1

1. CINEMTICA DE LA PARTCULA

1.1 Movimiento rectilneo

1.1.1 Posicin en funcin del tiempo

1. La posicin de una partcula que describe una lnea recta queda definida mediante la expresin s= t3/3 9t + 2, donde si t est en s, s resulta en m. De-termine: a) la aceleracin de la partcula cuando su 0 Pvelocidad es de 7 m/s; b) su velocidad media desde t s= 3 hasta t = 6 s. c) Dibuje las grficas tiempo-posi-cin, tiempo-velocidad y tiempo-aceleracin del mo- vimiento de la partcula, durante los primeros seis segundos.

Resolucin

Ecuaciones del movimiento

s 1 t 3 9t 23v ds t 2 9dta dv 2t dt

a) Tiempo en que la velocidad es 7 m/s

7 t 2 9t 2 16t 4

La raz negativa no tiene significacin fsica en este caso.2 Cinemtica de la partcula

Para t = 4

a 24 ;

a 8 m s 2

b)

v s s6 s3 s (m)

m t 3s 1 (6)3 9(6) 2 206 320

1s (3)3 9(3) 2 163 32 3

-16

t (s)

v 20 (16)m 3

; vm

12

m s

v (m/s)

27

6 c) Tabulacin para dibujar las grficas

t 0 3 6s 2 -16 20 v -9 0 27 a 0 6 12

-9 3 6

t (s)

a (m/s2)

12

6

3 6

t (s)

1.1.2 Velocidad en funcin del tiempo

2. La velocidad de un punto P que se muevesobre el eje de las ordenadas, que es un eje vertical ydirigido hacia arriba, se puede expresar como v = 6 t2 24, en donde v se da en ft/s y t en s; adems, cuando t = 0, entonces y = 6 ft. Calcule: a) la magnitud y la direccin de la aceleracin del punto cuando t = 3 s;b) el desplazamiento del punto P durante los primeros Pcuatro segundos; c) la longitud que recorre duranteese mismo lapso. d) Dibuje esquemticamente las 0grficas del movimiento del punto P.

Resolucin

Ecuaciones del movimiento

Como v dy dtentonces:

dy vdt dy vdty (6t 2 24)dt y (6t 2 24)dt y 2t 3 24t C

Si t = 0, y = 66 = C

Por tanto:

y 2t 3 24t 6v 6t 2 24a dv 12t dt

10Cinemtica de la partcula

a) Para t = 3

a 12(3) ;

a 36

ft s 2

b)

y (ft)

38

y y4 y0

En donde:

4y 2(4)3 24(4) 6 38

6

-26

2t (s)

4

y0 6y 38 6y 32

ft

v (ft/s)

72

c) Para conocer la distancia que recorre, investigare- mos cuando v = 0

0 6t 2 24

t 2 4t 2

2t (s)

Slo la raz positiva tiene significado fsico-24 2 4

y 2(2)3 24(2) 6 26

a (ft/s2)

Por tanto, la partcula se movi de y0 = 6 a y2 = 26 y luego a y4 = 38

t024y6-2638v-24072a02448D y(0 2) y(2 4)

D 26 6 38 (26) 32 64

24 D 96 ft

12

t (s)

2 4

d) Tabulacin para dibujar las grficas

3. En la figura aparece la grfica de la mag- nitud de la velocidad de una partcula en funcin del tiempo. Se sabe que cuando t = 0, la posicin de la partcula es s = + 8 in. Dibuje las grficas tiempo- aceleracin y tiempo-posicin del movimiento de la partcula.

v (in/s)

20

2 4 6-20

t (s)

a (in/s2)

Resolucin

La magnitud de la aceleracin es igual a la pendiente de la grfica tiempo-velocidad; durante los primeros cuatro segundos es positiva de 40/4 = 10 y despus es nula.

