Chuyên đè 1: Tổng quan về các khái niệm HHKG Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

I) Phương pháp 1

Cơ sở phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α ) và (β ) cần thực hiện hai bước cơ bản:

- B1: Tìm hai điểm chung A, B của (α ) và (β )

- B2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm; hay AB=(α )∩( β ) (ycbt).II) Phương pháp 2 - Tường tự như phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được một điểm chung S. - Lúc này ta có hai trường hợp:

+ Hai mặt phẳng (α ) , (β ) thứ tự chứa hai đường thẳng (d1), (d2) mà (d1 )∩(d2)=I

⇒SI là giao tuyến cần tìm

+ Hai mặt phẳng (α ) , (β ) thứ tự chứa hai đường thẳng (d1), (d2) mà (d1)//(d2) Dựng xSy song song với (d1) hay (d2) ⇒ xSy là giao tuyến cần tìmIII) Bài tập1) Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song và điểm S ở ngoài (ABCD). Tìm giao tuyến của: a. (SAC) và (SBD) b. (SAB) và (SDC); (SAD) và (SBC)3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) c. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)5) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Gọi G1, G2 là trọng tâm các tam giác SAD; SBC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

a. (SG1G2) và ( ABCD ) b. (CDG1G2) và (SAB ) c. (ADG2) và (SBC )

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng21) Trong tứ diện ABCD, chứng minh rằng đoạn nối hai trọng tâm G1, G2 của hai ∆ABC và ∆ABD thì song song với (ACD).22) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N là trung điểm SA và SB. Chứng tỏ MN//(SCD) và AB//(MNCD).

Đường thẳng vuông góc mặt phẳngDạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng điều kiện cần và đủ

50) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là tứ giác lồi. Biết hai ∆SAB và ∆BAD vuông tại A. Chứng minh AB⊥ (SAD )51) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA = SC và SB = SD. Chúng minh

rằng SO⊥ ( ABCD )

52) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. Giả sử SA = SC. Chứng minh AC⊥ (SBD )53) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, gọi I, J là trung điểm AB, CD và giả sử SA = SB.

Chứng minh rằng CD⊥ (SIJ ) .55) Cho tứ diện H, K là trực tâm các tam giác ABC và DBC. Giả sử rằng HK⊥ (DBC ) . Chứng minh AH, DK và BC đồng quy.

56) Cho tứ diện SABC có SA⊥ ( ABC ) . Gọi H và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh:

a. AH; SK; BC đồng quy b. SC⊥ (BHK ) c. HK⊥ (SBC )Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng trục đường tròn

58) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ cùng một phía (ABCD); các đoạn AA’, CC’ vuông góc (ABCD) sao

cho AA’ = CC’ = a. Chứng minh ( A 'C )⊥ (BC ' D )

59) Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC=1200 , ∠CSA=600 ; ∠ ASB=900 và SA = SB = SC = a. Gọi I là

trung điểm BC. Chứng minh rằng:

a. ∆ABC vuông b. SI⊥ ( ABC )

60) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi có ∠BAC=600 và SA = SB = SC. Chứng minh rằng

SG⊥ (ABCD ) . Với G là trọng tâm tam giác ABC.61) Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD và ∠ ADC=900

. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh rằng.62) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều có ∠ SBD=∠SCD=900

. Gọi O và I lần luwotj

là trung điểm AD và SD. Chứng minh rằng OI⊥ (BCD ) và SA⊥ ( ABCD ) Đường thẳng vuông góc đường thẳng

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

63) Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Chứng minh rằng AB⊥CD

64) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SA⊥ ( ABCD ) . Chứng minh BD⊥SC .

65) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa hình lục giác đều và SA⊥ ( ABCD ) . Một mặt phẳng phẳng qua A vuông góc với SD tại D’ cắt SB; SC tại B’; C’. Chứng minh tứ giác AB’C’D’ nội tiếp được.67) Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kỳ của tứ diện đều thì vuông góc nhau.

68) Cho tứ diện ABCD có AB⊥ (BCD ) và ∠BCD=900. Gọi BH là đường cao ∆ABC. Chứng minh

∆BHD vuông.Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau bằng định lý ba đường vuông góc

70) Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ ( ABCD ) và ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh bốn mặt bên (SBA), (SBC), (SCD), (SAD) đều là tam giác vuông.71) Tứ diện ABCD có AB⊥CD và AC⊥BD . Gọi H là hình chiếu của A xuống (BCD). Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác BCD và AD⊥BC

72) Cho Cx, Dy là hai đường vuông góc với mặt phẳng hình chữ nhật ABCD. Một mp (β ) qua AB cắt Cx, Dy tại E và F. Chứng minh rằng ABEF là hình chữ nhật.73) Trong hình S.ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD. Gọi SH là đường cao hình chóp và SK; SL thứ tự là đường cao các tam giác SAB và SCD. Chứng minh rằng H, K, L thẳng hàng.

Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳngDạng 1:Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau

75) Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ ( ABC ) và ∆ABC vuông ở A. Chứng minh: (SAC )⊥ (SAB )

76) Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ ( ABCD ) và ABCD là hình vuông. Chứng minh rằng:

a. (SAB )⊥ (SBC ) b. (SBD )⊥ (SAC )

77) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và SA⊥ ( ABCD ) . Gọi E và F là hình chiếu của A lên SB và SD. Chứng minh rằng:

a. ( AEF )⊥ (SCD ) b. ( AEF )⊥ (SAC )78) Cho tứ diện S.ABCD có SA = SB = SC và ∆ABC vuông cân tại B. Gọi I và J là trung điểm AC và BC.

Chứng minh rằng (SAC )⊥ (ABC ) và (SIJ )⊥(SBC )Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bằng giao tuyến của hai mặt phẳng

79) Cho hình chóp S.BCD có ∆SAB cân tại S và ABCD là hình chữ nhật. Gọi I là trung điểm AB và giả sử (SAB )⊥ ( ABCD ) . Chứng minh rằng:

a. SI⊥ ( ABCD ) b. BC⊥ (SAB )

80) Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC đều; hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm BC còn O và H lần lượt là trực tâm hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a. SA⊥ ( ABC ) b. SB⊥ (COH ) c. (SAI )⊥ (SBC ) d. OH⊥ (SBC )Chuyên đề 2: Xácđịnh và tính các loại góc trong không gian

Loại 1: Góc của hai đường thẳng trong không gian93) Cho một tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, AC và BD. 1. Hãy xác định rõ góc của AB và Cd. 2. Suy ra điều kiện giữa AB và CD để tam giác IJK: a. Vuông tại I b. Cân tại I c. Vuông cân tại I95) Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA = a và trực giao (vuông góc) với BC. a. Xác định góc của SA và BC. Suy ra hình tính của ∆SAD b. Xác định và tính góc của SD và BC c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Hãy định rõ góc của IJ và BD.

96) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm BC, AD và AC. Cho AB = 2a, CD=2a√2 và MN=a√5 . Tính: ϕ =∠ (AB ; CD )

Loại 2: Tìm góc của đường thẳng và mặt phẳng

98) Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ ( ABCD ) , SA=a và tam giác ABC đều cạnh a.

a. Tính ∠ (SB ; ( ABC ) ) b. Tính tang(SC ; (SAB ) )Loại 3: Xác định góc nhị diện và góc của hai mặt phẳng

100) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc của hai mặt phẳng (ABC) và (DBC).

101) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a; SA⊥ ( ABCD ) , SA=a . Tính góc giữa hai mặt phẳng sau: a. (SBC; ABCD) b. (SBC; SDC)103) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ax và Cy là các nửa đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng hình vuông và cùng ở một phía đối với mặt phẳng hình vuông. Gọi M và N lần lượt là trung điểm trên hai nửa đường thẳng ấy. Đặt AM = x; CN = y. a. Góc của hai mặt phẳng (MBD) và (NBD) là góc nào? b. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để (MBD )⊥( NBD)108) Cho hình chóp tứ giác đều. Chứng minh rằng thiết diện qua một đỉnh của đáy và vuông góc với cạnh bên đối diện với đỉnh đó có diện tích bằng nửa diện tích đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.109) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=AB=a . a. Tính diện tích tam giác SBD theo a. b. Chứng minh rằng các đường thẳng BD và SC vuông góc với nhau. c. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD).

Chuyên đề 3: Các loại thiết diện tạo thành với vật thể hình họcDạng 1: Mặt phẳng cắt sẽ quay quanh một cạnh vật thể tạo ra thiết diện

112) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC và BD trong tứ diện ABCD. Một mặt phẳng α qua I cắt các cạnh AD và AB lần lượt tại M và N. a. Hình tứ giác ỊMN? b. M và N phải ở vị trí nào để tứ giác IJMN là hình bình hành?113) Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng chứa hình thang ABCD AB//CD). Một mặt phẳng qua AB cắt cạnh SC và SD lần lượt tại C’ và D’. Hãy nói rõ hình hình tính thiết diện mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD tạo ra.114) Cho nửa hình lục giác đều ABCD nội tiếp trong vòng tròn O đường kính AD, S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD). Qua BC vẽ một mặt phẳng lưu động (Q) cắt các đoạn SA và SD tại M và N. Hình tính của thiết diện? Thiết diện này có thể là hình bình hành không? Xác định vị trí của thiết diện là hình bình hành lúc đó?

