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Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física Ensino Médio, 1º Ano Energia potencial gravitacional

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Page 1: Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física Ensino Médio, 1º Ano Energia potencial gravitacional

Ciências da Natureza e suas Tecnologias - Física

Ensino Médio, 1º AnoEnergia potencial gravitacional

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FÍSICA, 10 Ano do Ensino MédioEnergia potencial gravitacional

Sumário

1. Introdução

2. Energia potencial gravitacional 3. Aplicações 3.1 Velocidade de escape 3.2 Marés

4. É hora de exercitar...

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FÍSICA, 10 Ano do Ensino MédioEnergia potencial gravitacional

1. Introdução

Na parte inicial do curso de mecânica, vimos como determinar a expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula devido à sua interação com a terra. Vamos relembrar:

Considere um bloco de massa m que está suspenso por um fio preso ao teto. A distância do bloco ao solo vale h, e a distância até uma mesa que está logo abaixo vale d. A mesa tem uma altura h0 em relação ao solo. Vejamos a ilustração...

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O bloco tem capacidade de realizar trabalho, ou seja, tem energia armazenada devida à sua posição em relação à mesa e ao solo.

p

d

h0

h

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Vamos calcular o trabalho que o peso do bloco pode realizar ao cair, ao longo do deslocamento, cujo módulo será medido pela altura h. Se a origem do referencial for a superfície da mesa, o módulo do deslocamento será d = h – h0. Sendo o módulo da força F = P = mg, com mesma direção e sentido do deslocamento, o trabalho do peso do corpo medido em relação à mesa é:

p

)(

1).()0cos(.

0

00

hhmg

hhmgFd

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Se a origem for o solo, o módulo do deslocamento será d = h. , portanto o trabalho do peso será:

Se essas expressões medem o trabalho que o peso do bloco pode realizar, elas também nos permitem medir a energia potencial gravitacional EP desse bloco. Como sabemos, a força gravitacional é conservativa, logo, é possível transformar energia potencial em energia cinética e vice-versa desde que não haja forças de dissipação. Assim, o trabalho realizado pela força peso é igual à energia potencial gravitacional que estava armazenada.

mgh

mghFd

1.)0cos(. 0

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Portanto, a energia potencial do bloco em relação à mesa e ao solo, respectivamente, será:

e

É importante notar que, nessas condições, o valor de g é considerado constante ao longo do deslocamento, pelo fato de o corpo estar próximo à superfície da terra. Definimos arbitrariamente a energia potencial do sistema corpo-terra como zero na superfície (solo).

mghE

hhmgE

P

P

)( 0

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2. Energia potencial gravitacional

Vamos agora considerar uma situação mais geral, em que duas partículas, de massas m e M, separadas por uma distância r, interagem gravitacionalmente.

Para sermos mais concretos, vamos supor M como a massa da terra e m como a de uma bola de tênis, mas nossas conclusões serão mais gerais, não importando as massas relativas das partículas. Tomaremos como nula a energia potencial no caso em que a distância r entre as massas é infinita.

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A energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas é

r

GMmEP (1)

M

mr

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De acordo com essa equação, ao fazer r = infinito, a energia potencial será nula de acordo com nossa hipótese inicial.

A origem dessa expressão vem da lei da gravitação de Newton:

, onde

A equação (1) é obtida se calcularmos o trabalho necessário para trazer o corpo m do infinito (onde EP=0), realizado pela força de atração gravitacional entre M e m, até o ponto em que a distância entre as partículas é r. No entanto, são necessárias ferramentas matemáticas mais avançadas que não abordaremos.

2r

GmMF 2211 /.10.67,6 kgmNG

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• A energia potencial dada pela equação (1) é uma propriedade de um sistema de duas partículas. É impossível dividir essa energia e dizer que uma parte pertence a uma partícula e o restante à outra.

• Se M >> m como certamente é o caso da terra e da bola de tênis, quando a bola se move nas vizinhanças da terra, mudanças na energia potencial do sistema terra-bola se manifestam, quase na totalidade, como alterações na energia cinética da bola. Isso vem da 2ª lei de Newton, pois, se a força gravitacional é a mesma para a terra e a bola, a aceleração maior se dá no corpo de menor massa (bola), sendo praticamente nula na terra (sua massa é infinitamente maior que a bola).

