ ủ ợ

( cos sin ) ( cos sin )dz v y x y du u y x y dv= - + -

2 2 22uu uv vvd z z du z dudv z dv¢¢ ¢¢ ¢¢= + +

Ví d : Cho ụ z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z theo vi phân c a bi n đ c l p du, dv ủ ế ộ ậ

Gi i: ả Ta s tính các đ o hàm riêng đ n c p 2, r i ẽ ạ ế ấ ồthay vào công th c vi phân, ta đ c:ứ ượ

2 2 2( 2 sin cos ) ( 2 sin cos )

2( sin cos sin cos )

d z v y x y du u y x y dv

v y y u y x y dudv

= - - + - -

+ - + - -

§4 : Đ o hàm riêng và Vi phân hàm n ạ ẩ

Hàm n 1 bi nẩ ế (Đã bi t) : Cho hàm ế y=y(x) xác đ nh t ph ng trình hàm n ị ừ ươ ẩ F(x,y)=0

đ đ c công th cể ượ ứ

Ta tính dydx

t đ ng th c nàyừ ẳ ứ

Ta tính đ o hàm y’ b ng cách l y đ o hàm 2 v ạ ằ ấ ạ ếph ng trình ươ F(x,y)=0 theo x:

. . 0F dx F dyx dx y dx

¶ ¶+ =

¶ ¶

x

y

dy Fy

dx F

¢¢= = -

¢x

y

dy Fy

dx F

¢¢= = -

¢


Gi i:ảTa đ t ặ F(x,y) = x – y + arctany, r i áp d ng công th c ồ ụ ứ

2

11

11

x

y

Fy

Fy

¢¢= - = -

¢- +

+

2

2

1 yy+

=

2 4

1 2(1 )

yyy

y y

¢¢¢ ¢= + =-

2

5

2( 1)yy

+=-

Ví d : Tính y’, y” bi t ụ ế x – y + arctany = 0

Đ tính đ o hàm c p 2, ta l y đ o hàm c a đ o ể ạ ấ ấ ạ ủ ạhàm c p 1 v i ghi nh r ng y’ đã có tr c đó đ ấ ớ ớ ằ ướ ểthay vào cu i cùng.ố


Hàm n nhi u bi nẩ ề ế : Cho hàm z=z(x,y) xác đ nh t ị ừph ng trình hàm n ươ ẩ F(x,y,z) = 0. Ta ph i tính 2 ảđ o hàm riêngạ

T ng t hàm n 1 bi n, ta có công th c tính ươ ự ẩ ế ứ

đ o hàmạ

, yxx y

z z

FFz z

F F

¢¢¢ ¢= - = -

¢ ¢

Ho c ta có th tính đ o hàm riêng c a hàm z theo ặ ể ạ ủx, y b ng cách l y đ o hàm 2 v ph ng trình hàm ằ ấ ạ ế ươ

n l n l t theo x, y (Coi bi n còn l i là h ng sẩ ầ ượ ế ạ ằ ố


Ví d : Cho hàm ụ z = z(x,y) xác đ nh b i ph ng ị ở ươtrình x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0. Tính ,x yz z¢ ¢

Gi i:ả

Cách 1: L y đ o hàm 2 v ph ng trình đã cho theo ấ ạ ế ươx, coi y là h ng s ằ ố2 2 3 5 0x xx zz z¢ ¢+ - - =

3 22 5x

xz

z-

¢ =Þ-

Và l y đ o hàm theo y, coi x là h ng sấ ạ ằ ố

6 22 2 6 5 0

5 2y y y

yy zz z z

z+

¢ ¢ ¢+ + - = =Þ-


Cách 2: S d ng công th c b ng cách đ t F(x,y,z) ử ụ ứ ằ ặlà v trái c a ph ng trình đã choế ủ ươ

2 3, 2 6, 2 5x y zF x F y F z¢ ¢ ¢= - = + = -

Ta cũng s đ c k t qu nh trên.ẽ ượ ế ả ư

Đ có đ o hàm c p 2, ta l y đ o hàm c a đ o hàm ể ạ ấ ấ ạ ủ ạc p 1, và nh r ng z là hàm, bi n còn l i là h ng sấ ớ ằ ế ạ ằ ố

Vi phân c a hàm n: hàm y(x) ho c z(x,y) đ u là ủ ẩ ặ ềcác hàm theo 1 ho c 2 bi n đ c l p nên ta tính vi ặ ế ộ ậphân các c p c a chúng nh v i hàm bình th ngấ ủ ư ớ ườ


Ví d : Tính dz, dụ 2z n u ế zex + 3y + z - 1 = 0 t i (0,1)ạ

Gi i:ả

Ti p đó, ta tính các đ o hàm riêng đ n c p 2 b ng ế ạ ế ấ ằcách đ t ặ F(x,y,z) là v trái c a ph ng trình trênế ủ ươ

Tr c tiên, ta thay ướ (x,y) = (0,1) vào ph ng trình đ ươ ểđ c ượ z = -1

3,

1 1

x

x yx x

zez z

e e¢ ¢= - = -

+ +

1(0,1) ( 3 )

2dz dx dy= -Þ

31(0,1) , (0,1)2 2x yz z¢ ¢= = -Þ


2

(1 3 ) (1 3 ) ( )1 3 (1 3 )

x xxx

x

z y z z y z z zz

y y

¢æ ö ¢ ¢- - - - + -÷ç¢¢ = - = -÷ç ÷çè ø- -

.1

x x

xx x xx

ze z zez

e ze z

¢ ¢æ ö æ ö÷ ÷ç ç¢¢ = - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +è ø è ø

2

(1 3 )(1 3 )xx x

z y zz z

y- - -

¢¢ ¢=-

Ta thay zex = 1-3y-z vào bi u th c trên r i tính đ o ể ứ ồ ạhàm ti pế

T ng t , ta tính đ c 2 đ o hàm riêng c p 2 còn ươ ự ượ ạ ấl i. Và đ c ạ ượ

Thay z’x(0,1) = ½ vào, ta đ c z”ượ xx(0,1) = 0

2 3(0,1) 2d z dxdy=


Ví d : Cho hàm ụ z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d2z

Gi i: ả Ta đi tính đ o hàm riêng đ n c p 2 c a hàm zạ ế ấ ủTr c h t, ta đ t ướ ế ặ t = x+y, s = x.y thì z là hàm theo 2 bi n ết và s, còn t, s là hàm theo 2 bi nế x và y. Ta đ cượ z’x = f’t.t’x+f’s.s’x = f’t.1+f’s.y; z’y = f’t.t’y+f’s.s’y = f’t.1+f’s.x

