FÍSICA I: CINEMÁTICA

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y educación

Johan Leonardo González

Estudiante licenciatura en química

2015

CONTENIDO TEMÁTICO

1. Acercamiento a la física.

2. Cinemática.

3. Movimiento uniforme.

4. Movimiento uniforme acelerado.

5. Movimiento en dos direcciones.

6. Movimiento circular uniforme.

Acercamiento a la FÍSICA

La física es una ciencia fundamental que estudia y describe el comportamiento

de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en

observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas

basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de

fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se

expresan en lenguaje matemático, por lo que para entender sin inconvenientes el

tratamiento del formalismo teórico de los fenómenos físicos se debe tener una

apropiada formación en matemáticas, en este curso basta un nivel básico de

matemáticas.

La física también es una ciencia experimental puesto que los físicos observan los

fenómenos naturales e intentan encontrar los patrones y principios que los describen.

Tales patrones se denominan teorías físicas o, si están muy bien establecidos y se usan

ampliamente, leyes o principios físicos.

Magnitudes escalares y vectoriales : Llamamos magnitud escalar, o simplemente

escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por

ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar. Se denomina

magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar algo más que

un solo número. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su

intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y

sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc. Este tipo de magnitudes se

denominan vectores.

______________________________________________________________________

CINEMÁTICA La cinemática es la parte de la física que está inscrita en la

disciplina de la mecánica pues esta última estudia las relaciones entre el movimiento de

los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Y específicamente la cinemática se

ocupa del movimiento de los cuerpos, sin tener en cuenta las causas que lo han

producido, es decir, sólo se encarga de describir las características del movimiento.

Vector de posición: Es un vector unidimensional, bidimensional o tridimensional, que

define la posición de una partícula o cuerpo. En coordenadas cartesianas, sus

componentes X, Y y Z pueden ser estudiados por separado. Generalmente se designa

por el vector r que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta el lugar donde

se encuentra el cuerpo o partícula. Teniendo en cuenta lo anterior, se dice que un cuerpo

se mueve respecto a un sistema de coordenadas, cuando su vector de posición cambia a

medida que transcurre el tiempo.

Trayectoria: Se llama trayectoria a la línea que describe el punto que representa a un

cuerpo en movimiento, conforme va ocupando posiciones sucesivas a lo largo del

tiempo. La estela que deja un avión en el cielo o los raíles de una línea de ferrocarril son

representaciones de esa línea imaginaria que denominamos trayectoria, cuya forma

permite que el movimiento se pueda clasificar en rectilíneo, curvilíneo, circular, etc.

Vector desplazamiento: Si una partícula se mueve desde un punto a otro, el vector

desplazamiento o desplazamiento de la partícula o el cuerpo, representado por ∆ r⃗ , se

define como el vector que va desde una posición inicial hasta una posición final.

Velocidad: La velocidad es una magnitud que implica desplazamiento

constituyéndose como una magnitud vectorial que consta de un módulo, una dirección y

un sentido.

El concepto de velocidad es intuitivo y contiene los conceptos primitivos de

longitud y tiempo. Así, por ejemplo si decimos que un cuerpo es más veloz que otro,

quiere decir que el primero emplea menos tiempo que el segundo en recorrer el mismo

espacio.

Por tanto si un cuerpo en movimiento recorre un cierto espacio S durante un

tiempo t, el cociente entre la medida S y del espacio recorrido y la medida t del tiempo

empleado en recorrerlo, equivale a la medida de la velocidad media del cuerpo en

movimiento:

Velocidad media= espacio recorridotiempo empleado

≫V =St

La rapidez promedio y la velocidad media tienen la misma magnitud cuando

todo el movimiento se da en una misma dirección. Sin embardo pueden diferir en otros

casos puesto que la rapidez de un objeto se define como la distancia total recorrida a lo

largo de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma en recorrer esta distancia.

Mientras que la velocidad media se usa para indicar la magnitud (valor numérico) de

qué tan rápido se mueve un objeto como la dirección en la que se mueve, por tanto la

velocidad es un vector que se define en términos de desplazamiento, en lugar de

distancia total recorrida.

