chuyên đề: hÀm nhiỀu biẾn vÀ phÉp vi phÂn m...tính giá trị 3 3 3 2 ( , ) (1,2) ......

KHÓA TOÁN CAO CẤP – 2016-2017 GV: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

MOON.VN – Học để khẳng định mình 1

GIẢI TÍCH

Chuyên đề: HÀM NHIỀU BIẾN VÀ PHÉP VI PHÂN

Bài 02.01.1.001

Đối với mỗi hàm số sau đây , đánh giá f(2,3) và tìm miền.

1( , )

1

x yf x y

x

2( , ) ln( )f x y x y x

Bài 02.01.1.002

Tìm tên miền và phạm vi của 2 2( , ) 9g x y x y

Bài 02.01.1.003

Tìm miền của f nếu ( , , ) ln( ) sinf x y z z y xy z

Bài 02.01.1.004

Cho ( , ) cos( 2 )g x y x y .

a) Tính g (2,-1)

b) Tìm miền của g

c) Tìm phạm vi của g

Bài 02.01.1.005

Cho 2( , ) 1 4F x y y .

a) Tính F(3,1)

b) Tìm và phác thảo miền của F

c) Tìm phạm vi của F

Bài 02.01.1.006

Cho 2 2 2( , , ) ln 4f x y z x y z x y z .

a) Tính f(1,1,1).

b) Tìm và phác thảo miền của f



Bài 02.01.1.007

Cho 3 2( , , ) 10g x y z x y z x y z

a) Tính g( 1,2,3)

b) Tìm và phác thảo miền của g

Bài 02.01.1.008

Tìm và phác thảo các miền của hàm sau:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

) ( , ) 2 ) ( , )

) ( , ) ln 9 9 ) ( , )

) ( , ) 1 1 ) ( , ) 25

) ( , ) 1

a f x y x y b f x y xy

c f x y x y d f x y x y

e f x y x y f f x y y x y

y xg f x y

x

2 2

2 2 2 2 2 2

) ( , ) arcsin( 2)

) ( , , ) 1 ) ( , ) ln(16 - 4 4 )

h f x y x y

i f x y z x y z k f x y x y z

Bài 02.01.1.009

Hiện 2 2

2 2( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y

không tồn tại

Bài 02.01.1.010

Nếu 2 2( , ) / ( )f x y xy x y thì

( , ) (0,0)lim ( , )

x yf x y

là bao nhiêu ?

Bài 02.01.1.011

Tính giá trị 3 3 3 2

( , ) (1,2)lim ( 3 2 )

x yx y x y x y

Bài 02.01.1.012

Tìm giới hạn, nếu nó tồn tại, hoặc cho thấy giới hạn không tồn tại

3 2 2

( , ) (1,2) ( , ) (1, 1)

2

2 2 2( , ) (2,1) ( , ) (1,0)

( , ) (0,0

) lim (5 ) ) lim cos( )

4 1) lim ) lim ln

3

) lim

xy

x y x y

x y x y

x y

a x x y b e x y

xy yc d

x y x xy

e

4 2 4 2

2 2 4 4) ( , ) (0,0)

2 2

4 4 2 2( , ) (0,0) ( , ) (1,0)

( , , ) (

4 5 cos ) lim

2

sin) lim ) lim ln

( 1)

) lim

x y

x y x y

x y z

x y y xf

x y x y

y x xy yg h

x y x y

i

2

2 2 2,0,1/3) ( , , ) (0,0,0)tan( ) ) limy

x y z

xy yze xz j

x y z



Bài 02.01.1.013

Xác định tập hợp các điểm là liên tiếp :

2 2

2 2

2 2 2 2 2

) ( , ) ) ( , ) cos 11

1) ( , ) ) ( , )

1 1

) ( , ) ln( 4) ) ( , , ) arcsin( )

x y

x y

xy

xya F x y b F x y x y

e

x y e ec F x y d H x y

x y e

e G x y x y f f x y z x y z

Bài 02.01.1.014

Tìm các đạo hàm riêng đầu tiên của hàm .