Suy ra dz = (f’t+f’s.y)dx + (f’t+f’s.x)dy

z”xx = (f’t+f’s.y)’x = [(f”tt.t’x+f”ts.s’x)+(f”st.t’x+f”ss.s’x).y]

z”xx = f”tt+2yf”st+ y2.f”ss

T ng t , ta đ c 2 đ o hàm c p cao còn l i vàươ ự ượ ạ ấ ạ

d2z = (f”tt+2yf”st+ y2.f”ss)dx2 + (f”tt+2xf”st+ x2.f”ss)dy2 + (f”tt+(x+y)f”ts+xyf”ss+f”s)2dxdy


Ví d : Tính ụ z’x, z’y n u ế z = z(x,y) xác đ nh t pt ị ừF(x+y+z,x+y-2z) = 0

Gi i :ả T ng t ví d trên, ta cũng đ t thêm 2 bi n trung ươ ự ụ ặ ếgian t = x+y+z, s = x+y-2z

Tr c tiên, ướ ta dùng công th c đ o hàm hàm nứ ạ ẩ

, yxx y

z z

FFz z

F F

¢¢¢ ¢= - =-

¢ ¢

T c là ta ph i tính 3 đ o hàm riêng c a hàm F. Khi ứ ả ạ ủđó, ta coi F là hàm h p theo t, s và t, s là hàm theo 3 ợbi n ế x, y, z đ ể s d ng công th c đ o hàm hàm h pử ụ ứ ạ ợ

F’x = F’t.t’x + F’s.s’x = F’t + F’s = F’y, F’z = F’t - 2F’s


Thay vào công th c trên, ta đ c k t quứ ượ ế ả

2t s

x yt s

F Fz z

F F

¢ ¢+¢ ¢=- =

¢ ¢-

§5 : Công th c Taylor - Maclaurint ứ

Công th c Taylor v i ph n d Peano:ứ ớ ầ ư

Cho hàm f(x,y) kh vi đ n c p (n+1) trong 1 hình ả ế ấc u m tâm Mầ ở 0 là B(M0,r). Ta có công th c:ứ

0 00 0

1

( , )( , ) ( , ) ( , )

!

kn

nk

d f x yf x y f x y R x y

k=

= + +å

Trong đó: 2 20 0( , ) ( ), ( ) ( )n

nR x y O x x y yr r= = - + -

Khi (x0,y0) = (0,0) thì công th c Taylor đ c g i là ứ ượ ọcông th c Maclaurint ứ

1

(0,0)( , ) (0,0) (0,0)

!

kn

nk

d ff x y f R

k=

= + +å


Ví d : Khai tri n Tay lor t i lân c n đi m (1,-1) hàm ụ ể ạ ậ ểf(x,y) = x2+2y2-3xy+4x-5y+7

Gi i : ảDo f(x,y) là đa th c b c 2 theo x ho c theo y nên t c p ứ ậ ặ ừ ấ3 tr đi, các đ o hàm riêng b ng 0 t c là vi phân cũng ở ạ ằ ứb ng 0. Ta ch c n tính vi phân c a f đ n b c 2ằ ỉ ầ ủ ế ậ

f’x(1,-1) = 9 , f’y(1,-1) = -12

f(1,-1) = 22

f’x = 2x – 3y +4 , f’y = 4y – 3x – 5

df(1,-1) = 9dx - 12dy = 9(x-1) – 12(y+1)


f”xx = 2, f”xy = -3, f”yy = 4

d2f = 2dx2 – 6dxdy +4dy2

= 2(x-1)2–6(x-1)(y+1)+4(y+1)2

V y : ậ

f(x,y) = 22 + [9(x-1) – 12 (y+1)] +

½ [2(x-1)2–6(x-1)(y+1)+4(y+1)2]


Chú ý :

T ng t nh hàm 1 bi n, đ khai tri n Tay lor hàm ươ ự ư ế ể ểf(x,y) trong lân c n đi m (xậ ể 0,y0) ta cũng làm nh sau : ư

2. S d ng ử ụ khai tri n Maclaurint hàm 1 bi nể ế đ khai ểtri n hàm ể f(X,Y) `

1. Đ t ặ X = x - x0, Y = y - y0 x = X + x0, y = Y + y0

3. S p x p theo th t ắ ế ứ ự b c c a X, Y, X.Y tăng d nậ ủ ầ

4. Thay X = x - x0, Y = y - y0 vào đ đ c khai tri n ể ượ ểc n tìm ầ


Gi i : ảĐ t ặ X = x – 2, Y = y - 1 x = X + 2 , y = Y + 1

Thay vào hàm đã cho, ta đ c: ượ1

( , )2 3 1

f X YX Y

=- +

1( )

1g t

t=

+

Đ t t = 2X – 3Y và áp d ng khai tri n Maclaurint hàm ặ ụ ể

221 t t R= - + + Và thay vào hàm f

f(x,y) = 1 – (2(x-2) – 3(y-1)) + ½((2(x-2) – 3(y-1))2+R2

f(x,y)=1–2(x-2)+3(y-1)+2(x-2)2+ 9/2(y-1)2–6(x-2)(y-1)+R2

Ví d : Khai tri n Taylor t i (2,1) đ n b c 2 hàmụ ể ạ ế ậ1

( , )2 3

f x yx y

=-


Ví d : Khai tri n Maclaurint hàm f(x,y) = eụ ể xcosy đ n ếb c 2ậGi i: ả

Ta áp d ng tr c ti p khai tri n Maclaurint cho 2 hàm ụ ự ế ể1 bi n ế ex và cosy đ có k t qu :ể ế ả

f(x,y) = (1+x+1/2x2+O(x2))(1-1/2y2+O(y2))

f(x,y) = 1 + x + ½ (x2-y2) +R2

f(x,y) = 1+x+1/2x2 - 1/2y2 + 1/2xy2 - 1/4x2y2 +R2

Ta b các s h ng b c l n h n 2 và s p x p theo ỏ ố ạ ậ ớ ơ ắ ếth t tăng d n c a b c, ta đ c :ứ ự ầ ủ ậ ượ

§6 : C c tr hàm nhi u bi n ự ị ề ế

Đ nh nghĩaị : Hàm f(x,y) đ c g i là ượ ọ đ t c c đ i ạ ự ạch tặ t i ạ M0(x0,y0) n u t n t i hình c u m B(Mế ồ ạ ầ ở 0,r) sao cho f(x,y) < f(x0,y0), v i m i ớ ọ M(x,y) thu c hình ộc u trênầ

