chương 1. sách tcc 2

8/19/2019 Chương 1. Sách TCC 2

1/52

TS. DƯƠNG VIỆT THÔNG (Chủ biên)

NGUYỄN XUÂN TIỆP NGUYỄN VĂN QUÝ

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

MÔN TOÁN CAO CẤP 2 (Ví dụ và lờ i giải)

(Sách dùng cho sinh viên hệ cao đẳ ng, đại họ c khố i ngành Kinh tế và K ỹ thuậ t)

HÀ NỘI – 2016


2/52

MỤC LỤC

Lời nói đầu Trang

PHẦN I: HỆ THỐNG KIẾN THỨ C

Chương 1: Hàm số và giớ i hạn

Bài 1: Hàm số

Bài 2: Dãy số và giớ i hạn

Bài 3: Giớ i hạn và hàm số

Bài 4: Hàm số liên tục

Chương 2: Đạo hàm và vi phân

Bài 1: Đạo hàm của hàm số

Bài 2: Vi phân của hàm số

Bài 3: Các định lý cơ bản về hàm số khả vi

Bài 4: Khai triển Taylor

Bài 5: Ứ ng d ụng của đạo hàm

Bài 6: Ứ ng d ụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế

Chương 3: Hàm số nhiều biến số

Bài 1: Các khái niệm cơ bản

Bài 2: Hàm số liên tục


3/52

Bài 3: Đạo hàm riêng và vi phân

Bài 4: Hàm thuần nhất

Bài 5: Hàm số ẩn

Chương 4: Cự c trị của hàm nhiều biến số

Bài 1: Cực tr ị không có điều kiện ràng buộc

Bài 2: Cực tr ị có điều kiện ràng buộc

Bài 3: Ứ ng d ụng bài toán cực tr ị trong phân tích kinh tế

Chương 5: Phép toán tích phân

Bài 1: Tích phân bất định

Bài 2: Tích phân xác định

Bài 3: Tích phân suy r ộng

Bài 4: Ứ ng d ụng của tích phân

Chương 6: Phương tr ình vi phân

Bài 1: Phương tr ình vi phân cấ p 1

Phần II: Một số dạng đề thi môn Toán cao cấp 2 và lờ igiải

Phần III: Một số đề thi Olympic Toán sinh viên

Trường Đại học KTQD môn Giải tích

Tài liệu tham khảo


4/52

TS. Dươ ng Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệ p – Nguyễn Văn Quý

1

Lời nói đầu

Chương tr ình Toán cao cấ p giảng d ạy cho sinh viên kinh tế đượ c chia thành 2 phần:Phần 1: Đại số tuyến tính và Phần 2: Giải tích toán học. Việc học ngay trong những năm

đầu tiên khiến nhiều sinh viên còn bỡ ngỡ và gặp khó khăn trong việc học cũng nhưgiành k ết quả tốt trong k ỳ thi học k ỳ.

Vì vậy, r ất cần một cuốn tài liệu giúp sinh viên có thể hệ thống về môn học mộtcách đầy đủ từ cơ bản đến nâng cao, cũng như tự kiểm tra kiến thức trướ c k ỳ thi, hìnhdung đượ c mức độ của một đề thi học k ỳ môn Toán cao cấp và đạt k ết quả như mongmuốn trong các k ỳ thi. Vớ i mục đích đó, tiế p theo cuốn sách “H ệ thố ng kiế n thứ c môn toán cao cấ p 1” đã đượ c xuất bản, chúng tôi viết tiế p cuốn “H ệ thố ng kiế n thứ c môn toán cao cấ p 2”.

Cuốn sách viết d ựa trên khung chương trình môn học Toán cao cấ p 2 của Trường Đạihọc Kinh tế Quốc dân. Để cuốn sách không bị nhàm chán và phù hợ p vớ i tất cả các bạnsinh viên trung bình, khá giỏi, các bạn sinh viên yêu thích môn Toán và cũng như những aimuốn tìm hiểu sâu hơn về môn Toán cao cấ p 2, chúng tôi cố gắng đưa vào cuốn sáchnhững ví d ụ, những câu hỏi hay gặp trong các đề thi k ết thúc môn học và cả những ví d ụ,những bài tập khó để cho những sinh viên muốn đạt điểm 9,10 trong k ỳ thi học k ỳ k ết thúcmôn học.

Vớ i những ý tưở ng trên, chúng tôi chia cuốn sách thành 3 phần:

Phầ n I. Tóm tắt lý thuyết và ví dụ

Chúng tôi tóm tắt lý thuyết và đưa ra rất nhiều ví d ụ, câu hỏi từ d ễ đến khó mà các bạn hay gặ p trong các k ỳ thi.

Phầ n II. Giớ i thiệu một số dạng đề thi hết môn học

Phầ n III . Giớ i thiệu mốt số đề thi Olympic giải tích cấp Trườ ng

Chúng tôi hi vọng cuốn sách sẽ góp phần giúp các bạn sinh viên năm thứ nhấtcác khối Trườ ng Kinh tế đạt k ết quả cao trong k ỳ thi hết học phần môn học.

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản- Khoa Toán kinh tế đã động viên, ủng hộ tác giả hoàn thành cuốn sách này. Cuốn sáchchắc chắn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong đợ i sự đóng góp của các bạn sinh viên, các bạn đồng nghiệp để cuốn sách đượ c hoàn thiện hơn.

Tác giả


5/52


2

PHẦN I. HỆ THỐNG KIẾN THỨ C

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚ I HẠN

§1. Hàm số

1.1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số

1.1.1. Biến số

a. Khái niệm

Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một số bất k ỳ thuộc tậ p số X ,

X cho tr ướ c.

Tậ p số X đượ c gọi là miền biến thiên và mỗi giá tr ị ox X đượ c gọi là giá tr ị của

biến số đó. b. Các biến số trong kinh tế

Ta có một vài biến số trong kinh tế hay dùng dưới đây:

P : Biến giá Q: Sản lượ ng

sQ : Lượ ng cung K: Tư bản

d Q : Lượ ng cầu L: Lao động

U: Lợ i ích TC: Tổng chi phí

: Lợ i nhuận TR: Tổng doanh thu

1.1.2. Quan hệ hàm số

a. Khái niệm hàm số

Định ngh ĩa 1.1. Một hàm số f là một quy tắc biến mỗi phần tử x thuộc tậ p D

thành một phần tử duy nhất y .

Ký hiệu: f : D

f x y (x)


6/52


3

Tậ p D đượ c gọi là miền xác định của hàm số f , x là biến số độc lậ p, y đượ c gọi là hàm

số của biến số x.

Ví dụ 1.1. f : 3f x y (x) x

b. Miền xác định, miền giá trị, đồ thị của hàm số dạng biểu thứ c

Cho hàm số d ạng biểu thức f y (x). Khi đó ta có các định ngh ĩa sau:

Miền xác định của hàm số: D := { x | f(x) có ngh ĩa}

Miền giá tr ị của hàm số: f D Y := y (x) x

Đồ thị của hàm số: 2

f D G := x, (x) x

Ví dụ 1.2. Cho hàm số 2f (x) x x 1 . Tìm miền xác định và miền giá tr ị của hàm

số.

Giải. Điều kiện: 21 5 1 5

x x 1 0 x2 2

Miền xác định của hàm số:1 5 1 5

D ;2 2

.

Ta có: 2f (x) x x 1 0 x D và2

1 5 5f (x) x x D.

2 4 2

Miền giá tr ị của hàm số:5

0; .2

Ví dụ 1.3. Cho hàm số 2y f (x) x . Tìm miền xác định và miền giá tr ị và vẽ đồ thị của

hàm số.

Giải.

Miền xác định: D

Miền giá tr ị: 0;


7/52


4

Đồ thị:

1.3. Hàm số ngượ c

a. Khái niệm

Cho hàm số f y (x) vớ i miền xác định D và miền giá tr ị Y. Giả sử mỗi y Y có

duy nhất x D sao cho f y (x) . Khi đó ta xác định đượ c một hàm số 1f : Y D

1y x f (y).

Hàm số 1f được xác định như trên đượ c gọi là hàm số ngượ c của hàm số f .

