chương 7: cÂy (tree)

Chương 7: CÂY (Tree)

Chương 7: Cây (Tree)

Nội dung2

Cấu trúc cây (Tree) Cấu trúc cây nhị phân (Binary Tree) Cấu trúc cây nhị phân tìm kiếm (Binary Search Tree) Cấu trúc cây nhị phân tìm kiếm cân bằng (AVL Tree)


Tree – Đinh nghia3

Cây là một tập gồm 1 hay nhiều nút T, trong đó có một nút đặc biệt được gọi là gốc, các nút còn lại được chia thành những tập rời nhau T1, T2 , ... , Tn theo quan hệ phân cấp trong đó Ti cũng là một cây

A tree is a set of one or more nodes T such that: i. there is a specially designated node called a root ii. The remaining nodes are partitioned into n disjointed set of nodes

T1, T2,…,Tn, each of which is a tree


Tree – Ví dụ 4

Sơ đồ tổ chức của một công ty

Công ty ACông ty A

R&DR&D Kinh doanhKinh doanh Taøi vuïTaøi vuï Saûn xuaátSaûn xuaát

TVTV CDCD AmplierAmplierNoäi ñòaNoäi ñòa Quoác teáQuoác teá

Chaâu aâuChaâu aâu MyõMyõ Caùc Caùc nöôùcnöôùc


Tree – Ví dụ

Cây thư mục

5


Tree – Ví dụ

Có phai là cây không


Tree – Ví dụ

Có phai là cây không

8

Không vì trong cấu trúc cây không tồn tại chu trình


Tree - Một số khái niệm cơ bản

Bậc của một nút (Degree of a Node of a Tree): Là số cây con của nút đó. Nếu bậc của một nút bằng 0 thì nút đó

gọi là nút lá (leaf node) Bậc của một cây (Degree of a Tree):

Là bậc lớn nhất của các nút trong cây. Cây có bậc n thì gọi là cây n-phân

Nút gốc (Root node): Là nút không có nút cha

Nút lá (Leaf node): Là nút có bậc bằng 0

9

J

Z A

DRB

LFAKQ Lá

nút

gốcCạnh


Tree - Một số khái niệm cơ bản10

Nút nhánh: Là nút có bậc khác 0 và không phai là gốc

Mức của một nút (Level of a Node): Mức (T0) = 0, với T0 là gốc

Gọi T1, T2, T3, ... , Tn là các cây con của T0:

Mức(T1) = Mức(T2) = ... = Mức(Tn) = Mức(T0) + 1We define the level of the node by taking the level of the root node as 0, and

incrementing it by 1 as we move from the root towards the subtrees.

Chiều cao của cây (độ sâu) (Height – Depth of a Tree): Là mức cao nhất của nút + 1 (mức cao nhất của 1 nút có trong cây)

t1 t2

t3



Nút trước, nút sau của 1 nút Nút T được gọi là nút trước của 1 nút (ancestor’s node) của

nút S nếu cây con có gốc là T chứa cây con có gốc là S. Khi đó S được gọi là nút sau của nút T (descendant’s node)

Chiều dài đường đi của 1 nút Chiều dài đường đi của 1 nút là số đỉnh (số nút) tính từ nút

gốc để đi đến nút đó. Chiều dài đường đi của nút gốc luôn =1, chiều dài đường đi

tới 1 nút bằng chiều dài đường đi tới nút cha của nó + 1



Chiều dài đường đi của 1 cây Chiều dài đường đi của 1 cây (path’s length of the tree) là

tổng tất ca các chiều dài đường đi của tất ca các nút trên cây (chiều dài đường đi trong internal path’s length).

Tính chiều dài đường đi ngoài (external path’s length) bằng cách mở rộng tất ca các nút của cây sao cho các nút của cây có cùng bậc (thêm vào các nút gia) với bậc của cây.

Rừng. Rừng (forest) là tập hợp các cây. Khi cây mất gốc rừng


Tree – Ví dụ

- Leaf node?- Degree of a Nodes of a Tree?- Degree of a Tree?- Level of a Node?- Height – Depth of a Tree?