10

2 4 6

s (in)

48

20

1

8

t (s)

t (s)

(La grfica tiempo-aceleracin puede ser discontinua como en este caso, pero nunca las grficas tiempo- velocidad y tiempo-posicin)

La grfica tiempo-posicin comienza, segn los datos, en s = + 8. Desde t = 0 hasta t = 2, la pendiente de la curva que comienza siendo negativa, va disminuyen- do en magnitud hasta hacerse nula: el desplazamiento en ese lapso es igual al rea bajo la grfica tiempo- velocidad, es decir 20. De 2 a 4 s el comportamiento de la grfica es inverso al anterior y cuando t = 4, la partcula vuelve a su posicin inicial, pues el rea acumulada bajo la grfica tiempo-velocidad es cero. De 4 a 6 s, la pendiente es constante, positiva y de 20, por tanto, se trata de una recta.

-12

2 4 6

1.1.3 Aceleracin en funcin del tiempo

a (cm/s2)

4. La grfica de la figura muestra la magnitudde la aceleracin de una partcula que se mueve sobre 9 un eje horizontal dirigido hacia la derecha, que llama-remos x'x. Sabiendo que cuando t = 1 s, x = 3 cm y v= 4.5 cm/s, calcule: a) la posicin de la partcula cuando su velocidad es nula; b) su velocidad cuando t= 3 s y su posicin cuando t = 5 s.3 6

Resolucin

t (s)

La partcula se mueve conforme a dos leyes distintas:una de 0 a 3 s y otra de 3 a 6 s.

Ecuaciones del movimiento de 0 a 3 sa 9 3t

Pues la ordenada al origen es 9 y la pendiente de la recta es -3.

Como a dv , entonces dv adtdtdv (9 3t)dt dv (9 3t)dt

1v 9t 1.5t 2 C

Si t = 1, v 4.5 , conforme a los datos

1 4.5 9(1) 1.5(1)2 C ;

C1 12

Por tanto

v 9t 1.5t 2 12

Como v dx , entonces dx vdtdtdx (9t 1.5t 2 12)dt dx (9t 1.5t 2 12)dt

2x 4.5t 2 0.5t3 12t C

Si t = 1, x = 3

23 4.5(1)2 0.5(1)3 12(1) CC2 11x 4.5t 2 0.5t3 12t 11

Por lo tanto, las ecuaciones del movimiento durante los primeros tres segundos son:

x 0.5t 3 4.5t 2 12t 11v 1.5t 2 9t 12a 3t 9

a) Investigamos si en algn instante la velocidad es nula

1.5t 2 9t 12 0

Dividiendo entre -1.5:

t 2 6t 8 0

Factorizando

(t 4)(t 2) 0t1 4t2 2

t1 4

est fuera del intervalo: en

t2 2 s,

v 0

y enese instante su posicin es:

x 0.5(2)3 4.5(2)2 12(2) 11

x 1 cm

b) Para t = 3

v 1.5(3)2 9(3) 12

v 1.5 cm s

c) Para investigar la posicin en

t 5 , se necesita laecuacin del movimiento de 3 a 6 s.

a 0v 1.5 (la velocidad que alcanz a los 3 s)Si t 3 ,

x 0.5(3)3 4.5(3)2 12(3) 11 2

2 1.5(3) C4C4 2.5

Por tanto:x 1.5t 2.5

Para t 5x 1.5(5) 2.5 ;

x 5 cm

1.1.4 Soluciones grficas

5. Un tren que parte de la estacin A aumenta su velocidad uniformemente hasta alcanzar los 60 km/h. A partir de ese instante comienza a frenar, tambin uniformemente, hasta detenerse en la esta- cin B. Si el viaje dura veinte minutos, cunto distan las estaciones A y B?

v (km/h)

60

Resolucin

Dibujamos la grfica tiempo-velocidad. Como 20 min es igual a 1/3 de hora, 1/3 es el valor de la abscisa.Puesto que

s vdt , entonces

s es igual al reabajo la grfica.s bh 1 (60) 1 ;

1/3

t (h)

2 3 2

s 10 km

1.1.5 Aceleracin en funcin de la velocidad

6. La aceleracin de un avin que aterriza en v auna pista a 50 m/s se puede expresar, para un ciertolapso, como a = 4 (10)3v2, donde si v est en m/s, aresulta en m/s2. Determine el tiempo requerido para sque el avin reduzca su velocidad a 20 m/s.

