SIGNIFICANT DIGITSThe number of significant digits in an answer to a calculation will depend on the number of significant digits in the given data, as discussed in the rules below. Approximate calculations (order-of-magnitude estimates) always result in answers with only one or two significant digits. When are Digits Significant? Non-zero digits are always significant. Thus, 22 has two significant digits, and 22.3 has three significant digits. With zeroes, the situation is more complicated:a. Zeroes placed before other digits are not significant; 0.046 has

two significant digits. b. Zeroes placed between other digits are always significant; 4009 kg has four significant digits. c. Zeroes placed after other digits but behind a decimal point are significant; 7.90 has three significant digits. d. Zeroes at the end of a number are significant only if they are behind a decimal point as in (c). Otherwise, it is impossible to tell if they are significant. For example, in the number 8200, it is not clear if the zeroes are significant or not. The number of significant digits in 8200 is at least two, but could be three or four. To avoid uncertainty, use scientific notation to place significant zeroes behind a decimal point: 8.200 103 has four significant digits 8.20 103 has three significant digits 8.2 103 has two significant digits Significant Digits in Multiplication, Division, Trig. functions, etc. In a calculation involving multiplication, division, trigonometric functions, etc., the number of significant digits in an answer should equal the least number of significant digits in any one of the numbers being multiplied, divided etc. Thus in evaluating sin(kx), where k = 0.097 m-1 (two significant digits) and x = 4.73 m (three significant digits), the answer should have two significant digits.

Note that whole numbers have essentially an unlimited number of significant digits. As an example, if a hair dryer uses 1.2 kW of power, then 2 identical hairdryers use 2.4 kW: 1.2 kW {2 sig. dig.} 2 {unlimited sig. dig.} = 2.4 kW {2 sig. dig.} Significant Digits in Addition and Subtraction When quantities are being added or subtracted, the number of decimal places (not significant digits) in the answer should be the same as the least number of decimal places in any of the numbers being added or subtracted. Example: 5.67 J (two decimal places) 1.1 J (one decimal place) 0.9378 J (four decimal place) 7.7 J (one decimal place) Keep One Extra Digit in Intermediate Answers When doing multi-step calculations, keep at least one more significant digit in intermediate results than needed in your final answer. For instance, if a final answer requires two significant digits, then carry at least three significant digits in calculations. If you round-off all your intermediate answers to only two digits, you are discarding the information contained in the third digit, and as a result the second digit in your final answer might be incorrect. (This phenomenon is known as "round-off error.") The Two Greatest Sins Regarding Significant Digits1. Writing more digits in an answer (intermediate or final) than

justified by the number of digits in the data.2. Rounding-off, say, to two digits in an intermediate answer, and

then writing three digits in the final answer.

Significant figuresThe significant figures (also called significant digits) of a number are those digits that carry meaning contributing to its precision. This includes all digits except: leading and trailing zeros where they serve merely as placeholders to indicate the scale of the number. spurious digits introduced, for example, by calculations carried out to greater accuracy than that of the original data, or measurements reported to a greater precision than the equipment supports.

The concept of significant digits is often used in connection with rounding. Rounding to n significant digits is a more general-purpose technique than rounding to n decimal places, since it handles numbers of different scales in a uniform way. For example, the population of a city might only be known to the nearest thousand and be stated as 52,000, while the population of a country might only be known to the nearest million and be stated as 52,000,000. The former might be in error by hundreds, and the latter might be in error by hundreds of thousands, but both have two significant digits (5 and 2). This reflects the fact that the significance of the error (its likely size relative to the size of the quantity being measured) is the same in both cases. Computer representations of floating point numbers typically use a form of rounding to significant digits, but with binary numbers. The term "significant digits" can also refer to a crude form of error representation based around significant-digit rounding; for this use, see significance arithmetic.