Trắc nghiệm

The depth of a tree is the _______ of a treea) number of nodes on the tree

b) number of levels of a tree

c) number of branches

d) level Give the binary tree with root A. The root has left child B and

right child C. B has left child D and right child E. There are no other nodes in the tree. The height of the tree is _______.a) 0

b) 3

c) 1

d) 2

14


Nội dung19



Binary Tree – Đinh nghia20

Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con (cây có bậc là 2)


Binary Tree – Ví dụ21

Cây con trai

Cây con phai

Hinh anh môt cây nhị phân


Binary Tree – Ví dụ

Cây lệch trái và cây lệch phai



Cây nhị phân đầy đủ (A full binary tree)


Binary Tree – Ứng dụng

Cây biểu thức: được dùng để biểu diễn một biểu thức toán học

24



Cây quyết định: được dùng để hỗ trợ quá trình ra quyết định

25


Binary Tree – Một số tính chất

Số nút nằm ở mức i ≤ 2i

Số nút lá ≤ 2h-1, với h là chiều cao của cây Số nút trong cây ≤ 2h-1, với h là chiều cao của cây Chiều cao của cây ≥ log2N, với N là số nút trong cây

26


Trắc nghiệm

A binary tree is a tree in which each node references at most _____ node(s) 1 0 3 2

The maximum number of leaf-nodes in a binary tree of height 4 is: 2 4 6 8

What is the minimum height of a binary tree with 31 nodes? 4 7 5 3

If the depth of a binary tree is 3, then what is the maximum size of the tree? 3 4 6 8

27


Binary Tree - Biểu diễn

In general, any binary tree can be represented using an array, but it leads to the waste of storage …


Binary Tree - Biểu diễn29



Sử dụng cấu trúc để lưu trữ các thông tin của một nút gồm: Dữ liệu của nút Địa chỉ nút gốc của cây con trái Địa chỉ nút gốc của cây con phai

Khai báo cấu trúc cây nhị phân:

Để quan lý cây nhị phân chỉ cần quan lý địa chỉ nút gốc:

Tree root;

struct TNode{

DataType data; TNode *pLeft,

*pRight;};typedef TNode* Tree; //??


Binary Tree – Khởi tạo cây

Khởi tạo cây rỗng:

void InitTree (Tree &t)

{

t = NULL;

}

33


Binary Tree - Duyệt cây nhi phân 34

Có 3 kiểu duyệt chính có thể áp dụng trên cây nhị phân: Duyệt theo thứ tự trước - preorder (Node-Left-Right: NLR)

Duyệt theo thứ tự giữa - inorder (Left-Node-Right: LNR)

Duyệt theo thứ tự sau - postorder (Left-Right-Node: LRN) Tên của 3 kiểu duyệt này được đặt dựa trên trình tự của việc

thăm nút gốc so với việc thăm 2 cây con


Binary Tree - Duyệt cây nhi phân NLR

35

A

B

D

H I

N

E

J K

O

C

F

L

P

G

M

AKết quả: B D H I N E J O K C F L P G M


Binary Tree - Duyệt cây nhi phân

Duyệt theo thứ tự trước NLR (Node-Left-Right)

Kiểu duyệt này trước tiên thăm nút gốc sau đó thăm các nút của

cây con trái rồi đến cây con phai

Thủ tục duyệt có thể trình bày đơn gian như sau:

36

void NLR (Tree t){

if (t != NULL){

// Xư ly t tương ưng theo nhu câu

NLR(t->pLeft);NLR(t->pRight);

}}


Cây nhị phân Duyệt theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

Một ví dụ: đọc một quyển sách hay bài báo từ đầu đến cuối như minh họa trong hình bên dưới:

37


Binary Tree - Duyệt cây nhi phân LNR

38

A

B

D

H I

N

E

J K

O

C

F

L

P

G

M

HKết quả: D N I B J O E K A F P L C M G



Duyệt theo thứ tự giữa LNR (Left-Node-Right) Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đó

thăm nút gốc rồi đến cây con phai


39

void LNR(Tree t){

if (t != NULL){

LNR(t->pLeft);//Xư ly nut t theo nhu câu

LNR(t->pRight);}

}


Cây nhị phân Duyệt theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

Một ví dụ quen thuộc trong tin học về ứng dụng của duyệt theo thứ tự sau là việc xác định tồng kích thước của một thư mục trên đĩa

40


Binary Tree - Duyệt cây nhi phân LRN

41

A

B

D

H I

N

E

J K

O

C

F

L

P

G

M

HKết quả: N I D O J K E B P L F M G C A



Duyệt theo thứ tự sau LRN (Left-Right-Node) Kiểu duyệt này trước tiên thăm các nút của cây con trái sau đó

thăm đến cây con phai rồi cuối cùng mới thăm nút gốc


42

void LRN(Tree t){

if (t != NULL){

LRN(t->pLeft);LRN(t->pRight);// Xư ly tương ưng t theo nhu câu

}}


(3 + 1)3/(9 – 5 + 2) – (3(7 – 4) + 6) = –13

43

Tính toán giá trị của biểu thức dựa trên cây biểu thức: duyệt cây theo thứ tự giữa:

Binary Tree - Duyệt cây nhi phân LRN


Binary Tree – Ứng dụng

Tính toán giá trị của biểu thức dựa trên cây biểu thức: duyệt cây theo thứ tự giữa:

44


Trắc nghiệm

Give the binary tree with root A. The root has left child B and right child C. B has left child D and right child E. There are no other nodes in the tree.