Ví dụ 1.4. Cho hàm số 3f (x) x , ta có miền xác định của hàm số là và miền giá tr ị là

. Khi đó, vớ i mọi y phương tr ình y f (x) có nghiệm duy nhất 3x y. Ngh ĩa là,

một giá tr ị y thuộc miền giá tr ị của hàm số cho một giá tr ị duy nhất x. Vậy hàm số có

hàm ngượ c 1 3x f (y) y hay viết lại là 1 3f (x) x.

Ví dụ 1.5. Cho hàm số 2y f (x) x hàm số có miền xác định là R và miền giá tr ị là

0, . Ta có, vớ i mọi y 0, phương tr ình y f (x) x y. Ngh ĩa là, mỗi y

thuộc miền giá tr ị của hàm số cho hai giá tr ị của x thuộc miền xác định. Vậy hàm số

không có hàm ngượ c.

b. Tính chất

Cho hàm số y f (x) có miền xác định là D, miền giá tr ị là Y và có hàm số ngượ c là

1f . Khi đó:

Tính chất 1. 1f : Y D.


8/52


5

Tính chất 2. Do y f (x) và 1x f (y) ta có:

1) x f f (x) x D.

+) 1y f f (y) y Y.

b. Hàm ngượ c của các hàm số lượ ng giác

▪ Hàm số y sin x , nếu x ;2 2

và y 1;1 thì hàm số y sin x có hàm số

ngượ c và hàm số ngược đượ c ký hiệu là: y arcsin x vớ i x 1,1], y ; .2 2

[

▪ Hàm số y cos x, nếu

x 0; và

y 1;1 thì hàm số y cos x có hàm số

ngượ c và hàm số ngược đượ c ký hiệu là: y arccos x vớ i 1;1 , 0 .x y ;

▪ Hàm số y tan x, nếu x ;2 2

và y thì hàm số y tan x có hàm số

ngượ c và hàm số ngược đượ c ký hiệu là: y arctan x vớ i x , y ; .2 2

▪ Hàm số y cot x, nếu x 0; và y thì hàm số y cot x có hàm số ngượ c

và hàm số ngược đượ c ký hiệu là: y arccot x vớ i x , y 0; .

Chú ý: Nếu ta sử d ụng tính chất của hàm số ngượ c ta có các công thức sau:

1. sin arcsin x x x 1;1 .

2. ) x x ; .2 2

arcsin(sinx

3. cos arccos x x x 1;1 .

4. ) x x 0; . arccos(cosx

Ví dụ 1.6. Chứng minh r ằng ccos x 1,1 .2

arcsinx + ar x =

Giải. Ta có


9/52


6

arcsin x arccos x x 1,12

ccos x 1,1 .2

arcsinx = ar x

Đặt t ccos x 1,1 .2

= ar x Khi đó t ,

2 2

và x 1,1 ta có:

sin t sin ccosx cos ccosx x.2

ar ar

Vớ i t ,2 2

và x 1,1 từ phương tr ình sin t x t arcsin x.

Ví dụ 1.7. Tìm miền xác định của các hàm số

a) y arcsin 1 x log log x .

b) xy cot x arccos 2 .

Giải.

a) Điều kiện

1 x 1,1 x 0,2

x 1,2 .log x 0 x 1

MXĐ: 1,2 .

b) Điều kiện

x x 02 1,1x ,0 .

x k , k x k. , k

\

MXĐ: ,0 \ .

Ví dụ 1.8. Gọi 1f là hàm ngượ c của hàm số f. Hãy viết biểu thức 1f (x) trong các

trườ ng hợ p sau:

a) f (x) ax b, x a 0 .


10/52


7

b) 1 x

f (x) , x 1.1 x

Giải.

a) Hàm số f (x) ax b có miền xác định: và miền giá tr ị: .

Vớ i mỗi y , giải phương tr ình:

b yy f (x) y a x b x .

a a

Vậy hàm số có hàm số ngượ c 1 b y

f (y) x ,a a

hay ta ký hiệu lại:1 x b

f (x) .a a

b)

Vớ i mỗi y thuộc miền giá tr ị của hàm số. Ta giải phương tr ình:

1 x 2y f (x) y 1

1 x 1 x

2 2 2y 1 1 x x 1 .

1 x 1 y 1 y

Vậy hàm s

ố có hàm s

ố ngượ

c

1 1 y

f (y) , y 11 y

hay:

11 x

f (x) , x 1 .1 x

2. Hàm số sơ cấp

2.1 Các hàm số sơ cấp cơ bản

Các hàm số sau đây đượ c gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.

1. f (x) C, (hàm số nhận giá tr ị không đổi C vớ i mọi x)

2. Hàm số lũy thừa: f (x) x const

3. Hàm số mũ: xf (x) a (a > 0 và a 1 )

4.

Hàm số logarit: af (x) log x (a > 0 và a 1 )


11/52


8

5. Các hàm số lượ ng giác:

f (x) sin x, f (x) cos x, f (x) tan x, f (x) cot x

6.

Các hàm số lượng giác ngượ c:f(x) arcsinx, f(x) arccosx, f(x) arctanx, f(x) arccotx

1.2

Các phép toán sơ cấp vớ i hàm số

Các phép toán sơ cấ p là: phép cộng, phép tr ừ, phép nhân, phép chia và phép hợ p hàm.

▪ Nếu f(x) và g(x) là các hàm số được cho dướ i d ạng biểu thức thì các biểu thức:

f(x)f (x) g( ), f (x) g(x), f (x)g( ),

g(x) x x

đượ c gọi tương ứng là tổng, hiệu, tích, thương của f(x) và g(x).▪ Phép hợ p hàm: Cho hai hàm số f : D X và : X Y. Khi đó hợ p của hai hàm số

f và đượ c ký hiệu là f và được xác định như sau:

f : D Y

x f x f x .

Ví dụ 1.9.

Hàm số 1

g(x)ln x

là hàm hợ p của hai hàm số f (x) ln x và1

(x) .x

1.3 Các hàm số sơ cấp

Ta gọi hàm số sơ cấ p là hàm số được cho dướ i d ạng một biểu thức hữu hạn, tức là

một biểu thức đượ c hợ p thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản nói trên thông qua một số hữu

hạn các phép toán sơ cấ p vớ i hàm số.

Trong kinh tế học, người ta thườ ng hay sử d ụng các d ạng hàm số sau:

Hàm số f (x) ax (a và là các hằng số )

Hàm số mũ và hàm logarit:x

af (x) a , f (x) log x ( a 0 và a 1 )


12/52


9

Hàm đa thức:2 n

0 1 2 nf (x) a a x a x ... a x

Hàm phân thức:P(x)

f(x)Q(x)

,

trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

3. Một số đặc trưng của hàm số

3.1. Hàm số đơn điệu

Cho hàm số f : . D Khi đó:

Nếu 1 2x ,x D, 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) thì hàm số f đượ c gọi là đơn điệu tăng

trên D.

Nếu 1 2x ,x D, 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) thì hàm số f đượ c gọi là đơn điệu giảm

trên D.

Nếu 1 2x ,x D, 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) thì hàm số f đượ c gọi là tăng ngặt trên D.

Nếu 1 2x ,x D, 1 2 1 2x x f (x ) f (x ) thì hàm số f đượ c gọi là giảm ngặt trên D.

3.2. Hàm số bị chặnCho hàm số f : . D Khi đó:

Hàm số f đượ c gọi là bị chặn dướ i nếu tồn tại m sao cho: f (x) m x D.

Hàm số f đượ c gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho: f (x) M x D.

Hàm số f đượ c gọi là bị chặn nếu tồn tại m,M sao cho:

m f (x) M x D.

3.3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số f : . D Khi đó:

Hàm số f là hàm số chẵn trên D nếu:


13/52


10

x D x D

f ( x) f (x)

Hàm số f là hàm số chẵn trên D nếu:

x D x D

f ( x) f (x)

3.4. Hàm số tuần hoàn

Cho hàm số f : . D Hàm số f đượ c gọi là hàm tuần hoàn vớ i chu k ỳ T nếu

f (x T) f (x) x D.

