cifre significative
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Cifre significative. 1.900 più preciso di 1.900 che è più preciso di 1.90. L’errore deve avere la stessa precisione della misura a cui si riferisce. 3200 ha 2 cifre significative ma se volessimo affermare che ne ha 4 allora scriveremmo 3.200 x 10 3. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Misura Valore (s)
1 1.8
2 1.9
3 2.0
4 1.9
5 1.8
6 2.0
7 1.8
st 885714286.1
Cifre significative
st 9.1
Valore Cifra incerta Cifra piu’ significativa
Numero di cifre significative
1.9 9 1 2
1.90 0 1 3
1.900 0 1 4
3751 1 3 4
10.10 0 1 4
0.0000002203 3 2 4
0.0000002200 0 2 4
3200 2 3 2
1.900 più preciso di 1.900 che è più preciso di 1.90.L’errore deve avere la stessa precisione della misura a cui si riferisce.
3200 ha 2 cifre significative ma se volessimo affermare che ne ha 4 allora scriveremmo 3.200 x 103
Per convenzione gli errori si arrotondano ad 1 cifra significativa ma in alcuni casi è opportuno usarne 2.Ad es. se x = 0.0188761223011 allora x = 0.02 (1 cifra significativa)Ma se x = 0.014178900113 allora x = 0.014 (2 cifre significative) poichéx = 0.01 perde il 40% di informazione!!!
Quando si fanno dei calcoli la regola è che la misura finale e l’errore siano dello stesso ordine di grandezza.
Ad es. non è valido92.81 ± 0.3 poichè l’incertezza è sui decimi diventa 92.8 ± 0.3Se l’errore fosse 3 allora 93 ± 3Se l’errore fosse 30 allora 90 ± 30
pesati quadrati minimi dei metodo il usando B eA calcolare Dobbiamo
...quadrati.. minimi dei metodo il applicare potremmonon rigore a quindi y varia, poiche' costante piu' ènon che
y
dy
dz incertezza hanno
yln z le ora costante incertezza avevanoy le se ma
)z,(x )y,(x Quindi
ln
ln
lnln
zioneLinearizza
lineare relazione una seguononon x edy Qui
leesponenzia funzione una moConsideria
yyz
y
iiii
BxAz
yz
BxAy
Aey iBxi
N
iiiii
N
iiii
N
iiii
N
i
BxAywBxAyw
NN
BxAywBxAyw
BxAyBxAy
N
i y
iiNy
NBABANBA
NBABANBA
BxAy
yiBA
ii
BxAywxB
BxAywA
BA
BxAywe
eeyPyPyyP
eyPeyP
etcww
eyPeyP
BxAyeyPyPyyP
yPyPyyP
eyP
xBAY
y
ii
1
2*
1
2*
2*
2*
1
22*
21
2
2
2
11
2
22
2
11
222
121
2
22
2
11
12
222
,1,,
,1,,
2,
i
ii
ii
02
02
0 quando ossia
minimo valoreil assume esponentel' quando massima è àprobabilit La
con 1
.......11
)(....)(),....(
etc.;1
)(;1
)(
.;1
;1
etc.;1
)(;1
)(
con 1
)(....)(),....(
diversa sarà incertezza ogni poichè ma
)(....)(),....(
1
)(
sarà y osservato valoreil ottenere di àprobabilit La
Ysu centrata gaussiana della larghezza la arappresent e
Y di vero valoreil xogniper calcolare, potremmo B eA costanti le moconoscessi Se
2*
2222
2111
1
2222
2111
22
222
21
211
2
1
1