Dạng 2: Mặt phẳng cắt sẽ song song với một hoặc 2 cạnh của vật thể tạo ra thiết diện

116) Cho tứ diện ABCD và một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Một mặt phẳng (P) qua M cắt các cạnh AB, BD và AD tại N, R và S. Hãy nói rõ hình tính thiết diện trong mỗi trường hợp sau: a. (P) song song với CD. b. (P) song song với AB và CD.117) Cho tứ diện ABCD có AB trực giao (vuông góc) với CD. Biết AB = CD = AC = a. Trên cạnh AC lấy điểm M định bởi AM = x. Qua M kẻ mặt phẳng (P) song song với AB và CD, cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, R và T. a. Tìm hình tính thiết diện và cắt tứ diện ABCD? b. Tính diện tích S của thiết diện đó theo a và x c. Định x để S đạt giá trị lớn nhất. Tìm trị số lớn nhất này d. Tính x để S = m2 (m2: số dương cho sẵn). Biện luận120) Cho ∆ABO vuông tại O, C là trung điểm của OB và một điểm D ở ngoài mặt phẳng chứa tam giác soa cho OD là trực giao với AC. Một mặt phẳng (α) lưu động song song với AC và OD cắt OA, AD, BD, OB lần lượt tại M, N, R, S. a. Hãy nói rõ hình tính tứ giác MNRS b. Cho biết thêm OA = OC = OD = a và đặt OM = x. Tính diện tích y của tứ giác trên theo a và x và giá trị lớn nhất của y c. Tìm quỹ tích giao điểm I của MR và NS khi M vẽ đoạn OA122) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, BC và CD. Hãy dựng thiết diện của hình chóp khi cắt mp(MNP).

Dạng 3: Mặt phẳng cắt sẽ song song với một mặt phẳng của vật thể123) Cho hình thang ABCD có đáy AD và BC. Gọi S là điểm bất kỳ nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn AB lấy điểm M. Qua M dựng mặt phẳng α song song với mặt phẳng (SBC). Xác định tính chất thiết diện MNPQ mà α cắt hình chóp S.ABCD tạo thành.126) Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Gọi I là trung điểm AB. M là điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ một mặt phẳng (P)//(SIC). a. Mặt (P) cắt tứ diện theo hình gì b. Tính chu vi y của thiết diện theo x = AM và a

Dạng 4: Mặt phẳng cắt sẽ thẳng góc với một đường thẳng của vật thể131) Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ AB; BC⊥ AB . Tìm thiết diện mà mặt α⊥AB tại M∈ AB cắt hình chóp tạo thành132) Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ AB ; tam giác ABC cân vuông tại C. Gọi M là một điểm lưu động

trong đoạn AB. Timg thiết diện mà mặt α⊥AB tại M đồng thời (α )⊥BC cắt hình chóp tạo thành133) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn CD và SA⊥CD; BD⊥CD . Gọi M là một điểm lưu động trên AB. Tìm thiết diện mà mặt α qua M vuông góc với CD và cắt hình chóp S.ABD tạo thành

Dạng 5: Mặt phẳng cắt sẽ vuông góc với mặt phẳng liên đới của vật thể

135) Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥ ( ABCD ) ; SA=a và ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Dựng và tính diện tích thiết diện qua SO và vuông góc với (SDC)139) Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 2a; AD = a. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và trên đó lấy đoạn AS = 3a. a. Tính các đoạn SB, SC, SD theo a. b. Chứng minh rằng các tam giác SDC và SBC là các tam giác vuông c. Mặt phẳng chứa DC cắt SA tại M và SB tại N. Hãy xác định tính chất của tứ giác CDMN. Đặt AM = x. Tính diện tích của tứ giác CDMN theo a và x.

Chuyên đề 4: Các dạng khoảng cách và đường vuông góc chungLoại 1: Tính và xác định các dạng khoảng cách trong không gian

Dạng 1: Tính khoảng các từ một điểm đến một mặt phẳng

140) Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông tại B và AB = 2BC = 2a. Biết SA⊥ ( ABC ) . Tính d (B; (SAC ) )

141) Cho hình chóp S.ABC có SA = h và SA⊥ ( ABC ) . Lấy điểm M∈SB sao cho MS:MB = 1:2 và gọi I là trung điểm của CM. Tính d(I; (ABC))

142) Cho tứ diện ABCD có AB = CD; BC = BD còn AC = AD. Dựng AH⊥(BCD ) . a. Chúng minh H nằm trên trung tuyến BI của ∆BCD b. Xác định d(A; (BCD))

143) Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ ( ABC ) đều cạnh a. a. Tính d(B; (SAC)) b. Giả sử SA = h. Tính d(A; (SBC))

144) Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = 3a và ∠ ABC=∠ ADC=900 ; ∠BAD=600. Tính

d ( A ; (ABCD )) ; khi biết BD = 2aDạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

150) Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d1, d2 cắt nhau tại điểm A và tạo với nhau một góc α ( 0<α≤900) . Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm B với AB = h; trên đường thẳng d’2 đi qua B và song song với d2 lấy điểm C với BC = a. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C lên d1. a. Tính độ dài AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABD. Từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD. b. Xác định tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D c. Tính khoảng cách từ D đến đường thẳng d2.

Dạng 3: Đoạn vuông góc chung của hai đoạn thẳng chéo nhau158) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Xác định và tính độ dài ddaonj vuông góc chung của AB và CD

159) Cho hình chóp S. ABCD có SA⊥ ( ABCD ) là hình chữ nhật. Dựng đoạn vuông góc chung của SA và CD.160) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB = a; BC = a; AD = 3a; CD=a √7 . Khi SA⊥ ( ABCD ) , hãy dựng và tính độ dài đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a. SA và CD b. AB và SD c. AD và SC

Chuyên đề 5: Mặt cầu ngoại tiếp. Mặt cầu nội tiếpLoại 1: Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng góc vuông

167) Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ ( ABC ); AC=a ; ∠ ABC=900 và SA=a . Định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó

168) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA⊥ ( ABCD ) . Định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó biết SA = SB = 2AD = 3a.

Loại 2: Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng trục đường tròn vằ mặt trung trực169) Tìm tâm G và bán kinh một mặt cầu ngoại tiếp tứ giác đều

170) Cho tứ diện ABCD có ∆ABC đều cạnh a; DA = 2a và DA⊥ ( ABC ) . Định tâm và bán kính mặt cầu nộ tiếp tứ diện

171) Cho hình vuông ABCD, tâm O cạnh a√2 . Điểm H∈ AC sao cho AH=a√2 . Lấy điểm S trên Hx

Hx⊥ ( ABCD ) . Biết ∠ ASC= π

4 . Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp S.ABCDLoại 3: Xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng hai trục đường tròn phân biệt

172) Cho ∆ABC vuông cân tại B với Ab = 2a. Từ trung điểm của AB ta dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) và chọn trên đó điểm S để∆SAB đều. Xác định tâm và tính bán kinh hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

173) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh 2a. Gọi H là trung điểm AB và SH=a√3 là độ dài đường cao hình chóp. Định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Loại 4: Diện tích và hình chiếu174) Cho tứ diện đều cạnh a. Tính góc của 2 mặt phẳng bất kỳ tạo bởi các mặt phẳng đó

175) Cho tứ diện SABC có SA⊥ ( ABC ) và ∆ABC đều cạnh a; ∠BSC= π

2; SB=SC=a√3

2 . Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)176) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Gọi M, N, P thứ tự alf trung điểm các cạnh AB, BC và Đ1 theo thứ tự. a. Xác định thiết diện mà mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương b. Tính diện tích thiết diện đó c. Chứng minh rằng trong thiết diện đó không có 2 đương chéo nào vuông góc nhau

Loại 5: Xác định mặt cầu nội tiếp hình chóp đa giác đều180) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a181) Trên đường vuông góc với tam giác đều ABC cạnh a tại trực tâm lấy một điểm S sao cho SH = 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện SABC182) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp SABC có ∆ABC đều cạnh a cho SA = SB = SC và góc giữa (SBC) và (ABC) là α183) Tìm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là a185) Cho một khối tú diện đều SABC. Gọi SH là đường cao của khối tú diện đó và I là trung điểm của SH. a. Chứng minh rằng điểm I, trọng tâm T của tam giác ABC và tâm hình cầu ngoại tiếp khối tú diện IABC thẳng hàng b. Tính bán kính của hình cầu nội tiếp khối tứ diện IABC theo cạnh a của tứ diện đều SABC c. Chứng minh rằng ba đường thẳng AI, BI và Ci từng đôi một vuông góc với nhau

Một số bài toán không gian (Tuyển sinh 2001-2002)4) Cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung của hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau . Cho AB = a. Lấy điểm M di động trên Ax và điểm N di động trên By sao cho đoạn MN có đọ dài d không đổi. a. Đặt AM = x, BN = y. Tính thể tích tú diện ABMN theo a, x và y b. Tính giá trị lớn nhất của thể tích ấy

