Ciąg Ciąg FibonacciegoFibonacciego

Króliki, rośliny … liczby

Ciąg Fibonacciego

Złoty podziałGeometria Sztuka

Ciekawostki ZakończObjaśnienia

ObjaśnieniaObjaśnienia

Aby powiększyć obrazek/zdjęcie należy kliknąć na niego lewym przyciskiem myszy.

Aby powrócić należy ponownie nacisnąć na obrazek.

W slajdzie 4 aby zobaczyć rozwiązanie zagadki należy nacisnąć na przycisk nazwany ”rozwiązanie”.

Przyciski po lewej stronie służą do powracania do listy slajdów podzielonych na kategorie.

Leonardo FibonacciLeonardo FibonacciPodróżnik i kupiec z Pizzy.Matematyk epoki średniowiecza.Wprowadził do Europy cyfry arabskie. Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego.Autor słynnego zadania o królikach.Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.). (KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY

POWIĘKSZYĆ)

Zagadka Fibonacciego:Zagadka Fibonacciego:

każda para staje się płodna po 2 miesiącach,każda para rodzi jedną nową parę co miesiąc,króliki nigdy nie umierają?

Ile par królików będziesz miał

po roku, jeżeli :

Rozwiązanie

Licząc pary królików w poszczególnych miesiącach możemy zauważyć że układają się one w pewien ciąg. To

właśnie jest ciąg liczb fibonacciego znajdujący zastosowanie m.in. także w genetyce.

Ciąg FibonacciegoCiąg Fibonacciego1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,

377, 610, 987, 1597 …

Liczby z tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego,

Fibonacci kolejność liczb osadzał w prosty arytmetyczny związek. A mianowicie, że w ciągu Fibonacciego każda liczba jest sumą dwóch poprzednich i tak 1+2=3 , 2+3=5, 3+5=8 itd..

21 nnn FFF

Wśród pszczółWśród pszczółTrutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę - królową, powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już dwoje rodziców - inną królową i trutnia.Niech Tn oznacza liczbę n - praprzodków. Widać już, że na poziomie pierwszych pradziadków

truteń ma dwie prababcie i jednego pradziadka, łącznie troje; piętro wyżej, na poziomie drugich pradziadków - pięcioro. Ogólnie na poziomie n - tych pradziadków ma dokładnie Tn-1   n - prababć oraz Fn-2  n - pradziadków; łącznie Tn= Tn-1 + Tn-2   n - praprzodków.

Nowe pędyNowe pędy Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż rozmnażanie się stada królików - biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.

Złoty podziałZłoty podziałii

złota liczba złota liczba

Złoty odcinekZłoty odcinekPodział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej.

φ = (a+b) : a = a : b

Inne nazwy Inne nazwy - boska proporcja - złota proporcja - złote cięcie - złoty podział - zwana przez starożytnych

matematyków “divina proportio” - podział harmoniczny

Złoty podziałZłoty podziałZłota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych.Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Złota liczba i jej wartośćZłota liczba i jej wartośćzłota liczba jest rozwiązaniem równania: (wzór)

dokładna wartość:

Rozwinięcie dziesiętne:

• Ułamek łańcuchowy:

2

15

012 0

φ ≈ 1,61803

Własności złotej liczbyWłasności złotej liczby

Jeżeli chcesz znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy abyś odjął od niej jeden.

Żeby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jeden.

11

12

2

151

Złota proporcja, a ciąg Złota proporcja, a ciąg fibonacciegofibonacciego

Aby znaleźć złotą proporcję należy następną liczbę z ciągu podzielić przez poprzednią i tak :

3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…

Konstrukcja złotego odcinkaKonstrukcja złotego odcinka

Złoty prostokątZłoty prostokąt

Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem.

b

a

b a - b

Złoty prostokąt, a ciąg Złoty prostokąt, a ciąg FibonacciegoFibonacciego

Każdy z boków poszczególnych kwadratów znajdujących się wewnątrz złotego prostokąta ma bok długości odpowiadający kolejnym liczbom z ciągu.

