cioni, cavallucci - appunti di fisica nucleare e subnucleare ii (2011)

5/22/2018 Cioni, Cavallucci - Appunti Di Fisica Nucleare e SubNucleare II (2011)

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Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Appunti diFisica Nucleare e SubNucleare II

Guido Cioni, Tommaso Cavallucci



2

ATTENZIONE: I seguenti appunti rappresentano un tentativo di raccolta e rielaborazione delle lezioni edelle esercitazioni del corso di Fisica Nucleare e SubNucleare per lanno accademico 2010/2011. Gli appunti

sono stati riguardati solo dallesercitatore, che non ha potuto pero correggerli nella loro interezza. Si

raccomanda quindi un uso cosciente del volume , considerando che viene distribuito come raccolta di appunti eche , quindi, non si puo garantire la correttezza in tutte le sue parti. Il professore ci tiene inoltre a precisareche gli appunti delle lezioni possono fungere solo come parte integrante dello studio ; si rimanda quindi ai libri

di testo contenuti nella bibliografia per uno studio piu approfondito.

Versione del 7 settembre 2011



Indice

1 Interazioni Nucleari 7

1.1 Interazioni di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Teoria diYukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Campo Pionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Fisica dei Pioni 13

2.1 Proprieta generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Risonanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Risonanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Fotoproduzione dei pioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Risonanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Risonanze e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.5 Interazioni mediante scambio di mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Mesoni e Barioni Strani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Kaoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Barione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3 Barione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.4 Barione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5 Barione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.6 Ottetti e decupletti Barionici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Ipernuclei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Classificazione delle particelle 27

3.1 Proprieta generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 Numero barionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.3 Numero Leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.4 Isospin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Modello a quark degli adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Massa dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Colore dei quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Interazioni tra Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.2 Prove dellesistenza dei quark e del loro colore . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Decadimenti 35

4.1 Modello di Gamow-Gurney-Condon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Processi favoriti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3



4 INDICE

4.3 Struttura fine degli spettri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Momento angolare e parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Fusione Nucleare 435.0.2 Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Sezione durto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Reaction Rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Proprieta del picco di Gamow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Risonanze della fusione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Nascita degli elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5 Catenapp - Processi di fusione protone/protone. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.6 Ciclo CNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.7 Modello Solare Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.8 Neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.8.1 Rivelazione dei neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.9 Fasi finali dellevoluzione stellare (cenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.9.1 Fusione dellelio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.9.2 Fusione del Carbonio e Ossigeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.10 Gas di Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.11 Classificazione delle stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.12 Equazione di stato per core stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.12.1 Limite per gas non relativistico sulla densita . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.12.2 Condizione di gas ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.12.3 Correzioni elettrostatiche allequazione di stato per un gas di fermi perfetto 64

5.12.4 Equazioni Politropiche e di Lane-Emden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.13 Raggio stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.14 Massa stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Decadimento 69

6.1 Q-rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Teoria di Fermi del decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2.1 Spettro energetico degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.2 Vita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.2.3 Limite per massa nulla del neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Modello vibrazionale del nucleo 79

7.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Oscillazioni Nucleari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3 Modello dinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Spettro Vibrazionale e Spettro rotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8 Fissione Nucleare 87

8.1 Reazioni favorite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Deformazioni del nucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3 Distribuzione dei frammenti di fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.4 Neutroni della fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.5 Sezione durto per fissione indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96



INDICE 5

8.6 Energia della fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.7 Rallentamento dei neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.8 Distribuzione di probabilita per lenergia dei neutroni scatterati . . . . . . . . . 100

8.9 Moderatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.10 Reattori Autofertilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.11 Struttura di un reattore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.12 Smaltimento delle scorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A Particelle e loro proprieta 107A.1 Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.1.1 Classificazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.1.2 Stuttura a quark degli adroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.2 Mesoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2.1 Reazioni di produzione e decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.2.2 Proprieta fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.3 Barioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3.1 Reazioni di produzione e decadimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.3.2 Proprieta fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.4 Leptoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B Relazioni Fondamentali 111B.1 Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

C Equazioni di Lane Emden 121



6 INDICE



Capitolo 1

Interazioni Nucleari

1.1 Interazioni di scambioAbbiamo gia visto che il potenziale di interazione tra due nucleoni si puo scrivere come

VNN = V1(r) + V2(r)1 2+ V3(r)S12 (1.1)

dove

S12=3(1 r)(2 r)

r2 1 2 (1.2)

Tale potenziale deve essere corretto con termini che tengano conto dei possibili scambi diparticelle nei processi di scattering. Si vogliono quindi descrivere tutti i possibili scambi inmodo da quantificare il termine correttivo della (1.1). Vediamo innanzitutto quali sono le

possibili operazioni di scambio. Supponiamo quindi di prendere la funzione (r1, 1, r2, 2)che rappresenta la funzione donda del sistema di due particelle. Definiamo loperatore Prche agisce come Pr(r1, 1, r2, 2) = (r2, 1, r1, 1) : tale operatore e detto di Majorana.Analogamente si introduce un operatore di scambio P che agisce come P = (r1, 2, r2, 1): tale operatore e detto di Bartlett. Infine si introduce unoperatore , detto di Heisenberg ,Pr che agisce come Pr = (r2, 2, r1, 1). Ovviamente vale

Pr = PrP ; P2r =

P2r =P2 = I

quindi gli autovalori di questi operatori sono 1. Lautovalore delloperatore Prsi puo scriverein termini del moto relativo , infatti Pr = (1). La stessa cosa si puo fare per loperatoreP , visto che nei casi di singoletto (S = 0) , tripletto (S = 1) la funzione donda risultarispettivamente antisimmetrica e simmetrica. Dunque P = (1)S+1.Combinando queste duerelazioni si ricavano anche gli autovalori delloperatore di Heisenberg : Pr = (1)+S+1.Analogamente si introducono 3 tipi di forze nucleari di scambio.

VM(r)Pr forze di Majorana

VB(R)P forze di Bartlett

VH(r)Pr forze di HeisenbergA partire da queste forze, di tipo centrale ,si possono costruire anche delle forze di tipotensoriale. Queste si ottengono dalle prime , moltiplicando per loperatore tensore definitodalla (1.2). Si vede pero che esistono forze tensoriali solo di tipo Majorana, visto che le altre

7



8 CAPITOLO 1. INTERAZIONI NUCLEARI

si possono ricondurre a questa. Infatti proviamo ad applicare loperatore tensoriale di spinalle forze di Bartlett. Visto che loperatore della (1.2) si puo riscrivere come

S12= 2

2

(S r)2

r2 S2

(1.3)

allora

S12P =

0 se S= 0

S12 se S= 1(1.4)

Analogamente

S12PrP =

0 se S= 0

S12Pr se S= 1(1.5)

Quindi un eventuale forza tensoriale di scambio di tipo Heisenberg, cos come una di tipoBartlett, si riduce alla forza di tipo Majorana. Dunque lunico tipo di forza tensoriale puoessere solo quella di tipo Majorana ed e data da VTM(r)S12Pr. In particolare, se si consideraun sistema di due nucleoni si puo anche considerare anche loperatore di isospinper il qualeviene definito, analogamente a quanto fatto prima, un operatore di scambio di isospin percui P(r1, 1, 1, r2, 2, 2) =(r1, 1, 2, r2, 2, 1). Ovviamente anche per questo operatorevalgono le relazioni

P2 = I = P = 1Dunque loperatore composto da tutti gli scambi equivale ad P12 = PrPP =I : questa ela forma del principio di esclusione di Pauli. Abbiamo quindi costruito 6 tipi di forze

Tipi centrali tensorialiForze Ordinarie VW(r) VTW(r)S12

Forze di scambio VM(r)Pr, VB(r)P, VH(r)Pr VTM(r)S12Pr

Tutte queste forze compongono il potenziale V6(r) che costituisce la correzione al potenzialenucleare di interazione nucleone-nucleone. Vogliamo ora scrivere questo potenziale esplicitandola dipendenza dagli operatori . Si utilizzano relazioni del tipo1

P =1

2(1 + 1 2) (1.7)

Poiche gli operatori hanno forme simili si puo utilizzare anche una relazione del tipo

P = 1

2(1 + 1 2) = P = (1)+1 (1.8)

Utilizzando queste relazioni lequazione di consistenza che definisce il principio di esclusionedi Pauli si puo riscrivere come

PrPP = 1 = (1)+S+1++1 = (1)+S+ = 1 (1.9)1La derivazione di queste relazioni e semplice : basta osservare che

1 2 =

+1 se S= 1

3 se S= 0= P = (1)

S+1 (1.6)

Piu formalmente si dovrebbe applicare loperatoreP agli stati di singoletto e tripletto.



1.2. TEORIA DI YUKAWA 9

ovvero +S+ deve essere una combinazione dispari. Visto che loperatore di Heisenbergequivale alloperatore di scambio di isospin, a meno di un segno , possiamo scrivere

Pr = 1

2 (1 + 1 2) (1.10)Utilizzando inoltre la relazione Pr = PP si ricava infine

Pr = 14

(1 + 1 2)(1 + 1 2) (1.11)Sostituendo questi risultati nel potenziale si ottiene finalmente

V6=Vc(r) + V(r)1 2+ V(r)1 2+ V (r)(1 2)(1 2)+ VT(r)S12+ VT (r)S12(1 2)

(1.12)

1.2 Teoria di Yukawa

Secondo la teoria di Yukawa linterazione tra due cariche mediata da particelle, dettepioni.Graficamente , per linterazione tra due nucleoni N1 ed N2, si utilizza la seguente notazione

Alcuni esempi di interazioni mediate da pioni sono riportate in figura.