Chuyên đề ôn thi THỂ TÍCH

92 – T61: Cho tứ diện ABCD có các cạnh: AD = BC = a; AC = BD = b; AB = CD = c1) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm của các cặp đối diện là đoạn vuông góc chung của các cạnh đó.2) Tính thể tích tứ diện theo a, b, c.104 – T71: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật, mặt bên SCD vuông góc với mặt

phẳng đáy và là một tam giác vuông tại S, SCD¿

=α Mặt bên SAB tạo với mặt đáy một góc β=90−α . Gọi SH, SE theo thứ tự là đường cao của tam giác SCD, SAB. Bi9ết SH + SE = m, tính:1) Thể tích của hình chóp S.ABCD.2) Tổng diện tích của hai mặt bên SAD, SBC.153 – T110: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA⊥( ABC ). Đặt SA = h:1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h.2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm của tam giác SBC. Chứng minh OH⊥(SBC ) .154 – T111: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho AC = a, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) là ϕ .1) Trong mặt bên (SAC), từ A hạ AF vuông góc với BC. Chứng minh AF⊥( SBC )2) Gọi O là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) theo a và ϕ .155 – T112: Cho SABC là một tứ diện ó ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B và AC = 2a; cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA = a.1) Tính khoảng cáchtừ A đến mặt phẳng (SBC).2) Gọi O là trung điểm AC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

156 – T113: Trong mặt phẳng (P) cho O và đường thẳng d cách O một khoảng OH = h. Lấy trên d hai điểm

khác B, C sao cho: BOH¿

=COH¿

=300. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm A sao cho OA

=OB.1) Tính thể tích tứ diện OABC.2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo h.163 – T119: Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a.1) hãy tính chiều cao SO xuất phát từ đỉnh S và thể tích V của tứ diện SABC.2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh MN là đoạn thẳng vuông góc chung của SA và BC. Tính độ dài của MN theoa.166 – T123: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi α là góc nhọn tạo bởi mặt bên và đáy hình chóp SABCD.1) Tính thể tích hình chóp S.ABCD2) Xác định đường vuông góc chung SA và CD. Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và α .189 – T147: Cho tam giác vuông cân ABC, AB = AC = a. BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC), ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó và BB’ = CC’ = a.1) Chứng minh tam giác AB’C’ là tam giác đều.2) Tính thể tích hình chóp có đỉnh A và đáy là tứ giác BCC’B’.3) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, C’, B’ cùng nằm trên một mặt cầu. Tìm thể tich scủa hình cầu tương ứng.191 – T150: Cho tam diện Oxyz. Người ta lấy lần lượt trên Ox, Oy, Oz các điểm P, Q, R cùng khác điểm O. Gọi ABC theo thứ tự là điểm giữa của đoạn thẳng PQ, QR, RP1) Chứng minh các mặt của khối tứ diện OABC là những tam giác bằng nhau.2) Cho OP = a, OQ = b, Ỏ = c. Tính thể tích khối tứ diện OABC là những tam giác bằng nhau.3) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

112 – T184: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2√6 . Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tươg ứng. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.217 – T192: Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = a, SB = b, SC = c.1) Tính thể tích khối S.ABC. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trực tâm tam giác ABC.2) Xác định tam và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

220 – T196: Một hình lăng trụ ABCDA’B’C’D’ có đáy là một tam giác vuông ở A, C=α và AC = b. Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’ tạo với mặt bên ACC’ một góc β .

1) Chứng minh rằng BC ' A¿

=β . Tính thể tích hình lăng trụ nói trên.2) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho và tính diện tyích mặt cầu ấy.248 – T230: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam đều và vuôg góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh rằng SH ¿ (ABCD). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.249 – T232: Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh AB và vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SE = a. Trên đường thẳng AB lấy điểm M. Hạ SH¿

CM, đặt ECM¿

=α . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC; SC. Tính thể tích tứ diện JIEH theo a và α . Xác định α để diện tích này lớn nhất.271 – T253: Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi A’, B’ , C’, D’ lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD và BD.1) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình vuông .2) Tính thể tích của khối DAA’B’C’D’ theo a.