Identifying significant digitsThe rules for identifying significant digits when writing or interpreting numbers are as follows:All non-zero digits are considered significant. For example, 91 has two significant digits (9 and 1), while 123.45 has five significant digits (1, 2, 3, 4 and 5). Zeros appearing anywhere between two non-zero digits are significant. Example: 101.12 has five significant digits: 1, 0, 1, 1 and 2. Leading zeros are not significant. For example, 0.00052 has two significant digits: 5 and 2. Trailing zeros in a number containing a decimal point are significant. For example, 12.2300 has six significant digits: 1, 2, 2, 3, 0 and 0. The number 0.000122300 still has only six significant digits (the zeros before the 1 are not significant). In addition, 120.00 has five significant digits. This convention clarifies the accuracy of such numbers; for example, if a result accurate to four decimal places is given as 12.23 then it might be

understood that only two decimal places of accuracy are available. Stating the result as 12.2300 makes clear that it is accurate to four decimal places. The significance of trailing zeros in a number not containing a decimal point can be ambiguous. For example, it may not always be clear if a number like 1300 is accurate to the nearest unit (and just happens coincidentally to be an exact multiple of a hundred) or if it is only shown to the nearest hundred due to rounding or uncertainty. Various conventions exist to address this issue: A bar may be placed over the last significant digit; any trailing zeros following this are insignificant. For example, has three significant digits (and hence indicates that the number is accurate to the nearest ten).

The last significant digit of a number may be underlined; for example, "2000" has one significant digit.

A decimal point may be placed after the number; for example "100." indicates specifically that three significant digits are meant.[1]

However, these conventions are not universally used, and it is often necessary to determine from context whether such trailing zeros are intended to be significant. If all else fails, the level of rounding can be specified explicitly. The abbreviation s.f. is sometimes used, for example "20 000 to 2 s.f." or "20 000 (2 sf)". Alternatively, the uncertainty can be stated separately and explicitly, as in 20 000 1%, so that significant-figures rules do not apply.Scientific notation

Generally, the same rules apply to numbers expressed in scientific notation. However, in the normalized form of that notation, placeholder leading and trailing digits do not occur, so all digits are significant. For example, 0.00012 (two significant digits) becomes 1.2104, and 0.000122300 (six significant digits) becomes 1.22300104. In particular, the potential ambiguity about the significance of trailing zeros is eliminated. For example, 1300 to four significant digits is written as 1.300103, while 1300 to two significant digits is written as 1.3103.

RoundingTo round to n significant digits:Start with the leftmost non-zero digit (e.g. the "1" in 1200, or the "2" in 0.0256). Keep n digits. Replace the rest with zeros. Round up by one if appropriate. For example, if rounding 0.039 to 1 significant digit, the result would be 0.04.

There are several different rules for handling borderline cases o If the first non-significant digit is a 5 followed by other nonzero digits, round up the last significant digit (away from zero). For example, 1.2459 as the result of a calculation or measurement that only allows for 3 significant digits should be written 1.25. o If the first non-significant digit is a 5 not followed by any other digits or followed only by zeros, rounding requires a tiebreaking rule. For example, to round 1.25 to 2 significant digits, Round half up rounds up to 1.3, while Round half to even rounds to the nearest even number 1.2.

ArithmeticFor multiplication and division, the result should have as many significant digits as the measured number with the smallest number of significant digits. For addition and subtraction, the result should have as many decimal places as the measured number with the smallest number of decimal places. Contrary to the common practice, when performing a calculation, do not follow these guidelines for intermediate results keep as many digits as is practical to avoid rounding errors.[2]

References1. ^ Myers, R. Thomas; Oldham, Keith B.; Tocci, Salvatore. "2" (Textbook). Chemistry. Austin, Texas: Holt Rinehart Winston. p. 59. ISBN 0-03-052002-9. 2. ^ http://www.ligo.caltech.edu/~vsanni/ph3/SignificantFiguresAndMeasure ments/SignificantFiguresAndMeasurements.pdf

CIFRAS SIGNIFICATIVAS SU UTILIZACIN EN EL CLCULO NUMRICO Y EN LA EXPRESIN DE RESULTADOS

En clase de fsica y qumica es frecuente que un alumno que est resolviendo un problema numrico pregunte por el nmero de decimales que debe escribir como resultado de una operacin aritmtica. Tambin es frecuente que, ante la duda, presente un resultado final como 3,0112345 10-6, es decir, escriba todos los decimales que la calculadora le ofrece. El principal objetivo que se plantea este artculo es recordar las reglas que permiten cumplir con una correcta utilizacin de las cifras significativas de un nmero cuando se realizan operaciones matemticas, pero tambin, puestos a conocer dichas reglas, analizar la idoneidad de las mismas respecto de la propagacin de errores. Finalmente, una vez cumplidos estos objetivos, se explican las estrategias a seguir, respecto de la utilizacin de cifras significativas, en la resolucin de problemas de fsica o qumica. La presentacin del resultado numrico de una medida directa, por ejemplo, de la longitud de una mesa, tiene poco valor si no se conoce algo de la exactitud de dicha medida. Una de las mejores maneras de trabajar consiste en realizar ms de una medida y proceder con el tratamiento estadstico de los datos para establecer as un resultado con un buen lmite de confianza. El procedimiento seguido en el registro de medidas en un laboratorio debe ir por este camino, con un tratamiento estadstico que genere un lmite de confianza superior al 90%, aunque lo ms normal es que ste sea del 68%, correspondiente a la desviacin estndar absoluta. Ahora bien, fuera del laboratorio (y en ocasiones dentro) lo ms comn es utilizar el llamado convenio de cifras significativas.

