I. INTRODUCCIÓN

MECANICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

MECÁNICA DE CUERPO

MECANICA DE CUERPO RIGIDOS FLUIDOSCUERPO

DEFORMABLECUERPO RIGIDOS

DINAMICAESTATICA

CINETICACINEMATICA

II. NOCION DE CINEMATICA� La cinemática (del griegoκινεω, kineo, movimiento) es la

rama de la mecánica clásica que estudia las leyes delmovimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causasque lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de latrayectoria en función del tiempo.

� También se dice que la cinemática estudia la geometría delmovimiento.

� En la cinemática se utiliza un sistema de coordenadas paradescribir las trayectorias, denominado sistema de referencia.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

1.ESPACIO ABSOLUTO.� Es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e

independiente de la existencia de estos.

� Este espacio es el escenario donde ocurren todos los� Este espacio es el escenario donde ocurren todos losfenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de lafísica se cumplen rigurosamente en todas las regiones de eseespacio.

� El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica

mediante un espacio puntual euclídeo.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA

2.TIEMPO ABSOLUTO

La Mecánica Clásica admite la existencia deun tiempo absoluto que transcurre delmismo modo en todas las regiones delmismo modo en todas las regiones delUniverso y que es independiente de laexistencia de los objetos materiales y de laocurrencia de los fenómenos físicos.

II. ELEMENTOS BASICOS DE LA CINEMATICA3. MOVIL

� El móvil más simple que podemos considerar es el punto material

o partícula.

� La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en laNaturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de puntogeométrico.geométrico.

� Entendemos por punto material o partícula a un cuerpo dedimensiones tan pequeñas que pueda considerarse comopuntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedarádeterminada al fijar las coordenadas de un punto geométrico.

� Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de uncuerpo estará en relación con las condiciones específicas delproblema considerado.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO� Estudiar el movimiento de un cuerpo quiere decir determinar su

posición en el espacio en función del tiempo, para ello se necesita unsistema de referencia.

� En el espacio euclidiano un sistema de queda definido por los

elementos siguientes.

a. un origen O, que es un punto del espacio físico.

b. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dichob. una base vectorial del espacio vectorial asociado a dicho

espacio físico.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO� Decimos que una partícula se encuentra en movimiento con respecto a

un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso

del tiempo.

� En caso contrario, si la posición del cuerpo no cambia con respecto alreferencial, el cuerpo está en reposo en dicho referencial.

� De las definiciones que acabamos de dar para el movimiento y elreposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.reposo de un cuerpo, vemos que ambos conceptos son relativos.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO� En la Figura hemos representado dos

observadores, S y S′, y una partículaP.

� Estos observadores utilizan losreferenciales xyz y x′y′z′,

respectivamente.respectivamente.

� Si S y S′ se encuentran en reposoentre sí, describirán del mismo modoel movimiento de la partícula P. Perosi S y S′ se encuentran enmovimiento relativo, susobservaciones acerca del movimientode la partícula P serán diferentes.

III. RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

� Para el observador en ubicado en la tierra la LUNA describirá unaórbita casi circular en torno a la TIERRA.

� Para el observador ubicado en el sol la trayectoria de la luna es unalínea ondulante.

� Naturalmente, si los observadores conocen sus movimientosrelativos, podrán reconciliar sus observacionesrelativos, podrán reconciliar sus observaciones

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEODecimos que una partícula tiene un movimiento rectilíneocuando su trayectoria medida con respecto a un observadores una línea recta

1. POSICIÓN.

� La posición de la partícula en� La posición de la partícula encualquier instante queda definidapor la coordenadax medida a partirdel origen O.

�Si x es positiva la partícula selocaliza hacia la derecha de O y sixes negativa se localiza a la izquierdade O.

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO2. DESPLAZAMIENTO.

� El desplazamiento se define como el cambio de posición.

� Se representa por el símbolo ∆x.

� Si la posición final de la partícula P’ está la derecha de su posicióninicial P, el desplazamiento ∆x es positivo cuando eldesplazamiento es hacia la izquierda ∆S es negativo

'

ˆ ˆ' '

x x x

r r r x i xi

∆ = −

∆ = − = −r r r

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO3. VELOCIDAD MEDIA

Si la partícula se mueve de P a P’ experimentando undesplazamiento ∆x positivo durante un intervalo de tiempo ∆t,entonces, la velocidad media será

12 xxxv

−=∆=

12

12

12

´

tt

rr

t

rv

tt

xx

t

xv

m

m

−−

=∆∆=

−−=

∆∆=

rrrr

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

3. VELOCIDAD MEDIA� La velocidad media también

puede interpretarsegeométricamente para ello setraza una línea recta que une lospuntos P y Q como se muestra enla figura. Esta línea forma untriángulo de altura ∆x y base ∆t.