Velocidad instantánea: Al conducir un automóvil 150 Km a lo largo de un camino

recto en una dirección durante 2 horas, la velocidad promedio es de 75 km/h. sin

embargo, es poco probable que esta velocidad sea 75 Km /h en cada instante. Para lidiar

con esta situación es necesario el concepto de velocidad instantánea, que es la velocidad

en cualquier instante de tiempo. (Se representa con un numero y sus unidades tal como

es indicado en un velocímetro) con más precisión la velocidad instantánea en cualquier

omento se define como la velocidad promedio durante un intervalo de tiempo

infinitesimalmente corto. Esto es, si se comienza con la ecuación:

V= ∆ x∆ t

,

La velocidad instantánea se define como la velocidad promedio mientras se deja que ∆ t

se vuelva extremadamente pequeño, tendiendo a cero. La definición de velocidad

instantánea, v, para movimiento unidimensional se escribe como:

v= lim∆t → 0

∆ x∆ t

.

Es importante dejar claro que la rapidez instantánea será igual al la magnitud de la

velocidad instantánea. ¿por qué? Porque la distancia y la magnitud del desplazamiento

se vuelven los mismos cuando se convierten en infinitesimalmente pequeños.

Aceleración: La aceleración es una magnitud vectorial que permite saber cómo varia

la velocidad de un cuerpo de un instante a otro. Esto indica que la aceleración es una

medida de la rapidez con que varía la velocidad.

Se dice que un objeto está acelerando cuando su velocidad cambia. Por ejemplo,

un automóvil cuya velocidad aumenta desde 0 hasta 80 Km/h, está acelerando. La

aceleración específica indica qué tan rápido es el cambio en la velocidad de un objeto.

Dado el tipo de variación de la velocidad, se habla de que la aceleración tiene un

valor numérico positivo cuando la velocidad va en aumento. Y que la aceleración tiene

un valor numérico negativo cuando la velocidad va disminuyendo, lo cual indica que el

cuerpo en movimiento desacelera.

La aceleración media se define como el cociente entre la medida de la variación

de velocidad en dicho tiempo y la medida del tiempo mismo:

Aceleración=Variaciónde velocidadtiempo

≫a=V 1−V 2

t=

S1

t−

S2

tt

= St 2

En símbolos, la aceleración promedio a⃗, durante un intervalo de tiempo ∆ t=t 2−t 1,

durante el cual la velocidad cambia por ∆ v=v2−v1, se define como:

a=v2−v1

t 2−t 1

=∆ v∆ t

La aceleración también es un vector, pero para un movimiento unidimensional,

solo se necesita usar un signo de más o menos para indicar la dirección relativa a un

sistema coordenado elegido.

Aceleración instantánea: A partir del mismo criterio usado para definir el concepto de

velocidad instantánea, se define la aceleración instantánea como:

a= lim∆t →0

∆ v∆ t

______________________________________________________________________

Movimiento uniforme

Se habla de movimiento uniforme cuando la velocidad de un cuerpo es constante; en tal

caso, el espacio recorrido es directamente proporcional al tiempo empleado en

recorrerlo.

Para comprender el movimiento unidimensional de un objeto en general, supongamos

que en algún momento en el tiempo t 1, el objeto está en el eje x en la posición x1 en un

sistema coordenado, y en un tiempo posterior t 2, está en la posición x2. El tiempo

transcurrido es t 2−t 1; durante este intervalo de tiempo el desplazamiento del objeto es

∆ x=x2−x1. Entonces en el movimiento uniforme la velocidad promedio se define como

el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido:

V=x2−x1

t 2−t 1

=∆ x∆ t

Si un objeto se mueve con una velocidad uniforme (esto es constante) durante un

intervalo de tiempo determinado, entonces su velocidad instantánea en cualquier

instante es la misma que su velocidad promedio. Pero en muchas situaciones, este no es

el caso. Por ejemplo, un automóvil puede partir del reposo, aumentar su rapidez a 50

Km/h, conservar dicha rapidez durante un tiempo, luego frenar a 20 Km/h en un

congestionamiento de tránsito y finalmente detenerse en su destino luego de recorrer un

total de 15 Km en 30 minutos.