Which of the following traversals yields ABCDE?

a) Inorder

b) Preorder

c) All of the others answers

d) None of the others answers

45


Trắc nghiệm

The order in which the nodes of this tree would be visited by a post-order traversal is

46

a) GCMBEJQDFKY

b) BCDFEJKYQMG

c) GCBEDFMJKQY

d) BDFECKJYQMG


Trắc nghiệm

The order in which the nodes of this tree would be visited by a pre-order traversal is

47

a) GCMBEJQDFKYb) BCDFEJKYQMGc) BCDEFGKJMYQd) GCBEDFMJKQY


Cây nhị phân Biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân

Nhược điểm của các cấu trúc cây tổng quát: Bậc của các nút trên cây có thể dao động trong một biên độ

lớn việc biểu diễn gặp nhiều khó khăn và lãng phí. Việc xây dựng các thao tác trên cây tổng quát phức tạp hơn

trên cây nhị phân nhiều. Vì vậy, thường nếu không quá cần thiết phai sử dụng cây

tổng quát, người ta chuyển cây tổng quát thành cây nhị phân.

48



Ta có thể biến đổi một cây bất kỳ thành một cây nhị phân theo qui tắc sau: Giữ lại nút con trái nhất làm nút con trái. Các nút con còn lại chuyển thành nút con phai. Như vậy, trong cây nhị phân mới, con trái thể hiện quan hệ

cha con và con phai thể hiện quan hệ anh em trong cây tổng quát ban đầu.

49



Gia sử có cây tổng quát như hình bên dưới:

50

A

B C D

E F G H I J

Cây nhị phân tương ứng sẽ như sau: A

B

C

D

E

F

G

H

I

J


Một cách biểu diễn cây nhi phân khác

51

Đôi khi, khi định nghĩa cây nhị phân, người ta quan tâm đến ca quan hệ 2 chiều cha con chứ không chỉ một chiều như định nghĩa ở phần trên.

Lúc đó, cấu trúc cây nhị phân có thể định nghĩa lại như sau: struct TNODE {DataType Key;TNODE* pParent;TNODE* pLeft;TNODE* pRight;

};typedef TNODE* TREE;


Một số thao tác trên cây

Đếm số node Đếm số node lá Tính chiều cao ...

53


Đếm số node

54


Đếm số node

Thuật toán: Nếu Tree rỗng, Số node (Tree) = 0 Ngược lại, Số node (Tree) = 1 + Số node (Tree.Left) + Số node

(Tree.Right)

55


Đếm số node lá

56


Đếm số node lá

Thuật toán: Nếu Tree rỗng, Số nút lá (Tree) = 0 Nếu Tree là nút lá, Số nút lá (Tree) = 1 + Số nút lá (Tree.Left) +

Số nút lá (Tree.Right) Nếu Tree không là nút lá, Số nút lá (Tree) = Số nút lá

(Tree.Left) + Số nút lá (Tree.Right)

57


Tính chiều cao

58


Tính chiều cao

Thuật toán: Nếu Tree rỗng, Height(Tree) = 0 Ngược lại, Height(Tree) = 1 + max(Height(Tree.Left),

Height(Tree.Right))

59


Nội dung60



Binary Search Tree

Trong chương 6, chúng ta đã làm quen với một số cấu trúc dữ liệu động. Các cấu trúc này có sự mềm dẻo nhưng lại bị hạn chế trong việc tìm kiếm thông tin trên chúng (chỉ có thể tìm kiếm tuần tự)

Nhu cầu tìm kiếm là rất quan trọng. Vì lý do này, người ta đã đưa ra cấu trúc cây để thỏa mãn nhu cầu trên

Tuy nhiên, nếu chỉ với cấu trúc cây nhị phân đã định nghĩa ở trên, việc tìm kiếm còn rất mơ hồ