Il primo quesito che Yukawa si pose fu quello di determinare la massa di questa particellemediatrice : in questo caso la massa e evidentemente diversa da 0, a differenza di quantosuccedeva con il fotone nellinterazione elettromagnetica. Questa particella non viene rivelata

direttamente nel processo quindi deve essere ricavata con considerazioni generali. Quando ilnucleone 1 emette la particella di mediazione x si sta violando la conservazione dellenergia, dunque questa particella puo esistere solo per un tempo di coerenza che si pu o stimareutilizzando lindeterminazione Et . Infatti , poiche E= mxc2 = t /mxc2. Ladistanza che questa particella puo percorrere si puo stimare cone

ct cmxc2

=

mxc =Rint

Questo valore rappresenta lordine di grandezza del raggio di interazione ed e pari alla lunghez-za donda Compton. Supponendo Rint 1, 5 fm ( raggio dellinterazione nucleare) si puostimare

mxc2

=

c

Rint =

200MeV fm

1, 5fm 130MeV




1.3 Campo Pionico

Vediamo come e possibile ricavare lequazione che definisce implicitamente il campo pionico.

Conviene prima stabilire unanalogia con il caso elettromagnetico. Il campo prodotto da unacarica puntiforme si puo scrivere risolvendo lequazione di Poisson per una distribuzione dicarica (r) =e3(r). Lequazione da risolvere e

2= 10

e3(r) = (r) = e40

1

r (1.13)

Ovvero

V(r) =e = e2

40

1

r (1.14)

Per trovare lequazione analoga per il campo pionico consideriamo lenergia relativistica E2 =p2c2 + m2c4 e sostituiamo Ee p con i relativi operatori quantistici2. Si ottiene lequazione di

Klein-Gordon 2 m

2c2

2

=

1

c22

t2 (1.16)

dove stavolta identifica il campo pionico. Si noti che ponendo m = 0 si trova lequazione diDAlembert per le onde. Se invece consideriamo il caso stazionario t = 0 e lequazione siriduce a2 k2= 0 , dove k = mxc/ : tutto questo vale nel caso di assenza di sorgenti.La sorgente del campo pionico e costituita dal nucleone : se supponiamo di posizionarlo nelpuntor0= 0 lequazione diventa

2 k2= g3(r). (1.17)

La costante g e lanalogo della carica nel caso pionico. La soluzione dellequazione e data dalpotenziale di Yukawa

= g

4

ekr

r = VNN =g (1.18)

Unulteriore generalizzazione della (1.18) e data da

(r) = g

4

e|rr1|

c

|r r1| (1.19)

dovec= /mce la lunghezza donda Comptone la sorgente del campo e data da g3(rr1).

Si vede che il campo scritto prima e invariante per parita nonostante il pione abbia paritaintrinseca negativa. Bisogna quindi modificare il termine di sorgente con g(1

1)

3(r

r1).Sostituendo nellequazione (1.17) si ottiene

2 m2c2

2

(r) = g(1 1)3(r r1) (1.20)

Questa equazione ammette la soluzione

(r) = g

4(1 1) e

|rr1|c|r r1| (1.21)

2

E= it

p= i

(1.15)



1.3. CAMPO PIONICO 11

Visto che (1 1) e uno pseudoscalare3 allora cambia segno sotto parita , come volevasiottenere. Il potenziale nucleare si puo quindi scrivere come

VNN= VOPE(r) = g2

4(2 2)( 1 1) e

|r2r1|c|r2 r1| (1.22)

Da questa si ottiene immediatamente4

VNN= g2

4

1

3

1 2+

1 + 3

cr

+ 32cr2

S12

er/c

r (1.23)

oveS12 e loperatore tensoriale definito dalla (1.2) e la sigla OPE sta per One Pion Exchange.

3Cambia segno per inversione dei 3 assi4

Passando al centro di massa si definisce una nuova variabile r = r1 r2 per la quale si definisce r .Si ottiene quindi 1= e 2 = , ovvero (2 2)( 1 1) = (2 )( 1 )



Capitolo 2

Fisica dei Pioni

2.1 Proprieta generaliI pioni possono essere di diversi tipi : +, 0, . La massa di queste particelle e datarispettivamente da m = 139, 57 MeV e m0 = 134, 97 MeV .

Decadimenti Questi non sono stabili ma decadono usualmente secondo i seguenti decadi-menti

0 + , (98, 8%)

0 + e+ + e, ( 1, 2%)Il tempo medio di decadimento e dato da = (8, 4 0, 6) 1017 s. Gli altri tipi di pionidecadono secondo

+ e+ + e , ( 100%) , 2, 8 108 s

e+ e , molto raro

+ + + Massa La massa del pione si puo ricavare studiando questo decadimento del centro di massa.

Vale infatti il bilanciomc

2 =E+pc (2.1)

Spin Si voglia misurare lo spin del pione. Dal primo decadimento illustrato , 0 + ,si deduce che lo spin deve essere intero. Si puo inoltre utilizzare il processo di scattering

seguentep +p p + n + + d + +

ovedindica il deutone. Studiando anche il processo inverso e confrontando le due sezionidurto possiamo avere informazione sullo spin del pione. Si noti che la conseguenzadellinvarianza temporale per processi genericia + A b + B e b + B a + Aimponeche le sezioni durto siano le stesse a meno di cambiamenti di spin. Tale proprieta edetta del bilancio dettagliato e nel seguito si dar a una breve spiegazione del risultatoottenuto in (2.5) ,alla quale si rimanda immediatamente nel caso si voglia seguire unatrattazione meno rigorosa.Si consideri un processo genericoa + A b + B : il numero di transizioni per unita di tempo edato dalla regola doro di Fermi

w= 2|Bb|H|Aa|2(E) (2.2)

13



14 CAPITOLO 2. FISICA DEI PIONI

dove (E) = dn(E)dE

e la densita di stati finali del sistema i unita di energia. Per una particellalibera in un volume V si ha

dn= (2sB+ 1)(2sb+ 1)

4V p2bdpb

h3

Visto che dE= vbdpb si ha

dn

dE = (2sB+ 1)(2sb+ 1)

4V p2b

h3vb

Sostituendo nella (2.2) si ottiene

w= V

4p2b

vb(2sB+ 1)(2sb+ 1)|Bb|H|Aa|2

La sezione durto e definita come il rapporto

n.transizioni

n.nucleiA

tempo =Nava(a + A b + B) = w

n.nucleiA

Supponendo che ci sia un solo nucleo di A nel volume V si ottiene

(a + A b + B) = V wva

= V2

4p2b

vavb(2sB+ 1)(2sb+ 1)|Bb|H|aA|2 (2.3)

Nel calcolare il rapporto tra le sezioni durto delle reazioni diretta e inversa conviene ricordarecheHdeve essere Hermitiano, quindi|Bb|H|Aa|2 = |Aa|H|Bb|2. Si ricava quindi

(a + A b + B)(b + B a + A) =

k2b

k2a

(2sB+ 1)(2sb+ 1)

(2sA+ 1)(2sa+ 1) (2.4)

Nel caso particolare del decadimento pp si ha

(p +p

+ + d)

(+ + d p +p) =k2k2p

(2s+ 1)(2sd+ 1)

(2sp+ 1)2/2 =

k2k2p

(2s+ 1)3

2 (2.5)

Il 2 al denominatore tiene conto del doppio conteggio effettuato , inoltre lultimo risultatoe stato ottenuto sostituendo sd = 1 e sp = 1/2. Sperimentalmente si osserva quindi chelidentita e vera quando s = 0.



2.2. RISONANZE 15

Parita La parita intrinseca del pione si ricava invece considerando il decadimento

+ d

n + n

Visto che linterazione e forte e a corto range si puo considerare solo il contributo con = 0 : per ricavare la parita basta quindi applicare la conservazione i = f.Inparticolare visto che

i = d(1)i = e che

f = nn(1)f = (1)fsi ottiene che = (1)f. Basta quindi ricavare futilizzando la conservazione delmomento angolare. Poiche Ji = Jfsi ottiene

Ji = s+ sd+ i= 1 = Jf =sn+ sn+ f = S+ f (2.6)

La funzione donda totale dello stato finale = deve essere antisimmetrica per lastatistica di Fermi-Dirac : gli unici stati possibili permessi da questa statistica sono

1. S= 0 , = 0, 2, 4 . . .

2. S= 1 , = 1, 3, 5 . . .

Lunica combinazione compatibile con Jf e data da S= 1 , f= 1 , quindi f = 1 =.

Produzione I pioni possono essere generati da scattering di nucleoni

1 pione

p +p p +p + 0

p +p p + n + +

p + n p + n + 0

p + n p +p + 2 pioni

p +p p +p + 0 + 0

p +p p +p + + +

p +p p + n + + + 0

p +p n + n + + + +

Aumentando lenergia dei fasci si possono produrrre anche piu pioni. Vale la conser-vazione del numero barionico , per la quale il numero dei nucleoni si conserva.

2.2 Risonanze

2.2.1 Risonanze

Lo studio sperimentale dei processi di scattering pione-nucleone riserva alcune peculiaritafondamentali. La prima particolarita sussiste nellandamento della sezione durto in funzionedellenergia del processo elastico (calcolata nel sistema del laboratorio) + +p + +p :si nota infatti che vi sono dei picchi di risonanzache possono essere interpretati come statieccitati metastabili.