Định ngh ĩa 1.2. Chu k ỳ dương và nhỏ nhất đượ c gọi là chu k ỳ cơ bản của hàm số.

Ví dụ 1.10. Cho hàm số

x

1 khi laøsoáhöõu ty û;f(x)=

0 khi x laøsoávoâtyû.

Chứng minh r ằng hàm f(x) là một hàm số tuần hoàn vớ i chu k ỳ T, vớ i T là một số hữu

tỷ bất k ỳ.

Giải.

Nếu x f (x) 1

T x T

f (x T) 1 f (x).

Nếu x f (x) 0 \

T x T I

f (x T) 0 f (x).

Vậy f (x T) f (x) x nên ta có đpcm.

Ví dụ 1.11. Chứng minh r ằng hàm số 2 1f(x) x 2 3

x đơn điệu tăng trong khoảng

, 1 và đơn điệu giảm trong khoảng 1, .

Giải.


14/52


11

Xét 1 2x ,x , 1 và 1 2x x .

Ta có : 2 2

2 1 2 1x 1 x 1 0 x 1 x 1

2 22 22 2 2 1 2 2x 2 3 x 1 2 x 1 2 x 2 3 0 x x

2 12 22 2 1 1

1 1hay f (x ) f ( ).

x 2 3 x 2 3

x

x x

Từ đó f(x) là đơn điệu tăng trong khoảng , 1 .

Chứng minh f(x) đơn điệu giảm trong khoảng 1, là hoàn toàn tượ ng tự.

§2. Dãy số và giớ i hạn

2.1. Dãy số

a. Khái niệm

Ta gọi một hàm số từ tậ p số tự nhiên vào tậ p số thực là một dãy số. Thay cho ký

hiệu: x :

x(n) n

ta thườ ng ký hiệu dãy số như sau: nx hoặc nx . Vớ i mỗi nn N, x đượ c gọi là số

hạng thứ n của dãy.

Một dãy số sẽ được xác định khi biết số hạng tổng quát nx của nó. Chẳng hạn

n1

xn

là dãy:1 1 1

1, , ,... ,...2 3 n

, và n1

x sinn

là dãy:1 1

sin1,sin ,..., sin ,...2 n

b. Giớ i hạn của dãy số


15/52


12

▪ Giớ i hạn hữ u hạn

Định ngh ĩa 2.1. Dãy n(x ) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn a nếu 0 cho tr ướ c tồn

tại 0n

sao cho

n 0x a n n .

Ký hiệu: nnlim x a

hoặc nx a khi n .

Ý ngh ĩa của định ngh ĩa. Dãy số n(x ) có giớ i hạn hữu hạn a ngh ĩa là, từ chỉ số 0n nào

đó trở đi nx gần a một cách tùy ý.

Ví dụ 2.2. Chứng minhn

1lim 0.

n 1

Giải.

0 để 1

0n 1

1 1n 1.

n 1

Từ đó, 0 ta chọn 01 1

n 1,

khi đó:

0

10 n n .

n 1

Như vậy,n

1lim 0.

n 1

Ví dụ 2.3. Chứng minhn

1lim sin 0.

n

Giải.

0 để 1 1

sin 0 sinn n

1

n .

Từ đó, 0 ta chọn 01 1

n 1 ,

khi đó:

0

1sin 0 n n .

n


16/52


13

Vậyn

1lim sin 0.

n

Ví dụ 2.4. Sử d ụng định ngh ĩa, hãy chứng minh:

a)

n

n 1lim .

3n 2 3

b) 2n

nlim 0.

5n 1

Giải.

a) 0 để

n 1 2 1 1n .

3n 2 3 3 3n 2 n

Vậy vớ i mọi 0 chọn 01

n 1,

khi đó

0

n 1n n .

3n 2 3

Suy ran

n 1lim .

3n 2 3

b) 0 để 2n 1 1

.5n 1 5n n

Vậy vớ i mọi 0 chọn 01

n 1,

khi đó

02

n0 n n .

5n 1

Suy ra2n

nlim 0.

5n 1

▪ Giớ i hạn vô hạn

Định ngh ĩa 2.2. Dãy n(x ) đượ c gọi là có giớ i hạn khi n nếu M 0 cho

tr ướ c tồn tại 0n sao cho


17/52


14

n 0x M n n .

Ký hiệu: nnlim x

hoặc nx khi n .

Định ngh ĩa 2.3. Dãy n(x ) đượ c gọi là có giớ i hạn khi n nếu m 0 cho

tr ướ c tồn tại 0n sao cho:

n 0x m n n .

Ký hiệu: nnlim x

hoặc nx khi n .

Ví dụ 2.5. Chứng minh nx n khi n

Giải.

M 0 ta chọn 0n M 1, khi đó: n 0x M n n .

Vậy nx khi n .

Định ngh ĩa 2.4. Dãy số có giớ i hạn hữu hạn gọi là dãy hội tụ. Dãy số có giớ i hạn vô hạn

hoặc không có giớ i hạn gọi là dãy phân k ỳ.

2.2. Tính chất cơ bản của dãy số có giớ i hạn hữ u hạn

Định lý 2.1. Nếu dãy số nx có giớ i hạn thì giớ i hạn là duy nhất.

Định lý 2.2. Nếu dãy số nx có giớ i hạn hữu hạn thì dãy nx bị chặn. §3. Giớ i hạn của hàm số

3.1. Khái niệm giớ i hạn của hàm số

a. Giớ i hạn của hàm số tại một điểm

Định ngh ĩa 3.1. (Theo ngôn ngữ dãy số ). Cho hàm số f(x) vớ i miền xác định D. Hàm

số f(x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn b khi x a nếu nnlim f (x ) b

vớ i mọi dãy

số nx D và nx a. Ký hiêu:

x alim f (x) b

hoặc f (x) b khi x a.

Chú ý. Định ngh ĩa 3.1 đúng vớ i tất cả các trườ ng hợ p a, b hoặc a ,b .

Ví dụ 3.1. Chứng minh hàm số f (x) sinx không có giớ i hạn khi x .


18/52


15

Giải.

Chọn nx 2n thì nnlim x .

Ta có n nn nlim f x lim sin x 0. (1)

Chọn ny 2n2

thì n

nlim y .

Ta có n nn nlim f y lim siny 1.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra n nn nlim f x lim f y .

Vậy hàm số f (x) sinx không có giớ i hạn

tại .

Vớ i a,b hữu hạn ta có định ngh ĩa sau: Định ngh ĩa 3.2. (Theo ngôn ngữ và ). Hàm số y f (x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu

hạn b khi x a nếu và chỉ nếu 0, 0 sao cho:

f (x) b x a, a .

Ví dụ 3.2. Chứng minhx 1lim(3x 1) 4.

Giải.

Vớ i mọi 0 ta chỉ ra tồn tại 0 sao cho 3x 1 4 x 1 ,1 . (1)

Ta có:

3x 1 4

3 x 1

1 x 1 .3 3

Vậy vớ i mọi 0 ta chọn3 ta có được (1). Theo Định ngh ĩa 3.2 ta có

x 1lim(3x 1) 4.

Ví dụ 3.3. Chứng minhx 0lim sin x 0.


19/52


16

Giải.

Ta có s xinx . Vậy vớ i mọi 0 chọn khi đó

sin x x , . Vậy theo Định ngh ĩa 3.2 ta có

x 0limsin x 0.

b. Giớ i hạn một phía

▪ Giớ i hạn phải

Xét x a và x a khi đó ta viết: x a .

Định ngh ĩa 3.3. Hàm số y f (x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn phải là b khi x a

nếu và chỉ nếu 0, 0 sao cho: f (x) b x 0, a .

Ký hiệu:x alim f (x) b.

▪ Giớ i hạn trái

Xét x a và x a khi đó ta viết x a ,

Định ngh ĩa 3.4. Hàm số y f (x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn trái là b khi x a

nếu và chỉ nếu 0, 0 sao cho

f (x) b x a,0 .

Ký hiệu:x alim f (x) b.

Định lý 3.1. Ta có khẳng định sau:

x a x a x alimf (x) b lim f (x) lim f (x) b.

Nhận xét:

1. x a x alim f (x) 0 limf (x) 0.