Đ nh nghĩaị : Hàm f(x,y) đ c g i là ượ ọ đ t c c đ iạ ự ạ không ch tặ t i ạ M0(x0,y0) n u t n t i hình c u m ế ồ ạ ầ ởB(M0,r) sao cho f(x,y) ≤ f(x0,y0) , v i m i ớ ọ M(x,y) thu c hình c u trênộ ầ

T c là: ứ 0 0 00 : ( , ) ( , ), ( , ) ( , )r M x y B M r f x y f x y> " <$ Î

T c là:ứ 0 0 00 : ( , ) ( , ), ( , ) ( , )r M x y B M r f x y f x y> "$ Î £

§6 : C c tr hàm nhi u bi n ự ị ề ế

Đ nh nghĩa t ng t cho khái ni m c c ti u ch t và ị ươ ự ệ ự ể ặc c ti u không ch t.ự ể ặChú ý: Khái ni m c c tr ch mang tính đ a ph ng, ệ ự ị ỉ ị ươnó khác v i khái ni m giá tr l n nh t, nh nh t c a ớ ệ ị ớ ấ ỏ ấ ủhàm trong m t mi n (Xem hình v ) ộ ề ẽ

§6 : C c tr hàm nhi u bi n - C c tr t do ự ị ề ế ự ị ự

Ví d : Hàm ụ f(x,y) = x2 + y2 đ t c c ti u t i (0,0) vì ạ ự ể ạf(x,y) – f(0,0) = (x2 + y2) ≥ 0, v i m i (x,y)ớ ọVí d : Hàm ụ f(x,y) = x2 + y2 đ t c c ti u t i (0,0) vì ạ ự ể ạf(x,y) – f(0,0) = (x2 + y2) ≥ 0, v i m i (x,y)ớ ọ

H n n a, ơ ữf(0,0) = 0 còn là giá tr nh ị ỏnh t c a hàm ấ ủtrong toàn MXĐ vì :

( , ) (0,0) 0, ( , )

(0,0) 0

f x y f x y

f

- > "

=

§6 : C c tr hàm nhi u bi n – C c tr t do ự ị ề ế ự ị ự

Đi u ki n c n c a c c trề ệ ầ ủ ự ị : N u hàm f(x,y) có c c ế ựtr t i đi m Mị ạ ể 0(x0,y0) thì t i Mạ 0 hàm có các đ o hàm ạriêng đ ng th i b ng 0 ho c không t n t iồ ờ ằ ặ ồ ạ

Đi m mà t i đó các đ o hàm riêng đ ng th i b ng 0 ể ạ ạ ồ ờ ằthì g i là ọ đi m d ngể ừ c a hàm. ủ

Đi m mà t i đó các đ o hàm riêng đ ng th i b ng 0 ể ạ ạ ồ ờ ằho c không t n t i thì g i là ặ ồ ạ ọ đi m t i h nể ớ ạ c a hàm ủt c là đi m nghi ng có c c tr . ứ ể ờ ự ị

Đi m M mà t i đó các đ o hàm riêng đ ng th i b ng ể ạ ạ ồ ờ ằ0 và trong 1 lân c n b t kỳ c a nó t n t i các đi m ậ ấ ủ ồ ạ ểM1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) đ c g i là ượ ọ đi m yên ểng a ự


Ví d : Kh o sát c c tr c a hàm f(x,y) = xụ ả ự ị ủ 2 – y2

Gi i: ả

Ta có : f’x = 2x , f’y = -2y Đi m d ng c a hàm ể ừ ủlà O(0,0)

V i m i x, ta có ớ ọ

f(x,0) = x2 ≥ 0 = f(0,0)

V i m i y, ta có ớ ọf(0,y) = -y2 ≤ 0 = f(0,0)

V y hàm ậ không đ t c c ạ ựtr t i (0,0), đi m (0,0) là ị ạ ểđi m yên ng a c a hàmể ự ủ Đi m yên ng aể ự


Đi u ki n đ c a c c trề ệ ủ ủ ự ị : Cho hàm f(x,y) xác đ nh, ịliên t c và có các đ o hàm riêng c p 2 liên t c ụ ạ ấ ụtrong 1 lân c n c a đi m d ng Mậ ủ ể ừ 0(x0,y0). Ta có :

1.N u d ng toàn ph ng ế ạ ươ d2f(M0) xác đ nh d ngị ươ thì hàm đ t ạ c c ti u ch t t i Mự ể ặ ạ 0 , fct = f(M0)

2.N u d ng toàn ph ng ế ạ ươ d2f(M0) xác đ nh âmị thì hàm đ t ạ c c đ i ch t t i Mự ạ ặ ạ 0 , fcđ = f(M0)

3. N u d ng toàn ph ng ế ạ ươ d2f(M0) không xác đ nhị thì hàm không đ t c c tr t i Mạ ự ị ạ 0


Các b c kh o sát c c tr hàm nhi u bi nướ ả ự ị ề ế

B c 1ướ : Tìm đi m t i h nể ớ ạ b ng cách cho t t c các ằ ấ ảđ o hàm riêng c a hàm f b ng 0, ta đ c h ạ ủ ằ ượ ệph ng trình, gi i ra ta đ c đi m d ng ho c tìm ươ ả ượ ể ừ ặnh ng đi m mà t i đó các đ o hàm riêng không ữ ể ạ ạt n t iồ ạ

B c 2: ướ Kh o sát d u c a dả ấ ủ 2f t i t ng đi m t i h nạ ừ ể ớ ạ v a tìm đ c (coi dừ ượ 2f là d ng toàn ph ng theo ạ ươdx, dy, dz, …)

B c 3:ướ K t lu n theo đi u ki n đế ậ ề ệ ủ


Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y,z) = x2+y2+2z2-4x+6y-8zVí d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y,z) = x2+y2+2z2-4x+6y-8z

Gi i: ảB c 1ướ : Gi i hpt tìm đi m d ngả ể ừ

2 4 0

2 6 0

4 8 0

x

y

z

f x

f y

f z

ì ¢= - =ïïïï ¢= + =íïïï ¢= - =ïî

2

3

2

x

y

z

ì =ïïï =-Û íïï =ïî

V y hàm có đi m ậ ểd ng duy nh t ừ ấM(2,-3,2)

B c 2: Tính ướ d2f(M) = 2dx2+2dy2+4dz2 ≥ 0 v i m i M. ớ ọ

B c 3: K t lu n Hàm đ t c c ti u t i đi m d ng duy ướ ế ậ ạ ự ể ạ ể ừnh t ấ fct = f(2,-3,2) = -21