Złoty trójkątZłoty trójkąt

w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.trójkąt równoramienny, stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie.

||

||

AC

BC

A C

B

D

36°36°

36°

||

||

DC

AD

SpiralaSpiralaSpirala równokątna leży w złotym podziale.Ta spirala występuje we wzorze łusek na szyszkach i w rozkładzie pestek na tarczy słonecznika. Spirala doskonała ma pewną własność, dzięki której jej matematyczna nazwa brzmi "Spirala równokątna".

Pięciokąt foremnyPięciokąt foremny

wszystkie boki, kąty i przekątne równekażda przekątna jest równoległa do jednego  boku. przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył Hippasus (V wiek p.n.e.).

PentagramPentagrampięciokąt foremny,gwiazda pitagorejska,symbol doskonałości według Greków i Pitagorejczyków,Dla pierwszych chrześcijan pentagram odzwierciedlał pięć ran Jezusa ze względu na 5 wierzchołków, Pitagorejczycy widzieli w nim symbol doskonałości, Od XIV wieku uważany za symbol szatana, ze względu na podobieństwo do głowy kozła (odwrócony dwoma wierzchołkami do góry).

Własności pentagramuWłasności pentagramu

miara kąta w każdym wierzchołku jest równa 36º.suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. W pentagramie ukryty jest złoty podział.                                                 

b

a

b

ab

Pentagram dawniej i dziś Pentagram dawniej i dziś - ciekawostki- ciekawostki

Pentagram to pięcio-ramienna gwiazda, w której została zachowana złota proporcja. Był używany jako symbol przez starożytnych Greków i Babilończyków oraz Związek Pitagorejczyków. Miał magiczne właściwości, i wielu ludzi którzy praktykują jego kult nosi go. W XIX wieku Eliphas Levi podzielił pentagramy na "dobrą stronę" i "złą stronę". Za "dobrą" uznał ten odwrócony jednym wierzchołkiem do góry, za "złą" odwrócony — zwrócony dwoma wierzchołkami do góry. Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem do góry zwany jest Pentagramem Białym, jest on odzwierciedleniem sacrum — siły boskiej. Odzwierciedla również pięć zmysłów człowieka, oraz pięć żywiołów: powietrze, wodę, ziemię, ogień i ducha, ukazując wyższość umysłu człowieka nad wszelkimi innymi żywiołami i zmysłami.Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem ku dołowi zwany jest Pentagramem Odwróconym, Czarnym, lub Pentagramem Baphometha. Przedstawia profanum - człowieczeństwo, odzwierciedla on wyższość żądz i emocji nad rozumem, jest powszechnie uważany za znak satanistyczny, chociaż często mylony z Pentagramem Białym.

W starożytnościW starożytności

Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. Utożsamiali piękno z symetrią i umiarem.złoty podział uważali za proporcję doskonałą. stosowali go w architekturze i sztuce. na jego podstawie powstał Partenon

Partenon na AkropoluPartenon na AkropoluFronton Partenonu, świątyni Ateny na Akropolu, można zawrzeć w prostokącie, w którym stosunek boków wyraża się złotą liczbą.

Wielcy artyści Wielcy artyści zastosowujący złote zastosowujący złote

cięciecięcie

Leonardo da VinciLeonardo da Vinci

Człowiek witruwiański

(kanon proporcji)

uważany za przykład tzw. człowieka renesansu. ur. 1452 - zm. 1519

Leonardo da Vinci zauważył, że ciało człowieka zbudowanego proporcjonalnie jest wpisane w kwadrat i w koło. Taki kwadrat i koło wyznaczają prostokąt, który dla człowieka o prawidłowych proporcjach jest złoty.

Michał AniołMichał Anioł

Jego prawdziwe imię brzmi: Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni jeden z najgenialniejszych artystów plastyków świata. ur.1475 - zm.1564

Michał Anioł,Dawid

FidiaszFidiasz

Złotą liczbę oznacza się dziśwłaśnie przez

od pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza.

Fidiasz, Atena Lemnia

Fidiasz stosował w swych rzeźbach zasadę złotej proporcji. Rzeźbiarz grecki, uważany za najwybitniejszego przedstawiciela greckiej rzeźby starożytnej okresu klasycznego.