2. x a x alim f (x) b lim f (x) b

vớ i b 0.


20/52


17

Ví dụ 3.4. Cho hàm số

2ax x khi x 1f(x)

x khi x 1

Tìm a để hàm số có giớ i hạn hữu hạn tại x 1.

Giải.

Ta xét các giớ i hạn trái và giớ i hạn phải tại x = 1.

x 1 x 1lim f(x) lim x 1.

2

x 1 x 1lim f (x) lim(ax x ) a 1.

Vậy để hàm số có giớ i hạn hữu hạn tại x 1 thì:x 1 x 1lim f (x) lim f (x) a 1 1 a 0.

c. Giớ i hạn tại vô hạn

Định ngh ĩa 3.5. Hàm số f(x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn b khi x nếu vớ i

0, M 0 sao cho:

f (x) b x M.

Ký hiệu: xlim f (x) b.

Ví dụ 3.5. Chứng minh2x 0

1lim 0.

x 1

Giải. Vớ i mọi 0 cho trướ c, muốn có

2 2

1 10 ,

x 1 x 1

thì phải có 2 21

x 1 x

hay là1

x .

Vậy 0 chọn1

M

thì


21/52


18

2

10 x M.

x 1

Theo Định ngh ĩa 3.5 suy ra 2x 01

lim 0.x 1

Định ngh ĩa 3.6. Hàm số f(x) đượ c gọi là có giớ i hạn hữu hạn b khi x nếu vớ i

0, M 0 sao cho:

f (x) b x M.

Ký hiệu:xlim f (x) b.

d. Giớ i hạn vô hạn

Định ngh ĩa 3.7. Nếu vớ i mọi số A > 0 tồn tại số A 0 sao cho

f x A x a ,a ,

thì ta viếtx alim f (x) .

Ví du 3.6. Chứng minh

2x 1

1lim .

x 1

Giải. Vớ i mọi A 0 để 21

Ax 1 thì

2 1 1

x 1 x 1 .A A

Vậy A 0 chọn1

A thì

2

1A x 1 ,1 .

x 1

Theo Định ngh ĩa 3.7 thì

2x 1

1lim .

x 1

Định ngh ĩa 3.8. Nếu vớ i mọi số A > 0 tồn tại số A 0 sao cho:


22/52


19

f x A x a ,a ,

thì ta viếtx alim f (x) .

Ví dụ 3.7. Chứng minh xlim ln 1 cos x .

Giải.

Vớ i mọi A 0 cho trước để ln 1 cosx A thì

A

A

A

11 cos x e

e

1cos x 1.

e

Ta chọn A1

A arccos 1e

ta có:

A A

1 1cos x cos arccos 1 1

e e

x , A .

Theo Định ngh ĩa 3.8 thì xlim ln 1 cos x .

Định ngh ĩa 3.9. Nếu vớ i mọi số A > 0 tồn tại số M A 0 sao cho

f x A x M(A),

thì ta viếtxlim f (x) .

Ví dụ 3.8. Chứng minh: xxlim 2 .

Giải.

Vớ i mọi A 0 cho trước để x2 A thì

lnA

x .ln 2

Vậy A 0 ta chọn ln A

M Aln 2

thì

x2 A x M A


23/52


20

Theo Định ngh ĩa 3.9 thì xxlim 2 .


f x A x M(A),


Ví dụ 3.9. Chứng minh:x

1lim ln .

x

Giải.

Vớ i mọi A 0 cho tr ước để 1

ln Ax

thì

A A1 e x e .x

Vậy A 0 ta chọn AM e thì ta có

1ln A x M.

x

Theo Định ngh ĩa 3.10 thìx

1lim ln .

x


f x A x M(A),


Ví dụ 3.10. Chứng minh: xxlim e .

Giải.

Vớ i mọi A 0 cho trước để x

e A

thìx lnA x lnA.

Vậy A 0 ta chọn M A ln A thì ta có

xe A x M(A).


24/52


21

Theo Định ngh ĩa 3.11 thì xxlim e .


f x A x M(A),


Ví dụ 3.11. Chứng minh: 3xlim x .

Giải.

Vớ i mọi A 0 cho trước để 3x A thì 3x A. Vậy A 0 ta chọn 3M A A

ta có:

3x A x M(A).

Theo Định ngh ĩa 3.12 thì 3xlim x .

3.2. Giớ i hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản

a. Giớ i hạn tại một điểm thuộc miền xác định

Giớ i hạn của hàm số sơ cấp cơ bản f(x) tại một điểm a thuộc miền xác định của nó đượ c

tính theo công thức:

x alim f (x) f (a).

b. Giớ i hạn tại các đầu mút của khoảng xác định và giớ i hạn khi x

1. Hàm số lu ỹ thừ a

+ Vớ i 0 :xlim x ,

x 0lim x 0.

+ Vớ i 0 :x

lim x 0

,

x 0lim x .

2. Hàm số mũ

+ Vớ i a 1 : xxlim a ,

xxlim a 0.


25/52


22

+ Vớ i 0 a 1 : xxlim a 0,

xxlim a .

3. Hàm số logarit

+ Vớ i a 1 : ax 0lim log x , axlim log x .

+ Vớ i 0 a 1 : ax 0lim log x ,

a

xlim log x .

4. Các hàm số lượ ng giác

+ Các hàm số sin x, cosx, tan x, cot x không có giớ i hạn khi x .

+ Hàm số tanx có giớ i hạn vô hạn khi x k (k ).2

+ Hàm số cotx có giớ i hạn vô hạn khi x k (k ). 5. Các hàm lượng giác ngượ c

+xlim arctan x ,

2

xlim arctan x .

2

+xlim arccot x 0,

xlim arccot x .

3.3. Các tính chất cơ bản về giớ i hạn hàm số

Định lý 3.2. Hàm số f(x) có giớ i hạn khi x a thì giớ i hạn đó là duy nhất.

Định lý 3.3. Nếu f (x) g(x) x a, a vớ i là một số nào đó và cả hai hàm số

f(x), g(x) có giớ i hạn hữu hạn khi x a thì:

x a x alim f ( x) lim g(x).

Hệ quả 1. ( Nguyên lý k ẹ p).

Nếu 1 2g (x) f (x) g (x) x a, a vớ i là một số nào đó và

1 2x a x alim g (x) lim g (x) b

thì

x alim f (x) b.

Ví dụ 3.12. Chứng minh:x

sin xlim 0.

x


26/52


23

Giải.

Ta có:sin x 1

0 0x x

khi x x x

sin x sin xlim 0 lim 0.

x x

Hệ quả 2. Nếu f(x) là hàm bị chặn vàx alim g(x) 0

thì:

x alim f ( x)g(x) 0.

Ví dụ 3.13. Tìm giớ i hạnx 0

1lim xsin .

x

Giải.

Ta có:x 0lim x 0

và

1sin 1

x x 0

1sin

x là hàm bị chặn. Vậy

x 0

1lim x sin 0.

x

Ví dụ 3.14. Tính giớ i hạn2

x 3

1lim s x 3 in (x-3)cos .

Giải.

Ta có 2x 3

1lim s 1 x 3

x 3

in (x-3)=0 vaøcos

2

x 3

1lim s 0.

x 3

in (x-3)cos

3.4. Các quy tắc tính giớ i hạn

Quy tắc 1. Nếu 1x alim f (x) L và 2x alim g(x) L thì:1. 1 2

x alim f (x) g(x) L L .

2. 1x a x alim kf (x) k lim f (x) kL k

3. 1 2x alim f (x)g(x) L L .

4. 1x a

2

f (x) Llim

g(x) L khi 2L 0.

Quy tắc 2. Nếu hàm số sơ cấ p f(x) xác định tại điểm x a thìx a

lim f (x) f (a).

Quy tắc 3. Nếux alim f (x) L 0

và

x alimg(x)

thì

g(x)

x alim f (x) L .


27/52


24

Ví dụ 3.15. Tìm giớ i hạn

12 x

2x

5x x 1lim .

4x x 1

Giải.

Ta có:2 2

2x x

2

1 15

5x x 1 5x xlim lim1 14x x 1 44x x

và

x

1lim 0

x

102 x

2x

5x x 1 5lim 1.