Resolucin

Como la aceleracin est en funcin de la velocidad y queremos conocer un tiempo, igualamos:a dv dt4 v2 dv1000 dt

Separando variables4 dt dv1000 1250 dt

v2

dv v2

t 1 C250 v

Condiciones iniciales: si t 0, v 500 1 C50C 1 50 t 1 1 250

v 50t 250 5v

Para v 20

t 250 5 ;20

t 7.5 s

v a7. Calcule la distancia que requiere el avindel problema anterior para reducir su velocidad de50 a 20 m/s. s

Resolucin

Primer mtodo

Partiendo de la solucin de la ecuacin diferencial del problema 6:t 250 5vDespejando v e igualando a ds/dt

t 5 250vv 250t 5ds 250dt t 5 dt ds 250 t 5s 250L(t 5) CHacemos s = 0 cuando t = 0

0 250L5 CC 250L5

Por tantos 250L(t 5) 250L5s 250L(t 5) L5Por las propiedades de los logaritmoss 250L t 55Para t = 7.5s 250L 12.5 250L2.55s 229 m

Segundo mtodo

Como la aceleracin es funcin de la velocidad y deseamos conocer un desplazamiento, igualamos:

a v dv ds 4 v2 v dv1000 ds 1 v dv250 ds

Separando variables

1 ds dv250 v 1 ds dv250 v s Lv C250

Si s 0 , v 50

0 50L C C 50L s Lv L50250 s Lv L50250 s L 50250 vs 250L 50v

Para v 20

s 250L 50vs 250L2.5

s 229 m

1.1.6 Aceleracin en funcin de la posicin

8. La magnitud de la aceleracin de un colla- rn que se desliza sobre una barra horizontal se expre-sa, en funcin de su posicin, como a =12 x , dondea se da en in/s2 y x en in. Cuando t = 2 s, entonces v =32 in/s y x = 16 in. Determine la posicin, la velo- cidad y la aceleracin del collarn cuando t = 3s.

Resolucin

Como la aceleracin est expresada en funcin de la posicin, se sustituye por v dvdxv dv 12 x dx

Separando variables

vdv 12

xdx

v2 2 3 3 12

x 2 C

8x 2 C2 3 1 1

Si x = 16, v = 32 De los datos

3222

3 8(16) 2 C1

512 512 C1 ;

C1 0

2 3v 8x 223v 4 x 4Sustituimos v por dx dtdx 3 4x 4dt

Separando variables3x 4 dx 4dt

3 x 4 dx 4 dt14x 4 4t C2

Si t = 2, x = 16

De los datos

8 8 C2 ;1

C2 04x 4 4t

1x 4 t

x t 4

La ecuacin queda resuelta.

Derivando respecto al tiempo

v 4t 3

a 12t 2

Satisface la ecuacin original, ya que si:

x t 4 ,

x t 2 , o sea, a 12 x

Para t = 3

x 81 in

v 108

a 108

in sin s 2

1.2 Movimientos rectilneos uniforme y uniformemente acelerado

9. El motor de un automvil de carreras es capaz de imprimirle, durante cierto lapso, una acelera- cin constante de 5.2 m/s2. Si el automvil est ini- cialmente en reposo, diga: a) cunto tiempo le lleva alcanzar una velocidad de 300 km/h; b) qu distancia requiere para ello.