Cifras significativas. Definicin. Incertidumbre (palabra agregada por Peralta el 301011). Las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan alguna informacin. Toda medicin experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras significativas. Veamos un ejemplo sencillo: supongamos que medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en milmetros. El resultado se puede expresar, por ejemplo como: Longitud (L) = 85,2 cm No es esta la nica manera de expresar el resultado, pues tambin puede ser: L = 0,852 m L = 8,52 dm L = 852 mm etc Se exprese como se exprese el resultado tiene tres cifras significativas, que son los dgitos considerados como ciertos en la medida. Cumplen con la definicin pues tienen un significado real y aportan informacin. As, un resultado como L = 0,8520 m no tiene sentido ya que el instrumento que hemos utilizado para medir no es capaz de resolver las diezmilsimas de metro.

Por tanto, y siguiendo con el ejemplo, el nmero que expresa la cantidad en la medida tiene tres cifras significativas. Pero, de esas tres cifras sabemos que dos son verdaderas y una es incierta, la que aparece subrayada a continuacin: L = 0,852 m Esto es debido a que el instrumento utilizado para medir no es perfecto y la ltima cifra que puede apreciar es incierta. Cmo es de incierta? Pues en general se suele considerar que la incertidumbre es la cantidad ms pequea que se puede

medir con el instrumento, aunque no tiene por qu ser as pues puede ser superior a dicha cantidad. La incertidumbre de la ltima cifra tambin se puede poner de manifiesto si realizamos una misma medida con dos instrumentos diferentes, en nuestro caso dos reglas milimetradas. Por extrao que pueda parecer no hay dos reglas iguales y, por tanto, cada instrumento puede aportar una medida diferente. Quedando claro que la ltima cifra de la medida de nuestro ejemplo es significativa pero incierta, la forma ms correcta de indicarlo (asumiendo por ahora que la incertidumbre es de 1 mm), es L = 0,852 0,001 m No obstante, lo ms normal es omitir el trmino 0,001 y asumir que la ltima cifra de un nmero siempre es incierta si ste est expresado con todas sus cifras significativas. Este es el llamado convenio de cifras significativas que asume que cuando un nmero se expresa con sus cifras significativas, la ltima cifra es siempre incierta.

Asumiendo que cualquier problema de fsica o qumica de un libro de texto nos muestra las cantidades con sus cifras significativas, debemos saber expresar el resultado de las operaciones que hagamos con dichos nmeros con sus cifras significativas correspondientes. Es lo que veremos ms adelante pues antes es necesario ampliar conceptos y establecer procedimientos.

Reglas para establecer las cifras significativas de un nmero dado. Regla 1. En nmeros que no contienen ceros, todos los dgitos son significativos. Por ejemplo: 3,14159 seis cifras significativas 3 , 1 4 1 5 9 5.694 cuatro cifras significativas 5 . 6 9 4

Regla 2. Todos los ceros entre dgitos significativos son significativos.

Por ejemplo: 2,054 cuatro cifras significativas 2 , 0 5 4 506 tres cifras significativas 5 0 6 Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dgito que no es cero sirven solamente para fijar la posicin del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo: 0,054 dos cifras significativas 0 , 0 5 4 0,0002604 cuatro cifras significativas 0, 0 0 0 2 6 0 4

Regla 4. En un nmero con dgitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. Por ejemplo: 0,0540 tres cifras significativas 0 , 0 5 4 0 30,00 cuatro cifras significativas 3 0 , 0 0

Regla 5. Si un nmero no tiene punto decimal y termina con uno o ms ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. Para poder especificar el nmero de cifras significativas, se requiere informacin adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el nmero en notacin cientfica, no obstante, tambin se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por ejemplo: 1200 dos cifras significativas 1 2 0 0 1200, cuatro cifras significativas 1 2 0 0 ,