272 – T255: Trong mặt phẳng (P), xét một đườn tròn (C) đường kính AB = 2R và dây cung MN vuông góc

AB tại H. Đặt BAM¿

=α với 0<α< π

2 ; Ax là đường thẳng vuông góc với (P) tai A. Trên Ax lấy một điểm S sao cho AS = R.a) Tính thể tích của hình chóp S.AMBN theo R và α .b) Xác định α để thể tích hình chóp S.BMN bằng 3 lần thể tíchhình chóp S.AMN.279 –T267: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm AB. Qua I dựng đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho 2IS = a√3 .1) Chứng minh rằng tam giác SAD là tam giác vuông.2) Tính thể tích hình chóp S.ACD rồi suy ra khoảng cách từ C đến (SAD).281 – T269: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB = x, các cạnh còn lại bằng a.1) Tính diện tích toàn phần của tứ diện theo a, x.2) Tính thể tích khối tứ diện theo a, x. Với giá trị nào của x thì thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.328 – T319: Cho tứ diện SABC có cạnh SA¿ (ABC), nhị diện cạnh SB là nhị vuông. Cho biết cạnh SB =

a√2 , góc BSC¿

=α ; (0<α< π

2 ).1) Chứng minh rằng BC¿ SB. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.2) Tính thể tích tứ diện SABC.319 – T312: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là 24cm

2, 30cm

2, 40cm

2. Hãy tính thể tích của tứ diện đó.

320 – T312: Cho tứ diện SABC có cạnh SA¿ (ABC). Nhị diện SB là nhị diện vuông, cho biết: SB = a√2 ;

BSC¿

=450; ASB

¿

=α (0<α<90 0)

1) Chứng minh rằng BC¿ SB. Xác định tâm và tính bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.2) Tính thể tích tứ diện SABC. Với giá trị nào của α thì thể tích đó lớn nhất.330 – T321: Hình chóp SABC có đáy là tam giác cân. AB = AC = a, (SBC) ¿ (ABC) và SA = SB = a.1) Chứng tỏ rằng SBC là một tam giác vuông.2) Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp biết SC = x.

331 – T321: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x (0< x< √2

2 ) và AC = AD = BC = BD = 1. Gọi I ; J

lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.1) Chứng minh AB¿ CD và IJ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.2) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất vàtính giá trị lớn nhất đó.332 – T322: Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy một điểm C tùy ý. Dựng CH vuông góc với AB (H thuộc đoạn AB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng

(ABC) tại I lấy điểm S sao cho góc ASB¿

=900

1) Chứng minh tam giác SHC là tam giác đều.2) Đặt AH = h. Tính thể tích V của tứ diện SABC theo h và R.343 – T337: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Dựng mặt phẳng chứa đường chéo AC của hình vuông ABCD và đi qua trung điểm M của cạnh B’C’. Mặt phẳng đó chia hình lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.350 –T345: Cho hình lập phương OBCD.O’B’C’D’ có cạnh bằng .1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng O’B và B’C.2) N là trung điểm BD’. Tính thể tích hình chóp ONBB’3) M là một điểm bất kỳ thuộc OO’. Cúng minh rằng tỷ số thể tích hình chóp MBCC’B’ và hình lăng trụ OCBO’C’B’ không phụ thuộc vào vị trí của M.351 – T347: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’, có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB’, BC’ vuông góc nhau. Tìm thể tích lăng trụ đó.

356 – T354: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy là a, cạnh bên làm với mặt phẳng đáy góc

α (α> π4 )

. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và α .357 – T355: Cho một hình chóp S.ABCD có đáy là một hình chữ nhật với diện tích Q. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuôg góc với đáy, còn các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy là góc α , β . Tính thể tích hình chóp theo Q, α , β .359 – T358: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I . Các nửa đường thẳng Ax, Cx vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng một phía đối với mặt phẳng đó. Chop điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.1) Tính thể tích của hình chóp B.AMNC

2) Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc MIN¿

là góc vuông.360 – T359: Xét hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh của tam giác đều ABC bằng a và (P) là mặt phẳng đi qua A song song với đường thẳng BC và vuông góc với mặt phẳng SBC thì góc giữa (P) và mặt phẳng đáy bằng α . Tính thể tích hình chóp theo a và α .

363 – T362: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA = a√5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD). (P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’.1) Tính diện tích của tứ giác ABC’D’2) Tính thể tích của hình đa diện ABCĐ’C’.

366 – T365: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc SAB¿

=α . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và α .367 – T366: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy là hình hình vuông ABCD có cạnh , mặt bên tạo với mặt đáy hình chóp một góc 600

. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và cắt SC; SD lần lượt tại M , N. Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy hình chóp là 300

.1) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a.2) Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a.368 – T367: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD = a.1) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.2) Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).369 – T368: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB thuộc mp(P). Đường thẳng (d) ¿ (P) tại A. Lấy S∈dvà SA = h. M là một điểm chạy trên đường tròn (O). Mặt phẳng qua A, vuông góc SB tại H, cắt SM tại K.1) Chứng minh: AK¿ (SBM) và K chạy trên một đường tròn cố định khi M chạy trên đường tròn (O).2) Tìm thể tích hình chóp SAHK khi M là trung điểm cung AB.370 – T369: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy cạnh 2a, tâm I, đường cao hình chóp SI = a.