Il grafico della sezione durto in funzione dellenergia puo essere infatti fittato con una Loren-ziana ,

L(x) = 1

2

(x x0)2 + (2 )2 (2.7)

dove rappresenta la larghezza a meta altezza. Come gia detto laumento di intorno a 200 MeV puo essere interpretato come la formazione di uno stato intermedio che decadrapoco dopo, ovvero

+ +p ++ + +pDunque il pione ed il protone formano, interagendo , uno stato legato non stazionario moltoinstabile. Visto che ha le dimensioni di una lunghezza si puo stimare il tempo medio di vitautilizzano il principio di indeterminazione

= cc

200MeV fm115MeV 3 1023fm/s 0, 6 10

23s (2.8)

Cambiando le particelle dello scattering si ottengono gli altri tipi di particelle +, 0, .Ad esempio con il processo di scattering +p p + landamento della sezione durto elo stesso ma stavolta la particella associata allo stato metastabile e data da

0

. Le particelle++, +, 0, rappresentano i 4 tipi di risonanza possibili , tutti alla stessa energia. Daquesto si ricava che la particella ha isospin T = 3/2 e di conseguenza puo trovarsi neidiversi stati di proiezione degli isospin T3= 3/2, 1/2, 1/2, 3/2 relativi rispettivamente alleparticelle ++, +, 0, . Per queste particelle J = (3/2)+. Le risonanze di tipo N

invece avvengono ad energie molto piu alte , intorno ai 1440 MeV,1520 MeV : per questeJ = (1/2)+ e T = 1/2. Queste risonanze vengono indicate con lasterisco perche fisicamentesi possono interpretare come lassorbimento di un pione da parte del nucleone che diventaquindi eccitato. Introduciamo ora il concetto di massa invariante , per la risonanza . Siconsideri quindi il processo + +p ++. Il quadrimpulso relativo alla particelle hacomponenti

p=

Ec , p



2.2. RISONANZE 17

La massa a riposo si calcola come

p p

= E

2/c

2

p2=

p2c2

c2 +

(mc2)2

c2 p2 = (mc)

2

Consideriamo ora p = p+p

p , ovvero E = E+ Ep , p = pp+ p. In questo caso la

massa a riposo e data da

(Ep+ E)2

c2 (pp+p)2 =m2c2

ovvero m = M(+p) e la massa invariante. Questa espressione vale in ogni sistema di

riferimento , dunque in particolare anche in quello del laboratorio. In questultimo sistema siha Ep= mpc

2 e pp= 0 dunque

(mpc2 + E)2 p2c2 =m2c4 (2.9)

LenergiaE e calcolabile con un semplice bilancio energetico

E2 = (pc)2 + (mc

2)2 = E = T+ mc2 (2.10)

Visto che T 200 MeV si ottiene mc2 1232 MeV.

2.2.2 Fotoproduzione dei pioni

La reazione di fotoproduzione dei pioni e data da

+p p + 0 (2.11)

La sezione durto del processo nel sistema del laboratorio ha landamento dato dalla figura

Si noti che la risonanza e presente intorno ai 340 MeV. Facendo questo tipo di scattering sipossono ottenere risonanze mesoniche che verranno descritte nel seguito.




2.2.3 Risonanze

La risonanza di tipo si incontra in processi del tipo + +p

+ + 0 +p : in questo caso

lo stato metastabile e dato dalla presenza della particella + quindi la reazione puo essereriscritta come + +p + +p + +0 +p. Facendo un grafico della sezione durto infunzione della massa invarianteM(+0) si nota che e presente un picco, dovuto alla risonanza, intorno a 770 MeV.

Analogamente a quanto visto per la esistono 3 diversi tipi di particelle , dati da+, 0, .Fittando con una Lorenziana si ottengono i valori = 150 MeV e la massa di risonanzam = 770 MeV. A titolo di esempio si riporta anche la reazione che porta alla formazionedella particella0

+p 0 +p + + +p (2.12)

Visto che questa particella esiste in 3 diversi stati di carica , si puo pensare come tripletto diisospin, quindi T = 1 e T3 =1, 0, 1. Inoltre si nota cheJ = 1. Si noti che , rispetto alpione, la particella ha J

= 0 e massa diversa.

2.2.4 Risonanze e

Si ottengono in processi del tipo

+ +p + +p + + + + 0 (2.13)

In questo caso lenergia e sufficientemente alta per la formazione di 3 pioni. Se si considera lamassa invariante per il sistema M(+0) e si grafica la sezione durto in funzione di questasi evidenziano due diversi picchi : il primo, corrispondente alle risonanze , tra 500 e 600MeV ; il secondo , corrispondente alle risonanze , in prossimita di 800 MeV.



2.2. RISONANZE 19

In particolare dal fit si ottengono i valori di m = 549 MeV e = 0, 83 KeV ; J = 0.

Si osserva che e molto piccola rispetto al caso della particella , quindi la vita mediain questultimo caso e molto piu alta : 1018 s. La risonanza decade quindi in modoelettromagnetico. Per le risonanze il fit restituisce m = 783 MeV e = 9, 9 MeV mentreJ = 1. Le risonanze si possono ottenere anche in processi del tipo

p + p 0 + 2+ + 2 (2.14)In questo caso il grafico della massa invariante del sistema, M(+0) contiene due picchi ,

analogamente al caso iniziale (2.13). Viene spontaneo chiedersi se si possa scegliere qualsiasicombinazione di pioni per ottenere le stesse risonanze : in realta lunica combinazione che pre-senta risonanza e quella analizzata con M(+0) ; altre combinazioni , come M(++0)non danno luogo ad alcuna risonanza. Se ne conclude che ,per questo tipo di risonanze, esistesolo lo stato con carica nulla , dato dalla combinazione +0, dunque lo stato sara sempreun singoletto di isospin, ovvero T= 0. Le proprieta viste si possono ricapitolare in una tabella.

J T T3 m

0 1 +, 0, 140 0 0 550 1 1 +, 0, 770

1 0 783

2.2.5 Interazioni mediante scambio di mesoni

Per introdurre largomento successivo vogliamo ora discutere leffetto di una risonanza nellin-terazione nucleone-nucleone (vNN).

OPE=One Pion Exchange E gia stato analizzato il caso dellinterazione OPE. Un inter-azione di questo tipo si puo schematizzare con la figura seguente.inserire figura

TPE=Two Pion Exchange Consideriamo quindi un processo di interazione tra due nucle-oni N. Se il primo nucleone e eccitato allora al suo interno si ha un processo che libera




un pione : il pione puo , a sua volta, eccitare il secondo nucleone che da luogo ad unaparticella . Generalizzando si ha che i due nucleoni possono essere entrambi particelle : in questo caso linterazione e di tipo T P E , Two Pion Exchange.

inserire figura

, meson exchange inserire figuraIn realta i tipi di risonanze, , e i diversi meccanismiT P E, OP E, non sono arbitrari ma dipendono dalla distanza relativa tra i due nucleoni: graficando infatti il potenzialevNN in funzione della distanza relativa r si ha che , perdistanze piccole si hanno piu frequentemente risonanze di tipo , mentre , al cresceredi r , si incontrano rispettivamente T P E e OP E.

Interazioni tra 3 nucleoni Si puo ampliare il ragionamento esposto prima anche ad unsistema di 3 nucleoni legati da i potenziali v12 , v23 : in alcuni casi il problema puoessere ricondotto a due sottoproblemi di interazione a due corpi , mentre in altri casi

la schematizzazione non e sufficiente. Per questi ultimi , quando si ha risonanza nelnucleo , lHamiltoniana deve essere corretta , aggiungendo un termine di interazione chetiene conto dei 3 nucleoni. In questo caso si ha quindi

H= p2i

2m+

1

2

i=j

vij+ 1

3!

ijk

vijk (2.15)

Correzioni di ordine ulteriore migliorano i risultati sperimentali1. Le due situazionielencate precendentemente sono raccolte in figura inserire figura

2.3 Mesoni e Barioni Strani

Lo studio degli urti pione-nucleone porto alla creazione di particelle con proprieta particolariche vennero considerate inizialmente strane, visto che non rispettavano le leggi scoperte finoa quel momento.

2.3.1 Kaoni

Il primo esempio di mesone strano e dato dal Kaone. Per questo esistono due stati di caricaK+, K0 , con le masse mK+ = 493, 7 MeV e mK0 = 497, 7 MeV. La somiglianza delle duemasse porta ad intepretare i due stati di carica come stati di isospin della stessa particella ,

quindi T = 1/2 e T3= 1/2 ; J = 0. I mesoni Ksi possono produrre con il processo+p n + K+ + K (2.16)

dove K K+. Misurando la sezione durto di questo processo si ottiene 103barn: questo valore e caratteristico delle interazioni forti. Nonostante questo si osserva speri-mentalmente che queste particelle riescono a sopravivvere per un tempo abbastanza lungo ,K = 1, 2 108 s , quindi il processo responsabile del decadimento e uninterazione debole :ecco la stranezza. Si riportano i processi di decadimento.