V i riêng hàm 2 bi n f(x,y), ta có các b c kh o sát sauớ ế ướ ả

1. Tìm đi m t i h n (gi s là ể ớ ạ ả ử M0(x0,y0))

2. Tính 3 đ o hàm riêng c p 2 c a hàm và đ tạ ấ ủ ặ

A = f”xx(M0), B = f”xy(M0), C = f”yy(M0) và Δ = AC – B2

3. Xét d u ấ Δ :

• N u ế Δ > 0 và A > 0 thì hàm đ t c c ti u ạ ự ể fct = f(M0)

• N u ế Δ > 0 và A < 0 thì hàm đ t c c đ i ạ ự ạ fcđ = f(M0)

• N u ế Δ < 0 thì hàm không đ t c c tr t i Mạ ự ị ạ 0

• N u ế Δ = 0, thì ta ph i ả xét d u ấ Δf = f(M) – f(M0) v i m i ớ ọM thu c lân c n c a Mộ ậ ủ 0 và s d ng đ nh nghĩa c c tr .ử ụ ị ự ị

§6 : C c tr hàm nhi u bi n – C c tr t doự ị ề ế ự ị ự

Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y) = x3 – y3 – 3xy

Gi i: ả Tìm đi m d ngể ừ2

2

3 3 0

3 3 0

x

y

f x y

f y x

ì ¢= - =ïïíï ¢= - =ïîTa tìm đ c 2 đi m Mượ ể 1(1,1) và M2(0,0)

Tìm các đ o hàm riêng c p 2ạ ấ : f”xx= 6x, f”xy= -3, f”yy= 6y

T i Mạ 1 : C = A = 6 >0, B = f”xy(1,1) = -3,

C = f”yy(1,1)= 6, Δ = AC – B2 = 6.6 –(-3)(-3) > 0.

Hàm đ t c c ti u : ạ ự ể fct = f(1,1) = -1

T i Mạ 2 : A = f”xx(0,0) = 0 = C, B = f”xy(0,0) = -3, Δ = -9<0

Hàm không đ t c c tr t i Mạ ự ị ạ 2


Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y) = x2 + y2 – 2xy +2x – 2y

Gi i : ảTìm đi m d ngể ừ

01 0

0x

y

fx y

f

ì ¢=ïï - + =Ûí¢ï =ïî

Hàm có vô s đi m d ng: t p t t c các đi m ố ể ừ ậ ấ ả ểM(x0,y0) th a ỏ x0 – y0 + 1 = 0, M(x0,x0+1)

Các đ o hàm riêng c p 2 là h ng s , nên :ạ ấ ằ ố

A = f”xx = 2, B = f”xy = -2, C = f”yy = 2, Δ = 0, v i m i M ớ ọ

Đây là tr ng h p ta ườ ợ ph i xét d uả ấ

Δf(M)=f(x,y)–f(x0,x0+1) v i m i (x,y) thu c lân c n c a M.ớ ọ ộ ậ ủ


Ta có : Δf(M)= f(x,y) – f(M)

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y) – (x02+y0

2 –2x0y0 +2x0 -2y0)

Δf(M)=(x2+y2 –2xy+2x–2y)–((x0-y0)2+2(x0–y0))

Δf(M) = (x-y+1)2 ≥ 0

V y theo đ nh nghĩa, hàm đ t c c ti u không ch t ậ ị ạ ự ể ặt i m i đi m d ng ạ ọ ể ừ M0 và fct = f(M0) = f(x0,x0+1) = -1

Thay x0 – y0 = -1 vào, ta đ cượ

f(x,y) ≥ f(M)


Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị 2 23( , )f x y x y= +Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị 2 23( , )f x y x y= +

Gi i : ả T h ph ng trình :ừ ệ ươ2 23

2 23

20

20

x

y

xf

x y

yf

x y

ìï ¢ï = =ïï +ïíïï ¢= =ïï +ïî

Ta đ c x = y = 0, tuy nhiên (0,0) là đi m mà t i đó 2 ượ ể ạđ o hàm trên không t n t i. ạ ồ ạ Do đó, đi m (0,0) không ểlà đi m d ng c a hàm.ể ừ ủ

V y ta s tính đ o hàm riêng c a f t i (0,0) b ng đ nh ậ ẽ ạ ủ ạ ằ ịnghĩa:


2

0

3 0limx

xxD ®

D -

D=0

( ,0) ( ,0)( ,0) li

00 mx x

f xx

ff

D ®

-¢ =

DD =∞

Do vai trò x, y nh nhau trong hàm f, nên t ng t ư ươ ựta cũng có f’y(0,0) = ∞V y t i (0,0) các đ o hàm riêng không t n t i h u h n ậ ạ ạ ồ ạ ữ ạnên(0,0) ch là đi m t i h n c a hàmỉ ể ớ ạ ủ , t c là đi m nghi ứ ểng có c c tr .ờ ự ị

M t khác:ặ 2 23( , ) (0,0) 0, ( , )f f x y f x y x y= - = + "D ³

T c là (0,0) là đi m c c ti u c a hàm.ứ ể ự ể ủ

H n n a, f(0,0) = 0 nên ta cóơ ữ

fct = fmin = f(0,0)


Ví d : Kh o sát c c tr c a hàmụ ả ự ị ủ

f(x,y) = x4 + y4 – x2 – y2 – 2xy

Gi i : ảTìm đi m d ng : ể ừ

3

3

4 2 2 0

4 2 2 0

x

y

f x x y

f y x y

ì ¢= - - =ïïíï ¢= - - =ïîTa đ c 3 đi m d ng ượ ể ừ M1(1,1), M2(-1,-1), M3(0,0)

Các đ o hàm riêng đ n c p 2 :ạ ế ấ

f”xx = 12x2 – 2, f”xy = -2, f”yy = 12y2 - 2T i ạ M1(1,1), M2(-1,-1) :

C = 10 = A >0 , B = -2, Δ = 100 - 4 >0

Nên fct = f(1,1) = f(-1,-1) = -2


T i ạ M3(0,0): A = B = C = -2, Δ = 0.