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• Isso explica o fato de sentirmos muito mais os efeitos gravitacionais da terra que ela de nós.

Se nosso sistema contém mais de duas partículas, consideramos um par de cada vez, calculando a energia potencial gravitacional deste par, usando a equação (1) como se as outras partículas não existissem e, depois, somamos os resultados.

Consideremos, por exemplo, um sistema de três partículas como ilustra a figura a seguir:

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A energia potencial deste sistema será, portanto:

)23()13()12()( PPPtotalP EEEE

m1

m2

r23m3

r12

r13

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Assim, os índices representam os pares de partículas consideradas. Em termos das distâncias e das massas, teremos:

23

32

13

31

12

21)( r

mGm

r

mGm

r

mGmE totalP

23

32

13

31

12

21)( r

mGm

r

mGm

r

mGmE totalP

Ou seja, se tivermos um sistema de n partículas, cada contribuição de pares deve ser somado à energia potencial total.

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Um aglomerado globular na constelação de Sagitário é um bom exemplo natural de um sistema de partículas. Esse contém dezenas de milhares de estrelas, que sugerem uma enorme quantidade de energia potencial, gravitacional, armazenada no universo.

Imag

em:

Agl

omer

ado

glob

ular

na

cons

tela

ção

de

Sag

itário

/ E

SA

/Hub

ble

& N

AS

A /

Cre

ativ

e C

omm

ons

Attr

ibut

ion

3.0

Unp

orte

d.

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3. Aplicações

3.1 Velocidade de escape

Se você jogar um objeto para cima, normalmente, ele perderá velocidade até parar por um instante e retornar à terra.

Há, no entanto, uma certa velocidade inicial que o fará subir para sempre, atingindo o repouso, teoricamente, só no infinito. Essa velocidade inicial é chamada Velocidade de escape.

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Considere um foguete de massa m, deixando a superfície da terra com velocidade de escape v. A energia mecânica do foguete (cinética + potencial) no início do lançamento será:

O M é a massa da terra e rt o raio da terra.

tr

GmMmvE

2

2

(2)

Imagem: Apollo 15 / NASA / Public Domain.

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Quando o foguete atinge o infinito, para. Logo, não tem energia cinética. Também não tem energia potencial, pois, nesse ponto, consideramos que a energia potencial é zero (como vimos). Assim, no infinito sua energia mecânica é nula. Pelo princípio da conservação da energia, concluímos que a energia mecânica do foguete no momento do lançamento deve ser igual no momento em que ele atinge o infinito. Portanto, da equação (2) teremos:

tt

tt

r

GMv

r

GMv

r

GmMmv

r

GmMmv

22

20

2

2

22

Velocidade de escape

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• Apesar de usarmos a terra como exemplo, essa expressão vale para qualquer planeta ou corpo celeste, basta saber sua massa e seu raio.

3.2 Marés

As marés, na terra, constituem um fenômeno resultante da atração gravitacional (e, consequentemente, o acúmulo de grande energia potencial gravitacional) exercida pela Lua sobre a terra e, em menor escala, do Sol sobre a terra. A ideia básica da maré, provocada pela Lua, é que a atração gravitacional sentida por cada ponto da terra, devido à Lua, depende da distância do ponto dela mesma.

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• A atração gravitacional sentida do lado da terra que está mais próximo à Lua é maior que a sentida no centro da terra. Logicamente, no lado que está mais distante, a atração gravitacional é menor.

• Portanto, em relação ao centro da terra, um lado está sendo puxado na direção da Lua e outro lado está sendo puxado na direção contrária (este último por causa da rotação da terra).

• Como a água flui mais facilmente, ela se “empilha” nos dois lados da terra (na direção da Lua e na direção contrária).

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• Abaixo ilustraremos esse efeito. A parte em azul claro representa as águas dos oceanos. Enquanto a terra gira no seu movimento diário, o bojo de água sempre aponta na direção da Lua.

A parte da terra mais próxima da Lua e a parte oposta estão em maré alta, enquanto os pontos mais próximos do centro estão em maré baixa.

Lua

Terra

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• Seis horas mais tarde, a rotação da terra levará essa parte onde a maré estava alta a 90º da Lua e, assim, ela terá maré baixa.