2
2
22
2
1 1 1
2
1 1
1
1
1
2*
1
2*
normali Equazioni
0
0
02
02
wxwxw
wywxwxywB
wxywxwywxA
xwBxwAwyx
xwBwAwy
BxAywx
BxAyw
BxAywxB
BxAywA
N
i
N
i
N
iiiiiiii
N
i
N
iiiiii
N
iiiii
N
iiii
N
iiiii
N
iiii
Calcolo coefficienti A e B di una retta del tipo y=A+Bxcon il metodo dei minimi quadrati
22
2
/
/
ii
iiii
iiiii
xxN
yxyxNB
yxxyxA
• ; Linear fit• c10=c0^2; X^2• c11=c0*c1; X*Y• c2=npts(c0)*csum(c10)-(csum(c0))^2; Denominatore per A e B• c3=(csum(c10)*csum(c1)-csum(c0)*csum(c11))/c2; Calcolo di A• c4=(npts(c0)*csum(c11)-csum(c0)*csum(c1))/c2; Calcolo di B• c5=csum(c0)/npts(c0); media dei valori X• c6=csum(c1)/npts(c1); media dei valori Y• c12=c0-c5; X-X(medio)• c13=c1-c6; Y-Y(medio)• c14=c12*c13; [X-X(medio)]*[Y-Y(medio)]• c15=(c12)^2; [X-X(medio)]^2• c16=(c13)^2; [Y-Y(medio)]^2• c7=csum(c14); Covarianza• c8=sqrt(csum(c15)*csum(c16)); Prodotto deviazioni standard• c9=c7/c8; r
In molte titolazioni eseguite tramite metodi spettroscopici 2 composti interagiscono e si osserva la variazione di un parametro secondo un’equazione del tipo o=bb + ff
dove o= variazione del segnale che si osserva durante la titolazioneb= variazione del segnale che si osserva alla fine della titolazioneo= variazione del segnale che si osserva all’inizio della titolazioneAssumendo un’equilibrio del tipoR + L ↔ RLdove R potrebbe essere un recettore ed L un ligando. Quindib = frazione molare della specie legata (R o L)f = frazione molare della specie libera (R o L)Provare ad ottenere una serie di dati conKD=0.01; f =7; b =10R va da 0.001 a 0.01 in step di 0.0005L va da 0.010 a 0.10 in step di 0.005ed eventualmente risolvere il problema del fit
conosconon che K da dipende
;
1
11
Db
ob
fbbfo
bbfbo
bfbf
bbffo
yx
o
ooDooDoo
ob
ooDooDoo
ooDoo
ooooD
ooD
ooo
b
R
LRKLRKLR
R
RL
LRKLRKLRRL
LRKLRRLRL
RLRLLRLRLRRLK
RL
RLLRLR
RL
LRK
RLLLRLRRR
RL
2
4
2
4
0
;
2
2
2
2
1) Inserisci KD
2) Calcola b
3) Tramite minimi quadrati trova intercetta e pendenza della retta
4) Con i valori di intercetta e pendenza calcola c
5) Calcola la somma quadratica degli errori tra c e o e tieni in memoria il valore (Error)
Torna al punto 1)
Il valore minore di Error corrisponde alla miglior KD
• ; c0= observed; c1=Receptor; c2= Ligand• ;• ;Kd=cell(0,5)• c10=((cell(0,5)+c1+c2)-sqrt((cell(0,5)+c1+c2)^2-
4*c1*c2))/(2*c1); bound fraction• ; Linear fit• c11=c10^2; X^2• c12=c10*c0; X*Y• c13=npts(c10)*csum(c11)-(csum(c10))^2; Denominatore
per A e B• c14=(csum(c11)*csum(c0)-csum(c10)*csum(c12))/c13;
Calcolo di A• c15=(npts(c10)*csum(c12)-csum(c10)*csum(c0))/c13;
Calcolo di B• c16=c10*c15+c14;• c17=(c16-c0)^2;• c18=csum(c17);• ;Kd=cell(1,5)• ……..