K+ + + , (63%) ; K+ + + 0, (21%) (2.17)1Per ottenere un buon risultato si utilizzano correzioni fino al 18mo ordine



2.3. MESONI E BARIONI STRANI 21

La risonanza di energia piu bassa del Kaone e data dal K(892) , T = 1/2 , J = 1. Talerisonanza si forma con una reazione del tipo

K+ +p K+ +p K+ + 0 +p (2.18)

Questa particella decade forte ed ha una vita media molto piccola.

2.3.2 Barione

Un tipo di barione strano2 e dato dalla particella . Per questa m= 1116 MeV ; J = 1/2+

: possiede un solo stato di carica , T= 0. La particella si puo formare attraverso il processo

+ + n + K+ (2.19)

Osservando la sezione durto di questo processo si osserva che linterazione e forte ma la vitamedia e di 2, 6 1010 s quindi decade attraverso uninterazione debole. I modi principalidi decadimento sono dati da

p + n + 0 (2.20)

Decadimenti di tipo elettromagnetico per questo tipo di particella non sono mai stati osservati;similmente non e possibile ottenere un decadimento del tipo p + K visto cheQ




Si noti che un processo di questo tipo non potrebbe avvenire spontaneamente vito che Q



2.3. MESONI E BARIONI STRANI 23

0 + 0 con 0 = 2, 9 1010s

+ con = 1, 6 1010sSi noti che non avviene il decadimento 0 0 + 0 poiche Q




Raggruppando i barioni di spin-parita J = 3/2+ si ottiene la tabella6

J = 3/2+

S= 0 ++, +, 0, (T = 3/2)S= 1 +, 0, (T = 1)S= 2 0, (T = 1/2)S= 3 (T = 0)

Anche per il decupletto si puo fare un grafico simile.

ST3

0 + ++

0 +

0

Lo stesso metodo grafico si puo applicare anche ai mesoni, ottenendo

S

T3

K

K0

+

K+K0

0

2.4 Ipernuclei

Nella sezione relativa alla particella sono gi a state descritte le caratteristiche fisiche. Sivuole ora descrivere linterazione che essa stabilisce con un nucleone, eccitando un nucleo :

6Le risonanze di tipo , sono analoghe al caso visto in(2.18).



2.4. IPERNUCLEI 25

tale sistema e detto ipernucleo. La reazione di eccitazione e data da

K+ A

X A

X+ (2.26)

dove A e il numero totale di barioni , ovveroA = N+Z+ N. In laboratorio si riescono aprodurre ipernuclei con e . Allinterno del nucleo avviene la reazione

K+ n + (2.27)

Si noti che questo nucleo non e stabile ma decade con la reazione

p + (n + 0

) (2.28)

Supponiamo ora di aver prodotto un ipernucleo dellossigeno con A = 17 : in questocaso si puo utilizzare il modello a shell osservando che nellultimo livello energetico (1d5/2) e

presente una particella . In questo caso non e piu accettabile la combinazione J = 5/2+

per la presenza della particella : e giusta la combinazione J = 1/2+. Si consideri invecelipernucleo dellelio-4 : visto che J = jn+ j si ha che J= 0, 1. Anche questo nucleo none stabile ma decade in un atomo di elio-4 ed un pione 0. La reazione e riportata nella figuraseguente.

E anche possibile misurare lenergia di legame ,B, della particella nel sistema dellipernucleoutilizzando questo decadimento ottenendoB(

4He) = 2, 33 MeV. Questa energia deve essere

confrontata con quella del normale nucleo B(4He) = 28 MeV ricordandosi pero di dividere

per 4 visto che B rappresenta lenergia , in media, per ogni nucleone. Si ottiene quindi

B(4He)

4 = 7MeV> B(

4He) (2.29)

quindi la particella nelliperone e meno legata. Misurando indirettamente la massa del nucleosi puo avere una stima dellenergia di legame della particella utilizzando il bilancio

B =

m() M(A1X) M(AX)

c2 (2.30)

I risultati sperimentali per B sono raccolti nel seguente grafico.



Capitolo 3

Classificazione delle particelle

La divisione bosoni-fermioni si basa sullo spin e sulla parita della funzione donda. Esistonoaltri modi per classificare le particelle : si possono infatti dividere le particelle a secondodellinterazione che sviluppano con altre.

Adroni Risentono dellinterazione forte e delle altre.

Barioni Adroni a spin semiintero

Mesoni Adroni a spin intero

Leptoni Non risentono dellinterazione forte

Le masse dei Leptoni variano di molto e non seguono un andamento preciso.

Particella e e M [MeV] 0,511 105,7



28 CAPITOLO 3. CLASSIFICAZIONE DELLE PARTICELLE

3.1.3 Numero Leptonico

Analogamente a quanto visto per il numero barionico esiste una legge di conservazione anche

per il numero leptonico. Questo numero viene definito , a differenza di quello barionico, per unafamiglia di leptoni. Esiste quindi il numero Leptonico elettronico Le , il numero Leptonicomuonico L ed il numero Leptonico tauonico L. Ovviamente allelettrone corrisponde iltripletto (Le, L, L) = (1, 0, 0). I risultati di questa classificazione sono riportati nella tabellaseguente.

Le L L

e e 1 0 0e+ e -1 0 0 0 1 0+ 0 -1 0

0 0 1+ 0 0 -1

Questa tabella rappresenta inoltre un valido strumento per bilanciare le reazioni con neutrinio antineutrini. Ad esempio nella reazione np +e+ e e giusto utilizzare lantineutrino.Analogamente si nota che il processo e +e ++ non puo avvenire perche nonrispetterebbe la conservazione del numero leptonico. Ha senso invece un processo del tipoe + e + +. Si noti che la conservazione del numero leptonico va fatta separatamenteper ogni tipo di numero leptonico: a titolo di esempio si consideri la reazione e+e+.La conservazione del numero Leptonico elettronico da 0 = +1 1 + 0 mentre quella delnumero Leptonico muonico da +1 = 0 + 0 + 1. Vediamo ora come sia possibile distingueresperimentalmente le particelle e e e. A questo scopo si consideri il decadimento dato da

AZXN AZ+1Y + e+ e (3.1)

Si supponga poi di prendere le particelle e e di utilizzarle per una nuova reazione e+pn+e+ . La stessa cosa si puo fare pere provenienti dalla reazione e

+p n+e : stavolta ilprocesso e dato dae +p n+ e+. Questo processo e poco probabile quindi si nota che le dueparticelle e e e forniscono risultati sperimentali diversi tra loro, dunque sono distinguibili.

3.1.4 Isospin

Si supponga di aver fissato T. Se si indica con Q la carica elettrica e con Qil suo valor medioallora lisospin si puo scrivere come

T3=

Q

e Q

e

=

1

e

Q Q (3.2)

Ad esempio perT = 3/2 si hanno le particelle ++, +, 0, . Si calcolaQtot/e= 2 mentreQtot/e= 2/4 = 1/2 e si verifica che

T3 =Q

eQ

e

= 2 1/2 = 3/2 (3.3)



3.2. MODELLO A QUARK DEGLI ADRONI 29

3.2 Modello a quark degli adroni

Questo modello fu proposto allinizio degli anni 60 : si suppose che gli adroni fossero com-

posti dai quark e che questi ultimi avessero S = 1/2. Tale ipotesi e necessaria visto che sideve spiegare lesistenza di adroni che hanno anche spin semiintero, dunque il costituente el-ementare deve avere spin semiintero. I quark non esistono liberi , ma solo in stati legati cheformano i mesoni , q1q2 , ed i barioni , q1q2q3. Se si indicano poi i quark con la notazioneu,d,s (up,down,strange) il numero di accoppiamenti possibili si puo calcolare con il numerodi combinazioni senza ripetizioni :

Cn,k = (n + k 1)!

k!(n 1)! C3,3= 10 (3.4)

Risulta quindi conveniente cercare di assegnare ai quark un numero barionico. Visto che un

barione e composto da 3 quark segue che Bq = 1/3. Per i mesoni invece possiamo supporreche essi siano composti da q1,q2 , dove q2 rappresenta un antiquark. Supponiamo ora di volerdeterminare la carica elettrica dei quark : a tale scopo si consideri il decupletto barionicoche ha carica totale nulla. Si puo calcolare la carica dei quark ragionando in questo modo: supponiamo , ad esempio , che la ++ sia formata dai 3 quark , ++ uuu ; da questasi ricava Qu/e = 2/3. Analogamente si ricava

ddd Qd/e =1/3 , sssQs/e= 1/3.Si noti che in questo modello si stanno introducendo particelle che hanno comecarica complessiva un multiplo (non intero!) della carica dellelettrone. Riassumiamo quindile principali caratteristiche dei quark nella tabella seguente.

Flavour Spin B Q/e T T 3 S m(MeV)u 1/2 1/3 2/3 1/2 1/2 0 +1 5d 1/2 1/3 -1/3 1/2 -1/2 0 +1 10s 1/2 1/3 -1/3 0 0 -1 +1 150

I quark possono essere riportati in un grafico (T3S) , come gia fatto per i mesoni e barioni ,ottenendo il seguente.

T3

S

s

d u

Si noti che , nonostante il quark non esista libero , e stato comunque possibile dare unastima della massa. Questo e stato possibile definendo due masse per il quark : la massacostituente e la massa di corrente ( misurata sperimentalmente in maniera indiretta ). Finoad adesso non sono stati osservati quark isolati : questa particolaria viene attribuita alla naturadellinterazione quark-quark. Questa e , schematicamente, approssimabile come crescente conla distanza quindi per allontanare due quark dovrei fornire una quantit a sempre piu crescente




di energia. Ad un certo punto avro fornito talmente tanta energia da formare una coppia qqdei quali, uno andra a rimpiazzare quello si sta tentando di estrarre mentre il rimanente andraa formare un mesone (

|qq

) con quello che si sta estraendo , non permettendo lisolamento.