Regla 6. Los nmeros exactos tienen un nmero infinito de cifras significativas. Los nmeros exactos son aquellos que se obtienen por definicin o que resultan de contar un nmero pequeo de elementos. Ejemplos: Al contar el nmero de tomos en una molcula de agua obtenemos un nmero exacto: 3. Al contar las caras de un dado obtenemos un nmero exacto: 6. Por definicin el nmero de metros que hay en un kilmetro es un nmero exacto: 1000. Por definicin el nmero de grados que hay en una circunferencia es un nmero exacto: 360

Notacin cientfica de un nmero. La notacin cientfica representa un nmero utilizando potencias de base diez. El nmero se escribe como un producto A 10 n siendo A un nmero mayor o igual que uno y menor que 10, y n un nmero entero. La notacin cientfica se utiliza para poder expresar fcilmente nmeros muy grandes o muy pequeos. Tambin es muy til para escribir las cantidades fsicas pues solo se escriben en notacin cientfica los dgitos significativos. Un nmero en notacin cientfica se expresa de manera que contenga un dgito (el ms significativo) en el lugar de las unidades, todos los dems dgitos irn despus del separador decimal multiplicado por el exponente respectivo. Ejemplos: Distancia media Tierra-Luna = 384.000.000 m Distancia media Tierra-Luna = 3,84 10 8 m (tres cifras significativas)

Radio del tomo de hidrgeno = 0,000000000053 m Radio del tomo de hidrgeno = 5,3 10 -11 m (dos cifras significativas)

Velocidad de la luz en el vaco = 299.792,458 km/s Velocidad de la luz en el vaco = 2,99792458 10 8 km/s (9 cifras significativas)

G = 0,000000000066742 Nm2/kg2 G = 6,6742 10 -11 Nm2/kg2 (5 cifras significativas) Cifras significativas en clculos numricos. Cuando se realizan clculos aritmticos con dos o ms nmeros se debe tener cuidado a la hora de expresar el resultado ya que es necesario conocer el nmero de dgitos significativos del mismo. Teniendo en cuenta que los nmeros con los que operamos son los mejores valores de las cantidades que se hayan medido, no es admisible que se gane o que se pierda incertidumbre mientras que se realizan operaciones aritmticas con dichos nmeros. Se pueden establecer algunas sencillas reglas cuya aplicacin intenta cumplir con esta condicin aunque no siempre se consigue. Analizaremos tres situaciones: realizacin de sumas y diferencias; productos y cocientes; logaritmos y antilogaritmos.

Cifras significativas en sumas y diferencias Regla 7. En una suma o una resta el nmero de dgitos del resultado viene marcado por la posicin del menor dgito comn de todos los nmeros que se suman o se restan. Por tanto, en una adicin o una sustraccin el nmero de cifras significativas de los nmeros que se suman o se restan no es el criterio para establecer el nmero de cifras significativas del resultado. Por ejemplo:

(a) 4,3 + 0,030 + 7,31 = 11,64 11,6 (b) 34,6 + 17,8 + 15 = 67,4 67 (c) 34,6 + 17,8 + 15,7 68,1

En los ejemplos (a) y (c) el menor dgito comn a los sumandos es la dcima (primer decimal), por tanto el resultado debe venir expresado hasta dicho decimal. En el ejemplo (b) el menor dgito comn a los tres sumandos es la unidad, por tanto el resultado debe venir expresado hasta la unidad. Analicemos con ms profundidad las consecuencias de la aplicacin de la regla 7. De partida, se suele asumir que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que interviene en una operacin. As, la mayor de las incertidumbres en los ejemplos (a) y (c) es 0,1. En el ejemplo (b) la mayor de las incertidumbres en los sumandos es 1. Son esas tambin las incertidumbres en los resultados? En principio es comn asumir dichas incertidumbres pero es sencillo comprobar que esto no siempre es cierto como veremos a continuacin. Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una combinacin lineal como la siguiente

es

donde a, b, son las incertidumbres absolutas de a, b,

Para poder aplicar esta expresin las medidas a, b,..., deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores las incertidumbres seran: (a)