Ta ph i ả xét d u ấ Δf = f(x,y)–f(0,0) = x4+y4–x2–y2–2xy, v i m i (x,y) g n v i (0,0) b ng cách ch n 2 đi mớ ọ ầ ớ ằ ọ ể

N1(1/n,1/n), N2(1/n,-1/n) và tính Δf(N1), Δf(N2)

2 2

2 1( 2) 0, 1n

n n= - < " >

1 4 2

1 1 2 4( ) ( , )f N f

n n n n= = -D D

2 2

1 1 2( ) ( , ) 0, 1f N f n

n n n= - = > " >D

Nh v y, ư ậ Δf đ i d u trong lân c n đi m d ng Mổ ấ ậ ể ừ 3 t c là hàm không đ t c c tr t i Mứ ạ ự ị ạ 3


Ví d : Cho hàm ụ f(x,y,z) = x3+xy+y2-2xz+2z2+3y-1. Đi m nào sau đây là c c tr c a hàm : Mể ự ị ủ 1(1,-2,1/2), M2(-1/2,-5/4,-1/4)

Gi i: ảTa ch c n ki m tra 2 đi u ki n :ỉ ầ ể ề ệ

1. Mi là đi m t i h n(v i hàm này, ch c n là đi m d ng )ể ớ ạ ớ ỉ ầ ể ừ

2. d2f(Mi) là xác đ nh d ng, âm hay không xác đ nhị ươ ị

1. M1, M2 là đi m d ng t c là chúng nghi m đúng h :ể ừ ứ ệ ệ23 2 0

2 3 0

2 4 0

x

y

z

f x y z

f x y

f x z

ì ¢= + - =ïïïï ¢= + + =íïïï ¢= - + =ïî


2. Tính d2f(x,y,z) = 6xdx2+2dxdy+2dy2-4dxdz+4dz2 và thay t ng đi m d ng vào đ xét d u d ng toàn ừ ể ừ ể ấ ạph ng : ươ

d2f(M1) = 6dx2+2dxdy+2dy2-4dxdz+4dz2 có ma tr nậ

1 2 3

6 1 2

1 2 0 , 6 0, 11 0, 36 0

2 0 4

A

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= = > = > = >D D D÷ç ÷ç ÷ç ÷ç-è ø

T c là ứ d2f(M1) là xác đ nh d ngị ươ , hàm đ t c c ti u ạ ự ểt i Mạ 1, fct = f(M1) = -9/2d2f(M2) = -3dx2+2dxdy+2dy2-4dxdz+4dz2

B ng cách nh trên (theo tiêu chu n Sylvester), ta ằ ư ẩcó k t lu n ế ậ hàm không đ t c c tr t i Mạ ự ị ạ 2

§6 : C c tr hàm nhi u bi n – C c tr có đi u ki nự ị ề ế ự ị ề ệ

N u v đ th , thì ta đ c ế ẽ ồ ị ượm t ph ng z = ặ ẳ 2 – 2x -2y, rõ ràng không có c c trự ị. Tuy nhiên, n u ta c t m t ế ắ ặph ng trên b i hình tr tròn ẳ ở ụxoay x2+y2 = 1 thì giao tuy n là 1 ellipse và khi đó ếhàm ban đ u có c c tr .ầ ự ị

Ví d : Xét hàm ụ f(x,y) = 2 – 2x -2y. Không khó khăn gì, ta th y hàm không có c c tr .ấ ự ị

Khi đó, ta nói hàm f có c c ựtr v i đi u ki n xị ớ ề ệ 2+y2 =1

Đi m c c ể ựti u là đi m ể ểth p nh t ấ ấ

Đi m c c ể ựđ i là đi m ạ ểcao nh tấ

§6 : C c tr hàm nhi u bi n – C c tr có đi u ki n ự ị ề ế ự ị ề ệ

Đ nh nghĩa c c tr có đi u ki nị ự ị ề ệ : Hàm f(x,y) đ c ượg i là đ t ọ ạ c c đ i ch t t i Mự ạ ặ ạ 0(x0,y0) v i đi u ki n ớ ề ệφ(x,y) = 0 n u ế Δf = f(x,y) – f(x0,y0)<0, v i m i M n m ớ ọ ằtrong hình c u B(Mầ 0,r) và th a đi u ki n trênỏ ề ệ

Thay d u ấ “<“ b i d u ở ấ “≤” ta đ c ượ c c tr không ch t ự ị ặcó đi u ki nề ệ , và l y d u ng c l i ta có khái ni m ấ ấ ượ ạ ệc c ti u có đi u ki nự ể ề ệ


Ví d : Tìm c c tr c a hàm ụ ự ị ủ f(x,y) = x2-9y2+3xy+6x-5 v i đi u ki n ớ ề ệ 2x – 3y = 0

Gi i : ả

T đi u ki n, ta rút ra ừ ề ệ y = 2/3x và thay vào hàm f: f(x,y) = x2-9(2/3x)2+3x(2/3x)+6x-5 = -x2+6x-5

T c là ta có hàm 1 bi n và đi tìm c c tr c a hàm 1 ứ ế ự ị ủbi n nh bình th ng.ế ư ườ

Tìm đi m d ng : ể ừ f’ = 0 -2x + 6 = 0 x = 3

V y hàm đ t c c đ i t i đi m d ng duy nh t (3,2)ậ ạ ự ạ ạ ể ừ ấ

fcđ = f(3,2) = 4


Tuy nhiên, h u h t các tr ng h p c c tr có đi u ầ ế ườ ợ ự ị ềki n, ta không d dàng rút ra y theo x ho c x theo y ệ ễ ặnh trên. Vì v y, ta s xây d ng cách tìm c c tr có ư ậ ẽ ự ự ịđi u ki n 1 cách t ng quát h n d a trên cách tìm ề ệ ổ ơ ực c tr t do nh sauự ị ự ưTa s gi thi t r ng đi u ki n ẽ ả ế ằ ề ệ φ(x,y) = 0 xác đ nh ịm t hàm n ộ ẩ y = y(x) t i lân c n đi m ạ ậ ể M0(x0,y0), t c là ứφ’y(x0,y0) ≠ 0.

Khi đó, ta thay y = y(x) vào hàm f, ta đ c hàm 1 ượbi n ế f(x,y(x)). N u hàm ế f(x,y) đ t c c tr t i Mạ ự ị ạ 0 v i ớđi u ki n ề ệ φ(x,y) = 0 thì theo đ nh lý Fermat ta có ị


(1)

M t khác, t đi u ki n ặ ừ ề ệ φ(x,y) = 0, ta cũng có φ’x(x0,y0)+y’x(x0)(x0,y0) = 0 (2)

Nhân 2 v (2) v i ế ớ λ, r i c ng v i (1), ta đ cồ ộ ớ ượ

[f’x(x0,y0)+ λφ’x(x0,y0)]+y’x(x0)[f’x(x0,y0)+ λφ’x(x0,y0)] = 0

Vì φ’y(x0,y0) ≠ 0 nên ta có th tìm đ c h ng s ể ượ ằ ố λ0 sao cho :