5 4 3 2

10

) ( , ) 3 ) ( , ) 8

) ( , ) cos ) ( , ) ln

) (2 3 ) ) tan

) (

t

a f x y y xy b f x y x y x y

c f x t e x d f x t x t

e z x y f z xy

g f x

2

2

, ) ) ( , )( )

) ( , , ) cos( / ) ) ln( 2 3 )

x xy h f x y

y x y

i h x y z x y z t j u x y z

Bài 02.01.1.015

Tìm z

x

và

z

y

) ( ) ( )

) ( )

) ( ) ( )

) ( )

) ( / )

a z f x g y

b z f x y

c z f x g y

d z f xy

e z f x y

Bài 02.01.1.016

Tìm tất cả các đạo hàm riêng thứ hai .

3 5 4 2) ( , ) 2 ) ( , ) sin ( )

2 2) )

) arctan )1

a f x y x y x y b f x y mx ny

xyc w u v d v

x y

yx y xee z f v exy



Bài 02.01.1.017

Xác minh rằng các kết luận của định lý Clairaut của tổ chức , mà xy yxu u

4 3 4

2

) ) sin

) cos( ) ) ln( 2 )

xya u x y y b u e y

c u x y d u x y

Bài 02.01.1.018

Tìm các đạo hàm riêng chỉ ( s ) .

2

4 2 3

3

2

) ( , ) , , ) ( , ) sin(2 5 ) .,

) ( , , ) ; ) ( , , ) sin( ),

) sin ,

xxx xyx yxy

xyz r

xyz rst

r

a f x y x y x y f f b f x y x y f

c f x y z e f d g r s t e st g

ue u e

r

3

) ,z

f z u v wu v w

Bài 02.01.1.019

Tìm một phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt được đưa ra

tại điểm quy định

2 2

2

) 3 2 (2,-1,-3)

) 3( -1) 2( 3) 7 (2,-2,12)

) (1,1,1)

) (2,0,2)

) sin( )

xy

a z y x x

b z x y

c z xy

d z xe

e z x x y

(-1,1,0)

) ln( - 2 ) (3,1,0)f z x y

Bài 02.01.1.020

Tìm cực trị của hàm số 3 3z x y .

Bài 02.01.1.021

Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y

2 = 4

Bài 02.01.1.022

Tìm 2 3

12

limxy

x y

,

Bài 02.01.1.023

Tính đạo hàm riêng của cos , 0x

z yy



Bài 02.01.1.024

Giải thích lý do tại sao chức năng là khả vi tại cho điểm . Sau đó tìm

tuyến tính của L(x,y) hàm tại điểm đó

3 4

4

) ( , ) 1 ln( 5) (2,3)

) ( , ) (1,1)

) ( , ) (2,1)

) ( , ) (3,0)

) ( , ) cos

y

xy

a f x y x xy

b f x y x y

xc f x y

x y

d f x y x e

e f x y e y

( ,0)

) ( , ) sin( / ) (0,3)f f x y y x y

Bài 02.01.1.025.T115

Tính đạo hàm riêng của các hàm

2 2 31)4 2 2)w yw x xy y x

Bài 02.01.1.026.T117

Cho w=f(x,y) và x = ρcosφ , y= ρsinφ .Hãy tính w

p

và

w

Bài 02.01.1.027.T118

Tính đạo hàm của hàm 2 2w x y x tại điểm 0 (1,2)M theo hướng của

vecto 0 1M M ,trong đó 1M là điểm có tọa độ (3,0)

Bài 02.01.1.028.T118

Hàm ( , )f x y x y xy có đạo hàm theo mọi hướng tại điểm O (0,0)

nhưng không khả vi tại đó.

Bài 02.01.1.029.T119

Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm sau

1) w yx 2) wx

arctgy

Bài 02.01.1.030.T120

Tính đạo hàm riêng cấp 1 của hàm sau 2 2w ( , )f x y y x tại điểm

0 ( 1,1)M ,trong đó x và y là biến độc lập .



Bài 02.01.1.031.T132

Tính vi phân df nếu

2 2 21) ( , ) , 2) f(x,y)=f x y xy x y

Bài 02.01.1.032.T133

Tính vi phân df ( 0M ) nếu 2 2 2

( , , ) x y zf x y z e và 0M = 0M (0,1,2).

Bài 02.01.1.033.T133

Tính dw( 0M ) nếu 2 2w ( , )f x y y x và 0M = 0M (-1,1).