(b) (c) Luego, al aplicar el convenio de cifras significativas la tendencia sera asumir que la incertidumbre del resultado en el caso (c) es de 0,1 cuando en realidad es del doble. Cifras significativas en productos y cocientes Regla 8. En un producto o una divisin el resultado debe redondearse de manera que contenga el mismo nmero de dgitos significativos que el nmero de origen que posea menor nmero de dgitos significativos. Por tanto, a diferencia de la suma o la resta, en la multiplicacin o la divisin el nmero de dgitos significativos de las cantidades que intervienen en la operacin s es el criterio a la hora de determinar el nmero de dgitos significativos del resultado. Por ejemplo: (a) (b) (c)

En los tres ejemplos expuestos el menor nmero de cifras significativas de los diferentes factores que intervienen en las operaciones es dos: se trata concretamente del nmero 24 en los ejemplos (a) y (b) y del nmero 0,25 en el ejemplo (c). Por tanto los resultados se deben redondear a dos cifras significativas. Analicemos de nuevo con mayor profundidad las consecuencias de la aplicacin en este caso de la regla 8. Si, segn el convenio de cifras significativas, asumimos que es incierto en una unidad el ltimo dgito de cada nmero que

interviene en cada operacin, las incertidumbres absolutas y relativas son las que aparecen en la tabla n 1.

Tabla 1. Nmero Incertidumbre Incertidumbre relativa (a 24 ) 4,52 100,0 (b 24 ) 4,02 100,0 1 0,01 0,1 1 0,01 0,1 1/24 1/452 1/10000 1/24 1/402 1/10000 1/25 1/2352

(c) 3,14159 0,00001 0,25 2,352 0,01 0,001

En el caso (c) 3,14159 representa al nmero , que se puede tomar con un nmero de decimales suficiente para que no sea precisamente este nmero el que determine las decisiones a tomar respecto a las operaciones en las que interviene.

Segn la teora de propagacin de errores la incertidumbre del resultado de una expresin como la siguiente:

es

donde x, y, son las incertidumbres absolutas de x, y, Adems, x, y, , son las incertidumbres relativas en tanto por uno de x, y,

Al igual que ocurra en el caso de la suma o diferencia, para poder aplicar esta expresin las medidas x, y, deben ser independientes y sus errores, aleatorios. En los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla 1, las incertidumbres de los resultados seran:

(a) q = 1,0848 00417599 = 0,0453 0,04 (b) q = 0,9648 0,0417755 = 0,0403 0,04 (c) q = 0,4618 0.08 = 0,0369 0,04

Es decir, en los tres ejemplos la incertidumbre en el resultado est en el dgito correspondiente a la centsima, aunque en ningn caso el valor de dicha incertidumbre sea la unidad. Segn estos resultados los ejemplos (b) y (c) s estn bien redondeados a dos cifras significativas, pero el ejemplo (a) no lo est ya que debera redondearse a tres cifras significativas (1,08 en lugar de 1,1).

Cifras significativas en logaritmos y antilogaritmos Regla 9. En el logaritmo de un nmero se deben mantener tantos dgitos a la derecha de la coma decimal como cifras significativas tiene el nmero original.

Regla 10. En el antilogaritmo de un nmero se deben mantener tantos dgitos como dgitos hay a la derecha de la coma decimal del nmero original.

Veamos unos ejemplos con logaritmos de base 10: (a) log 3,53 = 0,5477747 0,548

(b) log 1,200 10 -5 = - 4,9208188 - 4,9208 (c) Anti log 8,9 = 10 8,9 = 7,94328 10 8 8 10 8 (d) Anti log 8,900 = 10 8,9 = 7,94328 10 8 7,94 10 8

En el ejemplo (a) el nmero de cifras significativas del nmero 3,53 es de tres y, por tanto, el nmero de decimales que tiene su solucin es tres. El nmero del ejemplo (b) tiene cuatro cifras significativas y su logaritmo se expresa con 4 decimales. En cuanto a los antilogaritmos de los ejemplos (c) y (d), el primero tiene una sola cifra decimal y su solucin se expresa con una cifra significativa; el segundo tiene tres cifras decimales y tres son las cifras significativas del resultado. Con objeto de analizar cmo es la precisin de los resultados expresados por aplicacin de las reglas 9 y 10, en la tabla n 2 se recogen las incertidumbres absolutas y relativas de los nmeros de partida

Tabla 2. Nmero (a 3,53 ) (b 1,200 10 -5 ) (c) 8,9 (d 8,900 ) 0,1 0,001 1/89 1/8900 10 -8 1/1200 Incertidumbre Incertidumbre relativa 0,01 1/353