Cần có thêm một số ràng buộc để cấu trúc cây trở nên chặt chẽ, dễ dùng hơn

Một cấu trúc như vậy chính là cây nhị phân tìm kiếm


Binary Search Tree - Đinh nghia

Cây nhị phân tìm kiếm (CNPTK) là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn khóa của tất ca các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khóa của tất ca các nút thuộc cây con phai

Nhờ ràng buộc về khóa trên CNPTK, việc tìm kiếm trở nên có định hướng

Nếu số nút trên cây là N thì chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoang log2N

Trong thực tế, khi xét đến cây nhị phân chủ yếu người ta xét CNPTK

62


Binary Search Tree – Ví dụ63

4444

1818 8888

1313 3737 5959 108108

1515 2323 4040 5555 7171


64

Binary Search Tree – Ví dụ


65

Binary Search Tree – Ví dụ


Tạo cây nhị phân tìm kiếm

Caáu truùc Döõ lieäu - Caáu truùc caây

66

25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

25 37 10 18 29 50 3 1 6 5 12 20 35 13 32 41

25 37 10 18 29 50 3 1 6 5 12 20 35 13 32 41


Binary Search Tree – Biểu diễn67

Cấu trúc dữ liệu của CNPTK là cấu trúc dữ liệu biểu diễn cây nhị phân nói chung

Thao tác duyệt cây trên CNPTK hoàn toàn giống như trên cây nhị phân Chú ý: khi duyệt theo thứ tự giữa, trình tự các nút duyệt qua sẽ

cho ta một dãy các nút theo thứ tự tăng dần của khóa

struct TNode{

DataType data; TNode *pLeft,

*pRight;};typedef TNode* Tree; Tree Root ;


Binary Search Tree – Duyệt cây68

25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

Duyệt inorder: 1 3 5 6 10 12 13 18 20 25 29 32 35 37 41 50

Duyệt giữa (LNR) trên CNPTK



25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

Duyệt postorder: 1 5 6 3 13 12 20 18 10 32 35 29 41 50 37 25

Duyệt sau (LRN) trên CNPTK



25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

Duyệt preorder: 25 10 3 1 6 5 18 12 13 20 37 29 35 32 50 41

Duyệt trước (NLR) trên CNPTK


Binary Search Tree – Tìm kiếm71

25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

Tìm kiếm 13

Khác nhauGiống nhauNode gốc nhỏ hơnNode gốc lớn hơn

Tim thấySố node duyệt: 5

Tim kiếm trên CNPTK



25

10

3

1 6

5

18

12 20

13

37

29

35

32

50

41

Tìm kiếm 14

Khác nhauNode gốc nhỏ hơnNode gốc lớn hơn

Không tim thấySố node duyệt: 5

Tim kiếm trên CNPTK


Binary Search Tree – Tìm kiếm

Tìm một phần tử x trong CNPTK (dùng đệ quy):

73

TNode* searchNode(Tree T, DataType X){

if (T){

if(T->data ==X)return T;

if(T->data >X)return searchNode(T->pLeft,

X);return searchNode(T->pRight, X);

}return NULL;

}


Binary Search Tree – Tìm kiếm

Tìm một phần tử x trong CNPTK (dùng vòng lặp):

74

TNode* searchNode(Tree T, DataType x){

TNode *p = T;while (p != NULL){

if(x == p->data) return p;else if(x < p->data) p = p-

>pLeft;else p = p->pRight;

}return NULL;

}



Nhận xét: Số lần so sánh tối đa phai thực hiện để tìm phần tử X là h,

với h là chiều cao của cây Như vậy thao tác tìm kiếm trên CNPTK có n nút tốn chi

phí trung bình khoang O(log2n)


Tìm một phần tử x trong cây

76

44

18 88

13 37 59 108

15 23 40 55 71

Tìm X=5544 < X

88 > X

59 > X


Binary Search Tree – Thêm77

Việc thêm một phần tử X vào cây phai bao đam điều kiện ràng buộc của CNPTK

Ta có thể thêm vào nhiều chỗ khác nhau trên cây, nhưng nếu thêm vào một nút ngoài sẽ là tiện lợi nhất do ta có thể thực hiện quá trình tương tự thao tác tìm kiếm

Khi chấm dứt quá trình tìm kiếm cũng chính là lúc tìm được chỗ cần thêm

Cách thực hiện: Tìm vị trí thêm (???) Thực hiện thêm (???)