• ;grafico errore• cell(0,6)=csum(c17);• cell(1,6)=csum(c27);• cell(2,6)=csum(c37);• cell(3,6)=csum(c47);• cell(4,6)=csum(c57);• cell(5,6)=csum(c67);• cell(6,6)=csum(c77);• cell(7,6)=csum(c87);• cell(8,6)=csum(c97);• cell(9,6)=csum(c107);• cell(10,6)=csum(c117);• cell(11,6)=csum(c127);• cell(12,6)=csum(c137);• cell(13,6)=csum(c147);• cell(14,6)=csum(c157);
• cell(0,7)=log(cell(0,5));• cell(1,7)=log(cell(1,5));• cell(2,7)=log(cell(2,5));• cell(3,7)=log(cell(3,5));• cell(4,7)=log(cell(4,5));• cell(5,7)=log(cell(5,5));• cell(6,7)=log(cell(6,5));• cell(7,7)=log(cell(7,5));• cell(8,7)=log(cell(8,5));• cell(9,7)=log(cell(9,5));• cell(10,7)=log(cell(10,5));• cell(11,7)=log(cell(11,5));• cell(12,7)=log(cell(12,5));• cell(13,7)=log(cell(13,5));• cell(14,7)=log(cell(14,5));
12.0012.5013.0013.50
10bp DNA titrated with C-HNS
Kd = 3·10-6
C-HNS/DNA
0.0
0.4
0.2
0.1
1.0
0.6
1.4
1.2
2.0
0.8
12,2
12,22
12,24
12,26
12,28
12,3
12,32
12,34
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
G26
[Ligand]/ [Receptor]
0
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
0,003
0,0035
0,004
-10-8-6-4-20
Analysis G26
Log Kd
Do
o
ob
Do
oo
oooD
ooD
ooo
b
KL
L
R
RL
KL
LRRL
RLLLRRLKRL
LRLR
RL
LRK
LLRLRRR
RL
;
caso In tal
bassa. e' affinita'l' se ha si limite casoUn
D
fb
D
fb
ofo
fbfbo
D
fo
fbo
Do
fo
fbbfo
fbbfo
fbbfo
bbfbo
bfbf
bbffo
K
K
xL
eyponendo
L
K
L
KL
ricava si cui da
pendenza come e
1 intercetta come avra' risultante retta La
11
11
1
11
1
11
0 20 40 60 80 100
0
2 104
4 104
6 104
8 104
1 105
1,2 105
1,4 105
G26 retta
y = 4,1309 + 0,00065087x R= 0,99695
1/ (observed-f ree)
KD = 1.6 ∙ 10-4
plot Scatchard detta
11
1111
equazione questa di zionilinearizza varieEsistono
K stessa la aventi identici siti di numero
;; dove ;1
LigandoA ed Recettore Proteina, Pcon PA A P tipodel equilibrioun Per
a
KrKnA
r
AnnKr
AAnKnr
n
AP
PAK
P
PAr
KA
nKAr
T
forma seguente la assume caso questoin plot Scatchard uno esempio Ad
crede si teerroneamen spesso comenon ma corretti valorii
estrarre possibile ancora è cui da curve delle ma rette delle piu' avremonon
siti di totalenumero il è dove ;1
stessa lacon siti con classe ciascuna ti,indipenden siti di classi esistono Se
11
m
iio
m
i i
ii
a
nnAK
AKnr
Knm
classe ogniper siti di numero il X assesull' intercette 2 le e siti
di diverse classi 2 di affinità diverse le sono pendenze rispettive cui le
rette 2 da costituito come tointerpreta spesso)( talvolta vieneQuesto
n
n
ni
i
nn
ii
i
ii
ii
LKKKLKKKLKKLK
LKKKnLKKKiLKKLKB
B
APA
PAK
PAAPA
..............1
..............2
recettore di moliper legatoA di moli
ricostechiomet equilibrio di costante ;
multipli equilibri di casoin
212
212
12
211
12
211
1
1
Come rappresentare i dati ?
1)Scala diretta r vs. L
Ma i punti possono essere poi troppo ravvicinati e non permette di capire quando si è giunti a saturazione
2) Scala semi-logaritmica
Permette di capire quando si sia effettivamente giunti a saturazione. Anche se non permette un’analisi quantitativa dei dati è molto utile per capire se il nostro esperimento è giunto a conclusione
3) Altre forme di grafico, ad es. Scatchard plot.
Possono essere causa di errori se non utilizzate opportunamente.
Scatchard plot
L’intercetta sull’asse X rqppresenta il numero di siti di legame nel caso di n siti identici e indipendenti.