� La pendiente de la recta es ∆x/∆t.Entonces la velocidad media es lapendiente de la recta que une lospuntos inicial y final de la gráficaposición-tiempo

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO

4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA� Es la velocidad de la partícula en cualquier instante de

tiempo se obtiene llevando al límite la velocidad media esdecir, se hace cada vez más pequeño el intervalo de tiempoy por tanto valores más pequeños de ∆x. Por tanto:

0

0

lim( )

ˆlim( )

t

t

x dxv

t dtr dr dx

v it dt dt

∆ →

∆ →

∆= =∆∆= = =∆

r rr

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO4. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

� Si una partícula se mueve de P a Q. A medida que Q se aproxima más ymás a P los intervalos de tiempo se hacen cada vez menores. A medidaque Q se aproxima a P el intervalo de tiempo tiende a cero tendiendo deesta manera las pendientes a la tangente. Por tanto, la velocidadinstantánea en P es igual a la pendiente de la recta tangente en el puntoP. La velocidad instantánea puede ser positiva (punto P), negativa (puntoR) o nula (punto Q) según se trace la pendiente correspondiente

Q

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN MEDIA .

Si la velocidad de la partícula al pasar por P es v y cuando pasapor P’ es v’ durante un intervalo de tiempo ∆t, entonces:

La aceleración media sedefine como

'v v va

∆ −= ='meda

t t t= =

∆ −

IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO6. ACELERACIÓN INSTANTANEA .

La aceleración instantánea se obtiene llevando al límite laaceleración media cuando ∆t tiende a cero es decir

0

2

lim( )

( )

t

v dva

t dt

d dx d xa

∆ →

∆= =∆

= =2

( )adt dt dt

= =

Ejemplo 01� La posición de una partícula que se mueve en línea recta está

definida por la relación Determine: (a) la posición,velocidad y aceleración en t = 0; (b) la posición, velocidad yaceleración en t = 2 s; (c) la posición, velocidad y aceleraciónen t = 4 s ; (d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s;

2 36x t t= −

Solución� La ecuaciones de movimiento son

326 ttx −=2312 tt

dt

dxv −==

tdt

xd

dt

dva 612

2

2−===

� Las cantidades solicitadas sondtdt 2

• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2

• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax= 12 m/s, a = 0

• En t = 4 s, x = xmax= 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).

Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir

DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).

Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).

Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos

escribir

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO DE UNA PARTÍCULA

4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante

A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme ylas ecuaciones obtenidas son

Ejemplo 02El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de talmanera que su velocidad para un período corto de tiempo esdefinida por pies/s, donde t es el tiempo el cualestá en segundos . Determine su posición y aceleracióncuando t = 3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0

Solución POSICIÓN Para el sistema dereferencia considerado y sabiendoque la velocidad es función deltiempo v = f(t). La posición es

� ACELERACIÓN. Sabiendo quev = f(t), la aceleración sedetermina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s, resulta

� Cuando t = 3 s

Ejemplo 03Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajodentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s.Si resistencia del fluido produce una desaceleración delproyectil que es igual a donde v se mide en m/s.Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundosdespués de que se disparó el proyectil.después de que se disparó el proyectil.

SoluciónVelocidad: Usando el sistemade referencia mostrado y sabiendoque a = f(v) podemos utilizar laecuación a = dv/dt para determinarla velocidad como función deltiempo esto es

POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),la posición se determina apartir de la ecuación v = dS/dt

Ejemplo 04� Una partícula metálica está sujeta a

la influencia de un campo magnéticotal que se mueve verticalmente através de un fluido, desde la placa Ahasta la placa B, Si la partícula sesuelta desde el reposo en C cuandosuelta desde el reposo en C cuandoS = 100 mm, y la aceleración semide como donde S estáen metros. Determine; (a) lavelocidad de la partícula cuandollega a B (S = 200 mm) y (b) eltiempo requerido para moverse deC a B

Solución

� Debido a que a = f(S), puedeobtenerse la velocidad comofunción de la posición usando vdv= a dS. Consideramos además quev = 0 cuando S = 100 mm