1) Tính tanASI¿

; tanASC¿

; tanASB¿

.2) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp.385 – T396: Cho hình chóp tam giác đều SABC, cạnh đáy là a. Góc ở đỉnh của mặt bên là α .1) Tính thể tích của hình chóp đã cho.2) Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S nội tiếp trong hình chóp đó.387 – T399: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết rằng đáy ABC là một tam giác đều có cạnh bằng a, mặt bên SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc α .2) Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng π , hình nào có thể tích lớn nhất.

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài 4-26) Cho hình chóp tứ giác điều S.ABCD cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0<ϕ<900) . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và ϕBài 4-28) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ∠ ABC=1200

. Tính khoảng các từ A đến mặt phẳng (SBC). (Đề thi dự bị Đại học Cao đẳng khối B)Bài 4-29) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích của khối ANCNM. (Đề thi dự bị 1 Đại học Cao đẳng năm 2006 môn toán khối D)Bài 4-31) Cho hình chóp tứ giá đều S.ABCD, gọi I là trung điểm đường cao SO với O là tâm của ABCD. Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên và mặt bên của hình chóp theo thứ tự p, q. Tính thể tích của hình chóp.Bài 4-32) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và ∠ SAB=α . Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và α. (Đề thi đại học Y hà Nội năm 2000-2001)Bài 4-39) Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB là nhị diện

vuông, biết SB=a√2 , ∠BCS=450 , ∠ ASB=α a. Chứng minh BC⊥SB , xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC b. Tính thể tích tứ diện S.ABC theo a và α, xác định giá trị α để thể tích lớn nhất. (Đề thi Đại học GTVT TP Hồ Chí Minh năm 1998-1999).

Bài 4-47) Cho tứ diện S.ABC có SC=CA=AB=a√2 , SC⊥ (ABC ) , Δ ABC vuông ở A, các điểm M

thuộc SA, N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0<t≤2a ) a. Tính độ dài MN, tìm giá trị t để MN ngắn nhất. b. Khi MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. (Đề thi Đại Học Đà Nẵng năm 2001)Bài 5-3) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc nhị diện (B,A’C,D). (Đề thi Đại học Cao đẳng năm 2003).Bài 5-5) Cho hình lập phương OBCDO1B1C1D1 có cạnh bằng a a. Tính khoảng cách giữa hai đường O1b và B1C b. N là trung điểm của BD1, tính thể tích hình chóp ONBB1

c. M là điểm bất kỳ OO1. Chúng minh tỉ số thể tích hình chóp MBCC1B1 và hình lăng trụ OCBO1C1B1

không phụ thuộc vào vii trí M. (Đề thi Đại học mở Thái Bình 2000-2001).Bài 5-6) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a. a. Tính theo a khoảng cách giữua A1B và B1D b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa MP và C1N. (Đề thi Đại Học khối B năm 2002)Bài 5-13) Cho hình chữ nhật ABCDA1B1C1D1, AB = a, AD = 2a, AA1 = a. a. Tính khoảng cách giữa AD1 và B1C

b. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số

AMMD

=3. Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB1C)

c. Tính thể tích AB1D1C(Đề thi HVCNBCVT – 2001)

Bài 5-19) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có đoạn thẳng nối 2 tâm của hai mặt kề nhau là

a√22

a. Tính thể tích hình lập phương b. Lấy điểm M trên BC, mặt phẳng (MB’D) cắt A’D’ tại N. Chứng minh MN⊥C ' D c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD).Bài 5-20) Cho hình lăng trụ đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a gócBAD = 600

. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh bốn điểm B’, M, D, N cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài AA’ theo a đê r tứ giác B’MDN là hình vuông. (Đề thi Đại học Caop đẳng năm 2003 khối B)

Bài 5-21) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Tính số đo góc nhị diện [B,A’C,D]. (Dề thi Đại học cao đẳng năm 2003 khối A)Bài 5-23) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, ∠BAC=1200

, cạnh bên BB’ = a, gọi I là trung điểm của CC’. Chứng minh tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). (Đề thi Đại học Cao đẳng năm 2003 khối A, đề thi dự bị)

Bài 5-27) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên AA '=a√3 . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, A’B’. a. Tính thể tích khối đa diện ABCA’B’C’ b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (CEB’)(Đề thi cao đẳng năm 2006 CĐCNTP thành phố Hồ Chí Minh)Bài 5-28) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, gọi O1 là tâm của hình vuông A1B1C1D1. Tính thể tích khối tứ diện (A1O1BD)(Đề thi cao đẳng điện lực Thành phố Hồ Chí Minh)Bài 5-29)Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đýa ∆ABC vuông tại A, AC = b, ∠ ACB=600