Binary Search Tree – Thêm

Thêm một phần tử vào cây:

78

int insertNode (Tree &T, DataType X){if (T) {

if (T->data == X) return 0; if (T->data > X)

return insertNode(T->pLeft, X); else

return insertNode(T->pRight, X);}

T = new TNode;if (T == NULL) { cout<<“Khong du bo nho”; return -1; }T->data = X;T->pLeft = T->pRight = NULL;return 1; }

–1 : khi không đủ bộ nhớ0 : khi nút đã có1 : khi thêm thành công


Thêm một phần tử x vào cây

79

44

18 88

13 37 59 108

15 23 40 55 71

Theâm X=50

44 < X

88 > X

59 > X

50

55 > X


80

6

4

1

2 5 7

3

Binary Search Tree – Thêm

Ví dụ tạo cây với dãy:

4, 6, 1, 2, 5, 7, 3


Binary Search Tree – Thêm81

30

12 49

51

17

22

56

70

68

65

Ví dụ tạo cây với dãy::

30, 12, 17, 49, 22, 65, 51, 56, 70, 68


Trắc nghiệm

The following items are inserted into a binary search tree: 3,6,5,2,4,7,1.

Which node is the deepest?

a) 1

b) 7

c) 3

d) 4

82


Bài tập

Viết các hàm: Đếm số nút trên cây: CountNode Đếm số nút lá: CountLeaf Đếm số nút trong: CountInnerNode Xác định độ sâu/chiều cao của cây Tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất trên cây Tính tổng các giá trị trên cây Đếm số nút có giá trị bằng x Xuất các số nguyên tố trên cây

83


Binary Search Tree – Hủy một phần tử có khóa X

84

Việc hủy một phần tử X ra khỏi cây phai bao đam điều kiện ràng buộc của CNPTK

Có 3 trường hợp khi hủy nút X có thể xay ra: X là nút lá X chỉ có 1 con (trái hoặc phai) X có đủ ca 2 con



85

Trường hợp 1: X là nút lá Chỉ đơn gian hủy X vì nó không móc nối đến phần tử nào khác

44

18 88

13 37 59 108

15 23 40 55 71

Hủy X=40


23


Trường hợp 2: X chỉ có 1 con (trái hoặc phải) Trước khi hủy X ta móc nối cha của X với con duy nhất của nó

86

44

18 88

13 37 59 108

15 23 55 71

Hủy X=37



Trường hợp 3: X có đủ 2 con: Không thể hủy trực tiếp do X có đủ 2 con Hủy gián tiếp:

Thay vì hủy X, ta sẽ tìm một phần tử thế mạng Y. Phần tử

này có tối đa một con

Thông tin lưu tại Y sẽ được chuyển lên lưu tại X

Sau đó, nút bị hủy thật sự sẽ là Y giống như 2 trường hợp

đầu Vấn đề: chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X, cây vẫn

là CNPTK

87



Cách chọn phần tử thế mạng:

Phần tử nhỏ nhất (trái nhất) trên cây con phải (của nút muốn

xóa)

Phần tử lớn nhất (phai nhất) trên cây con trái (của nút muốn

xóa)

Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng phụ thuộc vào ý thích của người lập trình

Ở đây, ta sẽ chọn phần tử nhỏ nhất trên cây con phải làm phần tử thế mạng

88



Trường hợp 3: X có đủ 2 con: Khi hủy phần tử X=18 ra khỏi cây:

89

4444

8888

1313 3737 5959 108108

4040 5555 7171

Hủy X=18

3030

2323

1818X

Chọn phần tử nhỏ nhất trên cây con phải phần tử 23 là phần tử thế mạng

2323



90

Xóa 51



91

Xóa 83



92

Xóa 36



93

Xóa nút gốc:



94

Xóa nút gốc: 42 là thế mạng



95

Kết qua xóa:



96

Xóa gốc 42



Xóa gốc 42 45 thế mạng

97



98

Kết qua xóa:



Các hàm dùng để hủy 1 phần tử:

Hàm delNode tra về giá trị 1, 0 khi hủy thành công hoặc không

có X trong cây:

int delNode (Tree &T, DataType X)

Hàm searchStandFor tìm phần tử thế mạng q và gán dữ liệu của

q cho nút muốn xóa p

void searchStandFor(Tree &p, Tree &q)

99


100


Hủy một nútint delNode(Tree &T, DataType X)

{

if (T == NULL) return 0;

if (T->data > X) return delNode(T->pLeft, X);

if (T->data < X) return delNode(T->pRight, X);

