cilindros (1)
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CilindrosCilindrosTen Villa Nova
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Objetivos – UD VII- Ass 2.
•Identificar o cilindro finito e seus elementos.
•Identificar cilindro equilátero.•Identificar tronco de cilindro.•Aplicar as fórmulas de áreas e volume dos
cilindros e troncos.•Resolver problemas diversos sobre
cilindros.
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A invenção da roda, uma das mais importantes criações humanas, provavelmente teve origem na constatação de que objetos pesados podem ser deslocados com facilidade sobre tronco de árvores.
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1. Definição do cilindro circularSejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O.
r
O
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1. Definição do cilindro circularConsideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro pertencente a β.
r
O
O´
A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado cilindro circular limitado, ou simplesmente, cilindro.
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2. Elementos
O’
O
base
base
raio da base (r)
eixo
geratriz (g)
.
.
altura (h)
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2. Classificação
Cilindro circular reto
geratriz perpendicular à base
.
Cilindro circular oblíquo
geratriz oblíqua à base
g = hg ≠ h
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Exercícios
1. Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base medindo 4 cm.
Al = 56π cm2 . At = 88π cm2 .
2. Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular de altura h e raio da base medindo r .
Al = 2π r h ; At = 2π r(h+r).
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Secção Meridiana Uma secção meridiana de um cilindro circular é a intersecção do cilindro com um plano que passa pelos centros das bases desse cilindro.
secção meridiana
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Exercícios
3. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um cilindro circular reto de altura 7 cm e raio da base medindo 4 cm.
ASM = 56 cm2.
4. Calcular a área da secção meridiana (ASM) de um cilindro circular de altura h e raio da base medindo r .
ASM = 2 r h
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SemicilindroQualquer secção meridiana de um cilindro circular reto divide-o em dois sólidos congruentes chamados semicilindros circulares retos.
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Cilindro equiláteroTodo cilindro circular reto cujas secções meridianas são quadradas é chamado de cilindro equilátero.
2r
h
2 r = h
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5. A área lateral de um cilindro equilátero é 100π cm2. Calcular a área total desse cilindro.
At = 150π cm2
Exercícios
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Cilindro de revolução
O cilindro circular reto é conhecido como cilindro de revolução, pois pode ser obtido por uma revolução (rotação) de 360° de um retângulo em torno de um eixo que contém um de seus lados.
geratrizeixo
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Como (2) é um paralelepípedo e
V2= A2 . h então
V1 = A1. h
β
A2
A’2
h
(1) (2)
Assim:V= π r 2.h
Volume do Cilindro (Princípio de
Cavalieri)
A1
A’1
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6. Calcular o volume de um cilindro circular de altura 20 cm e raio da base 5 cm.
V = 5o0π cm3
7. Calcular a área lateral de um cilindro circular reto de 6 dm de altura e volume 54π dm3 .
A l= 36π dm2
Exercícios
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Tronco reto de um cilindro circular
Um plano que intercepta obliquamente todas as geratrizes de um cilindro circular reto separa-o em dois sólidos chamados de troncos retos de cilindro circular.
Geratriz maior do tronco (G)
geratriz menor do tronco (g)
base não circular
base circular
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Volume de um tronco reto de um cilindro circular
Consideremos um tronco reto de cilindro circular cujo raio da base circular mede r, a geratriz maior mede G e menor mede g.
Gg
r
Assim:V= π r 2.(G
+ g) 2
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9. Em um tronco reto de cilindro circular a geratriz maior mede 14 cm e a menor mede 10 cm, sendo 4 cm o raio da base circular. Calcule o volume desse tronco.
V = 192π cm3
Exercícios
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10. Um copo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 6 cm e cuja altura mede 10 cm, contém certo volume de água. Inclinando-se o máximo possível esse copo, sem derramar a água, obtém a medida descrita nas figuras abaixo. Determine, em cm3, o volume de água contida nesse copo.(adote = 3,14) (3 escores)
V = 254,34 cm3
Exercícios (AE4-2010)
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Exercícios
11. Derretendo-se duas barras de chocolate com formas cúbicas de arestas 8 cm e 10 cm, tem-se um volume capaz de preencher um cilindro de 6 cm de raio e altura h. Qual é o valor de h. (utilize π=3)
14cm
12. Um tonel (cilindro reto) está ocupado em 60% de sua capacidade. Se o diâmetro da base é 50 cm e a altura é 60/ π cm. Qual a quantidade de água nele contida, em litros?
22,5l
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Enem
2010
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Exercícios13. Uma piscina de plástico tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com 1,5 m de largura, 2 m de comprimento e 0,80 m de profundidade.a) Qual a capacidade, em litros, da piscina?2400lb) Se pelo desgaste do tempo ocorresse um furo na piscina a 20 cm do chão, qual seria o volume de água escoada por este orifício?1800lc) Se a vazão de água deste furo é de 2l/min, por quanto tempo escoará a água?15h
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Exercícios (AE4-2010)14. Um determinado doce de leite é embalado em latas com formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. Determine:a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material. (adote = 3,14) (5 escores)
A embalagem A gasta menos material
b) Qual das duas embalagens é mais vantajosa para o consumidor, sabendo que o doce embalado no cilindro A é vendido por R$ 4,00 e o do cilindro B é vendido por R$ 7,00 (adote = 3,14) (3 escores)A embalagem mais vantajosa é a B