LeocharesLeochares

LeocharesApollo Belwederski

Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji.

linia E wskazuje złotą proporcję między głową

a górną częścią tułowia.

Linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

Leochares (IV wiek p.n.e.)

Złote cięcie występuje Złote cięcie występuje także…także…

Złote cięcie w przyrodzieZłote cięcie w przyrodzie

Jeżeli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze, to okaże się, że między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.

||

||

LM

KL

Na dłoniNa dłoniSpójrz na swoja dłoń, masz...

2 ręce5 palców, 3 części palca2 kciuki

Czy to jest zbieg okoliczności????? Raczej nie…Jeżeli zmierzysz długość kości w twoim palcu, wygląda to tak jakby współczynnik najdłuższej kości w palcu do środkowej części palca był liczbą fi.A co ze współczynnikiem środkowej kości do najkrótszej kości ( na końcu palca ) także fi ? No właśnie…

Ciało człowiekaCiało człowiekaWymiary ciała mężczyzny - znajdujemy wśród nich wiele złotych proporcji: dwie części całego ciała oddzielone linią pępka pozostają w "boskiej proporcji", podobnie - wysokość głowy do górnej części tułowia, a także - kolana są na "doskonałej wysokości" względem reszty dolnej części tułowia.

PiramidyPiramidyZłotą liczbę wykorzystano przy budowie Wielkiej

Piramidy w Gizie.

Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy(połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.

Łańcuch DNAŁańcuch DNA

DNA w komórkach pojawia się w podwójnych spiralach. Ta forma łańcucha DNA ma dwa wyżłobienia, tak że współczynnik fi w proporcji głównego wyżłobienia do mniejszego jest w złotej proporcji.

Sri YantraSri YantraWe wrześniu 1990 roku odkryto na pustyni Alvord ogromny znak, który przez niektórych został określony jako „pustynny piktogram”. Był to ogromny, perfekcyjnie wykonany geometryczny znak, który znajdował się na wysuszonym dnie jeziora. Eksperci zidentyfikowali znak jako Sri Yantrę – symbol matki natury czczonej w Indiach. Znak miał ok. 400 metrów średnicy, a jego analiza wykazała brak śladów opon i wszelkich innych znaków zostawionych przez człowieka. Część badaczy uznała więc, że twórcą znaku musieli być przybysze z kosmosu. Po jakimś czasie do stworzenia znaku przyznał się Sri Yantra składa się z 9 równoramiennych trójkątów, które nakładając się na siebie tworzą 43 mniejsze trójkąciki. Pięć trójkątów jest skierowanych do dołu i reprezentuje żeńską energię (Sakti), a cztery są skierowane do góry i reprezentują męski aspekt mądrości (Siva). Centralny punkt zwany „bindu” reprezentuje oryginalne zjednoczenie aspektu męskiego i żeńskiego przed aktem stworzenia. Charakterystyczną cechą Sri Yantry jest to, że w największym trójkącie kąt podstawy wynosi ok. 52 stopni. Przywodzi to na myśl Wielką Piramidę w Gizie, której kąt pochylenia ścian bocznych do podłoża wynosi 51,5 stopnia. Ciekawostką jest, że w kształcie największego trójkąta Sri Yantry zapisana jest liczba fi. Zakodowanie tej liczby w wedyjskim znaku świadczy, zdaniem niektórych, o odwzorowaniu w nim boskich praw natury.

Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.

System dwójkowy System dwójkowy

Przykłady występowaniaPrzykłady występowania(KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY POWIĘKSZYĆ)

Złoty podział występuje w wielu zjawiskach we wszechświecie…

Oprócz tego z biegiem czasuodkrywamy jego nowe zastosowania…

PodsumowaniePodsumowanie

Może sami kiedyś znajdziecie inne wykorzystanie…

Mamy nadzieję, że sami zapragniecie poszerzać swoją wiedzę o nowe wiadomości związane z przedstawionym przez nas tematem…

KoniecKoniec

Joanna Kosior

Joanna Konsek