0 0 0 0 0 0( ) 0 ( , ) ( ) ( , ) 0x y

dfx f x y y x f x y

dx¢ ¢ ¢= + =Û

Thay vào đ ng th c trên, ta cũng đ c ẳ ứ ượ

0 00 0 0 0 0 0

0 0

( , )( , ) ( , ) 0

( , )y

y yy

f x yf x y x y

x yl l j

j

¢¢ ¢= - + =Û

¢(3)


f’x(x0,y0) + λ0φx(x0,y0) = 0 (4)

K t h p đi u ki n ế ợ ề ệ φ(x,y) = 0 v i các đ ng th c (3), ớ ẳ ứ(4) ta đ c h pt : ượ ệ

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

x x

y y

f x y x y

f x y x y

x y

l j

l j

j

ì ¢ ¢+ =ïïïï ¢ ¢+ =íïïï =ïî

Ta đ t hàm ặ L(x,y) = f(x,y)+λφ(x,y) thì hpt tr thành ở

Và x0, y0, λ0 là 1 nghi m c a hệ ủ ệ

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

x

y

L x y

L x y

x yj

ì ¢ =ïïïï ¢ =íïïï =ïî


V y ta có đi u ki n c n c a c c tr có đi u ki n :ậ ề ệ ầ ủ ự ị ề ệ

Đ nh lýị : Cho hàm f(x,y), φ(x,y) có các đhr liên t c ụtrong lân c n c a đi m Mậ ủ ể 0(x0,y0), φ’x(x0,y0) ≠ 0 ho c ặφ’x(x0,y0) ≠ 0. Khi đó, hàm f(x,y) có c c tr v i đi u ự ị ớ ếki n ệ φ(x,y) = 0 t i Mạ 0 thì t n t i s ồ ạ ố λ sao cho

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

x x

y y

f x y x y

f x y x y

x y

l j

l j

j

ì ¢ ¢+ =ïïïï ¢ ¢+ =íïïï =ïî

S ố λ đ c g i là nhân t Lagrange, hàm L(x,y) trên ượ ọ ử ởđ c g i là hàm Lagrange, đi m Mượ ọ ể 0(x0,y0) là nghi m ệc a h g i là đi m d ngủ ệ ọ ể ừ


Đ nh lýị : (Đi u ki n đ c a c c tr có đi u ki n)ề ệ ủ ủ ự ị ề ệ Gi ảs các hàm ử f(x,y), φ(x,y) có các đhr đ n c p 2 liên ế ất c trong lân c n c a đi m d ng Mụ ậ ủ ể ừ 0(x0,y0) ng v i ứ ớλ = λ0. Khi đó, ta có các k t lu n:ế ậ

1.N u dế 2f(x0,y0) là xác đ nh d ng thì Mị ươ 0 là đi m c c ể ựti uể

2.N u dế 2f(x0,y0) là xác đ nh âm thì Mị 0 là đi m c c đ iể ự ạ

3.N u dế 2f(x0,y0) là không xác đ nh hàm không đ t ị ạc c tr t i Mự ị ạ 0


Cách tìm c c tr c a hàm ự ị ủ f(x,y) v i đi u ki n ớ ề ệ φ(x,y) = 0

1.N u t pt ế ừ φ(x,y) = 0, ta rút ra y = y(x) ho c ặ x = x(y) thì thay vào hàm f đ đ c hàm 1 bi nể ượ ế

2.N u không th c hi n đ c nh trên thì ta làm theo ế ự ệ ượ ưph ng pháp nhân t Lagrangeươ ử

a.L p hàm Lagrange: ậ L(x,y) = f(x,y) + λφ(x,y)

b.Gi i hpt ả( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

x

y

L x y

L x y

x yj

ì ¢ =ïïïï ¢ =íïïï =ïî

Đ tìm đi m d ng ể ể ừM0(x0,y0) ng v i ứ ớ λ = λ0

c. Xét d u d ng toàn ph ng ấ ạ ươ d2f(x0,y0), v i ớ λ = λ0


Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y) = 6 - 4x + 2y v i đi u ớ ềki n ệ x2+y2 = 1

Gi i : ả1. L p hàm ậ L(x,y) = 6 - 4x +2y+λ(x2+y2-1)

2. Gi i hpt tìm đi m d ng ả ể ừ

2 2

4 2 0

2 2 0

1

x

y

x y

ll

ì - + =ïïïï + =íïïï + =ïî 2 2

2

32

1

x

y

x y

l

l

ìï =ïïïï =Û íïïï + - =ïïî

Thay x, y t 2 pt ừtrên xu ng pt ốcu i cùng. Ta ốđ c 2 đi m ượ ểd ng :ừ

M1(4/5,3/5), λ = λ1=5/2; M2(-4/5,-3/5) λ = λ2=-5/2


3. Tính vi phân c p 2 c a hàm L(x,y)ấ ủ

d2L(x,y) = L”xxdx2+2L”xydxdy+L”yydy2 = 2λdx2+2λdy2

4. Xét d u dấ 2f t i t ng đi m d ngạ ừ ể ừ

T i Mạ 1 v i ớ λ1=5/2, ta đ c ượ d2f(M1) = 5(dx2+dy2) là xác đ nh d ngị ươ , v y ậ fct = f(M1) = f(4/5,3/5) = 1

T i Mạ 2 v i ớ λ2 = -5/2, ta đ c ượ d2f(M2) = -5(dx2+dy2) là xác đ nh âmị , v y ậ fcđ = f(M2) = f(-4/5,-3/5) = 11


Ví d : Tìm c c tr hàm ụ ự ị f(x,y,z) = x - 2y + 2z v i đi u ớ ềki n ệ x2+y2+z2=1

Gi i : ả Ta cũng làm theo các b c nh v i hàm 2 bi nướ ư ớ ế

1.L p hàm L(x,y,z) = x-2y+2z+ậ λ(x2+y2+z2-1)

2. Tìm đi m d ng b ng cách gi i hptể ừ ằ ả

2 2 2

1 2

2 2

2 2

1

x

y

z

L x

L y

L z

x y z

l

l

l

ì ¢= +ïïïï ¢= - +ïïíï ¢= +ïïïï + + =ïî

2. Tìm đi m d ng b ng cách gi i hptể ừ ằ ả

2 2 2

1 2

2 2

2 2

1

x

y

z

L x

L y

L z

x y z

l

l

l

ì ¢= +ïïïï ¢= - +ïïíï ¢= +ïïïï + + =ïî

Ta đ c 2 đi m d ng ượ ể ừM1(1/3,-2/3,2/3) , λ1 = -3/2

M2(-1/3,2/3,-2/3) , λ2 = 3/2

3. Tính d2f = 2λ(dx2+dy2+dz2),

4. Xét t i t ng đi m d ngạ ừ ể ừ


d2f(M1) = -3(dx2+dy2+dz2) – xác đ nh d ng nên ị ươ

fct = f(M1) = f(1/3,-2/3,2/3) = 3

d2f(M2) = 3(dx2+dy2+dz2) – xác đ nh âm nên ịfcđ = f(M2) = f(-1/3,2/3,-2/3) = -3


Ví d : Tìm c c tr hàm f(x,y) = xụ ự ị 2+2y2+12xy v i đi u ớ ềki n 4xệ 2+y2 = 25

Gi i: ả L(x,y) = x2+2y2+12xy+λ(4x2+y2 - 25)

