circles-in-the-sky searches and observable cosmic topology in flat 3-manifolds b. mota 1 m.j....

Circles-in-the-sky searches and observable Circles-in-the-sky searches and observable cosmic topology in flat 3-manifoldscosmic topology in flat 3-manifolds

B. Mota1

M.J. Rebouças1

R. Tavakol2

1 CCS, Universidade Federal do Rio de Janeiro1 Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas2 Queen Mary, University of London

VIII WORKSHOP NOVA FÍSICA NO ESPAÇO

1. Topologia cósmica e detectabilidade

OutlineOutline

2. Círculos no céu - Detectando a topologia cósmica

3. As observações excluem uma topologia detectável? - O 'limite inflacionário'

4. As observações excluem uma topologia detectável? - O caso plano


Qual é a forma do Universo?Qual é a forma do Universo?

A TR é uma teoria métrica local Topologia não é fixada pela geometria A topologia deve ser determinada observacionalmente!

RR22 e R e R1 1 S S1 1 têm a mesma têm a mesma geometria mas diferentes geometria mas diferentes topologias topologias

Um universo espacialmente homogêneo e isotrópico é Um universo espacialmente homogêneo e isotrópico é bem descrito por uma variedade do tipobem descrito por uma variedade do tipo

Geometria e topologiaGeometria e topologia

E admite métrica RWE admite métrica RW

Para Para k = -1, 1 e 0k = -1, 1 e 0, as seções espaciais, as seções espaciais serão em geral variedades-quocienteserão em geral variedades-quociente

Onde Onde é um grupo discreto e livre de isometrias é um grupo discreto e livre de isometrias

SS22

HH22

RR22

Como detectar a topologia?Como detectar a topologia?

Imagens múltiplasImagens múltiplas

Topologia não-trivial Imagens múltiplas no espaço de coberturaTopologia não-trivial Imagens múltiplas no espaço de cobertura

Domínio fundamentalDomínio fundamentalHolonomia Holonomia Espaço de cobertura (no caso, REspaço de cobertura (no caso, R22))

Holonomias e detectabilidadeHolonomias e detectabilidade

Cada elemento de gera uma imagem diferente Porém, só imagems dentro do horizonte são detectáveis Uma isometria é uma translação de Clifford (TC) se d(x,x)=cte.s

para qualquer x

Mas qual holonomia gera a mais curta geodésica?Mas qual holonomia gera a mais curta geodésica?

• Nem sempre é um dos geradores de

• Depende da posição do observador

• Em variedades planas, há sempre um toro de cobertura

• Quando uma translação é a geodésica mais curta?


OutlineOutline





Topology and pattern repetitionTopology and pattern repetition

In a universe with non-trivial topology, copies of the In a universe with non-trivial topology, copies of the fundamental domain will tesselate the covering space fundamental domain will tesselate the covering space

If the topology is detectable, copies of the LSS will “spill If the topology is detectable, copies of the LSS will “spill over” and intersect along circlesover” and intersect along circles

Along such intersecting circles temperature fluctuations Along such intersecting circles temperature fluctuations will matchwill match

Pares de círculos com padrões idênticos de flutuações devem Pares de círculos com padrões idênticos de flutuações devem ser observáveis para qualquer holonomia ser observáveis para qualquer holonomia detectável detectável

Se Se é uma TC, o par de círculos correspondente será antipodal

Círculos no céuCírculos no céu



OutlineOutline




Degenerecencia geométricaDegenerecencia geométrica

• Constant curvature spatial sections of the covering space can be either EE33, SS33, or HH33 (‘flat’, ‘spherical’ or ‘hyperbolical’) • The radius of the observable universe

becomes smaller as

In the inflationary limit one has

in which case one can obtain that

• Within the LSS, it is impossible to tell flat, spherical and hyperbolical universes apart by geometrical means

• E a degenerecência E a degenerecência topológicatopológica??