Tutte le particelle principali viste fino ad ora si possono scrivere in funzione dei quark1 :

p uud

n udd

uds

+ ud

ud= ud

0

uu, dd

Si noti in particolare che 0 = uu, dd 0. Per i Kaoni si ha che

K+ us

K0 ds

K+ = us= K

K0 = ds =K0

Si considerino ora le particelle del tripletto di isospin T = 1.

T = 1; S= 0 =

+, 0, J = 0 , m = 140MeV+, 0, J = 1 , m= 770MeV

(3.5)

Si vuole capire come si spiega la differenza dei due stati formati dai quark + =ud; + =ud: in effetti queste due particelle sono composte dalla stessa combinazione di quark ma hannomasse completamente differenti , come visto in (3.5). Il pione e ladrone piu leggero quindi sipuo supporre che la coppia udsi trovi nello stato con piu piccolo possibile, ovvero = 0 e lostato ha parita negativa. Con J= 0 si puo comporre solo S= 0. Analogamente supponiamoper il mesone + che sia = 0 e dunque la parita sia nuovamente negativa. Per avereJ = 1stavolta deve essere S= 1. Dunque i due stati sono fondamentalmente diversi , visto che il

primo () rappresenta unonda

1

S0 mentre il secondo (

+

) unonda

3

S1 : questi due livelli

2

sono giustamente spaziati energeticamente. Si noti che anche in questa interazione si notauna dipendenza dallo spin.

3.3 Massa dei quark

Si riportano le masse dei quark gia visti nella sezione precedente3.

u up = mu= 1, 5 3 MeV1Si noti che 0 =ss in virtu della conservazione dellisospin , infattiT(0) = 1 e T(ss) = 0.2Sperimentalmente si osservano anche gli stati con = 1, 2; S= 0, 1 : la risonanza b1 a 1323 MeV e data

dallo stato = 1, S= 0, J

= 1+

.3Si noti che il simbolo non indica la divisione ma deve essere letto cometra. .. e.. . .



3.4. COLORE DEI QUARK 31

d down = md= 3 7 MeV

s

strange =

ms= 95

25 MeV

c charm = mc= 1, 27 0, 1 GeV; Q= 23e

b bottom = mb= 4, 20 0, 1 GeV; Q= 13e

t top = mt= 175 7 GeV; Q= 23e

In particolare le masse appena illustrate rappresentano la massa corrente dei quark. In effettila massa dei quark si puo interpretare in due modi

Massa Corrente : massa di un quark libero. Visto che i quark non esistono isolati, non hamolto senso parlare di massa corrente. Si pensa che, comprimendo pi u adroni, si possa

arrivare ad una situazione, detta di liberta asintotica, nella quale i quark si comportanocome liberi : tale materia e detta quark-gluon-plasma. Questo stato e raggiungibile solocon altissime energie ( non possibili in laboratorio ) o ad altissime densita , ad esempionelle stelle di neutroni.

Massa Costituente : massa efficace che presentano i quark quando sono legati e formanogli adroni. Ad esempio si puo considerare la massa dei quark u e d come 1/3 della massadi un nucleone. Infatti , visto che mp mn , mu md mN/3.

3.4 Colore dei quark

Si consideri la particella ++ uuu; J = 3/2+. Questa rappresenta ladrone piu leggerotra quelli con J= 3/2 quindi e plausibile assumere che = 0 e che lo stato sia combinazionedegli spin| . Con queste ipotesi la funzione donda radiale , cos come quella di spin,e simmetrica rispetto agli scambi di particella : questo non e in accordo con lipotesi che laparticella sia un fermione4 Inoltre non e rispettato il principio di Pauli visto che i quark sitrovano tutti nello stesso stato quantico . Per ovviare a questo problema si introduce un nuovonumero quantico , detto colore, che puo variare traG(green),R(red) eB(blue)5. Ovviamenteesistono anche gli opposti dei colori , R, G, B : il colore va pensato come una estensione dellacarica con la differenza che , nel caso elettromagnetico , esiste solo la carica e lanticaricamentre , nel caso dei colori, esistono 3 tipi di colori e i relativi opposti. Si noti che gli adroni

non mostrano caratteristiche di colore : in questi i colori si mescolano quando i quark vannoa formare la particella in modo da avere un colore totale risultante nullo=BIANCO. Valgonole proprieta

B+ R+ G= 0

B+ B = R+ R= G + G= 0

La funzione donda complessiva di un adrone si scrive quindi come

= spinspazioflavourcolore (3.6)

4

Questi hanno, per definizione, funzione donda totale antisimmetrica.5Per distinguere i quark di diversi colori verra apposto un apice : uR, uG, uB.




La parte relativa al colore cambia nei barioni e nei mesoni.

colore

= 16

[RGB+ GBR + BRG RBG GRB BGR] barioni13

RR+ GG + BB

mesoni(3.7)

Lesistenza della ++ a 1232 MeV con J = 3/2+ puo essere spiegata solo con laggiunta diquesto numero quantico. Si noti che il colore di un quark , analogamente ad altre grandezzefisiche, puo variare nel tempo.

3.4.1 Interazioni tra Quark

La particella mediatrice delle interazioni tra quark e il gluone , particella senza massa e conspin 1. Il campo che lega i quark e il campo di colore : si vede quindi che il colore non esoltanto un numero quantico correttivo , ma rappresenta la fonte dellinterazione forte tra iquark ( analogo della carica per linterazione E.M.). Il gluone deve portare due tipi di caricacolorata : 1 colore e 1 anticolore. FIGURE Si noti che

1. Le interazioni forti NON possono cambiare il flavour di un quark. Possono solo avvenireriarrangiamenti di quark nelle particelle.

2. Coppie quark-antiquark possono essere create e annichilate.

3. Le interazioni deboli possono cambiare il flavour dei quark , mediante i bosoni vettoriW e Z0. Si ha che mW 80 GeV/c2 , mZ 90 GeV/c2. I processi in cui i quarkcambiano flavour si possono scrivere come

u d + W+ ; u d + W (3.8)

s u + W ; s u + W+

(3.9)Ad esempio nel processo n p + e+ e uno dei quark d che compongono il neutronecambia flavour con la reazione d u+ W , ottenuta dalla prima delle precedentiequazioni mediante lo scambio di W+.

3.4.2 Prove dellesistenza dei quark e del loro colore

Prendiamo uno scatteringe+e (elettrone-positrone) ad alte energie. Nellimagine seguente siosservano sciami adroni. Questo si puo spiegare osservando il processo dal punto di vista deiquark. La reazione e del tipo e+ + e q+ q: la coppia quark-antiquark , allontandosiin direzione opposta , aumenta lenergia creando coppie quark-antiquark che ricombinandosicreano adroni.



3.4. COLORE DEI QUARK 33

Lesistenza del colore venne invece provata confrontando le sezioni durto dei due processie+ +e Adroni e e+ +e + +. Il risultato sperimentale di (3.10)) puo infattiessere spiegato solo con laggiunta del colore come nuovo grado di liberta . Teoricamente siotterrebbe infatti un risultato tre volte piu piccolo : lerrore sta nel considerare i soli 3 gradidi liberta relativi ai flavour dei quark mentre aggiungendo i colori si arriva a 9.

R=(e+ + e Adroni)

(e+ + e +) 2 (3.10)



Capitolo 4

Decadimenti

Lemissione spontanea di una particella e rappresentata dal seguente processo1

AZXNA4Z2YN2+ (4.1)

Il decadimento e un effetto della repulsione Coulombiana : in effetti questultima diventasignificativa per nuclei pesanti in quanto , mentre la forza Coulombiana cresce con Z2 , laforza di legame dei nuclei cresce approssimativamente come A. Lemissione della particella si spiega osservando che l42He e un nucleo doppiamente magico, quindi molto legato, edil bilanciamento energetico e per questo molto favorevole.Si vogliono cercare i nuclei avvan-taggiati per questo tipo di decadimento studiando il segno di Q : se Q > 0 la reazione saraavvantaggiata, non avverra altrimenti. La conservazione dellenergia impone

MXc2 =MYc

2 + TY + mc2 + T (4.2)

E quindi facile ricavare il Q di reazione2

Q= MX MY M = T+ TY (4.3)Il decadimento avviene spontaneamente solo seQ >0. Dalla conservazione dellimpulso segueche il nucleoYe la particella si muovono in direzioni opposte con impulso uguale in modulo:p= pY. Sperimentalmente si osserva che per Y ed vale T mc2. Si puo quindi usare lacinematica non relativistica ponendoT =p2/2m per queste particelle ricavando

T =p2/2m

p= pY Q= T+ TY = p

2

2m

M+ MY

MY

T= Q

1 + M/MY(4.4)

Il valore diT e misurabile ( ad esempio con un spettrometro magnetico) quindi il valore di Qe calcolabile utilizzando la formula precedente. IQ calcolati con questo metodo sono riportatiin tabella : si noti che il primo valore di Q >0 corrisponde alla particella .

P articellaemessa Q(MeV)

n -7,26p -6,12

. . . . . .

. . . . . .4He 5,415He -2,59

1

La particella rappresenta un nucleo di 4

2He.2Si ponga c = 1.