. Đường chéo BC’ của mặt bên BB’CC’ tạo với mặt phẳng (AA’CC’) góc 300. a. Tính độ dài AC’ b. Tính thể tích khối lăng trụ (Đề thi Cao đẳng kỹ thuật 2006)Bài 5-34) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a, gọi E, F, M, N, P, Q là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D, ABB’A’, CĐ’C’, AĐ’A’, BCC’B’. a. Hình đa diện là hình gì? b. Tính thể tích hình đóBài 5-35) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’=a, chân đựờng cao hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. a. Tính thể tích hình lăng trụ b. Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.(Đề thi TNPTTH năm 1987)Bài 5-40) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’=AB = h, góc B’C tạo với đáy một góc α. a. Tính thể tích hình lăng trụ b. Tính diện tích ∆AB’C

HÌNH CHÓP , KHỐI CHÓPI. Hình chóp : 1. Định nghĩa :

H

D

CB

A

S

Hình chóp tứ giác S.ABCD . 2. Hình chóp đều :

Cho đa giác A1 A2…An và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa

giác đó . Hình gồm n tam giác và đa giác A1 A2…An là hình

chóp S. A1 A2…An . • Tứ diện là hình chóp tam giác . • Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau

AD

CB

S

H

Hình chóp tứ giác đều S.ABCDII. Khối chóp :

Khối chóp là khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp . Ta có khối chóp n-giác , khối tứ diện , khối chóp n-giác đều ...

III. Thể tích khối chóp : V=1

3Sñaùy .cao

BÀI TẬP1. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a .2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a .3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh SC

tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp .4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với

đáy . Biết SA = BC = a . Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC .5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) , cạnh bên

SB = a√3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .

6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm cạnh BC . Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khối chóp S.ABI theo a .

7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên hình chóp đều

bằng nhau và bằng a√2 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD .8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a , góc ASB là 1200, góc BSC là 600, góc CSA là 900.

Chứng minh tam giác ABC vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC .9. Cho tứ diện OABC có OA = a , OB = b , OC = c và vuông góc nhau từng đôi .Tính thể tích khối tứ

diện OABC và diện tích tam giác ABC .10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a . Tam giác SAC là tam giác đều . Tính thể tích

khối chóp S.ABCD .

BÀI TẬP HÌNH CHÓP , KHỐI CHÓP (TIẾP)11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A , AB = a , mặt bên SBC vuông góc với

(ABC) , hai mặt bên còn lại cùng tạo với (ABC) góc 450. Chứng minh chân đường cao H của hình chóp là trung điểm BC và tính thể tích khối chóp S.ABC .

12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD và khoảng cách từ A đến (SCD) .

13. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a , đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a . Gọi B’ là trung điểm SB , C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC . Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) và tính thể tích khối chóp S.AB’C’ .

14. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc mp(ABC) . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB , SC . Tính thể tích khối chóp A.BCMN.

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau . • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của nó qua tâm của đáy ( tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp ) • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau .

15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy . Tính

khoảng cách từ A đến (SBC) biết SA =

a√62 .

16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm CD . Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BE .

17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền BC = a . Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

18. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a , AC = b , AD = c và các góc BAC , CAD , DAB đều bằng 600.

19. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a . Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC .

20. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a , BC = b . Hai mp(BCD) và mp(ABC) vuông góc nhau và góc BDC là 900. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a , b .

21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB =a , BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a .

22. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a và SA vuông góc mp(ABC) . Tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC là 1200. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

23. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với đáy . Tam giác ABC cân ở A và có đường cao AD = a . Mặt bên SBC là tam giác đều . Cạnh SB tạo với đáy góc 600 . Chứng minh SB2 = SA2 + AD2 + BD2 và tính thể tích hkối chóp S.ABC .

24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a , cạnh bên a√2 . Tính khoảng cách từ mỗi đỉnh của đáy đến mặt bên đối diện và tính thể tích khối chóp S.ABC .

25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a , SA vuông góc với (ABCD) và SA = a . Mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc SD . Tính thể tích khối chóp có đỉnh là S và đáy là thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD .

26. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD) , SA = a , đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD là 1200 . Tính thể tích khối chóp S.BCD suy ra khoảng cách từ D đến (SBC) .

27. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB , SC . Biết (AMN) vuông góc (SBC) . Tính theo a diện tích tam giác AMN .

28. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và

khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng a√36 . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên

SCD và thể tích khối chóp S.ABCD .29. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC). AB = a, BC = a√3và SA = a. Một mặt phẳng qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.30. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ACB = 600, BC = a, SA = a . Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích khối tứ diện MABC.