� El tiempo que demora enviajar la partícula de C a B sedetermina en la forma

� La velocidad cuando S = 0,2 m es

� Cuando S = 0,2 m el tiempoes

Ejemplo 05

La velocidad de un cuerpo móvil sobre el eje x está dadopor v= 8+2t2 , estando y medido en cm y t en se g. Cuandot=3s el cuerpo esta a 52 cm a la derecha del origen. (a)Encontrar las expresiones de la aceleración y la posicióndel cuerpo en cualquier instante; (b) ¿Cuál es la velocidadinicial?; (c) ¿Cuál es la posición inicial?inicial?; (c) ¿Cuál es la posición inicial?

a) v= 8+2t2

Cuando t=3s, x=52 cm

( )∫ ∫ +=⇒+= dttdxtdt

dx 22 2828

cttx ++= 3

32

8

2 3 =++=

b) v(t)=8+2t2=8 cm/s

c) x(t)=8+2/3 t3 +10=10 cm

1032

8)(

10

52)3(32

)3(8)3(

3

3

++=⇒

=

=++=

tttx

c

cx

Ejemplo 06Después de parar el motor de una canoa ésta tiene unaaceleración en sentido opuesto a su velocidad ydirectamente proporcional al cuadrado de ésta. Esto es:dv/dt=-kv2 , donde k es una constante. Supongamos quese para el motor cuando la velocidad es de v0 = 6 m/s, yque la velocidad disminuye hasta 3 m/s en un tiempo de15s.15s.

a) Determinar la velocidad v en el instante t después deparar el motor de la canoa.

b) Calcular el valor de k

c) Encontrar la aceleración en el instante en que se para elmotor.

d) Determinar la expresión para la distancia recorrida.

a) Considerando la expresión de la aceleración:

∫∫ =−⇒−=tv

v

dtvk

dvvk

dt

dv

02

2

0

[ ] tkvv

tvk

tv

v

+=⇒=

−−0

01111

0

b) Para determinar el valor de k, cuando t=0, v0=6 m/s ,entonces:

1

901 −= mk

c) Se conoce que cuando se para el motor, v= v0 =6 m/s

( )2

22

/40,0

9036

6901

sma

vka

−=⇒

−=−=−=

d) Para la distancia recorrida, tenemos:

tvk

vvtk

vv0

111

+=⇒+=

( )tvkk

x

tvk

dtvdx

dttvk

vdx

tvk

v

dt

dx

tvkvtk

vv

tx

xo

0

0 00

0

0

0

0

0

00

1ln1

1

11

1

+=⇒

+=

+=⇒

+=⇒

+=⇒+=

∫∫=

Ejemplo 07

Una partícula se mueve a lo largo de una recta. Suaceleración está dada por a= 90-kx, donde x se da en metrosy a en m/s2. Si v=0 en x= 1m y v=18 m/s cuando x= 3m,determina: a) El valor de la constante k; b) la posición de lapartícula cuando su velocidad es otra vez cero; c) suvelocidad cuando x= 4m; y d) la posición cuando la velocidadvelocidad cuando x= 4m; y d) la posición cuando la velocidades máxima

a) Considerando la expresión de la aceleración:

( ) ( )1

18

020

23

1

218

0

3

1

5,4

21

29090

,

−=

−=

−⇒=−

=⇒==

∫∫

sk

vvxk

xdvvdxxk

dvvdxadtvdxdt

dva

b) De la expresión para la velocidad:b) De la expresión para la velocidad:

( ) ( )

( )( )mxmx

xx

vperovxx

vx

xdvvdxxv

xvx

1;39

0139

0,5,1751805,4

21

25,4

905,490

21

22

02

1

2

01

===−−⇒

==−+−⇒

=

−⇒=− ∫∫

c) Reemplazando en la ecuación cuadrática la condición x=4m:

smv

vxx

/73,21

5,1751805,4 22

≈⇒

=−+−

d) Para hallar la velocidad máxima, emplearemos el criteriode la segunda derivada:

( )1

Para cuando se aplica la primera derivada:

Aplicando la segunda derivada:

( ) 21

222 5,1751805,45,1751805,4 −+−=⇒=−+− xxvvxx

( )mxx

xxdx

d

dx

dv

200905,4

05,1751805,4 21

2

=⇒=+−

=

−+−=

mxenmáximoesvtolopordx

vd

x

20tan,112,020

2

2

=−==