Bài 02.01.1.034.T134

1) Cho hàm f(x,y) =yx .Hãy tìm vi phân cấp hai của f nếu c và y là biến độc lập

2)Tìm vi phân cấp hai của hàm f (x+y,xy) nếu x và y là biến độc lập.

Bài 02.01.1.035.T136

Áp dụng vi phân để tính gần đúng các giá trị :

2,03

1,99

2,95

1) (1,04)

1,972) 1

1,02

3) c = (1,04) ln(1,02)

sin1,49.arctg0,074) d =

2

a

b arctg

Bài 02.01.1.036.T139

Tính vi phân của hàm ẩn w(x,y) được cho bởi phương trình

3 2 2 2w 3 w+y w 2 0x y x y x

Bài 02.01.1.037.T139

Tính dw và d2w của hàm ẩn w(x,y) được cho bởi phương trình

2 2 2w

12 6 8

x y

Bài 02.01.1.038.T140

Cho các hàm ẩn u(x,y0 và v(x,y) đươc xác đinh bởi hệ

1

3

xy uv

xv yu

Tính 2 2(1, 1), (1, 1); (1, 1), (1, 1)du d u dv d v nếu u(1,-1) =1,v(1,-1)=2



Bài 02.01.1.039.T149

Tìm cực trị địa phương của hàm

4 4 2 2( , ) 2 4 2f x y x y x xy y

Bài 02.01.1.040.T151

Khảo sát và tìm cực trị của hàm

2 2( , ) 2 3f x y x xy y x y

Bài 02.01.1.041.T151

Tìm cực trị của hàm ( , ) 6 4 3f x y x y với điều kiện là x và y lien hệ

với nhau bởi phương trình 2 2 1x y

Bài 02.01.1.042.T152

Tìm cực trị có điều kiện của hàm

2 2

2

1)f(x,y) x 5 4 10, 4

2) ( , , )

1

1

y xy x y x y

u f x y z x y z

z x

y xz

Bài02.01.1.043.T152

Bằng phương pháp thừa số bất định Lagrange tìm cực trị có điều kiện của

hàm 2u x y z với điều kiện 1

1

z z

y xz

Bài02.01.1.044.T155

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm 2 2( , )f x y x y xy x y

trong miền 0, 0, 3D x y x y

Bài02.01.1.045.T56

Tính các giới hạn sau đây :

2

2 2 2

2 20 02 2

4 4

2 200

( ) 1 11)lim(1 ) 2)lim

( 2)

3)lim

x xy

x xy y

xy

x y xxy

x y

x y

x y



Bài02.01.1.046.T56

1) Chứng minh rằng hàm 1( , )

x yf x y

x y

không có giới hạn tại điểm (0,0).

2)Hàm 2 2 2( , )

xyf x y

x y

có giới hạn tại điểm (0,0) hay không ?

Bài02.01.1.047.T57

Khảo sát tính liên tục vủa các hàm

2

2 2 2

3 3

2 5 11) ( , ) 2) ( , )

2 1

3) ( , )

x xyf x y f x y

y x x y z

x yf x y

x y

Bài02.01.1.048.T

Tìm giới hạn 2

1 2 2( , ) (0,0)lim

2x y

x yI

x y

Bài02.01.1.049.T

Tìm giới hạn 2

1 2 2( , ) (0,0)lim

2x y

x yI

x y

Bài02.01.1.050.T

Tìm giới hạn 2 2 2( , ) (0,0)

lim2x y

xyI

x y

Bài02.01.1.051.T

Tìm các đạo hàm riêng của hàm số sau :

2 3( , y) x tan( 2 )f x x y

Bài02.01.1.052.T

Dùng vi phân tính xấp xỉ giá trị biểu thức sau

1,02arctan

0,95S

Bài02.01.1.053.T

Tính đạo hàm theo phương d =(-1,3) tại điểm 2( , )x e e của hàm số

2( , ) ln( )f x y x y



Bài02.01.1.054.T

Tính đạo hàm riêng f

x

của hàm số sau

2

2( , ) ( 1)log , , 2f x y u v u xy v x y

Bài02.01.1.055.T

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số

2 3( , ) ( )sin 2f x y x y y

Bài02.01.1.056.T

Tính các đạo hàm riêng của hàm số z theo các ẩn x ,y

ze x y z

Bài02.01.1.057.T

Tìm cực trị của hàm số

4 4 2 2( , ) 2f x y x y x xy y

Bài 02.01.1.058.T

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện

2x + 4y + 7z = 2xyz

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+y+z.