T (1) và (2) ta tính ừ λ theo x và y, cho b ng ằnhau đ tìm ra m i ể ốliên h gi a x và yệ ữ

2 26 6 224 7 6 0 (4)

4x y x y

x xy yx y

l+ +

=- =- + - =Þ

Pt (4) là pt đ ng c p đ i v i x, yẳ ấ ố ớ ; ta gi i b ng cách ả ằđ t ặ y = tx đ đ c ph ng trìnhể ượ ươ

Tìm đi m d ng :ể ừ

2 2

2 12 8 (1)

4 12 2 (2)

4 25 (3)

x

y

L x y x

L y x y

x y

l

l

ì ¢= + +ïïïï ¢= + +íïïï + =ïî


24x2+7x.tx-6(tx)2 = 0 -6t2+7t+24 = 0 3

28

3

t

t

é=-êêê=êë

Suy ra 3

28

3

y x

y x

é =-êêê =êë

Ta thay vào pt (3), r i tính ồλ t ng ng đ đ c 4 ươ ứ ể ượđi m d ngể ừ

M1(2,-3) và M2(-2,3) v i ớ λ = 2,

M3(3/2,4) và M4(-3/2,-4) v i ớ λ = -17/4

Tính d2L = L”xxdx2+L”yydy2 +2L”xydxdy

d2L = (2+8λ)dx2+(4+2λ)dy2+24dxdy

Ta s xét t i 2 đi m d ng m t l n vì cùng chung ẽ ạ ể ừ ộ ầ λ

T i Mạ 1 và M2 : d2L=18dx2+24dxdy+8dy2 = 2(3dx+2dy)2


Đ n đây, ta ch a th k t lu n v d u c a dế ư ể ế ậ ề ấ ủ 2f nên ta s s d ng đi u ki n ẽ ử ụ ề ệ φ(x,y) = 0 b ng cách ằ l y vi phân ấ2 v : ế φ’xdx+φ’ydy=0 và thay giá tr x, y t i đi m d ng ị ạ ể ừđang xét đ tìm thêm m i liên h gi a dx và dyể ố ệ ữ

8xdx+2ydy = 0T : 4xừ 2+y2 = 25 Thay x=2 và y=-3 (đi m Mể 1) ho c ặ x=-2 và y=3 (đi m Mể 2) vào trên ta đ c :ượ 8dx = 3dy Suy ra: d2L(M1) = d2L(M2) = 225/4dx2 - xác đ nh d ng ị ươ

T ng t khi xét d u dươ ự ấ 2L t i Mạ 3 và M4.

V y : ậ fcd = f(2,-3) = f(-2,3) = -26,

fct = f(3/2,4) = f(-3/2,4) = -151/4


Ví d : Dùng c c tr đ tìm kho ng cách t g c t a đ ụ ự ị ể ả ừ ố ọ ộđ n đ ng th ng là giao tuy n c a 2 m t ph ng : ế ườ ẳ ế ủ ặ ẳ x+y = 6, y+z = 12

Gi iảKho ng cách t g c t a đ O đ n đi m M(x,y,z) b t kỳ ả ừ ố ọ ộ ế ể ấlà 2 2 2( , )d O M x y z= + +

Kho ng cách t g c t a đ O đ n đi m M(x,y,z) b t kỳ ả ừ ố ọ ộ ế ể ấlà 2 2 2( , )d O M x y z= + +

T c là ta có bài toán: Tìm c c tr hàm ứ ự ịf(x,y,z)=x2+y2+z2 v i 2 đi u ki n ớ ề ệ x+y = 6 và y+z = 12 Ta có làm b ng 2 cách : ằCách 1: Thay x = 6-y, z = 12-y vào hàm f đ đ c ể ượhàm 1 bi n y và tìm c c trế ự ị

Cách 2: Dùng hàm Lagrange v i 2 đi u ki nớ ề ệ


L(x,y,z) = f(x,y,z) + λφ(x,y,z) + μψ(x,y,z)L(x,y,z) = x2+y2+z2+λ(x+y-6)+μ(y+z-12)

Tìm đi m d ng b ng cách gi i hptể ừ ằ ả0

0

0

( , , ) 0

( , , ) 0

x

y

z

L

L

L

x y z

x y z

jy

ì ¢=ïïïï ¢=ïïïï ¢=íïï =ïïïï =ïïî

2 0

2 0

2 0

6

12

x

y

z

L x

L y

L z

x y

y z

l

l m

m

ì ¢= + =ïïïï ¢= + + =ïïïï ¢= + =Û íïï + =ïïïï + =ïïî

Ta đ c 1 ượđi m ểd ng ừM(0,6,6) v i ớ λ = 0, μ = -12

Tính d2L=2(dx2+dy2+dz2) xác đ nh d ng t i m i ị ươ ạ ọđi m nên ta đ c ể ượ fct = f(0,6,6) = 72 . V y kho ng ậ ảcách nh nh t c n tìm là ỏ ấ ầ 6√2

§6 : C c tr hàm nhi u bi n – GTLN GTNNự ị ề ế

Đ nh nghĩaị : Cho hàm f(x,y) xác đ nh trong mi n D ị ềđóng và b ch n. Hàm f đ c g i là đ t ị ặ ượ ọ ạ giá tr l n ị ớnh t (GTLN)ấ t i đi m ạ ể 0 0 0( , )M x y DÎ n u ế

0 0( , ) ( , ), ( , )f x y f x y x y D"£ Î và fmax = f(x0,y0)

Đ nh lý Weierstrassị : N u hàm ế f(x,y) liên t c trên t p ụ ậđóng và b ch n D thì ị ặ f đ t GTLN, GTNN trên Dạ

Thay d u ≤ b i d u ≥ấ ở ấ trong đ nh nghĩa trên ta có ịkhái ni m ệ giá tr nh nh tị ỏ ấ (GTNN) c a hàm trên ủmi n đóng Dề

Nh c l i r ngắ ạ ằ : T p D đóng t c là D ch a biên c a ậ ứ ứ ủnó, và D b ch n t c là t n t i 1 hình c u m B(Mị ặ ứ ồ ạ ầ ở 0,r) sao cho 0( , )D B M rÎ