El tiempo transcurrido, o intervalo de tiempo, t 2−t 1 es el tiempo que ha pasado en el

periodo de tiempo elegido y se entenderá el desplazamiento dado en una dirección

como el espacio S:

1) V= St

2) S=V t 3) t=SV

4) V=V 0+V F

2 V 0=2V −V F

V F=2V −V 0

Representación gráfica del movimiento uniforme

_______________________________________________________________

Movimiento uniforme acelerado

Un cuerpo se mueve con movimiento uniforme acelerado cuando está sometido a una

fuerza constante en intensidad, dirección y sentido. En consecuencia su aceleración se

mantiene constante, de modo que la variación de velocidad sufrida por el cuerpo, es

directamente proporcional al tiempo transcurrido.

Para hallar la aceleración a de un cuerpo, su velocidad final V, el tiempo en recorrer un

espacio y su velocidad inicial, se usan las siguientes formulas respectivamente:

5) a=V F−V 0

t V F=V 0+at t=

V F−V 0

a V 0=V F−at

Para hallar la posición final del cuerpo se recurre al cociente de v=(x−x0)/ t para

obtener:

x=x0+v t

Para obtener el espacio recorrido se sustituye V=V 0+V F

2 y V F=V 0+at en 2):

S=(V 0+V F

2 ) t S=( (V 0+at )+V 0

2 ) t

S=2 V 0 t

2+ a t2

2 S=V 0t + a t2

2

Usando esta nueva formula se pueden realizar sus respectivos despejes:

V 0=S−at 2

2t

≫V 0=2 S−a t2

2 t a=

2 ( S−V 0 t )t2

t=−V 0 ±√V 0

2−4 (a /2 ) (−S )2 (a /2 )

≫t=−V 0 ±√V 0

2+2aS

a

Ahora se puede sustituir t=V F−V 0

a y V=

V 0+V F

2 en 2):

S=(V F−V 0

a )(V 0+V F

2 ) S=V F2 −V 0

2

2 a V F=√2 aS+V 0

2

V 0=√V F2 −2 aS a=

V F2 −V 0

2

2 S

Representación gráfica del movimiento uniforme acelerado:

*Ahora vamos a analizar los casos más comunes de movimiento uniforme acelerado.

Caso 1: Caída libre Se deja caer un objeto verticalmente desde una altura específica.

Muchos de los conocimientos de la caída de los objetos se deben al científico

italiano Galileo Galilei (1564-1642). Él fue el primero en demostrar que, en ausencia de

fricción, todos los cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o pesados, caen a la Tierra con

la misma aceleración. Para su época esta idea fue revolucionaria ya que se creía que

todos los cuerpos pesados caen proporcionalmente más rápido que los ligeros, según lo

postuló Aristóteles. Pero, dado que los cuerpos poseen la propiedad de la inercia, un

objeto pesado presenta más dificultad para poder acelerarlo, y por tanto había una

paradoja en la teoría de Aristóteles. Paradoja que al ser resuelta, permitió descalificar

dicha teoría; así pues, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo porque el

efecto inercial mayor de la bola compensa exactamente su mayor peso.

La contribución de galileo a la comprensión de la caída de objetos se resume del

modo siguiente:

En una ubicación específica de la tierra y en ausencia de resistencia del aire,

todos los objetos caen con la misma aceleración constante.

A dicha aceleración se le denomina aceleración de la gravedad g y su magnitud

es 9,8 m/seg^2 ó 32 ft/seg^2. Dicha aceleración es un vector y al incorporarse al

movimiento uniforme acelerado, puede usarse las mismas formulas, sólo que en lugar

de a, se incorpora g, y se toma la condición de que la velocidad es cero.

a ≈ g V 0=0 g=9,8 m /s2

S= g t 2

2 t=√ 2 S

g g=

2 S

t 2

V F=¿ g=V F

t t=

V F

g

S=V F

2

2 g V F=√2 gS g=

V F

2 S

Caso 2: Lanzamiento hacia abajo Se lanza un objeto verticalmente hacia abajo,

significa que lleva velocidad inicial.