(quase) Exluinddo uma topologia cósmica (quase) Exluinddo uma topologia cósmica detectável no 'limite inflacionário'detectável no 'limite inflacionário'

• Fração dos observadores (‘R’) para os quais max

max max é o valor máximo do desvio da antipodicidade é o valor máximo do desvio da antipodicidade que precisa ser estudado para excluir uma topologia que precisa ser estudado para excluir uma topologia como indetectávelcomo indetectável

• max em função da densidade Ωo para diferentes frações de observadores excluidos

(quase) Excluindo uma topologia cósmica (quase) Excluindo uma topologia cósmica detectável no 'limite inflacionário'detectável no 'limite inflacionário'

• We can show that for small obs

• Sim, no limite inflacionário - For observers in hyperbolical universes, 1.1 - For 99% of observers in spherical universes, 10

(quase) Excluinddo uma topologia cósmica (quase) Excluinddo uma topologia cósmica detectável no 'limite inflacionário‘?detectável no 'limite inflacionário‘?


OutlineOutline



4. As observações excluem uma topologia detectável? - O caso plano4. As observações excluem uma topologia detectável? - O caso plano

As (classes de) 3-variedades planas orientáveisAs (classes de) 3-variedades planas orientáveis

E2

E3

E4

E5

E6

• Não há uma escala característica

• Alguns comprimentos e ângulos são parâmetros livres

• Todas (exceto E6) têm como geradores de

- 2 translações- 1 ‘screw motion’ - = , /2, /3, /4, /6

• E6 (‘Hantzche-Wendt’)é gerada por 3 screw motions

- = - eixos de rotação e translação respectivamente perpendiculares- Dos dois S.M.’s os eixos de rot. e trans. não são comuns.

Mas qual holonomia gera a mais curta geodésica II?Mas qual holonomia gera a mais curta geodésica II?

• No caso de E2, podemos usar nossa construção para calcular max =120

120

No caso mais geralNo caso mais geral

• No caso de E2, max =120

O valor de O valor de max para as variedas planas orientaveis para as variedas planas orientaveis

Variedade max

E2 120E3 69E4 86E5 110E6 120

E2

E3

E4

E5

E6

Further readingFurther reading

CitS parameters

G.I. Gomero ‘As observações excluem uma topologia detectável? - O 'limite inflacionário' in twisted cylinders’, astro-ph/0310749

B. Mota, M.J. Reboucas, R. Tavakol, ‘Do recent observations rule out cusp-like and lens manifolds?’, Phys. Rev. Phys. Rev. D78D78, , 083521 (2008) (2008)

Search for CitS

NN..JJ.. Cornish, D Cornish, D..N. Spergel, GN. Spergel, G..D. StarkmanD. Starkman, Class. Quantum Grav. , Class. Quantum Grav. 1515, 2657 (1998), 2657 (1998)

J. Shapiro Key, NJ. Shapiro Key, N..JJ.. Cornish, D Cornish, D..N. Spergel, GN. Spergel, G..D. Starkman, Phys. Rev. D. Starkman, Phys. Rev. D75D75, , 084034 (2007)084034 (2007)

B. Mota, G.I Gomero, M. Rebouças, R. Tavakol Class. Quantum Grav B. Mota, G.I Gomero, M. Rebouças, R. Tavakol Class. Quantum Grav 2121 3361 3361 (2004)(2004)

Candidates for cosmic topology

J.P. Luminet, J.R.. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq & J-Ph. UzanNature 425, 593–595 (2003)

R. Aurich, S. Lustig, F. Steiner, H. Then, ‘Hyperbolic Universes with a Horned Topology and the CMB Anisotropy’, astro-ph/0403597

Topological degenerecency |Topological degenerecency |ΩΩ-1|-1|≈≈00

An isometry is a Clifford translation (CT) if d(x,x) is the same for all x (position independence)

•For a generic non flat isometry

•For small (i.e., in the inflationary limit), detectable isometries are CT-like

we have show that if is detectable

Differentes topologias, diferentes mosaicosDifferentes topologias, diferentes mosaicos

2-Toro 2-Toro

Garrafa de KleinGarrafa de Klein

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