Resolucin

Ecuaciones del movimiento

a 5.2v 5.2 dt 5.2tx 5.2 tdt 2.6t 2

Las constantes de integracin son nulas, pues cuandot = 0 tanto v como x son nulas.

a)

300 kmh =300 5.2t3.6

t 300 3.6(5.2)

300 m =

s3.6

; t 16.03 s

b)

x 2.6(16.03)2 ;

x 669 m

10. Un tren del metro, que viaja a 60 mi/h, emplea 250 ft para detenerse, frenando uni- formemente. Cul es la aceleracin del tren mientras frena?

Resolucin

60 mi/h

60 mi h

88 ft s

Como se desea conocer la aceleracin a partir de la velocidad y el desplazamiento, empleamos:

a v dv dsads vdva ds vdv

Puesto que a es constante, queda fuera de la integral.v 2as C2Elegimos como origen el punto en el que comienza afrenar el tren.

Si s 0 , v 882 20 88 C2v2 882as

C 88 ; 2v2 882a 2 ; 2sPara

s 250

y v 0

88 2a 15.49500

El signo indica que tiene sentido contrario al de la velocidad:

a 15.49

ft s

11. Un elevador comercial puede, a lo ms, tanto aumentar como disminuir su velocidad a razn de 3.5 m/s2. Y la mxima velocidad que puede alcan- zar es de 420 m/min. Calcule el tiempo mnimo que necesita para subir quince pisos, partiendo del reposo, si cada piso tiene 5.1 m de altura.

Resolucin

Supongamos que el elevador alcanza una velocidad mxima y la mantiene cierto tiempo t, como se muestra en la grfica

v (m/s)

420 m

min

420 m60 s

7 m s

7

3.5 3.5

La pendiente de la recta inclinada es 3.5, que es la razn de cambio de la velocidad. Por lo tanto de la grfica y por semejanza de tringulos:

1 3.51 1 ;

t0 2 t2

t1t0 7t

t0 t1 t2

t (s)

El elevador debe desplazarse

y 15(5.1) 76.5

Tal desplazamiento es igual al rea del trapecio en la grfica

b Bh2

t t 472

76.514t 28 76.527t 62.5 ;

t 8.93

El tiempo total es

t2 12.93 s

1.2.1 Movimiento de varias partculas independientes

12. Un motociclista arranca del punto A con una aceleracin constante a1 = 2.4 ft/s2 hacia la derecha. Cuatro segundos despus, un automvil pasa por el punto B, situado a 200 ft de A, viajando hacia la izquierda. Sabiendo que la velocidad del automvil es v2 = 30 ft/s y constante, diga en dnde el motociclista encuentra el automvil. Desprecie el tamao de los vehculos.

Resolucin

a1 v2

A 200 ft B

a1 v2

Tomando como origen el punto A, eligiendo un eje xx hacia la derecha y tomando como t = 0 el instante en que arranca el motociclista, las ecuaciones del movimiento son:

Motociclista

200 ftA 200 ft Bx

a1 2.4v1 a1dt 2.4t

1x1

v dt 1.2t 2Las constantes de integracin son nulas.

Automvil

a2 0v2 30

Negativa, porque el sentido es contrario al del eje elegido.

x2 v2dt 30t C

Cuando t 4 ,

x2 200

de los datos, sustituyendo200 30(4) C ; C 320x2 30t 320

El motociclista encuentra el automvil si:

x1 x2

1.2t 2 30t 3201.2t 2 30t 320 0

t 30

302 4(1.2)3202.4

t1 8.06t2 33.1

Sustituyendo t1 en x1

1x 1.2(8.06)2 78.1

El motociclista encuentra al automvil a 78.1 ft a la derecha de A.

x A 78.1 ft

1.2.2 Movimiento de varias partculas conectadas

13. El cuerpo A se desplaza hacia abajo conuna velocidad de 8 m/s, la cual aumenta a razn de 4 Dm/s2, mientras B baja a 5 m/s, que disminuye arazn de 10 m/s2. Calcule la magnitud y la direccin tanto de la velocidad como de la aceleracin delcuerpo C. A C

