chƯƠng 7 ƯỚc lƯỢng tham sỐ

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG 7ƯỚC LƯỢNG

THAM SỐ

1


Nhắc lại thống kê mẫu• Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần

trong mẫu.• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê

mẫu có dạng:• T=f(X1;X2;…;Xn)• Thống kê T cũng là một bnn.

2


Ước lượng• Tổng thể có tham số chưa biết.• Ta muốn xác định tham số này.• Lấy một mẫu cỡ n.• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị

của tham số của tổng thể.• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.

3


Ước lượng• Ước lượng điểm: không chệch, hiệu quả, vững…• Ước lượng khoảng: đối xứng, một phía, hai

phía…• Ta chỉ xét ước lượng khoảng đối xứng

4


Ước lượng điểm• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của

tham số chưa biết của tổng thể.• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T

nào đó của mẫu ngẫu nhiên.• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng

được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số .

• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững …

5


Ước lượng không chệch (ƯLKC)• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng

không chệch của tham số nếu:

• Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số .

• Độ chệch của ước lượng:

6

E(T)

E(T)


Ví dụ 1• Trong chương 6 ta có:• Vậy:

7

*2 2

22

2 2

1

E X

E S

nE S

n

E S

E F p

*2 2 2

22

,

laø ÖL khoâng cheäch cuûa



laø ÖL cheäch

X

F p

S S

S


Ước lượng KC tốt hơn• Cho X, Y là hai ULKC của tham số . • Có nghĩa là:

• Nếu:

• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số nhiều hơn).

8

E X E Y

V X V Y


Ví dụ 1.• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).a) CMR: các thống kê sau:

đều là các ước lượng không chệch của .b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt

hơn.

9

1 21 21 1 2 2

...; ; n

n

X X XX XZ X Z Z

n


Ước lượng hiệu quả• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu

quả của tham số nếu:• T là ULKC của • V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng

trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để

đánh giá.

10


BĐT Cramer-Rao• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn

có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có:

11

2

1

ln ,

Var Tf X

nE


Ví dụ 2.• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng

thể có kì vọng và phương sai 2. Xét 2 thống kê:

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của .b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt

hơn.

12

1 2 1 2

1

22

1

... ...

;n nX X nX X X XZ X

nn n


Ví dụ 3• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR:

là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ.Giải.Dễ thấy là ước lượng không chệch và:

• Hàm ppxs của tổng thể:

13

X

X

2

Var Xn

2

221

2

, ,x

f x f x e


Ví dụ 3• Ta có:

• Và:

14

2

2

2

22

lnln ,

x

f x x

2

2

2 4 2

1 1

XE E X


Ví dụ 3• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:

• Vậy thống kê là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể

15

2

2

1

ln ,Var T Var X

nf XnE

X


Các ULHQ• Ta chứng minh được:

16

2 2 2

*

laø ÖLHQ cuûa .

, laø ÖLHQ cuûa .

laø ÖLHQ cuûa .

X

S S

F p


Ước lượng vững• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)• Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ

nếu:

• Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng.

• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép).

17

1 0

lim ,nnP T


Các ước lượng vững• Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:

18

2 2

2 2

*

laø ÖLV cuûa .

, , laø ÖLV cuûa .

laø ÖLV cuûa .

X

S S S

F p


Tóm lại

• Do vậy ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán.

19

22 2

*

laø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa .

, laø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa .

laø ÖLKC,ÖLHQ,ÖLV cuûa .

X

S S

F p


Ôn tập• Một thống kê mẫu là một hàm của các biến

ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là một biến ngẫu nhiên?

• Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?

• Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch?

• Phương sai mẫu là ước lượng không chệch, hiệu quả của phương sai của bnn gốc?

20


Ước lượng khoảng• Giả sử tổng thể có tham số chưa biết. Dựa vào

mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: P(a < <b)=(1 - ) khá lớn.

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số với độ tin cậy (1 - ) .

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.

21


Ước lượng khoảng• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng.• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.• ε : độ chính xác (sai số).• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao

nhiêu thì phù hợp.

22

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 23

Phân phối của trung bình mẫuTổng thể Trung bình mẫu Kích thước mẫu

Tùy ý

Không chuẩn n>30

Không chuẩn nhưng đối

xứng.Có thể được với

n nhỏ.

2~ ;X N 2

~ ;X Nn

2

;X Nn

2

;X Nn


Chuẩn hóa ppxsTổng thể TB mẫu Chuẩn hóa

Chuẩn,đã biết

n>30,đã biết

n>30,chưa biết

Chuẩn, n<30chưa biết

2

~ ;X Nn

2

;X Nn

2

;X Nn

~ 0;1X n

Z N

~ 1X n

Z t nS

~ 0;1X n

Z N

2

~ ;X Nn

~ 1X n

Z t nS


Tìm khoảng ước lượng cho • Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác

định).• Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho

Z.• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho

tham số .