TNode* p = T;

if (T->pLeft == NULL) T = T->pRight;

else if (T->pRight == NULL) T = T->pLeft;

else // T có đủ 2 con

searchStandFor(p, T->pRight);

delete p;

}



Tìm phần tử thế mạng (nhỏ nhất trên cây con phải):

101

void searchStandFor(Tree &p, Tree &q){

if (q->pLeft != NULL)searchStandFor (p, q->pLeft);

else{

p->data = q->data; p = q; q = q->pRight;}

}


Binary Search Tree – Hủy toàn bộ cây

Việc toàn bộ cây có thể được thực hiện thông qua thao tác duyệt cây theo thứ tự sau. Nghĩa là ta sẽ hủy cây con trái, cây con phai rồi mới hủy nút gốc

102

void removeTree(Tree &T){

if (T){

removeTree(T->pLeft); removeTree(T->pRight); delete(T);

}}


Binary Search Tree103

Nhận xét: Tất ca các thao tác searchNode, insertNode, delNode đều

có độ phức tạp trung bình O(h), với h là chiều cao của cây Trong trong trường hợp tốt nhất, CNPTK có n nút sẽ có

độ cao h = log2(n). Chi phí tìm kiếm khi đó sẽ tương

đương tìm kiếm nhị phân trên mang có thứ tự Trong trường hợp xấu nhất, cây có thể bị suy biến thành 1

danh sách liên kết (khi mà mỗi nút đều chỉ có 1 con trừ nút lá). Lúc đó các thao tác trên sẽ có độ phức tạp O(n)

Vì vậy cần có cai tiến cấu trúc của CNPTK để đạt được chi phí cho các thao tác là log2(n)


Đánh giá tìm kiếm104


Đánh giá tìm kiếm105

1, 2, 3, 4, 51

2

3

4

5


Bài tập

Viết các hàm: Đếm số nút có đúng 1 con Đếm số nút có đúng 2 con Đếm số nguyên tố trên cây Tính tổng các nút có đúng 1 con Tính tổng các nút có đúng 2 con Tính tổng các số chẵn Nhập x, tìm giá trị nhỏ nhất trên cây mà lớn hơn x Xuất số nguyên tố nhỏ nhất trên cây Nhập x, tìm x trên cây, nếu tìm thấy x thì cho biết x có bao

nhiêu con Xóa 1 nút

106


Nội dung107



Giới thiệu AVL Tree

Phương pháp chèn trên CNPTK có thể có những biến dạng mất cân đối nghiêm trọng Chi phí cho việc tìm kiếm trong trường hợp xấu nhất đạt tới n VD: 1 triệu nút ⇒ chi phí tìm kiếm = 1.000.000 nút

Nếu có một cây tìm kiếm nhị phân cân bằng hoàn toàn, chi phí cho việc tìm kiếm chỉ xấp xỉ log2n VD: 1 triệu nút ⇒ chi phí tìm kiếm = log21.000.000 ≈ 20 nút

G.M. Adelson-Velsky và E.M. Landis đã đề xuất một tiêu chuẩn cân bằng (sau này gọi là cân bằng AVL) Cây AVL có chiều cao O(log2(n))

108


AVL Tree - Đinh nghia109

Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng (AVL) là cây mà tại mỗi nút độ cao của cây con trái và của cây con phai chênh lệch không quá một 44

23 88

13 37 59 108

15 30 40 55 71


AVL Tree

Chỉ số cân bằng của một nút: Định nghĩa: Chỉ số cân bằng của một nút là hiệu của chiều cao

cây con phai và cây con trái của nó Đối với một cây cân bằng, chỉ số cân bằng (CSCB) của mỗi nút

chỉ có thể mang một trong ba giá trị sau đây: CSCB(p) = 0 Độ cao cây phai (p) = Độ cao cây trái (p) CSCB(p) = 1 Độ cao cây phai (p) > Độ cao cây trái (p) CSCB(p) = -1 Độ cao cây phai (p) < Độ cao cây trái (p)

110


Ví dụ - Chỉ số cân bằng của nút

•What is the balance factor for each node in this AVL tree?•Is this an AVL tree?

1

-1

0

0 0

0

-1

-1

1 0

1

0

0

10

40

30 45

20 35

25

60

7

3 8

1 5


AVL Tree – Ví dụ112

AVL Tree ? AVL Tree?