B

Resolucin

Velocidad

DyDyA yB yC

Cuerda que une los cuerpos A y D

l1 yA yDDerivando respecto al tiempo0 vA vD ;

vD vA

(1)

A

vA = 8

aA = 4

B

vB = 5

Cy

aB = 10

Cuerda que une B con C

l2 yB yD yC yD l2 yB yC 2 yD

Derivando respecto al tiempo0 vB vC 2vD

De (1)0 vB vC 2vAvC vB 2vA

(2)

Sustituyendo:

vC 5 2(8) 21

El signo negativo indica que el sentido es contrario al del eje yy

vC 21 m s

Aceleracin

Derivando la ecuacin (2) respecto al tiempo:

aC aB 2aAaC (10) 2(4) 2

aC 2 ms 2

1.3 Movimiento curvilneo

1.3.1 Componentes cartesianas

y

14. Un avin de pruebas describe, inmediata- mente despus de despegar, una trayectoria cuya ecuacin cartesiana es y = 5 (10)-5 x2. Se mueve con- forme la expresin x = 150t + 5t2, donde t est en s, x resulta en m. Determine la posicin, velocidad y aceleracin del avin cuando t = 10 s.

Resolucin

y = 5 (10)-5 x2

x

Las ecuaciones de las componentes horizontales del movimiento son:

x 150t 5t 2v dx 150 10tx dta dv x 10y x dtSustituyendo x en la ecuacin de la trayectoria, seobtienen las ecuaciones de las componentes verticales

y 5 10 5 (150t 5t 2 ) 2

200 m

2010 m

5.7 x

v dy 10 10 5 (150 10t )(150t 5t 2 )y dt

dv y 4 2 2a y 10 (150 10t ) 10(150t 5t )dtPara t = 10 s

2000 m

x 1500 500 2000y 5 105 (2000) 2 200

En forma vectorial:

r 2000i 200 j

m

Escalarmente:

r 2000 2 200 2

tan1

200 ;2000

1 5.7

r 2010 m

5.7

Es la posicin del avin

y vx 150 10(10) 250

yv 1104 (250)(2000) 50

Vectorialmente:

255 m/s

11.3

v 250i 50 j

Escalarmente:

m

x v 250 2 50 2

tan 2

50 ;250

2 11.3

v 255 m s

11.3

Es la velocidad del avin

ax 10

ya 1104 2502 10(2000) 8.25

Vectorialmente:ya 10i 8.25 j

sm 2

Escalarmente:

12.96 m/s

39.5

a 10 2 8.252

tan 3

x

8.25 ;10

3 39.5a 12.96 ms 2

39.5

Es la aceleracin del avin cuando t = 10 s

15. La corredera A se mueve dentro de la ranura conforme se eleva el brazo horizontal, que tiene una velocidad constante de 3 in/s. Calcule la velocidad y la aceleracin de la corredera cuando x= 6 in.

Resolucin

Como el brazo se mueve hacia arriba con velocidad constante:

ay 0vy 3

Y, por tanto:

y v y vy dt 3t

6La relacin entre las coordenadas de la posicin est3 establecida por la ecuacin de la trayectoria:A x 1 y 26 6x 1 (3t ) 26

Sustituimos y por el valor en funcin det

x 1.5t 2v x 3txa x 36

Derivando respecto al tiempo

Con las ecuaciones del movimiento a la vista, podemos responder a la pregunta.

Si x = 66 1.5t 2

t 4 2

a raz negativa no tiene significado fsico.

Para t 2

vx 3(2) 6v y 3

v vx

y2 v 2

6 2 32

6.71

tan 3y 6 26.6

sA v 6.71 in3

26.6

Para el mismo instante

a x 3a y 0

a 3x6

in s 2

1.3.2 Componentes intrnsecas

16. Una locomotora comienza a moverse desde el punto A conforme a la expresin s = 4t2, donde t est en s y s es la longitud en ft medida sobre la va a partir de A. El punto B se halla a 4000 ft de A y su radio de curvatura es de 800 ft. Diga: a) cul es la velocidad de la locomotora en B; b) cul es su aceleracin en A; c) cul, en B.