Al lanzar un objeto de forma vertical hacia abajo, la fuerza usada en el lanzamiento le

confiere al objeto una velocidad inicial que debe ser incorporada en las fórmulas de

caída libre.

a ≈ g g=9,8 m /s2

S=V 0t + g t 2

2 V 0=

2 S−g t 2

2 t g=

2 ( S−V 0t )t 2 t=

−V 0 ±√V 02+2gS

g

V F=V 0+¿ V 0=V F−¿ g=V F−V 0

t t=

V F−V 0

g

S=V F

2 −V 02

2 g V F=√2 gS+V 0

2 V 0=√V F2 −2 gS g=

V F2 −V 0

2

2 S

Caso 3: Lanzamiento hacia arriba Se lanza un objeto verticalmente hacia

arriba.

Se dice que si se lanza un objeto verticalmente hacia arriba, este va en contra de la

aceleración de la gravedad, lo cual indica que a medida que asciende el objeto, este va

perdiendo velocidad al punto que cuando llegue a una altura máxima y se disponga a

caer, su velocidad final será cero. Para este caso la aceleración será negativa puesto que

al ascender, el objeto va desacelerando.

a ≈ g V F=0 g=−9,8 m /s2

S=V 0t− g t2

2 V 0=

2S+g t2

2 t g=

−2 ( S−V 0t )t 2 ≫ g=

2 V 0−2 S

t 2

t=V 0±√V 0

2−2 gS

g

0=V 0−¿≫V 0=¿ g=V 0

t t=

V 0

g

S=−V 0

−2 g≫S=

V 0

2g V 0=√2 gS g=

V 0

2 S

Movimiento en dos direcciones

Movimiento de proyectiles: Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad

inicial y luego sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la

aceleración gravitacional y la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón lanzado,

un paquete soltado desde un avión y una bala disparada de un rifle son todos

proyectiles.

El camino que sigue un proyectil es su trayectoria. Para analizar este tipo de

movimiento tan común, se parte de un modelo idealizado que representa el proyectil

como una partícula con aceleración (debida a la gravedad) constante tanto en magnitud

como en dirección; despreciando los efectos de la resistencia del aire, así como la

curvatura y rotación terrestres. El movimiento de un proyectil siempre está limitado a

un plano vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial. La razón es que la

aceleración debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede

mover un proyectil lateralmente. Por lo tanto, este movimiento es bidimensional. Este

plano de movimiento es el plano de coordenadas xy, con el eje x horizontal y el eje y

vertical hacia arriba.

Para este caso t es el tiempo en que el cuerpo alcanza una altura máxima.

Para este caso S corresponde a la altura máxima alcanzada.

Para realizar un análisis del movimiento de proyectiles es preciso tratar por

separado las coordenadas x y y. La componente x de la aceleración es cero, y la

componente y es constante e igual a 2g. Así, se puede analizar el movimiento de un

proyectil como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y

movimiento vertical con aceleración constante.

1) Lanzamiento horizontal: Para un proyectil que se lanza horizontalmente

recorre una distancia horizontal a medida que cae, y aumenta su velocidad de

caída a medida que se acerca al suelo. Cayendo de ese modo, al mismo

tiempo al suelo que un objeto que se lanza verticalmente. Esto permite

identificar que se pueden usar las mismas fórmulas de movimiento acelerado

con la diferencia de que en este caso es necesario descomponer la velocidad

en dos vectores.

s=v0 t+ g t2

2→ y=V y t+ g t 2

2

Para este caso la velocidad es puramente horizontal, lo que quiere decir que

el trayecto del proyectil apunta hacia abajo:

V 0 x=V x V y=0

Dado que la velocidad horizontal es constante y la velocidad vertical es cero,

las posiciones verticales y horizontales en cualquier instante estarán dadas

por:

x=V 0 t

y=12

g t 2

De manera similar las velocidades para cualquier componente se expresan así:

vx=V 0 x v y=¿

2) Lanzamiento con ángulo de elevación: Para este caso se analiza el

lanzamiento de un proyectil disparado con un ángulo θ y con una velocidad

inicial V 0 cuyo movimiento se compara con el del lanzamiento vertical hacia

arriba, sólo que ahora tendrá dos componentes.

- Se descompone la velocidad inicial V 0 en sus componentes x y y.

