cinematica cuerpo rigido

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Curso de DINÁMICA – EC114 I Profesor: Ing. Fernando Lázares La Rosa

CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS

Se estudiará la cinemática en el plano, o estudio de la geometría

del movimiento en un plano de un cuerpo rígido. Su estudio es

importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos

empleados para muchas operaciones de máquinas. En ingeniería

civil es importante para el diseño y plantear el comportamiento de

elementos que integran una estructura.

Cuerpo rígido: Todo cuerpo que no presente deformación relativa

entre sus partes se dice que es un cuerpo rígido. Se trata de una

hipótesis ideal ya que todos los cuerpos reales cambian algo de

forma al ser sometidos a fuerzas. Cuando dichos cambios de

forma sean despreciables frente a los cambios de posición del

cuerpo en conjunto se podrá suponer que hay rigidez.




Se investigará las relaciones que existen entre el tiempo, las

posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las distintas

partículas que forman un cuerpo rígido.

Es posible someter un cuerpo rígido a tres tipos de movimiento en el

plano, específicamente traslación, rotación en torno de un eje fijo y

movimiento plano en general.

TRASLACIÓN: Un movimiento es de traslación si cualquier línea recta

de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento.

Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de

trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas se dice

que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son

líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.



Traslación rectilínea Traslación curvilínea




Considérese un cuerpo rígido en

traslación (rectilínea o curvilínea) y

sean A y B cualesquiera de sus

partículas. Representando por rA y

rB los vectores de posición de A y B

con respecto a un sistema de

referencia fijo y por rB/A al vector

que une A y B


rB = rA + r B/A

Si se deriva esta expresión con

respecto al tiempo, por la definición

de traslación el vector rB/A debe

mantener su dirección y magnitud

constante, ya que A y B

corresponden al mismo cuerpo

rígido.

Entonces la derivada de rB/A es cero:

VA = VB

aA = aB



Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo

tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante


Traslación curvilínea: velocidad y aceleración cambian de dirección y en cada instante.

Traslación rectilínea: velocidad y aceleración mantienen la misma dirección durante

todo el movimiento.



ROTACIÓN CON RESPECTO

A UN EJE FIJO: En este

movimiento las partículas que

forman el cuerpo rígido se

mueven en planos paralelos, a

lo largo de círculos centrados

sobre el mismo eje fijo. Si este

eje, llamado eje de rotación,

intersecta al cuerpo rígido, las

partículas localizadas sobre el

eje tienen velocidad y

aceleración cero.




La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación

curvilínea. Por ejemplo la placa izquierda está en traslación

curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de

círculos paralelos, mientras que la placa derecha está en

rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de

círculos concéntricos




El cuerpo rígido gira con respecto a un

eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo

y r su vector de posición con respecto

a un sistema de referencia fijo. Sea B

la proyección de P sobre AA’, como P

debe permanecer a una distancia

constante de B, describirá un círculo

de centro B y radio rsen , donde es

el ángulo formado por r y AA’.

La posición de P y de todo el cuerpo

está definida por el ángulo que forma

la línea BP con el plano zx. El ángulo

se conoce como la coordenada

angular del cuerpo.

1 rev = 2 rad = 360°




La velocidad de la partícula P es un

vector tangente a la trayectoria de P.

V = d r /dt V = ds/dt

S = (BP) = (r sen )


S

BP

Dividiendo entre ty obteniendo el límite

cuando t 0

V = ds/dt = r sen

V = d r /dt = r = x r

como : =

V = ds/dt = r sen



El vector k k se llama

velocidad angular del cuerpo. Está

dirigida a lo largo del eje de rotación y

es igual en magnitud a la rapidez de

cambio de la coordenada angular.

Hallando la aceleración:

a = dV/dt d ( x r ) /dt

a = (d /dt) x r x (dr/dt)

a = x r x V


a = x r x ( x r)

= aceleración angular del cuerpo



k k k

x r componente tangencial

de la aceleración.

x ( x r ) componente

normal de la

aceleración.


x ( x r )

x r



an = r

a = x r x ( x r )

a = k x r r

k

ROTACION DE UNA PLACA REPRESENTATIVA

La rotación de un cuerpo rígido con respecto a un

eje fijo puede definirse por el movimiento de una

placa representativa en un plano de referencia

perpendicular al eje de rotación

V = x r = k V = r

Dirección: r gira 90° sentido rotación de la placa

at = k x r

at = r an = r



ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACION DE UN CUERPO RIGIDO

ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Es probable que pueda darse como una función de t , recordando:

t

θω

2

2

tt t

Ecuaciones similares obtenidas para el movimiento rectilíneo

Se encuentran dos casos especiales de rotación:

Rotación uniforme: = 0 = constante

Rotación uniformemente acelerada: = constante

t0

t0 )( 0220

2 200 tt

2

1



MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL

Un movimiento plano en general puede considerarse siempre como la

suma de una traslación y una rotación.

Movimiento plano = Traslación con A + Rotación sobre A

Un ejemplo del movimiento plano esta dado por la rueda que gira sobre una vía

recta. Durante cierto intervalo de tiempo, dos puntos arbitrarios A y B se habrán

movido respectivamente desde A1 hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo

resultado pudo obtenerse mediante una traslación que hubiera traído a A y B

hasta A2 y B’1 (la línea AB sigue siendo vertical), seguida por una rotación

respecto a A que tare B hasta B2 (movimiento original simultáneo)



MOVIMIENTO PLANO EN GENERAL

Un movimiento plano en general puede considerarse siempre como la

suma de una traslación y una rotación.

Movimiento plano = Traslación con A + Rotación sobre A

Otro ejemplo del movimiento plano esta dado por la barra cuyas

extremidades resbalan a lo largo de una vía horizontal y una vía vertical.

Este movimiento puede sustituirse por una traslación en una dirección

horizontal y una rotación con respecto a A.



También puede sustituirse por una traslación en una dirección vertical y una

rotación con respecto a B.

Movimiento plano = Traslación con B + Rotación sobre B

En general consideraremos un pequeño

desplazamiento de dos partículas A y B

de una placa representativa desde A1 y

B1 hasta A2 y B2



Este desplazamiento puede dividirse

en dos partes, una en la que las

partículas se mueven hasta A2 y B1’

manteniendo la línea A1 y B1 la

misma dirección, y otro en el que B

se mueve de B1’ hasta B2manteniéndose fijo A2. La primera

parte es una traslación y la segunda

una rotación con respecto a A.

Recordando la definición del movimiento relativo de una partícula con

respecto a un sistema de referencia en movimiento: dadas dos partículas

A y B de una placa rígida en un movimiento plano, el movimiento

relativo de B con respecto a un sistema fijo a A y de orientación fija es

una rotación. Un observador moviéndose con A, pero sin girar, le

parecerá que la partícula describe un arco de círculo centrado en A.

cinematica cuerpo rigido

Documents