35



36 CAPITOLO 4. DECADIMENTI

Procedendo con nuclei ancora piu massivi si trova che nuclei come 9Be e 12C hanno Q >0.Studiando i nuclei massivi che decadevano venne messa in evidenza unimportante proprieta: la vita media variava di molti ordini di grandezza a seconda del Q . Si consideri ad esempio232T h con Q = 4, 08 MeV ed un altro isotopo 218T h con Q = 9, 85 MeV. Nonostante i dueQ differiscano di un fattore 2 si osserva che le due vite medie variano da = 1, 4 1010 yrper il primo a = 1, 07 107 s per il secondo. Questo comportamento si puo spiegare conlintroduzione della regola di Geiger-Nuttal.

Q 1t1/2

(4.5)

Landamento sperimentale del tempo di dimezzamento e ben visibile nella seguente figura.

In generale si osserva che , per variazioni di Q = (4 10) MeV il tempo di vita varia tra109 s<



4.1. MODELLO DI GAMOW-GURNEY-CONDON 37

Visto cheA 4 ( stiamo considerando nuclei pesanti) si puo sviluppare il termine di superficie( e tutti gli altri termini )

as

A2/3 (A 4)2/3 asA2/3 1 1 + 83A =83 asA1/3 (4.12)In generale si utilizza lo sviluppo

(A 4) =A

1 4A

A

1 4

A

(4.13)

Utilizzando lo stesso procedimento per gli altri termini si ottiene infine (stiamo considerandonuclei pari-pari)

Q(Z, A) 28, 3 4aV +83

asA1/3 + 4aCZA1/3

1 Z

3A

4asym1 2ZA 2

+ 3apA7/4

(4.14)

Questa espressione per Q(A, Z) definisce, a Q fissato , delle curve nel piano Z N : la curvadivide le due regioni dello spazio dove Q >0 o Q a(4.15)




Per dare una stima di a si puo sommare il raggio nucleare a quello della particella , aRY + R= (6 8) fm . La profondita della buca e data invece da V0= (35 40) MeV. VistocheQ = (4

8) MeV per questi tipi di reazione, manca da stimare solo laltezza della barriera

B = V(r= a) = e2

40

ZZYa

=

e2

40c

c

ZZYa

=c2ZY

a 200

137

ZZYa

(4.16)

Scegliamoa = 7 fm eZY= 90 . Per questi valori si ottieneB 37, 5 MeV. In generale i valoricritici di B si trovano nel range B = (30 40) MeV, ovvero Q < B per ogni reazione, quindiclassicamente la particella non potrebbe mai passare : il passaggio e dovuto alleffetto tunnel.Indichiamo con la probabilita di decadimento, = 1/. In questo modello si supponeche sia proporzionale alla probabilita di penetrazione della barriera, moltiplicata per ilnumero di tentativi che la particella fa per passare, ovvero la frequenza con cui la particellatenta di penetrare la barriera. Questa si puo stimare con f = v/a dove v si ottiene dallaconservazione dellenergia

1

2mv2= Q + V0= v=

2(Q + V0)

mc2 c f=

2(Q + V0)

mc2c

a (4.17)

Con una stima si ricava (Q = 5 MeV, V0 = 35 MeV, a = (6 8) fm) v 0, 15 cf= 1021 Hz. Se definiamo poi conb il punto di inversione classica del moto si puo stimare lalarghezza della barriera :

V(r= b) =Q = b= c ZZYQ

b 44 fm (b a) (35 40) fm (4.18)

Si vuole calcolare ora la probabilita di penetrazione. Per fare questo si considera prima unabarriera piu semplice , rappresentata in figura.

V

E

r

La probabilita di penetrazione per questa barriera e nota ed e data da

P = 1

1 + 14V2

E(VE)sinh2 (kbr)

con kb

2m(V E)

(4.19)

Conviene poi sviluppare

sinh x=ex ex

2 sinh2 x= e

2x + e2x 24

(4.20)

Sappiamo che m 4000 MeV , V 35 MeV, Q 5 MeV , quindi sostituendo si trovakb 2, 4 fm1. Del resto r (b a) 30 fm , quindi kbr 52 1, quindi il terminedominante al denominatore e solo lesponenziale crescente. Si ottiene quindi

P e2kbr = e22m(VQ) r (4.21)



4.1. MODELLO DI GAMOW-GURNEY-CONDON 39

a meno di un fattore costante che non si discosta molto da 1. Per dare una stima piu re-alistica bisognerebbe risolvere lequazione di Schroedinger per il potenziale realistico definitodalla (4.15). Il calcolo si puo fare in maniera piuttosto esatta utilizzando lapprossimazione

semiclassica di WKB3 . Il risultato del calcolo e dato da

P = 4

(B Q)(Q V0)B V0 e

2G (4.22)

dove

G=

2m

2

ba

[V(r) Q]1/2 dr (4.23)

e il fattore di Gamow. Si deve quindi svolgere lintegrale ba[V(r) Q]1/2 dr . Sviluppiamo

V(r) Q= c ZZYr

Q= Q

b

r 1

(4.24)

Si definisce ora la variabile adimensionale x r/b dr = b dx quindi lespressione sitrasforma in

G=

2mQ

b

1x0

1

x 1

1/2dx, con x0 a/b= Q/B (4.25)

Si sostituisce ora x

cos2

x = cos

dx = 2cos (

sin ) d , 0

arccos

x0

Lintegrale diventa quindi

G=

2mQb

00

1 cos2

cos2

1/22cos ( sin ) d

=

2mQb

00

sin

cos 2cos sin d

=

2mQb

00

sin2 d

=

2mQb

[0 sin 0cos 0]

2mQb

F(x0)

(4.26)

Il risultato dellintegrale si scrive quindi come

F(x0) =

1x0

1

x 1

1/2dx= arccos x

1/20 x1/20 (1 x0)1/2 (4.27)

3In meccanica quantistica lapprossimazione WBK (Wentzel-Kramers-Brillouin) conosciuta anche come ap-prossimazione WKBJ (Wentzel-Kramers-Brillouin-Jeffreys) e unapprossimazione semiclassica nella quale si

impone che la funzione donda sia una funzione esponenziale che varia lentamente e quindi viene sviluppata inserie di potenze della costante di Planck.




Perx0 1 si ha4 F(x0) /2 2x1/20 = /2 2

Q/B. Visto che = f P = 1 , e cheP e2G , si ricava

ln = ln

ac

mc2

2(Q + V0)

+ 2G (4.30)

Basta esplicitare G ricordandosi della (4.27) e della seguente.

G=

2mQ

bF(x0) =

2mQ

b

2 2

Q

B

=ZZY

2mc2

2

1Q

2

1

B

(4.31)

Combinando queste due equazioni si ricava quindi

ln = lna

c

mc2

2(Q + V0) + 2ZZY

2mc2

2

1

Q2

1

B (4.32)

Facendo un grafico di questa funzione si puo studiare landamento della vita media relativa-mente ai parametri tipici del sistema che si sta considerando.

4.2 Processi favoriti

Si consideri il nucleo 220Th : di questo sono stati osservati due decadimenti :

220Th216Ra+ con Q= 8, 95 MeV e = 9, 7 s

220

90 Th

208

84 Po+12C con Q

C= 32, 14 MeV e

C= 3, 3

106 s.

Per capire quale dei due decadimenti sia favorito si possono elencare le differenze sostanzialitra i due:

1. La barriera Coulombiana cambia nei due casi : nel primo5 si ha B 2 88 = 176MeV mentre per il secondo BC 6 84 = 504. Quindi e avvantaggiata lemissione dellaparticella .

2. Si nota che QC> Q quindi sembrerebbe avvantaggiata lemissione del Carbonio.

3. E stata fatta lipotesi che la particella fosse preformata nel nucleo : tale ipotesi esempre valida nella seconda reazione, a patto per di intendere che la probabilita di talepreformazione e sicuramente minore di 1. Infatti e meno probabile che nel nucleo sipreformi il Carbonio-12 piuttosto che una partiella . Matematicamente questa osser-vazione si concretizza nellaggiunta di un termine w nellespressione della vita media: = f P wC. Ovviamente wC w quindi, nuovamente , e favorito il processo diemissione della particella .

4Si sono utlizzati gli sviluppi

arccos x

2 x

1

6x3 + . . . (4.28)

(1 x)1/2 1 x

2 + . . . (4.29)

arrestandosi al primo ordine.5Si ricordi cheB ZZY.



4.3. STRUTTURA FINE DEGLI SPETTRI 41

4.3 Struttura fine degli spettri

Il decadimento e un processo a 2 corpi quindi lenergia della particelle e ben determinata

dalla conservazione dellenergia. Ci si aspetterebbe quindi che E si mantenga costante alvariare di N. In realta lenergia cambia , come si vede nella figura seguente nella quale erappresentato lo spettro relativo al decadimento del 251F m

Questo comportamento si puo spiegare considerando che il nucleo figlio Y si trova in uno statoeccitato : il passaggio allo stato con E minore rappresenta la diseccitazione del nucleo chepassa ad un altro stato energetico. Il processo e quindi del tipo

X Y+ Y + + (4.33)La particella , essendo formata da 2 neutroni e 2 protoni tutti nello stato 1s e con gli spinaccoppiati a 0, avr momento angolare totale dovuto solo al momento angolare orbitale.