Note que estamos usando o referencial da terra, ou seja, na figura anterior, giramos 90º no sentido anti-horário acompanhando a terra. Não estamos analisando a translação da Lua em torno da terra (que dura 27 dias), mas sim a rotação da terra no seu próprio eixo (24h).

LuaTerra

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• Dali a mais seis horas, essa mesma parte estará a 180º da Lua e terá maré alta novamente. Portanto, as marés acontecem duas vezes a cada dia!

Existe um link de um vídeo no YouTube que ilustra um pouco esse fenômeno abordado aqui: http://www.youtube.com/watch?v=jm235LzAez0&feature=related Lua

Terra

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4. É hora de exercitar...

Questão 1

Calcule a energia potencial gravitacional entre a Terra e a Lua, sabendo que a distância entre eles é de 384000 km e considerando-os como partículas pontuais devido à grande distância. Dados: Mterra = 5,97.1024 kg, MLua = 7,35.1022 kg.

Resolução:

Usando a expressão da energia potencial gravitacional de um par de massas, teremos:

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O sinal negativo serve apenas para indicar que a variação da energia potencial sempre é oposta à variação do trabalho (energia cinética).

JE

JmN

E

m

kgkgkgmNE

r

MGME

P

P

P

LuaTerraP

28

278

35

8

22242211

10.621,7

10.21,7610.84,3

.10.67,292

10.84,3

)10.35,7)(10.97,5)(/.10.67,6(

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Questão 2

Três partículas pontuais de massas m1 = 2kg, m2 = 3kg e m3 = 4kg estão dispostas conforme a figura abaixo:

Calcule a energia potencial do sistema, sabendo que r13 = 3m e r23 = 4m.

m3

m1

m2

r23

r12

r13

m3

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Resolução:

Primeiro vamos encontrar o valor de r12 , usando o teorema de Pitágoras:

Assim, usando a expressão da energia potencial gravitacional de um sistema de três partículas, teremos:

23

32

13

31

12

21)( r

mGm

r

mGm

r

mGmE totalP

mr

rrr

52516943

)()()(

2212

223

213

212

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Podemos colocar G em evidência. Assim, substituindo os valores, obtemos:

JJE

mNE

m

kgkg

m

kgkg

m

kgkgkgmNE

totalP

totalP

totalP

1011)(

11)(

2211)(

10.58,410.8,45

.366,22,110.67,6

4

4.3

3

4.2

5

3.2/.10.67,6

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Questão 3

Calcule a velocidade inicial que um foguete deve ter para sair totalmente da atração gravitacional da Terra com direção ao espaço infinito. Qual seria esse valor na Lua? Dados: raio da Terra: 6370km, raio da Lua: 1738km.

Resolução

O que nós queremos nada mais é que a velocidade de escape. Para a terra, teremos:

m

kgkgmN

r

GMv

Terra

TerraTerra 6

242211

10.37,6

10.97,5)./.10.67,6.(22

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skmsmv

smsm

v

Terra

Terra

/ 1,11/10.11,1

/10.25,110.37,6

/10.63,79

4

2286

2213

Logo, para o foguete escapar da gravidade terrestre, seus motores devem desenvolver uma velocidade inicial de 11,1km/s!

Analogamente, usando a massa e o raio da Lua na mesma expressão, encontramos a velocidade de escape do foguete na Lua. Fica como verificação! O valor encontrado deve ser aproximadamente:

skmvLua / 3,2

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FIM

Imag

em: E

stre

la V

838

Mon

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otis

/ N

AS

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) / P

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Dom

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Tabela de Imagens

n° do slide

direito da imagem como está ao lado da foto

link do site onde se conseguiu a informação Data do Acesso

15 Aglomerado globular na constelação de

Sagitário / ESA/Hubble & NASA / Creative Commons Attribution 3.0 Unported

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Messier_54_HST.jpg

23/08/2012

17 Apollo 15 / NASA / Public Domain. http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Apollo_15_launch.jpg

23/08/2012

31 Estrela V838 Monocerotis / NASA, ESA and H.E. Bond (STScI) / Public Domain.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:V838_Mon_HST.jpg

23/08/2012