Scatchard plot
L’intercetta sull’asse X rqppresenta il numero di siti di legame nel caso di n siti identici e indipendenti.Estrapolare l’intercetta sull’asse delle ascisse può dare risultati controversi.Inoltre la concavità può esser dovuta:1) Siti con diversa affinità e non interagenti tra di loro2) Siti diversi la cui affinità cambia durante il binding (cooperatività)
Scatchard plot
L’intercetta sull’asse X rqppresenta il numero di siti di legame nel caso di n siti identici e indipendenti.Estrapolare l’intercetta sull’asse delle ascisse può dare risultati controversi.La concavità è stata erroneamente attribuita a 2 specie con diversa affinità e le costanti di equilibriostimate in modo errato.
KKKK
KKK
LK
LK
LK
LKr
LKKLK
LKKLK
LK
LK
LK
LK
LK
LK
LK
LKr
r
KLvsr
LKKKLKKLK
LKKnKLKKLKr
LPL
PLK
K
PLLPL
nn
nn
i
ii
i
ii
21
1
2211
2211
212
211
212
211
1
1
ricava si cui da
111
2
legame di siti 2 esistono che noto è se es. Ad
.equilibrio di costanti alle legate sono Ma
e.immaginari o reali essere possono e fantasma costanti detti Sono
fisico. osignificatun hannonon e equilibrio di costanti le
modoalcun in riflettononon modo questoin calcolate costanti Le
siti. di numero il eguaglia terminidi numero il dove
11...
11
seguente la è scrivere di aalternativ forma Una
delle calcolo il permette . difit un
......1
......2
ricostechiomet equilibrio di costante una definire può si passaggio ogniper
!!!successivo sito al legame il influenza sitoun ad legame il cioè
diverse essere possono costanti 4 le e
specifica sito costantecon
specifica sito costantecon
specifica sito costantecon
specifica sito costantecon
cioè Avremo
binding primo del risentire può costante seconda la e viceversao
2 sito al poi e 1 sito al prima legarsi puo' ligando il legame di siti 2con sistemaun in es. Ad
complessa.più molto diventa situazione la specifiche sito costanti le moconsideria se
constant binding Site
1,222,12
22
2,122,11
11
kPLLPL
kPLLP
kPLLPL
kPLLP
Numero di siti di legame
Numero totale di costanti sito specifiche, k1
Numero di costanti sito specifiche indipendenti
Numero di costanti di legame stechiometriche, Ki
Numero di costanti di legame fantasma, K
2 4 3 2 2
3 12 7 3 3
4 32 15 4 4
6 192 63 6 6
8 1024 255 8 8
12 24576 4095 12 12
t-test di Student
Quindi va calcolata la differenza tra i due valori medi in rapporto alle larghezze di riga, ossia in rapporto alle deviazioni standard dalla media
21 xx
t
2 campioni conlo stesso numerodi elementin1 = n2
nss
xxt
xxt
n
nnnpoichèma
nnnn
quadraturainpresamedia
dalladardsdeviazioninelledifferenza
laèmedieduetradifferenzanellaerroreL
22
21
21
21
22
21
21
2
22
1
21
2
2
2
2
1
1
.,
tan
'
2121
222
211
21
21
21
222
2112
21
222
2112
21
112
11
11
)tan(
2
11
var
2
nnnnsnsn
xxt
quindi
nn
mediadalladardsdeviazionelaèpoichè
elementidinumeroilperdivisavache
nn
snsn
realtàin
nn
snsn
numerosopiùgruppodelconto
terràianzalaallorannelementidi
diversonumerounhannogruppiiSe
Partecipante Controllo
35 22
31 25
29 23
28 29
39 30
41 28
37 30
39 33
38 31
33 29
n1 10
n2 10
x1 35
x2 27
edistipopolazion
ivosignificatmoltopt
p
t
xx
xxt
n
n
xx
nncasoquestoIn
i
i
int2
)05.0(
10.2)05.0(
178.4
;8;915.1
;0.16;7.20
1
10
915.18
21
22
21
21
22
21
2
2,1
21
F test
Abbiamo una serie di dati e vogliamo analizzarli con un’equazione.