25


Khoảng tin cậy• Khoảng tin cậy hai phía của μ:

• Kết quả:

26

;a b

; X X 1

2

tn


Nhớ các khoảng tin cậy_th 3• Trường hợp 3 ta thay bằng s. Nguyên nhân: S

là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,… của .

27

; X X 1

2

St

n


Nhớ các khoảng tin cậy_th 4• Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết . Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong bảng t.

28

; X X 2

1S

t nn


Cách làm bài• Xác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm định• Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay

tỷ lệ tổng thể.• Xác định khoảng tin cậy• Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn• Tính độ chính xác • Thay vào công thức và kết luận.• Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu;

tìm độ tin cậy.

29


Ví dụ 1• Một trường đại học thực hiện về nghiên cứu

số giờ tự học của sinh viên trong 1 tuần. Chọn ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy số giờ tự học trong tuần trung bình là 18,36 giờ, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số giờ tự học trung bình của sinh viên trường này trong một tuần.

30


Ví dụ 2• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang)

được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày.

31


Ví dụ 3.• Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng

thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn

• Đáp số:

32

12,1791;17,4208


Ví dụ 4Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong

một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát:

a. Giả sử = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.

b. Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy 99% cho mức lương trung bình. Để có sai số 0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?

33

Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5

Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1


Phân phối của tỷ lệ mẫuTổng thể Tỷ lệ mẫu Kích thước mẫu

Phân phối B(1,p) n>30 1

;p p

F N pn

~ 0,1(1 )

F p nZ N

p p


Bài toán• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào

đó).• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).• Tìm cách ước lượng khoảng tỷ lệ p này với độ

tin cậy (1-).• Cách làm: giống như phần ước lượng trung

bình.• Khác: ta xấp xỉ:

35

1 (1 ) p p F F


Nhớ các khoảng tin cậy• Hai phía:

36

; F F 1

2

1

F Ft

n


Ví dụ• Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước

lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa.

• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

• Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%.

37


Ước lượng phương sai• Tổng thể có phân phối chuẩn (nếu không cần lấy

mẫu trên 30).• Phương sai tổng thể chưa biết.• Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai

với độ tin cậy (1-).• Biết hoặc chưa biết .• Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ

lệ.

38


Phân phối của hàm PS mẫuTổng thể PS mẫu Hàm của PS mẫu

Chuẩn,đã biết

Không chuẩn đã biết

Chuẩnchưa biết

Không chuẩnchưa biết

2*S

2*2

21

2~

ni

i

XnSZ

Z n

2 , 30S n

22

21

2

1

~ 1

ni

i

n S X XZ

Z n

2S

2* , 30S n


Nhớ các khoảng tin cậy_TH1• Hai phía:

40

*2 *2

;1

2 2n n

nS nS


Nhớ các khoảng tin cậy_TH2• Hai phía:

41

2 2

1 1

1 1;

12 2n n

n S n S


Ví dụ • Một nhà sản xuất quan tâm đến biến thiên của

tỉ lệ tạp chất trong một loại hương liệu được cung cấp. Chọn ngẫu nhiên 15 mẫu hương liệu thì thấy độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh về tỉ lệ tạp chất là 2,36%. Giả sử tỷ lệ tạp chất có phân phối chuẩn. Ước lượng phương sai về tỉ lệ tạp chất trong hương liệu với độ tin cậy 95%.

42


Bài 1• Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí

nghiệp thì thấy lương trung bình là 1,35 triệu đồng/tháng. Giả sử lương công nhân tuân theo qui luật chuẩn với σ=0,2 triệu đồng.

a)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

b)Với độ tin cậy 98% hãy tìm khoảng ước lượng cho mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

43


Bài 2• Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự

thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 1,5.

a) Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

b) Với sai số 0,5 điểm. Hãy xác định độ tin cậy?

44


Bài 3• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo

qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì

thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?

b) Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin cậy?c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95%

thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng?

45


Bài 4• Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu

nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?

c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

46


Bài 6• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt

2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.

Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?

47


Bài 7• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho

đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%?

b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy?

48


Bài 8 • Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là

bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau:

• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp:a) Biết kỳ vọng là 20?b) Không biết kỳ vọng?

49

X 19,5 20 20,5ni 5 18 2


Bài 9• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở

FTU ta có bảng sau:

• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những ngày đông.

50

Số lượt

700-800

800-900

900-1000

1000-1100

1100-1200

1200-1300

1300-1400

1400-1500

Số ngày

9 18 30 25 14 11 9 5


Bài 9a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU

với độ tin cậy 99%.b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên,

nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày với độ tin cậy 95% biết• Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày• Không biết số lượt gửi xe trung bình

51


Bài 10• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với

trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một bao gạo với độ tin cậy 95%.

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở xuống trong kho với độ tin cậy 90%.

52

Trọng lượng bao (kg) 25 26 27 28 29

Số bao 8 10 10 8 5

chƯƠng 7 ƯỚc lƯỢng tham sỐ

Documents