Nh v y, đ tìm GTLN, GTNN c a hàm ư ậ ể ủ f(x,y) trên mi n đóng D ta làm nh sau :ề ư

1. Tìm đi m các đi m d ng Mể ể ừ 1, M2, … và là các đi m ểtrong c a D. Tính giá tr c a hàm t i các đi m d ng ủ ị ủ ạ ể ừđó2. Tìm các đi m d ng trên biên c a D t c là đi m ể ừ ủ ứ ểd ng c a hàm f th a đi u ki n là ph ng trình biên ừ ủ ỏ ề ệ ươD. Tính giá tr hàm f t i các đi m d ng đó.ị ạ ể ừ

3. So sánh giá tr c a hàm f t i các đi m d ng trong ị ủ ạ ể ừvà trên biên c a D đ tìm ra GTLN, GTNN c a hàm ủ ể ủf trên mi n D.ề


Ví d : Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c aụ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ f(x,y) = (x-6)2+(y+8)2 th a đi u ki n ỏ ề ệ x2+y2 ≤ 25


Gi i: ảMi n D là hình tròn, bao ềg m c đ ng tròn tâm ồ ả ườO(0,0) bán kính r = 5Tìm đi m d ng trong ể ừhình tròn t c là gi i hptứ ả

2 2

2( 6) 0

2( 8) 0

25

x

y

f x

f y

x y

′ = − = ′ = + = + <2 pt trên cho ta nghi m x = 3, y = -4, không th a b t ệ ỏ ấđ ng th c t c là trong D không có đi m d ngẳ ứ ứ ể ừ


Tìm đi m d ng trên ể ừbiên D t c là tìm đi m ứ ểd ng có đi u ki n ừ ề ệb ng cách l p hàm ằ ậLagrange

L(x,y) = f(x,y) + λ(x2+y2-25)

và gi i hptả

2 2

2( 6) 2 0

2( 8) 2 0

25

x

y

L x x

L y y

x y

λλ

′ = − + = ′ = + + = + =

Ta đ c 2 đi m d ng trên ượ ể ừbiên M1(-3,4), M2(3,-4)

(-3,4)

(3,-4)

Ta tính giá tr c a f t i 2 đi m d ng trên và so sánh ị ủ ạ ể ừta đ c ượ fmax = f(-3,4) = 225, fmin=f(3,-4) = 25


Ví d : Tìm GTLN GTNN c a hàm ụ ủ f(x,y) = x2+y2-xy trong mi n |x| + |y| ≤ 1ề

Gi i: ả

Tr c h t, ta xác đ nh mi n D là ướ ế ị ềhình vuông ABCD nh hình vư ẽ

D(0-1)

C(-1,0)

B(0,1)

A(1,0)Tìm đi m d ng trong hình ể ừvuông b ng cách gi i hptằ ả

2 0

2 0x

y

f x y

f y x

′ = − = ′ = − =

Ta đ c đi m d ng ượ ể ừ M1(0,0)

Tìm đi m d ng trên biên t c là l n l t trên 4 c nh ể ừ ứ ầ ượ ạAB, BC, CD, DA c a hình vuôngủ


D(0-1)

C(-1,0)

B(0,1)

A(1,0)

Trên c nh AB v i ph ng ạ ớ ươtrình x+y = 1 ↔ y = 1-xThay vào hàm f ta đ c ượf = x2+(1-x)2-x(1-x) = x2-x+1

T ng t trên 3 c nh còn l i ta đ c 3 đi m d ng l n ươ ự ạ ạ ượ ể ừ ầl t là Mượ 3(-1/2,1/2), M4(-1/2,-1/2), M5(1/2,-1/2)

f’=2x-1=0↔x=1/2 ta đ c ượđi m d ng Mể ừ 2(1/2,1/2)

M2(1/2,1/2)

Cu i cùng, ta tính giá tr c a hàm t i 5 đi m d ng v a ố ị ủ ạ ể ừ ừtìm: f(M1)=0, f(M2) = f(M4) = 1/4, f(M3) = f(M5) = 3/4

Và t i 4 đi m đ c bi tạ ể ặ ệ : f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1

V y: ậ fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = 0

1. Tìm đi m d ng trong ể ừmi n D :ề

2 00

2 0

x

x

f xx y

f y

′ = = ⇔ = =′ = =


2 2( 1) ( 2) 5:

2 4

x yD

x y

− + − ≤

+ ≥

Ví d : Tìm GTLN, GTNN c a hàm f(x,y) = xụ ủ 2+y2 trên mi nề

Gi i: ảTr c tiên, ta xác đ nh ướ ịmi n D là ph n hình tròn ề ần m trên đ ng th ng ằ ườ ẳ

I(1,2)

B(0,4)

A(2,0)

Ta không nh n đi m này vì ậ ể nó n m ngoài mi n Dằ ề

2. Tìm đi m d ng trên biên c a D g m 2 đ ng : ể ừ ủ ồ ườđo n th ng AB và n a trên đ ng tròn ACBạ ẳ ử ườ .


Trên đo n th ngạ ẳ , ta có đi u ềki n: ệ 2x+y = 4 ↔ y = -2x+4 , 0≤x≤2

thay vào hàm f ta đ c ượ f = x2+(2x-4)2 = 5x2-16x+16

Trên n a đ ng trònử ườ , ta l p ậhàm Lagrange

L(x,y) = x2+y2+λ((x-1)2+(y-2)2-5)

Cho ta 1 đi m d ng ể ừM1(8/5,4/5)

M1

I(1,2)

B(0,4)

A(2,0)

2 2

2 2 ( 1) 00, 0

2 2 ( 2) 02, 4, 2

( 1) ( 2) 4

x

x

L x xx y

L y yx y

x y

λλ

λλ

′ = + − = = = = ′ = + − = ⇔ = = = − − + − =


Tìm đi m d ng: ể ừTa lo i đi m (0,0) ạ ểvì n m d i đ ng ằ ướ ườth ng và nh n ẳ ậđi m Mể 2(2,4)

M1

I(1,2)

B(0,4)

A(2,0)

M2Cu i cùng, ta ố tính giá tr f ịt i 2 đi m đ c bi tạ ể ặ ệ và t i ạ2 đi m d ng ể ừf(M1) = 80/25, f(M2) = 20, f(A) = 4, f(B) = 16và so sánh đ đ cể ượ

fmax=f(2,4)=20, fmin = f(8/5,4/5) = 80/25

chuong 1 dh va vp phan2 8022

Documents