4x x 1 4

3.4. Các dạng vô địnha. Các dạng vô định

Có 7 d ạng vô định:

0,

0 ,

, 1 , 0. , 00 , 0.

b. Các giớ i hạn cơ bản dạng vô định

1.u 0

sinulim 1.

u

(d ạng giơi hạn0

0

)

2.u

u

1lim 1 e.

u

(d ạng giớ i hạn 1 )

3. 1

u

u 0lim 1 u e.

(d ạng giớ i hạn 1 )

▪ Dạng giớ i hạn0

0

Ví dụ 3.16. Tính

3

x 0

2x 1 1lim .x 1 1

Giải.


28/52


25

Ta có:

23 3 3

3

2x 0 x 0 3 3

2x 1 1 2x 1 2x 1 1 x 1 12x 1 1lim lim

x 1 1 x 1 1 x 1 1 2x 1 2x 1 1

22x 0 x 0 3 33 3

x 1 12x x 1 1 2 4lim lim2 2. .

x 3 32x 1 2x 1 12x 1 2x 1 1

Ví dụ 3.17. Tính giớ i hạn3

2x 0

cos x cos xlim

x

.

Giải.

3 3

2 2 2x 0 x 0 x 0

cos x cos x cos x 1 1 cosxlim lim lim

x x x

2x 0 x 0 2 233cos x 1 1 cosx

lim limx cos x 1 x 1 cos x cos x

2 2

2 2x 0 x 0233

x x

2sin 2sin2 2lim limx x

4 cosx 1 4 1 cos x cos x2 2

Chú ý:

1. Từ giớ i hạn Cơ bản 1:u 0

sinulim 1

u ta chứng minh đượ c:

m

mu 0

sin ulim 1 m .

u Thật

vậy:

mmm

mu 0 u 0

sin u sin ulim lim 1 1.

u u

1 1 1.

4 6 12


29/52


26

2. Từ giớ i hạn Cơ bản 3: 1

u

u 0lim 1 u e,

ta d ễ chứng minh đượ c các giớ i hạn sau:

a.

u 0

ln u 1

lim 1u

hay là u 1lnu

lim 1.u 1

Thật vậy, ta có

1

uu 0 u 0

ln u 1lim limln u 1 ln e 1.

u

b.u

u 0

e 1lim 1.

u

Thật vậy, ta đặt: ut e 1 u ln(t 1) và u 0 thì t 0,

ta có:u

u 0 t 0 t 0

e 1 t 1 1lim lim lim 1.

ln(t 1)u ln(t 1) 1

t

Ví dụ 3.18. Tính 2x 1

log xlim .

x 1

Giải.

Ta có 2x 1 x 1

log x ln x 1 1lim lim . .

x 1 x 1 ln 2 ln 2

Ví dụ 3.19. Tính21

x

2

arcsin(1 2x)lim .

4x 1

Giải.

Đặt arcsin 1 2x t sin t 1 2x. Khi đó1

x2

thì t 0.

Ta có:

221 t 0x

2

arcsin(1 2x) tlim lim

4x 1 1 sin t 1

2t 0t

limsin t 2sin t

t 0

t 1limsin t sin t 2

t 0

1 1lim .sin t 2 2

Ví dụ 3.20. Tínhx 0

ln(cos3x)lim

ln(cos5x).


30/52


27

Giải.

Ta có:

x 0 x 0ln cos3x 1 1

ln(cos3x)lim limln(cos5x) ln cos5x 1 1

x 0

ln cos3x 1 1 cos5x 1 cos3x 1lim . .

cos3x 1 ln cos5x 1 1 cos5x 1

vì x 0 nên cos3x 1 0, cos5x 1 0.

Do đó ta có

x 0ln cos3x 1 1 cos5x 1

lim . 1.cos3x 1 ln cos5x 1 1

Từ đó:

x 0 x 0

ln(cos3x) cos3x 1lim lim

ln(cos5x) cos5x 1

2

x 02

3xsin

2lim

5xsin

2

2 2

2

2 2x 0 2

3x 5x 3xsin

2 2 2lim .

5x3x 5xsin22 2

2

2x 0

3x

92lim .

255x2


x3

tan x 3tan xlim .

cos x6

Giải.

Ta có:

3 3

x x3 3

tan x 3tan x tan x 3tan xlim lim3 1cos x cos x sin x

6 2 2

3

x3

1 tan x 3tan xlim2 3 cos x sin x


31/52


28

3

x3

1 tan x 3tan x 1lim

2 cosx3 tan x

x x

3 3

tan x tan x 3 tan x 31 1lim lim

2 cos x3 tan x

x

3

1 lim tan x tan x 34

1 33 3 3 .4 2


x 0

xlim .

1 x sin x cos x

Giải.

Ta có:

2

2

x 0 x 0x 1 xsin x cos xxlim lim

1 xsin x cos x1 xsin x cos x

2

x 0 x 02

xlim .lim 1 x sin x cos x

xx sin x 2sin

2

2

x 0 2

x2lim

xx sin x 2sin

2

x 0 2

2

1 1 42.lim 2. .

x 1 3sin 1sin x 1 2 2

x 2 x2

▪ Dạng giớ i hạn 1

Ta sử d ụng Quy tắc 3: g(x)

x alim f (x) L

và giớ i hạn Cơ bản 2:

1

u

u 0lim 1 u e

để giải.

Ví dụ 3.23. Tìm các giớ i hạn:

a) 21

xx 0lim cosx

.

b)

2x2 1 x

2x

3x x 1lim

3x x 1

.

Giải.


32/52


29

a) Ta có: 2

2

cos x 111 x

cos x 1xcos x 1 cos x 1 .

Mặt khác:

▪ 1

cos x 1lim 1 cos x 1 e.

▪

2

2

2 2x 0 x 0 x 0

x x2sin sin

cos x 1 2 12 2lim lim lim .xx x 4 22

Theo Quy tắc 3 ta có:

2

112x

x 0lim cos x e .

b) Ta có:

2 2 3

2

x 3x 2 1 2x2 1 x 2x 1 x 3x 2 1

2 2

3x x 1 2x1 .

3x x 1 3x x 1

x

x

Mặt khác:

▪

23x 2 1

2x

2x

2xlim 1 e.3x x 1

x

3 3

3 22x x

x

3

2x 2xlim lim

3x 2x 11 x 3x 2 1

2 2lim .

1 1 33 2x x

x

Vậy

2x22 1 x

32x

3x x 1lim e .3x x 1

Ví dụ 3.24. Tính22 cot x

x 0lim(1 x )

.

Giải.


33/52


30

Ta có:

22

2 2 2

1 x. .cos x

2 cot x 2 x sin x

x 0 x 0lim(1 x ) lim(1 x ) .

Mặt khác:2

1

2x

x 0lim(1 x ) e ;

2

2x 0

xlim 1sin x và

2

x 0limcos x 1. Vậy22 cot x

x 0lim(1 x ) e.

Ví dụ 3.25. Tính cot xx 0lim(1 sin x)

.

Giải.

Ta có:

cot x

x 0lim(1 sin x)

1.cos x

sin x

x 0lim(1 sin x)

cos x1

sin xx 0lim 1 sin x

1e .


1sin x

x 0

1 tan xlim

1 sin x

.

Giải.

Ta có:

3

1

sin x

x 0

1 tan xlim

1 sin x

3

1 sin x 1 tan x sin x

tan x sin x 1 sin xsin x

x 0

tan x sin xlim 1

1 sin x

21 sin x 1 cos x

tan x sin x cos x 1 sin x sin x

x 0

tan x sin xlim 1 .

1 sin x

Mặt khác

▪

1 sin x

tan x sin x

x 0

tan x sin xlim 1 e

1 sin x

(vì

tan x sin x0 khi x 0

1 sin x

).

▪

2

2 2x 0 x 0

x2sin

1 cos x 2lim limcos x 1 sin x sin x cos x 1 sin x sin x


34/52


31

22

2 2x 0

xsin1 1 x 12lim . . .

2 cos x 1 sin x sin x 2x

2

Vậy 2

1 sin x 1 cos x1

tan x sin x cos x 1 sin x sin x2

x 0

tan x sin xlim 1 e e.