V 0 x=V 0 cosθ V 0 y=V 0 senθ

- Las posiciones de las componentes horizontal y vertical se dan de este modo.

x=V 0 x t y=V 0 y+12

g t2

- La velocidad a cualquier instante de cualquier componente se expresa así.

vx=V 0 x v y=V 0 y+¿

Movimiento Circular

Se dice que un objeto que se mueve en una trayectoria circular con rapidez

constante v experimenta un movimiento circular uniforme. En este caso, la magnitud de

la velocidad permanece constante, pero la dirección de la velocidad cambia

continuamente conforme el objeto se mueve alrededor del círculo. En tanto que la

aceleración se define como el cambio de la velocidad, un cambio en la dirección de esta

última constituye una aceleración, al igual que un cambio en la magnitud de la

velocidad. Así, un objeto que da vueltas en un círculo está acelerando de manera

continua, incluso cuando la rapidez permanece constante (V 1=V 2=V ). Ahora

investigaremos esta aceleración de manera cuantitativa.

Aceleración centrípeta

La aceleración se define como:

a=v2−v1

∆ t=∆ v

∆ t

Para resumir, un objeto que se mueve en un círculo de radio r con rapidez

constante v tiene una aceleración cuya dirección está hacia el centro del círculo y cuya

magnitud es aR=v2/r. No es de sorprender que esta aceleración depende de v y de r.

Cuanto mayor sea la rapidez v, más rápido cambiará de dirección la velocidad; y cuanto

mayor sea el radio, más lentamente cambiara de dirección la velocidad.

El vector aceleración apunta hacia el centro del círculo. Pero el vector velocidad

siempre apunta en la dirección del movimiento, que es tangencial al círculo. Por tanto,

los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares entre sí en cada punto en la

trayectoria del movimiento circular uniforme. Este es otro ejemplo que ilustra el error al

pensar que la aceleración y la velocidad siempre están en la misma dirección. Para un

objeto en caída libre, a⃗ y v⃗ de hecho son paralelos. Pero, enel movimiento circular, a⃗ y

v⃗ son perpendiculares, no paralelos (ni tampoco fueron paralelos en el movimiento de

proyectiles).

Para el movimiento circular uniforme, la magnitud ∆ v tiene la misma relación

con la magnitud de cualquiera de las velocidades como el espacio lineal s al radio r. esta

proporcionalidad se puede definir del siguiente modo:

∆ vv

= sr

Donde v es la magnitud absoluta de cualquiera de las velocidades. Ahora la

distancia que una partícula recorre realmente desde un punto A a un punto B no

corresponde a la distancia s sino de la longitud del arco entre A y B. Cuanto más corto

sea el intervalo de tiempo ∆ t , más cerca estarán estos dos puntos entre sí, hasta que, en

el límite, la longitud de s es igual a la longitud del arco. En este caso la longitud s está

dada por:

s=v ∆ t

Que, al sustituirse en ∆ vv

= sr

, resulta:

∆ vv

= v ∆ tr

Dado que la aceleración es igual a ∆ v /∆ t se pueden reordenar términos para obtener

∆ v∆ t

= v2

r

Por lo tanto, la razón de cambio de la velocidad, en la unidad de tiempo, la llamamos

Aceleración centrípeta, está dada por

ac=v2

r

Donde v es la rapidez lineal de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria

circular de radio r.

Con frecuencia, al movimiento circular se le describe en términos de la

frecuencia F, es decir, el número de revoluciones (ciclos o vueltas) por segundo. El

periodo T de un objeto que se mueve en una trayectoria circular es el tiempo requerido

para completar una revolución. Periodo y frecuencia están relacionados del modo

siguiente:

T=1f

y f =1T

Por ejemplo, si un objeto gira con una frecuencia de 3 Rev./s, entonces cada

revolución tarda 13

s. Para un objeto que da vueltas en un círculo (de circunferencia o

perímetro 2 πr) con rapidez constante v se puede escribir:

v=2 πrT

,

Puesto que en una revolución el objeto recorre una circunferencia. Tomando en cuenta

que 1/T=F entonces se obtiene una formula alterna para encontrar la velocidad:

v=2 π f r

Fuerza centrípeta: tomando en cuenta la primera ley de Newton, en el movimiento

circular uniforme la dirección de la fuerza neta cambia continuamente, de modo que

siempre se dirige hacia el centro del circulo. A esta fuerza se le llama fuerza centrípeta