AVL Tree – Ví dụ113


AVL Tree – Biểu diễn114

#define RH 1 /* Cây con phải cao hơn */#define EH 0 /* Hai cây con bằng nhau */#define LH -1 /* Cây con trái cao hơn */

struct AVLNode{char balFactor; // Chỉ số cân bằngDataType data;AVLNode* pLeft;AVLNode* pRight;

};typedef AVLNode* AVLTree;


AVL Tree – Biểu diễn115

Các thao tác đặc trưng của cây AVL: Thêm một phần tử vào cây AVL

Hủy một phần tử trên cây AVL

Cân bằng lại một cây vừa bị mất cân bằng (Rotation)

Trường hợp thêm một phần tử trên cây AVL được thực hiện giống như thêm trên CNPTK, tuy nhiên sau khi thêm phai cân bằng lại cây

Trường hợp hủy một phần tử trên cây AVL được thực hiện giống như hủy trên CNPTK và cũng phai cân bằng lại cây

Việc cân bằng lại một cây sẽ phai thực hiện sao cho chỉ anh hưởng tối thiểu đến cây nhằm giam thiểu chi phí cân bằng


AVL Tree - Các trường hợp mất cân bằng

Ta sẽ không khao sát tính cân bằng của 1 cây nhị phân bất kỳ mà chỉ quan tâm đến các kha năng mất cân bằng xay ra khi chèn hoặc xóa một nút trên cây AVL

Các trường hợp mất cân bằng: Sau khi chèn (xóa) cây con trái lệch trái (left of left) Sau khi chèn (xóa) cây con trái lệch phai (right of left) Sau khi chèn (xóa) cây con phai lệch phai (right of right) Sau khi chèn (xóa) cây con phai lệch trái (left of right)

116


Ví dụ: Các trường hợp mất cân bằng


AVL Tree - Các trường hợp mất cân bằng

Chèn nút vào cây AVL

1 và 4 là các anh đối xứng 2 và 3 là các anh đối xứng

1 2 3 4


Cây AVL – Tái cân bằng

Trường hợp 1 được giai bởi phép quay:

Trường hợp 4 là quay một anh đối xứng


Cây AVL – Tái cân bằng

Trường hợp 2 cần một phép quay kép (double)

Trường hợp 3 là phép quay anh đối xứng


Ví dụ: Tái cân bằng126

1. left of left


127

Ví dụ: Tái cân bằng

2. right of left


128


3. right of right


129


4. left of right


AVL Tree - Cân bằng lại cây AVL130

void rotateLL(AVLTree &T) //quay đơn Left-Left{

AVLNode* T1 = T->pLeft;T->pLeft = T1->pRight;T1->pRight = T;switch(T1->balFactor) {case LH: T->balFactor = EH;

T1->balFactor = EH; break;

case EH: T->balFactor = LH; T1->balFactor = RH; break;

}T = T1;

}

Quay đơn Left-Left:



Quay đơn Right-Right:void rotateRR (AVLTree &T) //quay đơn Right-Right{

AVLNode* T1 = T->pRight;T->pRight = T1->pLeft;T1->pLeft = T;switch(T1->balFactor) {case RH: T->balFactor = EH;

T1->balFactor= EH; break;

case EH: T->balFactor = RH; T1->balFactor= LH;

break;}T = T1;

}



Quay kép Left-Right:

void rotateLR(AVLTree &T)//quay kép Left-Right{ AVLNode* T1 = T->pLeft;

AVLNode* T2 = T1->pRight;T->pLeft = T2->pRight;T2->pRight = T;T1->pRight = T2->pLeft;T2->pLeft = T1;switch(T2->balFactor) {

case LH: T->balFactor = RH; T1->balFactor = EH; break; case EH: T->balFactor = EH; T1->balFactor = EH; break;

case RH: T->balFactor = EH; T1->balFactor = LH; break;}T2->balFactor = EH;T = T2;

}



Quay keùp Right-Left

void rotateRL(AVLTree &T) //quay kép Right-Left{ AVLNode* T1 = T->pRight;

AVLNode* T2 = T1->pLeft;T->pRight = T2->pLeft;T2->pLeft = T;T1->pLeft = T2->pRight;T2->pRight = T1;switch(T2->balFactor) {

case RH: T->balFactor = LH; T1->balFactor = EH; break; case EH: T->balFactor = EH; T1->balFactor = EH; break; case LH: T->balFactor = EH; T1->balFactor = RH; break;}T2->balFactor = EH;T = T2;