Como vemos, como se ha venido haciendo hasta ahora, se asume que la incertidumbre absoluta de los nmeros de partida est en el ltimo dgito y en una unidad de dicho dgito. Segn la teora de propagacin de errores, para un

conjunto de medidas independientes, x, y,, w, cuyos errores o incertidumbres absolutas son x, y,..., w, y que son utilizadas para calcular la magnitud q de forma que q = f(x, y,, w)

entonces, si los errores son aleatorios, el error de q es la suma en cuadratura

De esta expresin general derivan las expresiones utilizadas en los casos anteriores. En el caso que nos ocupa, empezaremos por los logaritmos:

donde x y x son, respectivamente, las incertidumbres absoluta y relativa en tanto por uno de x. As, en los ejemplos anteriores, teniendo en cuenta los datos de la tabla n 2 tenemos que las incertidumbres de los resultados expresados son:

(a) q = 0,00123 0,001 (b) q = 0,0003619 0,0004

Vemos que en el ejemplo (a) la incertidumbre est en el tercer decimal que es precisamente hasta donde se ha redondeado el resultado. En el ejemplo (b) habra que redondear hasta la dcima de millar, como se ha hecho en realidad al aplicar la regla 9.

En el caso de los antilogaritmos:

Teniendo en cuenta los datos de la tabla n 2, las incertidumbres en los resultados de los ejemplos (c) y (d) son: (c) q = 1,829 10 8 2 10 8 (d) q = 1,829 10 6 2 10 6

Por tanto la ltima cifra incierta en el ejemplo (c) es la centena de milln y en el ejemplo (d) la unidad de milln, siendo correcta la aplicacin de la regla 10.

-------------------------------------------------------------Conclusin Como hemos visto, el convenio de cifras significativas no es del todo satisfactorio. As, la realizacin de operaciones aritmticas con cifras significativas hace que en ocasiones aumente la incertidumbre respecto a lo esperado, que es considerar en una unidad la incertidumbre del ltimo dgito de un nmero. Es claro

que este aumento de la incertidumbre ser tanto mayor cuanto mayor sea el nmero de operaciones que encadenemos y, por tanto, sera conveniente determinar el valor de la incertidumbre si se quiere estar seguro de conocer la progresin del error cometido en las operaciones realizadas. Incluso, tal como se ha visto en algn caso, la omisin de este estudio para la simple aplicacin de las reglas aqu establecidas puede llevarnos a la prdida de cifras significativas.

Redondeo de nmeros La aplicacin prctica de las reglas anteriores ha requerido del redondeo[1] de nmeros para ofrecer el resultado con el nmero de cifras significativas estipulado. Es decir, en el proceso de redondeo se eliminan los dgitos no significativos de un nmero, pero siguiendo unas reglas que se deben aplicar al primero de los dgitos que se desea eliminar.

Regla 11. Si el primer dgito que se va a eliminar es inferior a 5, dicho dgito y los que le siguen se eliminan y el nmero que queda se deja como est.

Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a 4 cifras significativas: 1,4142136 1,4142136 1,414 2,4494897... 2,4494897... 2,449

Regla 12. Si el primer dgito que se va a eliminar es superior a 5, o si es 5 seguido de dgitos diferentes de cero, dicho dgito y todos los que le siguen se eliminan y se aumenta en una unidad el nmero que quede.

Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas:

= 3,1415927 3,1415927 3,142

2,6457513... 2,6457513... 2,646

Regla 13. Si el primer dgito que se va a eliminar es 5 y todos los dgitos que le siguen son ceros, dicho dgito se elimina y el nmero que se va a conservar se deja como est si es par o aumenta en una unidad si es impar. Por ejemplo, los siguientes nmeros se han redondeado a cuatro cifras significativas: 61,555 61,555 61,56 2,0925 2,0925 2,092

Esta ltima regla elimina la tendencia a redondear siempre en un sentido determinado el punto medio que hay entre dos extremos. Es importante destacar aqu que cuando se establece la funcin de redondeo en una calculadora normalmente sta no aplica la regla 13, es decir, si un nmero cumple la condicin dada en dicha regla, la calculadora aumentar en una unidad el ltimo dgito del nmero que quede de eliminar las cifras no significativas (es decir, la calculadora aplica en este caso la regla 12).