Bài 02.01.1.059.T

Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 45 2z x x y y

Bài 02.01.1.060.T

Tính đạo hàm riêng của 0yz x x .

Bài 02.01.1.061.T

Tính đạo hàm riêng của cos , 0x

z yy

Bài 02.01.1.062.T

Tìm cực trị của hàm số 2 2 4 2 8z x y x y



Bài 02.01.1.063.T

Tìm cực trị của hàm số 3 3 3z x y xy

Bài 02.01.1.064.T

Tìm cực trị của hàm số 3 3z x y .

Bài 02.01.1.065.T

Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y

2 = 4

Bài 02.01.1.066.A

Tìm miền của các hàm sau :

a) ( , )f x y x y b) ( , )x y

f x yx y

c) ( , ) ln(2 )f x y x y

Bài02.01.1.067.A

Cho hàm số : 2 3( , ) 3 2 100f x y x y y x

Tìm (4,7)fx và (4,7)f y .

Bài02.01.1.068.A

Tìm ( , )f x yx và ( , )f x yy cho các hàm số sau :

2

2 2 3) ( , ) 3 6 2

2 3 2 2) ( , ) ln( )

3 2) ( , ) (3 )

a f x y x y x y

yb f x y e y x y

x yc f x y x y e

Bài02.01.1.069.A

Cho hàm số 2 3( , ) 3 2 40f x y x y y x tìm đạo hàm riêng bậc 2 của hàm số .

Bài02.01.1.070.A

Xác định các điểm cực trị của hàm sau :

2 2( , ) 2 3 4 3 5f x y x y x y

Bài02.01.1.071

Tìm điểm cực trị của hàm số sau :

2 2( , ) 4 8 10 5f x y x y xy x y



Bài02.01.1.072.A


3 2 21 1( , ) 4 50

3 2f x y x x y y

Bài02.01.1.073.A


2 2( , ) 2 3 4 3 5f x y x y x y

Bài02.01.1.074.A

Tìm tất cả các cực trị của hàm

13 2 2( , ) 6 4 42

f x y x x y y .

Bài02.01.1.075.A

Tìm cực trị của hàm số sau f(x,y) = xy với ràng buộc 2 2 1x y

Bài02.01.1.076.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2 2 2 2 2( , ) 8 3 (2 1)f x y x y x y trên miền 2 2 2( , ) : 1D x y x y

Bài02.01.1.077

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

( , ) ( )( 4)xf x y e x y x y trên tam giác OAB với A(-5,0) ,B(0,5)

Bài02.01.1.078.B5

Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của các hàm số sau

2 2 2

2 2 2 4

3 3

2 4

2 2

2

2 2 2

) ( , ) ; b)f(x,y)=

) ( , ) d)f(x,y)=

1) ( , ) (1 cos ) f)f(x,y)= ( , )

sin sin) ( , )

x y xya f x y

x y x y

y x yc f x y xarctg

x x y

x y x ye f x y y

y x xy y

x yg f x y

2

sin h)f(x,y)=

sin

x shy

y shx y



Bài02.01.1.079.B6

Khảo sát sự lien tục của hàm số sau và của các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng

2 2

2 2

3 3

2 2

1( )sin khi (x,y) (0,0)

) ( , ) ;

0 khi (x,y) = (0,0)

khi (x,y) (0,0)b) ( , )

0 khi (x,y) = (0,0)

x ya f x y x y

x y

f x y x y

Bài 02.01.1.080. T5

Tìm tập xác định của các hàm số sau :

2 2 2 2

2

2

1 1) ( , ) ln ; b)f(x,y)=

) ( , ) 4 1

1) ( , ) arcsin ; e)f(x,y)= ln

1) ( , ) g)f(x,y)=lnx+lnsiny;

h) f(x,y)= ; i)(x,y)= ln( )cos

a f x y xyx y x y

c f x y x y x y

yd f x y x y

x

f f x yy x

xy x y x

y

Bài 02.01.1.081. T5

Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau :

3 3

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

) ( , ) ; b)f(x,y)=ln(x+ ( ))