1 sin x


1

sin x

x 0

1 tan xlim

1 sin x

.

Giải.

Ta có:1

sinx

x 0

1 tan xlim

1 sin x

1 sin x 1 tan x sin x. .

tan x sin x sin x 1 sin x

x 0

tan x sin xlim 1

1 sin x

1 sin x 1 cos x

.tan x sin x 1 sin x cos x

x 0

tan x sin xlim 1 .

1 sin x

Mặt khác:

▪

1 sin x

tan x sin x

x 0

tan x sin xlim 1 e

1 sin x

(vì

tan x sin x0 khi x 0

1 sin x

).

▪ x 0

1 cos xlim 0.

cos x 1 sin x

Vậy

1 sin x 1 cos x.

tan x sin x 1 sin x cos x

x 0

tan x sin xlim 1 1.

1 sin x

Ví dụ 3.28. Tínhx

x

1 1lim sin cos .

x x

Giải.

Ta có:


35/52


32

x

x

1 1lim sin cos

x x

1

yy 0lim sin y cosy

(đặt

1y

x )

1 sin y cosy 1

.sin y cosy 1 y

y 0lim 1 sin y cosy 1 .

Mặt khác:

▪ 1

sin y cosy 1

y 0lim 1 sin y cosy 1 e.

▪

2

2y 0 y 0

y2sinsin y cos y 1 sin y y2lim lim . 1 2.0 1.

yy y 4

4

Vậyx

x

1 1lim sin cos e.

x x

Ví dụ 3.29. Tính nn

xlim cos .

n

Giải.

Ta có:

1 x. cos 1 n

x ncos 1n

nn n

x xlim cos lim 1 cos 1 .n n

Mặt khác:

▪

1

xcos 1

nn

xlim 1 cos 1 e.

n

▪

22 2

2n n

xsin

x x x2 nlim n cos 1 2 lim . .x 4 2n

4n

Vậy2x

n 2

n

xlim cos e .

n


36/52


33


2x 1x x

x 1

x 0lim 2e 1 .

Giải.

Ta có:

x2 2x 1

x

x 1

x 1 1 x 12e 2x xx x

2e 2x 1 x 1

x 0 x 0lim 2e 1 lim 1 2e 2 .

Mặt khác:

▪

x

x 1

1x

2e 2x 1

x 0lim 1 2e 2 e.

▪

xx 2 2x 1

x 1

x 0 x 0

x 1 e 1 x 1lim 2e 2 2lim . 2.

xx x 1x 1

Vậy

2x 1x x

2x 1

x 0lim 2e 1 e .

Ví dụ 3.31. Tính cotgxx 0lim s cos .

inx

Giải.

Ta có:

1

. cos x 1 cot gxcot gxcos x 1

x 0 x 0lim s cos x lim 1 cos x 1 .

sinxsinxinx sinx

Mặt khác:

▪ 1

cos 1

x 0lim 1 cos x 1 e.

sinxsinx

▪ 2

x 0 x 0

cos x cos xlim cos x 1 cot gx lim cos x

sin x sin x

sinx


37/52


34

x 0 x 0

cos x 1 cos x 1lim 1 1 lim

sin x sin x sin x

2

x 0 x 0

x2sin x21 lim 1 lim tan 1.

x x 22sin cos2 2

Vậy cotgx

x 0lim s cos x e.

inx

▪ Dạng giớ i hạn

Ví dụ 3.32. Tìm giớ i hạn: xlim sin x 1 sin x .

Giải.

x x

x 1 x 1lim sin x 1 sin x 2 lim cos sin .

2 2 x 1 x

Dox 1 x

cos 12

và

x1

lim sin 0.2 x 1 x

Vậy xlim sin x 1 sin x 0.

▪ Dạng giớ i hạn 0.

Ví dụ 3.33. Tính xlim x ln(x 1) ln x .

Giải.

Ta có: xlim x ln(x 1) ln x

x

x 1lim xln

x

x

1lim ln 1 x

x

x

1ln 1

xlim 1.

1

x

Ví dụ 3.34. Tínhx

xlim x arctan .

4 x 1

Giải.


38/52


35

Đặtx x tan t

arctan t tan t xx 1 x 1 1 tan t

và

x

x 1 t .x 1 4

Ta có:

x t4

x tan tlim x arctan lim t

4 x 1 tan t 1 4

t4

sintlim t

sin t cos t 4

t4

sin t 1lim t .

4 22 sin t

4

3.5. Vô cùng bé

a. Định ngh ĩa 3.11. Hàm số f(x) đượ c gọi là một vô cùng bé khi x a nếu

x alim f (x) 0.

Ví dụ 3.35. Các hàm số sin x, tan x, x ( 0) là các vô cùng bé khi x 0.

b. So sánh các vô cùng bé

Định ngh ĩa 3.12. Giả sử f(x), g(x) là các vô cùng bé khi x a và tồn tai giớ i hạn

x a

f(x)lim k .

g(x) Khi đó:

▪ Nếu k = 0 thì f(x) đượ c gọi là vô cùng bé bậc lớn hơn g(x) và viết: f (x) o g(x) .

▪ Nếu k 0 thì f(x) và g(x) đượ c gọi là các vô cùng bé cùng bậc.

▪ Đặc biệt, nếu k = 1 thì f(x) và g(x) đượ c gọi là các vô cùng bé tương đương và viết:

f (x) g(x) khi x a.

Ví dụ 3.36. Ta có2

x 0

sin xlim 0

x do đó 2sin x o(x).

Ví dụ 3.37. Ta có3 2 2

2 2 2 2x 0 x 0 x 0

tan x tan x sin x tan xlim lim tan x lim 1.0 0.

x x x cos x

Do đó 3 2tan x (x ).

Ví dụ 3.38. Ta có các cặp vô cùng bé tương đương sau:


39/52


36

1. s inu~u khi u 0

2. m msin u ~ u khi u 0

3. tan u ~ u khi u 0

4.2u

1 cosu ~2

khi u 0

5. ln(1 u) ~ u khi u 0

6. ue 1 ~ u khi u 0

7. ua 1 ~ u ln a khi u 0

8. 1 u 1 ~ u

0 khi u 0

9. sin u uarc khi u 0

10. arctanu u khi u 0

Chứ ng minh.

1. Ta cóu 0

sinulim 1 sin u u.

u

2. Ta cóm

m m

mu 0

sin ulim 1 sin u u .

u

3. Ta cóu 0 u 0

tan u sin ulim lim cosu 1 tan u u.

u u

4. Ta có

2

2 2u 0 u 0

usin1 cos u 2lim lim 1

u u2 2

2u1 cos u ~ .

2

5. Ta có

u 0

ln u 1lim 1 ln u 1 u.

u

6. Đặt ut e 1 u ln 1 t .

uu

u 0 t 0

e 1 tlim lim 1 e 1 u.

u ln 1 t


40/52


37

7. Từ câu 6 ta có:u u ln a

u

u 0 u 0

a 1 e 1lim lim 1 a 1 u lna.

u ln a u ln a

8. Ta có

ln 1 u

u 0 u 0

1 u 1 ln 1 ue 1lim lim . 1.u ln 1 u u

1 u 1 u.

9. Đặt t arcsinu sint u.

Ta có:u 0 t 0

arcsin u tlim lim 1

u sin t arcsin u u.

10. Đặt t arctanu tant u.

Ta có:u 0 t 0

arctan u tlim lim 1u tan t

arctan u u.

Định lý 3.4. (Thay thế vô cùng bé tương đương). Giả sử ta có các cặp VCB tương đương:

1 2f (x) ~ f (x), 1 2g (x) ~ g (x) khi x a và2

x a2

f (x)lim

g (x) tồn tại khi đó:

1 2

x a x a1 2

f (x) f (x)lim lim .

g (x) g (x)

Chúng ta sử d ụng định lý thay thế VCB tương đương trên ta có thể d ễ dàng tính đượ c

giớ i hạn của hàm số.

Ví dụ 3.39. Tìm2 3x 0

5xlim .

3sin x 100x 2014x

Giải.

Ta có: 2 33sin x 100x 2014x ~ 3x khi x 0

2 3x 0 x 0

5x 5x 5lim lim .