Resolucin

Derivando la expresin de la longitud recorrida respecto al tiempo, obtenemos:

s 4t 2

v ds 8t dta dv 8t dt

a) El tiempo que tarda en llegar a B es:4000 4t 2

t 1000

Su velocidad por tanto, tiene una magnitud de:

v 8

1000 253

v 253 ft s

30

La direccin es perpendicular al radio de la curva, pues debe ser tangente a la trayectoria.

b) Como el punto A est en un tramo recto

a at

a 8

ft s

Su direccin es la de la trayectoria.

c) En el punto B la aceleracin de la locomotora tiene tanto componente tangencial como normal, porque pertenece a una curva:

at 8

30

En direccin de la velocidad

2 2a v (253) 80

60a n

800

Dirigida hacia el centro de curvatura

80a 82 802

80.4

Sea el ngulo que forma con la velocidad8tan 8 0.1 ;80

5.760

B

30

Respecto a la horizontal, por tanto, forma un ngulo de:

60 5.7 65.7

a 80.4 fts 2

65.7

17. Un automvil viaja por la carretera de la figura aumentando uniformemente su velocidad. Pasa por A con una rapidez de 72 km/h y llega a B a 108 km/h, cinco segundos despus. Determine: a) la ace- leracin del automvil al pasar por A; b) el radio de curvatura de la carretera en la cima B, sabiendo que all la aceleracin del vehculo es de 4 m/s2.

Resolucin

n 72

km 72 h3.6

m s 20 m s

108a

km 108 h3.6

m s 30 m snComo la rapidez aumenta uniformemente, i.e., la componente tangencial de la aceleracin es constante,2 tanto en A como en B:

t a v v B v A 2 t t ta 30 20 2t 5

a) Al pasar por A

2 2a v 20 2n

a an

200

t2 a 2

22(2 2 ) 2 2

a 2.83 m

2s 2

45

2b) Al pasar por B

22a an

at ;

a an

at

tn an

a 2 a 2

42 22

3.46

v 2 v 2

nComo an ; a

30 2 ;3.46

260m

18. Un motociclista que corre en una pista circular de 440 ft de radio pasa por A a 60 mi/h; en B,200 ft adelante, su velocidad es de 30 mi/h. Sabiendo que el motociclista reduce uniformemente su veloci- dad, calcule su aceleracin cuando se encuentra en A.

Resolucin

B

440

200 A

60 mi h30 mi h

88 ft s 44 ft s

Como la reduccin de la rapidez es uniforme, la componente tangencial de la aceleracin es la misma en cualquier instante. Como se conoce la funcin de la distancia recorrida:

a v dvt dsat ds vdvat ds vdv

Por ser constante, at queda fuera de la integral.

v 2a s Ct 2Si s = 0, v = 88

Tomaremos como origen el punto A

88 20 C2882C

at s

2v 2 8822

44 2 88222 2a v 88 14.52t 2(200)

En el punto A la componente normal es:

2 2a v 88 17.6n 440t

tna a 2 a 2

14.52 2 17.6 2

22.8

tan 14.52 ;17.6

39.5

a 22.8 fts 2

39.5

17.6n A

14.52

a

19. Un buque navega con rapidez constante de24 nudos. Para dirigirse al puerto vira 90 en un minuto. Determine la magnitud de la aceleracin del buque durante la maniobra.

Resolucin

Puesto que la magnitud de la velocidad no vara du- rante la maniobra:

at 0Por tantoa an v

Donde es la velocidad angular.

90

grados

min

260

radsav Adems:

24 nudos 24

millas martimas 24 1852 mhora

3600 s

Por tanto:a 120

(24) 1852 0.3233600

a 0.323 ms 2

Y es perpendicular a la velocidad en cualquier instante.