Aplicacin a clculos en problemas En los libros de texto de fsica o qumica lo ms normal es realizar clculos con datos cuya precisin viene indicada slo por el convenio de cifras significativas. As, si se deseara conocer la incertidumbre del resultado de un problema concreto se debern aplicar las tcnicas analizadas anteriormente. En cualquier caso, el resultado que se obtenga slo debe contener dgitos significativos. Una prctica comn en la resolucin de problemas es mantener al menos un dgito de ms durante los clculos para prevenir el error de redondeo (dgito de reserva). Al trabajar hoy da con ordenadores y calculadoras se puede trabajar con

ms de un dgito de reserva, tantos como la calculadora pueda ofrecer, siendo importante hacer el redondeo despus de que se hayan acabado los clculos.

BibliografaLa consulta de las pginas web referidas en la bibliografa se realiz el 06/01/2010.

Clculos de Qumica Analtica. 7 Ed. Hamilton, L. F.; Simpson, S. G. y Ellis, D. W. Editorial McGraw-Hill 1989. Cifras significativas. La medida y su correcta expresin. Ayala

Velzquez, M. D. Departamento de Fsica. Universidad Autnoma Metropolitana Unidad Iztapalapa, Mxico D.F. [http://docencia.izt.uam.mx/dav/MetodoExperII/] Errores en las medidas. Departamento de Fsica Aplicada, Grupo de Escuela Nutica, Universidad de Cantabria. [http://www.optica.unican.es/fisicaNAUTICA/practicas.htm] Experimentacin en Qumica. Departamento de Qumica Fsica Analtica, Universidad de Oviedo. [http://www.uniovi.es/QFAnalitica/trans/ExpquimDimas/experimentacion. pdf] Fundamentos de Qumica Analtica. 4 Ed. Skoog, Douglas A.; West, Donald M. y Holler, J. Editorial Revert 1996. Prcticas de fundamentos fsicos de la Ingeniera: teora de errores y presentacin de resultados. Rodrguez Quintero, N. Departamento de Fsica Aplicada I, Escuela Universitaria Politcnica, Universidad de Sevilla. [http://euler.us.es/~niurka/clases.html] Tcnicas Experimentales en Fsica General, curso 2003-04. Ziga Romn, J. Departamento de Fsica Atmica, Molecular y Nuclear, Universidad de Valencia.

[http://www.uv.es/zuniga/tefg.htm] Este artculo se finaliz el 26 de mayo de 2010 en Villanueva del Arzobispo, Jan (Espaa) Autor: Felipe Moreno Romero

Rules for Working with Significant Figures:

1. Leading zeros are never significant. Imbedded zeros are always significant. Trailing zeros are significant only if the decimal point is specified. Hint: Change the number to scientific notation. It is easier to see. 2. Addition or Subtraction: The last digit retained is set by the first doubtful digit. 3. Multiplication or Division: The answer contains no more significant figures than the least accurately known number.

EXAMPLES Addition Even though your calculator gives you the answer 8.0372, you must round off to 8.04. Your answer must only contain 1 doubtful number. Note that the doubtful digits are underlined.

Subtraction

Multiplication

Subtraction is interesting when concerned with significant figures. Even though both numbers involved in the subtraction have 5 significant figures, the answer only has 3 significant figures when rounded correctly. Remember, the answer must only have 1 doubtful digit. The answer must be rounded off to 2 significant figures, since 1.6 only has 2 significant figures.

Division

The answer must be rounded off to 3 significant figures, since 45.2 has only 3 significant figures.

Notes on Rounding

When rounding off numbers to a certain number of significant figures, do so to the nearest value. o example: Round to 3 significant figures: 2.3467 x 104 (Answer: 2.35 x 104) o example: Round to 2 significant figures: 1.612 x 103 (Answer: 1.6 x 103) What happens if there is a 5? There is an arbitrary rule: o If the number before the 5 is odd, round up. o If the number before the 5 is even, let it be. The justification for this is that in the course of a series of many calculations, any rounding errors will be averaged out. o example: Round to 2 significant figures: 2.35 x 102 (Answer: 2.4 x 102) o example: Round to 2 significant figures: 2.45 x 102 (Answer: 2.4 x 102) o Of course, if we round to 2 significant figures: 2.451 x 102, the answer is definitely 2.5 x 102 since 2.451 x 102 is closer to 2.5 x 102 than 2.4 x 102.