4.3.1 Momento angolare e paritaSi consideri ora la reazione standard dei decadimenti , X Y + e si supponga cheil nucleo X si trovi in uno stato J = 0+ . Il nucleo Y puo decadere in vari stati en-ergetici 0+, 2+, 4+, 2, 3+ : per valutare quale decadimento sia favorito si puo utilizzare laconservazione del momento angolare e della parita. Applicando queste condizioni si ha

Conservazione momento angolare : Ii = If+ , visto che I = 0. Allora = (If+Ii), . . . , |If Ii| . In particolare se Ii = 0 = If.

Conservazione parita : i = f(1) . Si distinguono due casi

i = f =

pari

i = f = dispari




Si vede quindi che sono permesse le transizioni 0+ 0+, 0+ 2+, 0+ 4+ con momentoangolare rispettivamente = 0, 2, 4 mentre non sono concesse le transizioni 0

+ 2, 0+ 3+. Se si osservano le intensita dei diversi stati si nota che quelli ad energia piu grande ( gli

stati eccitati ) hanno intensita sempre minori. Questo si puo spiegare con due effetti

1. SeQ0 e ilQ della reazione quando il nucleo figlio decade nello stato fondamentale ed E

e lenergia dello stato eccitato allora Q= Q0 E e dunque Q < Q0 , quindi lo statoeccitato ha una vita media piu lunga e dunque ha meno probabilita.

2. Nel considerare la probabilita di attraversamento della barriera abbiamo supposto = 0

, quindi il termine di potenziale centrifugo6 2(+1)2mr2

non era stato considerato. Questotermine aggiunge al pontenziale un termine efficace che , per = 0 innalza la barrieradi potenziale, diminuendo cos la probabilita di tunnelling.

Infine se si studia il decadimento del 238Pu si nota che le energie dei livelli 8+, 6+, 4+, 2+, 0+

stanno nei seguenti rapporti tra di loro

E4E2

= 3, 3;E6E4

= 2, 07;E6E2

= 6, 82;E8E6

= 1, 68 (4.35)

Questa separazione e dovuta alla presenza di uno spettro rotazionale. Le bande di questospettro (bande rotazionali) hanno energia

EJ = 2J(J+ 1)

2I (4.36)

dove

Irappresenta il momento di inerzia. Il rapporto tra i vari livelli energetici e quindi del

tipoEnEm

= n(n + 1)

m(m + 1) (4.37)

questa formula e in buon accordo con i dati sperimentali.

6Si ricordi che le parte radiale dellequazione si Schrodinger per un campo centrale e data da

R +2

rR +k2

( + 1)

r2 R= 0 (4.34)



Capitolo 5

Fusione Nucleare

E il meccanismo attraverso cui le stelle producono energie, inoltre e alla base di creazione dimolti degli elementi presenti sulla terra.

Osservando la figura precedente si nota che , per estrarre energia dal nucleo , si possono farfondere tra loro nuclei leggeri , con A piccolo : questo significa che vengono utilizzati nucleinella parte sinistra della curva relativa alla binding energy. Il processo di fusione si schematizzacon la reazione

a + X Y + b (5.1)IlQ di reazione si scrive come Q = ma + mXmYmb: ovviamente sono possibili le reazioniconQ >0. La reazione di fusione piu semplicep +p 2He non avviene a causa dellinstabilitadell2He. Le reazioni piu probabili si dividono in vari tipi

Reazioni p-p E un esempio la reazione

p +p 2 H + e+ + e con Q = 1, 44 MeV (5.2)

43



44 CAPITOLO 5. FUSIONE NUCLEARE

La sezione durto di questo processo e molto piu piccola rispetto al normale scatteringpp e linterazione e debole. La barriera Coulombiana per questi tipi di reazione si puocalcolare come

Bpp= e2

401

2Rp 900KeV (5.3)

Reazioni D-D Vengono fatti fondere due atomi di deuterio.

2H +2 H 4 He + con Q = 23, 8 MeV (5.4)

Perche si conservino lenergia e limpulso ce bisogno di un gap energetico aggiuntivo ,rispetto ai processi p-p , fornito dal fotone. Risutano piu probabili processi del tipo

2H+2H3He+n con Q = 3, 3 MeV

2H+2H

3H+p con Q = 4 MeV

Inoltre si calcolaBDD 360 KeV.Reazioni D-T Vengono fatti fondere un atomo di deuterio ed uno di trizio.

2H +3 H 4 He + n ; Q= 17, 6 MeV (5.5)

Nel grafico seguente vengono riportate le sezioni durto , al variare dellenergia per i tipi diprocessi appena elencati.

5.0.2 Temperatura

Volendo avere reazioni termonucleari di fusione, ovvero reazioni in cui lenergie dei nuclei dipartenza e solo di agitazione termica, quale la temperature necessaria per attivare il processodi fusione ?

kBTkB 8, 6 105eV/K (5.6)



5.1. SEZIONE DURTO 45

Se voglio, ad esempio, kBT 1 KeV serve una temperatura di T 107 K. Nel sole si haT = 1, 57 107 K , che corrisponde ad unenergia di 1,35 KeV. Si noti che non serve avereunenergia termica maggiore della barriera Coulombiana visto che questa puo essere passata

per effetto tunnel.

5.1 Sezione durto

La sezione durto per la fusione nucleare si puo definire a partire dalla sezione durto definitaper le interazioni nucleari e la probabilita di penetrazione della barriera Coulombiana. Siottiene quindi

fus= nucl P (5.7)Nel caso di scattering NN a basse energie e gia stato visto che si puo considerare il solocontributo di = 0 ottenendo

(= 0) = 1k2sin2 0(E) (5.8)

quindi 1/k2 1/E.Poniamo quindi nucl =S(E)/E , dove E e detto fattore astrofisico.Si ha quindi

fus=S(E)

E e2G (5.9)

dove G e il fattore di Gamow definito nella (4.23) : conviene approssimare questa formula peril particolare caso della fusione.

G

2mE

b

2

E

B

(5.10)

Innanzitutto si consideri il rapporto E /B : visto che le grandezze caratteristiche sono Bpp900 KeV , BDD 350 KeV e1 E kBT 1, 35 KeV il rapporto

E/B e trascurabile

rispetto a /2 quindi

G

2mE

2b (5.11)

Utilizzando la definizione di (4.16) G si puo riscrivere2 come

G ZaZX

2mc2

E

2 =

ZaZXv/c

(5.13)

Si e usata anche la relazione E mv2/2.

5.2 Reaction Rate

Per stimare la potenza prodotta da un reattore a fusione nucleare si deve conoscere il tassodi reazione che , a differenza della sezione durto, dipendera anche dalla concentrazione dellespecie che si considerano. Si definisce quindi

R= n. reazioni

Volume Tempo (5.14)1Nel seguito verra adottato il simbolo per indicare una quantita relativa al sole.2infatti

b= e2

40

ZaZX

E =c

ZaZX

v/c (5.12)




Per calcolare questo rapporto ci si riferisce sempre a processi del tipo a+X b+Y . Sisupponga quindi di inviare un fascio di particelle a , a velocita va , verso un bersaglio X. Siindica con ni la densita delle due specie di particelle , ovvero

nXNXV

; naNaV

(5.15)

Si puo quindi scrivere

R= nXa= nXNas t

vava

=nanXva (5.16)

dove e la sezione durto di fusione del processo. Daltronde la sezione durto e anche definitacome (vd. Appunti del primo modulo)

= Rb

IaNX(5.17)

dove Ia rappresenta il numero di particelle a inviate (per unit di tempo) , Rb il numero diparticelle b prodotte (sempre nellunita di tempo) e con NXil rapporto tra il numero di nucleibersaglio X e la superficie F dove si fa la misura. Ovviamente tutte queste quantita hannosenso sperimentalmente solo se si considerano le rispettive medie : per la velocita occorrerala distribuzione di Maxwell-Boltzmanndata da

fMB(v) = 4

m

2kBT

3/2v2 e

mv22kBT ; dovev= va vX (5.18)

Quindi

R =nanXv =nanX0

fMB(v) dv (5.19)

per a =X. Nel caso particolare in cui le particelle che interagiscono sono della stessa speciesi ottiene

R =12

n2av (5.20)

Si devono quindi studiare le due funzioni integrande nel terminev . La sezione durto edata da ( per la (5.9) e la (5.13))

=S(E)

E

exp2ZaZX

v/c = S(E)

E

exp

2mc2ZaZX1

E (5.21)Se si definisce poi

2mc2ZaZX 31, 29(KeV)1/2

mmu

1/2ZaZX, dove mu= 931, 494

MeV e lunita di massa atomica , la (5.21) diventa semplicemente3

=S(E)

E e/

E (5.22)

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann puo essere scritta in funzione dellenergia relativa conun semplice cambiamento di variabili : fMB EeE/kBT. Se si studia landamento delle duefunzioni ed il loro prodotto si ottiene il grafico seguente

3Esiste anche la notazione equivalente e2(E) con (E) = ZaZXv/c .



5.2. REACTION RATE 47

Si vede quindi che la funzione integranda della (5.19) e trascurabile al di fuori di una piccolazona dove il prodotto delle due funzioni raggiunge un massimo ( detto Picco di Gamow ). Allareazione contribuiscono quindi solo le particelle appartenenti alla coda della distribuzione diBoltzmann . La zona del picco di Gamow corrisponde ad un range di energie molto basse,difficilmente raggiungibili in laboratorio. Per ottenere landamento a queste energie si cercaquindi di ricavare landamento sperimentale ad alte energie in modo da trovare la curva cheinterpola bene i dati e ricavare landamento anche per basse energie , sotto i 100 KeV, delfattore S(E).