1.3.3 Componentes cartesianas e intrnsecas relacionadas

y20. La trayectoria de un cohete interplanetariotiene la ecuacin y = 2 (10)5x2 + 0.8x. La compo- nente horizontal de su velocidad es constante y de 350m/s. Calcule la razn del cambio de la magnitud de suvelocidad con respecto al tiempo, cuando x = 9000 m.

y = 2 (10)5x2 + 0.8x

x

Resolucin

Primer mtodo

y 2(10) 5 x 2 0.8xv v dy dy dx v dyy dt

dx dt

x dxvy Como la componente horizontal de la velocidad es:

yvx 350350

v 350 4(10) 5 x 0.8 0.014x 280dv y dv y dxa v

dv y y dt

dx dt

x dx

2a y 350

4(10) 5

4.9 m 2s

tLa razn del cambio de magnitud de la velocidad con respecto al tiempo la mide la componente tangencial de la aceleracin.v

at

dv dt

at Como dicha componente tiene la direccin de la velo-an cidad, investigamos sta. v tan y vx

Paraa n

x 900 : v y 154 , vx 350

tan 154350

23.7

es el ngulo que forma la velocidad con la horizon- tal, y es el mismo que forma la aceleracin con su componente normal. Proyectamos la aceleracin en el eje tangencial.

at 4.9 sen 1.973

La magnitud de la velocidad disminuye a razn de1.973 ms 2

Segundo mtodo

Escribiendo en lenguaje vectorialtv v vx i v y j 350i 154 je a ax i a y j 4.9 j

Para proyectar la aceleracin en el eje tangencial, investigamos el producto escalar (o producto punto)at de dos vectores.

tat a e

aEn donde velocidad

a v

et es un vector unitario en direccin de la

1544.9 a t v

3502 1542

1.973

y

21. Las ecuaciones paramtricas de las coorde- nadas de la punta de un brazo mecnico son x = 25t 4t2 y y = 50 2t2; ambas resultan en ft, si el tiempo est en s. Diga qu longitud tiene el radio de curva- tura de la trayectoria de la punta cuando y = 0.

x

Resolucin

Primer mtodo

Para hallar el radio de curvatura, se requiere conocer la magnitud de la componente normal de la acelera- cin y la magnitud de la velocidad.

v 2an

Las ecuaciones del movimiento son:

x 25t 4t 2v dx 25 8tx dta dv x 8x dt

y 50 2t 2v dy 4ty dtdv ya y dt

4

Investigamos en qu instante

y 0

0 50 2t 2t 5

La raz negativa no tiene significado fsico en este caso.

y Para t 5

vx 25 8(5) 15v y 4(5) 20

15

x v

(15) 2 (20) 2

625 25

El ngulo que la velocidad forma con la horizontal20 es:

v 20 tan y vx 15v

53.1yLa aceleracin en ese mismo instante es:

a x 88 a y 4x

4 a

(8) 2 (4) 2

4 2 22 (1) 2 4 5

Y su direccin respecto a la horizontal

a 4 tan y ;

26.6ax 8

El ngulo que forman entre s la velocidad y la acele-n racin es:y 26.5

La proyeccin de la aceleracin sobre el eje normal es:xa 26.6v

an a cos 26.5 4

5 cos 26.5 4

t

Por tanto:

2 v an

6254

156.3 ft

Segundo mtodo

Utilizando lgebra vectorial

La componente normal de la aceleracin se puede obtener proyectando el vector aceleracin sobre unvector unitario en

en direccin del eje normal, el cuales perpendicular a la velocidad.yen Sea et

un vector unitario en direccin de la velocidad

e v 1 15i 20 j 0.6i 0.8 jt v 25en 0.8i 0.6 j

x an

a en

8i 4 j 0.8i 0.6 j 6.4 2.4 4

2 v an

6254

156.3 ft

et