(“que apunta hacia el centro”). Pero hay que tener en cuenta que la fuerza centrípeta no

indica un tipo nuevo de fuerza. El término meramente describe la dirección de fuerza

neta necesaria para obtener una trayectoria circular: La fuerza neta está dirigida hacia el

centro del círculo. La fuerza debe ser aplicada por otros objetos. Por ejemplo, para

balancear una bola en un círculo en el extremo de una cuerda, hay que jalar la cuerda y

esta ejerce la fuerza sobre la bola.

Con base en la segunda ley de Newton, podemos definir que la magnitud de la

fuerza centrípeta equivale al producto de la masa por la aceleración centrípeta. Así,

F c=m∗ac=m v2

r

Donde m es la masa del objeto que se mueve circularmente con velocidad v a lo largo

de una trayectoria de radio. Existe una relación al sustituir v=2 πFr en la ecuación de F c

, se observa que la velocidad al cuadrado requiere una fuerza cuatro veces mayor que la

fuerza inicial.

F c=mv2

r=4 π2 f 2 mr= 4 π 2mr

T 2

Fuerza centrífuga: Existe el equívoco común que un objeto que se mueve en un

círculo tiene una fuerza hacia afuera que actúa sobre él, una fuerza llamada centrífuga

(“que se aleja del centro”). Esto es incorrecto: no existe una fuerza hacia afuera sobre el

objeto que da vueltas. Considere, por ejemplo, una persona que hace girar una bola en

el extremo de una cuerda alrededor de su cabeza. Si alguna vez ha hecho esto, habría

sentido una fuerza que jala hacia afuera sobre su mano. La equivocación surge cuando

este jalón es interpretado como una fuerza centrífuga hacia afuera que jala la bola y que

se trasmite a lo largo de la cuerda hasta su mano. Esto no es lo que ocurre. Para

mantener la bola en movimiento en un círculo, usted jala la cuerda hacia adentro, y la

cuerda ejerce esta fuerza sobre la bola. La bola ejerce una fuerza igual y opuesta sobre

la cuerda (tercera ley de Newton) y esta es la fuerza hacia afuera que se siente en la

mano.

La fuerza sobre la bola es la que se ejerce hacia dentro por parte de su mano,

mediante la cuerda. Para tener una evidencia todavía más convincente de que una fuerza

centrífuga no actué sobre la bola, considere lo que ocurre cuando suelta la cuerda. Si

estuviese actuando una fuerza centrífuga, la bola saldría disparada hacia fuera. Pero no

es así: la bola vuela tangencialmente, en la dirección de la velocidad que tenía en el

momento en que se liberó, porque la fuerza hacia dentro ya no actúa más.

Cantidades angulares

Para indicar la posición angular de un objeto en rotación o cuánto ha girado, se

especifica el ángulo θ de cierta línea particular en el objeto con respecto a una línea de

referencia, por ejemplo el eje x.

De este modo es necesario indicar la longitud recorrida por un punto que se encuentra

en un ángulo determinado, así que se usa el radián para la medición angular.

Un Radián como el ángulo subtentido por un arco cuya longitud es igual al radio, así

que si la longitud recorrida es igual al radio entonces θ es exactamente igual a 1 rad.

θ= lr

Ahora, la cantidad de rotación que sufre un cuerpo se mide por el

desplazamiento angular. Si un disco que está girando sobre su propio eje recorrerá un

ángulo θ desde una posición de referencia. En algún momento la longitud recorrida

completará una circunferencia en el momento en que regrese al punto de referencia,

quiere decir, que completa 360° equivalentes a 1 revolución:

1 rev = 360°

Los radianes se relacionan con los grados del siguiente modo. En un círculo completo

existen 360°, que deben corresponder a una longitud de arco igual a la circunferencia o

perímetro del círculo, l=2 πr. En consecuencia:

θ= lr=2 πr

r=2 π rad

Por tanto:

1 rev = 360° = 2π rad

De lo cual se obtiene:

1 rad=360 °2 π

=57.3°

Velocidad angular: A la razón de cambio del desplazamiento angular con el tiempo

transcurrido se le denomina velocidad angular. Así, si un objeto gira a través de un

ángulo θ en un tiempo t su velocidad angular es dada por:

ω=∆ θ∆ t

El símbolo omega ω se usa para denotar la velocidad angular cuyas unidades se

expresan por lo general en radianes por segundo (rad/s) o en revoluciones por minuto.