3sin x 100x 2014x 3x 3

Ví dụ 3.40. Tìm2 3 4x 0

1 cos3xlim .

2x 3x x

Giải.


41/52


38

Ta có:

2 22 3x 3x 9x1 cos3x 2sin ~ 2.

2 2 2

khi x 0

2 3 4 22x 3x x ~ 2x khi x 0

2

2 3 4 2x 0 x 0

9x1 cos3x 92lim lim .

2x 3x x 2x 4

Ví dụ 3.41. Tìmx

2x 0

5 1lim .

4x 3sin x cos x 1

Giải.

Ta có:

x x ln 55 1 e 1 ~ x ln 5 khi x 0

2 2 2 x4x 3sin x cos x 1 4x 3sin x 2sin ~ 4x2

khi x 0

x

2x 0 x 0

5 1 x ln5 ln 5lim lim .

4x 3sin x cos x 1 4x 4

Ví dụ 3.42. Tìm

27

2x 01 4x 1lim .

2s 3sin x inx

Giải.

Ta có: 2

27 72

1 4x 1 1 4x 1 .4x7

khi x 0

và 2 22sin x 3sin x 2x 3x 2x khi x 0.

Vậy

2

7

2x 0 x 0

8x1 4x 1 47

lim lim .2s 3sin x 2x 7

inx

Ví dụ 3.43. Tìm3 2

2x 0

ln(1 3sin x 2x ) 4xlim .

ln(1 3tanx) s

in x

Giải.


42/52


39

Ta có 3 2 3 2 2ln(1 3sin x 2x ) 3sin x 2x 2x , do đó:

3 2ln(1 3sin x 2x ) 4x 4x khi x 0.

Và2 2

ln(1 3tanx) 3tan x 3x; sin x x khi x 0, do đó: 2ln(1 3tanx) s 3x in x khi x 0.

Vậy3 2

2x 0 x 0

ln(1 3sin x 2x ) 4x 4x 4lim lim .

ln(1 3tanx) s 3x 3

in x

Ví dụ 3.44. Tìm2

2x 0

ln(1 3arcsin x 2slim

x 3tan x cos x 1

in x)+3tanx

.

Giải.

Ta có: 2 2ln(1 3arcsin x 2s 3arcsin x 2s 3x in x) in x khi x 0 và 3tan x 3x

khi x 0 , do đó:

2ln(1 3arcsin x 2s 6x in x)+3tanx khi x 0 .

Mặt khác:

2 2x 3tan x cos x 1 x 3tan x sin x 4x khi x 0 .

Vậy

2

2x 0 x 0

ln(1 3arcsin x 2s 6x 3

lim lim .x 3tan x cos x 1 4x 2

in x)+3tanx

Chú ý: Giả sử khi x a ta có các cặp VCB tương đương: 1 2f (x) ~ f (x) , 1 2g (x) ~ g (x) .

Chúng ta không thể viết:

1 1 2 2f (x) g (x) f (x) g (x) khi x a .

Ví dụ 3.45. Ta có: 2 2sin(x ) x khi x 0 nhưng không thể viết:

2 2sin(x ) x 0 khi x 0.


43/52


40

§4. Hàm số liên tục

4.1. Khái niệm hàm số liên tục

a. Định ngh ĩa và ví dụ

Định ngh ĩa 4.1. Cho hàm số f : D và 0x D. Hàm số f đượ c gọi là liên tục tại

ox nếuo

ox xlim f (x) f (x )

.

Nếu f liên tục tại mọi điểm 0x D thì ta nói hàm số f liên tục trên miền D.

Nếu f không liên tục tại điểm ox thì ta nói hàm số f gián đoạn tại ox .

Hàm số f gián đoạn tại ox trong các trườ ng hợ p sau:

+ f(x) không xác định tại ox . + Không tồn tại giớ i hạn

ox xlim f (x).

+ Tồn tại giớ i hạnox x

lim f (x)

nhưngo

ox xlim f (x) f (x ).

Ví dụ 4.1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0

1 cos3xkhi x 0

xsinxf(x)

9khi x 02

.

Giải.

Ta có:

2

x 0 x 0 x 0

3x2sin

1 cos3x 2lim f (x) lim limx sin x x sin x

2

2x 0

3x2sin 92lim f (0).

24 3x sin x

9 2 x

Vậy f(x) liên tục tại điểm x 0.

Ví dụ 4.2. Xét tính liên tục của hàm số tại x 0


44/52


41

arcsin3xkhi x 0

f(x) s

3 khi x 0

inx .

Giải.

Do arcsin3x 3x, s x inx nên

x 0 x 0 x 0

arcsin 3x 3xlim f (x) lim lim 3 f (0).

s

inx x

Vậy f(x) liên tục tại x 0.


2

2ln(2 cos 3x) khi x 0f(x)

0 khi x 0

tan x .

Giải.

Ta có

2 2 2 2ln(2 cos 3x) ln(1 sin x) sin x x và 2 2tan x x .

Do đó2 2

2 2x 0 x 0 x 0

ln(2 cos 3x) xlim f (x) lim lim 1 f (0).

tan x x

Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại x 0 .

Ví dụ 4.4. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 3

x3 27khi x 3

f(x) sin(x 3)

1 khi x 3

.

Giải.

Ta có:

x x 3

x 3 x 3

3 27 3 1 x 3lim 27lim 27ln3 f (3).

sin(x 3) x 3 sin x 3

Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại x = 3.


45/52


42

Ví dụ 4.5. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 5

1sin khi x 5

f(x) x 5

1 khi x 5

arctan(x-5).

Giải.

Ta có:

+ f (5) 1.

+ x 5lim arctan x 5 0.

+1

sin

x 5

bị chặn.

Do đóx 5 x 5

1limf (x) lim sin 0 f (5).

x 5

arctan(x-5)

Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại x 5.

Ví dụ 4.6. Xét tính liên tục của hàm số sau:

x2 4khi x 2

f(x) x 2

m khi x 2

.

Giải.

Vớ i x 2 thìx2 4

f(x)x 2

là hàm sơ cấ p. Vậy f(x) là hàm liên tục vớ i x 2.

Vớ i x=2, ta có:

+ f (2) m

+ x 2x 2x ln 2

x 2 x 2 x 2 x 2

4 2 12 4 e 1limf (x) lim lim 4lim

x 2 x 2 x 2

x 2

x 2

e 14lim ln 2 4ln 2.

x 2 ln 2

Vậy:

Nếu m 4ln 2 thì hàm số liên tục tại x 2.


46/52


43

Nếu m 4ln 2 thì hàm số gián đoạn tại x 2.

K ết luận:

Nếu m 4ln 2 thì hàm số liên tục trên cả .

Nếu m 4ln 2 thì hàm số liên tục trên \ 2 .

b. Liên tục một phía

▪ Hàm số f(x) đượ c gọi là liên tục bên phải tại ox nếu

o

ox xlim f (x) f (x ).

▪ Hàm số f(x) đượ c gọi là liên tục bên trái tại ox nếu

o ox xlim f (x) f (x ).

Định lý 4.1. Hàm số f(x) liên tục tại ox khi và chỉ khio o

ox x x xlim f (x) lim f (x) f (x ).

Ví dụ 4.7. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 1

2x , khi x 1f(x)

ax 2, khi x 1

.

Giải.

Ta có:

+ f (1) 1 .

+ x 1 x 1lim f (x) lim ax 2 a 2.

+1 1

2

x 1 x 1lim f (x) lim x 1.

Nếu a 2 1 a 1 thìx 1 x 1lim f (x) lim f (x) f (1) 1

f(x) liên tục tại điểm x 1.

Nếu a 2 1 a 1 thì f(x) gián đoạn tại điểm x 1.



47/52


44

tan3xkhi x 0

xf(x)

3 khi x 0

.

Giải.

Ta có:

+ f (0) 3.

+x 0 x 0 x 0

tan 3x tan3xlim f (x) lim lim 3 3.

x 3x (1)

+x 0 x 0 x 0

tan3x tan 3xlim f (x) lim lim 3 3.x 3x (2)

Từ (1) và (2) ta cóx 0 x 0lim f (x) lim f (x)

nên hàm số gián đoạn tại x 0.