}



Cân bằng khi cây bị lêch về bên trái:

int balanceLeft(AVLTree &T)//Cân bằng khi cây bị lêch về bên trái {

AVLNode* T1 = T->pLeft;

switch(T1->balFactor) {case LH: rotateLL(T); return 2;case EH: rotateLL(T); return 1;case RH: rotateLR(T); return 2;}return 0;

}



Cân bằng khi cây bị lêch về bên phai

int balanceRight(AVLTree &T )//Cân bằng khi cây bị lêch về bên phải{

AVLNode* T1 = T->pRight;

switch(T1->balFactor) {case LH: rotateRL(T); return 2;case EH: rotateRR(T); return 1;case RH: rotateRR(T); return 2;}return 0;

}


AVL Tree - Thêm một phần tử trên cây AVL

Việc thêm một phần tử vào cây AVL diễn ra tương tự như trên CNPTK

Sau khi thêm xong, nếu chiều cao của cây thay đổi, từ vị trí thêm vào, ta phai lần ngược lên gốc để kiểm tra xem có nút nào bị mất cân bằng không. Nếu có, ta phai cân bằng lại ở nút này

Việc cân bằng lại chỉ cần thực hiện 1 lần tại nơi mất cân bằng Hàm insertNode tra về giá trị –1, 0, 1 khi không đủ bộ nhớ, gặp

nút cũ hay thành công. Nếu sau khi thêm, chiều cao cây bị tăng, giá trị 2 sẽ được tra về

int insertNode(AVLTree &T, DataType X)

136




{ int res;

if (T)

{ if (T->key == X) return 0; //đã có

if (T->key > X)

{ res = insertNode(T->pLeft, X);

if(res < 2) return res;

switch(T->balFactor)

{ case RH: T->balFactor = EH; return 1;

case EH: T->balFactor = LH; return 2;

case LH: balanceLeft(T); return 1;

}

}

......................................................

}

137

insertNode2




{

......................................................

else // T->key < X

{ res = insertNode(T-> pRight, X);



{ case LH: T->balFactor = EH; return 1;

case EH: T->balFactor = RH; return 2;

case RH: balanceRight(T); return 1;

}

}

......................................................

}

138

insertNode3



int insertNode(AVLTree &T, DataType X){......................................................T = new TNode;if(T == NULL) return -1; //thiếu bộ nhớT->key = X; T->balFactor = EH;T->pLeft = T->pRight = NULL;return 2; // thành công, chiều cao tăng

}

139


AVL Tree - Hủy một phần tử trên cây AVL

Cũng giống như thao tác thêm một nút, việc hủy một phần tử X ra khỏi cây AVL thực hiện giống như trên CNPTK

Sau khi hủy, nếu tính cân bằng của cây bị vi phạm ta sẽ thực hiện việc cân bằng lại

Tuy nhiên việc cân bằng lại trong thao tác hủy sẽ phức tạp hơn nhiều do có thể xay ra phan ứng dây chuyền

Hàm delNode tra về giá trị 1, 0 khi hủy thành công hoặc không có X trong cây. Nếu sau khi hủy, chiều cao cây bị giam, giá trị 2 sẽ được tra về:

int delNode(AVLTree &T, DataType X)

140




{ int res;

if(T==NULL) return 0;

if(T->key > X)

{ res = delNode (T->pLeft, X);



{ case LH: T->balFactor = EH; return 2;

case EH: T->balFactor = RH; return 1;

case RH: return balanceRight(T);

}

} // if(T->key > X)

......................................................

}

141

delNode2




{

......................................................

if(T->key < X)

{ res = delNode (T->pRight, X);





case LH: return balanceLeft(T);

}

} // if(T->key < X)

......................................................

}

142

delNode3




{......................................................

else //T->key == X

{ AVLNode* p = T;

if(T->pLeft == NULL) { T = T->pRight; res = 2; }

else if(T->pRight == NULL) { T = T->pLeft; res = 2; }

else //T có đủ cả 2 con

{ res = searchStandFor(p,T->pRight);





case LH: return balanceLeft(T);

}

}

delete p; return res;

}

}

143



int searchStandFor(AVLTree &p, AVLTree &q)

//Tìm phần tử thế mạng

{ int res;

if(q->pLeft)

{ res = searchStandFor(p, q->pLeft);


switch(q->balFactor)

{ case LH: q->balFactor = EH; return 2;

case EH: q->balFactor = RH; return 1;

case RH: return balanceRight(T);

}

} else

{ p->key = q->key; p = q; q = q->pRight; return 2;

}

}

144

chương 7: cÂy (tree)

Documents