) ( , ) sin ; d)f(x,y)=arctg

e)f(x,y)=arcsin(x-2y); f)f(x,y)=ln

g)f(x,y)=arctg ; h)f(x,y)=e cosxsiny

i)f(x,y)

xy

x ya f x y x y

x y

x yc f x y y

y x

x y x

x y x

x y

x y

3

=ln(x+lny); j)f(x,y)=x ( 0)

) ( , , ) ; l)f(x,y,z)=e sinz

y

y xyz

x

yk f x y z x

z



2 2 2

1

m)f(x,y,z)=e ; n)f(x,y,z)=zsin x y z y

x z

Bài 02.01.1.082. T6

Tính các đạo hàm của các hàm số hợp sau :

2 22 2 2

2 2

2

2

2

2 2

) , cos ,

) ln( ), ,

) ln , , 3 2

) , ,v yx

) , cos ,

) 1 , ,

u v

v u x

x

ty

t t

a z e u x v x y

xb z u v u xy v

y

uc z x y x y u v

v

d z ue ve u e

e z xe x t y e

f z x y x te y e

Bài 02.01.1.083. T7

Chứng minh rằng :

a)Hàm số 2 2ln( )z y x y thỏa mãn phương trình

2

1 1x y

zz z

x y y

b)Hàm số siny

xy

z yx

thỏa mãn phương trình

2

x yx z xyz yz

Bài 02.01.1.084. T7

Tìm hàm số z = z(x,y) thỏa mãn phương trình

)2 0

x ya z z ,bằng phép biến đổi biến số

,v x 2yu x y

2 2)

x yb xz yz x y bằng phép biến đối biến số

,u x y v xy



Bài 02.01.1.085. T10

Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau

2

2 2 3 2

2 2

ln

f) f(x,y)=arctg

) ( , ) ; b)f(x,y)=sin(x+y)+cos(x-y)

1c)f(x,y)= ( ) ; d)f(x,y)=x ln( )

3

) ( , ) ln( );

) ( , ) ; h)f(x,y)= cos(ax+e )y y

a f x y x y x y

x y x y

ye f x y x x y

x

g f x y x

Bài 02.01.1.086. T8

Tính các đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau :

3 3 4

2 2

5 2 2 4 2 23

) , y =? b)xe 0, y =?

c)arctg , y =? d)ln ar , y =?,y =?

e)y 3 5 12, y =? f)2y 3 17, y =?

g)3sin 2cos

y x xya x y y x a ye e

x y y yx y ctg

a a x

x y x xy x

x x

y

3 3 3 2 3 3 2

2

1 0, y =? h)x+y+z =e , z , ?

) 3 , z , ? j) xy , z , ?

k)xe 0, z , ? l)xyz= cos(x+y+z), z , ?

) sin( ) 0,

z

x y

x y x y

y x

x y x y

x y

zy

i x y z xyz z z x y z x y z z

yz ze z z

m y ze xyz

3 3 2

33 3 2

3 z , ? n)arcsin y =?

3x y

x y x yz a

x y xy

Bài 02.01.1.087. T12

Tìm hàm số z = z(x,y)

a)Thỏa mãn phương trình

2 2

2 0x y

z a z

bằng cách đổi biến số u = y+ ax ,v = y-ax

b)Thỏa mãn phương trình

2 2

2 2

x yx yx z y z xz yz

bằng cách đổi biến số u = xy , y

vx



Bài 02.01.1.088. T14

Tìm cực trị của các hàm số

2 2 2 2

4 4 2 2

2 2

2 2

2 2

2 3 2

) 4(x y) x ; b)z=x 1

) ; d)z=2x 2

) ln( ); f)z=xy 1 , 0, 0

) ( ) ( ) ; h)z=x ( 1)

y

a z y xy y x y

c z x y xe y x y

x ye z xy x y a b

a b

g z x y x y x

2 3

4 4 2 2 3) 2( ) ; j)z=x (3 2 1).

y

i z x y x y y x y

Bài 02.01.1.089. T14

Tìm cực trị của các hàm số

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

) khi x +y =1

1 1 1 1 1b)z = khi

) khi 1,

1 1 1) khi 1

a z xy

x y x y a

x y zc u x y z a b c

a b c

d u x y zx y z

chuyên đề: hÀm nhiỀu biẾn vÀ phÉp vi phÂn m...tính giá trị 3 3 3 2 ( , ) (1,2) ......

Documents