Para un uso extendido de la velocidad angular, se puede expresar en términos de la

frecuencia:

ω=2 πf

*aquí f se mide en revoluciones por segundo (rev/s).

Con base en lo anterior la velocidad angular instantánea se define como el muy

pequeño ángulo ∆ θ a través del cual el objeto gira en el muy corto intervalo de tiempo

∆ t :

ω= lim∆t →0

∆ θ∆ t

Aceleración angular: es análoga a la aceleración lineal, pero se expresa con la

letra alfa α . Para este caso la rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo la

influencia de un momento de torsión resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular

cambia desde un valor inicial a un valor final en un intervalo de tiempo, la aceleración

angular se expresa así:

α=ωF−ω0

t=∆ ω

∆ t

Así mismo, es posible definir la aceleración angular instantánea:

α= lim∆ t →0

∆ ω∆ t

Movimiento circular con aceleración angular constante

La definición de velocidad y aceleración angulares son las mismas que las de sus

contrapartes lineales, excepto que θ reemplaza a S, ω sustituye a v y α sustituye a a. en

consecuencia se pueden deducir las formulas con base en las fórmulas de cinemática

primarias.

a) ω=ωF+ω0

2 ωF=2ω−ω0 ω0=2ω−ωF

b) α=ωF−ω0

t t=

ωF−ω0

α ωF=ω0+αt ω0=ωF−αt

c) θ=ω0 t+ 12

αt ω0=2θ−α t 2

2t α=

2 ( θ−ω0 t )t 2 t=

−ω0 ±√ω02+2 αθ

α

d) θ=ωF

2 −ω02

2 α ωF=√2 αθ+ω0

2 ω0=√ωF2 −2 αθ α=

ωF2 −ω0

2

2 θ

Relaci ón entre los movimientos circular y lineal

Cada punto o partícula de un objeto rígido en rotación tiene, en cualquier

momento una velocidad lineal v y una aceleración lineal a. Es posible relacionar las

cantidades lineales en cada punto con las cantidades angulares del objeto en rotación, ω

y α .

- Una partícula que gira, recorre un arco S que está dado por:

S=θr

- Si este espacio es recorrido en un tiempo t, la velocidad lineal de la partícula se

expresa:

v= st=θr

t

- Dado que θt=ω se puede expresar la velocidad lineal como:

v=ωr

- Aceleración tangencial: Si cambia la velocidad angular de un objeto en rotación,

el objeto como un todo tendrá una aceleración angular. Cada punto tiene una

aceleración lineal cuya dirección es tangente a la trayectoria circular de dicho

punto. La ecuación v=ωr sirve para demostrar que la aceleración angular α

tiene relación con la aceleración lineal tangencial de un punto en el objeto en

rotación:

(1) aT=v F−v0

t (2) aT=

ωf r−ω0 r

t=

ωf −ω0

tr

(3) aT=αr

*aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras

que la aceleración centrípeta, un cambio en la dirección del movimiento.

- Aceleración radial o centrípeta: puede redefinirse la aceleración centrípeta

tomando en cuenta la ecuación v=rω, y sustituyendo en ac=v2/r, para

reescribirla en términos de aceleración radial aR como magnitud lineal.

aR=v2

r=

(rω )2

r=ω2 r

- Aceleración lineal total: luego de destacar dos aceleraciones definidas en una

trayectoria lineal, se considera ahora la aceleración lineal total como la suma

vectorial de los dos componentes anteriores.

a⃗=a⃗T+a⃗R

BIBLIOGRAFÍA

1992, Tippens, Paul E.; Física, conceptos y aplicaciones. Editorial

McGraw-Hill, cuarta edición.

2005, Giancoli, Douglas C.; Física, Principios con aplicaciones.

Editorial Prentice Hall, Sexta edición.