Nellesperimento L.U.N.A. del 1998 sono state raggiunte energie molto basse ed e statoosservato che il fattore astrofisico tende nuovamente ad aumentare




questo effetto e dovuto alla presenza della nube elettronica attorno ai nuclei ( screening).Raggiungendo energie sempre piu basse si osserva che S(E) si mantiene pressoche costante :utilizzeremo questa proprieta nel capitolo successivo.

5.2.1 Proprieta del picco di Gamow

Si vuole ora stimare lenergia del picco di Gamow in funzione della carica e della massa ridottadei nuclei. Per fare questo si consideri la forma del rate medio

v =

8

m

1/2 1kBT

3/2 0

S(E)exp

E

kBT

E

dE (5.23)

Per trovare il massimo si puo massimizzare la funzione integranda ( supponendo S(E) perquanto detto prima )

E

exp

E

kBT

E

E=E0

= 0 (5.24)

Con semplici calcoli si ottiene

E0=

kBT

2

2/3= 1, 22

Z2a Z

2X

m

muT26

1/3KeV (5.25)

dove si e utilizzata la notazione T6= T /106 K. Dopo aver ricavato il massimo si puo ottenere

anche la larghezza utilizzando il metodo di Laplace4

exp

E

kBT

E

Cexp

E E0/2

2 (5.26)

Le costanti C e si calcolano facilmente fittando la curva con una Gaussiana : si ottienequindi

= 4

3(E0kBT)

1/2 E0= (10 30) KeV; = (10 20) KeV (5.27)da confrontare con le energie tipiche kBT = (1 3) KeV.

4Si supponga di dover calcolare I =+

g(x) eF(x) dx , dove g(x) dipende debolmente da x . Nel pun-

to di massimo x0 si puo sviluppare F(x) = F(x0) + F(x0)(x x0) + (1/2)F

(x0)(x x0)2 = F(x0) +

(1/2) + F(x0)(x x0)2. Data la debole dipendenza da x di g lintegrale si puo quindi riscrivere come

I g(x0) eF(x0)

+

expF(x0)

(xx0)2

2

dx.Quindi si puo approssimare eF(x) come una Gaussiana.



5.3. RISONANZE DELLA FUSIONE 49

5.3 Risonanze della fusione

Si prenda il processop + 12C

13 N + , che avviene nel sole. Osservando landamento dellasezione durto di fusione in funzione dellenergia si nota una deviazione dal comportamentostandard , che consiste in un picco a 0, 5 MeV. Si interpreta questo picco come una risonanza,analogamente a quanto fatto per le : questa particolare risonanza rappresenta uno statoeccitato metastabile del 13N.

5.4 Nascita degli elementi

Se si osserva un grafico dellabbondanza relativa agli elementi costituenti il sistema solare siosserva come lidrogeno sia presente per il 90 % e lelio per circa il 9%.

Questa abbondanza relativa puo essere spiegata con la teoria del Big Bang. Si teorizza chenello stato primordiale la materia fosse altamente densa e calda : queste caratteristiche fisichela costrinsero a reagire per formare nuovi elementi. Allinizio i quark erano separati ( nonesistevano solo in stati legati ) e formavano il cosidetto stato di quark-gluon-plasma ( QGP) ; in seguito i quark si legarono per formare adroni e diedero luogo ad elettroni, protoni eneutroni. In questo stadio la temperatura era di circa T 7, 5 109 K. La densita era ancoramolto alta quindi il rate di reazione era elevato e sufficiente a superare la barriera Coulombiana: tramite fusione si crearono i nuovi elemementi 4He,2H,3He,7Li. Man mano che luniverso siandava espandendo la temperatura e la densita diminuivano quindi la barriera Coulombianasi alzava e non cerano piu le condizioni per creare nuovi elementi tramite fusione.Tutti glialtri elementi sono stati prodotti dalle stelle , dove la concentrazione era abbastanza elevatada poter dar luogo a nuove reazioni di fusione , e portati nelluniverso grazie alla loro presenzanella nube primordiale.




5.5 Catena pp - Processi di fusione protone/protone

Questi sono i principali processi che avvengono nel sole, del quale ricordiamo le caratteristiche

fisiche.

M= 1, 989 1033 g

R= 6, 96 105 km

Tcore = 1, 57 107 K

Tsup 6000 K

core 130 g/cm3

L

= 3, 846

1033 erg/s

Il processo1H +1 H 2 H + e+ + e (5.28)

e gia stato analizzato. Dato che il positrone tende a reagire con un altro elettrone il Qtotdella reazione va calcolato sommando quello di entrambi i processi : per la prima reazione siha Q = 0, 42 MeV mentre per la seconda Qe+e = 1, 02 MeV dunque in totale Qtot = 1, 44MeV. La sezione durto di questo processo e molto piccola visto che linterazione responsabilee quella debole : prendendo infatti energie tipiche di 1 KeV si ha ( 1 1KeV) 1033Barn. Tuttavia il sole tramite questi processi e in grado di produrre molta energia visto cheha molti protoni a disposizione. Per stimare quindi il rate delle reazioni nel sole prendiamoinnanzitutto il rate per protone ( per la 5.20) :

rate

n. protoni =

Rppnp

= 1

2npvpp 5 1018reaz/sec (5.29)

Basta quindi moltiplicare questo risultato per il numero di protoni per ottenere il rate totale.Per ricavare il numero di protoni si puo fare una stima grossolana dividendo la massa del soleper la massa dei protoni : lordine di grandezza del risultato e corretto.

Np Mmp

= 2 10331, 6 1024 10

57 protoni (5.30)

Ovviamente non tutti questi protoni sono disponibili per la fusione : si pu o supporre che solo1/10 di questi abbia le condizioni termiche opportune per reagire. Dunque

Nburnp 1

10Np 1056 Nreaz= 5 1018 1056 1038 reaz/sec (5.31)

Quindi nonostante la sezione durto sia molto bassa il rate di reazione e molto grande. Si puostimare anche la massa dellidrogeno consumata al secondo

mburns

1014g/sec 108 ton/sec (5.32)

Riprendiamo ora in esame il processo di produzione della (5.28).

1. Per quanto riguarda 2Hsono probabili i seguenti processi



5.5. CATENAP P- PROCESSI DI FUSIONE PROTONE/PROTONE 51

(a) 2H+1H3H+e+ + e : processo debole, piccola.(b) 2H+2H4He+: abbondanza del deuterio scarsa , quindi probabilita molto bassa

che la reazione avvenga.

(c) 2H+1H3He+ : e la piu avvantaggiata.(d) 2H+2H3H+p : abbondanza del deuterio scarsa , quindi probabilita molto bassa

che la reazione avvenga.

Si sceglie quindi la reazione

2H + 1 H 3 He + ; Q= 5, 49MeV (5.33)

2. Per quanto riguarda 3He sono possibili i seguenti processi

(a) 3He+1H4Li+non avviene perche il litio non e in uno stato legato.(b) 3He+1H4Li2H+21H non e possibile poiche Q




Si osservi che il bilancio delle particelle , cos come (piu o meno) quello energetico , e lo stessonei tre cicli. Visto che nelle reazioni sono coinvolti neutrini occorre tener conto dellenergiairradiata da questi : si definisce quindi unQeffche tenga conto di questa perdita di energia.Risulta quindi naturale porre Qeff

Qtot

Eneutrini. Nel caso dei rami analizzati prima si

ottiene

Processo Qeff [MeV]

ppI 26,2ppII 25,66ppIII 19,17

Lavanzamento della reazione dipende , oltre che dalla concentrazione dei reagenti, dallatemperatura. Questa dipendenza e ben visibile se si cerca di ricavare la variazione dellaconcentrazione di deuterio utilizzando

d

dtnd= Rpp Rpd= 1

2n2pvpp npndvpd (5.38)

Le mediev infatti sono funzioni della temperatura T. Lequazione (5.38) e risolvibilericavando prima la soluzione in condizioni stazionarie : allequilibrio la variazione sara nulla.Dopo aver illustrato tutte le caratteristiche microscopiche dei processi che avvengono nel solee nelle stelle si possono fare alcune interessanti stime. Ad esempio si pu o calcolare la bindingenergy del sole e vedere se e trascurabile rispetto allenergia totale. Lenergia di legame deiprotoni e data da

B= Npmp MG (5.39)In particolare, per il sole si ha che MGc

2 2 1033g c2 dove 1g c2 = 9 1020erg. Si ottienequindi Mc2 = 1, 8 1054 erg. La binding energy puo essere scritta come

B = 35 GM

2

R

=12 35 2GM

c2 Mc

2

R= 310 R

schR

Mc2 (5.40)



5.6. CICLO CNO 53

oveRsch rappresenta il raggio di Schwarzschild5.Per il sole B 1034 erg , da confrontare con

lenergia totale 1054 erg. Nelle stelle di neutroni il rapporto tra queste due energie e di 1 a 10: la stella nella compattazione libera una quantita di energia molto piu alta di quella del sole.

Utilizzando i dati a disposizione si puo fare una stima del tempo di vita solare supponendoche lenergia venga prodotta con il meccanismo illustrato. E gia stato visto che nel ciclo pp

cioni, cavallucci - appunti di fisica nucleare e subnucleare ii (2011)

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