Y= 0 + 1x1 + 2x2 + 3x1x2 (forma ridotta)
Scopriamo che un’equazione più complessa risulta in un fitting migliore
Y= 0 + 1x1 + 2x2 + 3x1x2 + 4x12 + 5x2
2 (forma completa)
Il fitting migliore è dovuto ad un’equazione che realmente fitta meglio i dati o semplicemente all’aggiunta di altri parametri?
Se il modello più semplice è corretto l’aumento relativo della somma dei quadrati è dello stesso ordine dell’aumento relativo dei gradi di libertà.
(RSS1-RSS2)/RSS2 ~ (p1-p2)/p2
Se il modello più complicato è corretto l’aumento relativo della somma dei quadrati è maggiore dell’aumento relativo dei gradi di libertà.
(RSS1-RSS2)/RSS2 > (p1-p2)/p2
1 si riferisce al modello più semplice, 2 a quello più complicato, p sono i gradi di libertà ed RSS la somma delle differenze dei quadrati.
Possiamo dare una valutazione quantitativa?Qual’ è la probabilità che un modello più complesso spieghi meglio i dati perché si adatta meglio e non perché contiene semplicemente più variabili?
n
iixfyRSS
1
2)(
rigettatavienesemplicepiùipotesilFFSe
libertàdigradip
lisperimentapuntidinumeron
xfyRSS
pnRSS
ppRSSRSS
F
n
iii
'
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;
),(
1
2
2
2
12
21
21
\ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2
1 161.448 199.500 215.707 224.583 230.162 233.986 236.768 238.882 240.543 241.882 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.330 19.353 19.371 19.385 19.396 3 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 6 6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 7 7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 8 8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 9 9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 10 10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 11 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 12 12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 13 13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 14 14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 15 15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 16 16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 17 17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 18 18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 19 19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 20 20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 21 21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 22 22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 23 23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 24 24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 25 25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 26 26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 27 27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 28 28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 29 29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 30 30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 31 31 4.160 3.305 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 32 32 4.149 3.295 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 33 33 4.139 3.285 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 34 34 4.130 3.276 2.883 2.650 2.494 2.380 2.294 2.225 2.170 2.123 35 35 4.121 3.267 2.874 2.641 2.485 2.372 2.285 2.217 2.161 2.114 36 36 4.113 3.259 2.866 2.634 2.477 2.364 2.277 2.209 2.153 2.106 37 37 4.105 3.252 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 2.145 2.098 38 38 4.098 3.245 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194 2.138 2.091 39 39 4.091 3.238 2.845 2.612 2.456 2.342 2.255 2.187 2.131 2.084 40 40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 41 41 4.079 3.226 2.833 2.600 2.443 2.330 2.243 2.174 2.118 2.071 42 42 4.073 3.220 2.827 2.594 2.438 2.324 2.237 2.168 2.112 2.065 43 43 4.067 3.214 2.822 2.589 2.432 2.318 2.232 2.163 2.106 2.059 44 44 4.062 3.209 2.816 2.584 2.427 2.313 2.226 2.157 2.101 2.054 45 45 4.057 3.204 2.812 2.579 2.422 2.308 2.221 2.152 2.096 2.049 46 46 4.052 3.200 2.807 2.574 2.417 2.304 2.216 2.147 2.091 2.044 47 47 4.047 3.195 2.802 2.570 2.413 2.299 2.212 2.143 2.086 2.039 48 48 4.043 3.191 2.798 2.565 2.409 2.295 2.207 2.138 2.082 2.035 49 49 4.038 3.187 2.794 2.561 2.404 2.290 2.203 2.134 2.077 2.030 50 50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026
Upper critical values of the F Distribution for 1 numerator degrees of freedom and 2 denominator degrees of freedom5% significance level
F.05(1,2)
Model No. parameters
S F(2,49) exponential
F(2,49) table
123
246
1843 69.01 61.95 2.79
@80% CL= 2.42@90% CL= 3.19
n = 55
Esempio: distinguere tra una singola esponenziale ed una somma contenente 2 o 3 esponenziali per il fitting dei dati.
Run test
np = numero di residuals positivinn = numero di residuals negativiR = numero di “runs” attesiR
2 = varianza di RnR = numero di “runs” osservati