Ví dụ 4.9. Tìm giá tr ị của a để hàm số x2e khi x 0

f(x)2x a khi x 0

liên tục trên toàn .

Giải.

Vớ i x 0, thì f (x) 2x a là hàm số liên tục.Vớ i x ,0 thì xf (x) 2e là hàm số liên tục.

Do đó để hàm số liên tục trên ta tìm a để hàm số liên tục tại 0. Ta có:

+ f (0) a

+ x 0 x 0lim f (x) lim 2x a a

+ xx 0 x 0lim f (x) lim 2e 2.

Để hàm số liên tục tại x 0 thìx 0 x 0lim f (x) lim f (x) f (0)

hay a 2.

Ví dụ 4.10. Tìm giá tr ị của a để hàm số


48/52


45

22x a khi x 0,1)

f(x)ax 2 khi x 1,2

[

liên tục trên đoạn 0, 2 . Giải.

Dễ thấy f(x) liên tục trên 0,2 \ 1 .

Do đó để hàm số liên tục trên 0,2 ta tìm a để hàm số liên tục tại 1. Ta có:

+ f (1) a 2

+

2

x 1 x 1

lim f (x) lim ax 2 a 2

+ x 1 x 1lim f (x) lim 2x a 2 a.

Ta cóx 1 x 1lim f (x) lim f (x) f (1) a 2.

Vậy hàm số liên tục trên 0,2 vớ i mọi giá tr ị của a.

Ví dụ 4.11. Tìm giá tr ị của a để hàm số

ln(1 x) ln(1 x)khi 0 x 1

f(x) xa khi x 0

liên tục trên 1,1 .

Giải.

Dễ thấy f(x) liên tục trên 1,1 \ 0 . Do đó để hàm số liên tục trên 1,1 ta tìm a để

hàm số liên tục tại 0. Ta có:

+ f (0) a

+x 0 x 0 x 0 x 0

ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x)lim f (x) lim lim lim 2.

x x x

+x 0 x 0 x 0 x 0

ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x) ln(1 x)lim f (x) lim lim lim 2.

x x x


49/52


46

Vậy để hàm số liên tục trên 1,1 thì a 2.

4.2. Các phép toán đối vớ i hàm số liên tục

Định lý 4.2. Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại ox thì:

f (x) g(x) , f (x) g(x) , f(x).g(x) cũng là các hàm số liên tục tại ox vàf(x)

g(x) cũng là

hàm số liên tục tại ox nếu og(x ) 0.

Ví dụ 4.12. Có thể nói gì về tính liên tục của hàm số f (x) g(x) tại điểm 0x trong các

trườ ng hợ p sau:

a) f(x) liên tục tại 0x nhưng g(x) gián đoạn tại 0x .

b) f(x) và g(x) đều gián đoạn tại 0x .

Giải.

a) f (x) g(x) sẽ gián đoạn tại 0x .Thật vậy, giả sử f (x) g(x) liên tục tại 0x .Ta có

0 0

0 0 0 0x x x x

g(x) f (x) g( ) f (x)

lim g(x) lim f (x) g( ) f (x) f (x ) g( ) f (x ) g(x ).

x

x x

Suy ra g(x) liên tục tại 0x mâu thuẫn.

b)

▪ f (x) g(x) cũng có thể vẫn liên tục tại 0x .

Ví d ụ: Chọn

1 khi x 0 1 khi x 0f ( ) , g(x)

1 khi x 0 1 khi x 0

f (x) g(x) 0 x.

x

f(x) và g(x) gián đoạn tại 0 nhưng f(x)+g(x) liên tục tại 0.▪ f (x) g(x) cũng có thể gián đoạn tại 0x .

Ví d ụ: Chọn


50/52


47

2 khi x 0 1 khi x 0f ( ) , g(x)

1 khi x 0 1 khi x 0

1 khi x 0

f (x) g(x) .0 khi x 0

x

f(x) và g(x) gián đoạn tại 0 nhưng f(x) + g(x) cũng gián đoạn tại 0.

Định lý 4.3. (Tính liên t ục của hàm hợ p). Nếu f(x) là hàm số liên tục tại ox , g(u) là hàm

số liên tục tại o ou f (x ) thì hàm hợ p g f (x) là hàm liên tục tại ox .

4.3. Tính chất hàm số liên tục trên một đoạn

Định ngh ĩa 4.2. Hàm số f(x) liên tục trên a;b nếu f(x) liên tục tại mọi điểm ox a;b

và f(x) liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.

Định lý 4.4. Giả sử hàm số f : a;b liên tục trên đoạn a;b và f (a)f (b) 0 .

Khi đó tồn tại c a;b sao cho f (c) 0 .

Định lý 4.5. Giả sử hàm số f : a;b liên tục trên đoạn a;b và là số nằm giữa

f(a) và f(b) . Khi đó tồn tai c a;b sao cho f (c) .

Ví dụ 4.13. Cho hàm số f : a;b a;b liên tục. Chứng minh r ằng tồn tại ox a;b

sao cho o of (x ) x .

Giải.

Đặt g(x) f (x) x g(x) là hàm liên tục trên a,b . Vì g(a) f (a) a 0 ,

g(b) f(b) b 0 g(a)g(b) 0.

Tồn tại ox a;b sao cho og(x ) 0 o of (x ) x .

Định lý 4.6. Cho hàm số f : a;b liên tục trên đoạn a;b thì tồn tại 1 2x ,x saocho:

1

a;bf (x ) min f(x) ,

2

a;bf (x ) max f (x).


51/52


48

Hệ quả 4.1. Nếu hàm số f : a;b liên tục trên đoạn a;b thì f(x) là hàm bị chặn

trên a;b .

Ví dụ 4.14. Cho f(x) là hàm số liên tục trên khoảng (a,b) và 1 2 nx , x ,..., x là n điểm bất

k ỳ trong khoảng (a,b). Chứng minh r ằng tồn tại điểm c a,b sao cho:

n

ii 1

1f (c) f (x ).

n

Giải.

Đặt n

ii 1

1g(x) f (x ) f x

n . Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 2 nx x ... x . Khi

đó ta có g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn 1 nx , x . Do đó tồn tại 1 n, x ,x sao

cho:

1 n 1 nx ,x x ,xf ( ) min f (x), f ( ) max f (x).

Ta có:

n n

ii 1 i 1

1 1g( ) f (x ) f f ( ) f 0

n n

n n

ii 1 i 1

1 1g( ) f (x ) f f ( ) f 0.

n n

Vậy g .g 0 và g(x) là liên tục trên 1 nx , x nên tồn tại 1 nc x , x a,b sao

cho g(c) 0 hayn

ii 1

1f (c) f (x ).

n

Định lý 4.7. (S ự t ồn t ại liên t ục của hàm ngượ c). Giả sử f : a;b là hàm số liên

tục và tăng ngặt (hoặc giảm ngặt) trên a;b thì tồn tại hàm ngượ c 1f liên tục và tăng

ngặt trên f(a);f(b) (hoặc giảm ngặt trên f(b);f(a) ).


52/52


Ví dụ 4.15. Cho hàm số f(x) sin x vớ i x ;2 2

. Chứng minh hàm số f(x) có hàm

ngược và hàm ngượ c liên tục và tăng ngặt trên 1;1 .

Giải.

Hàm số f(x) sin x là hàm lượ ng giác cơ bản nên hàm số liên tục trên ;2 2

và

f(x) sin x tăng ngặt trên ; .2 2

Vậy tồn tại hàm ngượ c 1f (x) arcsin x liên tục và

tăng ngặt trên 1;1 .

Ví dụ 4.16. Cho hàm số f(x) cosx vớ i x 0; . Chứng minh hàm số f(x) có hàm

ngược và hàm ngượ c liên tục và giảm ngặt trên 1;1 .

Giải.

Hàm số f(x) cos x là hàm lượ ng giác cơ bản nên hàm số liên tục trên 0; và

f(x) cos x giảm ngặt trên 0; . Vậy tồn tại hàm ngượ c 1f (x) arccos x liên tục và

giảm ngặt trên 1;1 .

chương 1. sách tcc 2

Documents